Capítulo sobre funciones de una variable Real

UNIDAD VIII. FUNCIONES
[Nota: Se sugiere se utilice Geogebra de ser posible durante el desarrollo del siguiente capítulo,
particularmente para representar gráficamente los ejemplos de funciones, la composición de
funciones, mostrar en conjunto una función con su inversa y para construir geométricamente a
partir de su definición las funciones trigonométricas.]
8.1 Introducción
Una gran parte de las matemáticas y de las ciencias naturales está dominada por
relaciones entre magnitudes. En la naturaleza esto puede explicarse por que los distintos
objetos y fenómenos que observamos suelen estar relacionados unos con otros. El
hombre conoce desde hace tiempo las relaciones más sencillas de este tipo, y este
conocimiento se halla expresado en las leyes de la física, las cuales indican que las
diferentes magnitudes, aunque a veces aparentemente sean muy distintas, están tan
íntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas o
están en “función” de los valores de las demás. Una relación de este tipo se llama
relación funcional.
Ejemplos:
1. PRINCIPIO DE ARQÍMIDES
“Un cuerpo sólido al ser sumergido en un líquido, sufre una disminución de peso igual
al volumen del líquido desplazado”. La disminución del peso se interpreta actualmente
como una fuerza o empuje que el líquido ejerce sobre el sólido. Si llamamos F a esta
fuerza y P al peso del volumen del líquido desplazado, el principio de Arquímedes
queda expresado por la fórmula:
Tenemos un sólido sumergido en un líquido y podemos efectuar diversas mediciones.
Por una parte, mediante una balanza, podemos medir la diferencia entre el peso del
objeto cuando se halla fuera del líquido y cuando se encuentra dentro de él. Por otra
parte, podemos ver la diferencia entre el nivel del líquido cuando el sólido esta fuera y
dentro de él. Con esto podemos saber el volumen del líquido desplazado y pesar un
volumen igual de líquido. Obtendremos así dos magnitudes que quedarán expresadas en
números y cada uno de ellos los obtenemos por métodos diferentes. El principio de
Arquímedes nos dice que estos dos números, que no tenían por que guardar alguna
relación, si están relacionadas: ¡Los dos son iguales!
2. LEY DE LAS PALANCAS
“En una palanca en equilibrio:
Los pesos colocados
son sumamente proporcionales a las longitudes de los
brazos de las palancas
:
Aquí, nuevamente dos números que se pueden obtener por métodos diferentes
, resultan ser iguales.
Si fijamos
y tomamos para cada peso
la distancia a la cual debe colgarse
para que la palanca este en equilibrio. La relación entre
queda expresada así:
Siendo
una constante. En la expresión anterior se ve claramente cómo es
función de . Arquímedes, quien también descubrió esta ley, no llegó a expresarla en
esta forma y esto puede deberse a que los griegos no trabajaban con números reales,
sino sólo con magnitudes. Ellos sabían qué significaba multiplicar dos distancias: un
área. Pero ¿Qué significaba multiplicar dos magnitudes tan distintas como un peso y
una longitud?
3. LEY DE HOOKE
“El alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se ele cuelga”
Si representamos con el alargamiento de un resorte y por el peso que se le cuelga,
la ley de Hooke señala que existe un número que no depende del peso (sólo depende
del resorte) tal que para cada valor de , hay un único valor de determinado por la
fórmula:
Es decir,
es función de
.
4. LA LEY DE LA GRAVITACÓN UNIVERSAL (Newton)
“Dados dos cuerpos de masa de
con fuerza
y
situados en una distancia
entre ellos, se atraen
Donde
es una constante que no depende de , de
ni de ”. La fórmula anterior
expresa cómo está función de ,
y : a cada terna de valores, uno para , otro
para
y otro para , le asigna un único valor para F.
5. LEY DE CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS (Galileo)
“Supongamos que en un cierto instante un cuerpo que estaba reposo comienza a caer
por la acción de la gravedad. La distancia recorrida por el cuerpo en el tiempo esta
expresado por la formula
Donde
tiempo”
es la aceleración de la gravedad y es una constante que no depende del
La formula de la caída libre permite calcular el valor para cualquier valor dado de ,
es decir esta determinado por . También nos asegura que no depende la masa del
cuerpo (como creían los griegos).
Podemos también considerar el agrupamiento de una varilla metálica como función de
su temperatura, la presión de un gas como función de su densidad y de la temperatura,
etc.
En general, siempre que los valores de ciertas cantidades
están determinados
completamente por los valores de otras cantidades
A las cantidades
suele llamárseles variables dependientes y a los valores de
variables
independientes.
En la formula de las palancas, está expresada en función de . es la variable
independiente y es la variable dependiente, aunque también podemos considerar a
como variable independiente y a
como variable dependiente, por que
depende
también de : por cada valor de (distinto de cero) tiene un único valor determinado
por la fórmula
La formula de la caída libre expresa en función de , es decir, , es la variable
independiente y es la variable dependiente. ¿Se puede considerar a como la variable
independiente y a como la variable dependiente?, es decir, ¿Podemos expresar a en
función de ? La respuesta es No, si no restringimos los valores que puede tomar que
satisfacen la ecuación 5 a saber:
Sin embargo, la fórmula la caída libre es una ley física en la que la variable representa
el tiempo transcurrido desde que un objeto comienza a caer por la acción de la gravedad
y esta interdependencia física limita los valores que puede tomar
con esta
restricción, está completamente determinada por mediante la fórmula
Y así
es la variable independiente y es la variable dependiente.
Ejemplos:
a) A partir de un cartón cuadrado de 40 cm de lado hagamos una caja rectangular
sin tapa, de altura . Esto lo hacemos recortando cuadrados de igual tamaño en
las cuatro esquinas del cuadrado y doblando las cejas con el fin de formar los
lados de la caja.
40 cm
Las dimensiones de la caja serán:
.
El volumen de la caja será el producto de estas tres dimensiones:
Esta fórmula expresa como función de y es muy útil para encontrar cuáles deben
ser las dimensiones de la caja (cuál debe ser ) para que su volumen sea máximo. El
problema se resuelve con métodos de cálculo.
b) Tenemos que proyectar una lata de aceite en la forma de un cilindro circular
recto y se nos dice que debe contener un litro de aceite.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la tapa para que su manufactura requiera de la
mínima cantidad de metal?
