MATEMÁTICA 5˚ Semestre - Radio Fe y Alegría Noticias

60
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Educación de Jóvenes y Adultos por Radio
Semana 14
INSTITUTO RADIOFÓNICO FE Y ALEGRÍA - VENEZUELA
Inscrito y Subvencionado por el M.E.C.D.
CÁLCULO DIRECTO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Para calcular el mínimo común múltiplo de varios números podemos emplear un procedimiento
que consiste en hallar de forma simultánea la descomposición factorial. Expliquemos ésto con un
ejemplo: hallar el mínimo común múltiplo de 32, 48 y 64.
Pongamos atención al procedimiento.
1. Hallamos la descomposición
simultánea de los números por la
división sucesiva de sus divisores.
2. Multiplicamos los factores . El
resultado es el mcm.
32
48
64
16
24
32
2 2
8
12
16
2
4
6
8
2
2
3
4
2
E.B.A. I: Educación
Básica de
Adultos.
M AT E M ÁT I C A
5˚ Semestre
1
3 3 1
2 1
2 3
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 192
mcm (32, 48,64) = 192
EJERCICIOS
1- Hallar el Máximo común divisor de los siguientes números.
a- 68, 45
b- 35, 60
c- 34, 62, 78
d- 38, 15, 16
e- 70, 20, 100, 200
2- Hallar el mínimo común múltiplo de los siguientes números.
a- 564, 36
b- 162, 38
c- 46, 68, 36
d- 9, 18, 36
PARTICIPANTE:
e- 7, 9, 5, 23
PRODUCIDO, EDITADO Y DISTRIBUIDO POR I.R.F.A. NACIONAL
Calle 3 B, Edf. Fe y Alegría C2.07, Piso 2, la Urbina.
Caracas 1073 DC. Venezuela.
.
MATEMÁTICA
Semana 14
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59
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
1- Máximo Común Divisor (MCD)
Ya sabemos encontrar los divisores de un número, vamos ahora a estudiar los divisores que son
comunes a un determinado grupo de números.
48: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 48
Hallemos los divisores de los siguientes números:
12: 2, 3, 4, 6, 12
Vemos que el MCD es 12. Existe un procedimiento más práctico el cual explicaremos con el siguiente ejemplo: hallar el
MCD de los números 28 y 56.
Indice Pág.
Presentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Recomendaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Las Matemáticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Sistema de numeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Órdenes en el Sistema de Numeración Decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Subórdenes en el Sistema de Numeración Decimal . . . . . . . . . . . . . . . 11
La multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
La división. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Los números fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Representación gráfica de una fracción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Suma de números fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Resta o sustracción de números fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Multiplicación de números fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
División de números fraccionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
El porcentaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
La potenciación y descomposición factorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Divisores y múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. . . . . . . . . . . . . . . . 59
1- Descomponemos los números en sus factores primos y los
expresamos como producto de
esos factores.
56 28
2 2
2- Multiplicamos los factores
comunes con su menor exponente.
22 x 7 = 4 x 7 = 28
MCD (56, 28) = 28
28
2
14 7 1
2 7
14 7
2 7
1
56 = 23 x 7
28 = 22 x 7
El Máximo Común Divisor de varios números es el producto de los factores comunes con
su menor exponente, se denota como MCD (a,b,c, ...)
2- Mínimo común múltiplo (mcm)
Para determinar el mínimo común múltiplo vamos a utilizar un ejemplo: hallemos el mcm de
los números 12 y 15. Pongamos atención a la siguiente explicación:
1- Descomponemos los números en sus factores primos y los
expresamos como producto de
esos factores
2- Multiplicamos los factores
comunes y no comunes con su
mayor exponente
12 6
2 2
3
3
15 5
3 5
1
1
12 = 22 x 3
15 = 3 x 5
mcm (12, 15) = 3 × 22 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60
MCD (12, 15) = 60
El mínimo común múltiplo de varios números es el producto de los factores comunes y no
comunes con su mayor exponente. Se denota como mcm (a,b,c, ...)
Actividades
1- Hallar el MCD de los números: 78, 128 y 36
2- Hallar el mcm de: 32, 16 y 24
58
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 14
DIVISORES Y MÚLTIPLOS
PRESENTACIÓN
1- Divisores
Divisor, de un número a, es cualquier otro entero b tal que la división a ÷ b es exacta. Por ejemplo, 15 es divisor de 45 porque la división 45 ÷ 15 = 3 es exacta.
Otros ejemplos: los divisores de 20, 35 y 78 son:
a- 20: 2, 4, 5, 10 b- 35: 5, 7
c- 78: 2, 3, 13, 39
2- Múltiplos
Múltiplo, de un número b, es otro número a, tal que a = b · c, para algún entero c. Así, 45 es
múltiplo de 15 porque 45 = 15 · 3.
Otros ejemplos: los múltiplos de 3, 4 y 5 son:
a- 3: 6, 9, 12, 15, 18, 21, ...
b- 4: 8, 12, 16, 20, 24, ...
c- 5: 10, 15, 20, 25, 30, ...
Es notorio que un número tiene infinitos múltiplos.
EJERCICIOS
1- Expresar en forma de potencia los siguientes productos.
a- 6 x 6 x 6 =
b- 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = c- 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =
d- 9 x 9 x 9 x 9 =
e- 4 x 4 x 5 x 5 x 5 =
f- 6 x 6 x 6 x 7 x 7 =
d- 5 x 5 x 5 x 5 =
g 4 x 4 x 4 x 2 x 2 x 9 x 9 =
2- Expresar en forma de producto las siguientes potencias.
a- 75 b- 98 c- 102
d- 95 e- 153 f- 123
3- Descomponer en factores primos los siguientes números.
a- 25 b- 150 c- 32
d- 122 e- 90 f- 525
4- Hallar los divisores de los siguientes números.
a- 48 b- 55 c- 81 d- 38 e- 324
5- Hallar al menos 6 múltiplos de los siguientes números:
a- 2 b- 6 c- 8 d- 12 e- 20 f- 15 g- 9 h- 7
6- Investigue
a- ¿Qué son números primos?
b- Escriba los primeros 30 números primos.
Para nadie es un secreto la importancia de las matemáticas en el pasado, en el presente y para
el futuro. Es tan importante y tan parte del ser humano que casi no nos damos cuenta de su existencia.
Esta disciplina está presente en casi todas las actividades de nuestro diario quehacer; en la casa,
en el trabajo, en la calle, en el mercado, etc. Tal presencia se contradice de manera sistemática con
el estudio actual de esta asignatura, digo que existe una contradicción por la cuestión siguiente: si
es tan de nosotros, si está en casi todas nuestra actividades ¿por qué se percibe como algo oscuro,
impenetrable; sólo para sabios , superdotados y genios? . Unas de tantas respuestas a esta pregunta
puede ser la forma de presentarla, la manera de explicarla, la manera de cómo yo en mi papel de
estudiante la estudio.
Con la intención de aportar nuestro grano de arena en la búsqueda de nuevos métodos y formas
para presentar y explicar la materia, ofrecemos el presente material, el cual se estructura en 14
semanas. Cada semana tiene no más de 4 páginas las cuales presentan el contenido programático,
con explicaciones, conceptos y actividades en el anverso y en el reverso ejercicios para reforzar los
temas estudiados. También se incluyen algunas lecturas complementarias relacionadas con el tema
central de estudio.
El objetivo principal de este curso es poner a tu disposición algunas herramientas que te permitan
resolver problemas del acontecer diario, que tengan relación con el cálculo matemático. Además
que te permitan la obtención de una base sólida para entender temas programados en otros cursos
posteriores.
Al finalizar este curso se espera que hayas adquirido destrezas y habilidades en la resolución de
problemas aplicando:
a- Multiplicación y división de los números.
b- Operaciones con los números fraccionarios.
c- La regla de tres directa e inversa.
d- Porcentajes.
e- Potenciación.
e- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.
De igual forma se espera el dominio de los conocimientos teóricos inherentes a la aplicación de
los conocimientos obtenidos.
Esperamos que este material te ayude a comprender de mejor manera los diferentes temas presentados, como paso previo al logro de tus objetivos , que creo no son otros, sino la culminación de
esta primera etapa y la continuación de otras mas exigentes en tu afán de superarte a través del
estudio.
Semana 14
¿CÓMO ESTUDIAR MATEMÁTICAS?
LA POTENCIACIÓN Y DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
La matemática es una actividad esencialmente práctica, de su ejercitación depende en buena
parte su dominio. A continuación te ofrecemos una serie de recomendaciones que esperamos las
sepas aprovechar.
1- El estudio de las matemáticas es progresivo, lo que aprendemos hoy es fundamental para
los temas futuros por eso te recomendamos que aclares las dudas antes que el orientador pase a
otro tema.
2- Los temas vistos en semestres anteriores tales como: suma, resta y multiplicación sencilla te
van a ayudar a entender los contenidos de este semestre, por lo tanto te recomendamos que hagas
un repaso de ellos.
3- Lo que aprendemos se olvida si no reforzamos de forma adecuada los temas vistos. Te sugerimos que apliques la norma siguiente: «tema visto, tema estudiado»
Los gráficos presentan de manera aproximada como se comporta la asimilación de los contenidos
en relación con la frecuencia de repaso de dichos temas.
100 –
CURVA DEL OLVIDO
CURVA DEL OLVIDO
Potencia
94
se lee
significa
nueve a
la cuatro
multiplicar
9 cuatro
veces consecutivas
La potenciación es una operación consistente en multiplicaciones sucesivas de un factor. Se
denota mediante la expresión an denominada potencia, donde n es el exponente y a la base.
potencia: producto formado mediante sucesivas multiplicaciones
96
exponente: Indica la cantidad de veces que se multiplica la base
Otros ejemplos: a- 65 = 6 x 6 x 6 x 6 x 6
b- 78 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7
2- Descomposición factorial.
Descomponer un número en forma factorial es encontrar todos los factores primos posibles y
expresarlo como producto de esos factores.
20 –
Buen afianzamiento
R2
0
0
R3
0
S
D
L
M
MI
J
V
REPASO
Afianzamiento regular
S
D
–
0
–
0
–
–
R1
–
–
–
–
R7
–
–
V
–
J
MI
REPASO
–
M
–
L
R6
–
D
R5
–
S
R4
–
R3
–
R2
–
–
R1
–
–
0
–
–
0–
Muchas veces nos encontramos multiplicaciones sucesivas por ejemplo: 9 x 9 x 9 x 9
Hay una forma de expresar esta operación a través de
una operación matemática denominada potenciación.
