sintonización de controladores pid de dos grados de libertad

Universidad de Costa Rica
Facultad de Ingeniería
Escuela de Ingeniería Eléctrica
MEMORIA
Seminario de graduación
SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES
PID DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
Por:
Leonardo Marín Paniagua
Alejandro Mora Sojo
Ignacio Rímolo Kruse
Heyleen Villalta Maietta
Ciudad Universitaria “Rodrigo Facio”, Costa Rica
Enero de 2009
SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES
PID DE DOS GRADOS DE LIBERTAD
Por:
Leonardo Marín Paniagua
Alejandro Mora Sojo
Ignacio Rímolo Kruse
Heyleen Villalta Maietta
Sometida a la Escuela de Ingeniería Eléctrica
de la Facultad de Ingeniería
de la Universidad de Costa Rica
como requisito parcial para optar por el grado de:
LICENCIADO EN INGENIERÍA ELÉCTRICA
Aprobada por el Tribunal:
Ing. Víctor M. Alfaro, M.Sc.
Director, Comité asesor
Ing. Ismael Mazón, M.Sc.
Miembro, Comité asesor
Ing. Rodolfo Espinoza, M.Sc.
Miembro, Comité asesor
Ing. Jorge Blanco
Director o su representante
Ing. Alejandro Zúñiga, M.Sc.
Miembro, Tribunal
Dedicatoria
“... al único y sabio Dios, nuestro Salvador, sea gloria y majestad, imperio y potencia,
ahora y por todos los siglos. Amén” Jud 1:25 RV60
A mi esposa Irene, gracias por tu amor, apoyo incondicional y compañía.
A mi familia, mis padres José Marín R. y Blanca Paniagua A., mi hermano Eric y
mis hermanas Maureen y Yessenia, gracias por todo su apoyo y comprensión.
L.M.P.
A mis padres Saray y Óscar quienes día a día me han enseñado a soñar y alcanzar
esos sueños.
A.M.S.
A mi abuelo Hermann Kruse Ramirez, gracias por toda la ayuda que me has
brindado, por ser esa fuente inagotable de conocimiento y por tu sentido del humor.
Has sido siempre un modelo a seguir y un buen amigo.
I.R.K.
Este logro es dedicado a mi familia por todo su apoyo y comprensión durante mis
años de universidad. En especial a mi padre Nesmer Villalta Villalta y a mi madre
Mayra Maietta Leitón
H.V.M.
iii
Reconocimientos
Brindamos un reconicimiento muy especial nuestro profesor guía Ing. Víctor M.
Alfaro Ruiz, por su apoyo, dedicación y consejos para la realización de este proyecto,
por ser una excelente persona; amable, solidario y siempre dispuesto a ayudarnos con
empeño, siempre incentivándonos a desarrollar los objetivos de la mejor manera. Sin
su gran aporte no hubieramos alcanzado esta meta.
Agradecemos a los profesores lectores el Ing. Guillermo Loría Martínez, el Ing.
Rodolfo Espinoza Valverde y el Ing. Ismael Mazón Retana, los cuales han favorecido
el crecimiento profesional de muchos ingenieros a través de sus conocimientos y por
haber aceptado formar parte de este tribunal.
Así mismo agradecemos al Ing. Jorge Blanco Alfaro (Representante del Director de la
Escuela) y al Ing. Alejandro Zúñiga Luna (Cuarto Miembro del Tribunal) por sus
aportes y por su participación durante la presentación de este seminario.
L.M.P., A.M.S., I.R.K., H.V.M.
iv
Índice general
Prefacio
xv
Nomenclatura
xvii
1. Sintonización PID balanceada robusta
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Sintonización balanceada . . . . . . . . . . .
1.2.2. Sintonización balanceada robusta . . . . . .
1.3. Desarrollo del nuevo método de sintonización . . . .
1.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . .
1.3.2. Procedimiento de optimización . . . . . . .
1.3.3. Influencia del factor de peso de la robustez .
1.3.4. Parámetros óptimos . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Influencia del factor de peso del desempeño .
1.3.6. Costo de control . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.7. Controladores PID Serie equivalentes . . . .
1.3.8. Ecuaciones de sintonización . . . . . . . . .
1.4. Pruebas comparativas . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Valores específicos de a y τo . . . . . . . . .
1.4.2. Plantas de prueba . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . .
1.5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . .
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22
22
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26
26
27
2. Sistema de control en cascada robusto
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
v
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43
43
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59
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62
62
62
63
63
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64
65
65
67
69
69
73
73
75
77
4. Controlador PID con costo de control óptimo
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
79
80
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.1.1. Alcance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Métodos de sintonización de dos grados de libertad . . . . . .
2.2.2. Métodos de sintonización para sistemas de control en cascada
2.2.3. Métodos de identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Procedimiento de sintonización . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Procedimiento de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Procesos de primer orden más tiempo muerto . . . . . . . . .
2.4.2. Proceso de cuarto orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Controladores no frágiles
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Alcances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Parámetros de los controladores óptimos . . . . . . .
3.3.3. Comportamiento como servo control . . . . . . . . .
3.3.4. Ecuaciones de sintonización . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Pruebas comparativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Comparación con un método de sintonización robusta
3.4.2. Pruebas con plantas de orden superior . . . . . . . .
3.5. Conclusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . .
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ÍNDICE GENERAL
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
vii
4.1.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4. Metodología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Sintonización de controladores con costo de control óptimo
Desarrollo del procedimiento de sintonización . . . . . . . . . . .
4.3.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Determinación de los controladores óptimos . . . . . . . .
4.3.3. Criterio de selección del factor de peso . . . . . . . . . . .
4.3.4. Nuevos parámetros óptimos . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pruebas comparativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Comparación con un método de sintonización robusta . . .
4.4.2. Comparación con plantas de orden superior . . . . . . . .
Conlusiones y recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. 95
. 99
. 104
. 104
. 105
Bibliografía
106
Apéndices
108
A. Sintonización PID balanceada robusta
109
B. Control en cascada, modelos lazo interno
127
C. Parámetros de los controladores no frágiles
134
C.1. Parámetros óptimos e índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.2. Pruebas comparativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
D. Controladores con costo de control óptimo
D.1. Optimización del esfuerzo de control . . . . . . . . . . .
D.2. Influencia del factor de peso W . . . . . . . . . . . . . .
D.3. Optimización del esfuerzo de control y su variación total
D.4. Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5. Controlador PID, método de Méndez . . . . . . . . . . .
D.6. Controlador PI, método de Méndez . . . . . . . . . . . .
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154
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164
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176
189
Índice de figuras
1.1. Sistema de control con un controlador de un grado de libertad . . . .
1.2. Sistema de control con un controlador de dos grados de libertad . . .
1.3. Efecto del factor W2 sobre la robustez (Ms ) . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Efecto del factor W2 sobre el desempeño IAE . . . . . . . . . . . . .
1.5. Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jer , W1 = 0, 5/W1 = 0, 25 . .
1.6. Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jed , W1 = 0, 5/W1 = 0, 75 . .
1.7. Variación del costo de control Jur e Jrd , W1 = 0, 5 y Ms = 1,4 . . . .
1.8. Variación del costo de control Ju , W1 = 0, 5, Ms = 1, 4 . . . . . . . .
1.9. Efecto del factor W2 sobre el costo de control Ju , W1 = 0, 5, Ms = 1, 4
1.10. Razón del costo de control respecto al desempeño Ju /Je , W1 = 0, 5 . .
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13
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15
15
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2.1. Sistema de control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Constante de tiempo normalizada T ′ /T2 . . . . . . . . . . .
2.3. Tiempo muerto normalizado L′ /T2 . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Respuestas de lazo interno y el modelo (caso 1) . . . . . . .
2.5. Respuestas de lazo interno y el modelo (caso 2) . . . . . . .
2.6. Respuesta ante un cambio en el valor deseado . . . . . . . .
2.7. Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 . . . . . . .
2.8. Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 . . . . . . .
2.9. Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,4) .
2.10. Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,4)
2.11. Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,4)
2.12. Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,8) .
2.13. Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,8)
2.14. Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,8)
2.15. Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,8) .
2.16. Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,8)
2.17. Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,8)
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57
58
3.1. Lazo de control con un controlador de dos grados de libertad . . . . . .
3.2. Desempeño al variar la fragilidad (Ms = 1, 8, a = 0, 25) . . . . . . . . .
d
3.3. Desempeño al variar la robustez (F I∆20
= 0, 25, a = 1, 0) . . . . . . . .
65
68
69
viii
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ÍNDICE DE FIGURAS
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
ix
Pérdida del desempeño al utilizar β = 1 (Ms = 2, a = 0, 75) . . . . . .
Índices de fragilidad, método de Méndez sin restricción en la robustez
Índices de fragilidad, método de Méndez, Ms = 2, 0 . . . . . . . . . .
Índices de fragilidad, método de Méndez, Ms = 1, 8 . . . . . . . . . .
Índice desempeño Je (IAE), método de Méndez . . . . . . . . . . . .
Curvas de reacción, plantas de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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70
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74
74
75
76
4.1. Sistema de control con un controlador de dos grados de libertad . . . . 83
4.2. Sensibilidad máxima vs τo del proceso controlado . . . . . . . . . . . . 86
4.3. Comportamiento a un cambio en el valor deseado y en la perturbación . 87
4.4. Comportamiento del sistema de control para diferentes W . . . . . . . 90
4.5. Robustez de los lazos de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6. Índice de fragilidad de los controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.7. Desempeño del control regulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.8. Desempeño del servo control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.9. Magnitud del esfuerzo de control, control regulatorio . . . . . . . . . . 99
4.10. Variación total del esfuerzo de control, control regulatorio . . . . . . . . 100
4.11. Magnitud del esfuerzo de control, servo control . . . . . . . . . . . . . . 100
4.12. Variación total del esfuerzo de control, servo control . . . . . . . . . . . 101
A.1.
A.2.
A.3.
A.4.
A.5.
A.6.
Efecto
Efecto
Efecto
Efecto
Efecto
Efecto
del
del
del
del
del
del
factor
factor
factor
factor
factor
factor
W1
W1
W1
W1
W1
W1
sobre
sobre
sobre
sobre
sobre
sobre
el
el
el
el
el
el
desempeño Jer , W1
desempeño Jer , W1
desempeño Jer , W1
IAEd , Ms = 2 . .
IAEd , Ms = 2 . .
IAEd , Ms = 1,4 .
= 0, 5/W1 = 0, 75
= 0, 5/W1 = 0, 25
= 0, 5/W1 = 0, 75
. . . . . . . . . .
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123
124
124
125
125
126
Índice de cuadros
1.1. Parámetros óptimos y subóptimos, W1 = 0, 75 . . . . . . .
1.2. Parámetros óptimos y subóptimos, W1 = 0, 5 . . . . . . . .
1.3. Coeficientes para el cálculo de β, W1 = 0, 5, Msd = 2 . . . .
1.4. Coeficientes para el cálculo de β, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . . .
1.5. Coeficientes para el cálculo de Kc , W1 = 0, 5, Msd = 2 . . .
1.6. Coeficientes para el cálculo de Kc , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . .
1.7. Coeficientes para el cálculo de Ti , W1 = 0, 5, Msd = 2 . . .
1.8. Coeficientes para el cálculo de Ti , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . .
1.9. Coeficientes para el cálculo de Td , W1 = 0, 5, Msd = 2 . . .
1.10. Coeficientes para el cálculo de Td , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . .
1.11. Coeficientes generalizados según a, W1 = 0, 5, Msd = 2 . . .
1.12. Coeficientes generalizados según a, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . .
1.13. Coeficientes para el Ti , a ≤ 0, 25, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4 . .
1.14. Información de la planta, prueba específica, Kp = 1, T = 1
1.15. Parámetros óptimos, prueba específica . . . . . . . . . . .
1.16. Resultados prueba específica Je , Ju , Ms . . . . . . . . . . .
1.17. Parámetros de los modelos de la planta de prueba general .
1.18. Parámetros del controlador, ecuaciones generales . . . . . .
1.19. Resultados plantas de prueba Je , Ju , Ms . . . . . . . . . .
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11
11
17
18
18
18
19
19
19
20
20
21
21
22
22
23
24
25
25
2.1. Constantes en ai (2.13) . . . . . . . . . . . .
2.2. Constantes en bj (2.14) . . . . . . . . . . . .
2.3. Parámetros de los controladores . . . . . . .
2.4. Índice de desempeño JIAE . . . . . . . . . .
2.5. Variación del esfuerzo de control T V u . . . .
2.6. Robustez Ms . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Parámetros de los controladores (Msd = 1,4)
2.8. Desempeño JIAE (Msd = 1,4) . . . . . . . . .
2.9. Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,4) . . . .
2.10. Robustez Ms (Msd = 1,4) . . . . . . . . . . .
2.11. Parámetros de los controladores (Msd = 1,8)
2.12. Desempeño JIAE (Msd = 1,8) . . . . . . . . .
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39
39
44
44
44
45
49
49
49
49
53
53
x
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ÍNDICE DE CUADROS
2.13. Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,8) . . . . . . .
2.14. Robustez Ms (Msd = 1,8) . . . . . . . . . . . . . .
2.15. Parámetros de los controladores PI/PI (Msd = 1,8)
2.16. Desempeño JIAE (Msd = 1,8) . . . . . . . . . . . .
2.17. Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,8) . . . . . . .
2.18. Robustez Ms (Msd = 1,8) . . . . . . . . . . . . . .
xi
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3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
d
Parámetros e índices para Msd = 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 50 . . . . .
Kc - Constantes para (3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ti - Constantes para (3.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
β - Constantes para (3.12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parámetros de los modelos de las plantas de prueba . . . . . . . . . . .
Parámetros y respuestas de modelos para el método propuesto, Ms = 2, 0
Parámetros y respuestas de modelos para el método de Méndez, Ms = 2, 0
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
4.9.
Efecto de W sobre la funcional de costo, Control PID . . . . .
Efecto de W sobre las características de respuesta, control PID
Constantes en ecuaciones de sintonización . . . . . . . . . . .
Efecto de W sobre la funcional de costo, Control PI . . . . . .
Efecto de W sobre las características de respuesta, control PI .
Constantes en ecuaciones de sintonización PI . . . . . . . . . .
Parámetros de los modelos de las plantas de prueba . . . . . .
Parámetros óptimos para las plantas de prueba . . . . . . . .
índices de desempeños para las plantas de prueba . . . . . . .
54
54
54
56
56
56
67
71
72
72
76
77
77
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. 88
. 89
. 93
. 93
. 94
. 96
. 101
. 102
. 103
A.1. Parámetros óptimos, W1 = 0, 5, Ms = 2 . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Parámetros óptimos, W1 = 0, 5, Ms = 1,4 . . . . . . . . . . . . .
A.3. Parámetros óptimos, W1 = 0, 25, Ms = 2 . . . . . . . . . . . . .
A.4. Parámetros óptimos, W1 = 0, 25, Ms = 1,4 . . . . . . . . . . . .
A.5. Parámetros óptimos, W1 = 0, 75, Ms = 2 . . . . . . . . . . . . .
A.6. Parámetros óptimos, W1 = 0, 75, Ms = 1,4 . . . . . . . . . . . .
A.7. Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 5, Ms = 2 . .
A.8. Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 5, Ms = 1,4 .
A.9. Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 25, Ms = 2 .
A.10.Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 25, Ms = 1,4
A.11.Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 75, Ms = 2 .
A.12.Índices Je e Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 75, Ms = 1,4
A.13.Parámetros óptimos A, W1 = 0, 5, Ms = 1, 4 . . . . . . . . . . .
A.14.Parámetros óptimos B, W1 = 0, 5, Ms = 1, 4 . . . . . . . . . . .
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110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
B.1. Constante de tiempo normalizada T ′ /T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
B.2. Tiempo muerto normalizado L′ /T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
B.3. Coeficientes para el cálculo de Kc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
ÍNDICE DE CUADROS
B.4.
B.5.
B.6.
B.7.
B.8.
B.9.
Coeficientes
Coeficientes
Coeficientes
Coeficientes
Coeficientes
Coeficientes
C.1. Parámetros
C.2. Parámetros
C.3. Parámetros
C.4. Parámetros
C.5. Parámetros
C.6. Parámetros
C.7. Parámetros
C.8. Parámetros
C.9. Parámetros
C.10.Parámetros
C.11.Parámetros
C.12.Parámetros
C.13.Parámetros
C.14.Parámetros
C.15.Parámetros
C.16.Parámetros
C.17.Parámetros
C.18.Parámetros
C.19.Parámetros
C.20.Parámetros
C.21.Parámetros
C.22.Parámetros
C.23.Parámetros
C.24.Parámetros
C.25.Parámetros
C.26.Parámetros
C.27.Parámetros
C.28.Parámetros
C.29.Parámetros
C.30.Parámetros
C.31.Parámetros
C.32.Parámetros
C.33.Parámetros
C.34.Parámetros
C.35.Parámetros
para
para
para
para
para
para
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
xii
el
el
el
el
el
el
cálculo
cálculo
cálculo
cálculo
cálculo
cálculo
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
índices,
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
caso:
de
de
de
de
de
de
Ti
β .
Kc
Ti
Td
β .
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
Msd
.
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= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 2, 0;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 8;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 6;
= 1, 4;
= 1, 4;
= 1, 4;
= 1, 4;
= 1, 4;
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d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20 = 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20 = 0, 45
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20 = 0, 45
d
= 0, 45
F I∆20
d
F I∆20 = 0, 45
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 25
d
F I∆20 = 0, 25
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20 = 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
d
F I∆20
= 0, 45
a = 0, 00 . .
a = 0, 25 . .
a = 0, 50 . .
a = 0, 75 . .
a = 1, 00 . .
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130
131
132
132
133
133
;a=0 .
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
; a = 0, 00
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
; a = 0, 00
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
; a = 0, 00
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
; a = 0, 00
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
; a = 0, 00
; a = 0, 25
; a = 0, 50
; a = 0, 75
; a = 1, 00
. . . . . .
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134
135
135
136
136
137
137
138
138
139
139
140
140
141
141
142
142
143
143
144
144
145
145
146
146
147
147
148
148
149
149
150
150
151
152
ÍNDICE DE CUADROS
xiii
C.36.Parámetros y respuestas de modelos para el metodo propuesto, Ms = 1, 8 152
C.37.Parámetros y respuestas de modelos para el metodo propuesto, Ms = 1, 6 152
C.38.Parámetros y respuestas de modelos para el metodo de V. Méndez, Ms =
1, 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
C.39.Parámetros y respuestas de modelos para el metodo de V. Méndez, Ms =
1, 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
D.1. Parámetros controlador PID (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
D.2. Desempeño controlador PID (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
D.3. Parámetros controlador PID (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
D.4. Desempeño controlador PID (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
D.5. Parámetros PID, (a = 0, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
D.6. Desempeño controlador PID (a = 0, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
D.7. Parámetros controlador PID (a = 0, 75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
D.8. Desempeño controlador PID (a = 0, 75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
D.9. Parámetros controlador PID (a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
D.10.Desempeño controlador PIOD (a = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
D.11.Funcionales de costo (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
D.12.Características de desempeño (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.13.Funcionales de costo (a = 0, 75) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
D.14.Características del desempeño (a = 0, 75) . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
D.15.Funcionales de costo (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
D.16.Características de desempeño (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
D.17.Parámetros controlador PID (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
D.18.Índices de desempeño (a = 0, 25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
D.19.Parámetros controlador PID (a = 0, 5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
D.20.Valores de los desempeños medidos para a = 0, 5 . . . . . . . . . . . . . 167
D.21.Parámetros óptimos de controlador PID para a = 0, 75 . . . . . . . . . 168
D.22.Valores de los desempeños medidos para a = 0, 75 . . . . . . . . . . . . 169
D.23.Parámetros óptimos de controlador PID para a = 1 . . . . . . . . . . . 170
D.24.Valores de los desempeños medidos para a = 1 . . . . . . . . . . . . . . 171
D.25.Parámetros óptimos de controlador PI para el caso especial de a = 0 y
W = 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
D.26.Valores de los desempeños medidos para a = 0 y W = 400 . . . . . . . 173
D.27.Parámetros óptimos de controlador PI para el caso especial de a = 0 y
W = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
D.28.Valores de los desempeños medidos para a = 0 y W = 0 . . . . . . . . . 175
D.29.Parámetros óptimos de controlador PID Método Méndez Ms sin restricción177
D.30.Parámetros óptimos de controlador PID Método Méndez Ms sin restricción178
D.31.Valores de los desempeños medidos para Método Méndez Ms sin restricción179
D.32.Valores de los desempeños medidos para Método Méndez Ms sin restricción180
D.33.Parámetros óptimos de controlador PID Método Méndez Ms = 1, 8 . . 181
ÍNDICE DE CUADROS
D.34.Parámetros óptimos de controlador
D.35.Valores de los desempeños medidos
D.36.Valores de los desempeños medidos
D.37.Parámetros óptimos de controlador
D.38.Parámetros óptimos de controlador
D.39.Valores de los desempeños medidos
D.40.Valores de los desempeños medidos
D.41.Parámetros óptimos de controlador
D.42.Parámetros óptimos de controlador
D.43.Valores de los desempeños medidos
xiv
PID Método Méndez Ms = 1, 8
para Método Méndez Ms = 1, 8
para Método Méndez Ms = 1, 8
PID Método Méndez Ms = 1, 4
PID Método Méndez Ms = 1, 4
para Método Méndez Ms = 1, 4
para Método Méndez Ms = 1, 4
PI Método Méndez a = 0 . . . .
PI Método Méndez a = 0 . . . .
para Método Méndez a = 0 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
Prefacio
Por su simpleza y eficacia, desde su aparición en 1940, el controlador proporcional
integral derivativo comercial o simplemente controlador PID, ha sido el controlador
utilizado para resolver la gran mayoría de los problemas de control en la industria.
A través de los años, además de los cambios debidos al avance tecnológico en la fabricación de los controladores PID, estos se han visto beneficiados por la adición de
características que los han hecho más versátiles, permitiendo mejorar el desempeño de
los lazos de control.
Mientras que con un controlador PID de un grado de libertad tradicional, es imposible logar un buen seguimiento del valor deseado (servo control), al mismo tiempo
que obtener insensibilidad a las perturbaciones de carga (control regulatorio), con un
controlador PID de dos grados de libertad esto se puede obtener con un cierto grado
de independencia.
Si bien durante los más de sesenta años que han pasado desde la aparición del primer
método de sintonización de controladores PID, se han desarrollado una gran cantidad
de procedimientos con este fin, las características de desempeño y robustez de los sistemas de control con controladores PID no se conoce por completo. Además, se ha hecho
también evidente que no es posible obtener sistemas de control con un desempeño y
una estabilidad relativa aceptables, considerando solamente los aspectos de desempeño de los mismos. Es más, los procedimientos de sintonización obtenidos a partir de
la optimización de alguna funcional de costo con base en el desempeño solamente,
normalmente producen sistemas de control con una robustez muy baja.
El diseño de los lazos de control debe tomar en consideración el compromiso existente
entre el desempeño del sistema ante los cambios en las entradas, los requerimientos en
el esfuerzo de control para lograr el desempeño deseado, la robustez del lazo de control
resultante ante los cambios en las características del proceso controlado y la fragilidad
del controlador ante las variaciones de su propios parámetros.
Como parte del desarrollo de la investigación sobre los controladores PID, se realizó este
Seminario de graduación en el tema general de la Sintonización de controladores PID de
dos grados de libertad, con el fin de lograr un avance sustantivo en esta temática.
xv
PREFACIO
xvi
El análisis del estado de desarrollo del tema, permitió establecer cuatro nuevos enfoques
particulares a desarrollar, cuyos resultados se resumen a continuación:
Sintonización balanceada robusta de controladores PI/PID de dos grados de libertad por Leonardo Marín.
Se desarrolló un método de sintonización de controladores PID de dos grados de
libertad, para plantas de primer y segundo orden sobre amortiguadas más tiempo
muerto, que produce un sistema de control con un desempeño balanceado, entre
la respuesta a un cambio en el valor deseado (servo control) y la respuesta a un
cambio en el valor deseado (control regulatorio), garantizando al mismo tiempo
una robustez mínima del lazo.
Sintomización robusta de un sistema de control en cascada PI/PID de dos grados
de libertad por Alejandro Mora.
Mediante la aplicación de un método de sintonización robusta y la aproximación
del lazo de control interno mediante un modelo de primer orden más tiempo
muerto, se desarrolló un procedimiento para la sintonización directa (sin una
prueba intermedia), de los controladores de dos grados de libertad, de un lazo de
control en cascada PI/PID, que produce sistemas con un desempeño óptimo y la
robustez deseada.
Controladores PI de dos grados de libertad no frágiles y robustos por Ignacio
Rímolo.
Considerando dentro del criterio de diseño, además del desempeño y la robustez,
la fragilidad del controlador, se determinaron los parámetros de controladores PI
de dos grados de libertad no frágiles, que producen sistemas de control robustos
y con un desempeño óptimo, para plantas de primer y segundo orden más tiempo
muerto.
Sintonización robusta de controladores PID de dos grados de libertad con costo
de control óptimo por Heyleen Villalta.
Mediante la optimización del costo del esfuerzo de control y su variación total,
se obtuvieron los parámetros para controladores PID de dos grados de libertad,
con una señal de salida sin cambios bruscos ni extremos y que al mismo tiempo
producen sistemas de control robustos.
Víctor M. Alfaro, M.Sc.
Director, Comité Asesor
Nomenclatura
a
razón de contantes de tiempo del proceso (modelo)
β
factor de peso del valor deseado del controlador
C(s)
función de transferencia del controlador
Cr (s)
función de transferencia del controlador de valor deseado
Cy (s)
función de transferencia del controlador de realimentación
d(t), d(s)
perturbación de carga
e(t), e(s)
señal de error
FI
índice de fragilidad
F I∆ǫ
índice de fragilidad delta épsilon
F I∆20
índice de fragilidad delta 20
d
F I∆20
índice de fragilidad delta 20
IAE
integral del error absoluto
ITAE
integral del tiempo por el error absoluto
ITSE
integral del tiempo por el error cuadrático
ISE
integral del error cuadrático
J
funcional de costo
Kc , Kc′
ganancia del controlador
Kp
ganancia del proceso controlado (modelo)
L
tiempo muerto del proceso controlado (modelo)
Ms
sensibilidad máxima
Mso
sensibilidad máxima nominal
xvii
NOMENCLATURA
Msd
sensibilidad máxima deseada
Mxz (s)
función de transferencia de lazo cerrado entre x y z
Myd (s)
función de transferencia de lazo cerrado del control regulatorio
Myr (s)
función de transferencia de lazo cerrado del servo control
PI
controlador proporcional integral
PID
controlador proporcional integral derivativo
s
variable compleja
P (s)
función de transferencia del proceso controlado (modelo)
S(s), S(jω) función de sensibilidad
SISO
sistema de una entrada y una salida
τo
tiempo muerto normalizado del proceso controlado (modelo)
t
tiempo
T , T1 , T2
constantes de tiempo del proceso controlado (modelo)
Td , Td′
constante de tiempo integral del controlador
Ti , Ti′
constante de tiempo derivativa del controlador
u(t), u(s)
señal de salida del controlador (esfuerzo de control)
W
factor de peso
y(t), y(s)
señal realimentada (variable controlada)
xviii
Capítulo 1
Sintonización balanceada robusta de
controladores PID de dos grados de
libertad
Leonardo Marín Paniagua
1.1.
Introducción
Un lazo de control realimentado como el mostrado en la figura 1.1 tiene dos entradas,
el valor deseado r y la perturbación de carga d, y una salida, la variable controlada
y. En este esquema, al ajustar el controlador para lograr el comportamiento deseado
ante un cambio en una de las entradas, queda automáticamente establecido el comportamiento ante la otra. Por esta razón se dice que estos controladores tienen solo
un grado de libertad [Alfaro (2006b)]. Sin embargo la necesidad de lograr en muchas
aplicaciones industriales un buen desempeño del lazo de control, tanto a un cambio en
Figura 1.1: Sistema de control con un controlador de un grado de libertad
1
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
2
la perturbación de carga como en el valor deseado, dio lugar a la modificación de los
controladores de manera de tener un segundo grado de libertad.
En adición a los parámetros de ganancia, tiempo integral y tiempo derivativo (Kc , Ti ,
Td ) del controlador PID de un grado de libertad, el controlador PID de dos grados de
libertad incluye un factor de peso de valor deseado (β) ajustable [Alfaro (2006b)]. Esto
permite seleccionar los parámetros Kc , Ti y Td para lograr un buen desempeño como
control regulatorio y luego ajustar el parámetro β para mejorar su desempeño como
servo control.
1.1.1.
Alcances
En el presente trabajo se desarrolló un nuevo procedimiento de sintonización para controladores PID Ideal de dos grados de libertad que, además de optimizar el criterio de
desempeño de error integral en forma balanceada, es decir, considerando la ocurrencia
de un cambio en el valor deseado seguido de uno en la perturbación de carga como
se presenta en Montenegro (2007), considera la robustez del lazo de control resultante.
Como proceso controlado se consideró uno de segundo orden sobreamortiguado más
tiempo muerto.
El criterio de desempeño seleccionado fue la integral del error absoluto (IAE) y como
índice de robustez la sensibilidad máxima (Ms ).
La optimización del controlador se realizó de manera de obtener un desempeño óptimo
balanceado entre el comportamiento del servo control y del control regulatorio garantizando al mismo tiempo, una determinada robustez mínima. El balance servo-regulador
se logró introduciendo un factor de peso para cada uno de estos comportamientos dentro de la funcional de costo y analizando su efecto sobre el desempeño y la robustez
del lazo de control.
1.1.2.
Justificación
En forma tradicional, la sintonización de los controladores de dos grados de libertad consta de dos pasos: primero se selecciona su ganancia, tiempo integral y tiempo
derivativo de manera de lograr el desempeño deseado ante un cambio escalón en la
perturbación de carga, control regulatorio, normalmente mediante la optimización de
una funcional de costo con base en el error para luego, como segundo paso, determinar el factor de peso de valor deseado utilizando por lo general el mismo criterio de
desempeño, ante un cambio escalón en el valor deseado, servo control.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
3
Este diseño del controlador en dos etapas, no garantiza que los parámetros obtenidos
brinden el mejor funcionamiento del lazo de control en aquellas aplicaciones en donde
puedan presentarse tanto cambios en la perturbación, como en el valor deseado.
Como se detalla en la Sección 1.2 los métodos de sintonización balanceada o de compromiso entre el servo control y el control regulatorio, no consideran la robustez del
lazo de control resultante.
1.1.3.
Hipótesis
Mediante la utilización de una funcional de costo que contemple tanto el desempeño
ante cambios en el valor deseado como en la perturbación de carga, es posible obtener
una sintonización del controlador que produzca un lazo de control robusto y con un
desempeño balanceado.
1.1.4.
Objetivos
Se establecieron los siguientes objetivos para el desarrollo del trabajo:
Objetivo general
Desarrollar un procedimiento de sintonización de controladores PID Ideal de dos grados
de libertad, que considere un desempeño de compromiso o balanceado, entre la respuesta
a un cambio escalón en la perturbación de carga (control regulatorio) y la respuesta
a un cambio en el valor deseado (servo control), garantizando al mismo tiempo una
robustez mínima.
Objetivos específicos
Optimizar los parámetros de los controladores PID Ideal de dos grados de libertad con el modo derivativo aplicado solo en la señal realimentada, para el control
de una planta de segundo orden más tiempo muerto, para un cambio escalón en el
valor deseado y uno en la perturbación efectuados en forma consecutiva, empleando como criterio de desempeño la integral del error absoluto (IAE) ponderado e
incorporando la restricción de la robustez mediante la sensibilidad máxima (Ms ).
Estudiar el efecto de la variación del factor de peso de la robustez, sobre el
desempeño y la robustez del lazo de control resultante.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
4
Estudiar el efecto de la variación del factor de peso de la funcional de costo
optimizada, sobre el desempeño y la robustez del lazo de control resultante.
Medir las variaciones del esfuerzo de control (señal de salida del controlador) en
los lazos de control óptimos y robustos, para evaluar la necesidad de introducir
restricciones en esta para lograr una respuesta del controlador sin cambio bruscos.
Establecer ecuaciones para el cálculo de los parámetros óptimos del controlador
para plantas específicas.
Determinar ecuaciones generales de sintonización del controlador para cualquier
planta de segundo orden sobreamortiguada más tiempo muerto.
Comparar el desempeño, la robustez y la variación del esfuerzo de control de
los lazos de control sintonizados con el nuevo método, con el obtenido con otros
procedimientos.
1.1.5.
Metodología
El desarrollo del trabajo incluyó los siguientes pasos y procedimientos:
Revisión de los métodos de sintonización para controladores PID de dos grados
de libertad existentes, principalmente aquellos que consideran un desempeño en
conjunto con la robustez o un desempeño balanceado [Montenegro (2007), Shen
(2002, 2005, 2007)].
Utilización de técnicas de simulación y optimización digital con restricciones, para
la determinación de los parámetros del controlador que optimicen una funcional
de costo con base en el desempeño y que al mismo tiempo garanticen una robustez
determinada del lazo de control.
Análisis por simulación de la incidencia del factor de peso sobre el comportamiento dinámico y la robustez del lazo.
Análisis de las características de variación del esfuerzo de control de los controladores óptimos y robustos.
Establecimiento de ecuaciones de sintonización para cuatro modelos diferentes de
segundo orden más tiempo muerto, con un ámbito de tiempo muerto normalizado específico, utilizando herramientas digitales de ajuste de curvas por mínimos
cuadrados.
Obtención de ecuaciones generales para la sintonización de los controladores a
partir de los parámetros de un modelo de segundo orden sobreamortiguado, con
un tiempo muerto normalizado dentro del ámbito de estudio.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
5
Comparación, mediante simulación, del desempeño y la robustez de los lazos de
control sintonizados con el procedimiento desarrollado con el obtenido con otros
procedimientos existentes.
1.2.
Antecedentes
Aunque la documentación existente relacionada con la sintonización de los controladores PID es muy extensa, solo se hará mención de aquellos desarrollos relacionados
directamente con el objetivo plantado para este trabajo.
1.2.1.
Sintonización balanceada
En el caso de los controladores de solo un grado de libertad es necesaria la sintonización
del mismo para una buena operación ante un cambio en la perturbación de carga
(control regulatorio) o ante un cambio en el valor deseado (servo control ), en forma
independiente. En este caso, debe determinarse de antemano cual es el funcionamiento
principal del lazo.
Entre los estudios que han seguido este procedimiento y que forman parte de la base
del tema a desarrollar, están los realizados por Solera (2005), Rimolo (2005), Méndez
(2006) y Maroto (2007). En estos, el controlador PID se optimizó con base en un índice
de desempeño determinado para el funcionamiento especificado del lazo. Aunque estos
controladores presentan un desempeño óptimo bajo condiciones particulares, en su
desarrollo no se consideró la robustez del lazo de control resultante, por lo que los
mismos no necesariamente presentan una robustez aceptable. Además, la forma de
variación de la salida de control no fue analizada.
Si el controlador es de dos grados de libertad como el que se presenta en la figura
1.2, el procedimiento de sintonización usual es obtener los parámetros del controlador
de realimentación Cy (s) para lograr un desempeño adecuado del control regulatorio y
luego seleccionar el factor de peso del valor deseado del controlador de valor deseado
Cr (s), para mejorar el desempeño del servo control. De esta forma la sintonización
es un proceso de dos pasos. Algunos de los procedimientos que emplean esta técnica
consideran la robustez del lazo de control [Méndez (2008)], mientras que otros no [Marín
(2004), Huang (2006)].
Una forma alternativa de sintonizar un controlador de dos grados de libertad, es considerar todos sus parámetros (tres para el PI y cuatro para el PID) y seleccionarlos
para lograr el desempeño deseado tanto a los cambios en el valor deseado como a la
perturbación de carga, en un solo paso. Este procedimiento fue utilizado por Montenegro (2007) optimizando el criterio de error integral IAE. Sin embargo en este no se
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
6
Figura 1.2: Sistema de control con un controlador de dos grados de libertad
consideró la robustez como parte del proceso de diseño, ni se analizó el posible efecto
de utilizar un factor de peso en la función de costo servo-regulador.
Otra forma de abordar el problema es el utilizado por Arrieta & Villanova (2007a,b,c),
en el cual se obtiene una sintonía de compromiso entre el desempeño del servo control
y del control regulatorio para controladores PID de un grado de libertad, mediante
una interpolación lineal entre los parámetros de los ajustes óptimos para cada tipo de
operación.
1.2.2.
Sintonización balanceada robusta
En la revisión bibliográfica realizada se encontraron muy pocos métodos en donde se
utilice el concepto de sintonización balanceada que a su vez garantice una robustez mínima del lazo de control. De hecho, solo se encontraron los estudios de Shen (2002, 2005,
2007) en los que se utiliza la robustez dentro del criterio de diseño como una restricción,
aunque solo se asegura que la robustez sobrepasa la mínima (Ms < 2,0).
1.3.
Desarrollo del nuevo método de sintonización
1.3.1.
Planteamiento del problema
El problema analizado tomó en consideración los siguientes aspectos:
Lazo de control
El mostrado en la figura 1.2, en donde las función de transferencia P (s) es el
modelo del proceso controlado, Cr (s) el controlador de valor deseado y Cy (s) el
controlador de realimentación.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
7
Proceso controlado
Representado por un modelo de segundo orden general, dado por
P (s) =
Kp e−Ls
(T s + 1)(aT s + 1)
(1.1)
con valores 0 ≤ a ≤ 1,0, para considerar procesos desde primer orden hasta polo
doble más tiempo muerto, con un tiempo muerto normalizado τo = L/T en el
ámbito 0, 1 ≤ τo ≤ 2, 0. Específicamente se utilizó a = {0; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 1, 0}
y τo = {0, 05; 0, 1; 0, 25; 0, 5; 0, 75; 1; 1, 25; 1, 5; 1, 75; 2}.
Controlador
Un controlador PID de dos grados de libertad con la derivada aplicada solo a la
señal realimentada tipo Ideal, cuya ecuación de salida es
Td s
1
1
+
r(s) − Kc 1 +
y(s)
(1.2)
u(s) = Kc β +
Ti s
Ti s αTd s + 1
con α = 0, 10 (valor típico).
Desempeño
Como medida del desempeño se consideró la función de error integral pesado y el
costo del esfuerzo de control, ante cambios en el valor deseado y la perturbación
de carga. Se definió la funcional de costo
Z
Z
W1 t1
(1 − W1 ) ∞
Je =
|er (t)| dt +
|ed (t)| dt
(1.3)
Jero 0
Jedo
t1
donde Jero y Jedo son los valores mínimos de las funcionales de costo del servo control y del control regulatorio respectivamente, determinadas por Méndez
(2008) y W1 un factor de peso. El caso con W1 = 0, 5 corresponde al desempeño
balanceado.
El costo del esfuerzo de control se evaluó como
Z t1
Z ∞
Ju =
|ur (t) − ur (∞)| dt +
|ud (t) − ud (∞)| dt
0
(1.4)
t1
En el análisis de los resultados se consideraron las posibles limitaciones físicas
del elemento de actuación, de manera que los cambios en la señal de control no
fueran ni bruscos, ni extremos.
Robustez
Como medida de la robustez del lazo de control se utilizó la sensibilidad máxima
Ms dada por:
1
(1.5)
Ms = máx S(jω) = máx ω
ω
1 + C(jω)P (jω) CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
8
la cual varia usualmente en el ámbito 1, 2 ≤ Ms ≤ 2, 0, considerándose que
Ms = 2, 0 es la robustez mínima aceptable, mientras que Ms = 1, 4 es una
robustez alta.
El problema se planteó entonces como la determinación de los parámetros del controlador (1.2) que optimizan el índice de desempeño (1.3) ante un cambio escalón unitario
en el valor deseado, seguido por un escalón unitario en la perturbación, teniendo como
restricción una robustez mínima (1.5) determinada.
1.3.2.
Procedimiento de optimización
La optimización de los parámetros del controlador, se realizó considerando el funcionamiento del sistema de control ante cambios en el valor deseado y la perturbación,
utilizando la funcional de costo compuesta (1.3), con la restricción de robustez mínima
requerida. La optimización se realizó sobre los cuatro parámetros del controlador (Kc ,
Ti , Td y β) en forma simultánea. Para la simulación y optimización se hizo uso de los
R y Simulink.
R
programas Matlab
La restricción de robustez se incorporó en el diseño mediante una funcional de costo
compuesta
JeM s = Je + W2 JM s
(1.6)
donde Je es el índice de desempeño (1.3), W2 un factor de peso y JM s es el índice de
robustez dado por
Ms − Msd (1.7)
JM s = Msd siendo Ms la sensibilidad máxima medida del lazo de control optimizado y Msd la
deseada (2,0 o 1,4).
Como punto de partida para las optimizaciones se utilizaron los parámetros de los
controladores óptimos determinados por Montenegro (2007).
El ámbito considerado en los parámetros del controlador PID fue de 0 ≤ β ≤ 1;
0, 01 ≤ {Kc , Ti , Td } ≤ ∞.
La simulación del lazo de control mostrado en la figura 1.2 se realizó mediante un diaR aplicando una entrada escalón unitario
grama de bloques implementado en Simulink,
al valor deseado y de forma consecutiva un escalón unitario a la perturbación. En esta
simulación se consideró un ámbito de tiempo de respuesta desde 0 hasta 30T unidades
de tiempo para la respuesta al cambio en el valor deseado y de 30T a 60T unidades
de tiempo para la respuesta al cambio en la perturbación. Se utilizó el método de solución numérica de ecuaciones diferenciales Runge-Kuta de cuarto orden (ODE4), con
un paso fijo de 0, 001 y como criterio de detención de la optimización una tolerancia
en el parámetro de 10−4 y una tolerancia en la función de 10−4 .
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
9
R la cual miEl algoritmo de optimización emplea la función fminimax de Matlab,
nimiza el peor caso (valor más grande), de un conjunto de funciones multivariables
(función objetivo), utilizando un punto de partida. En este caso se tiene que la función
a minimizar es el índice dado por (1.6) la cual depende de los valores del controlador
PID introducidos.
Los resultados se validaron comparándolos, para el caso de sintonización balanceada,
con los obtenidos por Montenegro (2007).
1.3.3.
Influencia del factor de peso de la robustez
Se realizaron múltiples simulaciones para observar el efecto del factor de peso de la
robustez W2 sobre la variación de los parámetros óptimos, el desempeño y la robustez
del sistema de control.
Se encontró que este factor tiene influencia en la suavidad con la que los parámetros
varían entre sí. En algunos casos se encontró que entre mayor fuera el valor de W2 ,
los parámetros variaban entre un valor y otro de τo con menor suavidad (sin seguir
una tendencia definida), sin embargo en otros casos con un valor mayor del índice se
obtenía una variación más suave entre parámetros.
Se encontró que era necesario aumentar el valor de W2 según aumentaban los valores
de a de la planta y también según se aumentaba el valor de la robustez deseada del
sistema de Msd = 2 a Msd = 1, 4. Se buscó utilizar en primera instancia un mismo valor
de W2 para todos los valores de τo en un mismo valor de a.
