TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 7. FUNCIONES ARITMÉTICAS. 1. Definición. Para cada n ∈ N, denotaremos τ (n) = número de divisores positivos de n = X 1, y d|n σ(n) = X d, d|n la suma de dichos divisores. En general, si f : N → R es una función cualquiera, X f (d) d|n denotará la suma de los valores de f sobre todos los divisores poitivos de n. 2. Teorema. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, los divisores positivos de n son todos los números d de la forma d = pα1 1 · · · pαr r , con 0 ≤ αi ≤ ki , 1 ≤ i ≤ r. 3. Teorema. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n > 1, entonces Q 1. τ (n) = ri=1 (ki + 1), y Q pki +1 −1 2. σ(n) = ri=1 ipi −1 . Indicación: para la segunda parte, observar que σ(n) = Qr i=1 1 + pi + p2i + · · · + pki i , y aplicar la fórmula de la suma de una progresión geométrica finita. 4. Calcular τ (180) y σ(180). Q Q 5. Probar que nτ (n) = d|n d · d0 |n d0 , y deducir que Y nτ (n)/2 = d d|n (y en particular nτ (n)/2 ∈ N). 6. Definición. Se dice que una función f : N → R es multiplicativa si mcd(n, m) = 1 =⇒ f (nm) = f (n)f (m). 7. Sea f, g funciones multiplicativas tales que f (pk ) = g(pk ) para todo p primo y todo k ≥ 0. Probar que f = g. Indicación: Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, entonces f (n) = f (pk11 ) · · · f (pkr r ). 8. Probar que si f 6= 0 es multiplicativa, entonces f (1) = 1. 9. Probar que si mcd(n, m) = 1, entonces el conjunto de los divisores positivos de nm está formado por todos los productos dd0 , donde d | n, d0 | m, y mcd(d, d0 ) = 1. Además todos estos productos son distintos dos a dos. 10. Teorema. Si f es multiplicativa y F se define por X F (n) = f (d), d|n entonces F también es multiplicativa. Indicación: Usae el ejercicio anterior. 11. Corolario. Las funciones τ y σ son multiplicativas. 12. Probar que τ (n) es impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto. 13. Probar que σ(n) es impar si y sólo si n es un cuadrado perfecto o el doble de un cuadrado perfecto. P 14. Probar que d|n d1 = σ(n) . n 15. Probar que si n está libre de cuadrados entonces τ (n) = 2r , donde r es el número de divisores primos de n. 16. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n, entonces 1 n 1 1 > 1− 1> 1− ··· 1 − . σ(n) p1 p2 pr 17. Probar que 1 1 1 σ(n!) ≥ 1 + + + ... + . n! 2 3 n 18. Dado k > 1, probar que hay infinitos números n para los que τ (n) = k, pero sólo una cantidad finita para los que σ(n) = k. 19. Probar que si f, g son funciones aritméticas multiplicativas, también lo son f g y f /g (cuando esté bien definida). P P P P 20. Probar que d|n σ(d) = d|n (n/d)τ (d), y que d|n (n/d)σ(d) = d|n dτ (d). 21. Definición. Para cada n ∈ N, se define la función µ de Möbius por si n = 1, 1 µ(n) = 0 si p2 | n para algún primo p, (−1)r si n = p1 p2 · · · pr , donde los pi son primos distintos; es decir µ(n) = 0 si n no está libre de cuadrados, y µ(n) = (−1)r si está libre de cuadrados y tiene r factores primos. 22. Proposición. La función µ es multiplicativa. 23. Proposición. Para cada n ≥ 1 se tiene que 1 X µ(d) = 0 si n = 1, si n ≥ 2. d|n 24. Teorema (fórmula de inversión de Möbius). Sean F, f dos funciones aritméticas relacionadas por la fórmula X F (n) = f (d). d|n Entonces se tiene que f (n) = X µ(d)F d|n n d X n µ F (d). d = d|n Indicación: Comprobar que X µ(d)F n d|n d = X X d|n µ(d)f (c) = c|(n/d) X f (c) c|n X µ(d) , d|(n/c) y aplicar la proposición anterior. 25. Corolario. Si F es multiplicativa y F (n) = tiva. P d|n f (d), entonces f también es multiplica- Indicación: Recordar el ejercicio 9 y aplicar la fórmula de inversión de Möbius. 26. Sea f una función multiplicativa, f 6= 0. Si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n > 1, probar que X r Y µ(d)f (d) = (1 − f (pi )). d|n i=1 27. Usando el ejercicio anterior, probar que si n = pk11 · · · pkr r es la factorización en producto de primos de n > 1, entonces P 1. d|n µ(d)τ (d) = (−1)r . P 2. d|n µ(d)σ(d) = (−1)r p1 · · · pr . P 3. d|n µ(d)/d = (1 − 1/p1 ) · · · (1 − 1/pr ). P 4. d|n dµ(d) = (1 − p1 ) · · · (1 − pr ).