La expresión anterior 9 x 9 x 9 x 9 se escribe mediante
la expresión 94 llamada potencia. Analicemos con detenimiento la expresión anterior.
base: es el factor que se va a multiplicar
40 –
1- La potenciación
CURVA DEL OLVIDO
60 –
–
ASIMILACIÓN (%)
80 –
57
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
0
0
0
0
0
0
M
MI
L
J
V
REPASO
Sin afianzamiento
4- Busca un espacio de estudio donde se den las condiciones que te permitan una efectiva concentración: sin ruidos, amplio, con buena luz, etc.
5- Profundiza los temas vistos en el presente módulo, esto te va a permitir tener una visión más
amplia del contenido.
6- Revisa otros textos. Allí encontrarás con toda seguridad otros puntos de vista, otros ejercicios
que te van a ayudar a comprender los temas vistos.
Recuerda lo siguiente:
Tú eres dueño de tu destino. De ti depende el triunfo o el fracaso.
Ánimo, que al final del camino verás el fruto del esfuerzo realizado.
Para descomponer un número, por ejemplo 24, se procede de la forma siguiente:
1- Encontramos los números que dividen exactamente a 24,
es decir los divisores.
24: 2, 4, 6, 8, 12
2- Empezamos dividiendo entre 2 y continuamos hasta agotarlo, luego pasamos al siguiente hasta llegar a1
24
12
2
2
3- Expresamos el número en forma de producto
Otros ejemplos: descomponer el número 72
72
36
18
2
2
2
9
3
3
3
1
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32
Actividades
1- Descomponer en factores primos los siguientes números:
a- 125 b- 81
c- 45 d- 90
e- 1024
f- 256
g- 828
6
2
3
1
3
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
56
E.B.A.1. 5º S.
Semana 1
Semana 13
MATEMÁTICA
EL PORCENTAJE
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
5
LAS MATEMÁTICAS.
Una aplicación directa de lo que hemos estudiado hasta ahora acerca de la regla de tres es
el tema relacionado con los porcentajes. Tema de obligada aplicación en nuestras actividades
diarias.
Leamos el siguiente texto:
Analiza y comenta las siguientes imágenes:
El 15% de la población mundial, (15 de cada 100 personas,) padecen hambre en los países no
desarrollados: el 22% de niños de la población africana, (22 de cada 100 niños africanos) sufren
de hambre, 13% de América Latina, (13 de cada 100 de nuestros niños latinoamericanos) ; 27%
del Lejano Oriente y 11 % del Cercano Oriente están afectados.
Analicemos las expresiones
Se lee
Significa
15%
quince por ciento
15 de cada 100
22%
13%
veintidos por ciento
trece por ciento
22 de cada 100
13 de cada 100
Para determinar el porcentaje se aplica la regla de tres.
Ejemplo: Si de cada 100 niños 15 padecen de hambre.¿Cuántos padecerán de cada 1000?
Plantiemos una regla de tres.
15
x
por cada
por cada
100
1000
x = (15 x 1000)/100 = 150
De cada 1000 niños 150
padecen de hambre
EJERCICIOS
1- Resuelve los siguientes problemas aplicando regla de tres .
a- Si 18 trabajadores pueden hacer un trabajo en 15 días. ¿ Cuántos días tardarán en hacerlo 24
trabajadores?
b- Un ciclista lleva una velocidad de 50 Km/h . Tarda en recorrer una determinada distancia 5
horas. Si disminuye su velocidad a la mitad ¿Cuánto tarda en recorrer la misma distancia?
c- Los vecinos hicieron una cayapa para limpiar las cunetas de las calles del barrio. Sólo participaron 10 personas y tardaron un día (8 horas). Si hubiesen participado más vecinos por ejemplo
50 ¿Qué tiempo hubiesen tardado?
e- Si una campaña de vacunación tiene como meta la inmunización del 35% de los niños. ¿Qué
cantidad sin inmunizar hay en el país, si inmunizan 5000 infantes?
f- La cooperativa de la comunidad introdujo un proyecto para financiar la construcción de viviendas
por un monto de 124.000.000 Bs. si el fondo sólo le aporta el 65%. ¿ Qué cantidad le corresponde?
g- Los alumnos del 5° semestre hicieron unas mediciones para realizar un proyecto ecológico en el
centro de orientación, se encontraron con que el suelo tiene un 30% de arena. ¿ Cuánta arena
hay en 25 m2 de terreno?
Las matemáticas están en casi todas las actividades de nuestro acontecer diario. Es difícil, por
no decir imposible, encontrar una actividad donde no esté presente las matemáticas. Allí radica la
importancia de su estudio.
El estudio de las matemáticas de manera organizada nos provee de las herramientas básicas
para desenvolvernos en los diferentes escenarios. Nos ayuda a distribuir de manera equitativa el
dinero según las necesidades básicas, tales como: alimentos, educación, salud, etc.
El cálculo como también se denomina el área nos ayuda a interpretar y resolver otros asuntos
complicados como el referido a los intereses de préstamos, de ahorros, cálculos para la construcción
de viviendas, entre muchas otras.
Actividades
Enumera al menos 5 situaciones donde se aplican las matemáticas.
6
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
a- ¿Qué otros beneficios nos brinda la matemática?
b- En qué otras situaciónes se emplean las matemáticas.
c- ¿Qué dificultades has tenido para el estudio de las matemáticas?
d- ¿Cómo crees tu que deberiamos abordar el estudio de las matemáticas?
2- Escribe tu opinión acerca del siguiente caso.
« La señora Edita fue al Centro de Orientación el sábado en la mañana. Entendió muy
bien lo explicado. Al llegar a su casa hizo un repaso y resolvió los ejercicios propuestos. El
sábado siguiente presentó una prueba la cual resultó excelente»
3- Escribe un pequeño párrafo donde estén presentes las matemáticas
4- Investiga.
Reseña histórica de las matemáticas.
55
REGLA DE TRES INVERSA
Ya estudiamos la regla de tres directa. Recuerda que esta
regla se aplica cuando hay cantidades relacionadas que
aumentan o disminuyen de manera proporcional. En nuestra
vida cotidiana nos encontramos con otras situaciones donde
las variables se comportan de forma diferente.
Analicemos el siguiente ejemplo.
Si 10 trabajadores construyen una casa en 20 días.
¿Cuanto tardarán 20 obreros trabajando en las mismas
condiciones?
Observen que estamos aumentando la cantidad de
trabajadores. ¿Qué pasará con el tiempo, aumentará o
disminuirá?
Evidentemente que al aumentar la cantidad de trabajadores disminuye el tiempo.
En este caso nos encontramos en presencia de un caso de
aplicación de la regla de tes inversa
Una regla de tres es inversa si al aumentar o disminuir una magnitud disminuye o aumenta la otra.
Para resolver una regla de tres inversa la operación se realiza de manera diferente
División
1- Responde y comenta en el centro de orientación.
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 13
Semana 1
producto
10 tra. ------------ 20 dias
20 tra. ------------
Se halla el producto de los factores que aparecen como
supuesto y se divide entre el término dado como dato en la
pregunta.
La solución queda como:
x
x = (10 . 20) / 20
disminuye
aumenta
Trabajadores 2
5
8
10
20
40
50
100 …
Días
100
40
25
20
10
5
4
2
…
aumenta
disminuye
Actividades
1- Si 10 participantes pintan un salón de clases en 5 horas. ¿Cuánto tardarán 15 participantes?
54
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Define los siguientes términos.
a- Regla de tres.
b- Regla de tres directa.
2- Resuelve los siguientes problemas aplicando regla de tres.
a- Para hacer 4 docenas de camisas se han empleado 162 metros de tela. ¿Cuántos metros
harán falta para hacer 14 docenas de camisas?
b- Si una campaña de alfabetización tiene como meta alfabetizar 10.000 personas en 3 años,
¿Cuánto le correponde por semestre?
c- Si una campaña de vacunación tiene como meta la inmunización de 35 de cada 100 niños
en un mes. ¿Qué cantidad inmunizará en 5 meses?
3- Identifica elementos de la siguiente regla de tres.
3 kg.
3500 Bs
8 kg.
x
c- x/8 = 9/4
d- 6/x = 7/6
7
Un sistema de numeración es un conjunto de reglas
que sirven para leer y escribir de forma ordenada los
números.
Existen muchos sistemas de numeración, el más utilizado es el sistema de numeración decimal. Es el que usamos
diariamente en nuestras operaciones.
Sistema de numeración decimal: su nombre se debe a
que necesita diez símbolos diferentes o dígitos (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar cantidades. Por eso es un
sistema de base diez.
Ejemplo: con los dígitos 3, 7 y 8 podemos formar los números siguientes:
3
7
8
378
738
873
387
783
837
378
trescientos setenta y ocho
738
setecientos treinta y ocho
873
ochocientos setenta y tres
De acuerdo a ésto se concluye que las cifras cambian
de valor dependiendo del lugar en que ellas estén en una
determinada cantidad.
Por ejemplo, el 3 toma el valor de 300 en 378; 30 en 738;
3 en 783
4- Plantea las siguientes proporciones en forma de regla de tres.
b- 4/6 = 7/x
E.B.A.1. 5º S.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
a- 4/5 = x/5
MATEMÁTICA
Semana 1
Semana 13
Este valor se denomina valor relativo o valor de posición
El valor relativo es el valor que toma una cifra de acuerdo al lugar
que ocupa en una cifra. En el caso anterior el valor relativo es: 3 centenas, 7 decenas y 8 unidades.
Actividades:
1- Escribe el valor de cada cifra en las siguientes cantidades
a- 3456 b- 8617 c- 543 d- 67 e- 1234 f- 45673 g- 678910
8
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Escriba en cifras las siguientes cantidades.
a- Diecisiete mil doscientos nueve b- Cinco mil doscientos nueve c- Seis mil quince d- Cuatrocientos veinte mil doscientos treinta e- Quinientos cinco mil f- Veinte mil trescientos siete g- Setenta y cinco mil novecientos noventa h- Dos mil trescientos cuarenta y cinco. 2- Escriba en letras las siguientes cantidades.
a- 1.001 b- 74.850 c- 80.027 d- 3.069 e- 203.568 La reglas de tres es una consecuencia de las proporciones. Aplicables en situaciones donde es necesario hallar
una cierta cantidad dados tres valores supuestos. Dichas
situaciones las encontramos en el trabajo, en el estudio, en
la casa, etc.
