Análisis dimensional - Aula Virtual FCEQyN

Cátedra de Modelización y Simulación de Procesos
Carreras de Ingeniería Química e Ingeniería en Alimentos
Apunte de
Análisis Dimensional
Escrito por: Pedrozo, Alejandro
Revisado por: Rosenberger, Mario.
2015
Facultad de Ciencias Exactas. Químicas y Naturales- Universidad Nacional de Misiones
Cátedra de Modelización y Simulación de Procesos
Análisis dimensional
FCEQyN. UNaM
Análisis dimensional
El Ingeniero Químico es un profesional que utiliza sus conocimientos sobre los procesos de
manufactura para el diseño, construcción y operación de plantas industriales. Para esto,
debe tener la capacidad de investigar y entender procesos físicos y químicos para la
conversión de las materias primas en productos finales. Además, debe poder reconocer
cuales son las variables más importantes que se encuentran involucradas en el proceso,
para definir las magnitudes de estas, con el fin de lograr la calidad del producto final al
menor costo.
Entre las herramientas más poderosas para cumplir tal objetivo, se encuentra la
Modelización. Esta permite estimar los resultados de las diferentes operaciones unitarias,
mediante la Simulación del proceso global para determinadas magnitudes de las variables
involucradas.
Entonces, la modelización es una descripción en lenguaje matemático de un proceso en el
mundo físico, que se utiliza para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, debido a que
condensa el conocimiento en fórmulas matemáticas, como lo expreso Galileo de forma tan
bonita, el libro de la Naturaleza está escrito en caracteres matemáticos.
Ahora bien, para el desarrollo de un modelo es necesario reconocer las variables
involucradas en el proceso, para establecer relaciones entre estas. Los modelos
matemáticos formulan hipótesis o conjeturas sobre dichas relaciones, las traduce al
lenguaje matemático y resuelve las ecuaciones obtenidas por el método más apropiado. No
obstante, en ocasiones el número de variables que intervienen en el proceso es
relativamente grande, por lo cual el desarrollo de un modelo matemático puede resultar
inviable, siendo una mejor alternativa recurrir a un modelo físico.
Un modelo físico reproduce el proceso a estudiar, en una escala conveniente, para el
desarrollo de experimentos que proporcionen información acerca del proceso real a
modelar. En general, son utilizadas cuando la complejidad matemática del problema es
grande y los fenómenos físicos involucrados no son bien conocidos, de manera que pueden
simular los resultados de un proceso complejo en determinadas condiciones de operación.
Sin embargo, no es viable en cuestiones de tiempo y costo la realización de experimentos
para todo el dominio de variables involucradas en sus correspondientes rangos, por lo que
resulta necesario una técnica de análisis para la interpolación y predicción de los resultados
en condiciones de operación no ensayadas. Para esto, existen desarrollos estadísticos, así
como el análisis multivariable y el análisis factorial, los cuales son una buena herramienta
para hallar correlaciones entre las variables involucradas. No obstante, sus resultados
Alejandro Pedrozo
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Análisis dimensional
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pueden no ser aplicables a otras escalas de trabajo, resultando más apropiado el uso del
análisis dimensional para la búsqueda de correlaciones y estimación de resultados.
El análisis dimensional utiliza la consistencia dimensional para agrupar las variables
involucradas en el proceso, en números adimensionales. De esta forma se reduce el número
de variables y la tarea de experimentación. No obstante, la dificultad matemática
incrementa para el desarrollo de correlaciones. En la actualidad, se han resuelto muchos
problemas utilizando estos modelos, como resultado se obtuvieron varios números
adimensionales que ya son de uso común, en la siguiente tabla se muestran los más
importantes.
