Se tiene que la fórmula es media – moda = 3(media

Se tiene que la fórmula es media – moda = 3(media - mediana)
91
Despejando la moda se tiene que es igual a la media menos el producto de 3 por la
diferencia de la media menos la mediana
92
Por lo tanto, sustituyendo en la fórmula se tiene que la media es igual a 279.77, que es el
resultado del ejemplo 5 de la media
93
Mediana es igual a 279.0625, que es el resultado del ejemplo 3 de la mediana.
94
Como resultado se obtiene $277.6475
95
Inciso B). Comparar el resultado obtenido con el resultado del ejemplo 2 de la moda
96
El resultado del ejemplo 2 es $277.50
97
El de la relación empírica entre media, mediana y moda es $277.6475
98
La diferencia entre ambos resultados es despreciable, por lo tanto se llegó al mismo
resultado con ambas fórmulas.
99
Determinar el percentil 85 de los datos del salario inicial.
Aplicando el método para calcular el p-ésimo percentil, se realiza lo siguiente:
100
Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos
101
102
Paso 2. Calcular el índice i
103
Aplicando la fórmula, se tiene:
el percentil de interés igual a 85
104
la cantidad de observaciones igual a 12
105
Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 10.2
106
Paso 3. Como i no es entero, se redondea.
Esto es, como i es igual a 10.2, redondeado queda como 11
107
El lugar del percentil 85 es el del lugar 11.
108
El valor en la posición 11 es 3130.
109
Ejemplo 2. Calcular el percentil 50 de los datos de salario inicial
110
Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos
111
112
Paso 2. Calcular el índice i
113
Aplicando la fórmula, se tiene:
el percentil de interés igual a 50
114
la cantidad de observaciones igual a 12
115
Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 6
116
Paso 3. Como i es entero, el percentil 50 es el promedio de los valores de los datos
que están en la posición 6 y 7.
117
El promedio de los valores en tales posiciones son la suma de 2890 y 2920 entre 2 =
2905.
118
El percentil 50 es también la mediana.
119
Ejemplo 3. Determinar el primer cuartil Q1 y el tercer cuartil Q3 de los datos
de salario inicial
120
Para Q1
Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos
121
122
Paso 2. Calcular el índice i
123
Aplicando la fórmula, se tiene:
el percentil de interés igual a 25
la cantidad de observaciones igual a 12
124
Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 3
125
Paso 3. Como i es entero, el primer cuartil o percentil 25 es el promedio del tercer y
cuarto valor de los datos
126
Esto es, la suma de 2850 y 2880 entre 2 = 2865
127
Para Q3
Paso 1. Ordenar en forma ascendente los datos
128
129
Paso 2. Calcular el índice i
130
Aplicando la fórmula, se tiene:
el percentil de interés igual a 75
la cantidad de observaciones igual a 12
131
Sustituyendo los valores, se tiene que i es igual a 9
132
Paso 3. Como i es entero, el tercer cuartil o percentil 75 es el promedio del noveno
y décimo valor de los datos
133
Esto es, la suma de 2950 y 3050 entre 2 = 3000
134
Media Geométrica
Ejemplo 1. Obtener la media geométrica del conjunto de números
135
Aplicando la fórmula de la media geométrica, se tiene
136
x 1 igual a 3
137
x 2 igual a 5
138
Y así sucesivamente hasta x7 igual a 12
139
Al producto del conjunto de números se le saca raíz séptima, ya que n es
igual a 7 números
140
Dando como resultado, media geométrica = 6.43.
141
Este mismo ejemplo se puede resolver utilizando logaritmos, en donde
tenemos logaritmo de G es igual a 1 entre n por el logaritmo del producto de
todos los números.
142
Aplicando la fórmula, tenemos que el producto de todos los números es
453600
143
La media geométrica es igual a 6.43
144
Halla la media geométrica para los números x1, x2 hasta xk con frecuencia
f1, f2 hasta fk.
145
La fórmula para obtener la media geométrica es igual a la raiz n del producto
de x1 por f1 por x2 por f2 hasta xk por fk
146
A esto se llama a veces la media geométrica ponderada.
147
La siguiente fórmula utiliza logaritmos para calcular la media geométrica de datos
agrupados:
Logaritmo de G es igual a la suma de la frecuencia por el logaritmo de x entre n.
148
Para calcular la media geométrica de datos agrupados se toma x1, x2,…, xk como
punto medio de cada clase
149
Y f1, f2,…,fk como las correspondientes frecuencias de clase.
150
Ejemplo 3
Durante un año la relación entre el precio de la leche (un cuarto de galón) y el
de la hogaza de pan era 3.00, al año siguiente pasó a ser 2.00
151
Inciso a) Hallar la media aritmética de esas dos relaciones
Relación media leche/pan es igual a 2.50
152
Inciso b) Ídem para la relación de precios pan/leche
La relación pan/leche del primer año es 0.333
153
Y para el segundo 0.500
154
Por lo tanto, la relación media pan/leche es igual a 0.417
155
Inciso c) Ídem para la media geométrica
156
La media geométrica de las relaciones leche/pan es igual a
La raíz cuadrada de 6
157
La media geométrica de las relaciones pan/leche es igual a
Uno entre la raíz cuadrada de 6
158
Ya que de 1000 a 4000 es un 300% de crecimiento, se podría sospechar que el
crecimiento medio diario es 300%/3 = 100%. Sin embargo, eso implicaría que el
primer día subiría ya de 1000 a 2000, el segundo a 4000 y el tercero a 8000, contra
lo dicho.
159
Denotemos el crecimiento medio diario por r. Entonces
Población de bacterias para el primer día
160
Población de bacterias para el segundo día
161
Población de bacterias para el tercer día
162
Esta última expresión debe dar 4000
163
Por lo tanto 1000 por el cubo de 1 más r igual a 4000
164
Despejando r, se tiene: el cubo de 1 más r igual a 4
165
1 más r igual a raíz octava de 4
166
r igual a raíz octava de 4 menos 1
167
Por lo tanto, r igual a 0.587, lo que equivale al 58.7%
168
En general, si se arranca con una cantidad P y crece a razón constante r por unidad
de tiempo, se tendrá, tras n unidades de tiempo, la cantidad A que es igual al
producto de P por la suma de 1 más r elevado a la n.
Esta es la fórmula del interés compuesto.
169
Media Armónica.
Ejemplo 1. Hallar la media armónica del conjunto de números
170
Aplicando la fórmula de la Media Armónica, se tiene que
171
Las x son los valores de los números
172
n igual a 7
173
Por lo tanto, H igual a 5.87
174
Ejemplo 2. Durante cuatro años sucesivos, una familia compró el fuel para su
calefacción a $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por galón (gal), respectivamente.
Hallar el coste medio del fuel en ese periodo.
175
Aplicando la fórmula de la Media Armónica, se tiene que
176
n igual a 4 precios
177
Los valores de las x son 0.80, 0.90, 1.05, 1.25
178
Por lo tanto la media armónica igual a 0.972
179
Ejemplo 3.
Hallar la velocidad media del viaje completo que realiza una persona que va de A a
B con una velocidad media de 30 millas por hora y regresa de B a A con una
velocidad media de 60 millas por hora.
180
Aplicando la fórmula de la media armónica se tiene que:
181
n igual a 2 velocidades
182
Los valores de las x son 30 y 60
183
Por lo tanto la media armónica igual a 40 millas por hora
184
185