Queremos que la superficie de la lata tenga área mínima. No es difícil encontrar una
formula para el área de dicha superficie en términos de radio de la lata y de su altura
. La tapa y el fondo de la lata son disco de radio . Consecuentemente el área de la
tapa es
y también es el área del fondo. Para hallar el área lateral de la lata
imaginémonos que la cortamos sin tapa no fondo desde arriba hasta abajo y después la
aplanamos para formar un rectángulo, como se muestra en la figura siguiente:
La altura del rectángulo es la misma altura de la lata, mientras que el ancho del
rectángulo es igual a la circunferencia de la lata que es
. El área de este rectángulo
es
y es el área lateral de la lata. Si es el área total de la lata, tenemos entonces
Cortamos la lata sin tapas
La aplanamos
que
Encontramos la superficie del rectángulo
Es decir
Hemos logrado expresar
.
en función de
y de
.
EJERCICIOS
1. Cada una de las siguientes ecuaciones describe la relación entre dos variables.
Decir en cada caso cuál es (o cuáles pueden ser ) la variable (o variables)
dependiente (s):
a)
b)
d)
f)
c)
e)
2. Dada la formula
a) ¿Cuáles pueden ser las variables dependientes?
b) ¿Qué restricción se le debe imponer a
ya
sea función de
3. ¿En cuáles de las siguientes relaciones se define
a)
b)
(y de
como función de
c)
y
)?
?
4. Una bola de boliche de 8 cm de radio está cubierta con una capa de hielo;
expresar el volumen de hielo como una función de espesor ( recordar que el
volumen de una esfera, el área es
)
5. Expresar el área de un tetraedro como función de su arista.
8.2 Formas de definir una función
La dependencia de con respecto de por medio de una función (regla funcional) , es
indicada por la expresión
y suele escribirse
es
alguna expresión que nos indican como están relacionadas las variables
y
es
decir, nos explica como se le asocia a cada valor de un único valor de . Por eso
también usaremos la notación
Para indicar que
es el valor asociado a
por la función o regla de
correspondencia Si, por ejemplo, escribimos
con ello queremos
decir que depende de y que esta dependencia esta expresada mediante la función o
regla que a cada valor de
le asocia el único valor
Así al valor de
, f le asocia el valor de
si
, valdrá
y si
valdrá
. Note que no es variable, sino que es una regla
que relaciona dos variables.
Si escribimos
, sobreentendremos que
que a cada le asocia el valor
, es decir
Si y es una función de las variables
.
depende de
mediante una función
mediante una función f, se escribirá
Ejemplos:
a) La formula para el volumen de la caja que construimos con un cartón de 40 cm
pos lado,
expresa el volumen de una caja en función de su
altura . Estas cantidades están realcionadas mediante la función o regla de
correspondencia que a cada valor de le asocia un único valor de dado por
la siguiente fórmula:
Esta fórmula es una expresión algebraica de la función . Podemos escribir
simplemente
, para indicar que depende de y que
es
el volumen de la caja cuando su altura vale , por ejemplo:
Si
y * representan números
(a) Cuando
.
b) La formula para el problema del cilindro:
Indica que
es una función . Si escribimos
Queremos decir con ello que
es una función de y que las variables y están
relacionadas mediante una función que asocia a cada valor de (distinto de cero) un
único valor de dado por la formula.
La función
se puede expresar mediante la formula algebraica
Se tiene también
c) En el plano cartesiano con ejes X y Y (conjunto de parejas
tenemos un punto
con
, donde
Demostremos ahora una regla de correspondencia o función que asociará a cada
número real
distinto de
un único número real
Tomemos un número real
cualquiera
y diremos como le asociaremos un número perfectamente definido
por Nuestra función será la regla que a cada le asocia
Sea entonces un número real distinto de
plano.Sea la recta que pasa por
y
Sea
El punto
es un punto del eje X en el
. intersecta al eje Y en un único punto
Si hacemos variar por todos los reales, menos al real variará dependiendo de
mediante la función expresada por medio de construcción que hicimos.
No es difícil convencerse de que esta función
puede también expresarse
algebraicamente. Dado el punto ( ), la ecuación de recta que pasa por los puntos
es
Esta recta intersecta al eje Y cuando
. Pero en este caso
Así que:
Por lo tanto:
es la expresión algebraica para .
Vemos entonces que una función puede expresarse de maneras diferentes.
Definición. Función es una regla que asocia a cada elemento de un cierto conjunto
un único elemento de un conjunto . Al conjunto suele llamársele dominio de la
función y al con junto codominio o contradominio de la función.
Para indicar que
es una función con dominio y codominio , se escribe
. a veces escribiremos Dom y Cod para diferirnos al codominio.
Ejemplos:
a) La función
al que para cada
. Aquí
cualesquiera. Esta función es llamada función identidad en
es un conjunto
b) si
, la función
tal que para cada
se llama la inclusión
de en
c) Si
y son conjuntos no vacíos y
podemos definir una función
tal que para todo
. Tal función es llamada función constante
d) Si
es una función
, entonces también es función
tal que
para toda
. Esta función se llama la restricción de a y se
denota por
.
Ahora, dada la función
La
naturaleza de los conjuntos
y
está
estrechamente relacionada con la regla de correspondencia .
El dominio de una función debe ser un conjunto tal que si , mediante la función, un
elemento bien definido y único del codominio.
Ejemplos:
1. Si es la función dada por la formula
Donde
y
son número reales y
y toman valores reales, no sabemos
mediante dicha fórmula que valor real de le corresponde al valor
de esta
suerte, si el codominio es
, el dominio no pude ser
pues
no esta
relacionada con ningún elemento del codominio, es decir,
no esta en el
dominio.
2. Las leyes de la naturaleza no siempre son ciertas para todos los valores de las
magnitudes que en ella aparecen. Por ejemplo, la ley de Hooke que expresa que
el alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se le cuelga
sólo se cumple, si el peso
es relativamente pequeño. Cuando ponemos un
peso demasiado grande la ley no se cumple, si el peso es excesivo, incluso se
rompe el resorte. Sólo podemos asegurar que la ley es válida en un cierto
intervalo: cuando
varía entre 0 7 10 Kg, por ejemplo. En este caso la función
que a cada
le asocia el alargamiento
, no tiene sentido si
o si
Así que esta función tiene un dominio que está contenido en el
intervalo
3. La formula
expresa el área de la superficie de un lata en
función de su radio Dicha área es un número real, así que el codominio de
esta función es un subconjunto de