Número adimensional
Símbolo
Significado
Reynolds
Re
Fuerzas inerciales/ fuerzas
viscosas
Match
Ma
Velocidad del objeto/
velocidad del sonido
Froude
Fr
Fuerzas de inercia/ fuerzas
de gravedad
Weber
We
Fuerzas de inercia/ tensión
superficial
Prandtl
Pr
Difusión de movimiento/
difusión de calor
Grashof
Gr
Fuerzas de flotación/
fuerzas viscosas
Nusselt
Nu
Transferencia de calor por
convección / transferencia
de calor por conducción
Para realizar un análisis dimensional, en principio se debe seleccionar un sistema
superabundante de unidades para expresar todas las variables en términos de esta. Entre
las dimensiones fundamentales se encuentran la longitud (L), la masa (M) y el tiempo (t),
aunque dependiendo el problema puede estar involucradas otras unidades como la
temperatura (T) o unidades eléctricas. Además, es importante saber que existen variables
que son independientes y otras que son dependientes, y poder reconocerlas para manejar
en forma adecuada los grados de libertad.
Alejandro Pedrozo
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En segundo lugar, es necesario agrupar dichas variables en números adimensionales. Para
esto existen distintos métodos, entre los cuales se destaca el método de Rayleigh y el
método de Buckingham. Posteriormente se procede a la construcción de las curvas que
correlacionan las variables adimensionales.
Método de Rayleigh
Este método consiste en igualar la productoria de las variables involucradas, cada una
elevada a un exponente, e igualar el resultado a la productoria de las dimensiones elevadas
al exponente 0, es decir a 1. Esto se puede observar en la ecuación siguiente.
∏
∏
Donde vi es la i-ésima variable involucrada en el proceso, ei es su exponente (el cual se
quiere determinar), n es el número de variables involucradas, D j es la j-ésima dimensión del
sistema superabundante y m es el número total de dimensiones.
Entonces, se puede plantear un sistema de m ecuaciones con n incógnitas para hallar los
exponentes de las variables involucradas. Es frecuente encontrar que n>m, por lo cual es
necesario escoger n-m exponentes, para poner a los demás en función de estos. Una vez
resueltas las ecuaciones, se agrupan las variables en números adimensionales.
Este método es adecuado cuando el número de variables es relativamente bajas, debido a
que para un alto número de variables el sistema de ecuaciones a resolver resulta más
complejo y la cantidad de cálculos necesarios aumentan.
Método de Buckingham
Este método consiste en elegir tantas variables como dimensiones haya (m variables) para
encontrar con cada una de las demás variables (n-m) un número adimensional. Para esto,
cada variable del grupo elegido se eleva a un exponente para obtener que las productorias
sean iguales a un grupo adimensional. Esto se puede observar en la ecuación siguiente.
∏
∏
Donde vi es la i-ésima variable seleccionada, ei es su exponente (el cual se quiere
determinar), vk es la k-ésima variable no seleccionada (hay n-m variables en total), n es el
número de variables involucradas, Dj es la j-ésima dimensión del sistema superabundante y
m es el número total de dimensiones.
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Como se puede observar, en este método no es necesario resolver un sistema de
ecuaciones indeterminado, debido que para todos los casos el número de ecuaciones debe
ser igual al número de variables. Además el sistema a resolver tiene menos incógnitas que
el método anterior, sin embargo presenta como desventaja que dicho sistema debe
resolverse tantas veces como números adimensionales haya.
Problema 1
A continuación se procede a ejemplificar los métodos para hallar números adimensionales,
se proponen el siguiente ejercicio:
-
Se quiere determinar el flujo másico que fluye a través de una tubería, cuya sección
transversal es circular y uniforme. Las variables físicas involucradas son el flujo
másico (Q), la diferencia de presión por unidad de longitud (ΔP), la densidad del
líquido (ρ), la viscosidad del líquido (μ) y el diámetro del tubo (D).
Hallar los números adimensionales:
o Utilizando el método de Rayleigh
o Utilizando el método de Buckingham.
