En matemáticas, el dominio (conjunto de definición o conjunto de

DOMINIO
Conjunto de definición o conjunto de partida de una función
es el
conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está
definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota
o bien
y está definido por:
El dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los
valores que resultan.
Ejemplo:
RANGO
Es el conjunto de todos los posibles valores que asume la función al ser evaluada en
cada valor del dominio. Son valores que obtenemos al evaluar la función, ó valores para los
cuales la función tiene sentido.
CONTRADOMINIO
Es un conjunto de elementos que los que se relacionan los elementos del conjunto de
salida, llamado conjunto de llegada, también es el conjunto de valores que puede tomar la
variable dependiente “y”. También es conocido como codominio, recorrido o rango.
DIFERENCIA ENTRE RANGO Y CONTRADOMINIO
El rango son todos los valores posibles del conjunto de llegada, aunque no sean imagen
de algo. El contradominio (o codominio) es el conjunto de los que son imagenes (el
contradominio
es
un
subconjunto
del
rango)
por eso las funciones suprayectivas deben tener rango igual al codominio... para que no
"sobre" ningun elemento y todos tengan preimagen.
1- FUNCIÓN INVERSA Y 3 EJEMPLOS
Es aquella que se obtiene al intercambiar el dominio y el recorrido de “f”. a función
que se obtiene es la inversa de la función dada. Las gráficas resultantes de estas dos funciones
(la normal y la inversa) son simétricas respecto de la bisectriz del 1er cuadrante y del 3er
cuadrante en el plano cartesiano.
Ejemplo 1
Encontremos la función inversa de la siguiente función
ambas funciones en el mismo plano.
y dibujemos la grafica de
Solución:
Despejamos x de la siguiente manera:
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f −1 que cumple que: Si f(a)
= b, entonces f −1 (b) = a.
Ejemplo 2
Ejemplo 3
2- FUNCIONES ESPECIALES:
a) FUNCIÓN CONSTANTE
Es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el
conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}.
Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos
representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:
Y=F(x) entonces Y=a
donde
a
tiene
un
para valores de a iguales:
Y=8, Y=2, Y=-4
valor
constante,
en
la
gráfica
tenemos
representadas:
b) FUNCIÓN IDENTIDAD
Es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los
números reales.
Le damos valores a x
X
f(x) = x
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
y
Grafica:
4
F(x)=x
3
2
1
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
c) FUNCION POTENCIAL
X
F(x)= x3
2
8
1
1
0
0
-1
-1
F(x)= x3
-2
-8
F(x) = x4
X
F(x)= x4
2
16
1
1
0
0
-1
1
-2
16
d) FUNCION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
F(x)= 3/x
X
F(x)= 3 x
2
32
1
3
-1
-3
-2
-3 2
e) FUNCIÓN LINEAL
Es aquella que satisface las siguientes dos propiedades (ver más abajo para un uso
ligeramente diferente del término):
 Propiedad aditiva (también llamada propiedad de superposición): Si existen f(x) y f (y),
entonces f(x+ y) = f(x) + f(y). Se dice que f es un grupo isomorfista con respecto a la
adición.
 Propiedad homogénea: f (ax) = af (x), para todo número real a. Esto hace que la
homogeneidad siga a la propiedad aditiva en todos los casos donde a es racional. En el
caso de que la función lineal sea continua, la homogeneidad no es un axioma adicional
para establecer si la propiedad aditiva esta establecida.
x
F(x) = 3x+1
-2
-5
-1
-2
0
1
1
4
2
7
F(x)=3x+1
f) FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los
números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es:
Le damos valores a x
X
y=
2
2
x
y = 2
= 2
y = 1
=1
y=
0 =0
y=
1 =1
y=
2 =2
1
1
0
0
-1
1
-2
2
g) FUNCIÓN RADICAL
La función
X
es la función raíz cuadrada. Su gráfica es como sigue:
4
2
3
1,73
2
1,41
1
1
0
0
y
x
y
La función radical
X
f(x)=
3
x
f(x)=
-2
-1,25
3
x
-1
-1
0
0
1
1
f(x)=
2
1,25
3
x
h) FUNCION EXPONENCIAL
F(x)=ax, con a > 1
F(x)= 2x
X
F(x)= 2x
-2
0,25
-1
0,5
0
1
F(x)= 2x
1
2
2
4
i) FUNCIÓN LOGARITMO
Son funciones que tienen la forma f(x) = logax, donde la base a es una constante
positiva; es importante mencionar que son las funciones inversas a las exponenciales; por lo
tanto su dominio es (0, ∞) y su imagen (- ∞, ∞).
Ejemplo
y = log 3 x
X
y = log3x
1/9
-2
1/3
-1
1
0
3
1
9
2
1/27
-3
27
3
y = log3x
j) FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de
los triángulos y
son
de
gran
importancia
en astronomía,
cartografía,
náutica,
telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
FUNCIÓN SENO
Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es: y = sen x
FUNCION COSENO
Es una función definida de reales en reales cuya fórmula es: y = cos x
FUNCIÓN TANGENTE
FUNCION COTANGENTE
Es una función definida de un conjunto A en los reales cuya fórmula es:
y = sec x , con A = Â - { x / x = (2k+1) p/2 }
FUNCION SECANTE
FUNCIÓN COSECANTE
3- CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede
decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede
dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción
matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo
un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de
pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco
del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términos del concepto de límite...
Ejemplo 1
X+1 si x  1
F(x)=
3 – ax2
si x > 1
Ejemplo 2
X2 + 2x - 1 si x < 1
F(x)=
Ax + b
si 0  x < 1
2
si x  1
Ejemplo 3