Antes de definir la regla de tres analicemos el siguiente
problema:
Si un artículo tiene un valor de 500 Bs. Cuál será el valor
de 32 unidades de ese mismo artículo.
Fíjense que lo siguiente:
1 artículo
32 artículos
vale Bs 500
valen
x
Tenemos en ese planteamiento tres valores conocidos (1, 32 y 500) y un valor desconocido representado por una x. Por eso esta operación se denomina regla de tres
Una regla de tres es una operación matemática la cual consiste en hallar un valor desconocido (incognita) dados tres valores conocidos llamados supuesto.
La regla de tres se plantea de la siguiente manera:
1 art. ------------ 500 Bs
g- 54.701 h- 6204 división
32 art. ------------
x = (500 . 32) / 1 = 16000
x
Solución: 32 artículos tienen un costo
de Bs. 16.000
producto
a. 4.005
b. 30.203
c. 603.603
d. 79.008
e. 895.041
f. 6.210
53
REGLA DE TRES
f- 900.009 3- Escriba el valor relativo o de posición de cada cifra en las cantidades siguientes:
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 13
Semana 1
En el planteamiento anterior se observa que al aumentar o disminuir una cantidad aumenta o
disminuye la otra. En este caso se habla de regla de tres directa.
Una regla de tres es directa si al aumentar o disminuir una magnitud aumenta o disminuye la
otra. Veamos.
Articulo
1
2
3
4
5
6
7
8
…
32
Bs
500
1.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
…
16.000
Actividades
Resuelve los siguientes planteamientos aplicando regla de tres.
1- Dos contenedores de basura tienen una capacidad para 5000 kg. ¿Cuántos kg. contendrá 1 contenedor?
2- Un frasco de agua de 20 litros tiene un costo 3000 Bs. ¿Cuál es el precio de cada litro?.
52
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 2
Semana 12
a- 3 es a 4 como 6 es a 8
9
E.B.A.1. 5º S.
LOS ÓRDENES EN EL SISTEMA
DE NUMERACIÓN DECIMAL.
EJERCICIOS
1- Expresa en forma numeral las siguientes proporciones.
MATEMÁTICA
En párrafos anteriores señalamos que las cantidades
dependen de las posiciones o el orden de los dígitos.
Veamos ésto con un ejemplo: El número 8.525 se lee:
b- 9 es a 10 como 18 es a 20
c- 6 es a 7 como 12 es 14
8.525 ocho mil quinientos veinticinco
d- x es a y como z es a q
e- 5 es a 8 como x es 16
2- Expresa en forma literal las siguientes proporciones.
8000
8x1000
unidades
de mil
500
5x100
centenas
20
2x10
decenas
5
5x1
unidades
8
5
2
5
a- 2/4 = 4/8
b- 7/8 = 21/24
Los órdenes se ubican en una cantidad de derecha a izquierda
c- 4/5 = 8/10
d- 1/3 = 4/12
Ejemplos.
e- 3/6 = x/12
Ubicar las cifras siguientes en los órdenes dados:
3- Halla el valor de x en las siguientes proporciones.
a- 6/9 = x/15
c- x/4 = 32/16
b- 1/3 = 5/x
d- 6/x = 18/15
c- 4/7 = x/14
e- x/5 = 12/15
f- 1/2 = x/4
g- 7/8 = 49/x
612.439
c. de mil
6
d. de mil
1
u. de mil
2
c
4
d
3
326.513
854.102
Actividades:
1- Investiga.
a- Cúales son las cifras del sistema de numeración decimal.
b- Por qué se denomina sistema de numeración decimal.
c- Completa el recuadro
centena de mil
decena de mil
unidad de mil
unidad de mil
100
centena
decena
unidad
u
9
10
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 12
Semana 2
EJERCICIOS
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
51
RAZONES Y PROPORCIONES (continuación)
Continuemos el estudio con las proporciones
1- Escriba en cifras las siguientes cantidades
Es obvio pensar que si contamos con más árboles necesitamos más terreno. Por ejemplo si tenemos 2000 árboles
necesitaremos 4 hectáreas (Ha). Esta situación se expresa
de la forma siguiente: para 1000 árboles necesitamos 2 Ha,
entonces para 2000 árboles emplearemos 4 Ha.
a- Veintiún mil quinientos cuatro b- Treinta mil setecientos veinticinco c- Ciento veinticinco mil sesenta d- Un mil doscientos dieciseis En esta situación nos encontramos con otra razón 4/200.
Si comparamos las dos nos queda la siguiente relación:
e- Trescientos cuarenta y cinco f- Cuarenta y seis mil trescientos nueve 2/1000 = 4/2000
Esta relación es lo que hemos denominado proporción.
Se expresa de la siguiente manera
2- Escriba en letras las siguientes cantidades
a- 2.039 2/1000 = 4/2000 y se lee «dos es a mil como cuatro es dos mil»
b- 879.324 En general
c- 123.452 d- 456 Una proporción es una igualdad de dos razones iguales, es decir a/b = c/d , donde a,b,c,d
son números enteros b y d diferentes de 0 y a.d = b.c. Se lee « a es a b como c es a d»
e- 45.678 f- 32.145 Otros ejemplos
g- 54.701 2 es a 1000 como 6 es a 3000
5 es a 4 como 10 es a 8
3- Ordene las siguientes cantidades :
centena
de mil
decena
de mil
unidad
de mil
centena
decena
unidad
a- 3.456
b- 78.954
c- 987.654
d- 56.473
Actividades
1- Expresa en forma de proporción las siguientes situaciones.
a- 2 es a 4 como 6 es a 8
b- 25 es a 100 como 50 es a 200
2- Expresa en forma literal las siguientes proporciones.
4- Actividades:
Investiga. Otros sistemas de numeración.
a- 3/7 = 21/49
b- 8/9 = 16/18
2/1000 = 6/3000
5/4 = 10/8
50
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
a- Por cada 100 Bs. aumentaron 20 Bs.
b- En el C.O. por cada 10 mujeres hay 5 hombres
c- Rafael cometió 6 errores por cada 100 palabras
d- La matrícula actual es de 10.000 Bs. por cada participante.
e- En Venezuela hay 13 desempleados por cada 100 personas.
2- Expresa en forma literal las siguientes razones.
a- 2/3
f- 4/12
b- 3/6
g- 1/4
c- 5/8
h- 7/9
d- 4/9
i- 3/7
e- a/b
j- x/y
4- Escribe un párrafo donde se pueda visualizar las razones.
5- Describe situaciones de la cotidianidad donde se empleen las razones.
11
E.B.A.1. 5º S.
LOS SUBÓRDENES EN EL SISTEMA
DE NUMERACIÓN DECIMAL.
EJERCICIOS
1- Escribe una razón para cada una de las siguientes situaciones.
MATEMÁTICA
Semana 2
Semana 12
Hasta ahora las operaciones que hemos definido han sido
con los números naturales. Existe otro conjunto de números
que no es desconocido para ti ya que también son de uso
cotidiano, nos referimos a los números decimales y además
fueron estudiados en semestres anteriores.
Cada vez que hacemos una compra los precios casi nunca
son números naturales, por lo general son cantidades con
una parte decimal o números decimales.
Por ejemplo.
El número 128,57 se lee: ciento veintiocho con cincuenta
y siete céntimos o ciento veintiocho coma cincuenta y siete.
Se compone de dos partes:
128 parte entera.
57 parte decimal.
En este tema vamos a estudiar las posiciones de las cifras en la parte decimal o sub-órdenes.
Los subórdenes se ubican en el número de derecha a izquierda y son los siguientes:
Veamos varios ejemplos:
unidad
de mil
centena
décima
décima parte de la unidad
centésima
centécima parte de la unidad 1/100
milésima
milésima parte de la unidad
decena
unidad
décima
4
5
6
1
2
8
5
7
4
5
6
3
6
45,6
128,57
3.456,367
3
Actividades:
Investiga:
1- Qué nombre reciben los tres sub-órdenes siguientes a las milésimas.
2- Describe los pasos para sumar números decimales.
3- Escribe en letras las siguientes cantidades:
a) 0,34
b) 38,125
c) 3.456.728, 5
1/10
centésima
1/1000
milésima
7
12
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 12
Semana 2
EJERCICIOS
49
Vamos ahora a estudiar algunos temas que nos van a
servir de mucha ayuda en nuestro quehacer diario. Estudiaremos las razones y las proporciones.
Iniciemos este estudio con las razones.
Antes que nada meditemos acerca de la situación que
se nos plantea:
« Los participantes del Centro de orientación del IRFA
cuentan, para el proyecto ecológico, con 2 hectáreas para
sembrar árboles frutales. Investigando en algunas instituciones les dijeron que en ese lote de terreno sólo podían sembrar máximo 1000 árboles. Sembrar más árboles significaba
menos producción de la esperada »
De lo anterior se deduce una relación establecida entre
la cantidad de terreno y la cantidad de árboles.
Esta relación se expresa de la siguiente forma:
2- Escriba en letras las siguientes cantidades.
a- 2.039,345 b- 879.324,004 c- 123.452,2 d- 456,47 e- 45.678,7 f- 32.145,15 g- 54.701,23 2/1000, 2:1000 y se lee « 2 es a 1000»
Esta relación es lo que hemos denominado razón.
En general:
3- Ordene las siguientes cantidades :
decena
E.B.A.1. 5º S.
RAZONES Y PROPORCIONES
1- Escriba en cifras las siguientes cantidades.
a- Veintiún mil quinientos cuatro, con veinticinco b- Treinta mil setecientos veinticinco, con doce c- Ciento veinticinco mil sesenta, con dieciocho d- Un mil doscientos dieciseis, con ciento veinte e- Trescientos cuarenta y cinco, con nueve f- Cuarenta y seis mil trescientos nueve, con uno centena
MATEMÁTICA
unidad
décima
centésima
milésima
Una razón es la comparación de dos cantidades por la operación de división y se expresan
de la forma a/b o a:b donde a y b son números naturales con b diferente de 0
a- 34,56
b- 789,54
Otras razones
c- 987,654
d- 56,473
En el salón de clase hay 2 hombres
por cada 5 mujeres.