Solución por el método de Rayleigh
En el siguiente cuadro se muestran las variables involucradas en el proceso con sus
respectivas dimensiones:
Variable
Flujo másico
Diferencia de presión por unidad de longitud
Densidad del líquido
Viscosidad del líquido
Diámetro del tubo
Símbolo
Q
ΔP
ρ
µ
D
Dimensiones
Mt-1
ML-2t-2
ML-3
ML-1t-1
L
Para resolver el problema por el método de Rayleigth se debe cumplir que:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
Para:
Alejandro Pedrozo
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(
( )
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)
(
)
Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene:
(
) (
(
)
(
(
(
)
)
)
)
(
)
La ecuación anterior representa que el caudal es una función del producto entre la
viscosidad, el diámetro y una función del número adimensional
obtenido. Además
aparece el símbolo φ y el símbolo α, los cuales representan un factor de proporcionalidad y
un exponente respectivamente, que deben ser obtenidos de manera empírica.
Solución por el método de Buckingham
Ahora se procede a resolver el mismo problema pero por el método de Buckingham. En
principio se tiene la siguiente matriz, donde se ubican las dimensiones en las filas y las
variables en las columnas. De esta matriz es necesario elegir una sub matriz de 3x3, la cual
constituye las variables seleccionadas para encontrar los números adimensionales. Es
importante destacar que la matriz seleccionada debe tener un determinante distinto de 0,
debido a que en caso contrario el sistema de ecuaciones no tiene solución y no es posible
obtener los números adimensionales.
Q
ΔP
ρ
μ
D
M
1
1
1
1
0
L
0
-2 -3
-1
1
t
-1 -2
-1
0
0
Alejandro Pedrozo
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FCEQyN. UNaM
Entonces se elige la siguiente matriz, la cual se observa tiene un determinante distinto de 0.
μ
ρ
D
M
1
1
0
L
-1 -3 1
t
-1 0
0
|
|
Los números adimensionales a encontrar son los que se muestran a continuación.
Para π1
(
)
(
)
(
)
( )
Así se obtienen los resultados de los exponentes y el primer número adimensional.
Para π2
(
Alejandro Pedrozo
)
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(
)
(
)
( )
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De esta forma se obtienen los mismos números adimensionales que por el método de
Rayleigh:
(
(
)
)
(
)
Otra solución
A pesar que por ambos métodos se obtuvieron los mismos números adimensionales, es
posible que los números hallados sean diferentes, pero que también proporcionen una
solución al problema. Por ejemplo a continuación se plantea el mismo problema resuelto con
el método de Rayleigth, pero se encuentran resultados diferentes.
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
Para
(
(
)
)
(
)
Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene:
(
) (
(
Alejandro Pedrozo
)
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(
)
)
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(
)
(
)
(
)
Si bien en este caso los números adimensionales obtenidos pueden carecer de sentido
físico, aun así pueden resultar útiles para hallar correlaciones para describir el proceso en
estudio. Se propone como ejercicio al lector que intente hallar otros números
adimensionales pero utilizando el método de Buckingham.
Problema 2
Se procede a resolver otro ejercicio, el cual resulta más complejo debido al mayor número
de variables involucradas en el proceso. Sin embargo, en este se puede ver como el análisis
dimensional se puede utilizar para estudiar fenómenos tan complejos como la naturaleza de
la transferencia de calor por convección forzada y natural.
-
Cuando tanto los efectos de la convección natural como los de la forzada deben ser
tenidos en cuenta, el coeficiente de transferencia de calor en un fluido (h), depende
de la velocidad de éste (u), una longitud lineal característica (L), viscosidad ( μ),
densidad ( ρ), conductividad (k) y calor específico (Ce) de la fase en movimiento, el
incremento de temperatura en ella ( ΔT), el coeficiente de expansión cúbica ( β) y la
aceleración de la gravedad (g). Establecer los módulos adimensionales que
intervienen en el proceso. Dato: Tomar el producto β·g como una única variable.
Aclaración: la dimensión H significa energía.
Hallar los números adimensionales:
o Utilizando el método de Rayleigh
o Utilizando el método de Buckingham.