En la figura 1.3 se observa el efecto de la variación del W2 en la robustez para el caso de
a = 1, W1 = 0, 5 y Msd = 1, 4. En la figura 1.4 se muestra la variación en el desempeño
(IAE) para el mismo caso.
Se observa como al incrementar el valor de W2 se logra obtener la robustez deseada para
valores bajos de τo , los cuales no se logran alcanzar con valores menores de W2 . Además
en los valores intermedios se observa que el índice de desempeño IAE no varía en gran
medida entre un valor y otro del peso de la robustez. También se puede ver como para
valores muy grandes de W2 si se tienen variaciones importantes en el desempeño.
Se utilizó 1 ≤ W2 ≤ 5, para Msd = 2 y 5 ≤ W2 ≤ 9, para Msd = 1, 4.
1.3.4.
Parámetros óptimos
Se determinaron los parámetros del controlador PID Ideal de dos grados de libertad
considerando como parámetros óptimos aquellos que lograran la robustez propuesta
para el lazo de control. Se buscó además que estos parámetros tuvieran una variación
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
10
1.8
W2=2
W2=3
W2=4.5
W2=6
W2=7
W2=8
W2=9
1.75
1.7
1.65
MS
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.3: Efecto del factor W2 sobre la robustez (Ms )
12
W2=2
W2=3
W2=4.5
W2=6
W2=7
W2=8
W2=9
10
IAE
8
6
4
2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.4: Efecto del factor W2 sobre el desempeño IAE
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
11
Cuadro 1.1: Parámetros óptimos y subóptimos, W1 = 0, 75
Valor
óptimo
subóptimo
a
1
1
τo
1
1
β
0,6915
0,7705
Kc
1,3807
1,3639
Ti
2,0436
2,2178
Td
0,5263
0,5940
Je
4,0414
4,0622
Ju
3,4001
3,1926
Ms
2,0
2,0
Cuadro 1.2: Parámetros óptimos y subóptimos, W1 = 0, 5
Valor
óptimo
subóptimo
a
0,50
0,50
τo
0,05
0,05
β
0,9980
0,5991
Kc
11,5591
10,6019
Ti
1341,8781
0,6000
Td
0,1573
0,1922
Je
2,6881
0,5490
Ju
2,9751
2,5885
Ms
1,40
1,40
suave entre un valor y otro del τo , con el fin de poder obtener posteriormente ecuaciones sencillas para el cálculo de los parámetros del controlador, estos se denominaron
parámetros subóptimos.
Como se observa en el cuadro 1.1, donde se forzó el valor de β para que tenga un valor
de al menos 0, 770, que, a pesar de haber variado los parámetros del punto óptimo, se
obtuvo la misma robustez en el punto subóptimo, con una variación de un 0, 51 % en
el valor del IAE de la respuesta del sistema. Esta se considera aceptable debido a que
simplifica la obtención de las ecuaciones del método.
En otros casos donde la robustez deseada es Msd = 1, 4 y se tiene un valor de τo
pequeño, se encontró que el algoritmo de optimización encontraba el punto “óptimo”
utilizando un valor muy grande del tiempo integral del controlador. En este caso se forzó
nuevamente la optimización para obtener un valor aceptable del Ti logrando la robustez
requerida, mejorando en gran medida el desempeño y manteniendo la tendencia de los
parámetros. Por ejemplo para el caso de W1 = 0,5, a = 0, 5, τo = 0, 05 se obtuvo la
variación en el índice de desempeño al forzar el parámetro Ti para que obtuviera un
valor máximo de 0, 6 en lugar del valor óptimo de 1341, 87, esta diferencia se muestra
en el cuadro 1.2.
Como se observa en el cuadro 1.2, a pesar de haber variado los parámetros del punto
“óptimo” se obtuvo la misma robustez en el punto subóptimo, con una variación de
un 79, 5 % en mejora del valor del IAE de la respuesta del sistema y utilizando un
valor del Ti que mantiene la tendencia de variación de este parámetro. En este caso
se requirió utilizar un valor alto de W2 (10 ≤ W2 ≤ 20) para forzar la optimización a
alcanzar la robustez deseada del sistema, pero con estos valores de W2 se observa como
el algoritmo "‘descuida"’ el valor del IAE para lograr la robustez. Sin embargo al forzar
esta optimización se puede lograr un mejor desempeño y una tendencia estable en los
parámetros del controlador.
Debido a que la variación en el desempeño es muy pequeña en la mayoría de los casos
o es una mejora considerable en otros, se decidió obtener las ecuaciones basados en
los parámetros óptimos junto con los parámetros modificados (forzados o subóptimos)
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
12
con el fin de obtener una tendencia suave de los parámetros del controlador entre
los distintos valores de τo logrando en todos los casos la robustez deseada y un buen
desempeño medido por el IAE. De esto se concluye que el factor de peso W2 afecta en
gran medida la robustez del sistema y que en algunos casos disminuye el desempeño
del mismo de forma considerable al aumentar su valor.
Se observa en las tablas de valores de parámetros óptimos que en todos los casos se
logra alcanzar la robustez deseada. De esta forma se comprueba la hipótesis ya que
si es posible obtener una sintonización balanceada y robusta logrando no solamente
sistemas con una robustez mínima Msd = 2 sino también sistemas de robustez alta
Msd = 1, 4.
Se muestran las tablas completas de los parámetros optimizados con el desempeño y
robustez obtenida el Apéndice A.
1.3.5.
Influencia del factor de peso del desempeño
El factor de peso W1 en (1.3) tiene como propósito favorecer uno de los comportamientos del lazo de control, servo control o control regulatorio. Con W1 = 0, 5 se obtiene
un funcionamiento balanceado, con W1 = 0, 25 se favorece el control regulatorio y si
W1 = 0, 75 se favorece el servo control.
Para observar el efecto de este parámetro sobre el desempeño se obtuvieron los índices
IAE para el servo control (Jer ) y para el control regulatorio (Jed ) por separado para todos los parámetros óptimos, según el valor de Ms y considerando W1 = 0, 25; 0, 5; 0, 75.
Con esta información se procedió a calcular las razones entre los valores del IAE obtenidos con el caso de W1 = 0, 5 con los obtenidos con los casos de W1 = 0, 25 y
W1 = 0, 75. Se graficó la variación de estas razones para determinar el efecto del factor
W1 sobre el desempeño.
En la figura 1.5 se muestra como ejemplo el efecto del factor de peso sobre el desempeño
(W1 = 0, 5 y 0, 25), para el caso del servo control con Ms = 2, 0, y en la figura 1.6 su
efecto para el caso del control regulatorio, con W1 = 0, 5 y 0, 75 y Ms = 1, 4. Los demás
casos se adjuntan en el Apéndice A.
Como se observa, no es posible determinar una regla general que permita establecer
cómo afecta la variación del factor W1 en el comportamiento general del sistema de
control. La razón más probable de esta situación es que haber incluido dentro de la
optimización el requisito de obtener un sistema robusto, pierda relevancia el favorecer
un determinado funcionamiento del lazo de control. Podría considerarse, en un trabajo
futuro, el incorporar dentro de la optimización, restricciones adicionales.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
13
1.06
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
1.04
1.02
IAE r0,5 /IAEr0,25
M s=2
1
0.98
0.96
0.94
0.92
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.5: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jer , W1 = 0, 5/W1 = 0, 25
1
0.95
0.85
IAE
d0,5
/IAE
d0,75
0.9
0.8
M =1,4
s
0.75
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a= 1
0.7
0.65
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura 1.6: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jed , W1 = 0, 5/W1 = 0, 75
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
14
5
IAUr,a=0
IAUr,a=0,25
IAUr,a=0,5
IAUr,a=0,75
IAUr,a=1
IAUd,a=0
IAUd,a=0,25
IAUd,a=0,5
IAUd,a=0,75
IAUd,a=1
4.5
4
3.5
IAU
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.7: Variación del costo de control Jur e Jrd , W1 = 0, 5 y Ms = 1,4
1.3.6.
Costo de control
En todos los casos estudiados de Ms y W1 se obtuvo el esfuerzo de control dado por
(1.4). Para el caso de la sintonización balanceada (W1 = 0, 5), se observó que el índice
del servo control (Jur ) es mayor al del control regulatorio (Jud ), para valores de τo < 0, 4.
Conforme se aumenta este valor se obtiene lo contrario, un Jur < Jud . Esto se muestra
en la figura 1.7.
En la figura 1.8 se muestra la variación del Ju para el caso de Ms = 1, 4 y W1 = 0, 5. En
esta se observa que Ju crece según aumenta el valor del parámetro a de la planta.
En la figura 1.9 se muestra la variación del Ju para el caso de Ms = 1, 4 y W1 = 0, 5 al
variar el factor W2 . En esta se observa que el factor W2 no tiene un efecto considerable
sobre el Ju , sin embargo para valores bajos de a se disminuye el Ju según se aumenta
el valor de W2 .
Si se compara el desempeño con el esfuerzo de control para W1 = 0, 5 se tiene que para
valores de τo < 0, 4 el esfuerzo de control es mucho mayor al desempeño y para valores
mayores se obtiene que ambos índices son muy parecidos entre sí. Esto se muestra en
la figura 1.10.
Este comportamiento es similar al de los otros valores de W1 . Los datos del costo de
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
15
6
5.5
5
4.5
IAU
4
3.5
3
2.5
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
2
1.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.8: Variación del costo de control Ju , W1 = 0, 5, Ms = 1, 4
7
W2=2
W2=3
W2=4.5
W2=6
W2=7
W2=8
W2=9
6
IAU
5
4
3
2
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura 1.9: Efecto del factor W2 sobre el costo de control Ju , W1 = 0, 5, Ms = 1, 4
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
16
8
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
7
6
M =1,4
IAU/IAE
5
s
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura 1.10: Razón del costo de control respecto al desempeño Ju /Je , W1 = 0, 5
control para todos los casos se encuentran en los apéndices.
1.3.7.
Controladores PID Serie equivalentes
En los cuadros de los parámetros óptimos mostrados en el Apéndice A se muestra
la relación de los parámetros del controlador Ti /Td , la cual debe ser mayor o igual a
cuatro, para que exista un controlador PID Serie equivalente. Esta relación se cumple
únicamente para valores bajos del a (0 y 0,25) y valores bajos del τo de 0 a 0, 75 o 1, 25
según el valor de a. Debido a esto se considerará que el método desarrollado se aplica
únicamente a controladores PID Ideal de dos grados de libertad.
1.3.8.
Ecuaciones de sintonización
Utilizando los parámetros óptimos del controlador obtenidos se procedió a la identificación de las ecuaciones para cada uno de estos según el valor de a y posteriormente
se generalizaron las ecuaciones en función de este valor. Se utilizaron únicamente los
parámetros con W1 = 0, 5.
R
Para todas las ecuaciones se utilizó la herramienta Curve Fitting Tool de Matlab.
Mediante el comando cftool, se utilizó un mismo tipo de ecuación para cada parámetro
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
17
Cuadro 1.3: Coeficientes para el cálculo de β, W1 = 0, 5, Msd = 2
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p1
p2
p3
p4
p5
-31,3138 138,8123 -31,6400 130,3824 127,3266
14,6090
64,6357
53,2253
42,5420 127,4660
77,8141
-6,5285
214,7182
52,6018 176,8467
-8,8803 146,1862 -38,9589
52,3283 118,3220
26,5729 457,2468 -297,6387 40,8951 147,7776
a
q1
q2
q3
q4
0
26,7140
138,7144
47,9880 254,9715
0,25 125,9996
58,8747
-20,4888 248,3195
0,5 309,6780 -44,8828 117,3428 322,7023
0,75 124,5590
44,7871
-20,1100 230,0155
1
628,2160 -292,7967 -84,8235 288,2226
y valor de a (la que daba el mejor ajuste) con el fin de poder obtener primeramente ecuaciones de los parámetros en términos de τo y posteriormente generalizar las
ecuaciones para que dependan también del valor de a.
Ecuaciones específicas
Estas son de la forma f (τo ), específicas para cada valor de a de la planta. Deben
utilizarse siempre que se obtenga el valor exacto de a para un modelo determinado y
se tenga un valor de τo distinto a los utilizados en la optimización. Si el valor de a y τo
del modelo coinciden de forma exacta con los utilizados en la optimización, se pueden
utilizar directamente los parámetros óptimos mostrados en el Apéndice A.
Factor de peso del valor deseado β
β=
p1 (a) τo4 + p2 (a) τo3 + p3 (a) τo2 + p4 (a) τo + p5 (a)
τo4 + q1 (a) τo3 + q2 (a) τo2 + q3 (a) τo + q4 (a)
(1.8)
donde los coeficientes de (1.8) se muestran en el cuadro 1.3 para Msd = 2 y en el 1.4
para Msd = 1,4. Si por alguna razón esta ecuación da un valor mayor que uno, debe
tomarse como β = 1
Ganancia Kc
Kc Kp =
p6 (a) τo + p7 (a)
q5 (a) + τo
(1.9)
donde los coeficientes de (1.9) se muestran en el cuadro 1.5 para Msd = 2 y en el 1.6
para Msd = 1,4.
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
Cuadro 1.4: Coeficientes para el cálculo de β, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p1
p2
p3
p4
p5
-49,4303 807,7494
-176,6070
-49,4915
76,3598
-42,4332 673,6795
-186,4698
49,0615
54,9661
-55,6398 467,4918
495,6468
-196,9026 100,7735
18,9446
705,8579
-453,9000
99,3072
47,2181
-69,7233 3428,0544 -1742,9210 192,3155 346,8795
a
q1
q2
q3
q4
0
580,4386
179,3043 -277,6197 126,7679
0,25 475,6291
127,6807 -154,9790 100,5936
0,5
198,4901
945,1191 -508,9824 176,9063
0,75 601,8285 -258,5248 -57,0097
92,1450
0
2977,0648 -736,7372 -736,4467 646,2206
Cuadro 1.5: Coeficientes para el cálculo de Kc , W1 = 0, 5, Msd = 2
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p6
0,4177
0,3575
0,1897
0,0858
0,0419
p7
0,7106
0,6818
0,9094
1,1166
1,2942
q5
-0,0069
-0,0149
-0,0172
-0,0189
-0,0209
Cuadro 1.6: Coeficientes para el cálculo de Kc , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p6
0,1880
0,2154
0,1840
0,1755
0,1496
p7
0,4393
0,3712
0,4361
0,5029
0,5925
q5
-0,0015
-0,0044
-0,0080
-0,0105
-0,0110
18
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
19
Cuadro 1.7: Coeficientes para el cálculo de Ti , W1 = 0, 5, Msd = 2
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p8
1,5360
1,4879
3,0176
4,2495
6,0589
p9
0,4026
0,3790
0,1690
0,1282
0,0961
p10
-0,3028
-0,0859
-1,3859
-2,4354
-4,0659
Cuadro 1.8: Coeficientes para el cálculo de Ti , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p8
2,4318
2,2661
-0,7268
-0,4560
-0,5860
p9
0,1533
0,1221
-0,2505
-0,3714
-0,3495
p10
-1,3687
-1,0558
2,1387
2,0774
2,3867
Tiempo integral Ti
Ti
= p8 (a) τop9 (a) + p10 (a)
(1.10)
T
donde los coeficientes de (1.10) se muestran en el cuadro 1.7 para Msd = 2 y en el 1.8
para Msd = 1,4.
Tiempo derivativo Td
Td
= p11 (a) τop12 (a) + p13 (a)
T
(1.11)
donde los coeficientes de (1.11) se muestran en el cuadro 1.9 para Msd = 2 y en el 1.10
para Msd = 1,4.
Ecuaciones generales
Estas son de la forma f (a, τo ), y dependen tanto de los valores de a como de τo de
la planta. Las ecuaciones de los parámetros del controlador están dadas por (1.8) a
Cuadro 1.9: Coeficientes para el cálculo de Td , W1 = 0, 5, Msd = 2
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p11
0,2687
0,2569
0,3323
0,4249
0,5228
p12
1,0246
1,0236
0,7346
0,5948
0,4810
p13
0,0014
0,1053
0,1323
0,1032
0,0583
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
20
Cuadro 1.10: Coeficientes para el cálculo de Td , W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
a
0
0,25
0,5
0,75
1
p11
0,3458
0,3588
0,3238
0,3425
0,4006
p12
0,9947
0,8237
0,9616
0,8987
0,7952
p13
0,0002
0,1111
0,1901
0,2211
0,2345
Cuadro 1.11: Coeficientes generalizados según a, W1 = 0, 5, Msd = 2
coeficiente
p1
p2
p3
p4
p5
q1
q2
q3
q4
p6
p7
q5
p8
p9
p10
p11
p12
p13
ϕ4
4685,1032
-3054,9243
9620,9622
1145,6798
3765,6787
16114,8087
-8938,9465
8849,2415
6038,0541
-1,8727
2,8564
0,0499
29,3417
-5,5082
-27,7227
0,6220
-5,9768
0,2083
ϕ3
-8810,9247
6938,2935
-19677,2865
-2873,0119
-7324,7494
-29006,2397
15726,7679
-18410,8514
-11703,5263
4,6397
-7,2382
-0,1325
-64,0189
12,0568
60,4373
-1,6809
13,6283
-0,0904
ϕ2
4696,7181
-3843,0907
11161,8155
2436,7260
4240,0079
15379,5926
-8075,6287
11587,0623
6784,2740
-3,5220
6,2305
0,1244
47,7997
-8,1243
-45,3349
1,6864
-9,9100
-0,6387
ϕ1
-513,0099
278,1560
-1371,4898
-798,8811
-660,4863
-1886,6595
856,2962
-2158,2639
-1085,5508
0,3792
-1,2650
-0,0560
-8,5996
1,2693
8,8572
-0,3734
1,7149
0,5777
ϕ0
-31,3138
138,8123
-31,6400
130,3824
127,3266
26,7140
138,7144
47,9880
254,9715
0,4177
0,7106
-0,0069
1,5360
0,4026
-0,3028
0,2687
1,0246
0,0014
(1.11). Los coeficientes de estas ecuaciones deben calcularse mediante (1.12). Este procedimiento se debe utilizar cuando los valores de a y τo no coinciden con los utilizados en
las ecuaciones específicas de la Sección 1.3.8 o con los parámetros óptimos del Apéndice
A.
pn (a) = ϕ0 + ϕ1 a + ϕ2 a2 + ϕ3 a3 + ϕ4 a4
(1.12)
Las constantes a utilizar en (1.12) dependen de la robustez deseada, estos se muestran
en el cuadro 1.11 para Msd = 2 y en el 1.12 para Msd = 1, 4.
En el caso del tiempo integral Ti y Ms = 1, 4, si se tiene un valor de a ≤ 0, 25 se debe
utilizar la ecuación (1.13) y el cuadro 1.13 para el cálculo de los coeficientes p8 , p9 y
p10 en lugar del expuesto en el cuadro 1.12, con el fin de no obtener un tiempo integral
negativo.
p8,9,10 (a) = ϕ0 + ϕ1 a
(1.13)
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
21
Cuadro 1.12: Coeficientes generalizados según a, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
coeficiente
p1
p2
p3
p4
p5
q1
q2
q3
q4
p6
p7
q5
p8
p9
p10
p11
p12
p13
ϕ4
-3829,7408
16241,1196
38568,8713
-17408,7119
6604,1998
4678,5435
60124,3537
-34346,7329
11343,6992
-1,3062
1,6200
-0,0066
-104,0580
-7,4880
104,1459
-1,2368
7,1473
0,5010
ϕ3
6896,5557
-18850,5146
-82638,8281
35571,1070
-11682,9833
2078,7928
-121014,7370
65201,3829
-19826,8666
2,8339
-3,8281
0,0278
221,0566
17,5584
-221,6833
2,9401
-16,1592
-0,9251
ϕ2
-3658,5349
6455,4532
50641,0744
-21818,1562
6410,5096
-4984,5939
71409,1445
-37687,4951
10727,1783
-2,0256
3,2262
-0,0231
-142,8847
-12,6240
143,7510
-2,0483
11,4644
0,2197
ϕ1
571,4270
-1225,7532
-8137,4316
3897,5681
-1061,2065
623,8839
-11434,8026
6374,0181
-1724,5582
0,4596
-0,8650
-0,0076
22,8683
2,0508
-22,4582
0,3997
-2,6520
0,4388
ϕ0
-49,4303
807,7494
-176,6070
-49,4915
76,3598
580,4386
179,3043
-277,6197
126,7679
0,1880
0,4393
-0,0015
2,4318
0,1533
-1,3687
0,3458
0,9947
0,0002
Cuadro 1.13: Coeficientes para el Ti , a ≤ 0, 25, W1 = 0, 5, Msd = 1, 4
coeficiente
p8
p9
p10
ϕ1
-0,6627
-0,1248
1,2517
ϕ0
2,4318
0,1533
-1,3687
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
22
Cuadro 1.14: Información de la planta, prueba específica, Kp = 1, T = 1
Planta N◦
1
2
3
Kp
1
1
1
T
1,00
1,00
1,00
L
1,00
0,50
1,50
a
0,0
0,5
1,0
τo
1,00
0,50
1,50
Msd
2,0
2,0
1,4
Cuadro 1.15: Parámetros óptimos, prueba específica
Método
Propuesto
balanceado robusto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Servo control
Méndez (2008)
control regulatorio
Méndez (2008)
2 grados libertad
1.4.
Msd
2,0
2,0
1,4
2,0
2,0
1,4
2,0
2,0
1,4
2,0
2,0
1,4
2,0
2,0
1,4
a
0,00
0,50
1,00
0,00
0,50
1,00
0,00
0,50
1,00
0,00
0,50
1,00
0,00
0,50
1,00
τo
1,00
0,50
1,50
1,00
0,50
1,50
1,00
0,50
1,50
1,00
0,50
1,50
1,00
0,50
1,50
β
0,7200
0,6447
1,0000
0,5858
0,5014
0,6324
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
1,0000
0,7370
0,6270
1,4120
Kc
1,1123
1,9522
0,5539
1,3424
2,6764
1,1968
1,0590
1,8890
0,5630
1,0650
1,8270
0,5490
1,0650
1,8270
0,5490
Ti
1,2340
1,3105
1,7900
1,2434
1,2424
2,2645
1,6070
2,3160
2,8080
1,1010
0,9980
1,9710
1,1010
0,9980
1,9710
Td
0,2662
0,3477
0,7610
0,3437
0,3957
0,8092
0,3270
0,3940
0,7580
0,3950
0,4610
0,9380
0,3950
0,4610
0,9380
Pruebas comparativas
Se realizaron distintas pruebas al método propuesto para comprobar su comportamiento en el desempeño, el costo de control y la robustez del sistema. Se comparó con los
métodos de Montenegro (2007) y Méndez (2008).
1.4.1.
Valores específicos de a y τo
Antes de utilizar una planta de prueba con sus respectivos modelos, se procedió a probar
el método desarrollado para valores específicos de a y τo utilizando directamente los
parámetros optimizados tanto para el método propuesto como para los métodos de
Montenegro (2007) y Méndez (2008), considerando que Kp = 1 y T = 1. En el cuadro
1.14 se resume la información utilizada para la sintonización del controlador.
Observando directamente los parámetros óptimos de los métodos utilizados en la comparación se tienen los parámetros del controlador. Estos se resumen en el cuadro
1.15.
Simulando el sistema mostrado en la figura 1.2 con los parámetros óptimos del cuadro
1.15 se obtuvieron los resultados mostrados en el cuadro 1.16
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
23
Cuadro 1.16: Resultados prueba específica Je , Ju , Ms
Método
Propuesto
balanceado robusto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Servo control
Méndez (2008)
control regulatorio
Méndez (2008)
2 grados libertad
a
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
0,0
0,5
1,0
τo
1,0
0,5
1,5
1,0
0,5
1,5
1,0
0,5
1,5
1,0
0,5
1,5
1,0
0,5
1,5
Jer
1,7629
1,4275
4,0389
1,7466
1,3655
3,3784
1,6094
1,2616
4,9830
1,9759
1,8323
4,0723
1,9095
1,7226
3,8079
Jed
1,1154
0,6806
3,5190
0,9782
0,5031
2,0267
1,5175
1,2260
4,9721
1,1764
0,7171
3,7425
1,1764
0,7171
3,7426
Je
2,8782
2,1081
7,5579
2,7248
1,8686
5,4051
3,1268
2,4877
9,9552
3,1523
2,5494
7,8148
3,0859
2,4397
7,5505
Jur
0,6984
1,0927
0,9545
0,8932
1,8329
1,4826
0,6906
1,3777
1,4725
1,0881
1,9004
0,6721
0,8039
1,3268
0,9283
Jud
1,5020
1,1216
3,6238
1,5823
1,4254
2,9708
1,5223
1,2577
4,9395
1,4682
1,2262
3,7862
1,4682
1,2262
3,7862
Ju
2,2004
2,2143
4,5783
2,4755
3,2583
4,4534
2,2128
2,6354
6,4121
2,5563
3,1266
4,4583
2,2721
2,5529
4,7146
Ms
2,00
2,00
1,40
2,55
3,09
2,50
1,93
2,00
1,40
2,00
2,00
1,41
2,00
2,00
1,41
Se observa en el cuadro 1.16 que se logra obtener con el método propuesto la robustez
deseada para todos los casos.
Al comparar con los resultados de Montenegro (2007) se observa que este método no
provee la Msd . Como era de esperarse el desempeño del método propuesto empeora
respecto al de Montenegro (2007) ya que debe sacrificarse en busca de obtener la Msd .
Esta desmejora es mayor para el caso de Msd = 1, 4. Sin embargo, el método propuesto
provee un Ju menor al de Montenegro (2007) excepto para el caso de Msd = 1, 4. Los
respectivos índices Jer e Jed son muy similares entre ambos métodos (son mayores los
del método propuesto) mostrando el efecto del caso balanceado y el sacrificio realizado
en el desempeño para poder obtener la robustez deseada.
Se utilizó el método de Méndez (2008) en los casos del servo control y el control
regulatorio con el fin de mostrar el desempeño balanceado del método propuesto. Se
observa en el caso del servo control que el índice Jed es menor en todos los casos para
el método propuesto al igual que el índice Je , mostrando una mejora considerable en el
desempeño de un servo control actuando también como control regulatorio. En el caso
del control regulatorio se observa que el Jed y el índice Je también es menor en todos
los casos para el método propuesto, obteniéndose una mejora en el desempeño de un
control regulatorio actuando como servo control. Además, en todos los casos se obtiene
un Ju menor para el método propuesto.
Para el caso del controlador de dos grados de libertad obtenido con Méndez (2008) se
observa que para Msd = 2 se obtiene un mejor Jer , Jed , Je y Ju para el método propuesto.
En el caso de Msd = 1, 4 se observa que se obtiene un mejor control regulatorio con el
método propuesto, sin embargo el servo control no es tan bueno respecto al de Méndez
(2008). Esto se debe a que este método utiliza valores de β que pueden ser mayores a
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
24
Cuadro 1.17: Parámetros de los modelos de la planta de prueba general
α
0,1
0,2
0,4
0,7
1,0
Mejor Modelo
POMTM
SOMTM
SOMTM (simp)
PDMTM
PDMTM
Kp
1
1
1
1
1
T
1,0030
1,0222
0,8557
0,9797
1,4868
L
0,1120
0,0565
0,1470
0,6050
1,1100
a
0
0,1668
0,7046
1
1
τo
0,1117
0,0553
0,1718
0,6175
0,7466
la unidad, caso contrario al método propuesto donde este valor no puede ser mayor a la
unidad (tal y como sucede en los controladores reales). Es probable que si se utilizara
un valor de β mayor a la unidad para el método propuesto se obtendría un mejor servo
control que el determinado mediante Méndez (2008).
1.4.2.
Plantas de prueba
Se utilizó la planta de prueba sugerida por Aström & Hägglund (2000) dada por (1.14),
donde se utiliza T = 1 y α = [0, 1; 0, 2; 0, 4; 0, 7; 1, 0]. De esta se obtuvieron distintos
modelos utilizando el método 123c de Alfaro (2006b) de los cuales se escogieron los que
daban la mejor aproximación posible para cada valor de α
P (s) =
1
3
Q
(αn T s
(1.14)
+ 1)
n=0
Los parámetros de los modelos obtenidos se resumen en el cuadro 1.17. Estos se utilizaron para el cálculo de los parámetros del controlador PID ideal de dos grados de
libertad utilizando el método propuesto y los métodos de Montenegro (2007) y Méndez
(2008). Estos se resumen en el cuadro 1.18.
Simulando el sistema mostrado en la figura 1.2 con los parámetros óptimos del cuadro
1.18 se obtuvieron los resultados mostrados en el cuadro 1.19.
Se observa en el cuadro 1.19 que el método propuesto tiene un desempeño adecuado
para todas las plantas de prueba utilizadas. En todos los casos se obtuvo el desempeño
balanceado deseado obteniéndose el Jer menor en todos los casos a los obtenidos con los
otros métodos, esto a costa de perder un poco de desempeño en el control regulatorio
sin afectar en gran medida el desempeño total de la respuesta del sistema Je el cual
también es menor para todos los casos. El costo de control es más bajo con el método
propuesto en prácticamente todos los casos, exceptuando los casos de Msd = 1, 4. A
pesar de esto se obtienen valores muy cercanos al mínimo obtenido por el método de
Méndez (2008). La robustez obtenida para el método propuesto es igual a la deseada
cuando Msd = 2 y muy cercana a la deseada cuando Msd = 1, 4. La mejora respecto
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
25
Cuadro 1.18: Parámetros del controlador, ecuaciones generales
α
0,1
Msd
2,0
0,2
1,4
0,4
2,0
0,7
1,4
1,0
2,0
Método
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
β
0,5406
0,5189
0,4669
0,6489
0,5170
0,6352
0,5574
0,5607
0,5357
0,9778
0,4882
0,8853
0,6522
0,5140
0,6523
Kc
7,2245
10,1400
7,3515
7,3168
28,4046
6,9920
7,1887
11,3874
6,7086
1,1291
2,8906
1,0600
1,8266
2,3558
1,7025
Ti
0,3427
0,3192
0,2322
0,4313
0,3855
0,4486
0,8505
0,7774
0,5786
1,6589
1,6155
1,3855
2,7137
2,6304
2,1282
Td
0,0307
0,0448
0,0533
0,1142
0,0128
0,1138
0,2149
0,2315
0,2781
0,4973
0,5383
0,6338
0,7620
0,8861
1,0353
Cuadro 1.19: Resultados plantas de prueba Je , Ju , Ms
α
0,1
0,2
0,4
0,7
1,0
Metodo
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Propuesto
Montenegro (2007)
Méndez (2008)
Jer
0,2396
0,2082
0,2995
0,3907
6,35E21
0,3950
0,6043
0,5123
0,7759
2,2487
1,7235
2,5329
3,1029
3,0204
3,6830
Jed
0,0474
0,0316
0,0426
0,0663
1,34E44
0,0711
0,1183
0,0694
0,1185
1,5490
0,6067
1,5894
1,5031
1,2128
1,6004
Je
0,2871
0,2398
0,3421
0,4570
1,34E44
0,4661
0,7226
0,5817
0,8944
3,7977
2,3302
4,1224
4,6060
4,2332
5,2834
Jur
0,9996
1,2753
1,3620
1,4394
9,40E23
1,3686
2,2594
4,4515
2,4448
1,1231
2,5310
1,3032
2,3178
3,4457
2,4803
Jud
0,2581
0,2319
0,2750
0,2854
2,43E47
0,2893
0,5597
0,6777
0,5765
1,7245
1,8402
1,8630
2,5230
3,0833
2,5871
Ju
1,2576
1,5071
1,6370
1,7249
2,43E47
1,6579
2,8191
5,1292
3,0214
2,8477
4,3712
3,1662
4,8408
6,5290
5,0674
Ms
1,95
3,03
2,05
1,43
4,87
1,41
2,06
3,73
2,07
1,42
3,15
1,40
2,06
3,02
2,10
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
26
al método de Montenegro (2007) es considerable tanto en el desempeño como en la
robustez y el esfuerzo de control.
1.5.
Conclusiones y recomendaciones
1.5.1.
Conclusiones
Se desarrolló un nuevo procedimiento de sintonización que garantiza un desempeñó óptimo (IAE) balanceado y una robustez mínima (Ms 2 o 1,4) siguiendo el
planteamiento del problema, esto comprueba la hipótesis establecida. El método
produce lazos de control con un desempeño adecuado tanto ante la respuesta a
un cambio en el valor deseado como ante una perturbación, aplicados de forma
consecutiva.
Se lograron optimizar los parámetros del controlador (1.2) de tal forma que se
obtuviera la robustez deseada del sistema ((1.1) y figura 1.2) minimizando la
funcional de costo compuesta por el desempeño balanceado (1.3) y la robustez
(1.5) en un solo factor dado por (1.6). Este factor fue de mucha utilidad ya que
indica en un solo número la variación del desempeño y la robustez del sistema.
Se determinó que el factor de peso de la robustez W2 según (1.6) tiene un efecto
considerable sobre la robustez de los sistemas optimizados, así como en la suavidad con la que varían los parámetros óptimos entre sí al variar el valor de τo .
Se aumentó el valor de este factor según se requería para hacer que el sistema
óptimo balanceado alcanzara la robustez deseada. Este factor no tiene influencia
considerable en el esfuerzo de control (figura 1.9).
Además, fue necesario forzar algunos parámetros (por ejemplo el Ti , ver cuadros
1.1 y1.2) del controlador para que tomaran como mínimo cierto valor. Esto fue
muy útil ya que se logró obtener una variación suave de los parámetros lo que
facilitó la obtención de las ecuaciones del método. A pesar de que estos parámetros son subóptimos respecto a los valores determinados por el algoritmo de
optimización, se tiene que la variación del Je es mínima en estos casos por lo
que se concluye que es adecuada la modificación de estos parámetros al forzar la
optimización y utilizar valores altos de W2 , con el fin de suavizar la tendencia de
variación de los parámetros del controlador según se aumenta el valor de τo .
Se encontró que el factor de peso del desempeño W1 según (1.3) tiene un efecto
sobre el desempeño de los sistemas optimizados. Se observó que según se modifica
este valor se logra favorecer un comportamiento del lazo de control de cierta
forma. Sin embargo, no fue posible establecer una regla general que indicara la
forma en la que este factor favorece o no un comportamiento del lazo. Esto se
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
27
debe probablemente a que en la optimización pesara más el hecho de establecer
un sistema robusto que el de favorecer alguno de los comportamientos de lazo.
Se estudió el costo de control según (1.4) para los sistemas optimizados, se determinó que este índice toma valores adecuados para los sistemas optimizados por
lo que no se requirió agregar restricciones sobre la salida del controlador en la
optimización. Se observa que su valor aumenta según lo hace el valor de a de la
planta (figura 1.8) y según aumenta el requerimiento sobre Ms de 2 a 1,4. También se requiere un mayor Ju para valores de τo < 0, 4 que para valores mayores
(1.10).
De los parámetros óptimos determinados se concluye que no es posible determinar
un controlador PID Serie equivalente al controlador Ideal optimizado debido a
que la relación Ti /Td es menor a cuatro en la gran mayoría de los casos. El método
desarrollado es exclusivo para controladores PID de dos grados de libertad del
tipo Ideal.
Con los parámetros óptimos se lograron determinar las ecuaciones específicas
para todos los parámetros del controlador dependientes únicamente del valor de
τo . A partir de los parámetros de estas ecuaciones fue posible generalizarlas para
que fueran válidas para cualquier valor de a dentro del ámbito estudiado. Cabe
destacar que las ecuaciones generales no cuentan con muchos puntos distintos de
a para ser calculadas, por lo que estas pueden dar en ciertos casos intermedios
de este valor, parámetros que se producen sistemas que se acerquen a la robustez
requerida pero no la cumplan (ver cuadro 1.19).
Se concluye a partir de los resultados obtenidos en las pruebas comparativas
que el método propuesto denominado Sintonización balanceada robusta funciona
adecuadamente tanto para los casos específicos de valores de a y τo como para
modelos cuyos parámetros no coinciden con los utilizados en la optimización. Se
obtiene con el método propuesto un mejor desempeño Je , costo de control Ju y
garantiza una robustez deseada Msd que con los métodos utilizados en la comparación en la gran mayoría de los casos. El método propuesto obtiene adecuadamente
el desempeño balanceado, mejorando el funcionamiento del servo control cuando
el lazo actúa como control regulatorio y viceversa.
1.5.2.
Recomendaciones
Se recomienda extender el presente estudio en distintos temas. Se debe ampliar el
estudio de la influencia del factor W1 sobre el desempeño del sistema. Sin embargo
esta vez debe ser implementarlo como una restricción en la optimización. Por
ejemplo se puede introducir la restricción de que la razón del índice Je para los
casos de W1 = 0, 5/W1 = 0, 25 sea menor a la unidad o menor a 0, 95. De esta
CAPÍTULO 1. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
28
forma se puede establecer una mejora en el desempeño del control regulatorio
de un 5 % respecto al caso balanceado, y proceder de la misma forma para los
otros casos de W1 . Esto podría establecer claramente el efecto de este parámetro y
permitiría desarrollar un método en función de este parámetro W1 el cual indicaría
cuanto se desea favorecer un comportamiento del lazo respecto al otro. Se puede
ampliar además el ámbito de valores utilizados para W1 y estudiar primeramente
su efecto sin exigirle una robustez mínima al sistema y luego agregar la restricción
de robustez al sistema.
Debido al buen funcionamiento del método propuesto se recomienda extender el
mismo a otros valores de Msd así como extender el estudio a más valores de a de
los estudiados. Esto facilitaría la obtención de ecuaciones generales más precisas
lo que podría ayudar en la determinación de ecuaciones generales en términos del
valor de Msd .
Si se tiene un modelo con un valor de a y τo igual a los contemplados en la
optimización, se recomienda utilizar en este caso las ecuaciones específicas determinadas en lugar de las generales debido a que darán valores de los parámetros
del controlador más adecuados y precisos. Si esto no es el caso se deben utilizar las
ecuaciones generales. Se recomienda tener cuidado con estas ya que una pequeña
variación en las constantes para el cálculo de los parámetros de las ecuaciones
puede producir una desviación muy grande del valor del parámetro del controlador, dando inclusive tiempos negativos. Además, sería conveniente determinar
las ecuaciones generales para que tengan validez según un ámbito más pequeño
de valores de τo (de la misma forma que se hizo para el Ti con Ms = 1, 4 en las
ecuaciones generales). Esto podría simplificar en gran medida el cálculo de los
parámetros del controlador ya que se tendrían ecuaciones más simples y precisas
que permitirían acercarse aún más a los valores de Msd requeridos. Para esto es
necesario extender el estudio para más valores de a en el ámbito propuesto.
Se recomienda extender el método a controladores PID Serie de dos grados de
libertad, ya que los parámetros de los controladores PID Ideal obtenidos para la
sintonización balanceada robusta, no tienen un equivalente para el controlador
Serie, el cual es muy utilizado en la industria. Se puede también extender el método a los controladores PI los cuales también son muy utilizados en aplicaciones
industriales.
Capítulo 2
Sintonización robusta de un sistema
de control en cascada PI/PID de dos
grados de libertad
Alejandro Mora Sojo
2.1.
Introducción
Se presenta adelante el trabajo realizado para la obtención de un método de sintonización robusta, de un sistema de control en cascada PI/PID de dos grados de libertad.
2.1.1.
Alcance
Se consideró el sistema de control en cascada de la figura 2.1 con dos plantas, P1 (s)
(parte lenta) y P2 (s) (parte rápida), y controladores de dos grados de libertad.
El esquema de control en cascada incluye un controlador interno (secundario o esclavo)
y un controlador externo (primario o maestro). Además, incorpora la medición de una
variable intermedia que permite detectar la existencia de la perturbación de carga d2 (s)
y efectuar una corrección de la misma, antes de que esta afecte severamente a la variable
controlada.
Se consideró como controlador primario un PID Ideal con la derivada aplicada solo a la
señal realimentada. Este controlador está compuesto por el controlador de valor deseado
Cr1 (s) y el de realimentación Cy1 (s). El controlador secundario es un PI compuesto por
29
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
30
Figura 2.1: Sistema de control en cascada
un controlador de valor deseado Cr2 (s) y su respectivo controlador de realimentación
Cy2 (s).
Se desea que el sistema de control responda adecuadamente a los cambios en el valor deseado r(s), y que elimine rápidamente el efecto de las perturbaciones d1 (s) y
d2 (s).
Se supone que el modelo de la planta o proceso controlado, se puede descomponer en
dos plantas con funciones de transferencia de primer orden P1 (s) y P2 (s), donde la
dinámica de la planta P2 (s) es más rápida que la de la planta P1 (s).
El alcance de este trabajo incluyó la aplicación del método de sintonización robusta
IAEMS desarrollado en Méndez (2008), a un esquema de control en cascada PI/PID
con controladores de dos grados de libertad, que no requiriera de la prueba intermedia,
generalmente necesaria para la sintonización del controlador maestro.
2.1.2.
Justificación
En la literatura se encuentra información sobre la aplicación de los sistemas de control
en cascada, empleando controladores de un grado de libertad. En este caso, el controlador esclavo se sintoniza normalmente para dar un buen seguimiento al valor deseado,
establecido por el controlador maestro (servo control) y este último, se sintoniza de
manera de eliminar la influencia remanente de las perturbaciones de carga (control
regulatorio).
Aunque el esquema de control en cascada con controladores de un grado de libertad ha
sido estudiado con amplitud, no se ha encontrado información relevante sobre la utilización de los controladores de dos grados de libertad, en este esquema de control.
Adicionalmente, la mayoría de los métodos de sintonización desarrollados para controladores de un grado de libertad, no consideran la robustez del lazo de control como uno
de sus parámetros de diseño.
Usualmente los controladores de un esquema de control en cascada se sintonizan si-
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
31
guiendo un proceso secuencial, de adentro hacia afuera. Primero se sintoniza el controlador esclavo, con el maestro en manual. Posteriormente se cierra el lazo interno y
se determina un modelo para la planta aparente vista por el controlador maestro para
realizar su sintonización. Este requerimiento representa una limitación a la hora de
buscar sintonizar de manera directa y simultánea los dos controladores.
En este trabajo se desarrolló un método de sintonización robusta para controladores
PI/PID de dos grados de libertad, que no requiere de la realización de pruebas intermedias. Se obtuvo así un método sencillo y de aplicación directa, que incorpora todas
las ventajas inherentes al control en cascada, sumadas a los beneficios de la utilización
de controladores de dos grados de libertad y el control robusto.
2.1.3.
Hipótesis
Es posible aplicar un método de sintonización robusta de controladores de dos grados
de libertad a un esquema de control en cascada, de manera que la sintonización del
controlador maestro y el esclavo, se pueda realizar sin necesidad de efectuar una prueba
intermedia.
2.1.4.
Objetivos
Objetivo general
Desarrollar un método de sintonización robusta para un sistema de control en cascada
PI/PID de dos grados de libertad.
Objetivos específicos
Obtener ecuaciones que permitan parametrizar la respuesta de lazo cerrado del
control de una planta de primer orden más tiempo muerto, con un controlador
PI de dos grados de libertad, con sus parámetros determinados con un método
de sintonización robusta como el IAEMS de Méndez (2008).
Verificar el efecto de los parámetros de la planta de dinámica rápida, sobre el
modelo de lazo cerrado.