Por cada lápiz se pagan 250 Bs
Actividades
1- Escribe una razón para cada una de las siguientes relaciones.
4- Actividades
Investiga.
Haga una lista de las situaciones donde utilizamos los números decimales.
a- Por cada 100 plantas sembradas, 5 no cargan.
b- Por cada hectárea sembrada, se invierten 200.000 Bs.
2- Inventa una situación para cada una de las siguientes razones:
a- 2/5
b- 7/100
c- 18/200
2/5
1/250
48
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 3
Semana 11
EJERCICIOS
1- Efectúa las siguientes divisiones.
a- 3/4 ÷ 6/5
b- 5/7 ÷ 8/8
c- 6/5 ÷ 7/3
d- 8/6 ÷ 5/2
e- 6/4 ÷ 4/3
2 - Coloca el valor de x en las siguientes operaciones.
a- 1/x ÷ 1/4 = 4/5
b- x/3 ÷ 4/6 = 24/12
c- 5/6 ÷ x/3 = 15/18
d- 3/4 ÷ 8/x = 12/32
e- 12/3 ÷ 5/6 = x /15
f- 7/8 ÷ 5/9 = 63/x
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
LA MULTIPLICACIÓN
En la multiplicación se estudian diferentes casos:
1- Multiplicación de números naturales.
2- Multiplicación de un números natural por un
número decimal.
3- Multiplicación de números decimales.
1- Multiplicación de números naturales.
Analicemos, comentemos y resolvamos el siguiente problema:
Para reparar las paredes y el techo de la escuela de la
comunidad «El Porvenir» que tiene 638 alumnos, cada uno
deberá aportar 865 Bs.
¿Cuál es el costo de la reparación?.
Pon mucha atención al proceso.
1- Colocamos el multiplicador
debajo del multiplicando.
638 × 865 multiplicando
multiplicador
2- Multiplicamos el multiplicando por cada una de las cifras
del multiplicador, empezando por
las unidades.
638 × 865 3 190 multiplicando
multiplicador
1°. producto
3- Resuelve los siguientes problemas.
a- 5/6 de las vacunas para el sarampión alcanzó para 6/7 de la población infantil. ¿Que fracción
le tocó a cada niño?
b- 1/3 de las plantas ornamentales se plantarán en 3/4 de la zona en recuperación. ¿Qué fracción
le corresponde a cada planta?
c- 4/5 de lo recogido en la feria escolar alcanza para financiar 3/4 de los proyectos. ¿Cuánto le
corresponde?
d- El dinero asignado por la fundación para el reciclaje de la basura corresponde a 1/6 de su
presupuesto. Si el de reforestación es de 3/5 ¿Cuál de los dos es mayor? ¿Cuántas veces es
mayor o menor?
3- Luego multiplicamos por
las decenas escribiendo el resultado corriendo un lugar a la
izquierda .
638 multiplicando
× 865 multiplicador
3 190 1°. producto
38 2 8 2°. producto
4- Continuamos multiplicando
por las centenas hasta completar
los órdenes existentes.
638 multiplicando
× 865 multiplicador
3 190 1°. producto
38 2 8 2°. producto
51 0 4 3°. producto
5 51 870 producto final
Actividades
Ordena y efectúa las siguientes operaciones.
a- 342 × 76 b- 45 × 78 c- 456 × 567 d- 763 × 89 e- 908 × 340 f- 453 × 234
13
14
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
b) 4.567 x 20
c) 44.324 x 26
d) 56.456 x 56
e) 47.000 x 234
f ) 126.745 x 250
g) 45.231 x 300
h) 125.000 x 400
2- Coloca verdadero o falso según sea el caso
a- Los factores de la multiplicación se denominan multiplicando y multiplicador.
( )
b- El resultado de la multiplicación se denomina cociente.
( )
c- Para multiplicar primero comenzamos por la unidad.
( )
d- Si el multiplicando tiene cuatro dígitos comenzamos a multiplicar por la unidad de mil. ( )
e- Si el multiplicador tiene 4 dígitos o cifras, obtenemos 4 productos.
( )
f- Si el multiplicando tiene 2 cifras, obtenemos 2 productos.
( )
3- Investiga:
a- El significado de los siguientes términos: dígito, cifra, décima, centésima, milésima, producto
b- ¿Cuáles son los números naturales?
c- ¿Que representa la parte decimal en un número decimal?
4- Escribe tu opinión en el cuaderno acerca de la iniciativa de reparar la escuela.
5- Qué significa el refrán: «En la unión está la fuerza»
6- Resuelve el siguiente problema:
La experiencia de reparar la escuela resultó exitosa y decidieron pintar la escuela. Para ésto necesitan 15 galones de pintura. ¿Cuanto dinero necesitan para pintar la escuela?. Investiga el precio
actual de un galón de pintura y efectúa las operaciones.
7- Resuelve el siguiente planteamiento.
Construya los cifras del SND empleando tres cuatro (4, 4, 4)
Ejemplo: (4 + 4)/4 = 8/4 = 2
E.B.A.1. 5º S.
47
DIVISIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
1- Ordena y efectúa las siguientes operaciones.
a) 3.456 x 34
MATEMÁTICA
Semana 11
Semana 3
Estudiemos la división de fracciones a través del siguiente
problema.
La organización de la comunidad es indispensable para
su desarrollo cualquiera que ésta sea. Para tal efecto los
vecinos de la comunidad Simón Rodríguez se organizaron en
asociación civil para enfrentar el problema del desempleo.
En una de sus actividades se les presento el siguiente
problema.De la cantidad pedida en donación para la entrega
de microcréditos sólo le dieron 3/4. Si dicha cantidad alcanza
para 6/7 de la población. ¿Qué cantidad le corresponde a
cada beneficiario directo?
Se trata de dividir : 3 ÷ 6
4 7
Pongamos mucha atención a la siguiente explicación.
Esta división se puede presentar de dos formas.
×
3 ÷ 6
4 7
3 ÷ 6 = 3 × 7 = 21
4 7
4 × 6 24
×
3
4
6
7
3
× 4 = 3 × 7 = 21
6
4 × 6 24
7
1- Se multiplican el numerador de la 1a.
fracción por el denominador de la 2a. fracción
(3x7 =21) y se coloca numerador.
2- Se multiplican el denominador de la 1a.
fracción por el numerador de la 2a. fracción
(4x6=24) y se coloca como denominador.
En general:
Sean dos fracciones a/b y c/d con b y d diferentes de 0, se cumple que a/b ÷ c/d = (axd)/(bxc).
Ejemplos:
6/7 ÷ 3/9 = (6 x 9)/(7x 3) = 63/21
Actividades
Efectúa las siguientes operaciones.
a- 1/12 ÷ 5/4 =
b- 8/5 ÷ 9/4 =
46
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 3
Semana 11
EJERCICIOS
1- Efectúa las siguientes sustracciones.
a- 3/4 x 6/5
b- 5/7 x 8/8
c- 6/5 x 7/3 x 2/3
d- 8/6 x 5/2 x 1/2
e- 6/4 x 4/3 x 6/7 x 8/5
2 - Halla el producto de las siguientes fracciones de forma gráfica.
a- 1/2 x 1/4
b- 2/3 x 4/6
3- Resuelve los siguientes problemas.
a- 2/8 de los habitantes de una determinada comunidad emplean 1/4 del salario en medicina.
¿Que fracción del salario total gastan en medicina?
b- En el Centro de Orientación se emplea 2/6 de sus ingresos para mantener 3/4 de sus áreas
verdes. ¿Qué parte sus ingreso utiliza para el mantenimiento de esas áreas?
c- La familia Pérez gasta 1/3 de sus ingresos en 3/4 de sus necesidades alimenticias.¿ Qué fracción de sus ingresos utilizan en alimentación?
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
15
LA MULTIPLICACIÓN (continuación)
2- Multiplicación de un número natural por un número decimal.
Para multiplicar un número natural por un número decimal procedemos de igual manera que en
el caso anterior. Pon mucha atención.
Vamos a explicar este procedimiento con un problema.
Los vecinos de la comunidad «el porvenir» realizaron una encuesta con la intención de introducir
un proyecto en la gobernación para la construcción de viviendas. Una de las preguntas que hicieron
en la encuesta fue: ¿Cuál es su ingreso mensual? a esta pregunta 85 personas respondieron que su
ingreso semanal era de 8.324,75. Queremos saber ¿Cuánto devengan semanalmente en total las
85 personas?.
Pon mucha atención a la explicación siguiente:
1- Colocamos el multiplicador
debajo del multiplicando.
8.324, 75 multiplicando
× 85 multiplicador
2- Multiplicamos el multiplicando por cada una de las cifras
del multiplicador, empezando
por las unidades. Escribiendo el
resultado sin la coma.
8.324, 75 multiplicando
× 8 5 multiplicador
4162 3 7 5
1°. producto
3- Luego multiplicamos por las
decenas escribiendo el resultado
corriendo un lugar a la izquierda.
Escribiendo el resultado sin la
coma.
8.32 4, 75 multiplicando
× 85 multiplicador
41 623 75
1°. producto
66 5 980 0 2°. producto
4- Por último realizamos la
suma de los productos parciales.
8.32 4, 75 multiplicando
× 85 multiplicador
41 623 75 + 1°. producto
66 5 980 0 2°. producto
707.603 75
5- El producto final se obtiene
corriendo lugares a la izquierda
tanto como decimales haya en la
multiplicación.
8.32 4, 75 multiplicando
× 85 multiplicador
41 623 75 + 1°. producto
66 5 980 0 2°. producto
707.603,75 producto final
Actividades
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 23,6 x 123 b- 125,12 x 34 c- 234,56 x 25 d- 2345,7 x 47
e- 5678,123 x 456
16
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 11
Semana 3
EJERCICIOS
b) 4.567 x 20,15
e) 47.000 x 23,4
f ) 126.745,12 x 250
c) 44.324 x 26,8
g) 45,231 x 300
d) 56.456 x 56,123
h) 125.000 x 4,32
final corremos tantos lugares a la ______
como
Estudiemos ahora un problema de tipo ecológico.
En la comunidad «El Porvenir» 3/5 de los hogares desechan 4/6 de la basura producida en la
comunidad. ¿Qué cantidad de basura desechan estos hogares?.
Se trata de multiplicar estas fracciones para obtener un resultado definitivo.
Deduzcamos la manera de resolver este problema de forma gráfica.
decimales haya en la operación.