Solución por el método de Rayleigh
En el siguiente cuadro se muestran las variables involucradas en el proceso con sus
respectivas dimensiones:
Variable
coeficiente de transferencia de calor
Velocidad
Longitud característica
Densidad
Viscosidad
Símbolo
h
u
Lo
ρ
µ
Alejandro Pedrozo
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Dimensiones
HL-2t-1T-1
Lt-1
L
ML-3
ML-1t-1
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Conductividad térmica
Calor específico
Diferencia de temperatura
Efecto de la gravedad en la convección
libre
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HL-1t-1T-1
HM-1T-1
T
Lt-2T-1
K
Ce
ΔT
βg
Para resolver el problema por el método de Rayleigth se debe cumplir que:
(
(
)
)
(
(
)
( )
)
(
(
)
)
(
(
)
)
Para
Se escogen las letras a, b, g, i como base para expresar los demás coeficientes
(
)
(
(
)
)
(
)
(
(
)
)
Entonces se reemplazan los exponentes y se obtiene:
(
(
Alejandro Pedrozo
) (
) (
)
)
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Análisis dimensional
(
)
(
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)
(
)
(
)
Así se obtienen los siguientes números adimensionales:
(
)
Estos tienen la característica que presentan un significado físico, para mayor información
sobre el tema se recomienda al lector buscar en la bibliografía. 1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Solución por el método de Buckingham
Ahora se procede a resolver el mismo problema, pero esta vez por el método de
Buckingham.Se tiene la siguiente tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y
las variables en las columnas.
h
u
Lo ρ
µ
K
Ce ΔT βg
H
1
0
0
0
0
1
1
0
0
M
0
0
0
1
1
0
-1 0
0
L
-2 1
1
-3 -1 -1 0
0
1
t
-1 -1 0
0
-1 -1 0
0
-2
T
-1
0
0
1
-1
0
0
-1
-1
En este caso se observa que no se debe elegir la siguiente matriz debido a que su
determinante es igual a 0.
1
Incropera, F. P., &DeWitt, D. P. (1999). Fundamentos de transferencia de calor. Pearson Educación.
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Análisis dimensional
u
Lo
ρ
µ
ΔT
H
0
0
0
0
0
M
0
0
1
1
0
L
1
1
-3
-1
0
t
-1
0
0
-1
0
T
0
0
0
0
1
|
|
FCEQyN. UNaM
|
|
Se escoge otra matriz cuadrada diferente, la cual sí presenta un determinante distinto de 0,
para realizar el análisis dimensional.
Lo
ρ
µ
K
ΔT
H
0
0
0
1
0
M
0
1
1
0
0
L
1
-3
-1
-1
0
t
0
0
-1
-1
0
T
0
0
0
-1
1
|
|
|
|
De esta forma se pretende obtener los siguientes grupos adimensionales.
Para π1
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(
( )
) ( )
(
)
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(
)
(
)
Para π2
(
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) ( )
(
)
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(
)
(
)
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(
)
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Para π3
(
( )
) ( )
(
)
(
)
(
)
Para π4
(
Alejandro Pedrozo
) ( )
(
)
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(
)
(
)
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(
)
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Entonces, con todos los números hallados, se puede establecer la correlación para hallar en
coeficiente de transferencia de calor por convección.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Problema 3
Existen casos en los cuales una de las variables involucradas en el proceso ya es un número
adimensional, por lo que surge la pregunta, ¿en qué número adimensional agrupo esta
variable? La respuesta a esta pregunta es que dicha variable constituye un grupo
adimensional individual. A continuación se muestra un ejemplo con la situación descripta
anteriormente.
-
La velocidad de filtrado (u) de una suspensión de partículas finas de sólido depende
del diámetro de las partículas (d), de las propiedades físicas del fluido, de la
diferencia de presión a través de la torta de filtrado (ΔP) y de la porosidad de la torta
de filtrado (ε). Expresar la relación entre estas variables en forma de números
adimensionales.
o Por el método de Buckingham.
Solución por el método de Buckingham
Se tiene la siguiente tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y las variables
en las columnas.
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Análisis dimensional
ΔP u
ρ
μ
D
ε
M
1
0
1
1
0
0
L
-1
1
-3
-1
1
0
t
-2
-1
0
-1
0
0
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Se procede a elegir la siguiente matriz, la cual se observa que presenta un determinante
distinto a 0.