Establecer un procedimiento de sintonización de los controladores del sistema de
control en cascada, como una extensión del método IAEMS.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
32
Comparar el comportamiento del sistema de control obtenido con el procedimiento de sintonización propuesto, con el obtenido con otros procedimientos descritos
en la literatura.
2.1.5.
Metodología
El trabajo realizado incluyó:
La sintonización del controlador esclavo con base en la dinámica rápida de la planta y una sensibilidad máxima deseada, con el método IAEMS [Méndez (2008)].
La obtención de la respuesta de lazo cerrado y la identificación de un modelo de
primer orden más tiempo muerto para este, utilizando el método 123c [Alfaro
(2006a)].
El estudio del efecto de los parámetros del modelo de la dinámica rápida del
proceso controlado, sobre las características de la respuesta del lazo interno.
La determinación de ecuaciones para la identificación del modelo del lazo interno
en función de los de la planta y la sensibilidad máxima deseada.
La sintonización del controlador maestro, con base en la dinámica lenta de la
planta y el modelo del lazo interno.
La realización de pruebas comparativas de la sintonización obtenida, con la resultante de aplicar el método IAEMS para un lazo simple y el método ART 2 de
Alfaro (2006c), para el control en cascada, utilizando controladores de dos grados
de libertad.
Para la realización del trabajo se utilizó el programa de diseño de sistemas de
R y el de simulación Simulink.
R
control asistido por computadora MATLAB
2.2.
Antecedentes
En esta sección se describen en forma sucinta, los trabajos previos que sirvieron de
base para esta investigación.
2.2.1.
Métodos de sintonización de dos grados de libertad
Si bien se han desarrollado muchos métodos para la sintonización de controladores de
dos grados de libertad, pocos han tomado en cuenta la robustez como parte de los
objetivos de diseño.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
33
Una excepción es el método IAEMS de Méndez (2008), para controladores PI y PID
Ideal de dos grados de libertad, con la derivada aplicada a la señal realimentada. Este
considera el desempeño por medio de la integral del error absoluto (JIAE ) y la robustez
mediante la sensibilidad máxima (Ms ).
Para el desarrollo de este método Méndez consideró:
Procesos controlados de primer y segundo orden sobreamortiguados más tiempo
muerto, representados por un modelo general de la forma
P (s) =
L
Kp e−Ls
, τo =
(T s + 1)(aT s + 1)
T
(2.1)
con una razón de constantes de tiempo 0 ≤ a ≤ 1 y un tiempo muerto normalizado 0, 05 ≤ τo ≤ 2
El establecimiento de un factor de desempeño degradado, que relacionara el
o
desempeño del lazo de control (JIAE ) con su desempeño óptimo (JIAE
) , definido como
Fd =
o
JIAE
, Fd ≤ 1
JIAE
(2.2)
La definición de funcionales de costo a optimizar como
JFd = J(Fd , θ) =
o
JIAE
− Fd
JIAE(θ)
(2.3)
donde θ es el vector de parámetros del controlador, o
JMsd = J(Msd , θ) = Ms (θ) − Msd
(2.4)
Cinco sensibilidades máximas deseadas Msd en el ámbito de 1,2 a 2,0.
El desarrollo de ecuaciones de sintonización en función de los parámetros de la
planta, que garantizan una sensibilidad máxima (robustez) deseada.
Tomando en cuenta sus características, se seleccionó este método para la sintonización
de los controladores del sistema de control en cascada. Las ecuaciones correspondientes
se muestran en los apéndices.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
2.2.2.
34
Métodos de sintonización para sistemas de control en
cascada
Si en un proceso dado, existe una variable interna que permita determinar la influencia de una perturbación antes de que afecte la variable controlada, este es un buen
candidato para establecer un esquema de control en cascada.
El control en cascada se utiliza frecuentemente en el control de procesos, porque permiten obtener un mejor desempeño en comparación con un lazo de control realimentado
simple, en procesos lentos y en donde la perturbación afecta principalmente a la variable
manipulada [Zhuang & Atherton (1994)].
La efectividad de los sistemas de control en cascada, es producto de la reducción de
los efectos adversos de las perturbaciones sobre la variable controlada, que se logra
mediante el lazo de control interno [Tan et~al. (2000)].
Generalmente los lazos de control en cascada tienen las siguientes ventajas sobre los
lazos de control realimentado simple:
Las perturbaciones en el lazo interno, son corregidas antes de que tengan efecto
sobre la variable controlada. Esta corrección es mucho mayor, cuando la respuesta
del lazo interno es más rápida que el lazo primario.
La velocidad de respuesta del sistema se mejora, si el lazo secundario tiene una
respuesta más rápida que la planta interna.
Las variaciones en los parámetros de la planta interna se corrigen en su propio
lazo.
En relación a la sintonización de los sistemas de control en cascada, se han encontrado pocos métodos que permitan sintonizar de manera analítica y directa ambos
controladores. Wang et~al. (1993) propusieron un método para sintonizar sistemas de
control en cascada utilizando controladores PID. En el se optimizan los criterios de
desempeño de error integral ISE, IAE e ITAE. En su desarrollo se consideró como parámetro ajustable solo la ganancia del controlador, seleccionando el tiempo integral y
el tiempo derivativo, directamente en función de los parámetros de la planta interna y
la externa.
En Zhuang & Atherton (1994) se presentan dos métodos que permiten determinar
los parámetros de los controladores PI/PID en cascada para sistemas SISO. Cuando
se tiene un modelo del proceso controlado, se utiliza un método de optimización que
minimiza una integral del error ponderado en el tiempo, para la sintonización de ambos
lazos. En el caso de que no se tenga un modelo, se pueden utilizar dos pruebas de
relé consecutivas, cuyos resultados se emplean para determinar los parámetros de los
controladores.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
35
Por su parte Lee & Park (1998) proponen un método para determinar el controlador
requerido para obtener la respuesta deseada y a partir de este, reducirlo a un PID
utilizando series de MacLaurin. El método puede ser usado en cualquier sistema estable
y permite sintonizar ambos controladores simultáneamente. Una ventaja de este método
es que presenta ecuaciones que permiten estimar los parámetros de ambos controladores
de forma analítica.
Además, Tan et~al. (2000) presentan un método que utiliza un relé de realimentación. La ventaja de este es que permite obtener los parámetros utilizando un único
experimento, a diferencia de la mayoría de los métodos, donde se requiere una prueba
posterior a la sintonización del lazo interno, para poder sintonizar el lazo externo. Las
especificaciones de diseño para este método están dadas por la forma de la respuesta
deseada.
Recientemente Visioli & Piazzi (2006) desarrollaron un método automatizado de sintonización, sin embargo este requiere realizar una aproximación de mínimos cuadrados
para obtener el modelo del lazo externo, por lo que no se puede considerar totalmente
automático.
La acción de control de los lazos en cascada requiere un buen desempeño para atenuar
las perturbaciones (regulador), así como un buen seguimiento del valor deseado (servo
control). Esto hace que los controladores PID de dos grados de libertad se presenten
como una alternativa adecuada para ser empleados en los sistemas de control en cascada, sin embargo la utilización de los controladores de dos grados de libertad aumenta
el número de parámetros a determinar.
En Alfaro et~al. (2008) se presenta un método de sintonización analítica utilizando
controladores PI/PID de dos grados de libertad, de manera que se garantiza una respuesta no oscilatoria, tanto del lazo interno como del lazo externo. Además, no requiere
de la prueba intermedia usual en la sintonización de los controladores de un esquema
de control en cascada.
2.2.3.
Métodos de identificación
En los problemas de sintonización de controladores PI y PID, es fundamental contar con
una buena representación de la dinámica del proceso controlado, para poder alcanzar
con éxito las especificaciones de diseño. Esta información se encuentra en el modelo
que por lo general es de primer o segundo orden más tiempo muerto.
Como parte de este trabajo, se utilizó la curva de reacción del lazo de control interno
para la identificación de un modelo para el mismo, empleando el método 123c de Alfaro
(2006a). Este permite identificar los parámetros de modelos de primer y segundo orden
más tiempo muerto, a partir de tres puntos sobre la curva de reacción.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
2.3.
36
Desarrollo
2.3.1.
Planteamiento del problema
El lazo de control en cascada busca que las perturbaciones d2 (s) (ver figura 2.1) sean
atenuadas antes de que afecten la variable controlada y(s). Además, se desea una
respuesta con buen desempeño y un sistema de control robusto ante las variaciones de
los parámetros del proceso controlado.
El desarrollo del método de sintonización consideró:
Que en el proceso controlado existe una variable intermedia susceptible de ser
medida, de manera que la función de transferencia de la planta completa P (s),
puede subdividirse en dos partes
P1 (s) =
Kp1 e−L1 s
T1 s + 1
(2.5)
P2 (s) =
Kp2 e−L2 s
T2 s + 1
(2.6)
y
con T1 +L1 > T2 +L2 y tiempos muertos normalizados τo1 = L1 /T1 , τo2 = L2 /T2 .
El modelo P2 (s) representa entonces la dinámica rápida del proceso y P1 (s) la
lenta.
Ámbitos de tiempos muerto normalizados 0,1 < τo1 < 2 y 0,1 < τo2 < 2.
La utilización como controlador primario C1 (s), de un controlador PID Ideal de
dos grados de libertad con la derivada aplicada solo a la señal realimentada y
como controlador secundario C2 (s), la de un controlador PI de dos grados de
libertad.
La ecuación de salida del controlador PID Ideal de dos grados de libertad utilizado
es
u(s) = Kc
1
β+
Ti s
r(s) − Kc
1
Td s
1+
+
Ti s αTd s + 1
y(s)
(2.7)
con α = 0,10 (valor típico).
La sensibilidad máxima Ms como medida de robustez, analizándose los valores
Ms ={1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0}.
Se analizó tanto la robustez del lazo de control secundario (posibles cambios en
las características del proceso P2 (s)), así como la robustez del sistema de control
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
37
en cascada como un todo (posibles cambios en las características de las plantas
P1 (s) y P2 (s) y del controlador esclavo C2 (s)).
Como medida de desempeño, el criterio de error integral JIAE .
La comparación de las características de desempeño y robustez del sistema de control en cascada diseñado, con las obtenidas con otros procedimientos de diseño, y
las de un lazo de control realimentado simple, ante cambios en las perturbaciones
de carga d1 (s) y d2 (s) y en el valor deseado r(s).
Para la comparación del desempeño se utilizó la integral del error absoluto
JIAE =
Z
∞
|e(t)|dt =
0
Z
∞
|r(t) − y(t)|dt
(2.8)
0
y como medida de la variación del esfuerzo de control u(t), su variación total
definida como
TV u =
∞
X
|u(k + 1) − u(k)|
(2.9)
k=1
2.3.2.
Procedimiento de sintonización
La determinación del nuevo procedimiento de sintonización denominado CIAEMS, involucró tres etapas: 1. la sintonización del controlador esclavo; 2. el modelado del lazo
de control interno; y 3. la sintonización del controlador maestro.
Sintonización del control esclavo
Primeramente se sintonizó el controlador secundario (C2r (s), C2y (s)), a partir de un
modelo de primer orden más tiempo muerto para la dinámica rápida del proceso (2.6),
empleando el método de sintonización robusta IAEMS y se obtuvieron las respuestas
del lazo de control interno, a cambios en el valor deseado (recibido del controlador
maestro).
Para esta primera etapa se tomaron en cuenta los siguientes aspectos:
Ganancia de planta Kp2 = {0, 5; 1; 2}
Tiempo muerto normalizado τo2 = {0, 1; 0, 25; 0, 5; 0, 75; 1, 0; 1, 25; 1, 5; 1, 75; 2}
Constante de tiempo T2 = {0, 5, 1; 2}
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
38
Sensibilidad máxima deseada Msd = {1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8; 2} donde 1,2 corresponde
a un sistema muy robusto y 2,0 a la robustez mínima.
Modelado del lazo de control secundario
A partir de la respuesta de lazo de control interno, se identificaron modelos de primer
orden más tiempo muerto para representarlo, en función de la sensibilidad máxima Ms
utilizada para la sintonización del controlador esclavo y los parámetros de la planta
interna P2 (s), como
′
e−L s
Myr2 (s) = ′
T s+1
(2.10)
Ya que la utilización de un controlador PI garantiza que la ganancia de lazo cerrado
sea unitaria, se debieron encontrar los parámetros del modelo del lazo interno T ′ y L′
tal que T ′ = f1 (Kp2 , T2 , L2 , Ms ) y L′ = f2 (Kp2 , T2 , L2 , Ms ).
Por conveniencia se trabajó con parámetros normalizados de la forma
T′
= f1 (Kp2 , τo2 , Ms )
T2
(2.11)
L′
=
= f2 (Kp2 , τo2 , Ms )
T2
(2.12)
τ′ =
y
τo′
La obtención de un modelo de primer orden más tiempo muerto para el lazo cerrado interno, era indispensable para que el proceso controlado visto por el controlador
maestro fuera de segundo orden. Esta planta aparente está constituida por el lazo de
control interno en serie con la dinámica lenta del proceso.
Las ecuaciones para sintonizar un controlador PID a partir de un modelo de segundo
orden, ya están definidas para el método IAEMS, por lo que no se requerirían pruebas
adicionales.
Del análisis de los resultados obtenidos se concluyó que:
La ganancia de la planta no afecta los parámetros del lazo cerrado interno.
Los parámetros del modelo del lazo cerrado interno se pueden normalizar utilizando la constante de tiempo de la planta interna.
A partir de los datos obtenidos se determinaron las ecuaciones de mejor ajuste para
(2.11) y (2.12), las cuales resultaron ser polinomios de cuarto orden en función del
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
a1
a2
a3
a4
a5
Cuadro 2.1: Constantes en ai (2.13)
Ms
1,2
1,4
1,6
1,8
0,39720 -0,21550 0,00409 -0,04517
-1,72600 0,70900 -0,02554 0,18500
1,43200 -0,05014 -0,06060 -0,25450
4,34900 1,05500 0,92900 0,76410
-0,05917 0,12100 0,06478 0,05325
2,0
-0,08787
0,39720
-0,54690
0,82720
0,02818
b1
b2
b3
b4
b5
Cuadro 2.2: Constantes en bj (2.14)
Ms
1,2
1,4
1,6
1,8
-0,2079 0,07775 -0,01169 -0,01646
1,035
-0,2731 0,07187 -0,08214
-1,667 -0,08015 -0,1871 -0,1779
1,562
1,172
1,257
1,234
0,03111 0,0304
0,01558 -0,01461
2,0
-0,03317
0,1604
-0,2912
1,284
0,00691
39
tiempo muerto normalizado, para cada valor de la sensibilidad máxima de la forma
descrita en (2.13) y (2.14). Los datos utilizados para este ajuste se muestran en el
Apéndice.
T′
4
3
2
+ a4 τo2 + a5
= a1 τo2
+ a2 τo2
+ a3 τo2
T2
(2.13)
L′
4
3
2
= b1 τo2
+ b2 τo2
+ b3 τo2
+ b4 τo2 + b5
T2
(2.14)
Las constantes en (2.13) y (2.14) se muestran en los cuadros 2.1 y 2.2.
En las figuras 2.2 y 2.3 se muestran los parámetros determinados para el modelo del
lazo interno (2.10), para cada valor de robustez analizado, así como los predichos con
las ecuaciones determinadas.
La selección de estas ecuaciones se realizó con la herramienta Cftool de Matlab, la cual
utiliza un método de ajuste por mínimos cuadrados. Para la selección de la ecuación de
ajuste se utilizaron los coeficientes de correlación, como indicadores de la bondad del
ajuste. Otras expresiones como polinomios de orden menor o cocientes de polinomios,
se desecharon ya que en el primer caso, el ajuste no era satisfactorio para todos los
puntos, y en el segundo, se encontraron discontinuidades en el ámbito de aplicación, lo
cual limitaba seriamente la utilización.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
40
7
Constante de tiempo de lazo cerrado normalizada
6
Ms=1.2
Ms=1.4
Ms=1.6
Ms=1.8
Ms=2.0
5
4
3
2
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo muerto normalizado de la planta interna
1.6
1.8
2
Figura 2.2: Constante de tiempo normalizada T ′ /T2
El paso siguiente fue verificar que el modelo estimado por medio de las ecuaciones, se
ajustaba realmente a la respuesta de lazo cerrado del lazo de control secundario. Se
encontró que para valores de sensibilidad máxima altos, Ms ≈ 2, la respuesta del lazo
cerrado interno obtenida era subamortiguada, esto significaba que el modelo estimado
no consideraba la totalidad de la dinámica del lazo. Por su parte para valores de
sensibilidad bajos, Ms ≈ 1, 4, y valores de tiempo muerto mayores a 0,5, la respuesta
de lazo cerrado correspondía a un modelo de primer orden. Sin embargo, para valores de
tiempos muerto normalizado más bajos (inferiores a 0,5) la respuesta del lazo cerrado
también era subamortiguada.
Por ejemplo, la figura 2.4 muestra la respuesta del lazo interno con una planta con
Kp2 = 1, T2 = 1 y L2 = 2, con el controlador sintonizado para obtener una sensibilidad
máxima Ms = 1, 4 y la respuesta del modelo estimado ante un cambio escalón unitario
en el valor deseado. Por su parte en la figura 2.5, se muestran ambas respuesta para
una planta con Kp2 = 1, T2 = 1 y L2 = 0,25 y el mismo tipo de entrada.
La selección de la robustez, al momento de sintonizar el controlador esclavo, afecta su
comportamiento como servo control. Si la robustez especificada es alta, el sistema es
lento y con poca oscilación, mostrando en muchos de los casos una respuesta sobreamortiguada. Por otra parte para valores de robustez bajos, la respuesta obtenida es
más rápida y en algunos casos oscilatoria.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
41
2.2
2
Ms=1.2
Ms=1.4
Ms=1.6
Ms=1.8
Ms=2.0
1.8
Tiempo muerto de lazo cerrado normalizado
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Tiempo muerto normalizado de la planta
1.6
1.8
2
Figura 2.3: Tiempo muerto normalizado L′ /T2
Respuesta actual
Estimación
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Tiempo (seg)
30
35
40
Figura 2.4: Respuestas de lazo interno y el modelo (caso 1)
45
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
42
Respuesta actual
Estimación
1.2
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiempo (seg)
3
3.5
4
4.5
5
Figura 2.5: Respuestas de lazo interno y el modelo (caso 2)
Lazo de control primario
El proceso controlado por el controlador primario es
P ′ (s) = Myr2 (s)P1 (s)
(2.15)
el cual es de segundo orden sobreamortiguado más tiempo muerto.
A partir de este modelo, se sintonizó el controlador maestro utilizando el método de
sintonización IAEMS para PID de dos grados de libertad, con la derivada aplicada a
la señal realimentada.
2.3.3.
Procedimiento de diseño
Con base en los resultados obtenidos, se propone el siguiente procedimiento para la
sintonización de los controladores de un sistema de control PID/PI en cascada:
Obtener modelos de primer orden más tiempo muerto, para representar la dinámica lenta P1 (s) y la dinámica rápida P2 (s) del proceso controlado.
Seleccionar la sensibilidad máxima deseada Msd para el sistema de control, considerando las variaciones estimadas de las características del proceso.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
43
Utilizar como controlador esclavo un PI de dos grados de libertad y sintonizarlo
con el método IAEMS de Méndez (2008) a partir del modelo P2 (s).
Determinar los parámetros del modelo de primer orden correspondiente al lazo
cerrado interno Myr2 (s), utilizando (2.13) y (2.14).
Determinar el modelo del proceso controlado por el controlador maestro P ′ (s)
(2.15).
Utilizar como controlador maestro un PID de dos grados de libertad con la derivada aplicada solo a la señal realimentada y sintonizarlo con el método IAEMS
de Méndez (2008) a partir del modelo P ′ (s).
2.4.
Pruebas
Para las pruebas comparativas se utilizó el método IAEMS de Méndez (2008) para
un lazo de control simple y el método ART2 de Alfaro et~al. (2008) para sistemas de
control en cascada, utilizando un parámetro de diseño de sensibilidad máxima Ms =
1,4.
2.4.1.
Procesos de primer orden más tiempo muerto
Se seleccionó la planta con los siguientes modelos:
P2 (s) =
e−0,8s
s+1
(2.16)
P1 (s) =
e−4s
5s + 1
(2.17)
Se determinaron los parámetros de los controladores para un lazo de control en cascada
con el método ART2 [Alfaro (2006c)], para un lazo simple utilizando un PID de dos
grados de libertad con el método IAEMS [Méndez (2008)] y para un esquema de control
en cascada con el procedimiento descrito en la Sección 2.3.2, para una sensibilidad
máxima M s = 1,4. Los parámetros se presentan en el cuadro 2.3 y los índices de
desempeño y robustez, en los cuadros 2.4 a 2.6.
Al utilizar las ecuaciones (2.13) y (2.14) para estimar el modelo de lazo interno se
obtiene que
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
Kc2
Ti2
β2
Kc1
Ti1
Td1
β1
44
Cuadro 2.3: Parámetros de los controladores
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
0,5713
0,5556
1,3194
1,0000
1,0000
1,0000
0,5868
0,6331
0,5868
6,3342
6,3635
6,2067
2,4877
1,0915
2,3731
1,000
0,8692
1,0000
Cuadro 2.4: Índice de desempeño JIAE
Método de sintonización
Cambio en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
r(t)
12,5546
11,1693
11,9618
d2 (t)
3,0424
2,5026
11,1823
d1 (t)
11,3382
10,0513
10,9625
Myr2 (s) =
e−0,8087s
1, 2076s + 1
(2.18)
Así el modelo visto por el controlador maestro corresponde a
P1 (s)Myr2 (s) =
e−4,8087s
(5s + 1)(1, 2076s + 1)
(2.19)
Las respuestas tanto a un cambio escalón unitarion en el valor deseado, así como en
las perturbaciones d2 y d1 , se muestran en las figuras 2.6 a 2.8.
Al analizar el desempeño de los diferentes esquemas de control para un cambio en el
valor deseado, se observa que el que presenta el menor índice JIAE es el del método
ART2, seguido por el esquema de control en lazo simple. El método CIAEMS mostró
un buen desempeño, aunque el índice JIAE resultó un poco mayor dado a que como se
Cuadro 2.5: Variación del esfuerzo de control T V u
Método de sintonización
Cambio en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
r(t)
0,8253
0,896
0,6173
d2 (t)
1,4246
1,4206
1,9137
d1 (t)
1,0465
1,0115
1,0348
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
Cuadro 2.6: Robustez Ms
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
1,3742
1,5320
1,3923
ART2
CIAEMS
Simple
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
Tiempo (seg)
50
60
70
Figura 2.6: Respuesta ante un cambio en el valor deseado
45
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
46
1.2
ART2
CIAEMS
Simple
1
0.8
Amplitud
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
0
10
20
30
40
50
60
70
Tiempo (seg)
Figura 2.7: Respuesta ante un cambio en la perturbación d2
0.8
ART2
CIAEMS
Simple
0.7
0.6
Amplitud
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
10
20
30
40
50
Tiempo (seg)
60
70
80
90
Figura 2.8: Respuesta ante un cambio en la perturbación d1
100
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
47
observa en la figura 2.6 la respuesta es ligeramente más lenta y con un sobrepaso mayor.
En cuanto a la suavidad de la señal de control, el mejor resultado se obtiene con el lazo
simple. El método CIAEMS desarrollado, presentó una señal de control más suave que
la obtenida con el método ART2, el cual se caracteriza precisamente por brindar un
control suave. Esto es un buen indicador de la bondad del método.
En cuanto al comportamiento como regulador ante una perturbación en d2 , es claro que
el desempeño obtenido con las configuraciones de control en cascada es superior, por la
naturaleza misma de este esquema de control. Al comparar los resultados del método
CIAEMS con los obtenidos por medio del ART2, se observa que ambas respuestas
tienen prácticamente el mismo sobrepaso, sin embargo tanto el índice JIAE como el
índice T V u, resultan ligeramente mejores en el caso del ART2. Aún así, los resultados
obtenidos por medio del CIAEMS son satisfactorios.
Para el caso de una perturbación en d1 , los tres métodos presentan un sobrepaso bastante similar. El índice JIAE favorece ligeramente al esquema que utiliza el método
ART2, debido que como se muestra en la figura 2.8, la respuesta obtenida usando este
método es ligeramente más rápida. La suavidad de control resultó bastante similar para
los tres casos analizados.
Finalmente, al analizar la robustez de los sistemas utilizando la sensibilidad máxima
(cuadro 2.6), se observa que el lazo sintonizado utilizando el método CIAEMS es el que
brinda una robustez mayor (menor sensibilidad máxima).
Se concluye que al hacer un análisis que considere tanto la robustez como el desempeño,
el método CIAEMS da una respuesta satisfactoria, que se apega al parámetro de diseño
(robustez) sin degradar el desempeño.
2.4.2.
Proceso de cuarto orden
Se seleccionó la planta de cuarto orden
P (s) =
e−3s
(8s + 1)(4s + 1)(s + 1)(0,4s + 1)
(2.20)
Se supuso que esta se puede separar en dos partes, una que representa las dinámicas
rápida y otra que representa, como
P2 (s) =
1
(s + 1)(0,4s + 1)
(2.21)
P1 (s) =
e−3s
(8s + 1)(4s + 1)
(2.22)
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
48
Ambas plantas pueden ser representadas por un modelo de primer orden más tiempo
muerto:
e−0,304s
1, 13s + 1
(2.23)
e−5,78
P1m (s) =
9, 59s + 1
(2.24)
P2m (s) =
Adicionalmente para sintonizar un controlador en lazo simple, se obtuvo un modelo de
segundo orden más tiempo muerto que representara la planta completa
Pso (s) =
e−4,03
(7, 07s + 1)(5, 19s + 1)
(2.25)
Seguidamente se procedió a la sintonización de un lazo de control en cascada utilizando
el método CIAEMS desarrollado y el método ART2. Para esto se usaron los modelos
(2.23) y (2.24). Para efectos de comparación se sintonizó un controlador PID de dos
grados de libertad utilizando el método IAEMS como regulador para un lazo simple,
usando el modelo descrito en (2.25). En todos los casos la sintonización se hizo para
un valor de sensibilidad máxima Msd = 1, 4 correspondiente a un sistema de robustez
alta y un valor Msd = 1, 8 representativo de un sistema de robustez baja.
Robustez alta, Msd = 1,4
Los parámetros de los controladores correspondientes a una sensibilidad Msd = 1,4 se
muestran en el cuadro 2.7.
Al utilizar las ecuaciones (2.13) y (2.14) para estimar el modelo de lazo interno se
obtiene que
Myr2 (s) =
e−0,3785s
0, 4677s + 1
(2.26)
Así el modelo visto por el controlador maestro corresponde a
P1 (s)Myr2 (s) =
e−6,1585s
(9, 59s + 1)(0, 4677s + 1)
(2.27)
Las respuestas tanto a un cambio escalón unitario en el valor deseado, así como en las
perturbaciones d2 y d1 , se muestran en las figuras 2.9 a 2.11.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
Cuadro 2.7: Parámetros de los controladores (Msd = 1,4)
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
Kc2
1,2528
1,1967
Ti2
0,8725
1,0656
β2
1,0000
0,7752
Kc1
0,8129
0,8817
1,0095
Ti1
8,7661
10,1793
8,7861
Td1
2,7752
0,8096
3,9472
β1
1,0000
0,7317
0,9145
Cuadro 2.8: Desempeño JIAE (Msd = 1,4)
Método de sintonización
Cambio en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
r(t)
15,4372
15,1106
16,2025
d2 (t)
0,7611
1,0131
10,4868
d1 (t)
11,9433
11,6241
10,4741
Cambio
r(t)
d2 (t)
d1 (t)
Cuadro 2.9: Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,4)
Método de sintonización
en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
1,0651
0,9493
1,0229
1,2650
1,1750
1,1857
1,1297
1,1946
1,1844
Cuadro 2.10: Robustez Ms (Msd = 1,4)
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
1,3082
1,5631
1,4137
49
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
50
1.4
ART2
CIAEMS
Simple
1.2
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.9: Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,4)
Respuesta ante una perturbación d2
0.6
ART2
CIAEMS
Simple
0.5
0.4
Amplitud
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.10: Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,4)
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
51
0.6
ART2
CIAEMS
Simple
0.5
0.4
Amplitud
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.11: Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,4)
Al analizar la respuesta del servo control para los tres métodos utilizados (figura 2.9),
se observa que la del método ART2 es la que brinda el mejor desempeño, al mostrar un
menor sobrepaso y ser ligeramente más rápida. El lazo sintonizado utilizando el método
CIAEMS muestra también un buen desempeño pero con un sobrepaso mayor. El índice
JIAE en el cuadro 2.8 refleja esta situación, al ser menor en el caso del método ART2,
seguido por el CIAEMS y finalmente por el lazo simple cuyo sobrepaso es cercano al
20 %. En cuanto a la suavidad de la acción de control (cuadro 2.9), el método ART2
demostró brindar un control más suave que los otros dos casos, cuyo índice T V u resultó
ser bastante similar.
En el caso de un cambio en la perturbación d2 las configuraciones en cascada son
muy superiores como era de esperar. Para este caso el lazo sintonizado con el método CIAEMS mostró un mejor desempeño con una respuesta con menor sobrepaso y
menor oscilación, que la respuesta obtenida con el método ART2. Esta situación se
muestra en la figura 2.10 y se comprueba al analizar el índice JIAE en el cuadro 2.8,
donde se ve que el obtenido para el método CIAEMS es menor. Acá también la acción
de control obtenida con el método ART2 es más suave que para los demás métodos
analizados.
Si se toma en cuenta la respuesta ante un cambio escalón en la perturbación d1 (figura
2.11), se observa que la respuesta con menor sobrepaso se obtiene al utilizar un esquema
de control con lazo simple. Las respuestas obtenidas al utililizar el método ART2 y el
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
52
método CIAEMS tienen un sobrepaso mayor, sin embargo oscilan menos. Al analizar
el desempeño por medio del índice JIAE (cuadro 2.8), se observa que el que se obtiene
para los métodos en cascada es bastante similar, pero ligeramente mejor en el caso del
ART2. En este caso la acción de control más suave se obtiene por medio del método
CIAEMS, el índice T V u en este caso es considerablemente menor que al utilizar los
otros dos esquemas (cuadro 2.9).
Finalmente la mayor de las ventajas de usar el método CIAEMS se presenta en la
robustez obtenida. Tal como se muestra en el cuadro 2.10 la sensibilidad máxima obtenida es menor que la utilizada como parámetro de diseño (Msd = 1,4). Tanto para
el esquema ART2 como para el lazo simple, la sensibilidad máxima estuvo por encima
del parámetro de diseño, lo que indica una menor robustez.
Una vez más se observa que el desempeño obtenido con el método CIAEMS es bastante
competitivo y adicionalmente permite obtener una robustez mayor.
Robustez baja, Msd = 1,8
Los datos obtenidos al utilizar una sensibilidad máxima deseada Msd = 1,8 se muestran
en los cuadros 2.11 a 2.14.
Los parámetros del lazo interno obtenidos al utilizar las ecuaciones (2.13) y (2.14) para
estimar el modelo se muestran en (2.28).
Myr2 (s) =
e−0,3422s
0, 2754s + 1
(2.28)
El modelo visto por el controlador maestro se muestra en la ecuación (2.29).
P1 (s)Myr2 (s) =
e−6,1222s
(9, 59s + 1)(0, 2754s + 1)
(2.29)
Si se observan las respuestas obtenidas para los tres métodos ante una entrada escalón
unitario en el valor deseado (figura 2.12), se verifica que si bien las tres muestran un
sobrepaso cercano al 20 %, la respuesta obtenida con el método CIAEMS es menos
oscilatoria que la obtenida con el método ART2 y bastante similar a la obtenida con
el lazo simple. En el caso de una entrada escalón en la perturbación d2 (t) la mejor
respuesta se obtiene al utilizar el método CIAEMS ya que esta presenta menor sobrepaso y menor oscilación que la respuesta obtenida usando el método ART2. Como es
de esperar el desempeño obtenido con el lazo simple no es comparable con el de los esquemas en cascada (figura 2.13). Finalmente al observar la respuesta ante una entrada
escalón en la perturbación d1 (t) (figura 2.14) se observa que la respuesta del método
CIAEMS es la mejor para los esquemas de control en cascada ya que muestra menor
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
53
Cuadro 2.11: Parámetros de los controladores (Msd = 1,8)
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
Kc2
2,1255
1,1967
Ti2
0,8692
1,0656
β2
0,7848
0,7752
Kc1
1,3030
1,3134
1,7146
Ti1
8,2081
8,7084
8,4492
Td1
2,7056
0,8298
3,9569
β1
0,7362
0,5061
0,6854
Cuadro 2.12: Desempeño JIAE (Msd = 1,8)
Método de sintonización
Cambio en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
r(t)
14,1449
16,1644
14,3987
d2 (t)
0,4047
1,2122
6,3242
d1 (t)
7,8520
9,7051
6,3105
sobrepaso y menos oscilación. La mejor regulación en este caso se obtuvo al utlizar el
lazo simple.
Al realizar el análisis para esta sensibilidad se observa que el desempeño del método
CIAEMS es superior al obtenido al utilizar el método ART2 ya que muestra un índice JIAE menor en todas las pruebas (cuadro 2.12). El lazo simple mostró un mejor
desempeñó ante una entrada escalón unitario en la perturbación d1 (t).
El esfuerzo de control en todos los casos es mayor que el obtenido al usar una sensibilidad menor. En este rubro para el caso del servo el menor índice T V u se obtiene
para el lazo simple. Para una perturbación en el lazo interno el menor índice se obtiene
utilizando el método de ART2 y en el caso de una perturbación en el lazo externo el
menor índice se obtiene para el método CIAEMS (cuadro 2.13). En los dos primeros
casos el valor obtenido para el método CIAEMS es menos bondadoso que para los otros
dos métodos analizados.
Para finalizar, el análisis de robustez favorece considerablemente al método CIAEMS ya
que la sensibilidad máxima obtenida, al igual que en el caso anterior, se encuentra por
debajo del parámetro de diseño lo que indica un sistema más robusto. La sensibilidad
máxima obtenida utilizando los otros dos métodos resultó superior a la especificada en el
diseño lo cual refleja una robustez baja (cuadro 2.13). Una vez más el método CIAEMS
muestra tener un buen desempeño a la vez que muestra una robustez alta.
Las respuestas tanto a un cambio escalón unitario en el valor deseado, así como en las
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
54
Cuadro 2.13: Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,8)
Método de sintonización
Cambio en CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
r(t)
2,5992
2,3356
2,0362
d2 (t)
1,5593
1,3382
1,4670
d1 (t)
1,3437
2,1004
1,4394
Cuadro 2.14: Robustez Ms (Msd = 1,8)
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
IAEMS Simple
1,5154
2,2588
1,9409
perturbaciones d2 y d1 , se muestran en las figuras 2.12 a 2.14.
En vista de que el modelo visto por el controlador maestro descrito en la ecuación
(2.29) corresponde prácticamente a un modelo de primer orden (α = 0, 0287) se realizó
también una comparación utilizando un esquema de control PI/PI tanto para el método
ART2 como para el método CIAEMS.
Ya que en el caso del método ART2 no existe una predicción para la respuesta del lazo
interno Myr2 (s) fue necesario calcular un modelo de primer orden más tiempo muerto
para la planta externa en serie con el lazo de control interno.
El modelo obtenido fue:
P1 (s)Myr2 (s) =
e−6,93s
9, 603s + 1
(2.30)
Los parámetros del esquema de control PI/PI usando el método CIAEMS y el método
ART2 para una sensibilidad Msd = 1,8 se muestran en el cuadro 2.15.
Cuadro 2.15: Parámetros de los controladores PI/PI (Msd = 1,8)
Método de sintonización
CIAEMS
ART2
Kc2
2,1255
1,1967
Ti2
0,8692
1,0656
β2
0,7848
0,7752
Kc1
1,3030
0,832
Ti1
8,2081
8,992
β1
0,7362
0,715
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
1.4
ART2
CIAEMS
Simple
1.2
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.12: Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,8)
0.45
ART2
CIAEMS
Simple
0.4
0.35
0.3
Amplitud
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−0.05
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
Figura 2.13: Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,8)
55
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
56
0.6
ART2
CIAEMS
Simple
0.5
0.4
Amplitud
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.14: Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,8)
Cuadro 2.16: Desempeño JIAE (Msd = 1,8)
Método de sintonización
Cambio en
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
r(t)
13,2337
15,9956
d2 (t)
0,4586
1,1474
d1 (t)
10,7858
12,1203
Cuadro 2.17: Esfuerzo de control T V u (Msd = 1,8)
Método de sintonización
Cambio en
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
r(t)
2,7588
1,2478
d2 (t)
1,4951
1,2082
d1 (t)
1,3453
1,4256
Cuadro 2.18: Robustez Ms (Msd = 1,8)
Método de sintonización
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
1,7673
1,7953
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
57
1.4
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
1.2
1
Amplitud
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo (seg)
70
80
90
100
110
Figura 2.15: Respuesta ante un cambio en el valor deseado r (Msd = 1,8)
0.06
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
0.05
0.04
0.03
Amplitud
0.02
0.01
0
−0.01
−0.02
−0.03
−0.04
0
20
40
60
Tiempo (seg)
80
100
120
Figura 2.16: Respuesta ante un cambio en la perturbación d2 (Msd = 1,8)
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
58
0.6
CIAEMS PI/PI
ART2 PI/PI
0.5
0.4
Amplitud
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
0
10
20
30
40
50
60
Tiempo (seg)
70
80
90
100
110
Figura 2.17: Respuesta ante un cambio en la perturbación d1 (Msd = 1,8)
Al analizar el cuadro 2.16 se observa que al utilizar una configuración PI/PI tanto
para el método ART2 como para el método CIAEMS, el desempeño de este último es
superior en todos los casos. Al observar la respuesta a una entrada escalón unitario
en el valor deseado r en la figura 2.15 se nota que el sobrepaso es bastante similar en
ambos casos, sin embargo para el caso del método CIAEMS la respuesta se asienta más
rápido.
En el caso de una entrada escalón unitario en la pertubación interna d2 (figura 2.16) el
sobrepaso obtenido en el caso del método CIAEMS es menos de la mitad del obtenido
al utilizar el método ART2, lo que demuestra que se obtiene una regulación bastante
superior y más rápida.
Adicionalmente en el caso de una entrada escalón unitario en la perturbación d1 el
sobrepaso obtenido con el método CIAEMS también es menor que obtenido al utilizar
el método ART2.
En cuanto a la suavidad de control el método ART2 presenta un mejor índice T V u en
el caso del servo y en el caso de una entrada en la perturbación d2 . En el caso de una
entrada en la perturbación d1 el índice del método CIAEMS es menor.
Al comparar la robustez de ambos sistemas se ve que los dos cumplen con el parámetro
de diseño, ya que la sensibilidad máxima en ambos casos es menor a 1.8.
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
59
Luego al comparar el desempeño de los esquemas PI/PI con el desempeño de los esquemas PI/PID mediante el índice JIAE (cuadros 2.16 y 2.12) se observa que ante
un cambio escalón unitario en el valor deseado el mejor desempeño se obtiene con el
método CIAEMS PI/PI mientras que en el caso de una entrada escalón en las perturbaciones d2 y d1 el mejor desempeño se obtiene con los métodos CIAEMS PI/PID y
IAEMS simple respectivamente.
En cuanto a la suavidad de control en el caso de una entrada en la perturbación d1 el
menor índice T V u se obtiene para el esquema CIAEMS PI/PID mientras que en los
dos casos restantes el menor índice se obtiene para el método ART2 PI/PI.
La mejor robustez se obtiene al utilizar el esquema CIAEMS PI/PID.
Finalmente al comparar la respuesta a un cambio en el valor deseado (figuras 2.12 y
2.15) se observa que en general los esquemas PI/PI presentan un menor sobrepaso. En
el caso de la regulación ante una perturbación interna (figuras 2.13 y 2.16) se obtiene
una respuesta más rápida al utilizar un esquema PI/PID. Por último en el caso de una
entrada en la perturbación d1 se obtiene un menor sobrepaso al utilizar los esquemas
PI/PID o un esquema simple sintonizado por medio del método IAEMS.
2.5.
Conclusiones y recomendaciones
En esta sección se presentan conclusiones derivadas del trabajo realizado para desarrollar el método y las recomendaciones para trabajos futuros relativos al tema.
2.5.1.
Conclusiones
Las principales conclusiones del trabajo realizado son:
La tarea de sintonizar controladores en cascada es generalmente lenta y la mayoría
de los métodos de sintonización requieren llevar a cabo una prueba intermedia,
que representa una limitante en tiempo y una utilización adicional de recursos
computacionales.
Se encontró que la mayoría de los métodos de sintonización en cascada consultados toman como parámetro de diseño la forma deseada de la respuesta. Sólo uno
de los métodos (ver Alfaro et~al. (2008)) contempla la robustez del sistema.
Igualmente la mayoría de los métodos solo considera controladores de un grado
de libertad, lo que limita en parte el funcionamiento como servo y regulador. Ya
que una buena respuesta tanto a un cambio en la perturbación como ante un
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
60
cambio en el valor deseado, son requeridas en un sistema de control en cascada,
el uso de controladores de dos grados de libertad es recomendable.
En cuanto a la respuesta de lazo cerrado obtenida al utilizar el método IAEMS
desarrollado en Méndez (2008), se observa que el método IAEMS para un controlador PI de dos grados de libertad operando como regulador, brinda la sensibilidad
máxima deseada.
La respuesta obtenida al usar el método anteriormente descrito puede ser representada utilizando un modelo de primer orden más tiempo muerto. La bondad de
esta representación es mejor entre mayor sea el tiempo muerto normalizado. Además, a mayor robustez mejor será el ajuste de este modelo, ya que la respuesta
de lazo cerrado generada en estas condiciones, es más lenta y menos oscilatoria.
Uno de los principales resultados de la investigación realizada y que sirvió de
base para el resto de trabajo, radica en el hecho de que es posible parametrizar la
respuesta de lazo cerrado obtenida al utilizar un controlador PI de dos grados de
libertad, para controlar una planta con un modelo de primer orden más tiempo
muerto. Esta parametrización permite estimar la constante de tiempo, ganancia y
tiempo muerto de un modelo de primer orden más tiempo muerto, que representa
la respuesta de lazo cerrado. Para determinar los parámetros solo se requiere la
información del modelo y la sensibilidad máxima utilizada como parámetro para
la sintonización del lazo.
Fue posible encontrar ecuaciones para el tiempo muerto de lazo cerrado y la constante de tiempo. Estas ecuaciones están en función del tiempo muerto normalizado del modelo y los coeficientes dependen de la sensibilidad máxima utilizada
como parámetro de diseño. Las ecuaciones obtenidas son polinomios de cuarto
orden para ambos parámetros.
Gracias a que el método permite predecir un modelo que represente el lazo interno, es posible utilizar un esquema PI/PI. Se recomienda usar este esquema
cuando la constante de tiempo de este modelo sea muy pequeña en relación a la
de la planta P1 (s), o sea, cuando la concatenación de estos modelos se asemeja a
uno de primer orden.