4/6
Vemos con claridad que la basura
recogida representa 12/30.
b- Si el producto final de la operación es 324,456, en la operación había ____ decimales
c- El producto 3,24 x 45 tendrá _________ decimales.
Es lógico entonces la siguiente
deducción:
3- Investiga:
a- ¿Cuál es el ingreso mínimo actual de un trabajador?
3/5
b- ¿Cuál es el costo de la cesta básica?
c- ¿Qué podemos hacer para «estirar» el salario?
a- El proyecto que introdujeron los vecinos a través de su asociación civil fue aprobado, asignando
35 viviendas en la primera fase. ¿Cuánto será la cantidad desembolsada por todos los beneficiarios de la primera fase?. Investiga el costo actual de una vivienda de este tipo y procede a realizar
las operaciones.
Se pregunta lo siguiente:
¿ Cuánto es el ahorro en los tres artículos?
COSTO OFERTADO
3.300,50
1.123,00
5.300,99
numeradores
30 = 5 x 6
denominadores
Para multiplicar fracciones se halla
el producto de los numeradores colocándolo como numerador. De igual forma se
multiplican los denominadores y el resultado se coloca como denominador.
b- En un supermercado pusieron en oferta varios artículo
COSTO REAL
3.456,00
1 .2 34,75
5.345,00
12 = 4 x 3
De acuerdo a ésto se deduce la
siguiente regla general:
4- Resuelve los siguientes problemas:
ARTÍCULO
1
2
3
45
La multiplicación también la vamos a estudiar a través del análisis de un problema.
2- Completa los siguientes enunciados:
a- Para obtener el _______
E.B.A.1. 5º S.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
1- Ordena y efectúa las siguientes operaciones.
a) 3.456,35 x 34
MATEMÁTICA
De otra forma: sean dos o más fracciones a/b, c/d, e/f ... n/m, se comprueba que a/b x b/d x
e/f x ... x n/m = (a x c x e x ... n)/ (b x d x f x ... x m).
Ejemplos:
a- 5 × 1 = 5 × 1 = 5
2 3 2 × 3 6
b- 5 × 12 × 15 = 5 × 12 × 15 = 900
8
3
5
8 × 3 × 5 12 0
Actividades
Efectúa las siguientes operaciones.
a- 2/10 x 12/23
b- 21/7 x 15/8
c- 8/9 x 14/6 x 65/8
44
E.B.A.1. 5º S.
Semana 4
Semana 10
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Efectúa las siguientes sustracciones
b- 5/7 − 8/8
c- 6/5 − 7/3
d- 8/2 − 6/2
e- 6/4 − 4/3
2 - Efectúa la resta gráfica de las siguientes fracciones.
a- 6/3 −1/2
b- 7/4 −2/3
3- Resta las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.
− E.B.A.1. 5º S.
17
LA MULTIPLICACIÓN (continuación)
3- Multiplicación de dos número decimales.
Para multiplicar números decimales procedemos de igual manera que en el caso anterior. Pon
mucha atención.
Vamos a explicar este procedimiento con un problema.
Los vecinos de la misma comunidad hicieron igualmente, un presupuesto para arreglar la entrada
a la escuela que mide 125,8 mts. por cada metro de concreto deben emplear 56.600,50 Bs. Pon mucha
atención a la explicación siguiente:
a- 3/4 − 6/5
MATEMÁTICA
=
4- Resuelve los siguientes problemas.
1- Colocamos el multiplicador
debajo del multiplicando.
2- Multiplicamos el multiplicando par cada una de las cifras
del multiplicador, empezando
por las unidades. Escribiendo el
resultado sin la coma.
56.600,5 multiplicando
× 12 5,8 multiplicador
45 28 040 1°. producto
3- Luego multiplicamos por las
decenas escribiendo el resultado
corriendo un lugar a la izquierda.
Escribiendo el resultado sin la
coma.
56.600, 5 × 12 5, 8 452 8 040 2 830025 multiplicando
multiplicador
1°. producto
2°. producto
4- Se continua multiplicando
por los órdenes siguientes hasta
obtener los productos parciales
correspondientes y el producto
final.
56.600 , 5
× 125 , 8
45280 4 0 + 2 8300 2 5 11 3201 0 566005 7.120.342,90 1°. producto
2°. producto
3°. producto
4°. producto
producto final
5- Por último corremos la coma
tantos lugares como decimales
haya.
7.120.342,90
a- Mediante un plan de vacunación contra el sarampión se redujo la enfermedad en 1/5. Si 3/5
de la población estaba contaminada. ¿Cuánto falta por sanear?
b- El Centro de Orientación ocupa 5/8 del área total de la escuela. Si las áreas verdes ocupan 1/3
del área correspondiente al centro. ¿Cuánto queda disponible para las aulas y otros espacios?
56.600, 5 multiplicando
× 12 5,8 multiplicador
Sólo para arreglar
la escuela se necesitaron Bs.7.120.342,90
c- Un tanque contiene 7/8 de agua. Si se utilizan 2/4 en labores domésticas, ¿Cuánto queda?
d- La mezcla para pegar ladrillos utiliza 2/5 de arena y 3/5 de cemento. Si se le agregaron 3/4
de cemento ¿Cuánto cemento se le agregó de más?
Actividades
1- Efectúe las siguientes operaciones.
a- 3425,67 × 45,7 b- 1234,56 × 78,56 c- 23456,9 × 34,123
2- Investiga: ¿Por qué se llaman números decimales?
d- 4567,816 × 234,21
18
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 10
Semana 4
1- Ordena y efectúa las siguientes operaciones.
d) 564,56 x 56,123
h) 125.000,5 x 4,32
2- Resuelve los siguientes problemas
a- Un comerciante vende mensualmente 1849,5 kilos de verduras, ¿Cuánto es la venta mensual
en Bs.? Investiga el precio de 1kilo de verduras y resuelve.
b- En el arreglo de la entrada a la escuela se emplearon 25,5 metros de gravilla (piedras pequeñas). ¿Cuánto se invirtió en el arreglo? Investiga el precio de un metro de gravilla y resuelve.
3- Comenta y escribe:
a- El problema actual de la construcción
43
E.B.A.1. 5º S.
RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
(continuación)
EJERCICIOS
a) 3.456,35 x 3,4 b) 456,7 x 2.015,12 c) 443,24 x 26,8
e) 47.000,5 x 23,4 f ) 126.745,12 x 2,50 g) 45,231 x 3,45
MATEMÁTICA
Estudiemos ahora el segundo caso:
2- Fracciones con diferentes denominadores.
Para restar fracciones con diferentes denominadores
se emplea un procedimiento igual al utilizado para la
suma.
Analicemos el problema anterior.
Al poner a cocinar la lechosa (5/2 kg.) esta se redujo
en 1/3 kg. ¿Cuánto quedó de lechosa?
El problema consiste en restar
5 - 1
2 3
Para realizar esta operación transformamos las fracciones en otras que tengan igual denominador. En nuestro caso vamos a transformar las fracciones 5/2 y 1/3 en otras equivalente que tengan
igual denominador. Para ésto procedemos de la forma siguiente:
Denominadores
4- Comenta el siguiente refrán.
«Poco a poco se anda lejos»
1- Multiplicamos el denominador y el numerador de cada
fracción por un número, de tal forma que nos de como resultado
denominadores iguales. Esos números son: 3 y 2.
2- Multiplicamos los numeradores de cada fracción por el
número respectivo. Las fracciones se transforman en:
15/6 y 2/6
5 3- Resolvemos la operación aplicando resta de fracciones de
igual denominador.
Actividades
Efectúa la siguiente resta de fracciones con diferente denominador.
a- 5/6 - 2/3
b- 4/8 - 3/4
c- 7/3 - 8/6
d- 9/4 - 12/7
1 5 × 3 1 × 2 15 6 Numeradores
3 2 × 3 3 × 2 6 2 2 15 - 2 = 15-2 = 13
6
6
6
6
42
E.B.A.1. 5º S.
Semana 4
Semana 10
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
19
LA MULTIPLICACIÓN (continuación)
Otros casos
EJERCICIOS
1- Multiplicación por la unidad seguida de ceros
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 6/5 − 4/5
b- 8/7 − 5/7
c- 7/3 − 6/3
d- 8/2 − 5/2
e- 6/3 − 4/3
Existen otros casos de multiplicación cuyo resultado se
obtiene con una multiplicación sencilla. Nos referimos a
la multiplicación por las unidades seguidas de ceros.
Aquí vamos a estudiar dos casos:
1- Multiplicación por un número natural.
2- Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.
a- 6/2 − 1/2
b- 7/3 − 2/3
3- Reste las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.
2- Multiplicación por un número decimal.
Ambos casos los vamos a estudiar partiendo de un problema
concreto.
Pon mucha atención.
Una acción solidaria llevada a cabo por los vecinos de
«El porvenir» fue hacer un feria para recolectar fondos para
varias familias dagnificadas por las lluvias. Asistieron 1.245
personas y las entradas tenían un costo de Bs. 1.000. ¿Cuánto
recolectaron en la feria?
La operación que vamos a efectuar es:
1.245 × 1.000
– =
4- Resuelve los siguientes problemas.
a- 1/3 de los alumnos sacaron notas entre 10 y 12, el semestre anterior fue de 2/3. ¿Cuál es la
diferencia?
Para efectuar esta operación procedemos de la forma siguiente:
2- Agregamos los ceros que hayan después de la última cifra significativa (5).
1.245.000
Para resolver multiplicaciones siguiendo este procedimiento debemos hacer dos
consideraciones.
b- De toda la mercancía almacenada en una bodega, el maíz representa 3/4. Si los insectos dañan
1/4. ¿Cuanto queda de maíz?
1- Los ceros que estén intercalados no se agregan .
3203 × 300 = 3203 x 3 = 9609 -------------> 9.609 × 100 = 960.900
2- Si tenemos ceros en ambos términos se suman y se agregan al final
321300 × 400 = 3213 × 4 = 12852 -------------> 128.520.000
c- Para hacer café se ponen a calentar 3/6 de litros de agua. Si se evaporan 2/6 de litros ¿Cuánto
queda de agua?
d- Para hacer el café se emplea 2/8 kg. de café, si en el envase había 7/8 kg. ¿Cuánto queda?
1.245 × 1 = 1.245
1- Multiplicamos las cifras significativas.