, ya que en está penada la división entre
cero y se impone la restricción
Además, como representa la longitud de
una lata real y no puede tomar valores negativas, el dominio de la función debe
estar contenido en el conjunto
.
Como se ve, restricciones algebraicas y físicas suelen limitar el dominio y el codominio
de una función.
Aunque generalmente la descripción de una función incluye una definición de su
dominio y de su codominio, en cálculo, en donde se trabaja casi siempre con números
reales, suela no mencionarse explícitamente el dominio y el codominio de las funciones.
Esto se debe al que el dominio puede ser bastante claro según el contexto o el problema
que estamos resolviendo y el codominio casi siempre es . Por ejemplo al resolver el
problema de construir un caja de volumen máximo a partir de un cuadrado de cartón de
lado 40 cm. Esta formula es la expresión algebraica de una función que asigna a cada
altura un volumen . La regla
,
Independientemente de la interpretación física de
, tiene sentido para cada numero
real (es decir, si el dominio es , no hay restricciones algebraicas). Pero nuestro
problema, representa una longitud y por lo tanto, no puede tener un valor negativo.
También como el cartón es de 40 cm de lado, es imposible recortarle cuadrados en las
esquinas de más de 20cm de ancho. Estas limitaciones físicas implican que debe tener
un valor entre 0 y 20 cm.
Entonces si no se mencionan explícitamente el dominio y codominio de , supondremos
En este problema que el codominio es el y el dominio es el intervalo:
En cálculo es usual hacer la siguiente convención, que algunos autores conocen con el
nombre de regla del máximo dominio:
“El dominio de cualquier función que se nos presente como una fórmula algebraica para
números reales fuera de cualquier contexto físico determinado, suponemos
automáticamente que consta de todos los elementos posibles para los cuales tiene
sentido la formula, a menos que sean mencionadas explícitamente restricciones
adicionales “
Por ejemplo, ¿Cuál es el dominio de la función dada por la fórmula
En esta formula hay dos consideraciones de tipo algebraico que afectan los posibles
valores de .Primera, el denominador no puede ser igual a cero y, segunda, la cantidad
bajo el signo del radical no puede ser negativa. Estas condiciones se deben cumplir para
poder calcular
a partir de .
Combinadas estas condiciones nos dicen que
debe ser positiva
Pero,
Por lo tanto,
debe ser escogido de tal suerte que
Lo cual se satisface si y sólo si
En el primer caso las dos desigualdades pueden escribirse como
Y en el segundo caso, las dos desigualdades son equivalentes a estas otras
Que, juntas representan una contradicción.
Así los únicos valores que puede tomar en el presente ejemplo, son los descritos por
las desigualdades
Es decir, el intervalo (-2,3) es el dominio máximo de la función .
Finalmente observamos que
(¿Por qué?) y la pregunta es
¿para todo
existe
tal que
?
Veamos: para
y
se tiene que
Y esta última ecuación
Lo cual es equivalente a
y esto último es valido si y sólo si
y como tenemos la condición de que
o
, entonces
,
tendrá
solución sólo si:
y por lo tanto el conjunto
Es igual a
A este conjunto se le conoce como la imagen de . En general tenemos la siguiente
definición.
Sea
una función al conjunto
se le llama la imagen de
Ejercicios:
1. Use la regla
para encontrar
a)
d)
c)
b)
e)
2. Use la regla
a)
e)
3. La regla
para calcular
b)
c)
d)
f)
g)
h)
tal que
¿Es función? Si lo es, encuentra
4. Sean:
y
Diga cuáles de las siguientes reglas son funciones (en este problema esta denotado por
a alguna regla entre los elementos de A y los de C, aunque no sea función).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5. Determinar el dominio máximo de cada una de las siguientes funciones:
a)
c)
b)
d)
g)
f)
Hallar la imagen de las siguientes funciones:
a)
b)
8.3 Igualdad de funciones
Supongamos que
y que
, es la función que a cada
natural par le asocia el entero . Si cambiamos el dominio de esta regla, a en vez de
deja de ser función dado que
y no le asocia ningún entero.
Análogamente, si cambiamos el codominio, aunque la regla de correspondencia y el
dominio permanezcan iguales , la función cambia o incluso la relación deja de ser
función: por ejemplo:, la función:
que a cada
le asocia el número ,
deja de ser función si en vez de ponemos a como dominio.
Ahora, ¿Por qué no son iguales las funciones
y
dadas por
?. Porque tienen, en cierto modo, propiedades distintas. Por ejemplo,
puede ser “partida”, en el sentido de que podemos formar una nueva función
dada por
codominio.
, y esta construcción no se puede hacer con
sin alterar su
Así que dos funciones que no tengan el mismo dominio, o no tengan el mismo
codominio, aun teniendo la misma regla de correspondencia, para nosotros serán
diferentes.
Definición: Dos funciones,
y
son iguales si
si para cada
Ejemplos:
Las funciones
y
definidas por
Y
Son iguales ¿Por qué?
8.4 Gráfica de Funciones
A menudo es necesario en matemáticas y en las ciencias, construir gráficas de función
que se expresan mediante algunas formulas algebraicas.
Hablaremos de las gráficas de funciones reales de variable real (funciones con dominio
y codominio en . Resulta útil hacer los dibujos en el plano cartesiano
de estas
gráficas
con sus ejes ,perpendiculares: el primero que representa los valores de la
variable independiente y el otro que representa los valores de la variable dependiente.
La gráfica de una función entonces un conjunto
Aclaremos cual es.
Definición. Sean
y
Una función. La gráfica de es el conjunto
de
puntos
del plano, con
y
.
Podemos obtener una interpretación geométrica de la gráfica de las funciones reales,
localizando en un sistema de coordenadas, los elementos de la gráfica de la función.
Ejemplos:
1. Sea
la función dada mediante la siguiente regla:
Por ejemplo,
por que 4 letras tienen la palabra tres.
La gráfica dela función es:
Y su interpretación geométrica son los puntos que se muestran en la figura.
2. Sean
y
dada por
. Los elementos de la gráfica de
son:
Algunos elementos de
3. Sea
se ilustran en la siguiente figura:
a de g es
Algunos elementos de
1
1
se pueden obtener haciendo la siguiente tabla:
2
3
0
-1
-2
2
3
0
1
2
-3
3
Localicemos estos puntos en el plano, los restantes elementos de la gráfica
los suponemos situados en la semirecta que unen los puntos
localizados y “Dibujamos” la gráfica de , como una línea continua que une estos
puntos:
En general, dibujar la gráfica de una función no es sencillo, y con sólo las ideas que
hemos
dado
se
pueden
cometer
serios
errores,
como
se
list
a en el siguiente ejemplo:
Construyamos la gráfica de la función dada por la fórmula:
Una tabla de valores para y
1
2
es la siguiente:
3
0
1
En la siguiente figura se exponen dichos puntos.
-1
-2
-3
Al unir los puntos marcados con una línea continua obtenemos la gráfica:
Sin embargo si calculamos
para el valor
, obtenemos
. Esto
contradice estrepitosamente nuestro dibujo. Trazando muchos más puntos de la
gráfica podríamos observar con más precisión la forma de ella, que es más o menos
así:
Aunque marcamos muchos puntos de la gráfica, nunca podríamos estar tan seguros
de saber si nuestro dibujo se acerca siquiera a la verdadera gráfica de la función.
Como subconjuntos de
, las gráficas pueden tener muchas formas, pero no todo
conjunto de puntos en el plano es la gráfica de una función. Por ejemplo considere
el siguiente ejemplo, considerando el siguiente conjunto:
Este conjunto se representa en el plano por medio de una circunferencia con centro
en (0,0 ) y radio .
Este circulo no es la gráfica de ninguna función ya que si existiera una función
la cual fuera la gráfica, entones:
de
Ahora bien, los puntos (2,1) y (2,1) están en el círculo por que satisfacen la ecuación
Esto quiere decir que
y
al estar en , son de la forma
. Por lo tanto
y
y este hecho ruin contradice
nuestra definición de función, según la cual
debe tener un único valor bien
definido. Así que
no es la gráfica de ninguna función real . Sin embargo, el
semicírculo superior
Es la grafica de
, con dominio
. Análogamente, el
semicírculo inferior es la gráfica de
también con dominio máximo
.
Ejercicios:
1. Demuestre que las funciones
dados por
y
Son iguales.
2. Trace aproximadamente las gráficas de las siguientes funciones, si suponemos
que su dominio es .
a)
c)
b)
d) g(x)=
3. Trace las gráficas de las siguientes funciones
A)
B)
C)
D)
E) La siguiente gráfica representa una función con dominio en
dicha función
F) Dibuje las graficas de cada una de las siguientes funciones:
Encuentre en
G) Haga un dibujo de la gráfica de las siguientes ecuaciones. Entonces aplicando el
criterio de la recta vertical, decida si esa gráfica representa o no una función.
a)
b)
c)
d)
Actividad complementaria:
La siguiente actividad tiene como objetivo reforzar el concepto de función así como su
representación gráfica y analítica se sugiere se trabaje en Geogebra de ser posible:
Enunciado de la actividad:
“Dado el perímetro de un rectángulo ¿cuántos rectángulos que tengan ese perímetro
existen? “ En el caso particular de que el perímetro de un rectángulo sea igual a 12 cm
¿puede representar gráficamente y algebraicamente todos los perímetros que cumplan
dicha condición? ¿Todos los perímetros con el mismo perímetro tienen también la
misma área?
Solución:
Se puede pensar en un segmento rectilíneo que mida 6 cm de longitud, que representa
en general el semiperímetro de todos los rectángulos buscados; dicho de otra forma,
para que un rectángulo tenga perímetro igual a 12 cm, la suma de sus lados (largo mas
altura) debe ser igual a 6 cm.
En Geogebra se puede proceder, construyendo primero un rectángulo dinámico que
represente a todos los rectángulos con perímetro igual a 12 cm, para esto, dibuje
primero un segmento
que mida 6 cm (como se muestra en la figura), posteriormente
coloque un punto “C” intermedio en el segmento que pueda mover libremente; los dos
segmentos (en la figura
) representan las posibles longitudes de los lados de los
rectángulos buscados.
Construya usando como medidas de referencia los valores de
; un rectángulo
dinámico (GHED), deberá observar que si modifica la posición del punto “C” en el
segmento original, el rectángulo cambiará de forma y dimensiones, pero su perímetro
seguirá siendo 12 cm, Esto porque
.
Solicite al software que le muestre el área del rectángulo GHED; como ya se dijo, si
mueve el punto “C” a lo largo del segmento
, el rectángulo modificará sus atributos
de longitud de lados y también de área, sin embargo el perímetro permanecerá fijo en 12
cm; lo cual significa que el área es función de la longitud de los lados ¿cómo
representamos esto gráficamente?
Sobre el sistema de referencia (plano cartesiano) Transporte sobre el eje de las abscisas
con ayuda del compás, la longitud de uno de los lados,
por ejemplo, esta es la
variable independiente; también con el compás sobre el eje de las ordenadas transporte
ahora el área del rectángulo GHED, esta es la variable dependiente; por medio de rectas
paralelas a los ejes, encuentre la intersección de los valores de longitud de lado con
área; este punto es el que describe el lugar geométrico que representa la función área del
rectángulo. Con el comando lugar geométrico trace dicho lugar, obtendrá una curva
abierta en forma de “U” parecida a las parábolas estudiadas en el capitulo VII
(geometría analítica) ¿cómo demostrar que el lugar geométrico obtenido es una
parábola?
Procedemos a “algebrizar” los datos y condiciones del problema (capítulo IV, lenguaje
algebraico); designemos como “x” por ejemplo a la longitud de la base del rectángulo, y
como “y” a la longitud de la altura (en nuestro caso,
); se puede expresar:
(Condición del perímetro)
Aparentemente, el área depende de dos variables “xy” sin embargo, la expresión del
perímetro, nos permite expresar una de las variables en términos de la otra, esto es:
Con la última expresión, denotamos que el área es función exclusiva de la longitud de
uno de los lados (en este caso, la base, a la que denominamos como “x”) y que
efectivamente el lugar geométrico que describe cómo varía el área es una parábola, por
el tipo de expresión que obtuvimos (capítulo VII, parábola).
Adicionalmente, y sin meternos aún en terrenos del cálculo diferencial, se puede
observar en la gráfica, que el mayor valor de área que se obtiene es 9, y esto sucede
cuando el largo es igual al ancho, (
Esto significa que de todos los
rectángulos con perímetro fijo, el de mayor área es siempre el cuadrado.
8.5 Composición de Funciones
Definición Sean
dos funciones. La composición de con ,
denotada por o , es la función o
tal que
o
.
Notemos que:
1) Del hecho que y sean funciones, podemos asegurar que o también lo es,
esto es, la regla o tiene las propiedades que definen una función.
2) Dadas cualquieras dos funcione o o s
y , no necesariamente se puede
ahablar de la función composición o , como lo muestra el siguiente ejemplo:
esta dada por
y
es tal que
, entonces si aplicamos la definición anterior sin detenernos a reflexionar un
momento diríamos que
es la “Función” dada por (
. Sin embargo, al considerar
tendríamos que o
, es decir, esta “función” no asocia a -1 n en ningún
número real e contradicción con nuestra definición de función.