Se concluye también que el método CIAEMS desarrollado, presenta todos los
beneficios inherentes a la utilización de sistemas de control en cascada. Se demuestra que al sintonizarse la nueva planta aparente, modelada como un sistema
de segundo orden resultante de unir el lazo interno con el modelo de la parte lenta
de la planta, con el método IAEMS para una sensibilidad específica, se obtiene
una respuesta con un buen desempeño y que brinda una robustez muy cercana a
la especificada.
Se confirmó la hipótesis propuesta de que es posible obtener un método de sinto-
CAPÍTULO 2. SISTEMA DE CONTROL EN CASCADA ROBUSTO
61
nización robusta para un esquema de control en cascada, utilizando controladores
PID de dos grados de libertad, sin necesidad de realizar la prueba intermedia que
generalmente es utilizada.
Se concluye que el método CIAEMS es sencillo, de aplicación directa y combina
los beneficios del control en cascada, la utilización de controladores de dos grados
de libertad y el control robusto.
2.5.2.
Recomendaciones
Al ser este un nuevo enfoque para la sintonización de los controladores de un sistema de
control en cascada, quedan muchas áreas de oportunidad para realizar investigaciones
en cuanto al procedimiento de sintonización, su bondad y ámbito de aplicación.
En lo que corresponde a la parametrización de la respuesta de lazo cerrado del lazo interno, se recomienda verificar si es posible obtener una ecuación para los coeficientes de
la ecuación propuesta en términos de la sensibilidad máxima deseada. Esto permitiría
realizar el cómputo de los parámetos de una manera más fácil, ya que la información
requerida a priori sería menor.
Se observó que cuando el tiempo muerto normalizado era el mismo para la parte rápida
y lenta de la planta, al acercarse este a 0,5 la sensibilidad máxima del sistema tendía
a aumentar por encima del parámetro de diseño. Por lo tanto es importante estudiar
cual debe ser la razón entre el tiempo muerto aparente de la parte rápida de la planta
y la parte lenta para garantizar la sensibilidad máxima deseada. Adicionalmente, es
importante verificar el efecto que esta razón, en conjunto con los tiempos muertos
normalizados de los modelos de la parte rápida y lenta de la planta, tienen en el
desempeño y robustez del lazo.
Se recomienda estudiar más a fondo los criterios que permiten definir cuando la utilización de un esquema de control en cascada PI/PI brinda un mejor desempeño que la
utilización de un esquema PI/PID para el método desarrollado.
Finalmente se recomienda analizar a profundidad las relaciones entre los parámetros
de los modelos de la parte rápida y de la parte lenta de la planta para determinar si
estas imponen limitaciones al método desarrollado.
Capítulo 3
Controladores PI de dos grados de
libertad no frágiles y robustos
Ignacio Rímolo Kruse
3.1.
3.1.1.
Introducción
Alcances
En este trabajo se estudiaron los controladores PI de dos grados de libertad tomando en
cuenta el desempeño y la robustez del lazo del control, y la fragilidad del controlador,
con el fin de desarrollar un procedimiento de diseño de controladores no frágiles, que
produjeran sistemas de control robustos.
3.1.2.
Justificación
En el diseño de controladores PID se debe considerar el desempeño del lazo de control
tanto ante cambios en el valor deseado (servo control ), como ante las perturbaciones
de carga (control regulatorio), la robustez del lazo de control ante cambios en las características del proceso controlado, y su fragilidad ante la incertidumbre de sus propios
parámetros.
La fragilidad del controlador, entendida como la pérdida de estabilidad relativa del lazo
de control ante un cambio en sus parámetros, respecto a los nominales de diseño, es de
importancia ya que existe una incertidumbre inherente en el valor de sus parámetros,
asociada con su implementación. Esta incertidumbre pueden ser producto de la calidad
62
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
63
y precisión de sus componentes analógicos utilizados, de la exactitud con que se puedan
introducir los valores de sus parámetros, o producto de errores por redondeo y resolución
en los controladores digitales [Alfaro (2007)].
Al considerar la fragilidad del controlador dentro del método de sintonización, se desea
garantizar ámbitos de variación de sus parámetros dentro de los cuales el sistema de
control no solamente se mantenga estable, si no que su efecto sobre la robustez del lazo
se pueda estimar.
3.1.3.
Hipótesis
Es posible obtener controladores PI de dos grados de libertad no frágiles, que produzcan
sistemas de control robustos y con un buen desempeño.
3.1.4.
Objetivos
La ejecución del trabajo se orientó a lograr los siguientes objetivos.
Objetivo general
Desarrollar un procedimiento de sintonización de controladores PI de dos grados de
libertad, que sean no frágiles según el índice de fragilidad delta 20, y que produzcan
sistemas de control robustos y con un desempeño óptimo.
Objetivos específicos
En particular en el trabajo se consideró
Establecer una funcional de costo a optimizar que contemple la fragilidad del
controlador y el desempeño y la robustez del lazo de control.
Determinar los conjuntos de parámetros de los controladores PI de dos grados de
libertad, que optimizan la funcional de costo establecida, para plantas de primer
y segundo orden más tiempo muerto.
Establecer ecuaciones para la sintonización de los controladores óptimos determinados.
Comparar el desempeño, la robustez y la fragilidad de los controladores diseñados,
con otros métodos de sintonización disponibles.
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
3.1.5.
64
Metodología
Para el desarrollo del trabajo se siguió el siguiente procedimiento:
Se seleccionó una funcional de costo que considerara el desempeño mediante la
integral del error absoluto (IAE ), la robustez del lazo medida con la sensibilidad
máxima (Ms ) y la fragilidad (F I∆20 ).
Mediante simulación digital y el uso de un algoritmo de optimización, utilizando
R y Simulink,
R se determinaron los parámetros de los
los programas Matlab
controladores óptimos (Kc , Ti ), considerando en la funcional de costo además de
la robustez y la fragilidad, el desempeño del control regulatorio, para un conjunto
de plantas determinado.
El factor de peso del valor deseado óptimo del controlador (β), se determinó
considerando solo el desempeño del servo control.
Mediante el ajuste de curvas por mínimos cuadrados, se establecieron ecuaciones
para el cálculo de los parámetros óptimos, en función de los parámetros de la
planta y de los de diseño.
Se compararon las características de desempeño, robustez y fragilidad de los
lazos de control diseñados, con las obtenidas empleando otros procedimientos de
sintonización.
3.2.
Antecedentes
La importancia de considerar la fragilidad del controlador fue puesta de manifiesto por
Keel & Bhattacharyya (1997). Encontraron que, para controladores de orden alto diseñados con técnicas modernas, pequeñas variaciones en sus parámetros podían causar
la pérdida de estabilidad del sistema.
Una forma de medir la fragilidad del controlador fue propuesta por Alfaro (2007), la
cual es una indicación de la pérdida de robustez del lazo de control cuando varían
los parámetros del controlador. En sus comparaciones muestra que hay una relación
ente la fragilidad y la robustez pero no hay certeza de que la segunda garantice la
primera.
Por su parte Méndez (2008) hizo un estudio del desempeño y la robustez en los controladores PID, encontrando que se puede obtener una robustez deseada si se degrada
el desempeño del lazo de control. Desarrolló un método de sintonización de controladores que garantizan una robustez determinada, sin embargo este no contempla la
fragilidad.
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
65
d(s)
Controlador
r(s)
Cr(s)
Planta
+
u(s) +
+
e(s)
P(s)
y(s)
Cy(s)
Figura 3.1: Lazo de control con un controlador de dos grados de libertad
3.3.
3.3.1.
Desarrollo
Planteamiento del problema
Considérese el lazo de control mostrado en la figura 3.1 en donde el controlador es un
PI de dos grados de libertad, cuya ecuación de salida es
1
1
u(s) = Kc β +
r(s) − Kc 1 +
y(s)
Ti s
Ti s
(3.1)
y el proceso controlado está modelado por medio de una función de transferencia de
segundo orden más tiempo muerto, dada por
Kp−Ls
P (s) =
(T s + 1) (aT s + 1)
(3.2)
En adelante se denominará a τo = L/T como el tiempo muerto normalizado del proceso
controlado.
Para el estudio se consideraron cinco plantas diferentes con a = {0; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 1, 0}
y doce tiempos muertos normalizados en el ámbito τo = {0, 1; 2, 0}. Esto permitió considerar plantas desde primer orden hasta polo doble, dominadas por la constante de
tiempo y también con un tiempo muerto significativo.
Para la optimización de los parámetros del controlador se utilizaron los siguientes
criterios:
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
66
Desempeño - Para su determinación se empleó la funcional de costo con base en
la integral del error absoluto (IAE) establecida como
Je =
Z
∞
|e(t)|dt
(3.3)
0
Robustez - Como medida de robustez se empleo la sensibilidad máxima (Ms )
definida por
1
Ms = máx S(jω) = máx ω
ω
1 + C(jω) + P (jω) (3.4)
Fragilidad - Como indicación de la fragilidad del controlador se empleó el índice
de fragilidad delta épsilon definido por Alfaro (2007) como
F I∆ǫ =
Ms∆ǫ
−1
Mso
(3.5)
Este relaciona la sensibilidad máxima nominal Mso , con la sensibilidad máxima
mayor (menor robustez) Ms∆ǫ , resultante de variar los parámetros del controlador
dentro de un ámbito épsilon (δǫ = ±ǫ).
En particular si se emplea el índice δǫ = 20 (variaciones de hasta un 20 % en los
parámetros del controlador) y se cataloga la fragilidad del controlador como:
• Un controlador se considera frágil si su F I∆20 > 0, 50
• Un controlador se considera no frágil si su F I∆20 ≤ 0, 50
• Un controlador se considera elástico si su F I∆20 ≤ 0, 10
Con base en los criterios anteriores se estableció la funcional de costo a optimizar
como
d JT = Je + W1 Mso − Msd + W2 F I∆20 − F I∆20
(3.6)
d
en donde Msd es la robustez mínima de diseño del lazo de control y la F I∆20
el índice de
fragilidad deseado para el controlador. Los factores de peso W1 y W2 se incorporaron
para controlar y facilitar la convergencia del método de optimización.
Los parámetros del controlador PI de dos grados de libertad con los que se obtenga el
valor mínimo de (3.6), producirán un controlador con un índice de fragilidad F I∆20 ≤
d
F I∆20
, que garantiza que la robustez del lazo de control sea Ms ≤ Msd , con el mejor
desempeño posible según el índice IAE Je .
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
67
d
Cuadro 3.1: Parámetros e índices para Msd = 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 50
τo
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
Jer
Jes
0,10 2,261 1,133 0,773 1,800 0,250 0,960 0,503
0,20 1,817 1,443 0,924 1,800 0,250 1,132 0,795
0,30 1,546 1,770 1,082 1,797 0,245 1,310 1,145
0,40 1,307 1,954 1,202 1,800 0,250 1,492 1,479
0,50 1,187 2,153 1,272 1,800 0,250 1,674 1,813
0,60 1,077 2,330 1,357 1,800 0,250 1,852 2,163
0,80 0,927 2,676 1,508 1,799 0,249 2,203 2,886
1,00 0,824 2,911 1,614 1,800 0,250 2,547 3,532
1,20 0,753 3,148 1,709 1,800 0,250 2,887 4,181
1,40 0,700 3,370 1,789 1,800 0,250 3,223 4,813
1,60 0,660 3,568 1,854 1,800 0,250 3,553 5,408
1,80 0,628 3,779 1,915 1,800 0,250 3,880 6,017
2,00 0,602 3,973 1,965 1,800 0,250 4,204 6,595
3.3.2.
Parámetros de los controladores óptimos
A manera de ejemplo, en el cuadro 3.1 se muestran los parámetros óptimos obtenidos
para el controlador (Kc , Ti , β), así como los índices de robustez (Ms ), fragilidad (F I∆20 )
y de desempeño como control regulatorio (Jer ) y como servo control (Jes ), para el caso
particular correspondiente a una planta con una razón de contantes de tiempo a = 0, 50,
d
con una robustez deseada Msd = 1, 8 y una fragilidad deseada F I∆20
= 0, 25. Los datos
de los demás casos analizados se resumen en el Apéndice C.
De los resultados obtenidos se determinó que la fragilidad mínima generalmente oscilaba entre 0,21 y 0,25; por lo que se calcularon dos conjuntos de datos, uno con
fragilidad baja (F I∆20 = 0, 25) y otro con fragilidad alta (F I∆20 = 0, 45). El límite de
la menor de fragilidad siempre se encuentra para valores de Ms ≤ 1, 4 y para valores
de τo ≤ 0, 2.
Se encontró que el mejor desempeño del sistema de control se obtenía cuando se optimizaba para la fragilidad baja. En la figura 3.2 se observa, para un caso particular, que
la fragilidad de 0,25 tiene un desempeño mejor, especialmente para tiempos muertos
normalizados τo bajos. Solo para valores de τo ≥ 1, 6 el desempeño obtenido con la fragilidad de 0,45 es mayor (aunque solo en un 2 % como máximo). Se escogió el conjunto
de datos optimizando para la fragilidad baja para calcular las ecuaciones para el nuevo
método de sintonización presentadas en la sección 3.3.4.
Además, se encontró que se puede variar la fragilidad y la robustez dentro de ciertos
límites para el ámbito de robustez de {2, 0; 1, 6} y dentro de la fragilidad {0, 50; 0, 25}.
Por ejemplo, no fue posible llegar a la fragilidad alta (0,45) para valores de robustez
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
68
4
3.5
Indice de desempeno (IAE)
3
2.5
2
1.5
1
Fi = 0.45
Fi = 0.25
Mendez con Ms = 1.8
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.2: Desempeño al variar la fragilidad (Ms = 1, 8, a = 0, 25)
menores a 1,6. En este caso, los valores de fragilidad varían entre 0,35 y 0,40, para
valores de τo normalizado mayores de 0,8. Tampoco se pudo llegar al valor bajo de
fragilidad cuando se optimizaba para Ms = 2 y los valores de τo eran superiores a 0,7
(aunque los valores de la fragilidad son menores a 0,285).
En los casos en los que no se puede llegar al valor deseado de fragilidad, el desempeño
se afecta negativamente y los valores de los parámetros Kc y Ti no siguen una tendencia
clara. Esto se puede observar en la figura 3.3 donde el valor de sensibilidad de 1,4 (que
siempre tiene un índice de fragilidad menor que 0,25) tiene el desempeño entre un 11 %
a un 31 % mayor que el obtenido con una sensibilidad de 1,6.
Para los diferentes valores de sensibilidad máxima se encontró que para valores de
τo ≥ 0, 6 el mejor desempeño se obtiene con un Ms = 1, 6 como se observa en la figura
3.3. Entre mayor es el τo mayor es la diferencia entre las sensibilidades máximas. De
la misma forma para los valores de τo ≤ 0, 6 los valores de Ms = {1, 8; 2, 0} tienen el
mejor desempeño.
Para lograr la robustez deseada, es necesario disminuir la ganancia del controlador.
Esto provoca que el valor óptimo del factor de peso del valor deseado β, sea superior a
uno para muchos de los tiempos muertos normalizados. Esto afectará el desempeño del
servo control para estos casos dado que en la actualidad en los controladores comerciales
0 ≤ β ≤ 1, 0.
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
69
5.5
5
Indice de desempeno (IAE)
4.5
4
3.5
3
2.5
2
Ms = 2
Ms = 1.8
Ms = 1.6
Ms = 1.4
1.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
d
Figura 3.3: Desempeño al variar la robustez (F I∆20
= 0, 25, a = 1, 0)
3.3.3.
Comportamiento como servo control
Como se ha indicado, en los controladores de dos grados de libertad comerciales actuales
no es posible utilizar factores de peso de valor deseado mayores a la unidad, sin embargo,
como se muestra en el cuadro 3.1 para un caso, los valores de β determinados para un
funcionamiento óptimo ante un cambio en le valor deseado, son por lo general superiores
a 1,0.
Si el factor de peso de valor deseado se limita al valor máximo permitido en los controladores actuales, se degradará su desempeño como servo control. Esto se puede apreciar
en la figura 3.4, donde se muestra la perdida porcentual de desempeño al restringir el
valor del β para el caso particular Msd = 2 y a = 0, 75. Esta pérdida es mayor para los
procesos controlados con tiempos muertos normalizados altos.
3.3.4.
Ecuaciones para la sintonización de controladores PI de
dos grados de libertad
Con base en los datos obtenidos, se determinaron ecuaciones para el cálculo de los
parámetros óptimos del controlador PI de dos grados de libertad, que garantizan una
fragilidad baja para todo el ámbito de tiempos muertos normalizados analizados y
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
70
110
100
90
Diferencia de desempeno (%)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.4: Pérdida del desempeño al utilizar β = 1 (Ms = 2, a = 0, 75)
para todos los modelos considerados. Para la obtención de estas ecuaciones se utilizó
R
la herramienta de ajuste de curvas cftool de Matlab.
La ecuación para el cálculo de ganancia del controlador es
Kc Kp =
v(a) + b(a)τo
c(a) + τo
(3.7)
donde
a(a) = v0 + v1 a + v2 a2 + v3 a3 + v4 a4
b(a) = b0 + b1 a + b2 a2 + b3 a3 + b4 a4
c(a) = c0 + c1 a + c2 a2 + c3 a3 + c4 a4
(3.8)
Ti
= d(a) + e(a)τof (a)
T
(3.9)
la del tiempo integral
donde
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
71
Cuadro 3.2: Kc - Constantes para (3.8)
Ms
1,6
1,8
2,0
a0 0,5080 0,5186 0,7104
a1 0,8065 0,4738 1,5787
a2 -4,5901 -1,2302 -9,3754
a3 8,2655 2,9056 17,8340
a4 -4,1023 -1,6502 -9,6558
b0 0,2029 0,3460 0,3486
b1 -0,1763 -0,1407 -0,6005
b2 1,4522 0,5054 4,1864
b3 -2,6042 -1,0561 -7,8747
b4 1,2876 0,6132 4,2761
c0 0,1411 0,0154 0,0089
c1 1,6203 0,9123 1,3573
c2 -6,2745 -2,0997 -5,4782
c3 9,8368 2,9233 8,7963
c4 -4,7232 -1,3811 -4,4607
d(a) = d0 + d1 a + d2 a2 + d3 a3 + d4 a4
e(a) = e0 + e1 a + e2 a2 + e3 a3 + e4 a4
f (a) = f0 + f1 a + f2 a2 + f3 a3 + f4 a4
(3.10)
y la del factor de peso del valor deseado
β = g(a) + h(a)τo + i(a)τo2
(3.11)
g(a) = g0 + g1 a + g2 a2 + g3 a3
h(a) = h0 + h1 a + h2 a2 + h3 a3
i(a) = i0 + i1 a + i2 a2 + i3 a3
(3.12)
donde
Los valores de las contantes en (3.8), (3.10) y (3.12), se muestran en los cuadros 3.2 a
3.4
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
Cuadro 3.3: Ti - Constantes para (3.10)
Ms
1,6
1,8
2,0
d0 -0,2793 -0,3795 -5,6171
d1 3,1844
4,1966
2,5000
d2 -2,5896 -11,0070 -5,1852
d3 -1,9418 12,2940 11,8310
d4 2,4092 -4,7252 -7,0819
e0 1,6154
2,5066 10,0000
e1 -2,3542 -2,7545 0,0000
e2 2,7671 12,0420 0,0000
e3 1,7325 -14,2820 0,0000
e4 -2,3794 5,6131
0,0000
f0 0,4897
0,5581
0,1605
f1 0,6846
0,3498
0,4467
f2 -1,0229 -2,4533 -2,4640
f3 -0,3326 3,6063
4,3123
f4 0,7132 -1,5881 -2,2055
Cuadro 3.4: β - Constantes para (3.12)
Ms
1,6
1,8
2,0
g0 0,6494 0,5028 0,9024
g1 0,6079 1,1218 0,3594
g2 0,8846 1,8124 1,0630
g3 0,4429 0,8578 -0,7622
h0 0,9137 1,3875 1,1281
h1 0,3613 0,6148 1,7048
h2 0,6854 0,7000 -4,3760
h3 0,1383 -0,3947 2,6400
i0 -0,1286 -0,3376 -0,2885
i1 0,2700 0,0742 0,8161
i2 0,3973 0,0067 2,0505
i3 -0,1069 0,0225 -1,2300
72
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
73
1.3
1.2
Indice de fragilida (Alfaro delta 20)
1.1
a = 0.00
a = 0.25
a = 0.50
a = 0.75
a = 1.0
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.5: Índices de fragilidad, método de Méndez sin restricción en la robustez
3.4.
3.4.1.
Pruebas comparativas
Comparación con un método de sintonización robusta
El método de sintonización de controladores PI de dos grados de libertad desarrollado
por Méndez (2008), contempla la robustez y el desempeño, pero no la fragilidad.
Para comparar las características de los lazos de control obtenidos con este método,
con las de los propuestos en este trabajo, se determinó el desempeño, la robustez y la
fragilidad de los mismos.
En la figura 3.5 se muestra el índice de fragilidad en función del τo para el caso en que
no se restringe la robustez del lazo. Se observa que en este caso los controladores son
frágiles. En todos los demás casos, menos para algunos valores de a, cuando la robustez
se restringe a Ms ≤ 2, los controladores no son frágiles (ver figura 3.6). Si se restringe
más la robustez (Ms ≤ 1, 8), todos los controladores resultan ser no frágiles (ver figura
3.7).
En la figura 3.8 se muestra el desempeño de los controladores sintonizados con del
método de Méndez, para diferentes valores de robustez. Como era previsible, el mejor
desempeño se obtiene cuando la robustez es baja (Ms = 2, 0 o 1,8). Se determinó que
la diferencia máxima entre estos valores es de un 5,6 %.
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
74
0.55
Indice de fragilida (Alfaro delta 20)
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
a = 0.00
a = 0.25
a = 0.50
a = 0.75
a = 1.00
0.25
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.6: Índices de fragilidad, método de Méndez, Ms = 2, 0
0.45
Indice de fragilida (Alfaro delta 20)
0.4
0.35
0.3
0.25
a = 0.00
a = 0.25
a = 0.50
a = 0.75
a = 1.00
0.2
0.15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
Figura 3.7: Índices de fragilidad, método de Méndez, Ms = 1, 8
2
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
75
7
6
Indice de desempeno
5
4
3
Ms = 2.0
Ms = 1.8
Ms = 1.6
Ms = 1.4
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 3.8: Índice desempeño Je (IAE), método de Méndez
Si se compara el desempeño obtenido con el método de Méndez, con el del método
propuesto mostrado en la figura 3.2, este es aproximadamente 6,1 % mejor, para la
sensibilidad de Ms = 1, 8. Sin embargo el método propuesto tiene la ventaja que asegura
un índice de fragilidad de 0,25 en todo el ámbito de variación de τo , mientras que la
fragilidad en el caso del método de Méndez varía, como se puede apreciar en la figura
3.7.
3.4.2.
Pruebas con plantas de orden superior
Para estas pruebas comparativas se utilizaron las plantas de cuarto orden sugeridas
por Aström & Hägglund (2000), cuya función de transferencia es
1
n
n=0 (α T s + 1)
P (s) = Q3
(3.13)
con α = {0, 1; 0, 2; 0, 5; 0, 7; 1, 0}.
Esto permitió considerar un conjunto de plantas con características dinámicas bastante
diferentes, como se aprecia en las curvas de reacción mostradas en la figura 3.9.
A partir de las curvas de reacción de estas plantas y utilizando un método de identificación de tres puntos [Alfaro (2006a)], se identificaron los mejores modelos de la forma
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
76
1
Salida
0.8
0.6
Planta 1
Planta 2
Planta 3
Planta 4
Planta 5
Entrada
0.4
0.2
0
0
5
10
15
Tiempo
Figura 3.9: Curvas de reacción, plantas de prueba
Cuadro 3.5: Parámetros de los modelos de las plantas de prueba
Modelo Kp
T
L
a
τo
Pm1
1
1,003 0,112 0,000 0,1117
Pm2
1 1,0222 0,0565 0,167 0,0553
Pm3
1 0,9096 0,192 0,571 0,2111
Pm4
1 1,2029 0,468 0,716 0,5030
Pm5
1 1,4868 1,111 1,000 0,7466
general
Kp e−Ls
(T s + 1)(aT s + 1)
para cada una de ellas, cuyos parámetros de muestran en el cuadro 3.5.
Pm (s) =
(3.14)
Los modelos identificados fueron utilizados para el cálculo de los parámetros de los
controladores. Se obtuvieron los valores de Ms , Jer y F I∆20 para las plantas de prueba
y para los modelos utilizados en la sintonización. Estos resultados son mostrados en
los cuadros del Apéndice C.2.
A manera de ejemplo se muestra el caso para Ms = 2, 0 para el método propuesto en
el cuadro 3.6 y para el método de Méndez en el cuadro 3.7.
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
77
Cuadro 3.6: Parámetros y respuestas de modelos para el método propuesto, Ms = 2, 0
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
6.2151 1.4210 1.0248
4.5946 0.5745 0.9394
2.4834 2.8386 1.1340
1.8759 4.9533 1.2869
1.3832 8.5406 1.5048
Ms
1.3789
2.1105
1.8124
2.2671
1.9107
Planta
Jer
0.2468
0.1414
1.1430
2.6405
6.1594
F I∆20
0.0639
0.3437
0.2060
0.3056
0.2194
Ms
1.9454
2.1220
1.9289
1.9922
2.0062
Modelo
Jer
0.2286
0.1344
1.1430
2.6405
6.1596
F I∆20
0.2144
0.3320
0.2094
0.2428
0.2626
Cuadro 3.7: Parámetros y respuestas de modelos para el método de Méndez, Ms = 2, 0
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
5.3674 0.4208 0.4574
5.7795 0.8196 0.4949
2.2690 1.6843 0.5768
1.6252 2.5301 0.6211
1.1482 3.7404 0.6933
Ms
1.5051
2.0830
1.8773
2.3477
1.9607
Planta
Jer
0.0982
0.1418
0.7423
1.5811
3.2576
F I∆20
0.1440
0.2612
0.2672
0.4685
0.3400
Ms
1.9825
2.1608
2.0006
2.0196
1.9925
Modelo
Jer
0.0784
0.1418
0.7423
1.5569
3.2576
F I∆20
0.2861
0.2658
0.2769
0.3271
0.3638
Como era de esperar, con el método propuesto se obtiene una mejor fragilidad pero un
peor desempeño al compararlo que con el método de Méndez. Además, se observa que
los valores del desempeño obtenidos con las plantas y los modelos varían en promedio un
0.8 % para las pruebas 2 a 5, esto comprueba que los modelos utilizados son apropiados
para la plantas.
3.5.
Conclusiones y recomendaciones
A partir de los resultados obtenidos se pueden establecer las siguientes conclusiones y
recomendaciones:
Los diferentes modelos utilizados afectan solamente la magnitud de los criterios
utilizados, pero la forma general de las respuestas es la misma. Por esto todas las
conclusiones obtenidas son aplicables para todos los modelos considerados.
Se comprobó que la hipotesis propuesta es cierta. Luego de establecer la función
de costo, se logro determinar los conjuntos de parámetros del controlador PI que
cumplían con la fragilidad y robustez deseada. Una vez obtenidos los parametros
se lograron obtenes las ecuaciones de sintonización del controlador PI de dos
grados de libertad que dependen de un modelo de la planta. En las pruebas con las
CAPÍTULO 3. CONTROLADORES NO FRÁGILES
78
ecuaciones de orden superior se verifico el funcionamiento del método propuesto.
Se comprobó que se pueden encontrar controladores robustos, no frágiles con un
desempeño óptimo dentro de las restricciones impuestas por la fragilidad.
Al variar la fragilidad se encontró que el mejor desempeño se obtiene cuando se
optimiza el funcionamiento con la fragilidad baja (0,25).
Cuando se varía la sensibilidad, el método propuesto en el valor de Ms = 2, 0
tienen el mejor desempeño cuando el τo ≤ 0,6, y el valor de Ms = 1, 60 para el
resto de τo . Para valores de Ms ≤ 1, 4 se recomienda no considerar la fragilidad
ya que esto tiene un impacto negativo en el desempeño.
Las comparaciones realizadas con el método de Méndez y las pruebas con plantas de orden superior, prueban que la fragilidad tiene un costo adicional en el
desempeño. Es posible obtener controladores con un índice de fragilidad mejor
cuando se tiene un τo ≥ 0, 1 y cuando la sensibilidad está en el rango 2, 0; 1, 6, a
costa de un peor desempeño. En los casos en que la fragilidad no es importante
(τo ≤ 0, 2 o Ms ≤ 1, 4), el método de Méndez proporciona un mejor desempeño
con una fragilidad similar a la que se puede obtener con el método propuesto.
En el caso del servo control, se puede obtener un mejor desempeño si se utilizan
los valores calculados cuando β ≥ 1. Para esto se recomienda desarrollar un
controlador PID de dos grados de libertad que no tenga el límite en β, que tienen
los controladores comerciales actuales.
Como una recomendación para futuros trabajos se recomienda ampliar el método
propuesto para controladores PID de dos grados de libertad. Además realizar un
estudio de como afecta el modo derivativo la robustez y la fragilidad de los lazos
de control.
Capítulo 4
Sintonización robusta de controladores
PID de dos grados de libertad con
costo de control óptimo
Heyleen Villalta Maietta
4.1.
Introducción
En este capítulo se presenta un nuevo método de sintonización de controladores PID
Serie de dos grados de libertad, en el cual se considera el desempeño del lazo de control
ante cambios en la perturbación de carga y en el valor deseado, la robustez del lazo ante
cambios en las características del proceso controlado y la fragilidad del controlador en la
eventualidad de presentarse variaciones de sus propios parámetros. Además, considera
la variación de la señal de control de manera que esta no cambie bruscamente.
4.1.1.
Justificación
Como se muestra en la revisión de los controladores PID comerciales hecha por Rojas (2007), existe una clara diferencia entre los algoritmos de control utilizados en
los controladores de lazo y la utilizada en las funciones PID incluidas dentro de los
controladores lógicos programables (PLC).
En lo controladores de lazo, el controlador es por lo general un PID Serie, mientras que
las ecuaciones PID que se utilizan en los PLC, en todos los casos corresponden a un PID
79
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 80
Ideal. Aunque siempre es posible encontrar los parámetros de un controlador PID Ideal
equivalente a un controlador PID Serie, el caso inverso no siempre es posible.
Por otra parte, se ha confirmado de los resultados obtenidos en varios de los trabajos de
desarrollo de procedimientos de sintonización de controladores PID Ideal, tanto de uno
como de dos grados de libertad, que cuando el objetivo de diseño es la optimización del
desempeño del lazo de control, medido por ejemplo como un índice de error integral,
generalmente no es posible encontrar los parámetros equivalentes requeridos para un
controlador Serie [ver Rimolo (2005), Solera (2005), Méndez (2006, 2008)]. Esto limita la
utilización de estos procedimientos de sintonización solo a los controladores PID Ideal,
no pudiéndose aplicar entonces a una gran gama de controladores de lazo disponibles
en el mercado.
En la literatura se encuentran procedimientos de sintonización de controladores que
solo contemplan optimizar el desempeño de los lazos de control y con mayor frecuencia,
considerando solo el comportamiento de la variable controlada (o su error), cuando en
la práctica es además deseable que la señal de control no presente cambios rápidos y
extremos, con el fin de reducir el posible desgaste que pudiera sufrir el elemento final
de control.
4.1.2.
Hipótesis
Mediante la optimización de la salida del controlador se puede desarrollar un procedimiento de sintonozación de controladores que tenga una señal de control suave, que
contemple la robustez del lazo de control y que además, sea aplicable tanto a controladores PID Serie e Ideal.
4.1.3.
Objetivos
Para el proyecto se establecieron los siguientes objetivos:
Objetivo General
Desarrollar un procedimiento de sintonización de controladores PID de dos grados de
libertad robustos, que produzcan una señal de control con cambios suaves y que sea
aplicable a los controladores PID Serie e Ideal.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 81
Objetivos Específicos
Optimizar los parámetros Kc , Ti y Td de los controladores PID de dos grados
de libertad, ante cambios en la perturbación, empleando como índice el costo
del esfuerzo de control Ju y su variación total (T Vu ), en los lazos de control con
plantas de primer y segundo orden más tiempo muerto.
Determinar la robustez de los sistemas de control resultantes, utilizando como
medida la sensibilidad máxima (Ms ).
Determinar el factor de peso del valor deseado β del controlador, que permita
mejorar el desempeño del lazo ante cambios en el valor deseado utilizando el
mismo criterio.
Evaluar la fragilidad del controlador mediante el Índice de fragilidad delta 20
(F I∆20 ) y analizar su relación con la robustez y el parámetro de diseño utilizado.
Comparar los resultados obtenidos con el procedimiento desarrollado con el obtenido con otros procedimientos de sintonización.
4.1.4.
Metodología
El desarrollo del trabajo contempló las siguientes actividades principales:
Revisión bibliográfica de los procedimientos de sintonización
Utilización de programas de simulación u optimización para la determinación de
los parámetros de un controlador PID, que minimicen el costo del esfuerzo de
control.
Incorporación de restricciones en la variación del esfuerzo de control, para asegurar su variación suave.
El diseño del controlador se realizó siguiendo la la secuencia usual para los controladores de dos grados de libertad, optimizando primero los parámetros del
controlador de realimentación ante cambios en la perturbación de carga y luego,
el factor de peso del valor deseado del controlador de valor deseado, ante cambios
en el valor deseado.
Para realizar la investigación se utilizaron las herramienta de diseño de sisteR
mas de control asistido por computadora Matlab
y de simulación digital
R
Simulink.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 82
4.2.
4.2.1.
Antecedentes
Sintonización de controladores con costo de control óptimo
Un lazo de control está constituido por los instrumentos necesarios para ejercer el
control, entre los que se incluyen: el sensor y transmisor, el actuador y elemento final
de control y el controlador. El controlador es responsable, junto con la planta, del
comportamiento dinámico del sistema de control [Alfaro (2006b)].
En general, se puede decir que es deseable que el sistema de control lleve a la variable
controlada a su nuevo valor deseado cuando este cambie, o lo regrese a este en el
caso de presentarse una perturbación, en forma rápida y con el menor error máximo
posible. Para lograr este objetivo, es tradicional que el desempeño del lazo de control
se especifique con mayor frecuencia considerando solo el comportamiento de la variable
controlada (o su error), cuando en la práctica es además deseable, que la señal de control
no presente cambios rápidos y extremos, con el fin de reducir el posible desgaste que
pudiera sufrir el elemento final de control.
Aunque el procedimiento de diseño más frecuente es la optimización de un índice de
desempeño con base en el error integral, se considerará en este caso que lo deseable
es lograr un sistema de control en el cual el esfuerzo de control no presente cambios
bruscos ni valores extremos, en forma similar al desarrollo utilizado en Wang & Cluet
(2000) para el caso de controladores de un grado de libertad, ante cambios en el valor
deseado.
De la literatura investigada en el desarrollo de procedimientos de sintonización de
controladores PID Ideal, tanto de uno como de dos grados de libertad, se ha encontrado
que cuando el objetivo de diseño es la optimización del desempeño del lazo de control,
como los indices de error integral, los parámetros óptimos del controlador no cumplen
con el requisito Ti ≥ 4Td .
La robustez del lazo de control es una medida de la sensibilidad del sistema de control
una vez sintonizado, cuando se presentan variaciones en los parámetros del proceso
controlado. Estos cambios se pueden manifestar por ejemplo, en el tiempo muerto
o ganancia de la planta. Para su medición se ha empleado tradicionalmente el par
constituido por los margenes de ganancia y fase (Am , φm ), aunque en los últimos años
se ha dado preferencia a la sensibilidad máxima (Ms ) como indicador de la robustez,
por ser esta una sola medición y por representar la distancia más corta de la gráfica
polar de la función de transferencia de lazo abierto del sistema de control L(jω) al
punto −1 y por lo tanto, una indicación de la estabilidad relativa.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 83
Figura 4.1: Sistema de control con un controlador de dos grados de libertad
4.3.
Desarrollo del procedimiento de sintonización
4.3.1.
Planteamiento del problema
La finalidad de la sintonización del controladores dentro de un lazo de control, es lograr
que el sistema se comporte de acuerdo a un criterio de desempeño establecido, ya sea
cuando se presentan cambios en el valor deseado o se presenta una perturbación en el
sistema.
El desarrollo del nuevo procedimiento de sintonización de controladores PID de dos
grados de libertad consideró:
Lazo de control
El lazo de control con un controlador de dos grados de libertad mostrado en
la figura 4.1, donde la función de transferencia P (s) es el modelo del proceso
controlado, Cr (s) el controlador de valor deseado y Cy (s) el controlador de realimentación. La variable controlada o señal realimentada es y(s), su valor deseado
r(s), d(s) es la perturbación de carga y u(s) la salida del controlador o señal de
control.
Proceso controlado
La utilización de una planta general presentada por la función de transferencia
P (s) =
Kp e−Ls
(T s + 1)(aT s + 1)
(4.1)
Emplear valores de a = {0; 0, 25; 0, 50; 0, 75; 1, 0} y valores del tiempo muerto
normalizado τo = {0, 1; 0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8; 1, 0; 1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8; 2, 0}. Esto permitió contemplar plantas dominadas por la constante de tiempo y plantas con un
tiempo muerto apreciable.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 84
Controlador
Un controlador PID Serie de dos grados de libertad cuya ecuación de salida es
u(s) =
Kc′
1
β + ′
Ti s
′
r(s) −
Kc′
Ti′ s + 1
Ti′ s
Td′ s + 1
αTd′ s + 1
y(s)
(4.2)
con α = 0, 10 (valor típico)
Desempeño
El desempeño del lazo de control se determinó, para efectos comparativos, mediante la integral del error absoluto, definida como
JIAE =
Z
∞
|e(t)| dt
(4.3)
0
Esfuerzo de control
Como medida del costo de control se definió la funcional
Ju =
Z
∞
|u(t) − u(∞)| dt
(4.4)
0
Robustez
Para los lazos de control con controladores con los parámetros óptimos, la robustez se midió con la sensibilidad máxima definida como
1
Ms = máx S(jω) = máx ω
ω
1 + C(jω)P (jω) (4.5)
La sensibilidad máxima varía usualmente en el ámbito 1, 2 ≤ Ms ≤ 2, 0, siendo
Ms = 2, 0 la robustez mínima comúnmente aceptada y Ms = 1, 4 la de un sistema
con robustez alta.
Fragilidad
La fragilidad del controlador es una indicación de la pérdida de robustez del lazo
de control, cuando son los parámetros del controlador los que varían.
Se determinó la fragilidad del controlador mediante el índice de fragilidad delta
20 [Alfaro (2007)] dado por
F I∆20 =
Ms∆ǫm
−1
Mso
(4.6)
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 85
Evaluación del método de sintonización
Comparar el desempeño, robustez y fragilidad de los controladores diseñados con
el obtenido con controladores sintonizados empleado otros métodos de sintonización, por ejemplo el de Méndez (2008).
4.3.2.
Determinación de los controladores óptimos
Primero se realizó la optimización de los parámetros de los controladores PID Serie con
la acción derivativa aplicada a la señal realimentada, ante un cambio en la perturbación
de carga con base en la función de costo (4.4).
Luego se obtuvo el valor del factor de peso del valor deseado β de los controladores
PID de dos grados de libertad. Para la etapa de optimización se utilizó el programa
R junto con la herramienta de simulación digital Simulink.
R
Matlab
Se realizó la optimización para valores de tiempo muerto normalizado en el ámbito de
0, 1 ≤ τo ≤ 2, 0, con modelos de primer orden, segundo orden y polo doble. Se utilizó el
método de solución numérica de ecuaciones diferenciales Runge-Kuta de cuarto orden
(ODE4), con un paso fijo de 0,005 en el intervalo de 0 a 40 unidades de tiempo. Para
la optimización se definió una tolerancia de 10−6 en el parámetro y de 10−9 en el valor
de la función.
Los parámetros óptimos determinados así como los índices medidos se resumen en el
Apéndice D.1.
Además, se determinaron los valores de la sensibilidad máxima para verificar si se
obtenía siempre una robustez superior a la mínima (Ms = 2, 0). Para todos los casos
analizados se obtuvo 1, 4303 ≤ Ms ≤ 1, 8887.
En la figura 4.2 se observa un ejemplo de los valores de robustez obtenidos. La robustez
menor se obtuvo con una planta de primer orden más tiempo muerto normalizado
τo = 0, 1 para la cual Ms = 1, 8887.
Se midió además la fragilidad mediante el índice (4.6). Los valores obtenidos variaron
en el ámbito 0, 22 ≤ F I∆20 ≤ 0, 50, siendo por lo tanto todos los controladores no
frágiles.
Loa valores de Kc′ son mayores para valores bajos de tiempo muerto y especialmente
para la planta de primer orden más tiempo muerto y la planta de polo doble, para
estos casos alcanza un valor Kc′ = 7, 1951 y Kc′ = 7, 4127 respectivamente. Para las
otras plantas los valores llegan hasta un máximo de Kc′ = 5, 1951
Al aumentar los valores de tiempo muerto, el valor óptimo de β ′ aumenta hasta para
el caso en que τo = 1, 4, el valor del factor de peso alcanza el límite superior de 1.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 86
1.9
a=0
a = 0,25
a = 0,5
a = 0,75
a=1
1.85
1.8
1.75
Ms
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.2: Sensibilidad máxima vs τo del proceso controlado
Se determinó también el desempeño mediante el criterio de la integral del error absoluto,
los valores obtenidos oscilan entre 0, 139 ≤ JIAE ≤ 3, 45.
El objetivo principal del trabajo era lograr una sintonización de manera que la señal de
control tuviera un cambio suave. Sin embargo la optimización de la funcional de costo
4.4, produjo sistemas con una señal de control que tendía rápidamente a su valor final.
Esto se puede observar en figura 4.3, para el caso particular τo = 0, 5, a = 0, 25. En
este caso la señal de salida del controlador alcanza su valor final en 1,2650 constantes
de tiempo.
Para asegurar una respuesta suave de la señal de control, se incorporó en la funcional
de costo, la variación total de la señal de la salida del controlador, redefiniéndola
como
JuT =
∞
X
k=1
|u(k) − u(∞)| ∆t + W
∞
X
[u(k + 1) − u(k)]2
(4.7)
k=1
donde W es el factor de peso que permite variar la forma o suavidad con que cambia
la señal de salida del controlador.
Esto permite tomar en cuenta las posibles limitaciones físicas del elemento de actuación,
evitando que los cambios en la señal de control no sean ni bruscos, ni extremos.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 87
1.5
y(t)
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
8
10
12
14
tiempo
2
1.5
u(t)
1
0.5
0
−0.5
0
2
4
6
tiempo
Figura 4.3: Comportamiento a un cambio en el valor deseado y en la perturbación
Seguidamente se analizará la selección del factor de peso W .
4.3.3.
Criterio de selección del factor de peso
Como se explicó en la sección anterior se incluyó en la funcional de costo un factor de
peso para garantizar suavidad en la salida del controlador y que el elemento final de
control no sufra variaciones bruscas ni extremas.
La nueva funcional de costo (4.7) se puede escribir como
JuT = Ju1 + W Ju2
(4.8)
En (4.8) el término Ju1 penaliza la magnitud del esfuerzo de control mientras que Ju2
su variación total, usualmente denominada T Vu .