Actividades
Efectúe las siguientes operaciones
a- 123 × 10
b- 345 × 100
c- 4563 × 1000
d- 1200 × 2300
e- 3450 × 1000
20
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 10
Semana 4
LA MULTIPLICACIÓN (continuación) Otros casos.
MATEMÁTICA
E.B.A.1. 5º S.
41
RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Para restar fracciones nos encontramos con los mismos
casos que en la suma.
Analicemos el primer caso
Caso 2: Multiplicación de las unidades seguidas de ceros por un número decimal.
En este caso se procede de la manera siguiente.
1- Fracciones con igual denominador.
Ejemplo 1: Multiplicar 124,34 × 10
1243,4
1- Corremos la coma a la derecha en el multiplicando (124,34 ) tantos
lugares como ceros haya (1)
Al poner a cocinar el dulce de lechosa el agua agregada
(7/3) se redujo en 2/3. ¿Cuánto quedó de agua?
Ejemplo 2: Multiplicar 234, 25 × 1000
1- Como la cantidad de decimales es menor que la cantidad de ceros
corremos la coma y agregamos los ceros restantes
Resolvamos el siguiente problema:
234250
Se trata de restar: 7/3 - 2/3
Veamos ésto en forma gráfica
7/3
EJERCICIOS
1- Ordena y efectúa las siguientes operaciones.
a) 35 × 10
f ) 55 × 6000
k) 1.254,25 × 100
b) 61 × 10
g) 2.300 × 40
l ) 45,68 × 10000
c) 169 × 1000
h) 2.000 × 1200
m) 45,67 × 50
d) 345 × 30
i ) 3.000 × 12.000
n ) 3.450,43 × 3000
e) 124 × 200
j ) 234,5 × 10
ñ ) 34,456 × 200
2- Resuelve los siguientes problemas
2/3
Fíjense que al restar 7/3 −2 /3 se obtienen 5/3, de aquí se deduce lo siguiente:
Para restar dos fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se escribe el denominador común. Es decir a/b - c/b = (a - c)/b.
Otros ejemplos:
a- La comunidad de «El Porvenir» tiene una unidad de consumo. Compraron al mayor 5255 kilos
de tomates. ¿Cuanto invirtieron en tomates?. Investiga el precio actual del kilo de tomates y
resuelve.
b- Si 100 familias aportan para la compra del tomate Bs. 825,50. ¿Cuántos bolívares aportaron
entre las cien familias?
3- Comenta y escribe:
« Un sólo grano no hace un granero »
5/3
8/4 - 6/4 = (8 - 6)/4 = 2/4
7/9 - 1/9 = (7 - 1)/9 = 6/9
Actividades.
1- Efectúe las siguientes sustracciones de fracciones.
a- 7/6 - 9/6
b- 5/7 - 4/7
c- 9/3 - 7/3
2- Representa gráficamente las fracciones anteriores y resuelve la resta de forma gráfica.
40
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Efectúe las siguientes operaciones.
MATEMÁTICA
Semana 5
Semana 9
21
E.B.A.1. 5º S.
LA DIVISIÓN
Dividir es compartir, distribuir o repartir en partes iguales.
Matemáticamente la división es la operación aritmética inversa a
la multiplicación. Se usan los siguientes símbolos: ÷ , × o /
a- 3/4 + 6/5
b- 5/7 + 8/8
En la división se estudian varios casos:
c- 6/5 + 7/3
1- División de números naturales.
2- División de un número natural entre un número decimal.
3- División de un número decimal entre un número natural.
4- División de números decimales.
d- 8/6 + 5/2 + 9/6
e- 6/4 + 4/3 + 5/3
2 - Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.
a- 1/2 + 1/4
b- 2/3 + 4/6
3- Sume las siguientes fracciones dadas en forma gráfica.
caso1 : División de números naturales.
Los números naturales son los números que utilizamos a diario
para contar. En base a esto vamos a analizar el siguiente problema
En la jornada de recuperación de la escuela de El Porvenir en un aula se encontraron 8 pupitres
deteriorados. Se asignaran 4 personas para recuperar dichos pupitres. ¿Cuántos debe reparar cada
uno si les toca igual cantidad?
En este problema se trata de repartir en partes iguales, o lo que es lo mismo dividir 8 entre 4.
Para realizar esta operación se emplea el siguiente procedimiento:
+ +
4- Resuelve los siguientes problemas.
1- Se escriben los números de la forma siguiente:
8
4
2- Se busca un número que multiplicado por 4
8
4
2
8
0
4
2
de como resultado 8 (2), colocándolo debajo del 4.
3- Hallamos la diferencia entre 2 × 4 y 8 (0) y la
a- 1/3 de los alumnos sacaron notas entre 10 y 12, 2/4 sacaron entre 13 y 16
y 1/4 entre 17 y 20. que fracción de los alumnos sacaron entre 10 y 20.
b- ¿Con cuantos envases de 1/4 de litro se llena otro de 2 litros?
colocamos debajo del 8
Solución: A cada persona le tocan 2 pupitres para reparar.
En una división cada elemento recibe un nombre
8 c- Un tanque de 1000 litros está lleno de agua, si se extrae 1/4 de tanque
¿cuántos litros se extraen?.
d- ¿Qué fracción es un billete de 10 de uno de 100?
0 Dividendo (D): Cantidad que se divide
Divisor (d): Número que divide
4
2
Cociente (c): Resultado de la operación
Residuo (R): Diferencia D - (c x d)
Actividades
Efectúe las siguientes operaciones:
e- ¿Qué fracción es una moneda de 500 de un billete de Bs. 2000?.
a. 4 /2
b. 6 /3
c. 8/2
d. 9/3
e. 9 /9
f. 8 /8
g. 4/4
h. 6/2
22
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 9
Semana 5
EJERCICIOS
SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS (continuación)
1- Ordene y efectúe las siguientes operaciones.
a)
9÷3
b)
8÷2
c)
f)
3÷3
g)
4÷4
h)
6÷3
6÷2
39
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
d)
8÷4
e)
2÷2
i)
7÷7
j)
9÷9
2- Resuelve los siguientes problemas
a- En un Centro de Orientación del IRFA los alumnos trajeron 9 libros para repartir en 3 cursos.
¿Cuánto le toca a cada curso?
b- Para pintar 3 salones de la escuela donde funciona un Centro de Orientación del IRFA se
emplearon 6 potes de pintura. ¿Cuántos potes se emplearon en cada uno?
Estudiemos el otro caso
2- Cuando los denominadores son diferentes. Aquí se
emplea un procedimiento diferente mas no difícil.
Vamos a tomar el problema anterior para estudiar este
caso.
Agreguemos 7/3 l de agua y hagamos la equivalencia:
1 kg = 1 l
Nos queda lo siguiente:
Azúcar 3/2 Kg , Lechosa 5/2 Kg. Agua 7/3 kg.Vamos
a encontrar el peso total de la mezcla.
El problema consiste en hallar la suma 3/2 + 5/2 + 7/3
Pongamos mucha atención a la explicación siguiente.
Para realizar esta operación transformamos las fracciones
anteriores en otras que tengan igual denominador. En nuestro
caso vamos a transformar las fracciones 3/2, 5/2 y 7/3 en
otras equivalentes que tengan igual denominador. Para ésto
procedemos de la forma siguiente:
Denominadores
1- Multiplicamos los denominadores por 2 y 3
respectivamente.
2- Multiplicamos los numeradores de cada
fracción por el número respectivo. Las fracciones
se transforman en:
9/6, 15/6 y 14/6
b- ¿Por qué debemos colaborar en el mantenimiento del centro?
6 3 5 15 c- 5/2 + 3/4 + 7/2
7
14
9 + 15 + 14 + = 9 + 15 +14 = 38
6 6 6
6
6
Efectúa la siguiente suma de fracciones con diferente denominador.
b- 4/8 + 3/4 + 5/6
6
3 × 3 5 × 3 7 × 2
Actividades:
a- 2/3 + 5/6
3
Numeradores
9 3- Resolvemos la operación aplicando suma de
fracciones de igual denominador.
2 2 × 3 2 × 3 3 × 2
6 3- Comenta y escribe:
a- ¿Qué ventajas tiene trabajar juntos?
2 d- 8/3 + 6/4 + 3/6
38
E.B.A.1. 5º S.
Semana 5
Semana 9
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Efectúa las siguientes operaciones.
Cuando el dividendo está compuesto de mas de una cifra.
Ejemplo:
Se dispone de 6352 libros para donarlos por igual a cuatro bibliotecas públicas.
¿Cuántos libros se le asignan a cada una de ellas?
Pongan mucha atención al siguiente procedimiento:
2- Efectúa la suma gráfica de las siguientes fracciones.
+
+
2/4
3/4
+
1/8
3/8
+
4/8
+
1- Se divide la primera cifra del dividendo (6) entre el divisor (4), es decir
se busca un número que multiplicado por 4 sea igual o menor que 6. En
este caso es el (1)
6’352
2- Se multiplica 1 x 4 y el resultado se resta de 6, colocando el resultado
(2) debajo del 6
6352 4
2
1
3- Se baja el número siguiente del dividendo (3) y se coloca junto al último
residuo (2) quedándonos 23. Esta cantidad la dividimos entre 4, buscando
un número que multiplicado por 4 sea igual a 23 o menor que él (5).
6352 4
23
1
4- Colocamos el 5 en el cociente a la derecha de 1 y multiplicamos 5 x
4 restando el resultado de 23, quedando 3.
6352 4
23
15
3
5- Continuamos de la misma forma, con cada número del dividendo,
hasta el final
6352 4
23 1588
35
32
4/4
+
LA DIVISIÓN (continuación)
Ya estudiamos la división de números naturales desde un punto de vista básico. A medida que
nos adentramos en el estudio de esta operación nos encontramos casos en los que hay que aplicar
otros procedimientos, tal es el caso que sigue a continuación:
a- 3/2 + 5/2
b- 7/8 + 8/8
c- 4/7 + 5/7 + 6/7
d- 8/9 + 1/9
e- 3/12 + 5/12 + 4/12 + 7/12
1/4
23
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
5/8
3- Resuelve los siguientes problemas.
a- Ramona fue al mercado para comprar los siguientes ingredientes para elaborar sus empanadas:
a- 3/4 kg. de carne molida
b- 2/4 kg. de queso blanco
c- 5/4 kg. de cazón.