μ
ρ
D
M
1
1
0
L
-1
-3
1
t
-1
0
0
|
|
Así, se propone hallar los siguientes números adimensionales:
Para π1
(
Alejandro Pedrozo
)
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(
)
(
)
( )
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Para π2
(
)
(
)
(
)
( )
(1)
(2)
(3)
Así se obtienen los siguientes números adimensionales:
(
)
De donde se puede hallar una correlación para estudiar la velocidad de filtrado:
(
)
(
)
Similaridad
En esta parte del apunte se estudia una de las más importantes aplicaciones del análisis
dimensional, la aplicación al diseño de modelos para describir los prototipos. En principio, se
entiende por modelo al experimento físico que se utiliza para el estudio del proceso
(reproducción del proceso en una escala conveniente), mientras que el prototipo se refiere
a la construcción física donde se lleva a cabo el proceso.
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El estudio del proceso físico en los modelos resulta de gran utilidad para el Ingeniero. Esto
se debe a los costos de operación y al tamaño de los equipos que se tiene en cada caso, no
es lo mismo estudiar una reacción química en un tanque de 10 litros, que en un prototipo
de 100 litros. Además, gracias al modelo se pueden evitar errores futuros en la construcción
del prototipo. Por otro lado, a pesar que es común que el modelo sea más pequeño que el
prototipo, puede darse el caso inverso, lo cual sirve para el estudio de procesos con
microorganismos y flujo capilar, por ejemplo.
De lo anterior surge la pregunta, ¿Cómo sé que el modelo representa al proceso que se
llevará a cabo en el prototipo? La respuesta a esta pregunta surge de un análisis de
similaridad. Si el modelo puede representar el proceso del prototipo, estos resultan
similares.
Según la bibliografía2, para que un modelo y un prototipo sean similares se debe cumplir
que exista:



Similaridad geométrica
Similaridad cinemática
Similaridad dinámica
Similaridad geométrica
Se refiere a que el modelo este diseñado a escala del prototipo. En general, para que esta
se cumpla, se deben satisfacer las ecuaciones:
;
(
) ;
;
Donde:
λ: Factor de escala
Lp: Longitud característica del prototipo.
Lm: Longitud característica del modelo
Ap: área característica del prototipo
Am: área característica del modelo
Vp: volumen característico del prototipo
Vm: volumen característico del modelo.
2
Betancourt Grajales, R. (2003). Transferencia molecular de calor, masa y/o cantidad de
movimiento.
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Similaridad cinemática
Esta hace referencia al movimiento que ocurre en el sistema y considera las velocidades
existentes. Para que exista similaridad cinemática en dos sistemas geométricamente
similares, las velocidades en los mismos puntos relativos en cada sistema deben mantener
las siguientes relaciones:
Donde:
vxm: Velocidad en la dirección x del modelo.
vym: Velocidad en la dirección y del modelo.
vxp: Velocidad en la dirección x del prototipo.
vyp: Velocidad en la dirección y del prototipo.
Similaridad dinámica
En sistemas geométrica y cinemáticamente similares, existe similaridad dinámica cuando las
magnitudes y direcciones de las fuerzas correspondientes en ambos sistemas (modelo y
prototipo) son proporcionales.
Generalización
En la bibliografía3 dice que el modelo representa al prototipo cuando ambos tienen estados
homólogos a tiempos homólogos. El concepto de tiempo homólogo puede ser difícil de
entender al principio, pero la definición anterior generaliza los distintos tipos de
similaridades, y se puede desprender la siguiente definición:
“Dos sistemas son dimensionalmente similares si todas las variables adimensionales que
describen el sistema son iguales en construcción y en magnitud” 3.
Más aún, si en dos sistemas todos los pares correspondientes de variables adimensionales
que contienen solo variables físicas independientes son idénticos, entonces los números
adimensionales restantes también son idénticos.
De lo anterior surge la importancia de elegir correctamente los números adimensionales,
debiéndose tener en cuenta las siguientes reglas:

Al formar el sistema de grupos adimensionales, asegurarse de tener solo
una variable física dependiente.