Se realizaron nuevas optimizaciones utilizando plantas representativas con valores de
a = {0; 0, 25; 0, 75} y tres valores del tiempo muerto normalizado τo = {0, 5; 1, 0; 1, 5},
con el fin de observar el comportamiento de la salida del controlador.
Se utilizaron factores de peso con valores entre 100 y 1000. En todos los casos se
determinó el error máximo, el tiempo al error máximo y el tiempo que tardaba la señal
del controlador en alcanzar el 95 % de su valor final. Se logró observar que el factor de
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 88
τo
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
Cuadro
Kc′
0,5673
0,4995
0,5063
0,4753
0,4410
0,4070
1,0475
0,8513
0,6946
0,5602
0,4633
0,3930
0,4425
0,3825
0,3447
0,3526
0,3704
0,3617
4.1: Efecto de W
Ti′
Td′
0,9201 0,7029
0,8844 0,6129
0,9923 0,4412
1,0307 0,3309
1,0298 0,2755
1,0107 0,2500
0,9222 0,4815
1,0038 0,2805
1,0050 0,1975
0,9330 0,2109
0,8576 0,2375
0,7908 0,2639
1,0360 0,8411
0,9398 0,8079
0,8897 0,7745
0,9525 0,6560
1,0662 0,4728
1,0942 0,3876
sobre la funcional de costo, Control PID
Ju1
∆Ju1 ( %)
Ju2
∆Ju2 ( %)
1,7063
0,0040
1,7872
4,74
0,0030
-25,0
1,9649
15,2
0,0024
-40,0
2,1743
27,4
0,0019
-52,5
2,3407
37,2
0,0017
-57,5
2,4912
46,0
0,0015
-62,5
0,9445
0,0066
1,1833
25,3
0,0034
-48,5
1,4516
53,7
0,0024
-63,6
1,6843
78,3
0,0020
-69,7
1,8793
99,0
0,0017
-74,2
2,0449
117
0,0015
-77,3
2,4413
0,0030
2,4934
2,13
0,0025
-16,7
2,5939
6,25
0,0021
-30,0
2,7089
11,0
0,0019
-36,7
2,8864
18,2
0,0016
-46,7
3,0331
24,2
0,0015
-50,0
W
0
200
400
600
800
1000
0
200
400
600
800
1000
0
200
400
600
800
1000
peso afectaba tanto el error máximo, el tiempo de estabilixzación de la señal de control,
como su variación total.
Al incrementarse el factor de paso W se degrada el costo del esfuerzo de control Ju1 ,
pero mejora su variación total Ju2 .
A manera de ejemplo en el cuadro 4.1 se muestra el efecto del la variación del factor
de peso para el caso de la planta con a = 0, 25. Como se observa, si se emplea el factor
de paso W = 400, Ju1 aumenta un 15 % y Ju2 disminuye un 40 %. También se observa
que para valores de W > 400, se debe sacrificar mucho el esfuerzo de control Ju1 , para
lograr una pequeña mejora en su variación total Ju2 . Las demás tablas con los otros
casos se encuentran en el Apéndice D.2.
En el cuadro 4.2 se muestran los valores del error máximo Emax , los cuales no aumentan
en un porcentaje significativo al aumentar el factor de peso, en el peor de los casos éste
valor aumenta a 1,8090. Comparando el tiempo al error máximo tEmax con el tiempo
que tarda la señal del controlado en alcanzar el 95 % de su valor final tu95 % , se nota que
el tiempo que se requiere para disminuir la variación total de la señal se incrementa
mucho más que el tiempo al error máximo.
Lo anterior se puede apreciar también en la figura 4.4.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 89
Cuadro 4.2: Efecto de W sobre las características de respuesta, control PID
τo
Emax ∆Emax ( %) tEmax ∆tEmax ( %) tu95 % ∆tu95 % W
1,00 1,6644
2,5900
2,2750
0
1,00 1,6777
0,80
2,6600
2,70
2,7750 21,98
200
1,00 1,6912
1,61
2,7400
5,79
3,2850 44,40
400
1,00 1,7075
2,59
2,8250
9,07
3,7950 66,81
600
1,00 1,7195
3,31
2,8850
11,4
4,2050 84,84
800
1,00 1,7285
3,85
2,9350
13,3
4,5950 102,0 1000
0,50 1,4603
1,6150
1,2650
0
0,50 1,5178
3,94
1,8100
12,1
2,1050 66,40
200
0,50 1,5603
6,85
1,9550
21,1
2,7800 119,8
400
0,50 1,5835
8,44
2,0500
26,9
3,4350 171,5
600
0,50 1,6009
9,63
2,1300
31,9
3,9450 211,9
800
0,50 1,6153
10,6
2,1950
35,9
4,3500 243,9 1000
1,50 1,7841
3,4900
3,2000
0
1,50 1,7894
0,30
3,5300
1,15
3,6250 13,28
200
1,50 1,7939
0,55
3,5700
2,29
4,0550 26,72
400
1,50 1,7969
0,72
3,6000
3,15
4,3950 37,34
600
1,50 1,8032
1,07
3,6550
4,73
4,8000 50,00
800
1,50 1,8090
1,40
3,7050
6,16
5,1400 60,63 1000
Tomando en cuenta que se desea una respuesta con poca variación (suave), pero sin
sacrificar el desempeño, se consideró conveniente utilizar como factor de peso, para el
cual el tiempo que tarda la salida del controlador en alcanzar el 95 % de su cambio
total, fuera mayor que el tiempo al error máximo. Por lo tanto para todos los casos se
utilizó W = 400.
4.3.4.
Nuevos parámetros óptimos
En el desarrollo de las optimizaciones para obtener los parámetros de los controladores,
se observó que para el caso de la planta de primer orden mas tiempo muerto (a = 0), el
valor de Td′ tendió a cero para valores de τo ≤ 0, 5. Por lo tanto, para este caso especial
y se diseñaron controladores PI de dos grados de libertad.
Para los casos de a > 0 se diseñaron controladores PID de dos grados de libertad.
Controladores PID (a > 0)
Los parámetros óptimos se muestran en el Apéndice D.3.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 90
0.7
0.6
0.5
W=0
W = 400
W = 1000
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
22
24
26
28
30
32
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Figura 4.4: Comportamiento del sistema de control para diferentes W
Mediante la optimización del funcioamiento como regulador se obtuvo los valores de
Kc′ ,Ti′ , Td′ y β ′ . Los valores de Kc′ obtenidos son muy bajos, siempre menores a uno.
Lo cual es una ventaja ya que el valor de Kc′ β∆r no sería un valor alto y el cambio
instantáneo en la salida del controlador sería pequeño.
Al optimizar el funcionamiento como servo control se obtuvo el ajuste de β ′ . El caso
de β ′ es similar a lo obtenido en el caso anterior sin considerar la penalidad en Ju ,
los valores inician en 0, 7270 para tiempos muertos pequeños y apartir de τo ≥ 0, 9 el
factor de peso del valor deseado del controlador llega a su valor máximo de 1.
Al medir la robustez del lazo se obtuvieron valores que oscilan entre 1, 0982 ≤ Ms ≤
1, 5780, los cuales indican que la robustez es desde muy alta hasta un valor relativamente
bueno.
Se midió además la fragilidad F I∆20 , a cual dio valores entre 0, 098 ≤ F I ≤ 0, 5258,
para los cuales corresponde a controladores no frágiles en la mayoría de los casos,
inclusive para seis casos corresponde a controladores elásticos.
Con el fin de obtener una respuesta más suave se degradó el desempeño por medio de
un factor de peso por lo cual los valores de Ju1 aumentaron con respecto a los valores
obtenidos cuando sólo se minimizó la funcional de costo del esfuerzo de control, sin
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 91
tomar en cuenta sus variaciones totales.
Se midió el desempeño JIAE , que corresponde a la integral del error absoluto, para
observar su comportamiento. Era de esperarse que este desempeño fuese mayor ya que
no se optmizó con respecto de un índice de desempeño con base en el error integral, si
no con respecto al esfuerzo de control, sin embargo sus valores oscilan entre 1, 0540 ≤
JIAE ≤ 3, 6183.
Ecuaciones de sintonización, controladores PID Serie
El método seguido para el ajuste de los parámetros fue la utilización de la herramienta
Curve fitting tool de Matlab. Esta provee el porcentaje de error, el nivel de confianza,
la línea de mejor ajuste y el coeficiente de correlación, entre otros. Se seleccionó un
coeficiente de correlación ≥ 0, 90.
Como los parámetros óptimos del controlador dependen de todos los parámetros del
modelo (Kp , T , a, L), se determinaron ecuaciones para el cálculo de los parámetros
normalizados en función del tiempo muerto normalizado τo , para cada tipo de planta
estudiada (diferentes a).
Las ecuaciones de sintonización son:
v(a) + b(a)τo
c(a) + τo
(4.9)
v(a) = v0 + v1 a + v2 a2
b(a) = b0 + b1 a + b2 a2
c(a) = c0 + c1 a + c2 a2
(4.10)
Ti′
= d(a)τo5 + e(a)τo4 + f (a)τo3 + g(a)τo2 + h(a)τo + i(a)
T
(4.11)
Kc′ Kp =
d(a) = d0 + d1 a + d2 a2
e(a) = e0 + e1 a + e2 a2
f (a) = f0 + f1 a + f2 a2
g(a) = g0 + g1 a + g2 a2
h(a) = h0 + h1 a + h2 a2
i(a) = i0 + i1 a
(4.12)
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 92
Td′
= j(a)τo2 + k(a)τo + l(a)
T
(4.13)
j(a) = j0 + j1 a + j2 a2
k(a) = k0 + k1 a + k2 a2
l(a) = l0 + l1 a
(4.14)
β = m(a)τo4 + n(a)τo3 + o(a)τo2 + p(a)τo + q(a)
(4.15)
m(a) = m0 + m1 a + m2 a2 + m3 a3
n(a) = n0 + n1 a + n2 a2
o(a) = o0 + o1 a + o2 a2
p(a) = p0 + p1 a + p2 a2
q(a) = q0 + q1 a
(4.16)
Las constantes de las ecuaciones (4.10), (4.12), (4.14) y (4.16), se muestran en el cuadro
4.3
Controladores PI (a = 0)
Selección del factor de peso
Se analizó el caso de controladores PI de dos grados de libertad, para plantas
de primer orden más tiempo muerto. Como primer paso se analizó la selección
del factor de peso óptimo para la sintonización de los parámetros, se realizó de
la misma forma en que se desarrolló para los controladores PID (ver 4.3.3). Los
valores encontrados para este caso se describen a continuación.
Se necesita una respuesta suave sin sacrificar al máximo el desempeño, y además
sin aumentar el error máximo al peor de los casos, se tomó como criterio que se
aceptará el factor de peso para el cual el tEmax sea superado por tu95 % . Por lo
tanto para uniformar el criterio, se tomó un factor de peso de W = 400 al igual
que para el caso de PID.
• Determinación de los parámetros óptimos utilizando factor de peso
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 93
Ecuac.
v0
v1
v2
b0
b1
b2
c0
c1
c2
Cuadro 4.3: Constantes en ecuaciones
(4.10)
Ecuac.
(4.12)
Ecuac.
4,0442
d0
-0,9833
j0
d1
2,9264
j1
-9,0414
5,7468
d2
-1,5487
j2
-1,1734
e0
5,6452
k0
3,2898
e1
-17,6020
k1
-2,0106
e2
9,8325
k2
f0
-11,1970
l0
4,5835
-10,6940
f1
37,0770
l1
6,6390
f2
-21,8990
g0
8,6194
g1
-31,0780
g2
19,6730
h0
-1,9016
h1
8,2159
h2
-5,9159
i0
0,7248
i1
0,5627
Cuadro 4.4:
τo
Kc′
0,25 2,4334
0,25 1,0048
0,25 0,6973
0,25 0,5514
0,25 0,4620
0,25 0,4002
1
0,7923
1
0,6291
1
0,5470
1
0,4448
1
0,4030
1,5 0,6196
1,5 0,5376
1,5 0,4842
1,5 0,4114
1,5 0,3839
de sintonización
(4.14) Ecuac.
0,2894
m0
-1,1494
m1
0,6960
m2
-0,0491
m3
1,9949
n0
-1,2581
n1
-0,0956
n2
0,5599
o0
o1
o2
p0
p1
p2
q0
q1
(4.16)
0,3933
-1,0867
1,8592
0,9065
-1,4158
1,7854
-1,5162
2,7703
-5,2591
3,9529
-2,0006
5,1940
-3,4674
1,1202
-0,5013
Efecto de W sobre la funcional de costo, Control PI
Ti′
Ju1
∆Ju1 ( %)
Ju2
∆Ju2 ( %) W
1,0330 0,5264
0,0115
0
0,9177 0,9381
78,21
0,0034
-70,28
200
0,8340 1,2347
134,55
0,0024
-79,44
400
0,7781 1,4524
175,92
0,0019
-83,31
600
0,7349 1,6306
209,77
0,0017
-85,55
800
0,6995 1,7844
238,98
0,0015
-87,05
1000
1,3932 1,9087
0,0033
0
1,2211 1,9776
3,61
0,0025
-25,63
200
1,1320 2,0822
9,09
0,0021
-36,36
400
1,0343 2,3309
22,12
0,0017
-49,15
800
0,9956 2,4810
29,98
0,0015
-54,13
1000
1,5921 2,7348
0,0024
0
1,4462 2,7690
1,25
0,0020
-15,89
200
1,3531 2,8343
3,64
0,0018
-25,12
400
1,2271 2,9955
9,53
0,0015
-36,57
800
1,1812 3,0855
12,82
0,0014
-40,73
1000
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 94
Cuadro 4.5: Efecto de W sobre las características
τo
Emax ∆Emax ( %) tEmax ∆tEmax ( %)
0,25 1,3246
0,7800
0,25 1,4276
7,78
1,1250
44,23
0,25 1,4804
11,77
1,3050
67,31
0,25 1,5148
14,36
1,4250
82,69
0,25 1,5402
16,27
1,5100
93,59
0,25 1,5602
17,79
1,5750
101,92
1
1,6996
2,4000
1
1,7119
0,72
2,4750
3,13
1
1,7198
1,19
2,5250
5,21
1
1,7323
1,92
2,6050
8,54
1
1,7386
2,29
2,6450
10,21
1,5 1,8105
3,3250
1,5 1,8144
0,22
3,3650
1,20
1,5 1,8175
0,39
3,3950
2,11
1,5 1,8226
0,67
3,4450
3,61
1,5 1,8249
0,80
3,4700
4,36
de respuesta, control PI
tu95 % ∆tu95 % W
0,6850
0
2,0700 202,19 200
2,7900 307,30 400
3,3000 381,75 600
3,7200 443,07 800
4,0800 495,62 1000
2,4900
0
3,0050 20,68
200
3,4100 36,95
400
4,1900 68,27
800
4,6200 85,54 1000
3,5650
0
3,9400 10,52
200
4,2650 19,64
400
4,8500 36,04
800
5,1350 44,04 1000
Los parámetros óptimos se muestran en los cuadros D.25 a D.28 del Apéndice
D.4.
Mediante la optimización del funcionamiento como regulador se obtuvo los valores
de Kc′ y Ti′ . Los valores de Kc′ obtenidos son muy bajos, siempre menores a uno.
El caso del parámetro β ′ es particular debido a que cuando se optimizó el funcionamiento como servo control utilizando un factor de peso de W = 400 se encontró
que la señal de control requiere, para todos los casos, un β ′ = 0. Por el contrario
al optimizarse utilizando un factor de peso W = 0, se encuentran valores que
oscilan entre 0, 8617 ≤ β ′ ≤ 1, 0000.
La función de costo de control óptimo Ju1 y la variación total Ju2 en su funcionamiento como servomecanismo varía notablemente. Para el caso de W = 400 los
valores del desempeño Ju2 varían entre 0, 0029 ≤ Ju2 ≤ 0, 0012.
Por otra parte, para el caso de W = 0 los valores del desempeño Ju2 varían
entre 0, 2035 ≤ Ju2 ≤ 0, 5474, siendo una diferencia significativa en el valor del
desempeño.
Se concluye que la respuesta del controlador para un factor de peso W = 400 es
muy suave y deja de ser eficiente, por lo que para el caso especial de a = 0 se
toma el factor de peso W = 0.
Al medir la sensibilidad máxima, se deja el parámetro libre para observar su
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 95
comportamiento y se obtienen valores de Ms ≤ 1, 7661, los cuales garantizan
controladores robustos en todos los casos.
Se determinó la fragilidad F I∆20 , la cual dio valores de F I ≤ 0, 4156, para los
cuales se tienen controladores no frágiles en todos de los casos, inclusive para
tres casos corresponde a controladores elásticos, los correspondientes a tiempos
muertos normalizados menores de 0, 3.
Se midió el desempeño JIAE , éste arrojó valores similares a los casos de controladores PID, sin embargo más altos que el desempeño medido para los controladores
en los cuales no se tomó el factor de peso W .
Ecuaciones de sintonización, controladores PI (a = 0 )
Las ecuaciones obtenidas para el caso de controladores PI de dos grados de libertad se
realizó de la misma forma en que se desarrolló para controladores PID de dos grados
de libertad (ver 4.3.4). En los siguientes cuadros se muestran las ecuaciones generales
determinadas para el cálculo de los parámetros de los controladores PI dos grados de
libertad.
Kc′ Kp =
v(a) + b(a)τo
c(a) + τo
(4.17)
Ti′
= d(a)τo5 + e(a)τo4 + f (a)τo3 + g(a)τo2 + h(a)τo + i(a)
T
(4.18)
β = j(a)τo5 + k(a)τo4 + l(a)τo3 + m(a)τo2 + n(a)τo + o(a)
(4.19)
Las constantes de las ecuaciones (4.3.4), (4.3.4) y (4.3.4) y se muestran en el cuadro
4.6
4.4.
4.4.1.
Pruebas comparativas
Comparación con un método de sintonización robusta
Se comparó el método de sintonización desarrollado con el método de Méndez (2008)
para controladors PID de dos grados de libertad. En los cuadros del Apéndice D.5 se
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 96
Cuadro 4.6: Constantes en ecuaciones de sintonización PI
Ecuac. (4.3.4) Ecuac. (4.3.4) Ecuac. (4.3.4)
v
1,8393
d
-0,0097
j
0,4237
b
0,0385
e
0,0093
k
-2,1781
c
2,3746
f
0.0973
l
3,8104
g
-0,1980
m
-2,4657
h
0,5157
n
0,3424
i
0,7208
o
0,9968
encuentran todas las tablas con los valores encontrados para el método.
Como el método de sintonización propuesto no considera la robustez del sistema,
se comparó con el método de Méndez sin restricción en el Ms y para los casos
Ms = 1, 8 y Ms = 1, 4.
En la figura 4.5se muestra las sensibilidades máximas para el caso en que no existe
restricción en la robustez. Como en el método Méndez se optimiza el desempeño,
los sistemas no son robustos, mientras que con el método propuesto se obtienen
valores de Ms siempre menores a 2,0.
Comparando los resultados obtenidos para el índice de fragilidad F I∆20 , éste empieza menor para el método propuesto pero se aproxima a 0,5 conforme aumenta
el tiempo muerto. Los controladores son no frágiles para ambos métodos. Sin
embargo para el caso de Méndez Ms sin restricción los controladores son frágiles
en todos los casos.
Comparando los valores medidos del desempeño del error integral JIAE , es evidente que los valores son muy similares aún cuando en el método propuesto no
se minimiza esta función, por lo que se evidencia que el desempeño JIAE no se
ve influenciada al minimizar la funcional de costo del esfuerzo de control Ju.
La figura 4.7 muestra lo explicado para cambios en la perturbación y la figura
4.8 para cambios en le valor deseado. Cabe destacar que los valores del JIAE
del método propuesto son similares a los obtenidos con el método Méndez para
Ms = 1, 4, para la respuesta del servo control.
Los valores de desempeño Ju1 en su funcionamiento como control regulatorio son
similares para ambos métodos (ver 4.9). El caso particular de método Méndez
con Ms sin restricción, se comporta diferente a los demás casos, sin embargo se
encuentra en un ámbito similar.
Los valores del desempeño Ju2 , que corresponde a la variación total de los cambios,
en el caso del control regulatorio son menores en el caso del método propuesto
(ver 4.10), esto evidencia que el método propuesto garantiza suavidad en la señal
de salida del controlador. Para el método de Méndez los valores decrecen expo-
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 97
4.5
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
4
3.5
Ms
3
2.5
2
1.5
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.5: Robustez de los lazos de control
0.9
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
0.8
0.7
FI
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
Figura 4.6: Índice de fragilidad de los controladores
2
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 98
5
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
4.5
4
3.5
IAE regulador
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.7: Desempeño del control regulatorio
5
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
4.5
4
3.5
IAE servomecanismo
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
Figura 4.8: Desempeño del servo control
1.8
2
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 99
5
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
4.5
4
Ju1 regulador
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.9: Magnitud del esfuerzo de control, control regulatorio
nencialmente, presentando valores muy altos para tiempos muertos normalizados
pequeños. Esto quiere decir que el método Méndez no garantiza suavidad en la
salida del controlador para τo pequeños.
Los valores de desempeño Ju1 en su funcionamiento como servo control (ver 4.11),
método propuesto tiene valores más bajos que el método de Méndez.
Los valores del desempeño Ju2 , que corresponde a la variación total de los cambios, en el funcionamiento como servo control son mucho menores en el caso del
método propuesto (ver 4.12). Para el método de Méndez los valores decrecen exponencialmente, presentando valores muy altos para tiempos muertos normalizados
pequeños. Al igual que el caso del funcionamiento como regulador, el método
propuesto garantiza suavidad en la sañal de salida del controlador mientras que
el método Méndez no la garantiza, especialmente para τo < 0, 6.
4.4.2.
Comparación con plantas de orden superior
Para la comparación del método propuesto utilizando plantas de orden superior, se
tomó un grupo de plantas de cuarto orden propuestas de entre las propuestas por
Aström & Hägglund (2000), cuya ecuación general es
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 100
0.06
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
0.05
Ju2 regulador
0.04
0.03
0.02
0.01
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.10: Variación total del esfuerzo de control, control regulatorio
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
7
6
Ju1 servomecanismo
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.11: Magnitud del esfuerzo de control, servo control
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 101
10
Propuesto Ms sin restriccion
Mendez Ms sin restriccion
Mendez Ms=1,8
Mendez Ms=1,4
9
8
7
Ju2 servomecanismo
6
5
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tiempo muerto normalizado
1.4
1.6
1.8
2
Figura 4.12: Variación total del esfuerzo de control, servo control
Cuadro 4.7: Parámetros de los
Modelo Kp
T
M1
1 1,0030
M2
1 1,0222
M3
1 0,9096
M4
1 1,2029
M5
1 1,4868
modelos
L
0,1120
0,0565
0,1920
0,4680
1,1110
de las plantas de prueba
τo
a
0,1117 0,000
0,0553 0,167
0,2111 0,571
0,5030 0,716
0,7466 1,000
1
n
n=0 (α T s + 1)
P (s) = Q3
(4.20)
con α = {0, 1; 0, 2; 0, 5; 0, 7; 1, 0}.
Utilizando el método de identificación de tres puntos de Alfaro (2006a), a partir de la
curva de reacción se seleccionaron los modelos de la forma general
M (s) =
Kp e−Ls
(T s + 1)(aT s + 1)
cuyos parámetros de muestran en el cuadro 4.7.
(4.21)
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 102
Cuadro 4.8: Parámetros óptimos para las plantas
M1
Kc′
Ti′
Td′
β′
Propuesto
0,7415 0,7783
0
1,0092
Méndez Ms libre 8,1438 0,4206 0,0000 0,4574
Méndez Ms = 1, 8 4,5586 0,4224 0,0000 0,6300
Méndez Ms = 1, 4 2,1598 0,4388 0,0000 0,7119
M2
Kc′
Ti′
Td′
β′
Propuesto
0,8745 0,8091 0,0122 0,9745
Méndez Ms libre 27,6564 0,1773 0,1133 0,3665
Méndez Ms = 1, 8 12,6158 0,2431 0,1079 0,4745
Méndez Ms = 1, 4 6,9887 0,4485 0,1137 0,6353
M3
Kc′
Ti′
Td′
β′
Propuesto
0,8976 1,0289 0,3285 0,8389
Méndez Ms libre 8,9720 0,5669 0,2869 0,3965
Méndez Ms = 1, 8 4,1921 0,6625 0,2974 0,5636
Méndez Ms = 1, 4 2,1256 0,7532 0,3066 0,6850
M4
Kc′
Ti′
Td′
β′
Propuesto
0,8004 1,3971 0,6787 0,8611
Méndez Ms libre 5,0109 1,1245 0,5554 0,4290
Méndez Ms = 1, 8 2,4639 1,2109 0,5620 0,6197
Méndez Ms = 1, 4 1,3548 1,3052 0,5646 0,8052
M5
Kc′
Ti′
Td′
β′
Propuesto
0,6495 1,6658 1,3182 1,3994
Méndez Ms libre 2,6422 2,1032 1,0281 0,4791
Méndez Ms = 1, 8 1,5051 2,2106 1,0303 0,7201
Méndez Ms = 1, 4 0,9181 2,2521 1,0418 0,9425
de prueba
Ms
F I∆20
1,0756 0,0346
1,7294 0,0916
1,4767 0,0914
1,2899 0,0768
Ms
F I∆20
1,1736 0,0766
2,1597 0,6709
1,7048 1,0992
1,3312 0,2486
Ms
F I∆20
1,1238 0,1294
2,9396 0,4815
1,6657 0,1246
1,3275 0,3479
Ms
F I∆20
1,2319 0,2517
5,1862 50,2161
2,0470 0,9202
1,4930 0,4677
Ms
F I∆20
1,3395 0,4012
2,4195 0,7643
1,6105 0,4005
1,3304 0,2822
En el cuadro 4.8 se presentan los parámetros de los controladores obtenidos el método
propuesto y con el de Méndez para Ms sin restricción, Ms = 1, 8 y Ms = 1, 4.
El caso del modelo M1 se encuentran los parámetros para un controlador PI, tanto
utilizando el método propuesto como el método de Méndez.
Por otra parte, los valores de los parámetros del controlador para los modelos M2 en
adelante siempre corresponden a un PID Serie de dos grados de libertad en el caso del
método propuesto y los del caso del método Méndez corresponden a un PID Ideal.
Se observa del cuadro anterior los valores de Ms para el método propuesto siempre son
menores que 1, 3395 garantizando sistemas robustos y no frágiles, ya que la fragilidad
en todos los casos es siempre menor que 0, 5. Para el método Méndez sin restricción en
la robustez los valores de Ms son siempre mayores a los del método propuesto, llegando
inclusive a valores de 5, 1862. Si se observan los demás casos con las restricciones del
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 103
Cuadro 4.9: índices de
M1
JIAEr
Propuesto
1,0575
Méndez Ms libre 0,0516
Méndez Ms = 1, 8 0,0934
Méndez Ms = 1, 4 0,2334
M2
JIAEr
Propuesto
0,9350
Méndez Ms libre 0,0096
Méndez Ms = 1, 8 0,0333
Méndez Ms = 1, 4 0,0730
M3
JIAEr
Propuesto
1,1463
Méndez Ms libre 0,0783
Méndez Ms = 1, 8 0,2198
Méndez Ms = 1, 4 0,4850
M4
JIAEr
Propuesto
1,7455
Méndez Ms libre 0,5227
Méndez Ms = 1, 8 0,7559
Méndez Ms = 1, 4 1,3038
M5
JIAEr
Propuesto
2,5651
Méndez Ms libre 1,0921
Méndez Ms = 1, 8 1,8778
Méndez Ms = 1, 4 2,8757
desempeños para
Ju1r
Ju2r
1,0950 0,0004
0,2568 0,0060
0,3308 0,0035
0,5140 0,0017
Ju1r
Ju2r
1,0142 0,0005
0,1917 0,0185
0,3180 0,0084
0,3106 0,0039
Ju1r
Ju2r
1,1468 0,0005
0,6634 0,0073
0,6671 0,0025
0,8785 0,0012
Ju1r
Ju2r
1,7461 0,0004
3,0619 0,0051
1,6682 0,0012
1,8144 0,0006
Ju1r
Ju2r
2,8841 0,0003
2,7471 0,0009
2,5838 0,0004
3,1719 0,0002
las plantas de prueba
JIAEs
Ju1s
Ju2s
1,0884 1,1952 0,5603
0,2799 2,0530 13,9622
0,3099 2,0224 8,2764
0,5292 1,9336 2,3697
JIAEs
Ju1s
Ju2s
1,0382 1,3176 0,7268
0,2596 4,0729 106,0716
0,3942 3,8612 36,3120
0,4127 2,5047 19,7797
JIAEs
Ju1s
Ju2s
1,6077 1,1042 0,5674
0,6890 3,9720 12,7976
0,9601 2,8781 5,6003
1,2496 2,4563 2,1235
JIAEs
Ju1s
Ju2s
2,5504 1,3283 0,4753
2,1854 9,8101 4,6659
2,1765 3,8484 2,3361
2,4887 2,7773 1,1911
JIAEs
Ju1s
Ju2s
3,5522 2,2049 0,8264
3,2320 4,9091 1,6053
3,7881 3,3164 1,1754
4,1795 2,6555 0,7490
Ms , siempre son mayores a los valores obtenidos con el método propuesto, aún cuando
el método no degrada el desempeño para obtener un sistema de alta robustez.
En el cuadro 4.9 se presentan los índices de desempeño obtenidos con las diferentes
plantas.
Los valores del desempeño JIAE son mayores para el caso del método propuesto, en el
cual no se consideró el desempeño como parte de la funcional de costo.
Respecto al costo del esfuerzo de control Ju1 como control regulatorio, este es mayor
para el método propuesto es mayor ya que este se penalizó con el fin disminuir su
variación total Ju2 y obtener una señal de control más suave. Por su parte el índice
Ju2 es más pequeño para el método propuesto que para el de Méndez en todos los
casos.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 104
4.5.
Conlusiones y recomendaciones
4.5.1.
Conclusiones
Se logró comprobar la hipótesis ya que fue posible sintonizar controladores PID
mediante la optimización de las características del esfuerzo de control, logrando
que esta sea suave, que se logre al mimo tiempo una buena robustez, y que además
sea aplicable tanto a controladores Ideal y Serie.
Considerando únicamente la funcional de costo del esfuerzo de control, la respuesta del controlador varió muy bruscamente, alcanzando su valor final en la
forma más rápida posible.
Se incorporó a la funcional del costo, la variación total del esfuerzo de control
(T Vu ), mediante un factor de peso seleccionado para lograr un balance en las
características de velocidad y variación del esfuerzo de control.
Para casos con a 6= 0 se diseñaron controladores PID de dos grados de libertad,
se toma el factor de peso W = 400. Para el caso especial a = 0 se diseñaron con
controladores PI de dos grados de libertad tomando un factor de peso de W = 0.
Se concluye que con el uso del factor de peso mejora la suavidad de la respuesta
del controlador en aproximadamente un 44 %.
Al agregar la penalidad a la funcional de costo, se comprueba que se degrada el
desempeño Ju1 , para aumentar la variación total del esfuerzo de control Ju2 , con
el propósito de garantizar una respuesta suave del controlador.
Conforme aumenta τo y aumenta el valor de a, los valores de los desempeños Ju1
y Ju2 aumentan siempre de manera proporcional uno con respecto al otro.
Los parámetros obtenidos corresponden siempre a controladores robustos, con
una sensibilidad máxima inferior a la máxima usual (Ms = 2, 0).
Del estudio realizado se concluye que los controladores obtenidos son siempre no
frágiles. El índice de fragiliad dió valores menores de 0,5 en todos los casos.
Los valores de la funcional de costo del esfuerzo de control optimizada Ju, dio
valores similares para el caso de comparación con el método de Méndez.
El factor de peso del valor deseado de los controladores PI y PID de dos grados
de libertad fue menor a la unidad para el caso de los parámetros óptimos, para
τo ≤ 0, 4.
Las pruebas al método desarrollado para plantas de orden superior y comparaciones de este con otros métodos, demostraron su funcionalidad. Los sistemas
obtenidos tienen una buena robustez y los controladores son no frágiles.
CAPÍTULO 4. CONTROLADOR PID CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO 105
4.5.2.
Recomendaciones
Para trabajos futuros se puede considerar incluir en la funcional de costo el
desempeño del sistema de control, para mejorar la robustez en los casos en que
esto fuera necesario.
Debido a que sólo se desarrolló el caso de a = 0 para controladores PI de dos
grados de libertad, se puede considerar desarrollar el método para otros casos de
a.
Los parámetros de los controladores PID obtenidos corresponden a controladores
tipo serie, se puede considerar convertir los parámetros para controladores tipo
ideal y comparar la relación Td ≤ 0, 1Ti . Si esta relación se cumple, se puede
asumir con seguridad que un controlador PI es suficiente (Wang & Cluet (2000)).
Para aprovechar la función del factor de peso del valor deseado de los controladores de dos grados de libertad, se recomienda no restringirlo al valor de 1, cuando
esto sea posible en los controladores disponibles comercialmente.
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Zhuang, M. & Atherton, D. (1994), ‘Optimun cascade pid controller design for siso
systems’.