¿Cuánto pesa la compra realizada por Ramona?
b- Los alumnos del sexto semestre estudian matemática en los siguientes intervalos de tiempo:
Marisol 1/2 hora, Ramón 3/2 hora, Jesús 6/2 hora y Rafael 5/2 hora. ¿Qué tiempo emplearon entre todos.?
En el caso de que la primera cifra del dividendo sea
menor que el divisor se toman las dos primeras y se
procede a dividir. Veamos un ejemplo:
13’52 4
1 5 338
32
0
Actividades
1- Investiga el salario mínimo actual de un trabajador y calcula el ingreso por semana.
2- Elabora un comentario acerca de la política salarial actual.
1
4
24
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Semana 9
Semana 5
E.B.A.1. 5º S.
37
SUMA DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 4.375
7
b- 7.224
6
c- 2.122
3
b- 2.950
5
e- 3.960
2
f- 4.712
8
g- 8.505
5
h- 2.940
3
2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.
a- 9.140 ÷ 6
b- 3.002 ÷ 8
c- 3.100 ÷ 9
d- 1.482 ÷ 9
e- 1.596 ÷ 5
f- 7.906 ÷ 3
g- 7.682 ÷ 7
h- 8.622 ÷ 9
i- 6.324 ÷ 2
j- 1.029 ÷ 7
Para sumar fracciones se emplean procedimientos diferentes a la suma de números enteros o naturales.
Al sumar fracciones nos encontramos con dos casos:
1- Cuando las fracciones tienen igual denominador.
2- Cuando las fracciones tienen diferentes denominadores.
Estudiemos el primer caso.
1- Suma de fracciones con igual denominador
Analicemos ésto resolviendo un problema.
Ramona compra lechosa y azúcar para hacer dulce, en las siguientes cantidades:
Azúcar
3/2 Kg
Lechosa
5/2 Kg.
3- Resuelve los siguientes problemas.
a- La cooperativa de El Porvenir ha ahorrado 9.456 Bs. en 3 meses: ¿Cuánto ahorró por cada
mes?
1/kg
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
1/kg
3/2
1/2 kg
1/2 kg
1/2 kg
5/2
8/2 kg
b- ¿Cuántas botellas de nueve litros se necesitan para almacenar 2.691 litros de agua?
c- Investiga el costo actual de la cesta básica y calcula cuánto deben aportar 8 personas de
una familia para cubrir dicha cesta en su totalidad.
4- Escribe y comenta:
Elabora un comentario personal acerca del alto costo de la vida.
Fíjense que al sumar 3/2 + 5/2 se obtienen 8/2, de aquí se deduce lo siguiente:
Para sumar dos o más fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se escribe
el denominador común. Es decir a/b + c/b = (a + c)/b. Esta fórmula se aplica para cualquier cantidad de fracciones.
Otros ejemplos:
2/5 + 8/5 + 6/5 = (2 + 8 + 6)/5 = 16/5
8/7 + 9/7 + 3/7 + 5/7 = (8 + 9 + 3 + 5)/7 = 25/7
Actividades.
1- Efectúe las siguientes sumas de fracciones.
a- 2/7 + 5/7
b- 8/9 + 10/9
c- 7/9 + 5/9 + 8/9
36
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
1- Representa gráficamente las siguientes fracciones.
a- 4/5
b- 2/3
c- 7/6
d- 5/4
e- 8/9
2- Coloca la fracción numeral correspondiente a las zonas indicadas.
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 6
Semana 8
25
LA DIVISIÓN (continuación)
Analicemos otra situación:
Cuando el divisor está compuesto por dos cifras.
Ejemplo:
Los alumnos del 7º semestre pretenden plantar 25 árboles en 6875 metros cuadrados de terreno.
¿Cuantos metros le corresponde a cada árbol?
La operación que se plantea es la división. Vamos a dividir 6875 ÷ 25
Pon mucha atención a la siguiente explicación.
1- Planteamos la operación 6875 ÷ 25
6875
25
2- En este caso se dividen las dos primeras cifras del dividendo (68)
entre el divisor (25), buscando un número que multiplicado por 25 se
aproxime a 68, en este caso 2, 2 x 25 = 50
68`75
25
2
3- El producto 2 x 25 =50 se resta de 68 (68-50= 18) colocándose debajo
del 68
6875 25
18
2
4- Se baja el número siguiente y queda 187. Dividido entre 25 es 7 porque
7 x 25 = 175, se resta de 187 (187 - 175 = 12) colocándose este número
debajo del 187 y el 7 en el cociente
6875 25
187 27
12
5- Bajamos el 5 y queda 125, dividiéndolo entre 25 nos da 5 ya que 5 x
25 = 125 quedando residuo 0.
6875 25
187 275
125
0
3- Raya las zonas correspondientes a las siguientes fracciones.
a- 3/16
b- 8/16
Si analizas con detenimiento los problemas que hemos resuelto verás que la división es un
proceso repetitivo aplicable para cualquier caso.
c- 9/16
1- DIVISIÓN
d- 7/16
4- Los participantes del 6° semestre compraron una pizza. ¿Qué valor le asignamos a cada pedazo
si cortan la pizza en 8 partes iguales?.
6 8’75
- 50
187
- 175
025
-025
000
25
275
2- MULTIPLICACIÓN
3- RESTA
Actividades:
1- Efectúe las siguientes operaciones.
a- 5732 ÷ 92
b- 3510 ÷ 45
c- 18147 ÷ 23
d- 16416 ÷ 36
e- 84720 ÷ 15
26
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
64
b- 6.486
75
c- 3.924
35
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 2.784
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 8
Semana 6
12
b- 4.008
32
Una forma de visualizar con mayor detalle es representar de forma gráfica las fracciones. En los casos anteriores
donde hicimos referencia a las fracciones:
3/2 , 5/2 y 7/3
e- 7.584
52
f- 7.500
15
g- 1.755
24
h- 4.580
25
Si queremos representar estas fracciones de manera
gráfica procedemos de la siguiente forma:
2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones
a- 9.456 ÷ 32
c- 1.4 88 ÷ 24
e- 2.665 ÷ 41
g- 1.950 ÷ 12
i- 3.787 ÷ 37
3/2
b- 1.818 ÷ 12
d- 6.075 ÷ 75
f- 1.378 ÷ 95
h- 4.551 ÷ 65
j- 3.276 ÷ 1 5
b- Por la venta del papel obtuvieron la cantidad de 233.190,00 Bs. Calcula:
El precio de un Kg. de papel.
Investiga el precio actual del papel y compara
- ¿Cuánto es la diferencia?
- ¿A qué se debe la diferencia?
4- Comenta:
¿Que importancia tiene para el ser humano el reciclaje de los materiales de desecho?.
5- Investiga una noticia del periódico que tenga que ver con la contaminación ambiental. Escríbela
en tu cuaderno y coméntala
unidades a dividir 2
partes de cada unidad La fracción 3/2 se expresa 3- Resuelve los siguientes problemas
a- En un proyecto de reciclaje se recogieron 2.591 Kg. de papel ¿ Cuántos Kg. recogieron los 30
alumnos del 7º semestre si cada uno recogió la misma cantidad?.
3
1
2
3
1/2
y se interpreta de la manera siguiente: de 3 unidades se toman en 2 partes iguales.
Se trata entonces de dibujar las unidades representadas por el numerador, y dividirlas en las
partes indicadas por el denominador.
Recuerde que una unidad es un objeto o una cierta cantidad de objetos .
1
5/2 2
1/2
1/2
1
7/3 1/3
3
1/2
2
3
1/3
4
1/3
5
1/2
4
1/2
5
1/3
6
1/3
1/3
7
1/3
Actividades:
1- Represente de forma gráfica las siguientes fracciones.
a- 3/4 b- 5/6 c- 1/8
2- Escriba la fracción correspondiente a los siguientes gráficos.
a.
b.
c.
34
E.B.A.1. 5º S.
Semana 6
Semana 8
MATEMÁTICA
EJERCICIOS
b- Dieciocho medios
Estudiemos esta situación
Cuando el dividendo es menor que el divisor.
Ejemplo:
La comunidad de El Porvenir desea editar un periódico
popular. La empresa encargada de editar el periódico gasta
72 mts. de papel para producir 96 periódicos. Queremos
saber la cantidad de papel que tiene cada periódico.
La operación que se plantea es la división. Vamos a dividir
c- Treinta y cinco séptimos
d- Nueve quinceavos
e- Siete veintiochoavos
27
E.B.A.1. 5º S.
LA DIVISIÓN (continuación)
1- Escriba en forma de fracción las siguientes situaciones.
a- Veinticinco cuartos
MATEMÁTICA
72 ÷ 96
Pon mucha atención a la siguiente explicación.
2- Escriba en forma literal las siguientes fracciones.
a- 2/5
f- 9/56
b- 6/17 g- 56/4
c- 3/7
h- 56/89 d- 4/35 i- 8/9
e- 7/34
j- 28/ 60 1- Planteamos la operación 72 ÷ 96
2- En este caso se agrega un 0 al dividendo y en el cociente
escribimos 0,
3- Completa las siguientes series de fracciones.
a- 1/3, 2/3,
b- 5/2, 5/3,
/
/
, 4/3, / ,5/3, /
, 6/3,
/
, 7/3,
, 5/5, / ,5/6, /
, 5/8,
/
, 5/10,
/
, 8/3
/
, 5/12
96
720
96
0,
3- Se procede a dividir tal como se ha explicado en párrafos anteriores.
Separamos las dos primeras cifras del dividendo (72). Como ésta es menor
que el divisor (96) se toman tres cifras. 7 x 96 = 672. Restamos de 720
quedando 720 - 672 = 48
720 96
48 0,75
4- Como el residuo es diferente de 0 se le agrega cero y se divide
720 96
480 0,75
0
4- Completa el siguiente texto colocando en el paréntesis la fracción numeral correspondiente.
1- Siempre que dividimos un número cualquiera en otro mayor
que el se comprueba que el cociente es un número entre 0 y 1.
El Número 0,75 está entre 0 y 1
2- Si el residuo es diferentes de cero se agrega 0 a éste y se
procede a dividir hasta obtener cero en el residuo.
En el Centro de Orientación El Porvenir un tercio (
) de la población son mujeres, de
esa fracción dos sextos (
) son mayores de 30 años, un sexto (
) están entre 18 y
30 años y tres sextos (
) de los participantes están entre 15 y 18 años.
5- Enumera algunas situaciones donde se utilicen los números fraccionarios.