Entonces, dadas las dos funciones
y ¿Cuándo vamos a poder hablar de
o
?
.
Ejemplos:
1. Consideremos
y esta dad por
dada por
definida por
. Entonces
– 1 y
y esta
Particularmente
¿Se podría definir
o
? ¿por qué?
2. Como antes, sea
Podemos definir las funciones
tal que
y
y
dadas por
y las reglas que la definen son:
A partir de este último ejemplo puede observarse que la composición de
funciones no es conmutativa.
Algunas propiedades que sí satisface la composición de funciones son las
siguientes:
1. Sean
asociativa.
Funciones. Se cumple que
, esto es, la composición de funciones es
En efecto, sea
2. Sea
(a) Sea
(b)
Entonces
cualquier función, se cumple que:
La demostración de esta afirmación es un ejercicio.
Ejercicios
1. Sea P el conjunto de palabras del idioma español y sea
dadas por
la
función
definida
por
Obtenga
(a)
(b)
2. A continuación se dan las reglas de correspondencia de funciones y .
Siguiendo el criterio del “dominio máximo” de definición, determinar si se
puede (n) definir
y/o
y en este caso de que así sea determinar su
dominio, codominio y regla de correspondencia.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3. Defina dos funciones
tales que
4. Investigue alguna condición para que :
que
(¿Cómo debe ser y ?)
e
son funciones, se cumpla
8.6 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
Estamos ahora interesados en clasificar a las funciones en base a ciertas propiedades
que les sean características.
Sean
el conjunto de las personas que trabajan y que perciben un salarios.
Consideramos la función
definida como sigue:
Esta función tiene sus “particularidades”, entre ellas la más “desagradable” es que nos
convierte a muchos en “gentes del montón”. Esto ocurre sencillamente por que, un gran
número de elementos de , tiene la misma imagen, o sea, ganan el mismo salario. Por
ejemplo,
.
Otro ejemplo:
que tiene depositado su dinero en el “Manhatan
City Bank of U. S. A”, y
(la
es de ricos) la función tal que
.
Por las características de la función,no puede ocurrir que más de un elemento de
tenga igual imagen, pues sería catastrófico para Don Miguel E. Templos que al tratar de
retirar “sus lanas”, Don Jorge Díaz C. se le hubiera adelantado(si pudiera tener el
mismo número de cuenta).
Son particularmente importantes las funciones que tienen la propiedad del último
ejemplo. A ellas les daremos un nombre.
Definición: Una función:
se dirá inyectiva si elementos distintos de tienen
siempre imágenes distintas, esto es
Ejemplos:
1.
2.
3.
4.
5.
Sea
definida por
es inyectiva. En efecto, si
por siguiente
y por lo tanto
Mas generalmente, dados
“lineal”
dada por
. Afirmamos que esta función
, entonces
y,
.
fijos, la función
, es inyectiva pues si
y como
se
concluye que
.
En cambio ninguna función cuadrática de tipo
con
puede ser inyectiva, dado que cualquiera que sea
, tenemos
que
, y si
.(demuestrelo)
La función identidad
es claramente inyectiva( ¿está usted
de acuerdo?). análogamente , si
La función inclusión
dada por
es inyectiva.
En cambio la función valor absoluto
dada por
no
es inyectiva; por ejemplo
. Pero se define
como
entonces
sí es inyectiva¿ puede usted,
explicar por qué?
Dada la función
puede comprobarse si es o no inyectiva observando ssu
gráfica, de la siguiente manera:
Si alguna recta horizontal corta
en más de un punto, dicha función no puede ser
inyectiva y recíprocamente.
Para ver que esto es cierto, recordemos que
Y que cada recta horizontal es un conjunto de puntos en el plano de la forma
,
donde
y
es constante. Estas rectas pueden representarse analíticamente
mediante la ecuación
. Si una tal recta corta a
en más de un punto, se tendrán
un par de puntos distintos
de
en la recta; por lo tanto dichos
puntos deben satisfacer que sus segundas coordenadas deben ser iguales al número ,
esto es
con
por lo cual no es inyectiva.
Recíprocamente, supongamos que
no es inyectiva. Esto significa que existen
tales que
. Entonces la recta horizontal que pasa
por
contiene por lo menos estos puntos .
Según este criterio, la funciones cuya gráfica es la siguiente puede ser inyectivas:
He aquí algunas de las propiedades importantes de las funciones inyectivas
Teorema:
(a)
(b)
Demostración:
(a) Sean
tales que
; queremos concluir que
. Para esto apliquemos y obtenemos
, que es
equivalente a
, y puesto que
es inyectiva,
debe tenerse
, como pretendíamos.
Sean nuevamente
tales que
esta igualdad es,
por definición, equivalente a
y como es inyectiva,
debe ser
y como también lo es,
Ejercicios
Determinar cual de las siguientes funciones son inyectivas:
(a)
(b)
(c)
(d) Si
, la función
tal que
Construya ejemplos donde
(a) F o g sea inyectiva y f no lo sea
(b) F sea inyectiva y f o g no lo sea
(c) G sea inyectiva y f o g no lo sea.
Determinar si
dada por
Es inyectiva.
Sea
que:
una función inyectiva. ¿Puede encontrar x1, x2 R para los que se cumpla
(a) x1<x2
y
(b)
?
¿Por qué?, ¿qué puede concluir de su respuesta?
Descomponga la función
descomposición de dos funciones
no es inyectiva, ¿Cuál de las dos,
dada por
, esto es, tal que
ó
, como la
.
no es inyectiva?
Funciones suprayectivas
A manera de comentario previo, estudiemos la siguiente función: sea A el conjunto de
casas administradas por el INFONAVIT y B el conjunto de personas con derecho a
tener una de estas casas. Sea
la función con regla de correspondencia:
Propietario (legal) de a.
Nos preguntamos: ¿ocurre que cada elemento de B es imagen de algún elemento de A?,
esto es, ¿cada persona con derecho a tener una de estas casas la tiene? Ustedes saben
que no es así.
Una situación distinta se da en el siguiente ejemplo: sea A el conjunto de personas para
que aun vive su madre y sea B el conjunto de mujeres que tienen hijos vivos. Si
es la función tal que
madre de a, en este caso si ocurre que dado
cualquier
, existe
se empña en negar esto.
con
. Por cierto que una expresión muy nuestra
Las funciones con esta propiedad se llaman funciones suprayectivas. Precisamos esto
por la siguiente definición.
Definición Una función
sobreyectiva) si para cada
.
se dirá que es suprayectiva ( o función sobre o
, puede hallarse
con la propiedad de que
Los siguientes ejemplos son principalmente funciones con dominio y codominio
subconjuntos de R, esto es así porque las funciones que estudiaremos con mas detalle en
este capítulo.
Ejemplos:
1. La función
definida por
es no suprayectiva porque para
cada cualquier
,
. Así, no existe
tal que
, a pesar de que
codominio de .
2. Sea ahora
dada por
. Igual que en los ejemplos
anteriores, nos interesa investigar si esta función es o no suprayectiva. Con este
propósito observemos que
. Analizando
los factores
podemos ver que:

,

Y también que


;
Se infiere aquí que si
, ambos factores son positivos y que si
factores son negativos. Así que:
si
ó
si
, ambos
y
.
Pero

y
y
,
Es decir, hemos demostrado que
y por tanto,
que esta función no es suprayectiva.
3. Definimos aquí una función con la misma regla que en el ejemplo 1, a saber,
, pero ahora elijamos el codominio de como , así
. La
función así definida es ahora suprayectiva, claramente (¿o no?).
Este último ejemplo muestra que el codominio de una función influye de manera
importante para que esta sea o no suprayectiva. De esto podemos ver lo
importante que es, que en la definición de una función no solo se dé la regla de
la asociación, sino que también se den el dominio y condominio de la función.
Igual que para las funciones inyectivas, tenemos un “método” geométrico que nos
permite decir cuándo una función
es sobreyectiva, éste es como sigue: si la
grafica de , , es tal que cualquier recta horizontal la corta en al menos un punto,
entonces es sobreyectiva y viceversa.
Justifiquemos esta afirmación: Sea
cualquier número real. Suponiendo que
cualquier recta horizontal corta a , queremos hallar un
tal que
. Con
este propósito, consideremos la recta horizontal
. Como esta recta corta a ,
existe un punto
de la recta, que está en . Por lo tanto,
y
por ende
, como queríamos.
Si ahora
es sobre y es la recta horizontal dada por
. Con esto, el punto
está en
y
, existe
tal que
. Coincidimos que corta a
.
Por ejemplo, si
no es sobre: la recta
no la corta
Dos propiedades sobresalientes que cumplen las funciones sobreyectivas, las
establecemos en el siguiente teorema:
Teorema
(a)
es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
(b)
Demostración:
(a) Sea
cualquiera, queremos encontrar
Sabemos que
es sobre, así que exite
tal que
es el elemento buscado.
Ejercicio
1. Considere la función
dada por
Decida si esta función es sobreyectiva y /o inyectiva.
2. Estudie la gráfica de para decidir
(a) Si es inyectiva
, y puesto que
(b) Si
Donde
es sobreyectiva
esta dada por
3. De un ejemplo de funciones , tales que
4. Comprobar que la función cuadrática
, no es suprayectiva.
5. Analiza si la función
definida por
suprayectiva.
es suprayectiva y
dada por
no lo es.
es inyectiva y/o
Funciones biyectivas
Como se ha visto, hay funciones que son:
(a) Inyectivas pero no suprayectivas:
(b) Suprayectivas pero no inyectivas:
dada por
(c) No suprayectivas y no inyectivas:
dada por
(d) Suprayectivas y suprayectivas:
Las funciones
dada por una regla de
.
Definición.Una función
se dirá biyectivasi es suprayectiva e inyectiva.
La definición anterior puede también establecerse diciendo que una función
des biyectiva si y sólo si para cada
existe un único
tal que
.
Las funciones de
en
dadas por una regla
son
funionesbiyectivas.
8.7 Función inversa
Sea
una función. Consideremos la siguiente regla para asociar elementos de con
elementos de
“Si
le asociamos un elemento
que tenga la propiedad de que
”
Esta regla evidentemente no siempre define una función; depende de las características
de . Por ejemplo, si es no suprayectiva, hay al menos un elemento
tal que
. En este caso de acuerdo con nuestra regla que define una función, no ocurre
que cada elemento de tenga asociado uno de . Ahora, si es suprayectiva pero no
inyectiva, existen dos elementos distintos
en
que cumplen que
.
Conforme nuestra regla, a
debemos asociarle
y también , con lo que la
regla que estamos considerando tampoco define una función.
Supongamos ahora que
es suprayectiva e inyectiva, es decir biyectiva. Entonces
nuestra regla define una función porque:
1. Para cada
siempre existe
tal que
, es el asociado de .
2. El
asociado a
es único puesto que si
y por lo tanto
, ya que
y
son asociados de ,
es inyectiva.
La siguiente definición resume los anteriores comentarios. Suprayectiva
Definición. Sea
, una función biyectiva. La función
, definida
mediante la regla
donde es tal que
, se llama la función inversa
de y la denotaremos por
A manera de ejemplo, si
es cualquier función, también lo es
definida igual que , esto es,
es siempre suprayectiva, de tal
suerte que si
es inyectiva,
es biyectiva y entonces existe
.
Podemos también, en algunos casos, restringir el dominio de una función
a
un subconjunto
de tal manera que se tenga una función inyectiva
y si
es también suprayectiva, se tienen las condiciones para le existencia de
. Ejemplifiquemos esto:
Sea
cada
definida por
. Esta función es suprayectiva (para
existe al menos una raíz cuadrada), pero no es inyectiva; recordemos que
.
Sea ahora
Recordemos que si
y
. Afirmamos que
entonces
.
es inyectiva.
Además también es suprayectiva. Ya que para cada
existe