Apéndice A
Sintonización PID balanceada
robusta
109
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
110
Cuadro A.1: Parámetros óptimos, W1 = 0, 5, Ms = 2
a
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
τo
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
β
0,52293
0,52460
0,59715
0,62050
0,66349
0,72003
0,75151
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0,76450
0,77230
0,52275
0,52164
0,60134
0,61933
0,69391
0,73516
0,75454
0,77224
0,78890
0,80089
0,55038
0,53622
0,59068
0,64471
0,68128
0,72629
0,75608
0,77416
0,78781
0,80771
0,52374
0,55024
0,56014
0,62157
0,66489
0,70804
0,74205
0,76538
0,78553
0,79251
0,52512
0,55596
0,54036
0,61960
0,65604
0,68722
0,72366
0,75023
0,76879
0,78156
Kc
16,96799
7,97734
3,51305
1,91973
1,40331
1,11231
0,95557
0,86288
0,79554
0,74081
19,95283
8,48243
3,18856
1,76463
1,28869
1,05107
0,92370
0,83863
0,77349
0,72454
27,97350
11,35551
3,85195
1,95224
1,39968
1,12114
0,96778
0,87240
0,80454
0,74575
36,05066
14,08716
4,54612
2,22338
1,57136
1,23641
1,04927
0,93369
0,85043
0,79746
44,57255
16,58815
5,42473
2,50901
1,73290
1,37450
1,15002
1,01136
0,91850
0,85227
Ti
0,16289
0,29467
0,57348
0,87122
1,07345
1,23403
1,36969
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1,61939
1,74353
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1,71628
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Td
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Ti /Td
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6,65567
5,36432
4,63602
4,05216
3,53416
3,39587
3,20777
3,38419
4,16459
4,39806
4,81206
4,39669
3,91753
3,33249
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3,16645
3,02681
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3,59000
3,36196
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3,05087
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3,06034
3,10226
3,73577
3,78731
3,54218
3,51965
3,34614
3,17346
3,04879
2,95024
2,95044
3,16235
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3,45900
3,57593
3,55800
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3,12045
2,98762
Je
0,11739
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1,41169
2,13556
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3,59019
4,27651
4,95114
5,63721
0,26615
0,47659
1,05246
1,93076
2,79235
3,43154
4,15589
4,83668
5,52850
6,21383
0,30695
0,52603
1,16643
2,10809
2,93731
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4,49295
5,21199
5,91471
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0,31270
0,55913
1,21965
2,20530
3,08042
3,91894
4,71017
5,45927
6,19147
6,88931
0,31915
0,57436
1,24155
2,29493
3,18828
4,02192
4,84618
5,62419
6,36820
7,08883
Ju
1,18226
1,32861
1,51355
1,72840
1,96035
2,20035
2,48260
2,80029
3,16188
3,51400
2,63630
2,14166
1,67873
2,14452
2,51037
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2,75605
3,10049
3,46007
3,82190
4,05916
2,92032
2,13630
2,21434
2,48503
2,71956
3,01977
3,35122
3,71554
4,06308
6,13526
3,70575
2,88704
2,68852
2,79132
3,00340
3,27156
3,58912
3,92517
4,29881
7,67441
4,50160
3,59464
2,88473
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3,31795
3,53974
3,82823
4,15305
4,50181
Ms
2,00001
1,99999
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2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00007
1,99983
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00001
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00034
2,00006
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00014
2,00000
2,00000
1,99702
1,99999
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
2,00000
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
111
Cuadro A.2: Parámetros óptimos, W1 = 0, 5, Ms = 1,4
a
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
τo
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
β
0,64737
0,69645
0,84142
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,61082
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1,00000
1,00000
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1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,57637
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1,00000
1,00000
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1,00000
1,00000
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1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
Kc
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0,48645
0,43962
0,41095
8,38137
4,10872
1,73630
0,95436
0,71964
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4,95084
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1,07605
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0,61293
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0,44119
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12,96862
5,81206
2,29751
1,21264
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1,33124
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0,63307
0,55387
0,50738
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Ti
0,17885
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0,59356
0,84577
0,99130
0,99829
1,15685
1,22673
1,26247
1,35520
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0,66413
0,90149
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1,14959
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1,26103
1,31606
1,39967
1,45167
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1,42149
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1,59958
0,69999
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1,97104
Td
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0,62144
0,74249
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0,87135
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0,29851
0,42361
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0,56882
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Ti /Td
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8,77931
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5,22078
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2,65289
2,33429
2,07916
1,99347
3,67735
3,95451
4,03432
3,05428
3,18519
2,23927
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2,08946
1,89551
3,12241
3,59117
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3,15938
2,71890
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2,11098
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1,93096
3,30538
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3,63207
3,33656
3,53812
3,05881
2,62907
2,23316
2,17867
2,01829
3,10941
3,54023
3,23379
3,57149
3,15096
3,17383
2,55794
2,35217
2,17717
2,05421
IAE
0,20439
0,41790
1,06491
2,07174
3,01197
3,97834
4,81341
5,67620
6,54433
7,37003
0,46438
0,78350
1,59100
2,77099
3,69482
4,68815
5,51704
6,41181
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1,78190
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6,01102
6,91133
7,76807
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0,57352
0,95815
1,90690
3,19669
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8,15661
9,01730
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0,99299
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3,35422
4,46679
5,55550
6,58568
7,55787
8,45339
9,32371
IAU
1,47810
1,51784
1,63042
1,82936
2,05440
2,62253
2,93835
3,44008
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1,40000
1,40000
1,40000
1,40000
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
112
Cuadro A.3: Parámetros óptimos, W1 = 0, 25, Ms = 2
a
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2,00000
2,00001
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
113
Cuadro A.4: Parámetros óptimos, W1 = 0, 25, Ms = 1,4
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1,40000
1,40000
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
114
Cuadro A.5: Parámetros óptimos, W1 = 0, 75, Ms = 2
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APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
115
Cuadro A.6: Parámetros óptimos, W1 = 0, 75, Ms = 1,4
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1,40000
1,40000
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
116
Cuadro A.7: Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 5, Ms = 2
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APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
117
Cuadro A.8: Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 5, Ms = 1,4
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APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
118
Cuadro A.9: Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 25, Ms = 2
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APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
119
Cuadro A.10: Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 25, Ms = 1,4
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β
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1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
Kc
9,21263
4,66552
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1,95871
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2,28254
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Ti
0,15962
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Td
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Jer
0,18908
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3,36350
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4,56177
4,97580
Jed
0,02267
0,07723
0,32822
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1,73218
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1,47388
1,83800
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3,69579
4,12874
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1,26211
1,90212
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3,84582
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Jur
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1,37642
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1,30411
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Jud
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0,81864
1,33418
2,05198
2,27624
2,67173
3,12096
3,53631
3,95398
0,35524
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1,47272
1,94404
2,43848
2,91033
3,34125
3,77249
4,20362
0,38547
0,57498
0,92415
1,49009
2,02054
2,53267
3,06064
3,50765
3,94408
4,37404
0,41595
0,60076
1,11291
1,52949
2,05315
2,63463
3,22635
3,62878
4,07286
4,51378
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
120
Cuadro A.11: Índices Je y Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 75, Ms = 2
a
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
τo
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0,10
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1,00
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1,50
1,75
2,00
0,05
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0,25
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1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
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1,00
1,25
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2,00
0,05
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1,00
1,25
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1,75
2,00
0,05
0,10
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1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
β
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0,78930
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0,86460
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0,59051
0,56022
0,63732
0,70206
0,71942
0,77047
0,81595
0,84437
0,85864
0,85579
Kc
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8,76714
3,67573
1,91583
1,37793
1,11629
0,96453
0,86098
0,78911
0,73894
20,25259
8,42777
3,20791
1,75606
1,28629
1,05509
0,92323
0,83266
0,77168
0,72850
28,03702
11,53760
3,90946
1,98443
1,38907
1,11740
0,96266
0,86968
0,79905
0,74265
36,29635
14,40722
4,54307
2,23650
1,56844
1,23207
1,04421
0,93086
0,85194
0,78693
45,17070
16,53853
5,33557
2,52731
1,76474
1,36393
1,14353
1,00699
0,91074
0,85023
Ti
0,20489
0,37703
0,71173
1,00024
1,22988
1,36758
1,49978
1,63502
1,74087
1,84258
0,41963
0,62828
1,03760
1,25980
1,41121
1,55112
1,67440
1,78364
1,87087
1,95290
0,52385
0,77412
1,16211
1,49423
1,65443
1,77952
1,90115
1,98707
2,07904
2,17936
0,54866
0,93147
1,38534
1,80568
1,84103
1,99286
2,12450
2,21750
2,31202
2,40051
0,56395
0,87336
1,49849
1,95417
2,06244
2,21777
2,34839
2,45479
2,55089
2,63004
Td
0,01517
0,03211
0,07730
0,14593
0,23293
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0,45142
0,51301
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0,40004
0,47147
0,53030
0,57460
0,59641
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0,34952
0,41712
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0,61995
0,66819
0,72953
0,14905
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0,31937
0,44123
0,46819
0,54162
0,62320
0,68214
0,74999
0,79393
0,15505
0,23624
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0,45970
0,51922
0,59395
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0,73574
0,79534
0,84810
Jer
0,09533
0,18628
0,45346
0,89167
1,27860
1,66952
2,04643
2,41113
2,78352
3,15867
0,22849
0,38664
0,71154
1,17955
1,60336
1,98289
2,36082
2,73604
3,11976
3,51653
0,25781
0,42811
0,84398
1,33331
1,77755
2,18382
2,56786
2,96170
3,34394
3,70823
0,27564
0,44412
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1,40648
1,91695
2,33417
2,72497
3,12203
3,50706
3,88691
0,28484
0,49671
0,93369
1,48988
1,99650
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2,84316
3,24161
3,63321
4,03110
Jed
0,01195
0,04301
0,19363
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2,22781
2,52600
0,02072
0,07455
0,32345
0,71741
1,09722
1,47280
1,82394
2,16218
2,45772
2,71934
0,01868
0,06710
0,29726
0,75298
1,19166
1,59523
1,98473
2,31011
2,63992
2,98592
0,01512
0,06465
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0,80737
1,17418
1,61920
2,04101
2,40031
2,74901
3,09602
0,01248
0,05281
0,28085
0,77322
1,16886
1,62718
2,05704
2,44864
2,82231
3,13421
Jur
1,00378
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1,66719
1,09240
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0,70226
0,72373
0,76952
0,84507
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1,14294
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0,81489
0,84402
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1,40706
1,18255
1,01120
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0,96022
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4,20332
2,55312
1,71458
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1,22882
1,10624
1,05913
1,03750
1,07739
Jud
0,11846
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2,69999
0,21306
0,34607
0,58971
0,96863
1,33212
1,64651
1,98413
2,31457
2,64071
2,98158
0,23898
0,38844
0,72531
1,08119
1,43913
1,78882
2,13791
2,48203
2,81441
3,13634
0,26678
0,39442
0,73855
1,10895
1,55228
1,89490
2,24094
2,59470
2,93769
3,26886
0,28333
0,45439
0,79511
1,19000
1,61631
1,96378
2,31634
2,67306
3,02371
3,36918
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
121
Cuadro A.12: Índices Je e Ju , servo control y regulador, W1 = 0, 75, Ms = 1,4
a
0,00
0,25
0,50
0,75
1,00
τo
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
0,05
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
1,75
2,00
β
0,68812
0,74842
0,89850
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,62210
0,70714
0,99822
1,00000
0,99997
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,61974
0,66777
0,89849
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,59712
0,64535
0,78849
0,98176
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,67245
0,70152
0,68897
0,98239
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
Kc
9,32222
4,66509
1,95757
1,06626
0,78607
0,60185
0,52500
0,48747
0,43812
0,41268
8,43667
4,15116
1,78898
0,97823
0,73263
0,57934
0,51077
0,46233
0,42923
0,40166
10,71506
5,00130
2,04683
1,09808
0,78025
0,62020
0,53420
0,48333
0,44105
0,41345
13,06901
5,83468
2,31661
1,17393
0,88417
0,68599
0,57988
0,53020
0,47536
0,44357
15,81899
6,93657
2,31010
1,35207
0,96559
0,75857
0,65532
0,56081
0,50739
0,47333
Ti
0,23338
0,41167
0,74758
0,99350
1,08878
1,11836
1,17044
1,23927
1,31686
1,40474
0,55767
0,76691
1,47011
1,22087
1,20238
1,27487
1,31486
1,42339
1,43364
1,50850
0,67646
0,93450
1,55310
1,61985
1,46694
1,62461
1,52438
1,55141
1,61346
1,66598
0,74638
1,05211
1,46547
1,62258
1,96439
1,77607
1,74630
1,77845
1,80452
1,82467
1,00761
1,40375
1,22225
1,97341
2,08051
2,01880
2,00695
2,02701
2,05593
2,06270
Td
0,01928
0,03113
0,07112
0,13777
0,23722
0,27198
0,37256
0,52238
0,56138
0,65436
0,13131
0,16306
0,18405
0,24152
0,35160
0,35992
0,47545
0,52912
0,65755
0,71187
0,18816
0,22258
0,29665
0,35271
0,43056
0,38356
0,51657
0,64168
0,66914
0,75979
0,20853
0,25813
0,35261
0,37531
0,45326
0,48278
0,58176
0,77756
0,78639
0,89643
0,22259
0,28991
0,37521
0,54752
0,48203
0,53294
0,74041
0,65260
0,72367
0,90482
Jer
0,16655
0,30791
0,65785
1,13558
1,60714
2,09511
2,54237
2,96439
3,38815
3,79548
0,37885
0,57110
0,83117
1,44362
1,96480
2,42366
2,88360
3,30614
3,74318
4,15369
0,45872
0,67857
1,04789
1,58364
2,16193
2,62346
3,10849
3,57196
3,99540
4,42434
0,49918
0,75582
1,24392
1,82795
2,22248
2,76026
3,28571
3,76930
4,21155
4,65741
0,47678
0,73674
1,60058
1,94849
2,35029
2,88404
3,43395
3,87011
4,33808
4,82334
Jed
0,02641
0,09140
0,38757
0,93929
1,41282
1,91235
2,33226
2,71023
3,17116
3,58443
0,06652
0,18658
0,82176
1,25086
1,69943
2,24813
2,67601
3,15634
3,51830
3,94288
0,06386
0,18698
0,75878
1,47517
1,90698
2,61950
2,91696
3,33945
3,79061
4,20461
0,05760
0,18065
0,63284
1,38226
2,22172
2,59385
3,06325
3,48653
3,94810
4,34747
0,06370
0,20237
0,64452
1,46503
2,15464
2,66340
3,12974
3,65645
4,12248
4,52773
Jur
1,12852
1,03708
0,84377
0,57888
0,43559
0,44363
0,53450
0,64760
0,74978
0,87050
1,39445
1,07514
0,69042
0,50528
0,48787
0,44311
0,55005
0,62877
0,82902
0,96750
2,11033
1,50380
0,85764
0,52483
0,46492
0,25836
0,52243
0,68391
0,82292
0,98802
2,94240
1,99962
1,17182
0,85919
0,31914
0,41655
0,52332
0,64760
0,80843
0,99925
3,69520
2,37387
1,86001
1,00945
0,59791
0,49404
0,55682
0,58622
0,71669
0,92500
Jud
0,15681
0,28724
0,57976
1,02968
1,47980
1,97774
2,39746
2,77493
3,22086
3,62593
0,27081
0,40344
0,82059
1,28269
1,76909
2,28997
2,72344
3,18366
3,56119
3,97941
0,32025
0,47758
0,75762
1,47400
1,93989
2,61833
2,94740
3,37877
3,82344
4,23842
0,37099
0,54665
0,83785
1,44538
2,22055
2,59917
3,09001
3,52605
3,98647
4,39409
0,35934
0,52107
1,17443
1,48310
2,15347
2,66638
3,16251
3,67753
4,14785
4,56937
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
122
Cuadro A.13: Parámetros óptimos A, W1 = 0, 5, Ms = 1, 4
W2
a
0,5
2,00
0,5
3,00
0,5
4,50
0,5
6,00
0,5
7,00
τo
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
β
0,54152
0,57778
0,67852
0,88293
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,56001
0,58514
0,73610
0,99526
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,57493
0,60913
0,79902
0,99535
0,99995
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,58438
0,63129
0,77765
0,98766
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,61101
0,64199
0,80094
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,75817
Kc
22,24853
9,30067
2,72064
1,29297
0,81614
0,63290
0,55154
0,48711
0,44265
0,41493
19,27128
7,25530
2,33641
1,07691
0,75737
0,61644
0,54956
0,49051
0,44236
0,41529
16,59236
6,25300
1,98331
1,07662
0,77584
0,61427
0,53240
0,49548
0,44139
0,41432
14,83058
5,59024
2,08750
1,07605
0,77781
0,61293
0,53298
0,47939
0,44119
0,41506
13,12448
5,25388
1,97255
1,09721
0,75919
0,63340
0,53298
0,48264
0,44273
0,42028
Ti
0,46719
0,71204
1,12970
1,34818
1,41162
1,42250
1,45523
1,47381
1,52864
1,59118
0,50058
0,77480
1,16078
1,30046
1,36427
1,40756
1,44893
1,47533
1,52561
1,61558
0,52896
0,81685
1,15748
1,30077
1,37650
1,39163
1,42289
1,56350
1,56882
1,57099
0,54653
0,84406
1,17846
1,27262
1,39383
1,33645
1,42149
1,43769
1,52188
1,59958
0,58065
0,85544
1,15695
1,61875
1,38969
1,35827
1,42274
1,45495
1,51946
2,00272
Td
0,14441
0,21253
0,25513
0,37034
0,38232
0,45387
0,64200
0,71174
0,75288
0,83421
0,15536
0,19940
0,26848
0,37463
0,38989
0,45894
0,64328
0,72114
0,75217
0,80507
0,16733
0,20810
0,28416
0,37458
0,44404
0,46563
0,56474
0,70684
0,70278
0,84756
0,17649
0,21739
0,27756
0,37827
0,44117
0,49154
0,57079
0,68105
0,74318
0,82839
0,17695
0,22257
0,28431
0,33900
0,38375
0,57197
0,57000
0,69462
0,76575
0,58724
IAE
0,33938
0,59904
1,43134
2,69469
3,90570
4,98513
5,96282
6,88388
7,76420
8,60144
0,37030
0,68924
1,58403
2,99504
4,07317
5,05913
5,97305
6,86640
7,76516
8,59263
0,40922
0,75724
1,77550
2,99544
4,06021
5,07001
6,01063
6,87176
7,76449
8,60777
0,44241
0,81648
1,70979
3,00158
4,05564
5,09052
6,01102
6,91133
7,76807
8,60075
0,47131
0,85273
1,78190
3,05006
4,06775
5,05847
6,01081
6,89961
7,76844
10,01391
IAU
3,76962
2,52016
2,01475
2,02267
2,42936
2,96655
3,53964
4,13232
4,70449
5,26022
3,38558
2,43522
1,89674
2,19488
2,51107
3,00712
3,55152
4,12412
4,70826
5,23378
3,07587
2,25933
1,88499
2,19445
2,50246
3,03273
3,59372
4,02123
4,66765
5,28223
2,89435
2,14645
1,85101
2,22622
2,48009
3,12394
3,59626
4,19487
4,71440
5,25278
2,85361
2,09735
1,88656
1,99883
2,47510
3,08882
3,59433
4,16498
4,71636
6,51114
Ms
1,79399
1,78857
1,60488
1,50513
1,43568
1,41420
1,40163
1,40000
1,40002
1,40001
1,68711
1,61180
1,49336
1,40015
1,40000
1,40130
1,40001
1,40189
1,40002
1,40210
1,59739
1,51395
1,40221
1,40000
1,39950
1,40000
1,40000
1,39996
1,40064
1,40000
1,54085
1,45372
1,42764
1,40088
1,40024
1,40000
1,40000
1,40000
1,40000
1,40000
1,48355
1,42435
1,40000
1,40000
1,40002
1,40000
1,40000
1,40000
1,40000
1,39627
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
123
Cuadro A.14: Parámetros óptimos B, W1 = 0, 5, Ms = 1, 4
W2
a
0,5
8,00
0,5
9,00
τo
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
0,05
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
β
0,58938
0,65122
0,79690
0,82409
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
0,59231
0,63836
0,80536
0,79838
0,99998
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
1,00000
Kc
12,59427
4,96891
1,96864
0,97275
0,75793
0,61438
0,53168
0,48086
0,44377
0,41465
11,99692
4,95084
1,98881
1,06727
0,77356
0,65610
0,53294
0,47805
0,44103
0,41460
Ti
0,58533
0,86385
1,13924
0,90121
1,37264
1,39211
1,44722
1,46592
1,54351
1,58091
0,59401
0,82579
1,19294
1,83145
1,34906
1,85559
1,46196
1,42465
1,52984
1,57367
Td
0,17775
0,22721
0,28587
0,45076
0,38778
0,46761
0,55010
0,67405
0,76964
0,84046
0,18157
0,22995
0,28058
0,40299
0,44946
0,48968
0,54498
0,68191
0,73576
0,84629
IAE
0,48373
0,88721
1,78853
3,44875
4,07113
5,07108
6,01290
6,90151
7,77274
8,60375
0,49989
0,90236
1,76514
3,80128
4,06769
5,65644
6,00814
6,92054
7,76776
8,60515
IAU
2,75923
2,06114
1,90860
2,94339
2,49887
3,03252
3,55952
4,15080
4,69537
5,27063
2,69095
2,11152
1,84273
1,96258
2,54064
3,16453
3,53795
4,21850
4,70632
5,27792
Ms
1,46502
1,40000
1,40000
1,39986
1,40000
1,40000
1,40000
1,40001
1,40020
1,40000
1,44509
1,40002
1,40252
1,41350
1,39919
1,40000
1,40000
1,40000
1,40000
1,40001
1.2
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
1.18
1.16
IAE r0,5 /IAEr0,75
1.14
M s=2
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura A.1: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jer , W1 = 0, 5/W1 = 0, 75
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
124
1.2
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
M =1,4
1.15
IAE
r0,5
/IAE
r0,25
1.1
s
1.05
1
0.95
0.9
0.85
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura A.2: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jer , W1 = 0, 5/W1 = 0, 25
1.25
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
1.2
IAE r0,5 /IAEr0,75
1.15
M s=1,4
1.1
1.05
1
0.95
0.9
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura A.3: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jer , W1 = 0, 5/W1 = 0, 75
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
125
1.22
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
1.2
1.18
IAE d0,5 /IAEd0,25
1.16
M s=2
1.14
1.12
1.1
1.08
1.06
1.04
1.02
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura A.4: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jed , W1 = 0, 5/W1 = 0, 25
0.98
0.96
0.94
0.9
0.88
IAE
d0,5
/IAE
d0,75
0.92
M =2
s
0.86
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
0.84
0.82
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τo
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Figura A.5: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jed , W1 = 0, 5/W1 = 0, 75
APÉNDICE A. SINTONIZACIÓN PID BALANCEADA ROBUSTA
126
1.35
a=0
a=0,25
a=0,5
a=0,75
a=1
1.3
IAE
d0,5
/IAE
d0,25
1.25
M s=1,4
1.2
1.15
1.1
1.05
1
0.95
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
τ
1.2
1.4
1.6
1.8
2
o
Figura A.6: Efecto del factor W1 sobre el desempeño Jed , W1 = 0, 5/W1 = 0, 25
Apéndice B
Control en cascada, parámetros de los
modelos del lazo interno
En los cuadros B.1 y B.2 se muestran los parámetros normalizados de los modelos
identificados para el lazo interno del sistema de control en cascada.
Cuadro B.1: Constante de tiempo normalizada T ′ /T2
Msd
τo2
2
1,8
1,6
1,4
1,2
0,1 0,10468 0,121122 0,151411 0,230266 0,400919
0,25 0,208191 0,243484 0,3056 0,383865 1,069869
0,5 0,350269 0,387134 0,501703 0,715362 2,283048
0,75 0,479694 0,540197 0,717674 1,118197 3,425845
1
0,613437 0,705646 0,914399 1,614895 4,393766
1,25 0,773223 0,866246 1,093188 2,216682 5,196398
1,5 0,936088 1,022208 1,255843 2,895958 5,866273
1,75 1,101201 1,173903 1,404694 3,590119 6,429958
2
1,267666 1,321889 1,542408 4,253044 6,907683
En los cuadros B.3 al B.5 se muestran los valores de los coeficientes de las ecuaciones
para el cálculo de los parámetros de los controladores PI de dos grados de libertad
con el método IAEMS sintonizado como regulador. Las ecuaciones van de la (B.1) a la
(B.12)
Kc Kp =
a + bτo
c + τo
a = a0 + a1 α + a2 α 2 + a3 α 3
127
(B.1)
(B.2)
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
τo2
0,1
0,25
0,5
0,75
1
1,25
1,5
1,75
2
128
Cuadro B.2: Tiempo muerto normalizado L′ /T2
Msd
2
1,8
1,6
1,4
1,2
0,132202 0,134704 0,138493 0,148584 0,165677
0,31236 0,316566 0,32146 0,323714 0,343444
0,594539 0,595302 0,604007 0,607493 0,510493
0,862685 0,867902 0,879668 0,863997 0,62649
1,124998 1,137519 1,146133 1,08799 0,752071
1,390502 1,40104 1,406755 1,27699 0,899369
1,651515 1,659727 1,663527 1,439481 1,065002
1,908661 1,914481 1,917549 1,593901 1,246378
2,162518 2,165926 2,169349 1,753862 1,441084
b = b0 + b1 α + b2 α 2 + b3 α 3 + b4 α 4
(B.3)
c = c0 + c1 α + c2 α 2 + c3 α 3 + c4 α 4
(B.4)
Ti
= d + e + τof
τ
(B.5)
d=
d0 + d1 α + d2 α2
d3 + α
(B.6)
e=
e0 + e1 α + e2 α2
e3 + α
(B.7)
f = f0 + f1 α + f2 α2 + f3 α3 + f4 α4
(B.8)
β = a + bτo + cτo2
(B.9)
a = a0 + a1 α + a2 α 2 + a3 α 3
(B.10)
b = b0 + b1 α + b2 α 2 + b3 α 3
(B.11)
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
c = c0 + c1 α + c2 α 2 + c3 α 3
Cuadro B.3: Coeficientes para el cálculo de
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
a0
0,6982 0,5232 0,3669 0,4127
a1
-1,206 -0,5343 0,0233 -0,7744
a2
2,447
1,334
0,3498
1,898
a3
-1,188 -0,6507 -0,1595 -1,083
b0
0,1867 0,2542 0,2798 0,1164
b1
1,1980 0,4076 0,0565 0,7133
b2
-3,4810 -1,1930 -0,8704 -2,5080
b3
3,9800 1,2380 1,4510 3,1090
b4
-1,5850 -0,4341 -0,6912 -1,2480
c0
0,0223 0,0093 0,0003 0,0854
c1
0,1666 0,3704 0,4489 -0,0772
c2
-0,2445 -0,7753 -0,7432 0,7745
c3
0,2700 0,8786 0,6852 -0,8536
c4
-0,1130 -0,3607 -0,2390 0,2634
129
(B.12)
Kc
1,2
0,1054
0,3989
-0,5014
0,2768
0,171
-0,5460
1,5420
-1,8690
-0,7942
-0,0055
1,0530
-2,7990
3,5220
-1,5210
Los parámetros del controlador PID de dos grados de libertad usando el método IAEMS
se presentan en las ecuaciones (B.13) a (B.28). Los coeficientes correspondientes se
muestran en los cuadros B.6 al B.9.
Kc Kp =
a + bτo
c + τo
(B.13)
a = a0 + a1 α + a2 α 2 + a3 α 3 + a4 α 4
(B.14)
b = b0 + b1 α + b2 α 2 + b3 α 3 + b4 α 4
(B.15)
c = c0 + c1 α + c2 α 2 + c3 α 3 + c4 α 4
(B.16)
Ti
= d + e + τof
τ
(B.17)
d = d0 + d1 α + d2 α2 + d3 α3 + d4 α4
(B.18)
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
130
Cuadro B.4: Coeficientes para el cálculo de Ti
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
d0
-0,2177 -0,2700 -0,4295 -0,6025 -0,1636
d1
2,3420
2,6900
3,9390
5,9820
2,7910
d2
0,8442
0,6994
0,0871 -1,0320
0,6536
d3
0,1925
0,2557
0,4528
0,7893
0,3184
e0
0,5127
0,6524
1,0160
1,6910
0,6294
e1
-0,8853 -1,5500 -2,0390 -3,8080 -1,1920
e2
0,4355
0,5821
1,1390
2,3370
0,6491
e3
0,1988
0,2606
0,4243
0,7628
0,3207
f0
0,2321
0,2407
0,2531
0,2797
0,2925
f1
1,9390
2,4310 -0,5159 -2,0320 -0,0444
f2
-4,2830 -9,3940 6,9900 16,0600
8,0840
f3
11,3000 20,6200 -7,0930 -22,0600 -11,6100
f4
-6,8320 -11,8300 2,2390
9,2600
5,4280
e = e0 + e1 α + e2 α2 + e3 α3 + e4 α4
(B.19)
f = f0 + f1 α + f2 α2 + f3 α3 + f4 α4
(B.20)
Td
= g + h + τoi
τ
(B.21)
g = g0 + g1 α + g 2 α 2 + g3 α 3 + g 4 α 4
(B.22)
h = h0 + h1 α + h2 α2 + h3 α3 + h4 α4
(B.23)
i = i0 + i1 α + i2 α 2 + i3 α 3 + i4 α 4
(B.24)
β = a + bτo + cτo2
(B.25)
a = a0 + a1 α + a2 α 2 + a3 α 3 + a4 α 4
(B.26)
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
Cuadro B.5: Coeficientes para el cálculo de
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
a0
0,5606 0,5623 0,5837 0,7178
a1
1,5040 1,7330 1,6590 0,9549
a2
-2,0590 -2,4090 -2,0520 -0,3250
a3
0,9371 1,1020 0,8549 -0,1797
b0
0,6427 0,8923 1,1780 1,4740
b1
-2,0560 -2,1880 -1,8480 0,3993
b2
2,8780 3,0930 2,8330 -2,5010
b3
-1,3530 -1,5010 -1,5230 1,5500
c0
-0,1885 -0,2429 -0,2748 -0,2585
c1
0,6920 0,6979 0,5536 -0,3274
c2
-0,9860 -1,0100 -0,9893 1,1440
c3
0,4676 0,5026 0,5771 -0,6949
131
β
1,2
0,9157
1,3890
-1,1020
0,2821
2,8840
1,3900
-4,0630
1,9630
-0,4610
-0,8276
1,8110
-0,8608
b = b0 + b1 α + b2 α 2 + b3 α 3 + b4 α 4
(B.27)
c = c0 + c1 α + c2 α 2 + c3 α 3 + c4 α 4
(B.28)
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
Cuadro B.6: Coeficientes para el cálculo de Kc
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
a0
0,7879
0,7084
0,4686 0,4103
0,2319
a1
-1,7060 -2,0770 0,2149 -0,2824 1,4620
a2
6,8810
8,3960 -1,1840 0,7248 -8,6620
a3
-7,9100 -10,4200 1,7330 -0,2368 15,1100
a4
3,1580
4,4330 -0,5707 -0,0768 -7,8050
b0
0,2824
0,2416
0,3316 0,2079
0,1251
b1
0,9114
1,2520 -1,0760 -0,2293 -1,4700
b2
-4,8480 -5,6210 4,3970 0,9559
8,3640
b3
6,5430
7,4070 -5,3130 -1,3430 -14,1700
b4
-2,8550 -3,2060 2,0030 0,6293
7,2570
c0
0,0002
0,0015
0,0006 0,0081
0,0298
c1
-0,0711 -0,1177 -0,1172 -0,0805 0,4153
c2
0,1383
0,3558
0,4643 0,2536 -2,5810
c3
-0,1437 -0,4634 -0,6787 -0,1829 4,5120
c4
0,0562
0,2044
0,3361 0,0214 -2,3360
Cuadro B.7: Coeficientes para el cálculo de Ti
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
1,2
d0
-0,2178 -0,2766 -0,1482 0,0081
0,1140
d1
3,3230
1,6930 0,5347
2,7230
3,6010
d2
-11,6700 -4,6830 -0,4629 -10,4200 -10,6100
d3
14,3500 4,9280 0,9830 17,1200 14,7700
d4
-5,8460 -1,7410 -0,7492 -8,8990 -7,0240
e0
1,2960
1,3600 1,2530
1,0860
0,9722
e1
-2,6380 -1,0730 0,3540 -1,5630 -2,0710
e2
11,3600 5,0040 -0,8480 8,4280
7,4420
e3
-13,9300 -5,7810 0,7360 -14,7300 -10,9200
e4
5,6000
2,2400 0,0000
7,9380
5,4770
f0
0,4894
0,4447 0,5233
0,5683
0,5886
f1
0,9114
0,3666 -0,2501 0,3271
0,1702
f2
-4,2900 -2,0750 0,5204 -3,0510 -1,1170
f3
5,7470
3,0460 0,0587
6,6730
3,2130
f4
-2,4360 -1,4020 -0,3392 -3,9510 -2,2290
132
APÉNDICE B. CONTROL EN CASCADA, MODELOS LAZO INTERNO
Cuadro B.8: Coeficientes para el cálculo de
Msd
Constante
2
1,8
1,6
1,4
g0
-0,0122 -0,0106 0,0128 0,0131
g1
0,9132 0,4583 0,9636 0,5364
g2
-3,1100 -0,0863 -3,1840 -1,2080
g3
3,7650 -1,7340 4,1800 1,0250
g4
-1,6000 1,2980 -1,8790 -0,2893
h0
0,4049 0,4042 0,3842 0,3769
h1
-0,4101 0,0392 -0,5674 -0,1368
h2
3,3660 0,1507 3,7520 1,8700
h3
-4,4940 1,4880 -5,2350 -2,2530
h4
1,9680 -1,2200 2,3610 0,8587
i0
0,8419 0,8445 0,8662 0,8989
i1
0,2680 -0,5768 0,8767 -0,1123
i2
-5,2320 -0,2995 -7,5060 -3,3460
i3
8,7370 0,3867 12,0600 5,8990
i4
-4,2040 0,0437 -5,8130 -2,8660
Cuadro B.9: Coeficientes para el
Msd
Constante
2
1,8
1,6
a0
0,4211 0,4553 0,5879
a1
0,6779 -0,3089 -0,8667
a2
-2,0960 1,9100 1,5030
a3
2,4910 -3,3530 -1,1790
a4
-0,9941 1,7730 0,3531
b0
0,4232 0,5214 0,5007
b1
-0,7045 0,9815 2,0900
b2
2,4510 -4,7410 -4,3590
b3
-3,4380 7,0990 2,9910
b4
1,4950 -3,4810 -0,5877
c0
-0,1169 -0,1371 -0,0746
c1
0,2651 -0,4268 -0,7822
c2
-0,9712 2,0400 1,3560
c3
1,4510 -2,9800 -0,3845
c4
-0,6582 1,4320 -0,2332
Td
1,2
0,0007
0,3000
0,2503
-0,8433
0,4890
0,3958
0,1377
0,1775
-0,0427
-0,0619
0,8415
-0,7672
0,7572
-0,3424
0,0320
cálculo de β
1,4
0,6850
-0,7185
0,2755
1,1400
-0,9003
0,7141
3,0930
-6,4180
3,6180
-0,1781
-0,2332
-1,3190
2,7210
-1,3530
-0,1000
1,2
0,8503
-1,1540
2,2430
-2,2560
0,8981
1,7220
5,0490
-14,1600
14,1000
-5,0670
-0,2320
-2,3610
7,2170
-7,6690
2,8410
133
Apéndice C
Parámetros para los controladores PI
de dos grados de libertad no frágiles y
robustos
C.1.
Parámetros óptimos e índices
Los siguientes cuadros muestran los parámetros óptimos de los controladores de dos
grados de libertad optimizados, así como los índices de desempeño, robustez y fragilidad
obtenidos con estos, para los diferentes procesos controlados utilizados.
R
Las optimizaciones se realizaron utilizando un programa en Matlab.
Cuadro C.1:
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms
6,8363 0,7439 0,9458 2,00
3,8076 2,8143 1,1723 2,00
2,5801 2,0507 1,2039 2,00
2,0515 2,8589 1,3225 2,00
1,5068 4,1750 1,5074 2,00
1,2166 4,2334 1,6250 2,00
1,0481 4,5978 1,7352 2,00
0,9337 4,6380 1,8150 2,00
0,8573 5,1573 1,9054 2,00
0,7966 5,1883 1,9568 2,00
0,7490 5,1439 1,9915 2,00
0,7119 5,1644 2,0185 2,00
134
d
= 2, 0; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0
F I∆20
Jer
Jes
0,241 0,218 0,109
0,233 0,425 0,739
0,250 0,634 0,795
0,250 0,838 1,394
0,253 1,245 2,770
0,246 1,645 3,479
0,265 2,040 4,384
0,271 2,428 4,962
0,270 2,815 6,000
0,275 3,192 6,492
0,280 3,558 6,843
0,284 3,919 7,224
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 135
Cuadro C.2: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 3,5199 1,1444 0,8699
0,20 2,5551 1,8949 1,1354
0,30 2,0363 2,6999 1,2897
0,40 1,7160 3,4999 1,4040
0,60 1,3380 4,6490 1,5736
0,80 1,1235 5,1290 1,6972
1,00 0,9794 5,6276 1,8138
1,20 0,8890 5,1725 1,8602
1,40 0,8197 5,1583 1,9131
1,60 0,7705 5,4581 1,9741
1,80 0,7305 5,5791 2,0156
2,00 0,6997 5,7967 2,0562
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 25
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,250 0,639 0,325
2,00 0,250 0,861 0,742
2,00 0,250 1,070 1,326
2,00 0,251 1,276 2,040
2,00 0,256 1,683 3,473
2,00 0,262 2,085 4,560
1,98 0,258 2,462 5,728
2,00 0,272 2,861 5,805
2,00 0,277 3,237 6,276
2,00 0,278 3,614 7,051
2,00 0,281 3,982 7,591
2,00 0,282 4,349 8,216
Cuadro C.3: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 3,4501 1,6424 0,9022
0,20 2,4823 2,1596 1,0709
0,30 2,0449 2,9434 1,2477
0,40 1,7205 4,2858 1,4139
0,60 1,3960 5,6283 1,5580
0,80 1,1648 5,7487 1,6687
1,00 1,0017 5,3002 1,7480
1,20 0,9175 5,6969 1,8251
1,40 0,8471 5,9535 1,8948
1,60 0,8067 6,2496 1,9354
1,80 0,7499 6,0926 1,9849
2,00 0,7151 6,1124 2,0098
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 50
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,250 0,889 0,476
2,00 0,250 1,129 0,870
2,00 0,250 1,353 1,439
1,94 0,229 1,537 2,491
2,00 0,250 1,980 4,027
2,00 0,260 2,388 4,925
1,98 0,265 2,764 5,282
2,00 0,274 3,175 6,187
2,00 0,276 3,559 6,987
2,03 0,287 3,985 7,681
2,00 0,282 4,303 8,054
2,00 0,285 4,662 8,463
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 136
Cuadro C.4:
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
d
Parámetros e índices, caso: Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 75
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
Jer
Jes
4,4572 5,5673 1,1652 2,00 0,153 1,017 1,249
2,5434 2,3604 1,0147 2,00 0,250 1,313 0,928
2,2225 3,8152 1,2575 2,00 0,236 1,547 1,717
1,8552 3,9763 1,3194 2,00 0,250 1,768 2,143
1,4856 5,6834 1,5017 2,00 0,250 2,190 3,822
1,2399 5,9566 1,6070 2,00 0,259 2,603 4,794
1,0845 6,2393 1,6992 2,00 0,266 3,006 5,730
0,9799 6,6600 1,7839 2,00 0,270 3,407 6,746
0,8998 6,8056 1,8494 2,00 0,273 3,795 7,488
0,8395 6,9126 1,9026 2,00 0,277 4,179 8,131
0,7914 7,0359 1,9503 2,00 0,277 4,553 8,754
0,7601 8,0818 2,0288 2,00 0,275 4,950 10,313
Cuadro C.5: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 4,6915 6,1752 1,1552
0,20 2,7512 2,8047 1,0284
0,30 2,2492 3,2351 1,1289
0,40 1,9628 3,9825 1,2544
0,60 1,5887 5,6440 1,4404
0,80 1,3317 6,2601 1,5477
1,00 1,1807 7,8999 1,6683
1,20 1,0525 7,5261 1,7330
1,40 0,9587 7,1587 1,7792
1,60 0,8749 7,5906 1,8709
1,80 0,8420 7,8120 1,8961
2,00 0,7933 7,3626 1,9115
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 25 ; a = 1, 00
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,149 1,139 1,316
2,00 0,237 1,453 1,019
2,00 0,250 1,690 1,438
2,00 0,251 1,916 2,029
2,00 0,252 2,346 3,550
2,00 0,246 2,762 4,690
2,00 0,258 3,173 6,612
2,00 0,263 3,574 7,068
2,00 0,274 3,966 7,387
1,96 0,261 4,291 8,527
2,00 0,277 4,742 9,085
2,00 0,282 5,099 9,116
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 137
Cuadro C.6: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 4,7167 0,2617 0,5570
0,20 2,1845 0,3837 0,6283
0,30 1,7479 0,5465 0,6650
0,40 1,4741 0,6997 0,7024
0,60 1,1397 0,9532 0,7924
0,80 0,9562 1,1676 0,8862
1,00 0,8408 1,3551 0,9661
1,20 0,7629 1,5283 1,0336
1,40 0,7059 1,6856 1,0871
1,60 0,6640 1,8397 1,1338