72
Actividades:
1- Efectúe las siguientes operaciones.
a- 56 ÷ 92
b- 34 ÷ 45
c- 15 ÷ 23
d- 25 ÷ 36
Obtener los resultados con al menos dos decimales
d- 12 ÷ 15
28
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 8
Semana 6
EJERCICIOS
a-
50
64
b-
64
75
c-
8
12
b-
28
32
e-
46
52
f-
14
15
g-
18
24
h-
20
25
2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones.
behkn-
24 ÷ 50
72 ÷ 96
69 ÷ 80
54 ÷ 83
28 ÷ 60
c- 45 ÷ 59
f- 72 ÷ 80
i- 96 ÷ 99
l- 65 ÷ 73
o- 85 ÷ 98
Diariamente nos encontramos con problemas que no
necesariamente se resuelven aplicando números naturales
o números enteros. Existen situaciones donde debemos
emplear otro conjunto de números: las fracciones. Analicemos la siguiente situación.
Para hacer dulce de lechosa Ramona emplea los siguientes productos.
Azúcar
3/2 Kg
Lechosa
5/2 Kg.
Agua
7/3 l
Las expresiones 3/2 , 5/2 y 7/3 se leen «tres medios» ,«cinco medios» y «siete tercios» respectivamente. Estas expresiones son los denominados números fraccionarios.
Una fracción es un número de la forma a/b donde a y b son números enteros, con b diferente
de cero. a se llama numerador y b denominador.
La lectura correcta de las fracciones se hace de la forma siguiente:
3- Resuelve los siguientes problemas.
b- Para preparar un compostero se necesitan 50 metros cuadrados de madera. Si con 62 tablas
queda cubierto. ¿Cuánto mide cada tabla?
Investigue además:
- ¿Qué es un compostero?
- ¿Cual es la ventaja de utilizar este tipo de abono?
b- En una cooperativa para la fabricación de ropa infantil se emplean 22 metros de tela para
hacer 32 camisas. ¿Que cantidad de tela tiene cada camisa?
DENOMINADORES ENTRE 2 Y 10.
DENOMINADORES MAYORES A 10.
a / 2
a / 3
a / 4
a / 5
a / 6
a / 7
a / 8
a / 9
a / 10
a / 11
a / 12
a / 13
a / 14
a / 15
a / 16
a / 17
a / 18
a / 19
a medios
a tercios
a cuartos
a quintos
a sextos
a séptimos
a octavos
a novenos
a décimos
a onceavos
a doceavos
a treceavos
a catorceavos
a quinceavos
a diesiseisavos
a diecisieteavos
a dieciochoavos
a diecinueveavos
a e s u n n u m e ro n at u ra l
Las fracciones también se pueden representar como: a
b
4- Comenta.
- El costo actual de la ropa.
- Que podemos hacer para abaratar el costo de la ropa.
33
LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 40 ÷ 60
d- 10 ÷ 20
g- 15 ÷ 45
j- 23 ÷ 60
m- 56 ÷ 80
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Actividades
1- Enumera otras situaciones donde se usen las fracciones.
2- Escribe en forma literal las siguientes fracciones 1/7, 4/5 , 3/8, 9/21, 7/43, 8/16
3- Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones:
dos séptimos, cinco doceavos, nueve quinceavos, ocho novenos, seis treceavos.
4- Explique la siguiente expresión «En un salón de clase dos quintos son varones», de ejemplos.
32
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 7
Semana 7
LA DIVISIÓN (continuación) otros casos
LA DIVISIÓN (continuación)
División entre la unidad seguida de ceros:
Frecuentemente encontramos operaciones de división donde el divisor está formado por la unidad
seguida de ceros (10,100, 1000, 10000, ...). En estos casos no se aplican los procedimientos explicados anteriormente (aunque son aplicables), se aplica un procedimiento abreviado. Estudiemos dos
casos:
1- Dividendo entero
Se quiere dividir 2.345 mts. de terreno para sembrar 100 árboles frutales en cada lote. ¿Cuántos
metros le corresponde a cada árbol?
Corremos tantos lugares a la izquierda del dividendo como
ceros haya a partir de la unidad
2.345 : 100 = 23,45
2- Dividendo decimal
Se quiere dividir 2.564,5 kg. de basura en 100 bolsas plásticas ¿Cuántos kgs. caben en cada
bolsa?
Corremos tantos lugares a la izquierda del dividendo como
ceros haya a partir de la unidad.
2.564,5 : 100 = 25,645
2- Decimales en el dividendo.
Ejemplo:
En la Cooperativa de la comunidad compraron un artefacto a crédito. La deuda contraida es de Bs. 12.566,50 la
cual se debe cancelar en 4 cuotas iguales. ¿ Calcular el monto
de cada cuota?
La operación que se plantea es dividir 12.560,50 ÷ 4.
Para realizar esta operación se usan los procedimientos
explicados anteriormente. Pon mucha atención.
1- Planteamos la operación 12.566,50 ÷ 4
12.566,50 2- Tomamos las dos primeras cifras del dividendo (12) dividiéndola
entre 4
12.566,50 4
0
3
3- Seguimos el proceso hasta llegar a la unidad (6)
12.566,50 4
05
3141
16
06
2
4- Se procede a bajar la décima (5) al tiempo que se coloca (,) en el
cociente y se sigue dividiendo de la forma antes indicada.
12.566,50 4
05
3141,625
16
06
25
10
20
0
EJERCICIOS
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 4.056,8 ÷
e- 1.024,15 ÷
h- 150,8 ÷
k- 2.308 ÷
n- 5.646,6 ÷
60,9
20,5
45,6
10
10
c- 248,56 ÷ 50,8
f - 725,56 ÷ 96,1
i - 6.923,56 ÷ 8,5
l - 5.403 ÷ 100
o- 2.830,7 ÷ 100
d -458,9 ÷
g -7.234,6 ÷
j -9.620,45 ÷
m-6.508 ÷
p -8,5
÷
59,6
80,5
9,9
1000
1000
2- Resuelve los siguientes problemas
a- Un proyecto ecológico necesita 1.234,5 metros de terreno, al cual se le deben agregar 34,6 Kg
de abono orgánico. Queremos saber cuántos kg de abono hay que agregar por cada metro
de terreno.
b- En una cooperativa para la fabricación de ropa infantil se emplean 240 metros de tela para
hacer 10 docenas de camisas. ¿Que cantidad de tela se necesita para elaborar una docena
de camisas?
3- Investiga y comenta.
a- Focos de contaminación en tu comunidad.
b- Qué podemos hacer para solucionar esta situación.
c- ¿Qué sucede si el dividendo es menor que el divisor? Ej: 25 ÷ 100
29
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
4
Para realizar la operación anterior también podemos hacer lo siguiente:
Agregamos 0 al divisor y corremos la coma un lugar a la derecha en el dividendo, quedando la división expresada de la forma siguiente:
125.665,0 ÷ 40 = 125.665 ÷ 40
Actividades:
1- Efectúa la división anterior
a- 10.125,7 ÷ 5
b- 14.367,8 ÷ 8
c- 22.560,6 ÷ 2
d- 36.775,4 ÷ 4
e- 65.874,3 ÷ 3
Obtener los resultados con al menos dos decimales si la operación lo amerita.
30
.
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
Semana 7
Semana 7
EJERCICIOS
4
b- 6.456,9
e- 46.763,4
5
f- 14
E.B.A.1. 5º S.
MATEMÁTICA
LA DIVISIÓN (continuación)
3- Decimales en el dividendo y en el divisor.
1- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 23.456,7
31
5
15
c- 86.342,9
g- 18
2- Resuelve en tu cuaderno las siguientes operaciones
a. 31 85 ÷ 7
b. 328 ÷ 12
d. 12,615 ÷ 8
e. 1516 ÷ 10
g. 15,816 ÷ 9
h. 816 ÷ 15
j. 12 5,812 ÷ 5
k. 7.128 ÷ 14
m. 14,1 28 ÷ 7
n. 8.136 ÷ 16
24
2
b- 28.567,8
h- 20
c. 458,716
f. 128,315
i. 321,128
l. 725,108
o. 968,112
3
25
÷ 125
÷ 121
÷ 455
÷ 421
÷ 123
3- Resuelve los siguientes problemas:
a- Para preparar un terreno se necesitan 50 sacos de abono. Si el terreno tiene 125,7 hectáreas.
¿Cuánto sacos toca por hectárea?
¿Cuánto metros hay en una hectárea (1 Ha)?
b- En una cooperativa de artesanos se obtuvo de ganancia el año pasado Bs. 4.682.125,75. Si
son 12 socios ¿cuanto le toca a cada uno?
4- Comenta
La importancia de trabajar en cooperativa.
Analicemos este tema con un ejemplo:
La cooperativa de la comunidad El Porvenir encargada de
la producción de prendas de vestir, hizo un cálculo para
saber el costo de producción de un vestido llegando a
los siguientes resultados: Con 3,5 mts. de tela se hace un
vestido. Queremos saber la cantidad de vestidos que se
pueden hacer con 837,25 metros de tela.
La operación que se plantea es dividir 837,25 ÷ 3,5.
Para realizar esta operación se usan los procedimientos
explicados anteriormente. Pon mucha atención.
`
837,25
3,50
2- Para dividir dos números decimales se iguala el número de
decimales en el dividendo y en el divisor, añadiendo ceros donde sea
necesario.
83725
350
3- Dividimos de acuerdo al procedimiento utilizado cuando el divisor tiene mas de dos cifras.
837,25 350
1372 239,21
3225
750
500
1- Planteamos la operación 837,25 ÷3,5
Cuando tenemos una división de 2, 3 o más cifras en el divisor se usa un procedimiento
denominado «por tanteo» para hallar la cifra que vamos a colocar en el cociente. Ejemplo.
Dividir 83725 ÷ 35
Planteamos la operación
83’725
Tanteamos con 8 ÷ 3 = 2, este número se aplica ya que
2 × 35 = 70, menor que 83. En caso contrario se resta una
unidad al número encontrado y se procede a dividir.
83’725 35
13 7
24
Actividades:
1- Completa la división anterior.
2- Efectúa las siguientes operaciones.
a- 10.125,7 ÷ 5,6
b- 14.367,8 ÷ 8,9
c- 22.560,6 ÷ 2,8
35
d- 36.775,4 ÷ 4,6
Obtener los resultados con al menos dos decimales si la operación lo amerita.