tal que
.
es asíbiyectiva y existe
.
La regla algebraica que define a
es
Cuando se estudian funciones con dominio y codominio subconjuntos de , si una
función
Es tal que existe
, es útil conocer alguna formula algebraica que defina a
. En
algunas ocasiones esto puede obtenerse “despejando” de la ecuación
. Por
ejemplo, si
es la función dada por
, es biyectiva y por
consiguiente existe
. Obtenemos la formula que define
como sigue:
Y
es la fórmula buscada.
Como otro ejemplo, si
Está dad por
biyectiva. Luego existe su invesrsa
,
correspondencia la obtenemos ”resolviendo” para la ecuación
cuya
regla
es
de
Y por lo tanto
Si
gráfica de
Si
es una función biyectiva, obtenemos la grafica de
como sigue:
a partir de la
El caso particular en el que y son subconjuntos de , en un sistema de cordenadas
cartesiano lo anterior significa que para cualquier punto
en la grafica de
, existe un punto
en la gráfica de
que es simétrica a con respecto a la recta
. Se obtiene entonces
reflejando
con respecto a la recta
como si
esta fuera un espejo.
La siguiente figura ilustra esta afirmación.
Ejercicios:
1. Determine, si existe, la inversa de la función
dada por
(denotemos por
el conjunto de los números naturales pares).
2. Sea
(a) Encuentre
(b) Evalúe
(c)
encuentre
3. Si la regla de correspondencia para una función
es
, pruebe que si
y
, existen las
inversas de
. Determine una fórmula para éstas y trace su gráfica.
4. Una función
se dice monotona creciente si
Demuestre que si es biyectiva y monotona creciente entonces
monotona creciente.
5. Si
es una función, demuestre que
es también
8.8 TEMA ESPECIAL: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
ÁNGULOS EN RADIANES
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son las que se establecen con los ángulos agudos y los lados de un triángulo rectángulo.
La medida de los catetos de un triángulo rectángulo, cuando la hipotenusa es constante
(por ejemplo, en el caso de que sea el radio de una circunferencia, como se observa en
la siguiente figura), depende o está en función del ángulo.
Si el ángulo aumenta, el cateto opuesto aumenta también, pero el cateto adyacente
disminuye.
La longitud de los catetos es la variable dependiente; el valor del ángulo es la variable
independiente.
FUNCIÓN SENO DE UN ÁNGULO
f ( )  sen ( )

Ángulo en radianes
sen ( ) 
La relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa; como la hipotenusa
es constante y vale uno; simplemente es el valor del cateto opuesto.
NOTA:
Los ángulos no necesariamente son números positivos, un ángulo negativo es aquel que
se mide en sentido de las manecillas del reloj; tampoco es necesario que el ángulo valga
entre cero y 360º; por ejemplo se puede hablar de un ángulo de 2300º.
2300
6
360
(6)360  2160 2300  2160  140
En este ejemplo, se concluye que un ángulo de 2300º equivale a un ángulo de 140º; el
punto sobre la circunferencia después de dar seis vueltas, y lo que resta para 2300º,
queda en la misma posición que si simplemente se hubiera recorrido desde el inicio
140º.
sen (2300º )  sen (140º )
En general nos damos cuenta que cada 360º; la función seno vuelve a tomar los mismos
valores, por ejemplo:
sen (361º )  sen (1º ); sen (400º )  sen (40º ); sen (500º )  sen (140º ); etc.
La función seno es una función periódica, y su periodo es igual a un ángulo de 360º= 2
2300º=115/9; 140º=7/9; por lo tanto:
sen(115/9)=sen(7/9)
El dominio de la función seno son todos los números reales, porque un ángulo puede
tomar el valor de cualquier número real.
Df  x  
Df  (, )
El contradomino de la función seno es cualquier número real del intervalo
La función seno toma su máximo valor en

2
y su mínimo valor en
3
2
 1,1
FUNCIÓN COSENO:
Se define como la función con variable independiente un ángulo medido en radianes y
con variable dependiente, el cociente del cateto adyacente de un triángulo rectángulo
entre su hipotenusa. Como la hipotenusa es constante (radio de una circunferencia) y
vale la unidad, simplemente se grafican los valores del ángulo en radianes contra la
longitud del cateto adyacente, obteniendo la siguiente gráfica:
Su Dominio son todos los números reales, (-,∞); en otras palabras, existe el coseno de
cualquier ángulo, recordando que un ángulo puede ser cualquier número real.
Su contradominio es el intervalo [-1,1]; significa que el coseno de un ángulo lo menos
que puede valer es -1 y lo más que puede valer es +1; esto se debe a que el cateto
adyacente lo más que puede llegar a valer es igual a la hipotenusa (radio del círculo); y
lo menos que puede llegar a valer es cero.
El coseno de un ángulo será positivo siempre que se encuentre en el intervalo [0,90º); es
 