3
Szirtes, T. (2007). Applied dimensional analysis and modeling. Butterworth-Heinemann.
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
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Al formar el sistema de grupos adimensionales, asegurarse que la única
variable dependiente se encuentre en un único número adimensional.
Por otra parte, en muchos casos no es posible trabajar con todos los números
adimensionales en la misma magnitud, se reconocen distintos casos. Si dos sistemas, cada
uno con Np variables adimensionales, tienen n valores iguales, se cumple:
Si n=Np-1,
Si 0<n<Np-1
Si n=0,
los sistemas son similares;
los sistemas son parcialmente similares;
los sistemas no son similares.
En el caso de los sistemas similares, se sabe que el modelo representa al prototipo, y en el
caso de n=0, son sistemas completamente diferentes. No obstante, entre estos extremos se
presentan varias posibilidades, surgiendo la pregunta ¿qué números adimensionales deben
tener la misma magnitud para lograr que ambos sistemas sean similares?
Para responder a esta pregunta, es necesario conocer cuáles son las fuerzas más
importantes que se encuentran presentes en el proceso. Por ejemplo:




Cuando el flujo presenta una superficie libre, la fuerza predominante es la gravedad,
entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Froude.
Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico, la fuerza predominante es la
viscosidad, entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo número de
Reynolds.
Cuando el cuerpo está sumergido en un fluido supersónico, la fuerza predominante
es la compresibilidad, entonces es importante que ambos sistemas tengan el mismo
número de Match.
En láminas de líquido muy delgadas, donde es importante la tensión superficial, es
importante que ambos sistemas tengan el mismo número de Weber.
Problema 4
-
Se ha realizado un gran número de investigaciones sobre la transferencia de materia
en flujo turbulento en conducciones. Esta situación podría corresponder al de un
absorbedor continuo donde el componente de una mezcla líquida se absorbe sobre
una corriente gaseosa (fluido controlante). Todos los estudios realizados coinciden en
que el coeficiente individual de transferencia de materia (kc), que determina la
velocidad del proceso de dicha transferencia de materia depende del diámetro
interno de la columna (D), de la viscosidad (μ) y densidad (ρ) del fluido controlante,
de la difusividad del soluto en la fase controlante (DAB) y del flujo másico del fluido
controlante (G).
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Establecer una correlación para las variables que intervienen en el fenómeno
de transferencia de materia e identificar los módulos obtenidos.
Se desea diseñar a escala industrial un sistema de absorción continuo
homólogo (equipo semejante geométricamente y propiedades físicas iguales)
al del experimento previo. Se desea utilizar una columna de diámetro interno
de 1,5 m. Indíquese cuáles serían las condiciones de operación a escala
industrial para que exista semejanza completa (semejanza en todos los
módulos adimensionales) y cuál sería el valor del coeficiente individual de
transferencia de materia en fase líquida en estas condiciones (tomar datos
escala laboratorio del primer experimento).
Se ha montado un dispositivo experimental para verificar el resultado
obtenido del análisis dimensional en el que una corriente de acetona
desciende por gravedad por el interior de una columna de paredes mojadas,
poniéndose en contacto con aire que asciende en régimen turbulento por el
especio interior. Teniendo en cuenta los resultados de la tabla, determinar el
factor de proporción y los exponenetes de los números adimensionales.
o
o
o
Datos:
kc (m/s)
D (m)
Dab(m2/s)
μ (kg/m∙s)
ρ (kg/m3)
G (kg/m2∙s)
3,27E‐03
0,05
1,10E-05
1,78E‐05
2,697
1,06
4,82E‐03
0,05
1,10E-05
1,78E‐05
2,697
1,694
6,09E‐03
0,05
1,10E-05
1,78E‐05
2,697
2,243
7,26E‐03
0,05
1,10E-05
1,78E‐05
1,245
2,039
8,36E‐03
0,05
1,10E-05
1,78E‐05
0,852
2,079
Solución
Se procede a resolver el problema por el método de Buckingham. Se tiene la siguiente
tabla, en donde se muestran las dimensiones en las filas y las variables en las columnas.
kc
D
Dab
μ
ρ
G
M
0
0
0
1
1
1
L
1
1
2
-1
-1
-2
t
-1
0
-1
-1
0
-1
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FCEQyN. UNaM
Se selecciona el siguiente conjunto de variables, el cual tiene un determinante distinto de 0.