1,80 0,6310 1,9845 1,1721
2,00 0,6051 2,1266 1,2066
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 00
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,355 0,338 0,074
2,00 0,431 0,696 0,260
2,00 0,450 0,847 0,400
2,00 0,450 0,989 0,546
2,00 0,450 1,297 0,871
2,00 0,450 1,615 1,229
2,00 0,450 1,936 1,612
2,00 0,450 2,256 2,003
2,00 0,450 2,574 2,388
2,00 0,450 2,889 2,771
2,00 0,450 3,201 3,145
2,00 0,450 3,510 3,515
Cuadro C.7: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 1,8370 0,5228 0,6410
0,20 1,5756 0,6945 0,6734
0,30 1,3865 0,8576 0,7135
0,40 1,2268 0,9941 0,7618
0,60 1,0108 1,2213 0,8593
0,80 0,8786 1,4153 0,9449
1,00 0,7893 1,5854 1,0145
1,20 0,7270 1,7475 1,0743
1,40 0,6806 1,8995 1,1226
1,60 0,6441 2,0409 1,1627
1,80 0,6159 2,1806 1,1970
2,00 0,5933 2,3186 1,2273
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 25
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,450 0,983 0,436
2,00 0,450 1,092 0,575
2,00 0,450 1,213 0,721
2,00 0,450 1,359 0,884
2,00 0,450 1,670 1,238
2,00 0,450 1,989 1,615
2,00 0,450 2,309 2,009
2,00 0,450 2,626 2,404
2,00 0,450 2,940 2,791
2,00 0,450 3,251 3,168
2,00 0,450 3,560 3,540
2,00 0,450 3,866 3,908
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 138
Cuadro C.8: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 2,2375 0,9045 0,6221
0,20 1,4669 0,8853 0,6801
0,30 1,4921 1,1819 0,7171
0,40 1,2102 1,2036 0,7636
0,50 1,1038 1,3283 0,8120
0,60 0,9906 1,3981 0,8588
0,70 0,9489 1,5414 0,9008
0,80 0,8924 1,6369 0,9400
0,90 0,8458 1,7278 0,9768
1,00 0,8058 1,8117 1,0091
1,20 0,7510 1,9559 1,0347
1,40 0,6945 2,1151 1,1126
1,60 0,6577 2,2574 1,1525
1,80 0,6284 2,3944 1,1863
2,00 0,6042 2,5242 1,2143
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 50
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,358 1,063 0,492
2,00 0,449 1,416 0,800
2,04 0,428 1,442 0,876
2,00 0,450 1,661 1,110
2,00 0,450 1,812 1,288
1,98 0,451 1,981 1,486
2,00 0,450 2,127 1,661
2,00 0,450 2,286 1,854
2,00 0,450 2,446 2,050
2,00 0,450 2,605 2,249
2,03 0,469 2,937 2,606
2,00 0,450 3,237 3,046
2,00 0,450 3,549 3,432
2,00 0,450 3,858 3,811
2,00 0,450 4,163 4,178
Cuadro C.9: Parámetros e índices, caso:
τo
Kc
Ti
β
0,10 1,9405 0,9757 0,6230
0,20 1,4767 1,0340 0,6741
0,30 1,3456 1,2004 0,7087
0,40 1,2361 1,3538 0,7484
0,60 1,0603 1,6138 0,8345
0,80 0,9340 1,8228 0,9117
1,00 0,8442 2,0057 0,9789
1,20 0,7771 2,1674 1,0345
1,40 0,7268 2,3236 1,0831
1,60 0,6863 2,4641 1,1225
1,80 0,6549 2,6079 1,1587
2,00 0,6293 2,7466 1,1892
d
Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 75
Ms F I∆20
Jer
Jes
2,00 0,384 1,396 0,680
2,00 0,450 1,670 0,946
2,00 0,450 1,782 1,100
2,00 0,450 1,912 1,263
2,00 0,450 2,206 1,618
2,00 0,450 2,522 1,998
2,00 0,450 2,841 2,390
2,00 0,450 3,160 2,789
2,00 0,450 3,477 3,197
2,00 0,450 3,790 3,590
2,00 0,450 4,102 3,982
2,00 0,450 4,410 4,364
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 139
Cuadro C.10:
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
d
Parámetros e índices, caso: Msd = 2, 0; F I∆20
= 0, 45 ; a = 1, 00
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
Jer
Jes
1,3673 0,8850 0,6999 2,00 0,450 1,984 1,057
1,4493 1,1219 0,6771 2,00 0,450 1,929 1,085
1,3741 1,3097 0,6983 2,00 0,450 2,007 1,213
1,2814 1,4762 0,7297 2,00 0,450 2,123 1,367
1,1114 1,7500 0,8043 2,00 0,450 2,409 1,714
0,9863 1,9812 0,8779 2,00 0,450 2,718 2,087
0,8922 2,1746 0,9420 2,00 0,450 3,036 2,474
0,8216 2,3503 0,9980 2,00 0,450 3,356 2,870
0,7669 2,5117 1,0456 2,00 0,450 3,674 3,275
0,7234 2,6627 1,0874 2,00 0,450 3,990 3,681
0,6875 2,7996 1,1211 2,00 0,450 4,304 4,072
0,6595 2,9466 1,1542 2,00 0,450 4,616 4,468
Cuadro C.11:
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
d
Parámetros e índices, caso: Msd = 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 00
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
Jer
Jes
4,7939 0,3320 0,6258 1,80 0,250 0,295 0,074
2,7230 0,6277 0,7288 1,80 0,250 0,475 0,231
1,9746 0,8860 0,8908 1,80 0,250 0,647 0,449
1,5849 1,1141 1,1141 1,80 0,250 0,822 0,703
1,1833 1,5087 1,5087 1,80 0,250 1,172 1,275
0,9769 1,8432 1,8432 1,80 0,250 1,522 1,887
0,8513 2,1355 2,1355 1,80 0,250 1,867 2,508
0,7676 2,4050 2,4050 1,80 0,250 2,209 3,133
0,7072 2,6474 2,6474 1,80 0,250 2,544 3,744
0,6622 2,8746 2,8746 1,80 0,250 2,875 4,341
0,6275 3,0952 3,0952 1,80 0,250 3,203 4,932
0,6001 3,3071 3,3071 1,80 0,250 3,527 5,510
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 140
Cuadro C.12: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,498 0,837 0,750 1,800
0,20 1,896 1,138 0,922 1,800
0,30 1,543 1,386 1,065 1,800
0,40 1,320 1,602 1,184 1,800
0,60 1,052 1,958 1,368 1,800
0,80 0,900 2,259 1,512 1,800
1,00 0,801 2,529 1,631 1,800
1,20 0,732 2,755 1,723 1,800
1,40 0,682 3,002 1,812 1,800
1,60 0,643 3,205 1,878 1,800
1,80 0,613 3,412 1,935 1,800
2,00 0,589 3,616 1,985 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 25
F I∆20
Jer
Jes
0,250 0,692 0,335
0,250 0,861 0,600
0,250 1,039 0,898
0,250 1,216 1,214
0,250 1,567 1,861
0,250 1,914 2,511
0,250 2,256 3,157
0,250 2,593 3,765
0,250 2,927 4,402
0,250 3,255 4,985
0,250 3,580 5,568
0,250 3,901 6,142
Cuadro C.13: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,261 1,133 0,773 1,800
0,20 1,817 1,443 0,924 1,800
0,30 1,546 1,770 1,082 1,797
0,40 1,307 1,954 1,202 1,800
0,50 1,187 2,153 1,272 1,800
0,60 1,077 2,330 1,357 1,800
0,80 0,927 2,676 1,508 1,799
1,00 0,824 2,911 1,614 1,800
1,20 0,753 3,148 1,709 1,800
1,40 0,700 3,370 1,789 1,800
1,60 0,660 3,568 1,854 1,800
1,80 0,628 3,779 1,915 1,800
2,00 0,602 3,973 1,965 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 50
F I∆20
Jer
Jes
0,250 0,960 0,503
0,250 1,132 0,795
0,245 1,310 1,145
0,250 1,492 1,479
0,250 1,674 1,813
0,250 1,852 2,163
0,249 2,203 2,886
0,250 2,547 3,532
0,250 2,887 4,181
0,250 3,223 4,813
0,250 3,553 5,408
0,250 3,880 6,017
0,250 4,204 6,595
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 141
Cuadro C.14: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,189 1,325 0,766 1,800
0,20 1,844 1,661 0,899 1,800
0,40 1,393 2,204 1,134 1,800
0,60 1,139 2,621 1,309 1,800
0,80 0,980 2,963 1,449 1,800
1,00 0,872 3,245 1,561 1,800
1,20 0,795 3,492 1,655 1,800
1,40 0,738 3,736 1,739 1,800
1,60 0,694 3,958 1,809 1,800
1,80 0,658 4,135 1,864 1,800
2,00 0,629 4,337 1,917 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 75
F I∆20
Jer
Jes
0,250 1,170 0,616
0,250 1,332 0,901
0,250 1,697 1,582
0,250 2,060 2,301
0,250 2,415 3,023
0,250 2,764 3,720
0,250 3,107 4,393
0,250 3,448 5,062
0,250 3,784 5,702
0,250 4,112 6,287
0,250 4,439 6,891
Cuadro C.15: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,223 1,490 0,756 1,800
0,20 1,859 1,762 0,851 1,800
0,30 1,662 2,137 0,985 1,800
0,40 1,468 2,387 1,082 1,800
0,60 1,211 2,845 1,253 1,800
0,80 1,045 3,213 1,387 1,800
1,00 0,930 3,524 1,498 1,800
1,20 0,847 3,802 1,593 1,800
1,40 0,784 4,052 1,674 1,800
1,60 0,735 4,294 1,747 1,800
1,80 0,695 4,472 1,802 1,800
2,00 0,664 4,706 1,859 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 25 ; a = 1, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,250 1,331 0,689
0,250 1,506 0,948
0,250 1,668 1,286
0,250 1,853 1,626
0,250 2,219 2,349
0,250 2,577 3,076
0,250 2,930 3,791
0,250 3,278 4,491
0,250 3,621 5,171
0,250 3,961 5,840
0,250 4,293 6,437
0,250 4,629 7,081
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 142
Cuadro C.16: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 3,417 0,255 0,644 1,800
0,20 1,700 0,381 0,759 1,800
0,30 1,111 0,448 0,882 1,800
0,40 0,790 0,477 1,032 1,801
0,60 0,727 0,665 1,026 1,800
0,80 0,667 0,842 1,054 1,800
1,00 0,604 0,983 1,103 1,800
1,20 0,557 1,107 1,151 1,800
1,40 0,521 1,223 1,195 1,800
1,60 0,493 1,331 1,237 1,800
1,80 0,471 1,437 1,273 1,800
2,00 0,453 1,539 1,306 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,282 0,428 0,111
0,341 0,780 0,333
0,386 1,096 0,601
0,420 1,404 0,906
0,450 1,634 1,197
0,450 1,859 1,487
0,450 2,119 1,805
0,450 2,388 2,126
0,450 2,660 2,448
0,450 2,935 2,773
0,450 3,209 3,098
0,450 3,484 3,424
Cuadro C.17: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,159 0,466 0,869 1,800
0,20 0,878 0,524 0,977 1,802
0,30 0,723 0,568 1,066 1,800
0,40 0,708 0,663 1,051 1,800
0,60 0,682 0,868 1,043 1,800
0,80 0,619 1,015 1,089 1,800
1,00 0,570 1,142 1,137 1,800
1,20 0,531 1,258 1,184 1,800
1,40 0,502 1,368 1,225 1,800
1,60 0,478 1,471 1,264 1,800
1,80 0,460 1,574 1,298 1,800
2,00 0,445 1,673 1,327 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 25
F I∆20
Jer
Jes
0,380 1,186 0,635
0,406 1,434 0,901
0,435 1,656 1,153
0,450 1,756 1,286
0,450 1,935 1,535
0,450 2,187 1,848
0,450 2,452 2,168
0,450 2,723 2,492
0,450 2,996 2,815
0,450 3,270 3,141
0,450 3,544 3,465
0,450 3,817 3,790
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 143
Cuadro C.18: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,580 1,342 0,856 1,800
0,20 0,893 0,702 0,943 1,807
0,30 0,644 0,668 1,133 1,800
0,40 0,695 0,809 1,052 1,800
0,60 0,672 1,013 1,049 1,800
0,80 0,620 1,158 1,091 1,807
1,00 0,574 1,293 1,134 1,800
1,20 0,537 1,408 1,178 1,800
1,40 0,507 1,513 1,220 1,800
1,60 0,485 1,618 1,256 1,801
1,80 0,467 1,721 1,290 1,800
2,00 0,451 1,817 1,319 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 50
F I∆20
Jer
Jes
0,228 0,909 0,520
0,411 1,724 1,139
0,443 2,066 1,530
0,450 2,080 1,575
0,450 2,256 1,824
0,456 2,541 2,171
0,450 2,760 2,452
0,450 3,030 2,776
0,450 3,304 3,103
0,450 3,576 3,426
0,450 3,848 3,751
0,450 4,121 4,075
Cuadro C.19: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,177 0,821 0,832 1,800
0,20 1,051 0,916 0,856 1,800
0,30 0,729 0,835 1,040 1,800
0,40 0,643 0,867 1,108 1,800
0,50 0,693 1,028 1,041 1,800
0,60 0,680 1,128 1,044 1,800
0,80 0,635 1,290 1,075 1,800
1,00 0,592 1,425 1,116 1,800
1,20 0,555 1,545 1,156 1,800
1,40 0,526 1,656 1,195 1,800
1,60 0,502 1,762 1,231 1,800
1,80 0,482 1,862 1,264 1,800
2,00 0,465 1,962 1,294 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 75
F I∆20
Jer
Jes
0,366 1,703 1,007
0,408 1,860 1,196
0,442 2,276 1,652
0,453 2,472 1,899
0,450 2,465 1,925
0,450 2,556 2,053
0,450 2,786 2,353
0,450 3,042 2,671
0,450 3,308 2,995
0,450 3,578 3,320
0,450 3,850 3,645
0,450 4,123 3,970
0,450 4,395 4,294
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 144
Cuadro C.20: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 0,652 0,680 1,192 1,800
0,20 0,378 0,552 1,758 1,800
0,30 0,583 0,795 1,214 1,800
0,40 0,629 0,931 1,134 1,800
0,50 0,688 1,098 1,052 1,800
0,60 0,690 1,216 1,040 1,800
0,80 0,655 1,393 1,060 1,800
1,00 0,615 1,541 1,093 1,800
1,20 0,579 1,670 1,129 1,800
1,40 0,548 1,784 1,166 1,800
1,60 0,524 1,898 1,199 1,800
1,80 0,502 2,002 1,231 1,800
2,00 0,485 2,105 1,259 1,800
d
= 1, 8; F I∆20
= 0, 45 ; a = 1, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,391 2,485 1,711
0,406 2,988 2,397
0,450 2,804 2,107
0,450 2,807 2,144
0,450 2,783 2,147
0,450 2,847 2,249
0,450 3,060 2,535
0,450 3,304 2,845
0,450 3,562 3,165
0,450 3,832 3,492
0,450 4,099 3,814
0,450 4,372 4,140
0,450 4,643 4,464
Cuadro C.21: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 3,277 0,307 0,716 1,600
0,15 1,924 0,366 0,822 1,600
0,20 1,592 0,443 0,861 1,600
0,30 1,322 0,623 0,911 1,600
0,40 1,094 0,762 0,983 1,600
0,60 0,836 0,985 1,110 1,600
0,80 0,697 1,170 1,274 1,600
1,00 0,612 1,332 1,441 1,600
1,20 0,555 1,479 1,582 1,600
1,40 0,513 1,618 1,698 1,600
1,60 0,482 1,749 1,793 1,600
1,80 0,458 1,876 1,875 1,600
2,00 0,439 2,000 1,944 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,208 0,406 0,120
0,235 0,636 0,259
0,250 0,747 0,360
0,250 0,874 0,528
0,250 1,023 0,728
0,250 1,296 1,179
0,250 1,562 1,677
0,250 1,838 2,175
0,250 2,120 2,668
0,250 2,404 3,153
0,250 2,686 3,628
0,250 2,967 4,097
0,250 3,246 4,557
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 145
Cuadro C.22: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,418 0,633 0,881 1,600
0,20 1,205 0,804 0,942 1,600
0,30 1,027 0,938 1,014 1,600
0,40 0,899 1,050 1,092 1,600
0,60 0,736 1,238 1,258 1,600
0,80 0,638 1,398 1,416 1,600
1,00 0,573 1,544 1,554 1,600
1,20 0,527 1,678 1,670 1,600
1,40 0,493 1,806 1,767 1,600
1,60 0,470 1,957 1,861 1,600
1,80 0,448 2,066 1,926 1,600
2,00 0,430 2,176 1,983 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 25
F I∆20
Jer
Jes
0,250 0,943 0,534
0,250 1,059 0,710
0,250 1,195 0,919
0,250 1,333 1,168
0,250 1,610 1,681
0,250 1,890 2,191
0,250 2,173 2,692
0,250 2,456 3,183
0,250 2,738 3,663
0,247 3,017 4,166
0,249 3,295 4,616
0,250 3,572 5,058
Cuadro C.23: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,284 1,740 1,092 1,600
0,20 1,131 1,037 0,969 1,600
0,28 1,019 1,147 1,029 1,600
0,40 0,888 1,287 1,126 1,600
0,60 0,741 1,470 1,283 1,600
0,80 0,647 1,624 1,426 1,600
1,00 0,585 1,777 1,557 1,600
1,20 0,538 1,897 1,660 1,600
1,40 0,503 2,019 1,752 1,600
1,60 0,476 2,141 1,831 1,600
1,80 0,455 2,258 1,899 1,600
2,00 0,438 2,373 1,957 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 50
F I∆20
Jer
Jes
0,158 0,890 0,762
0,250 1,334 0,957
0,250 1,438 1,131
0,250 1,602 1,448
0,250 1,885 1,985
0,250 2,170 2,511
0,249 2,452 3,034
0,250 2,737 3,527
0,250 3,019 4,014
0,250 3,299 4,493
0,250 3,576 4,960
0,250 3,852 5,418
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 146
Cuadro C.24: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,410 1,122 0,879 1,600
0,20 1,100 1,183 0,973 1,600
0,30 1,011 1,354 1,036 1,600
0,40 0,913 1,473 1,109 1,600
0,60 0,772 1,669 1,253 1,600
0,80 0,678 1,831 1,386 1,600
1,00 0,611 1,972 1,504 1,600
1,20 0,563 2,106 1,607 1,600
1,40 0,526 2,232 1,697 1,600
1,60 0,497 2,350 1,775 1,600
1,80 0,474 2,469 1,843 1,600
2,00 0,455 2,585 1,903 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 25 ; a = 0, 75
F I∆20
Jer
Jes
0,240 1,371 0,867
0,250 1,594 1,148
0,250 1,696 1,347
0,250 1,833 1,613
0,250 2,114 2,162
0,250 2,399 2,702
0,250 2,685 3,228
0,250 2,969 3,742
0,250 3,251 4,242
0,250 3,532 4,729
0,250 3,812 5,208
0,250 4,089 5,678
Cuadro C.25: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,262 1,177 0,909 1,600
0,20 1,192 1,389 0,947 1,600
0,30 1,044 1,504 1,015 1,600
0,40 0,953 1,633 1,079 1,600
0,60 0,811 1,837 1,206 1,600
0,80 0,716 2,012 1,329 1,600
1,00 0,646 2,162 1,440 1,600
1,20 0,594 2,299 1,539 1,600
1,40 0,555 2,430 1,627 1,600
1,60 0,523 2,552 1,704 1,600
1,80 0,498 2,675 1,774 1,600
2,00 0,477 2,787 1,833 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 25 ; a = 1, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,250 1,670 1,076
0,250 1,741 1,226
0,250 1,896 1,464
0,250 2,028 1,713
0,250 2,310 2,264
0,250 2,593 2,812
0,250 2,879 3,347
0,250 3,165 3,869
0,250 3,448 4,381
0,250 3,731 4,878
0,250 4,012 5,370
0,250 4,292 5,844
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 147
Cuadro C.26: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 2,477 0,278 0,781 1,600
0,20 1,867 0,496 0,817 1,603
0,30 1,006 0,504 1,028 1,600
0,40 1,024 0,703 1,003 1,600
0,60 0,429 0,538 1,663 1,600
0,80 0,405 0,656 1,670 1,601
1,00 0,341 0,699 1,865 1,600
1,20 0,296 0,731 2,054 1,600
1,40 0,264 0,759 2,229 1,600
1,60 0,260 0,841 2,228 1,600
1,80 0,242 0,878 2,340 1,600
2,00 0,206 0,839 2,683 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,210 0,510 0,164
0,233 0,656 0,311
0,283 1,059 0,655
0,268 1,083 0,757
0,333 1,841 1,615
0,350 2,094 1,954
0,360 2,426 2,408
0,368 2,750 2,850
0,374 3,067 3,281
0,378 3,316 3,603
0,381 3,611 3,996
0,383 3,981 4,519
Cuadro C.27: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,117 0,544 0,976 1,603
0,20 0,641 0,517 1,321 1,600
0,30 0,560 0,570 1,406 1,600
0,40 0,504 0,618 1,478 1,600
0,60 0,486 0,767 1,453 1,611
0,80 0,347 0,723 1,848 1,600
1,00 0,327 0,807 1,894 1,600
1,20 0,333 0,940 1,837 1,600
1,40 0,276 0,898 2,120 1,600
1,60 0,272 0,986 2,115 1,600
1,80 0,241 0,971 2,332 1,600
2,00 0,213 0,949 2,578 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 25
F I∆20
Jer
Jes
0,280 1,097 0,651
0,303 1,491 1,104
0,318 1,665 1,335
0,330 1,828 1,555
0,348 2,050 1,850
0,359 2,493 2,463
0,365 2,754 2,813
0,366 2,953 3,075
0,376 3,344 3,602
0,378 3,585 3,911
0,383 3,933 4,382
0,385 4,282 4,865
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 148
Cuadro C.28: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 1,776 1,279 0,970 1,559
0,20 1,415 1,384 1,039 1,600
0,30 0,506 0,672 1,486 1,600
0,40 0,476 0,728 1,527 1,601
0,60 0,566 1,049 1,323 1,600
0,80 0,365 0,860 1,764 1,604
1,00 0,327 0,907 1,895 1,601
1,20 0,353 1,076 1,732 1,621
1,40 0,299 1,058 1,982 1,600
1,60 0,253 1,005 2,263 1,600
1,80 0,272 1,167 2,100 1,601
2,00 0,245 1,130 2,261 1,617
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 50
F I∆20
Jer
Jes
0,163 0,969 0,720
0,199 1,160 0,978
0,330 2,040 1,725
0,335 2,176 1,919
0,320 2,182 1,993
0,361 2,782 2,746
0,366 3,082 3,160
0,379 3,252 3,329
0,373 3,598 3,848
0,380 3,989 4,383
0,379 4,148 4,563
0,397 4,537 5,021
Cuadro C.29: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 0,904 0,836 1,057 1,600
0,20 0,744 0,878 1,166 1,600
0,30 0,717 0,983 1,174 1,606
0,40 0,686 1,092 1,199 1,600
0,60 0,598 1,221 1,286 1,600
0,80 0,366 0,952 1,776 1,600
1,00 0,328 0,990 1,904 1,600
1,20 0,307 1,048 1,981 1,600
1,40 0,289 1,120 2,075 1,583
1,60 0,251 1,066 2,295 1,600
1,80 0,265 1,182 2,133 1,624
2,00 0,236 1,178 2,376 1,600
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 45 ; a = 0, 75
F I∆20
Jer
Jes
0,295 1,748 1,207
0,303 1,960 1,491
0,310 2,056 1,640
0,308 2,148 1,798
0,314 2,416 2,184
0,357 3,100 3,054
0,364 3,410 3,480
0,369 3,691 3,859
0,360 3,933 4,241
0,378 4,342 4,750
0,399 4,581 4,947
0,383 4,880 5,452
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 149
Cuadro C.30: Parámetros e índices, caso: Msd
τo
Kc
Ti
β
Ms
0,10 0,686 0,824 1,262 1,600
0,20 1,203 1,398 0,944 1,600
0,30 0,834 1,219 1,087 1,600
0,40 0,488 0,920 1,503 1,601
0,60 0,404 0,958 1,694 1,600
0,80 0,384 1,058 1,725 1,600
1,00 0,337 1,079 1,881 1,599
1,20 0,320 1,146 1,932 1,600
1,40 0,296 1,183 2,034 1,600
1,60 0,282 1,236 2,097 1,600
1,80 0,241 1,173 2,373 1,600
2,00 0,235 1,215 2,385 1,613
Cuadro
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
d
= 1, 6; F I∆20
= 0, 45 ; a = 1, 00
F I∆20
Jer
Jes
0,293 2,218 1,649
0,250 1,733 1,219
0,287 2,156 1,670
0,340 2,778 2,417
0,344 3,128 2,928
0,353 3,379 3,274
0,360 3,714 3,743
0,368 3,989 4,108
0,371 4,290 4,520
0,374 4,568 4,892
0,378 4,967 5,459
0,391 5,273 5,802
C.31: Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
1,932 0,339 0,935 1,400 0,150
0,968 0,456 1,219 1,400 0,180
0,695 0,531 1,427 1,400 0,196
0,578 0,601 1,569 1,400 0,205
0,407 0,667 1,942 1,400 0,217
0,282 0,650 2,539 1,400 0,225
0,267 0,748 2,595 1,400 0,229
0,238 0,796 2,816 1,400 0,232
0,223 0,860 2,933 1,400 0,233
0,206 0,901 3,114 1,400 0,235
0,178 0,880 3,532 1,400 0,236
0,187 1,002 3,345 1,400 0,237
= 1, 4;
Jer
0,559
0,916
1,152
1,327
1,688
2,069
2,305
2,578
2,827
3,092
3,400
3,594
a = 0, 00
Jes
0,231
0,592
0,913
1,186
1,779
2,452
2,883
3,389
3,867
4,375
4,955
5,365
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 150
Cuadro
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
C.32: Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
0,831 0,610 1,282 1,400 0,189
0,538 0,600 1,652 1,400 0,205
0,445 0,634 1,854 1,400 0,212
0,398 0,679 1,978 1,401 0,217
0,312 0,719 2,332 1,400 0,224
0,265 0,761 2,616 1,400 0,228
0,244 0,826 2,761 1,400 0,231
0,234 0,909 2,817 1,400 0,233
0,207 0,918 3,107 1,400 0,235
0,239 1,106 2,653 1,424 0,247
0,187 1,017 3,340 1,400 0,237
0,188 1,110 3,294 1,400 0,237
= 1, 4;
Jer
1,137
1,437
1,621
1,770
2,090
2,379
2,635
2,869
3,159
3,319
3,662
3,876
a = 0, 25
Jes
0,860
1,296
1,604
1,862
2,431
2,963
3,439
3,897
4,444
4,626
5,436
5,887
Cuadro
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
C.33: Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
1,535 3,196 1,446 1,323 0,070
0,556 0,803 1,587 1,400 0,207
0,426 0,755 1,872 1,417 0,220
0,434 0,874 1,828 1,408 0,220
0,311 0,829 2,305 1,411 0,232
0,263 0,866 2,621 1,400 0,229
0,266 1,012 2,563 1,392 0,224
0,215 0,943 3,026 1,400 0,234
0,201 0,984 3,185 1,400 0,235
0,165 0,917 3,779 1,400 0,235
0,201 1,172 3,118 1,400 0,236
0,163 1,053 3,780 1,400 0,237
= 1, 4;
Jer
0,879
1,684
1,942
2,005
2,401
2,685
2,865
3,226
3,488
3,826
3,918
4,294
a = 0, 50
Jes
2,083
1,590
1,969
2,126
2,794
3,374
3,813
4,402
4,907
5,563
5,820
6,477
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 151
Cuadro
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
C.2.
C.34: Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
0,669 0,919 1,426 1,400 0,197
0,426 0,800 1,915 1,400 0,216
0,451 0,929 1,808 1,400 0,215
0,341 0,853 2,216 1,400 0,219
0,317 0,955 2,294 1,400 0,224
0,278 0,995 2,513 1,400 0,228
0,278 1,126 2,472 1,400 0,229
0,239 1,110 2,772 1,400 0,232
0,228 1,176 2,849 1,400 0,233
0,217 1,227 2,952 1,400 0,234
0,189 1,178 3,321 1,401 0,237
0,188 1,233 3,274 1,415 0,247
= 1, 4;
Jer
1,751
2,121
2,169
2,434
2,673
2,958
3,154
3,471
3,713
3,966
4,293
4,558
a = 0, 75
Jes
1,537
2,127
2,228
2,704
3,138
3,668
4,070
4,655
5,147
5,653
6,238
6,546
Pruebas comparativas
Los siguientes cuadros muestran los parámetros de los controladores de las plantas
de orden superior utilizados para verificar el funcionamiento del método propuesto.
También se muestra las respectivas respuestas de los lazos cuando se utilizó la planta
real y el modelo de la planta.
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 152
Cuadro
τo
0,10
0,20
0,30
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
C.35: Parámetros e índices, caso: Msd
Kc
Ti
β
Ms F I∆20
0,633 1,010 1,477 1,400 0,201
0,588 1,098 1,529 1,400 0,205
0,429 0,996 1,885 1,400 0,216
0,446 1,120 1,807 1,400 0,218
0,341 1,093 2,175 1,401 0,223
0,272 1,056 2,573 1,400 0,227
0,290 1,243 2,402 1,400 0,227
0,270 1,307 2,524 1,397 0,227
0,258 1,376 2,580 1,401 0,230
0,223 1,320 2,912 1,400 0,234
0,213 1,371 3,003 1,400 0,235
0,204 1,418 3,096 1,400 0,235
= 1, 4;
Jer
2,040
2,162
2,483
2,538
2,919
3,278
3,426
3,678
3,925
4,266
4,517
4,769
a = 1, 00
Jes
1,807
2,032
2,555
2,665
3,349
4,017
4,317
4,850
5,326
5,933
6,441
6,947
Cuadro C.36: Parámetros y respuestas de modelos para el metodo propuesto, Ms = 1, 8
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
4.3854 0.3590 0.6535
3.3569 0.5329 0.7145
1.7745 1.4381 0.9505
1.4004 2.6020 1.1012
1.0897 4.6119 1.3373
Ms
1.5484
1.9174
1.7162
2.0230
1.7708
Planta
IAE
0.1119
0.1908
0.8105
1.8580
4.2321
F I∆20
0.1491
0.2898
0.2085
0.3296
0.2498
Ms
1.8200
1.8785
1.7819
1.7960
1.8106
Modelo
IAE
0.0874
0.1812
0.8105
1.8580
4.2321
F I∆20
0.2608
0.2642
0.2416
0.2466
0.2549
Cuadro C.37: Parámetros y respuestas de modelos para el metodo propuesto, Ms = 1, 6
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
2.0994 0.2737 0.7498
1.6799 0.4296 0.7806
1.1103 1.0083 0.9775
0.9102 1.7138 1.1091
0.7485 2.9230 1.2991
Ms
1.5968
1.7143
1.5471
1.7494
1.6136
Planta
IAE
0.2253
0.3801
0.9283
1.9365
3.9050
F I∆20
0.2168
0.2853
0.2278
0.3348
0.2535
Ms
1.6737
1.6756
1.5991
1.5982
1.6130
Modelo
IAE
0.2046
0.3669
0.9417
1.8828
3.9050
F I∆20
0.2379
0.2689
0.2495
0.2513
0.2561
APÉNDICE C. PARÁMETROS DE LOS CONTROLADORES NO FRÁGILES 153
Cuadro C.38: Parámetros y respuestas de modelos para el metodo de V. Méndez,
Ms = 1, 8
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
4.5599 0.4223 0.6300
4.4598 0.7710 0.7790
1.9436 1.6774 0.9540
1.4025 2.5268 0.9799
1.0074 3.7448 1.0178
Ms
1.4768
1.8645
1.7327
2.0460
1.7703
Planta
IAE
0.1136
0.1729
0.8630
1.8016
3.7173
F I∆20
0.1300
0.2042
0.2001
0.3422
0.2867
Ms
1.7740
1.8692
1.8047
1.8108
1.7983
Modelo
IAE
0.0926
0.1729
0.8630
1.8016
3.7173
F I∆20
0.2237
0.2200
0.2267
0.2569
0.2827
Cuadro C.39: Parámetros y respuestas de modelos para el metodo de V. Méndez,
Ms = 1, 6
Modelo
M1
M2
M3
M4
M5
Controlador
Kc
Ti
β
3.5560 0.4276 0.6589
3.4994 0.8500 0.8227
1.5633 1.6757 1.0465
1.1416 2.5440 1.1013
0.8329 3.7509 1.1804
Ms
1.3952
1.6096
1.5454
1.7339
1.5800
Planta
IAE
0.1476
0.2429
1.0720
2.2284
4.5034
F I∆20
0.0549
0.1750
0.1643
0.2672
0.2154
Ms
1.5629
1.6328
1.6059
1.6024
1.5985
Modelo
IAE
0.1249
0.2429
1.0720
2.2284
4.5034
F I∆20
0.1684
0.1548
0.1745
0.1901
0.2076
Apéndice D
Parámetros para los controladores
PID de dos grados de libertad con
costo de control óptimo
D.1.
Optimización del esfuerzo de control
Cuadro D.1: Parámetros controlador PID (a = 0)
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
Ms
FI
0,1 7,1951 0,9998 0,0464 0,0690 1,8887 0,4041
0,2 3,5952 0,9992 0,0922 0,1380 1,8385 0,3831
0,3 2,3931 0,9956 0,1387 0,2120 1,7966 0,3710
0,4 1,7848 0,9871 0,1879 0,2817 1,7589 0,3646
0,6 1,1689 0,9657 0,2931 0,4309 1,6895 0,3504
0,8 0,8317 0,9017 0,4149 0,5869 1,6023 0,3239
1 0,6364 0,8637 0,5379 0,7667 1,5265 0,2938
1,2 0,5260 0,8613 0,6344 0,9260 1,4845 0,2443
1,4 0,4664 0,8986 0,7064 1,0000 1,4768 0,2319
1,6 0,4288 0,9503 0,7684 1,0000 1,4782 0,2358
1,8 0,4010 1,0024 0,8231 1,0000 1,4950 0,4998
2 0,3813 1,0604 0,8768 1,0000 1,5079 0,5064
154
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Jur
0,7147
1,4266
2,1380
2,8477
4,2610
5,6636
7,0691
8,4959
9,9432
11,3877
12,8193
14,2335
Cuadro D.2: Desempeño controlador
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
0,7147 0,0194 0,1390 0,7147
1,4266 0,0097 0,2779 1,4266
2,1380 0,0064 0,4160 2,1380
2,8477 0,0048 0,5531 2,8477
4,2610 0,0032 0,8262 4,2610
5,6636 0,0023 1,0844 5,6636
7,0691 0,0018 1,3584 7,0691
8,4959 0,0015 1,6381 8,4959
9,9432 0,0013 1,9268 9,9432
11,3877 0,0012 2,2162 11,3877
12,8193 0,0011 2,4998 12,8193
14,2335 0,0010 2,7810 14,2335
Cuadro D.3: Parámetros controlador
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
0,1 4,5139 0,9959 0,2816 0,1042
0,2 2,4160 0,9820 0,3310 0,2009
0,4 1,2931 0,9453 0,4275 0,3766
0,6 0,8761 0,9014 0,5365 0,5535
0,8 0,6718 0,8920 0,6319 0,7206
1 0,5673 0,9210 0,7030 0,8609
1,2 0,5036 0,9635 0,7620 0,9841
1,4 0,4599 1,0113 0,8154 1,0000
1,6 0,4273 1,0612 0,8664 1,0000
1,8 0,4023 1,1124 0,9156 1,0000
2 0,3822 1,1639 0,9640 1,0000
PID (a = 0)
Ju1s
Ju2s
IAEs
0,7147 0,0194 0,1807
1,4266 0,0097 0,3610
2,1380 0,0064 0,5415
2,8477 0,0048 0,7245
4,2610 0,0032 1,0960
5,6636 0,0023 1,4758
7,0691 0,0018 1,8570
8,4959 0,0015 2,2164
9,9432 0,0013 2,5643
11,3877 0,0012 2,9078
12,8193 0,0011 3,2406
14,2335 0,0010 3,5701
PID (a = 0, 25)
Ms
FI
1,7355 0,3720
1,7201 0,3696
1,6684 0,3535
1,5988 0,3269
1,5328 0,2962
1,4905 0,2734
1,4597 0,2559
1,4377 0,4751
1,4662 0,4891
1,4871 0,5035
1,5021 0,5150
155
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Cuadro D.4: Desempeño controlador PID (a = 0, 25)
Jur
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
1,2965 1,2965 0,0042 0,2206 1,2965 1,2965 0,0042
2,2277 2,2277 0,0025 0,4065 2,2277 2,2277 0,0025
3,9173 3,9173 0,0015 0,7310 3,9173 3,9173 0,0015
5,4886 5,4886 0,0011 1,0289 5,4886 5,4886 0,0011
7,0144 7,0144 0,0009 1,3278 7,0144 7,0144 0,0009
8,5215 8,5215 0,0008 1,6235 8,5215 8,5215 0,0008
10,0082 10,0082 0,0007 1,9132 10,0082 10,0082 0,0007
11,4726 11,4726 0,0006 2,1990 11,4726 11,4726 0,0006
12,9148 12,9148 0,0006 2,4835 12,9148 12,9148 0,0006
14,3363 14,3363 0,0005 2,7651 14,3363 14,3363 0,0005
15,7390 15,7390 0,0005 3,0453 15,7390 15,7390 0,0005
τo
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Cuadro D.5: Parámetros PID, (a = 0, 5)
Kc′
Ti′
Td′
β
Ms
4,5332 1,0388 0,4760 0,0991 1,7053
2,2369 0,9905 0,5643 0,2112 1,6418
1,2078 0,9830 0,6584 0,4024 1,5916
0,8665 1,0002 0,7266 0,5692 1,5494
0,6991 1,0326 0,7836 0,7161 1,5160
0,5993 1,0709 0,8354 0,8422 1,4883
0,5326 1,1121 0,8842 0,9515 1,4650
0,4852 1,1553 0,9313 1,0000 1,4458
0,4495 1,1997 0,9775 1,0000 1,4320
0,4219 1,2454 1,0224 1,0000 1,4585
0,3998 1,2920 1,0680 1,0000 1,4817
FI
0,3503
0,3270
0,3099
0,2904
0,2753
0,2626
0,2504
0,2392
0,4821
0,4943
0,5063
IAEs
0,4742
0,7053
1,1187
1,5179
1,8996
2,2568
2,5991
2,9329
3,2633
3,5892
3,9129
156
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Cuadro D.6: Desempeño controlador PID (a = 0, 5)
Jur
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
1,5673 1,5673 0,0036 0,2292 1,5673 1,5673 0,0036
2,5911 2,5911 0,0021 0,4428 2,5911 2,5911 0,0021
4,4577 4,4577 0,0013 0,8139 4,4577 4,4577 0,0013
6,1989 6,1989 0,0009 1,1543 6,1989 6,1989 0,0009
7,8572 7,8572 0,0008 1,4770 7,8572 7,8572 0,0008
9,4531 9,4531 0,0007 1,7869 9,4531 9,4531 0,0007
10,9997 10,9997 0,0006 2,0881 10,9997 10,9997 0,0006
12,5059 12,5059 0,0005 2,3811 12,5059 12,5059 0,0005
13,9785 13,9785 0,0005 2,6690 13,9785 13,9785 0,0005
15,4227 15,4227 0,0005 2,9519 15,4227 15,4227 0,0005
16,8428 16,8428 0,0004 3,2317 16,8428 16,8428 0,0004
Cuadro D.7: Parámetros controlador
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
0,1 5,8246 1,2607 0,5430 0,0742
0,2 2,5567 1,1337 0,6941 0,1772
0,4 1,3376 1,1231 0,7996 0,3638
0,6 0,9606 1,1540 0,8594 0,5296
0,8 0,7707 1,1933 0,9091 0,6633
1 0,6555 1,2304 0,9562 0,7818
1,2 0,5789 1,2692 1,0017 0,8882
1,4 0,5239 1,3080 1,0462 0,9797
1,6 0,4825 1,3478 1,0899 1,0000
1,8 0,4509 1,3897 1,1334 1,0000
2 0,4254 1,4321 1,1769 1,0000
PID (a = 0, 75)
Ms
FI
1,7611 0,3771
1,6602 0,3346
1,5958 0,3085
1,5588 0,2926
1,5274 0,2772
1,5005 0,2646
1,4780 0,2528
1,4584 0,2427
1,4418 0,2334
1,4284 0,2248
1,4492 0,4942
IAEs
0,6576
0,9507
1,4064
1,8082
2,1823
2,5388
2,8838
3,2193
3,5487
3,8721
4,1930
157
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Cuadro D.8: Desempeño controlador PID (a = 0, 75)
Jur
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
1,7371 1,7371 0,0038 0,2164 1,7371 1,7371 0,0038
2,8502 2,8502 0,0020 0,4434 2,8502 2,8502 0,0020
4,8177 4,8177 0,0012 0,8396 4,8177 4,8177 0,0012
6,6318 6,6318 0,0009 1,2013 6,6318 6,6318 0,0009
8,3560 8,3560 0,0007 1,5483 8,3560 8,3560 0,0007
10,0115 10,0115 0,0006 1,8770 10,0115 10,0115 0,0006
11,6117 11,6117 0,0006 2,1924 11,6117 11,6117 0,0006
13,1655 13,1655 0,0005 2,4967 13,1655 13,1655 0,0005
14,6802 14,6802 0,0005 2,7934 14,6802 14,6802 0,0005
16,1615 16,1615 0,0004 3,0821 16,1615 16,1615 0,0004
17,6144 17,6144 0,0004 3,3665 17,6144 17,6144 0,0004
Cuadro D.9: Parámetros controlador PID (a = 1)
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
Ms
FI
0,1 7,4127 1,5124 0,5712 0,0564 1,8170 0,4062
0,2 2,9936 1,3207 0,7719 0,1497 1,6876 0,3481
0,4 1,5066 1,2945 0,8979 0,3243 1,6068 0,3113
0,6 1,0689 1,3074 0,9688 0,4692 1,5729 0,2993
0,8 0,8513 1,3468 1,0185 0,6030 1,5416 0,2838
1 0,7199 1,3844 1,0664 0,7139 1,5160 0,2709
1,2 0,6321 1,4217 1,1114 0,8154 1,4935 0,2602
1,4 0,5687 1,4586 1,1558 0,9074 1,4735 0,2493
1,6 0,5220 1,4977 1,1993 0,9877 1,4573 0,2413
1,8 0,4854 1,5368 1,2424 1,0000 1,4426 0,2330
2 0,4564 1,5777 1,2852 1,0000 1,4303 0,2252
IAEs
0,7051
1,0681
1,5593
1,9748
2,3665
2,7376
3,0940
3,4382
3,7743
4,1021
4,4258
158
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
Cuadro D.10: Desempeño controlador
Jur
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
1,8303 1,8303 0,0040 0,2040 1,8303
2,9929 2,9929 0,0020 0,4412 2,9929
5,0203 5,0203 0,0012 0,8592 5,0203
6,8821 6,8821 0,0009 1,2231 6,8821
8,6460 8,6460 0,0007 1,5821 8,6460
10,3431 10,3431 0,0006 1,9230 10,3431
11,9841 11,9841 0,0005 2,2492 11,9841
13,5782 13,5782 0,0005 2,5648 13,5782
15,1316 15,1316 0,0004 2,8692 15,1316
16,6498 16,6498 0,0004 3,1660 16,6498
18,1376 18,1376 0,0004 3,4568 18,1376
PIOD (a = 1)
Ju1s
Ju2s
1,8303 0,0040
2,9929 0,0020
5,0203 0,0012
6,8821 0,0009
8,6460 0,0007
10,3431 0,0006
11,9841 0,0005
13,5782 0,0005
15,1316 0,0004
16,6498 0,0004
18,1376 0,0004
IAEs
0,7181
1,1359
1,6673
2,0950
2,4987
2,8828
3,2494
3,6050
3,9485
4,2842
4,6135
159
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
D.2.
τo
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
Influencia del factor de peso W
Kc′
0,5673
0,4995
0,5063
0,4753
0,4410
0,4070
1,0475
0,8513
0,6946
0,5602
0,4633
0,3930
0,4425
0,3825
0,3447
0,3526
0,3704
0,3617
Cuadro
Ti′
0,9201
0,8844
0,9923
1,0307
1,0298
1,0107
0,9222
1,0038
1,0050
0,9330
0,8576
0,7908
1,0360
0,9398
0,8897
0,9525
1,0662
1,0942
D.11: Funcionales de costo
Td′
Ju1
∆Ju1 ( %)
0,7029 1,7063
–
0,6129 1,7872
4,74
0,4412 1,9649
15,2
0,3309 2,1743
27,4
0,2755 2,3407
37,2
0,2500 2,4912
46,0
0,4815 0,9445
–
0,2805 1,1833
25,3
0,1975 1,4516
53,7
0,2109 1,6843
78,3
0,2375 1,8793
99,0
0,2639 2,0449
117
0,8411 2,4413
–
0,8079 2,4934
2,13
0,7745 2,5939
6,25
0,6560 2,7089
11,0
0,4728 2,8864
18,2
0,3876 3,0331
24,2
(a = 0, 25)
Ju2
∆Ju2 ( %) W
0,0040
–
0,00
0,0030
-25,0
200
0,0024
-40,0
400
0,0019
-52,5
600
0,0017
-57,5
800
0,0015
-62,5
1000
0,0066
–
0,00
0,0034
-48,5
200
0,0024
-63,6
400
0,0020
-69,7
600
0,0017
-74,2
800
0,0015
-77,3
1000
0,0030
–
0,00
0,0025
-16,7
200
0,0021
-30,0
400
0,0019
-36,7
600
0,0016
-46,7
800
0,0015
-50,0
1000
160
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
0,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
1,50
τo
1
1
1
1
1
1
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
Cuadro D.12: Características de desempeño (a = 0, 25)
Emax ∆Emax ( %) tEmax ∆tEmax ( %) tu95 % ∆tu95 %
1,6644
–
2,5900
–
2,2750
–
1,6777
0,80
2,6600
2,70
2,7750 21,98
1,6912
1,61
2,7400
5,79
3,2850 44,40
1,7075
2,59
2,8250
9,07
3,7950 66,81
1,7195
3,31
2,8850
11,4
4,2050 84,84
1,7285
3,85
2,9350
13,3
4,5950 102,0
1,4603
–
1,6150
–
1,2650
–
1,5178
3,94
1,8100
12,1
2,1050 66,40
1,5603
6,85
1,9550
21,1
2,7800 119,8
1,5835
8,44
2,0500
26,9
3,4350 171,5
1,6009
9,63
2,1300
31,9
3,9450 211,9
1,6153
10,6
2,1950
35,9
4,3500 243,9
1,7841
–
3,4900
–
3,2000
–
1,7894
0,30
3,5300
1,15
3,6250 13,28
1,7939
0,55
3,5700
2,29
4,0550 26,72
1,7969
0,72
3,6000
3,15
4,3950 37,34
1,8032
1,07
3,6550
4,73
4,8000 50,00
1,8090
1,40
3,7050
6,16
5,1400 60,63
Kc′
0,6555
0,5450
0,4897
0,4417
0,4177
0,3786
0,9607
0,7097
0,6556
0,5690
0,4815
0,4118
0,4825
0,4354
0,4019
0,3566
0,3287
0,3174
Cuadro D.13: Funcionales de costo
Ti′
Td′
Ju1
∆Ju1 ( %)
1,2304 0,9563 2,0043
–
1,1047 0,9172 2,0639
2,97
1,0520 0,8792 2,1610
7,82
1,0588 0,7593 2,4025
19,87
1,1170 0,6086 2,6798
33,70
1,1036 0,5501 2,9217
45,77
1,1540 0,8594 1,3284
–
1,0120 0,8264 1,4376
8,22
1,0481 0,7201 1,6040
20,75
1,1245 0,5254 1,9822
49,22
1,0898 0,4782 2,2707
70,93
1,0124 0,5076 2,4723
86,11
1,3478 1,0899 2,9380
–
1,2605 1,0520 2,9667
0,98
1,2008 1,0171 3,0263
3,01
1,1284 0,9558 3,1777
8,16
1,1003 0,8900 3,3542
14,17
1,1240 0,7909 3,5476
20,75
(a = 0, 75)
Ju2
∆Ju2 ( %)
0,0031
–
0,0024
-22,58
0,0021
-32,26
0,0017
-45,16
0,0014
-54,84
0,0012
-61,29
0,0045
–
0,0029
-35,56
0,0024
-46,67
0,0017
-62,22
0,0014
-68,89
0,0012
-73,33
0,0023
–
0,0020
-13,04
0,0018
-21,74
0,0015
-34,78
0,0013
-43,48
0,0012
-47,83
W
0,00
200
400
600
800
1000
0,00
200
400
600
800
1000
0,00
200
400
600
800
1000
W
0
200
400
800
1200
1600
0
200
400
800
1200
1500
0
200
400
800
1200
1600
161
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
1
1
1
1
1
1
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
1,6
Cuadro D.14: Características del desempeño (a = 0, 75)
Emax ∆Emax ( %) tEmax ∆tEmax ( %) tu95 % ∆tu95 %
1,5942
–
3,1350
–
2,6200
–
1,6142
1,25
3,2350
3,19
3,0800 17,56
1,6274
2,08
3,3050
5,42
3,4650 32,25
1,6481
3,38
3,4200
9,09
4,2100 60,69
1,6689
4,69
3,5300
12,60
4,9250 87,98
1,6850
5,70
3,6200
15,47
5,5450 111,64
1,4432
–
2,3000
–
1,7400
–
1,4848
2,88
2,4800
7,83
2,3700 36,21
1,5091
4,57
2,5900
12,61
2,9000 66,67
1,5571
7,89
2,8050
21,96
3,8550 121,55
1,5873
9,98
2,9400
27,83
4,5850 163,51
1,6040
11,14
3,0200
31,30
5,1150 193,97
1,7369
–
4,2400
–
3,8100
–
1,7444
0,43
4,2950
1,30
4,1500
8,92
1,7505
0,78
4,3400
2,36
4,4600 17,06
1,7603
1,35
4,4150
4,13
5,0150 31,63
1,7684
1,81
4,4750
5,54
5,5600 45,93
1,7758
2,24
4,5350
6,96
6,1000 60,10
τo
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1
1
1
1
1
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
Cuadro D.15: Funcionales de
Ti′
Ju1
∆Ju1 ( %)
2,4334 1,0330 0,5264
–
1,0048 0,9177 0,9381
78,21
0,6973 0,8340 1,2347
134,55
0,5514 0,7781 1,4524
175,92
0,4620 0,7349 1,6306
209,77
0,4002 0,6995 1,7844
238,98
0,7923 1,3932 1,9087
–
0,6291 1,2211 1,9776
3,61
0,5470 1,1320 2,0822
9,09
0,4448 1,0343 2,3309
22,12
0,4030 0,9956 2,4810
29,98
0,6196 1,5921 2,7348
–
0,5376 1,4462 2,7690
1,25
0,4842 1,3531 2,8343
3,64
0,4114 1,2271 2,9955
9,53
0,3839 1,1812 3,0855
12,82
Kc′
W
0
200
400
800
1200
1600
0
200
400
800
1200
1500
0
200
400
800
1200
1600
costo (a = 0)
Ju2
∆Ju2 ( %) W
0,0115
–
0
0,0034
-70,28
200
0,0024
-79,44
400
0,0019
-83,31
600
0,0017
-85,55
800
0,0015
-87,05
1000
0,0033
–
0
0,0025
-25,63
200
0,0021
-36,36
400
0,0017
-49,15
800
0,0015
-54,13
1000
0,0024
–
0
0,0020
-15,89
200
0,0018
-25,12
400
0,0015
-36,57
800
0,0014
-40,73
1000
162
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
1
1
1
1
1
1,5
1,5
1,5
1,5
1,5
Cuadro D.16: Características de desempeño (a = 0)
Emax ∆Emax ( %) tEmax ∆tEmax ( %) tu95 % ∆tu95 %
1,3246
–
0,7800
–
0,6850
–
1,4276
7,78
1,1250
44,23
2,0700 202,19
1,4804
11,77
1,3050
67,31
2,7900 307,30
1,5148
14,36
1,4250
82,69
3,3000 381,75
1,5402
16,27
1,5100
93,59
3,7200 443,07
1,5602
17,79
1,5750
101,92
4,0800 495,62
1,6996
–
2,4000
–
2,4900
–
1,7119
0,72
2,4750
3,13
3,0050 20,68
1,7198
1,19
2,5250
5,21
3,4100 36,95
1,7323
1,92
2,6050
8,54
4,1900 68,27
1,7386
2,29
2,6450
10,21
4,6200 85,54
1,8105
–
3,3250
–
3,5650
–
1,8144
0,22
3,3650
1,20
3,9400 10,52
1,8175
0,39
3,3950
2,11
4,2650 19,64
1,8226
0,67
3,4450
3,61
4,8500 36,04
1,8249
0,80
3,4700
4,36
5,1350 44,04
W
0
200
400
600
800
1000
0
200
400
800
1000
0
200
400
800
1000
163
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
D.3.