 3

decir 0,  ; también dentro del intervalo (270º,360º]; es decir  ,2  .
 2
 2

Por otro lado, el coseno de un ángulo será negativo, si cae en el intervalo (90º,270º); es
  3 
decir  ,  .
2 2 
La función coseno es periódica, con periodo igual a 2; la única diferencia con la
función seno, es que existe un desfase entre ambas.
Las funciones seno y coseno se intersectan en su gráfica; para el intervalo
0,2 ;
 
se cruzan por primera vez en un ángulo de 45º   ; y se vuelven a cruzar en 225º
4
 5 
 .
 4 
Expresándolo como funciones que son evaluadas en esos valores de su dominio:
 
 
 
  1
f ( x)  sen( x); g ( x)  cos( x); f    g  ; cos   sen  
2
4
4
4
4
1
 5 
 5 
 5 
 5 
f    g  ; sen   cos   
2
 4 
 4 
 4 
 4 
¿En qué valor las funciones seno y coseno vuelven a valer
1
?
2
Como sabemos que las funciones son periódicas con periodo igual a 2; basta con
agregarle el periodo al valor del ángulo en el que son iguales; por ejemplo si sabemos
1
 
 
que sen   cos  
; entonces para saber cuando vuelven a valer lo mismo
2
4
4
ambas funciones:

9 9
17
 2 
;
 2 
; etc
4
4 4
4
También funciona hacia la izquierda:

7 7
15
 2  
;
 2  
; etc.
4
4
4
4
FUNCIÓN TANGENTE
Se define como la relación que existe entre el ángulo medido en radianes y el cociente
del cateto opuesto entre el cateto adyacente al ángulo.
A diferencia de las funciones seno y coseno, es fácil notar que el cateto opuesto puede
ser muchas veces más grande que el adyacente o muchas veces más pequeño, por lo
cual no debemos esperar un comportamiento similar a las funciones seno y coseno; ya
que la función tangente sí podrá tomar valores mayores que la unidad o menores que -1.
Otra observación importante es que el dominio de la función tangente no puede ser el de
todos los números reales, ya que como se ha visto para la función coseno, para ciertos
ángulos, el cateto adyacente se hace cero, entonces al ser la tangente el cociente de
cateto opuesto entre adyacente; la tangente no existirá para esos valores.
f ( x)  tan( x)
tan  
b
a
La gráfica de la función tangente también es periódica, con periodo igual a ; es una
función siempre creciente, conforme el ángulo aumenta, el valor de la función también
aumenta.
La función tangente no está definida en

2
; porque se dispara al infinito positivo y
negativo.
El dominio de la función tangente, como ya se dijo, no son todos los números reales, se
deben excluir del dominio los valores en los que el cateto adyacente valga cero; dicho
de otro modo, si el coseno de un ángulo es cero, la tangente de ese ángulo no está
definida; por lo cual los valores que se deben excluir son:
  9  7  5  3    3 5 7 9 
,
,
,
,
, , , ,
,
,...
...,
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 

El dominio de la función tangente se puede expresar entonces de la siguiente forma:
Df  x  
Excepto
(2k  1)
; k  0,1,2,3,4,...
2
Para el caso del contradominio de la función tangente, como ya se ha mencionado, va
desde -∞, hasta +∞; por lo cual se puede afirmar que son todos los números reales.
En otras palabras, y aunque suena contradictorio, no existe la tangente de cualquier
número real, pero cualquier número real puede ser la tangente de un ángulo.
En la anterior gráfica, se puede observar que para los valores de ángulo en que la
función seno vale cero: (0,
, la función tangente también vale cero, mientras
que los valores de ángulo en los cuales coseno vale cero: (
, la función
tangente no está definida.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
Una vez que se definen las tres funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente); a
partir de cada una de ellas, se puede definir una nueva función, que será la función
recíproca.
Si la función seno fue definida como aquella que relaciona el ángulo en radianes con el
cociente del cateto opuesto entre la hipotenusa; definiremos una nueva función:
La función cosecante de un ángulo, se definirá como el cociente de la hipotenusa entre
el cateto opuesto.
Si la función coseno fue definida como el cociente entre el catato adyacente y la
hipotenusa; ahora definimos una nueva función:
La función secante se define como la que tiene de variable independiente el ángulo
medido en radianes y de variable dependiente el cociente entre hipotenusa y cateto
adyacente.
Si la función tangente se definió como el cociente entre cateto opuesto y cateto
adyacente, se define a partir de esta la función:
La función cotangente es la recíproca de la tangente y se define como el cociente del
cateto adyacente entre opuesto.
NOTA IMPORTANTE:
Se sugiere que sea muy específico con los estudiantes en la diferencia que existe entre
las funciones trigonométricas recíprocas (secante, cosecante y cotangente) y las
funciones inversas de las funciones trigonométricas (arcoseno, arcocoseno y
arcotangente) muchas veces representadas de forma equivocada como
. Recuerde que la función inversa por ejemplo de la función seno,
(según la definición de funciones inversas dada en este capítulo), es otra función que
toma como valores de su dominio números en el intervalo
; y regresa como valor
de la función o contradominio, el ángulo cuyo seno equivale al valor tomado.
Tal confusión se debe en buena medida a que las calculadoras tienen representada la
tecla para calcular la inversa de una función trigonométrica como elevada al exponente
(-1), lo cual es un error de notación.
Actividad:
Haga un análisis de las funciones recíprocas (secante, cosecante y cotangente) y
establezca: Dominio, contradominio, periodo, intervalo en que es creciente, intervalo en
que es decreciente, máximo y mínimo valor que puede tomar.