D
Dab
0
μ
M
0
1
L
1
2
-1
t
0
-1
-1
|
|
De esta forma se pretende obtener los siguientes grupos adimensionales.
Para π1
(
) ( )
(
)
(
)
(
) ( )
(
)
(
)
Para π2
Alejandro Pedrozo
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Cátedra de Modelización y Simulación de Procesos
Análisis dimensional
FCEQyN. UNaM
Para π3
(
) ( )
(
)
(
)
Entonces, se puede establecer la correlación para hallar el coeficiente de transferencia de
masa.
(
)
(
Alejandro Pedrozo
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(
)
)
(
)
2015
Cátedra de Modelización y Simulación de Procesos
Análisis dimensional
FCEQyN. UNaM
Como se sabe que en el modelo y el prototipo la difusividad, y la viscosidad del fluido no
varían en forma apreciable, se modifican las demás variables para coincidir los números
adimensionales.
Por lo que los números adimensionales del modelo (subíndice m) serán iguales a los del
prototipo (subíndice p).
(
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
)
Entonces se pueden obtener las magnitudes de las variables de proceso a escala industrial
de la siguiente manera:
(
)
(
)
Con los datos de la tabla es posible armar un sistema de ecuaciones en donde se encuentra
que:
Alejandro Pedrozo
(
)
(
)
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2015
Cátedra de Modelización y Simulación de Procesos
Análisis dimensional
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Problemas propuestos
Problema 1
Los experimentos muestran que la caída de presión debido al flujo a través de una
contracción repentina en un ducto circular es función de:
 La densidad del fluido (kg/m3).
 La velocidad (m/s).
 La viscosidad (k/(m*s)).
 El diámetro mayor antes de la contracción (m) y el diámetro menor después de la
contracción (m).
Encontrar los números adimensionales para estudiar el sistema.
Problema 2
La potencia P para manejar una bomba de flujo axial depende de las siguientes variables:





La densidad del fluido ρ
La velocidad angular ω
El diámetro del rotor
La cabeza de presión
El caudal volumétrico de la bomba Q
1.-Encontrar los números adimensionales para estudiar el sistema.
2.-Un modelo físico para estudiar el fenómeno en escala geométrica 1:3 con respecto al
prototipo, tiene las siguientes magnitudes de las variables:





La velocidad angular ω: 900 rpm.
El diámetro del rotor D: 0.15 m.
La cabeza de presión h: 3 m.
El caudal volumétrico de la bomba Q: 0.09 m3/s.
La potencia P: 1500 W.
Si la velocidad angular de la bomba para el prototipo es de 300 rpm,
a. ¿Qué potencia demanda la bomba?
b. ¿Qué cabeza de presión mantiene la bomba?
c. ¿Cuál es el caudal volumétrico en el prototipo?
Alejandro Pedrozo
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Problema 3
Se analiza el funcionamiento de una represa mediante un modelo a escala 1:75, en donde
se mide la velocidad del agua (modelo) y resulta ser 0,6 m/s. El caudal máximo desaguado
(prototipo) por la presa es de 600 m3/s. En el modelo se midió la fuerza ejercida sobre la
presa resultando ser de 24.5 N. Calcular:
1.- Escalas de velocidades, caudales y fuerzas en función de la escala geométrica.
2.- Caudal que tiene que circular en el modelo.
3.- Velocidad del agua en la presa.
4.- Fuerza ejercida sobre la presa.
5.- ¿Qué condiciones tiene que satisfacer el fluido para que la semejanza sea completa?
Alejandro Pedrozo
25
2015