164
Optimización del esfuerzo de control y su variación total
Cuadro D.17: Parámetros controlador
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
0,1 0,8466 0,8915 0,1641 0,9491
0,2 0,796 0,9186 0,1697 0,9273
0,3 0,7576 0,949 0,1754 0,9040
0,4 0,7299 0,9838 0,1794 0,8782
0,5 0,6946 1,005 0,1975 0,8739
0,6 0,6524 1,0115 0,2329 0,8888
0,7 0,6139 1,0151 0,2744 0,9045
0,8 0,5775 1,0138 0,323 0,9263
0,9 0,5417 1,0051 0,3806 0,9655
1 0,5063 0,9924 0,4412 1,0000
1,1 0,4705 0,9744 0,5056 1,0000
1,2 0,4324 0,9449 0,5818 1,0000
1,3 0,3906 0,9007 0,6728 1,0000
1,4 0,3598 0,8787 0,7398 1,0000
1,5 0,3447 0,8898 0,7744 1,0000
1,6 0,3349 0,9102 0,8017 1,0000
1,7 0,3276 0,9335 0,8277 1,0000
1,8 0,3216 0,958 0,8532 1,0000
1,9 0,3164 0,9827 0,8787 1,0000
2,0 0,3117 1,0076 0,9038 1,0000
PID (a = 0, 25)
Ms
FI
1,0982 0,0984
1,1650 0,1275
1,2294 0,1571
1,2925 0,1882
1,3393 0,2203
1,3658 0,2524
1,3855 0,2840
1,4003 0,3149
1,4124 0,3451
1,4263 0,3736
1,4439 0,3992
1,4658 0,4239
1,4949 0,4498
1,5212 0,4692
1,5360 0,4792
1,5460 0,4926
1,5551 0,5001
1,5620 0,5101
1,5696 0,5189
1,5780 0,5258
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
Jur
2,0330
2,1338
2,2331
2,3301
2,4249
2,5204
2,6171
2,7149
2,8136
2,9133
3,0147
3,1182
3,2239
3,3330
3,4461
3,5620
3,6798
3,7989
3,9188
4,0394
Cuadro D.18: Índices de desempeño (a = 0, 25)
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
1,0756 0,0024 1,0540 0,4426 0,1561 0,0007
1,1737 0,0024 1,1545 0,5576 0,1642 0,0010
1,2678 0,0024 1,2527 0,6457 0,1790 0,0012
1,3566 0,0024 1,3479 0,7182 0,1989 0,0013
1,4516 0,0024 1,4469 0,7734 0,2256 0,0014
1,5553 0,0024 1,5504 0,8120 0,2547 0,0014
1,6586 0,0024 1,6535 0,8437 0,2836 0,0014
1,7605 0,0024 1,7555 0,8716 0,3129 0,0014
1,8605 0,0024 1,8555 0,8980 0,3428 0,0014
1,9649 0,0024 1,9601 0,9216 0,3732 0,0014
2,0769 0,0023 2,0710 0,9460 0,4072 0,0013
2,1927 0,0023 2,1854 0,9761 0,4481 0,0013
2,3159 0,0023 2,3065 1,0205 0,5043 0,0013
2,4534 0,0022 2,4426 1,0669 0,5686 0,0012
2,5939 0,0021 2,5814 1,1007 0,6228 0,0012
2,7321 0,0021 2,7178 1,1319 0,6729 0,0011
2,8674 0,0020 2,8495 1,1635 0,7210 0,0011
3,0007 0,0020 2,9789 1,1957 0,7681 0,0011
3,1331 0,0020 3,1059 1,2289 0,8148 0,0010
3,2654 0,0019 3,2326 1,2629 0,8614 0,0010
IAEs
1,2604
1,3830
1,5056
1,6291
1,7513
1,8726
1,9974
2,1209
2,2327
2,3573
2,5267
2,7103
2,9134
3,1092
3,2787
3,4394
3,5944
3,7467
3,8967
4,0460
165
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.19: Parámetros controlador
τo
Kc′
Ti′
Td′
β
0,1 0,9823 1,0403 0,2827 0,8055
0,2 0,8977 1,046 0,3069 0,8116
0,3 0,8256 1,0489 0,3377 0,8225
0,4 0,7626 1,0482 0,3755 0,8382
0,5 0,7058 1,042 0,4215 0,8574
0,6 0,6515 1,0268 0,479 0,8851
0,7 0,5956 0,9977 0,5517 0,9283
0,8 0,5412 0,969 0,6203 0,9881
0,9 0,4871 0,9344 0,6949 1,0000
1,0 0,4499 0,9254 0,746 1,0000
1,1 0,4271 0,9375 0,7791 1,0000
1,2 0,4105 0,9574 0,8063 1,0000
1,3 0,3971 0,9807 0,8309 1,0000
1,4 0,3858 1,0053 0,8551 1,0000
1,5 0,376 1,0308 0,8789 1,0000
1,6 0,3676 1,0569 0,9026 1,0000
1,7 0,3598 1,0826 0,9265 1,0000
1,8 0,3531 1,1088 0,9505 1,0000
1,9 0,347 1,1352 0,9741 1,0000
2,0 0,3415 1,1613 0,9978 1,0000
PID (a = 0, 5)
Ms
FI
1,0991 0,1321
1,1531 0,1646
1,1987 0,1971
1,2362 0,2319
1,2685 0,2660
1,2966 0,3004
1,3255 0,3347
1,3607 0,3650
1,3990 0,3923
1,4291 0,4172
1,4500 0,4330
1,4690 0,4470
1,4828 0,4594
1,4943 0,4700
1,5050 0,4787
1,5152 0,4857
1,5237 0,4944
1,5311 0,5027
1,5374 0,5113
1,5442 0,5150
166
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
Cuadro
Jur
2,0254
2,1277
2,2300
2,3317
2,4327
2,5328
2,6321
2,7325
2,8362
2,9445
3,0567
3,1719
3,2891
3,4079
3,5279
3,6489
3,7706
3,8928
4,0154
4,1384
D.20: Valores de
Ju1r
Ju2r
1,0649 0,0024
1,1709 0,0024
1,2764 0,0024
1,3803 0,0024
1,4820 0,0024
1,5813 0,0024
1,6795 0,0024
1,7954 0,0023
1,9249 0,0023
2,0645 0,0022
2,2047 0,0021
2,3450 0,0021
2,4852 0,0020
2,6250 0,0020
2,7642 0,0019
2,9024 0,0019
3,0401 0,0018
3,1768 0,0018
3,3130 0,0018
3,4484 0,0017
los desempeños medidos para a = 0, 5
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
IAEs
1,0590 0,4649 0,1453 0,0008 1,5158
1,1652 0,5761 0,1609 0,0010 1,6384
1,2705 0,6582 0,1824 0,0012 1,7606
1,3745 0,7214 0,2075 0,0013 1,8821
1,4763 0,7732 0,2348 0,0013 2,0043
1,5761 0,8174 0,2637 0,0014 2,1251
1,6751 0,8569 0,2945 0,0014 2,2432
1,7905 0,8866 0,3298 0,0014 2,3606
1,9183 0,9124 0,3665 0,0014 2,5444
2,0569 0,9382 0,4105 0,0013 2,7286
2,1950 0,9640 0,4559 0,0013 2,8962
2,3323 0,9905 0,5019 0,0012 3,0579
2,4697 1,0180 0,5484 0,0012 3,2175
2,6058 1,0472 0,5953 0,0011 3,3753
2,7415 1,0777 0,6424 0,0011 3,5325
2,8751 1,1097 0,6895 0,0011 3,6875
3,0089 1,1431 0,7372 0,0010 3,8427
3,1402 1,1774 0,7845 0,0010 3,9956
3,2715 1,2125 0,8318 0,0010 4,1482
3,4006 1,2485 0,8789 0,0009 4,2986
167
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.21: Parámetros óptimos de
τo
Kc′
Ti′
Td′
0,1 1,0871 1,1709 0,4225
0,2 0,9848 1,1655 0,458
0,3 0,8956 1,154 0,5026
0,4 0,8149 1,1343 0,5579
0,5 0,7375 1,1017 0,628
0,6 0,6558 1,0483 0,72
0,7 0,5851 1,0095 0,795
0,8 0,5437 1,014 0,8294
0,9 0,5138 1,0309 0,8552
1 0,4896 1,0518 0,8792
1,1 0,4693 1,0747 0,9026
1,2 0,452 1,0986 0,9259
1,3 0,4368 1,1229 0,9491
1,4 0,4234 1,1473 0,9725
1,5 0,4122 1,1746 0,9944
1,6 0,4019 1,2009 1,0172
1,7 0,3925 1,2267 1,0403
1,8 0,3841 1,2528 1,0631
1,9 0,3765 1,2788 1,0864
2 0,3695 1,3045 1,1095
controlador PID
β
Ms
0,7270 1,0839
0,7395 1,1363
0,7566 1,1812
0,7820 1,2192
0,8179 1,2504
0,8760 1,2729
0,9484 1,3089
0,9951 1,3450
1,0000 1,3734
1,0000 1,3950
1,0000 1,4144
1,0000 1,4295
1,0000 1,4425
1,0000 1,4587
1,0000 1,4680
1,0000 1,4786
1,0000 1,4879
1,0000 1,4972
1,0000 1,5051
1,0000 1,5123
para a = 0, 75
FI
0,0305
0,0482
0,0655
0,0831
0,1011
0,1189
0,3542
0,3753
0,3932
0,4088
0,4213
0,4355
0,4489
0,4571
0,4668
0,4746
0,4822
0,4876
0,4945
0,5011
168
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
Cuadro D.22: Valores de los desempeños medidos para a = 0, 75
Jur
Ju1r
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
IAEs
2,0301 1,0846 0,0024 1,0771 0,4657 0,1520 0,0008 1,7770
2,1342 1,1910 0,0024 1,1835 0,5739 0,1665 0,0010 1,8993
2,2382 1,2960 0,0024 1,2885 0,6557 0,1869 0,0012 2,0217
2,3415 1,3990 0,0024 1,3919 0,7210 0,2120 0,0013 2,1413
2,4439 1,5001 0,0024 1,4938 0,7764 0,2404 0,0013 2,2596
2,5459 1,6039 0,0024 1,5985 0,8240 0,2722 0,0014 2,3764
2,6501 1,7310 0,0023 1,7253 0,8559 0,3094 0,0014 2,4929
2,7597 1,8722 0,0022 1,8650 0,8762 0,3473 0,0013 2,6164
2,8738 2,0163 0,0021 2,0064 0,8952 0,3845 0,0013 2,7761
2,9912 2,1611 0,0021 2,1483 0,9165 0,4246 0,0012 2,9396
3,1111 2,3064 0,0020 2,2900 0,9404 0,4670 0,0012 3,1023
3,2327 2,4512 0,0020 2,4305 0,9671 0,5112 0,0011 3,2638
3,3557 2,5957 0,0019 2,5707 0,9958 0,5567 0,0011 3,4249
3,4797 2,7396 0,0019 2,7097 1,0267 0,6031 0,0011 3,5850
3,6045 2,8834 0,0018 2,8496 1,0575 0,6493 0,0010 3,7445
3,7300 3,0262 0,0018 2,9881 1,0905 0,6963 0,0010 3,9035
3,8559 3,1682 0,0017 3,1254 1,1251 0,7439 0,0010 4,0616
3,9821 3,3094 0,0017 3,2617 1,1607 0,7916 0,0009 4,2184
4,1084 3,4495 0,0016 3,3965 1,1973 0,8395 0,0009 4,3743
4,2349 3,5891 0,0016 3,5304 1,2349 0,8874 0,0009 4,5290
169
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.23: Parámetros óptimos
τo
Kc′
Ti′
Td′
0,1 1,2287 1,3364 0,5281
0,2 1,1063 1,3208 0,5722
0,3 0,9987 1,2966 0,6274
0,4 0,8997 1,2606 0,6967
0,5 0,8017 1,2062 0,7861
0,6 0,7082 1,1494 0,8776
0,7 0,6483 1,1422 0,921
0,8 0,6062 1,1557 0,948
0,9 0,5725 1,1752 0,9717
1 0,5444 1,1971 0,9948
1,1 0,5202 1,2198 1,0177
1,2 0,4995 1,2435 1,0407
1,3 0,4816 1,2678 1,0634
1,4 0,4656 1,2919 1,0862
1,5 0,4515 1,3165 1,1092
1,6 0,4392 1,3439 1,1308
1,7 0,4279 1,37 1,1536
1,8 0,4179 1,3964 1,1762
1,9 0,4086 1,4221 1,1988
2 0,4001 1,4477 1,2212
de controlador PID para a = 1
β
Ms
FI
0,6433 1,0914 0,0360
0,6576 1,1459 0,0563
0,6768 1,1932 0,0760
0,7058 1,2339 0,0959
0,7489 1,2671 0,1154
0,8122 1,2874 0,1300
0,8603 1,2978 0,1376
0,8992 1,3056 0,1427
0,9348 1,3273 0,3795
0,9686 1,3521 0,3939
1,0000 1,3723 0,4064
1,0000 1,3901 0,4169
1,0000 1,4040 0,4324
1,0000 1,4166 0,4403
1,0000 1,4323 0,4496
1,0000 1,4440 0,4576
1,0000 1,4520 0,4671
1,0000 1,4628 0,4723
1,0000 1,4714 0,4795
1,0000 1,4806 0,4852
170
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
τo
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
Cuadro
Jur
2,0369
2,1416
2,2460
2,3497
2,4526
2,5566
2,6657
2,7804
2,8994
3,0215
3,1460
3,2722
3,3996
3,5278
3,6567
3,7860
3,9157
4,0456
4,1757
4,3057
D.24: Valores de
Ju1r
Ju2r
1,0970 0,0023
1,2032 0,0023
1,3072 0,0023
1,4092 0,0024
1,5113 0,0024
1,6292 0,0023
1,7695 0,0022
1,9167 0,0022
2,0662 0,0021
2,2162 0,0020
2,3667 0,0019
2,5163 0,0019
2,6652 0,0018
2,8133 0,0018
2,9603 0,0017
3,1080 0,0017
3,2540 0,0017
3,3990 0,0016
3,5433 0,0016
3,6868 0,0015
los desempeños medidos para a = 1
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
IAEs
1,0877 0,4649 0,1561 0,0008 2,0396
1,1939 0,5726 0,1696 0,0010 2,1611
1,2983 0,6558 0,1897 0,0012 2,2820
1,4011 0,7235 0,2151 0,0013 2,3990
1,5046 0,7814 0,2448 0,0013 2,5149
1,6230 0,8258 0,2809 0,0014 2,6287
1,7618 0,8529 0,3203 0,0013 2,7503
1,9065 0,8732 0,3596 0,0013 2,8762
2,0528 0,8922 0,3989 0,0012 3,0038
2,1989 0,9119 0,4386 0,0012 3,1318
2,3449 0,9327 0,4785 0,0011 3,2608
2,4895 0,9561 0,5190 0,0011 3,4261
2,6325 0,9829 0,5616 0,0011 3,5895
2,7747 1,0120 0,6055 0,0010 3,7523
2,9158 1,0430 0,6504 0,0010 3,9141
3,0599 1,0735 0,6950 0,0009 4,0776
3,2017 1,1065 0,7408 0,0009 4,2399
3,3415 1,1413 0,7872 0,0009 4,4000
3,4804 1,1774 0,8341 0,0009 4,5593
3,6183 1,2145 0,8813 0,0008 4,7174
171
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
D.4.
172
Controlador PI
Cuadro D.25: Parámetros óptimos de controlador
W = 400
τo
Kc′
Ti′
β
0,1 0,7386 0,7744 0,0039
0,2 0,7090 0,8133 0,0041
0,3 0,6874 0,8553 0,0042
0,4 0,6716 0,8995 0,0043
0,5 0,6601 0,9450 0,0045
0,6 0,6525 0,9918 0,0046
0,7 0,6206 1,0201 0,0049
0,8 0,5903 1,0523 0,0053
0,9 0,5666 1,0906 0,0058
1 0,5469 1,1319 0,0062
1,1 0,5305 1,1752 0,0066
1,2 0,5165 1,2193 0,0071
1,3 0,5043 1,2638 0,0075
1,4 0,4936 1,3084 0,0080
1,5 0,4841 1,3530 0,0084
1,6 0,4756 1,3976 0,0089
1,7 0,4682 1,4426 0,0094
1,8 0,4615 1,4891 0,0098
1,9 0,4554 1,5352 0,0103
2 0,4499 1,5809 0,0108
PI para el caso especial de a = 0 y
Ms
1,0754
1,1486
1,2200
1,2900
1,3592
1,4286
1,4786
1,5187
1,5540
1,5850
1,6127
1,6373
1,6596
1,6796
1,6979
1,7144
1,7296
1,7425
1,7548
1,7661
FI
0,0319
0,0589
0,0872
0,1167
0,1477
0,1804
0,2106
0,2369
0,2602
0,2811
0,2103
0,2203
0,3337
0,3484
0,3623
0,3750
0,3868
0,3969
0,4066
0,4156
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.26: Valores
τo
Jur
Ju1r
0,1 2,0309 1,0940
0,2 2,1302 1,1886
0,3 2,2281 1,2798
0,4 2,3242 1,3673
0,5 2,4182 1,4503
0,6 2,5098 1,5275
0,7 2,6032 1,6491
0,8 2,7064 1,7894
0,9 2,8168 1,9341
1 2,9326 2,0822
1,1 3,0524 2,2318
1,2 3,1754 2,3822
1,3 3,3008 2,5329
1,4 3,4281 2,6838
1,5 3,5569 2,8343
1,6 3,6869 2,9848
1,7 3,8180 3,1347
1,8 3,9499 3,2851
1,9 4,0826 3,4347
2 4,2158 3,5838
de los desempeños medidos para a = 0 y W = 400
Ju2r
IAEr
Jus
Ju1s
Ju2s
IAEs
0,0023 1,0561 2,9945 1,8220 0,0029 1,8376
0,0024 1,1535 2,9724 1,8428 0,0028 1,9708
0,0024 1,2487 2,9520 1,8635 0,0027 2,1049
0,0024 1,3416 2,9340 1,8832 0,0026 2,2390
0,0024 1,4320 2,9185 1,9007 0,0025 2,3730
0,0025 1,5201 2,9051 1,9153 0,0025 2,5074
0,0024 1,6439 2,8994 1,9608 0,0023 2,6590
0,0023 1,7825 2,9110 2,0309 0,0022 2,8292
0,0022 1,9249 2,9354 2,1109 0,0021 3,0092
0,0021 2,0697 2,9697 2,1963 0,0019 3,1946
0,0021 2,2151 3,0117 2,2842 0,0018 3,3825
0,0020 2,3606 3,0595 2,3730 0,0017 3,5713
0,0019 2,5058 3,1118 2,4618 0,0016 3,7601
0,0019 2,6507 3,1676 2,5504 0,0015 3,9487
0,0018 2,7946 3,2258 2,6378 0,0015 4,1362
0,0018 2,9383 3,2866 2,7251 0,0014 4,3234
0,0017 3,0811 3,3495 2,8119 0,0013 4,5102
0,0017 3,2269 3,4177 2,9030 0,0013 4,7013
0,0016 3,3707 3,4861 2,9917 0,0012 4,8900
0,0016 3,5136 3,5549 3,0791 0,0012 5,0774
173
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.27: Parámetros óptimos de controlador
W =0
τo
Kc′
Ti′
β
0,1 0,7385 0,7741 1,0000
0,2 0,7089 0,8133 1,0000
0,3 0,6874 0,8553 0,9830
0,4 0,6716 0,8995 0,9359
0,5 0,6601 0,9451 0,8970
0,6 0,6525 0,9918 0,8617
0,7 0,6205 1,0201 0,8745
0,8 0,5903 1,0523 0,8978
0,9 0,5666 1,0906 0,9191
1 0,5469 1,1319 0,9373
1,1 0,5305 1,1752 0,9587
1,2 0,5165 1,2193 0,9879
1,3 0,5043 1,2638 1,0000
1,4 0,4936 1,3084 1,0000
1,5 0,4841 1,3530 1,0000
1,6 0,4756 1,3974 1,0000
1,7 0,4682 1,4427 1,0000
1,8 0,4614 1,4891 1,0000
1,9 0,4555 1,5353 1,0000
2 0,4500 1,5809 1,0000
174
PI para el caso especial de a = 0 y
Ms
1,0755
1,1486
1,2200
1,2900
1,3592
1,4286
1,4786
1,5187
1,5540
1,5850
1,6127
1,6373
1,6596
1,6796
1,6979
1,7142
1,7296
1,7425
1,7548
1,7661
FI
0,0319
0,0589
0,0872
0,1167
0,1477
0,1804
0,2106
0,2369
0,2602
0,2811
0,2103
0,2203
0,3337
0,3484
0,3623
0,3750
0,3868
0,3969
0,4066
0,4156
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.28: Valores de los
τo
Jur
Ju1r
Ju2r
0,1 2,0309 1,0940 0,0023
0,2 2,1302 1,1886 0,0024
0,3 2,2281 1,2798 0,0024
0,4 2,3242 1,3673 0,0024
0,5 2,4182 1,4503 0,0024
0,6 2,5098 1,5275 0,0025
0,7 2,6032 1,6491 0,0024
0,8 2,7064 1,7894 0,0023
0,9 2,8168 1,9341 0,0022
1 2,9326 2,0822 0,0021
1,1 3,0524 2,2318 0,0021
1,2 3,1754 2,3822 0,0020
1,3 3,3008 2,5329 0,0019
1,4 3,4281 2,6838 0,0019
1,5 3,5569 2,8343 0,0018
1,6 3,6869 2,9848 0,0018
1,7 3,8180 3,1347 0,0017
1,8 3,9499 3,2851 0,0017
1,9 4,0826 3,4347 0,0016
2 4,2158 3,5838 0,0016
desempeños medidos para
IAEr
Jus
Ju1s
1,0561 1,1921 1,1921
1,1535 1,1873 1,1873
1,2487 1,1901 1,1901
1,3416 1,2009 1,2009
1,4320 1,2177 1,2177
1,5201 1,2389 1,2389
1,6439 1,2785 1,2785
1,7825 1,3191 1,3191
1,9249 1,3587 1,3587
2,0697 1,3986 1,3986
2,2151 1,4389 1,4389
2,3606 1,4793 1,4793
2,5058 1,5199 1,5199
2,6507 1,5610 1,5610
2,7946 1,6028 1,6028
2,9383 1,6447 1,6447
3,0811 1,6868 1,6868
3,2269 1,7279 1,7279
3,3707 1,7696 1,7696
3,5136 1,8114 1,8114
a=0y
Ju2s
0,5474
0,5046
0,4587
0,3972
0,3531
0,3177
0,2968
0,2828
0,2727
0,2645
0,2615
0,2620
0,2558
0,2450
0,2357
0,2275
0,2204
0,2141
0,2085
0,2035
W =0
IAEs
1,0915
1,1861
1,2897
1,4151
1,5348
1,6579
1,7714
1,8901
2,0136
2,1406
2,2639
2,3895
2,5304
2,6813
2,8318
2,9823
3,1322
3,2826
3,4322
3,5813
175
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
D.5.
Controlador PID, método de Méndez
176
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.29: Parámetros óptimos de controlador
ción
a
τo
Kc
Ti
Td
0
0,1 12,1565 0,2015 0,046
0
0,2 6,1777 0,3732 0,0924
0
0,3 4,1795 0,5036 0,135
0
0,4 3,1794 0,6129 0,1753
0
0,6 2,1786 0,7951 0,2514
0
0,8 1,678 0,9478 0,3234
0
1
1,3775 1,0817 0,3926
0
1,2 1,1772 1,2023 0,4595
0
1,4 1,0341 1,3129 0,5247
0
1,6 0,9267 1,4155 0,5883
0
1,8 0,8432 1,5117 0,6507
0
2
0,7764 1,6025 0,7119
0,25 0,1 14,3757 0,3156 0,1561
0,25 0,2 6,406
0,513 0,2157
0,25 0,3 4,1483 0,6561 0,2652
0,25 0,4 3,0818 0,7723 0,309
0,25 0,6 2,0539
0,96 0,3866
0,25 0,8 1,5538 1,1126 0,4553
0,25 1
1,258 1,2434 0,5182
0,25 1,2 1,0626 1,3591 0,5768
0,25 1,4 0,9238 1,4636 0,6321
0,25 1,6 0,8202 1,5594 0,6846
0,25 1,8 0,7399 1,6482 0,7348
0,25 2
0,6758 1,7311 0,7832
0,5 0,1 20,9341 0,3536 0,1982
0,5 0,2 8,7969 0,5858 0,2882
0,5 0,3 5,4956 0,7487 0,3547
0,5 0,4 3,9563 0,8785 0,4096
0,5 0,6 2,4847 1,084 0,4993
0,5 0,8 1,7729 1,2476 0,5733
0,5
1
1,3532 1,3859 0,6373
0,5 1,2 1,0764 1,5067 0,6943
0,5 1,4 0,8801 1,6148 0,7462
0,5 1,6 0,7337 1,7131 0,7941
0,5 1,8 0,6203 1,8035 0,8386
0,5
2
0,5299 1,8874 0,8804
177
PID Método Méndez Ms sin restricβ
0,3636
0,3846
0,4052
0,4254
0,4642
0,5011
0,5361
0,5692
0,6004
0,6296
0,657
0,6824
0,3789
0,4041
0,4283
0,4516
0,4955
0,5358
0,5725
0,6055
0,6348
0,6606
0,6827
0,7011
0,3726
0,3969
0,4205
0,4432
0,4864
0,5264
0,5632
0,5968
0,6272
0,6545
0,6785
0,6994
Ms
3,2460
3,1194
3,0276
2,9297
2,7378
2,5681
2,4256
2,3079
2,2108
2,1298
2,0631
2,0063
4,3409
3,4516
3,0742
2,8587
2,6167
2,4790
2,3889
2,3246
2,2761
2,2388
2,2087
2,1846
4,5260
3,5087
3,0881
2,8453
2,5737
2,4146
2,3084
2,2304
2,1700
2,1214
2,0812
2,0473
FI
0,8591
0,8587
0,8804
0,8809
0,8358
0,7694
0,7047
0,6483
0,6015
0,5634
0,5323
0,5070
1,1212
0,9695
0,8798
0,8223
0,7533
0,7154
0,6921
0,6763
0,6668
0,6616
0,6596
0,6597
0,9219
0,8387
0,7854
0,7436
0,6851
0,6455
0,6161
0,5932
0,5765
0,5620
0,5501
0,5400
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.30: Parámetros óptimos de controlador
ción
a
τo
Kc
Ti
Td
0,75 0,1 27,9889 0,3755 0,2191
0,75 0,2 11,4818 0,6346 0,3303
0,75 0,3 7,0448 0,8151 0,4093
0,75 0,4 4,9835 0,9583 0,4727
0,75 0,6 3,0175 1,1838 0,574
0,75 0,8 2,0681 1,3625 0,6553
0,75 1
1,5088 1,513 0,7244
0,75 1,2 1,1401 1,6442 0,785
0,75 1,4 0,8788 1,7612 0,8395
0,75 1,6 0,6839 1,8674 0,8892
0,75 1,8 0,533
1,965 0,935
0,75 2
0,4126 2,0554 0,9777
1
0,1 35,0029 0,3889 0,2312
1
0,2 14,1691 0,669 0,3559
1
0,3 8,6093 0,865 0,4437
1
0,4 6,0323 1,0208 0,5137
1
0,6 3,5776 1,267 0,6248
1
0,8 2,3935 1,4627 0,7133
1
1
1,6962 1,6278 0,7882
1
1,2 1,2368 1,772 0,8537
1
1,4 0,9112 1,9008 0,9124
1
1,6 0,6685 2,0178 0,9657
1
1,8 0,4805 2,1254 1,0148
1
2
0,3306 2,2252 1,0605
178
PID Método Méndez Ms sin restricβ
0,3657
0,3876
0,4089
0,4297
0,4694
0,5068
0,5418
0,5745
0,6048
0,6328
0,6585
0,6818
0,3639
0,3827
0,4011
0,4192
0,4543
0,4878
0,5199
0,5505
0,5796
0,6073
0,6334
0,6581
Ms
5,4528
4,1121
3,5495
3,2256
2,8552
2,6387
2,4919
2,3826
2,2989
2,2294
2,1698
2,1186
5,5821
4,1864
3,5944
3,2596
2,8747
2,6538
2,5039
2,3926
2,3047
2,2342
2,1732
2,1193
FI
1,1343
1,0412
0,9715
0,9150
0,8291
0,7690
0,7223
0,6842
0,6528
0,6267
0,6019
0,5795
1,0484
0,9738
0,9190
0,8689
0,7924
0,7374
0,6959
0,6598
0,6311
0,6042
0,5820
0,5585
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
179
Cuadro D.31: Valores de los desempeños medidos para Método Méndez Ms sin restricción
a
τo
Ju1r
Ju2r
IAEr
Ju1s
Ju2s
IAEs
0
0,1 0,2511 0,3824 0,2095 2,4390 28,5164 0,2095
0
0,2 0,4811 0,2006 0,4087 2,4044 7,0064 0,4087
0
0,3 0,6793 0,1300 0,6101 2,3630 3,3297 0,6101
0
0,4 0,8567 0,0945 0,8076 2,3185 2,0481 0,8076
0
0,6 1,1684 0,0599 1,1858 2,2237 1,1023 1,1858
0
0,8 1,4394 0,0434 1,5433 2,1379 0,7474 1,5433
0
1 1,6812 0,0340 1,8840 2,0748 0,5699 1,8840
0
1,2 1,9041 0,0280 2,2112 2,0310 0,4657 2,2112
0
1,4 2,1173 0,0239 2,5273 1,9990 0,3978 2,5273
0
1,6 2,3256 0,0209 2,8346 1,9812 0,3499 2,8346
0
1,8 2,5362 0,0187 3,1359 1,9860 0,3146 3,1359
0
2 2,7618 0,0170 3,4318 2,0154 0,2871 3,4318
0,25 0,1 0,5333 0,1425 0,4011 4,7118 36,4645 0,4011
0,25 0,2 0,8947 0,0748 0,6794 3,8483 7,5039 0,6794
0,25 0,3 1,1597 0,0495 0,9272 3,4419 3,4093 0,9272
0,25 0,4 1,3411 0,0351 1,1493 3,1193 2,0485 1,1493
0,25 0,6 1,5758 0,0202 1,5425 2,6324 1,0714 1,5425
0,25 0,8 1,7482 0,0133 1,8964 2,3080 0,7095 1,8964
0,25 1 1,9105 0,0096 2,2282 2,1043 0,5280 2,2282
0,25 1,2 2,0791 0,0074 2,5461 1,9764 0,4200 2,5461
0,25 1,4 2,2602 0,0060 2,8539 1,9009 0,3481 2,8539
0,25 1,6 2,4583 0,0050 3,1542 1,8875 0,2968 3,1542
0,25 1,8 2,6772 0,0044 3,4506 1,8962 0,2577 3,4506
0,25 2 2,9185 0,0038 3,7467 1,9176 0,2266 3,7467
0,5 0,1 0,6321 0,1516 0,4386 7,2716 75,3792 0,4386
0,5 0,2 1,2652 0,0977 0,7687 6,4062 14,0102 0,7687
0,5 0,3 1,8024 0,0713 1,0956 6,0042 5,9243 1,0956
0,5 0,4 2,0957 0,0506 1,3752 5,3234 3,3154 1,3752
0,5 0,6 2,1992 0,0252 1,7847 3,9136 1,5197 1,7847
0,5 0,8 2,1451 0,0138 2,1332 2,9395 0,8915 2,1332
0,5
1 2,1303 0,0084 2,4756 2,3483 0,5899 2,4756
0,5 1,2 2,1907 0,0056 2,8148 2,0199 0,4175 2,8148
0,5 1,4 2,3364 0,0039 3,1458 1,8997 0,3076 3,1458
0,5 1,6 2,6257 0,0029 3,4929 1,8324 0,2325 3,4929
0,5 1,8 3,1759 0,0022 3,9037 1,8051 0,1785 3,9037
0,5
2 3,7582 0,0017 4,4295 1,9716 0,1383 4,4295
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
180
Cuadro D.32: Valores de los desempeños medidos para Método Méndez Ms sin restricción
a
τo
Ju1r
Ju2r
IAEr
Ju1s
Ju2s
IAEs
0,75 0,1 0,7028 0,1640 0,4518 10,1085 131,4772 0,4518
0,75 0,2 1,6715 0,1284 0,8315 10,0491 23,5843 0,8315
0,75 0,3 2,6545 0,1048 1,2714 10,2228 9,5953 1,2714
0,75 0,4 3,1087 0,0745 1,6201 8,9610
5,1012 1,6201
0,75 0,6 2,8922 0,0323 1,9976 5,6945
2,1075 1,9976
0,75 0,8 2,5030 0,0152 2,2970 3,7176
1,1264 2,2970
0,75 1 2,2956 0,0082 2,6578 2,6414
0,6784 2,6578
0,75 1,2 2,2677 0,0048 3,0407 2,1185
0,4335 3,0407
0,75 1,4 2,4322 0,0031 3,4336 1,9524
0,2849 3,4336
0,75 1,6 3,0464 0,0020 3,9262 1,8382
0,1887 3,9262
0,75 1,8 3,8646 0,0014 4,6391 2,1478
0,1241 4,6391
0,75 2 5,0156 0,0009 5,6849 2,9438
0,0797 5,6849
1
0,1 0,7422 0,1699 0,4594 12,9205 204,6453 0,4594
1
0,2 1,9999 0,1528 0,8813 14,1191 35,9578 0,8813
1
0,3 3,5430 0,1395 1,4432 15,7393 14,3661 1,4432
1
0,4 4,2365 0,1013 1,8711 13,8764 7,3576 1,8711
1
0,6 3,5643 0,0395 2,1767 7,7930
2,8021 2,1767
1
0,8 2,8145 0,0167 2,4134 4,5628
1,4005 2,4134
1
1 2,4374 0,0083 2,7943 2,9840
0,7894 2,7943
1
1,2 2,3463 0,0045 3,2278 2,2790
0,4682 3,2278
1
1,4 2,5351 0,0027 3,6939 2,0539
0,2811 3,6939
1
1,6 3,3579 0,0016 4,3385 1,9007
0,1660 4,3385
1
1,8 4,5362 0,0010 5,3732 2,6144
0,0933 5,3732
1
2 6,7303 0,0006 7,4916 4,4917
0,0477 7,4916
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.33: Parámetros óptimos de
a
τo
Kc
Ti
0
0,1 7,2173 0,2022
0
0,2 3,7554 0,3718
0
0,3 2,5900 0,5012
0
0,4 2,0051 0,6099
0
0,6 1,4187 0,7915
0
0,8 1,1250 0,9441
0
1 0,9486 1,0782
0
1,2 0,8309 1,1992
0
1,4 0,7468 1,3102
0
1,6 0,6837 1,4134
0
1,8 0,6346 1,5102
0
2 0,5954 1,6016
0,25 0,1 6,8175 0,4250
0,25 0,2 3,3518 0,5758
0,25 0,3 2,2939 0,6933
0,25 0,4 1,7815 0,7934
0,25 0,6 1,2797 0,9630
0,25 0,8 1,0327 1,1075
0,25 1 0,8856 1,2357
0,25 1,2 0,7881 1,3523
0,25 1,4 0,7187 1,4600
0,25 1,6 0,6668 1,5608
0,25 1,8 0,6265 1,6557
0,25 2 0,5943 1,7458
0,5 0,1 8,8172 0,4738
0,5 0,2 4,1890 0,6583
0,5 0,3 2,7922 0,7953
0,5 0,4 2,1183 0,9084
0,5 0,6 1,4599 1,0941
0,5 0,8 1,1364 1,2474
0,5
1 0,9441 1,3803
0,5 1,2 0,8166 1,4991
0,5 1,4 0,7259 1,6071
0,5 1,6 0,6581 1,7068
0,5 1,8 0,6054 1,7998
0,5
2 0,5634 1,8870
controlador PID
Td
β
0,0472 0,5061
0,0932 0,5541
0,1356 0,5994
0,1758 0,6419
0,2520 0,7188
0,3242 0,7847
0,3936 0,8396
0,4609 0,8836
0,5264 0,9165
0,5905 0,9386
0,6534 0,9496
0,7152 0,9497
0,1672 0,5072
0,2226 0,5593
0,2696 0,6082
0,3119 0,6539
0,3875 0,7360
0,4556 0,8056
0,5185 0,8625
0,5775 0,9069
0,6335 0,9386
0,6871 0,9578
0,7386 0,9645
0,7884 0,9585
0,2290 0,5185
0,3039 0,5644
0,3623 0,6079
0,4121 0,6490
0,4966 0,7236
0,5686 0,7884
0,6326 0,8433
0,6908 0,8883
0,7446 0,9234
0,7949 0,9486
0,8424 0,9640
0,8875 0,9695
Método
Ms
1,8187
1,8397
1,8372
1,8325
1,8229
1,8127
1,8015
1,7896
1,7785
1,7657
1,7531
1,7774
1,7919
1,8071
1,8159
1,8208
1,8201
1,8153
1,8074
1,7985
1,7886
1,7779
1,7674
1,7574
1,8009
1,8547
1,8814
1,8904
1,8822
1,8552
1,8211
1,7860
1,7513
1,7185
1,6876
1,6597
181
Méndez Ms = 1, 8
FI
0,3747
0,3977
0,3944
0,3902
0,3863
0,3854
0,3856
0,3857
0,3839
0,3826
0,4331
0,4657
0,2757
0,3139
0,3479
0,3702
0,3948
0,4042
0,4067
0,4053
0,4016
0,3971
0,3909
0,3835
0,2703
0,3200
0,3653
0,3965
0,4245
0,4259
0,4133
0,3959
0,3763
0,3558
0,3366
0,3179
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.34: Parámetros óptimos de
a
τo
Kc
Ti
0,75 0,1 10,8193 0,5327
0,75 0,2 4,9630 0,7380
0,75 0,3 3,2521 0,8883
0,75 0,4 2,4358 1,0114
0,75 0,6 1,6439 1,2117
0,75 0,8 1,2568 1,3756
0,75 1
1,0272 1,5169
0,75 1,2 0,8754 1,6424
0,75 1,4 0,7674 1,7562
0,75 1,6 0,6868 1,8608
0,75 1,8 0,6242 1,9580
0,75 2
0,5743 2,0490
1
0,1 12,9995 0,5783
1
0,2 5,8423 0,7953
1
0,3 3,7865 0,9550
1
0,4 2,8109 1,0861
1
0,6 1,8680 1,3000
1
0,8 1,4083 1,4756
1
1
1,1360 1,6272
1
1,2 0,9561 1,7621
1
1,4 0,8282 1,8846
1
1,6 0,7327 1,9973
1
1,8 0,6587 2,1021
1
2
0,5996 2,2004
182
controlador PID Método Méndez Ms = 1, 8
Td
β
Ms
FI
0,2525 0,4917 1,7959 0,8470
0,3501 0,5367 1,8437 0,2953
0,4219 0,5795 1,8749 0,3499
0,4809 0,6199 1,8893 0,3856
0,5770 0,6940 1,8841 0,4177
0,6558 0,7590 1,8548 0,4202
0,7238 0,8148 1,8160 0,4066
0,7844 0,8616 1,7743 0,3853
0,8393 0,8993 1,7337 0,3617
0,8899 0,9278 1,6946 0,3399
0,9369 0,9473 1,6584 0,3176
0,9810 0,9577 1,6256 0,2964
0,2697 0,5137 1,8017 0,8431
0,3793 0,5495 1,8518 0,2852
0,4589 0,5839 1,8831 0,3420
0,5237 0,6169 1,8993 0,3775
0,6287 0,6785 1,8922 0,4115
0,7141 0,7343 1,8597 0,4130
0,7875 0,7844 1,8165 0,3982
0,8525 0,8287 1,7704 0,3762
0,9112 0,8673 1,7245 0,3517
0,9651 0,9002 1,6816 0,3280
1,0151 0,9273 1,6417 0,3048
1,0618 0,9486 1,6052 0,2833
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.35: Valores de los
a
τo
Ju1r
0
0,1 0,2787
0
0,2 0,4727
0
0,3 0,6411
0
0,4 0,7892
0
0,6 1,0481
0
0,8 1,2806
0
1 1,5030
0
1,2 1,7430
0
1,4 2,0230
0
1,6 2,3228
0
1,8 2,6279
0
2 2,9356
0,25 0,1 0,4222
0,25 0,2 0,6620
0,25 0,3 0,8396
0,25 0,4 0,9875
0,25 0,6 1,2408
0,25 0,8 1,4711
0,25 1 1,6987
0,25 1,2 1,9877
0,25 1,4 2,2920
0,25 1,6 2,5936
0,25 1,8 2,8909
0,25 2 3,1837
0,5 0,1 0,5130
0,5 0,2 0,7630
0,5 0,3 0,9436
0,5 0,4 1,0994
0,5 0,6 1,3686
0,5 0,8 1,6073
0,5
1 1,8411
0,5 1,2 2,1425
0,5 1,4 2,5096
0,5 1,6 2,8743
0,5 1,8 3,2360
0,5
2 3,5939
desempeños medidos para
Ju2r
IAEr
Ju1s
0,1188 0,0417 2,5419
0,0630 0,1359 2,3283
0,0427 0,2575 2,2224
0,0324 0,3940 2,1362
0,0223 0,6882 1,9933
0,0174 0,9941 1,8879
0,0145 1,3049 1,8212
0,0127 1,6186 1,7793
0,0114 1,9342 1,7546
0,0105 2,2508 1,7432
0,0099 2,5675 1,7451
0,0094 2,8830 1,7609
0,0295 0,0851 2,7995
0,0165 0,2382 2,4783
0,0117 0,4068 2,2959
0,0091 0,5794 2,1729
0,0065 0,9231 2,0006
0,0052 1,2593 1,8975
0,0044 1,5880 1,8359
0,0039 1,9096 1,8001
0,0035 2,2248 1,7817
0,0033 2,5341 1,7762
0,0031 2,8375 1,7830
0,0030 3,1354 1,8019
0,0284 0,0800 3,9686
0,0163 0,2318 3,1638
0,0116 0,4033 2,7566
0,0089 0,5825 2,5082
0,0061 0,9490 2,2542
0,0046 1,3194 2,0919
0,0037 1,6924 1,9803
0,0031 2,0663 1,9005
0,0026 2,4391 1,8455
0,0023 2,8097 1,8132
0,0021 3,1779 1,7994
0,0019 3,5425 1,7997
183
Método Méndez Ms = 1, 8
Ju2s
IAEs
15,2754 0,3030
4,6496 0,5458
2,5316 0,7677
1,7204 0,9702
1,0677 1,3332
0,7956 1,6593
0,6454 1,9628
0,5473 2,2523
0,4750 2,5331
0,4172 2,8089
0,3676 3,0833
0,3236 3,3600
12,4159 0,5513
3,5999 0,8776
1,9815 1,1275
1,3765 1,3381
0,8963 1,6961
0,6979 2,0096
0,5876 2,3008
0,5141 2,5797
0,4577 2,8523
0,4102 3,1217
0,3671 3,3908
0,3262 3,6623
21,6669 0,6721
5,7165 1,0374
2,9288 1,3122
1,9147 1,5436
1,1263 1,9353
0,8085 2,2722
0,6377 2,5782
0,5290 2,8659
0,4514 3,1438
0,3914 3,4174
0,3420 3,6919
0,2996 3,9734
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.36: Valores de los
a
τo
Ju1r
0,75 0,1 0,5770
0,75 0,2 0,8386
0,75 0,3 1,0240
0,75 0,4 1,1857
0,75 0,6 1,4710
0,75 0,8 1,7219
0,75 1 1,9620
0,75 1,2 2,2338
0,75 1,4 2,6323
0,75 1,6 3,0331
0,75 1,8 3,4332
0,75 2 3,8323
1
0,1 0,6070
1
0,2 0,8964
1
0,3 1,0978
1
0,4 1,2700
1
0,6 1,5756
1
0,8 1,8430
1
1 2,0905
1
1,2 2,3414
1
1,4 2,6915
1
1,6 3,1185
1
1,8 3,5504
1
2 3,9859
desempeños medidos para
Ju2r
IAEr
Ju1s
0,0271 0,0728 4,9619
0,0156 0,2210 3,7578
0,0111 0,3931 3,2013
0,0086 0,5765 2,8623
0,0058 0,9580 2,5122
0,0043 1,3483 2,3134
0,0034 1,7450 2,1636
0,0028 2,1466 2,0494
0,0024 2,5518 1,9618
0,0020 2,9587 1,9002
0,0018 3,3668 1,8605
0,0016 3,7753 1,8368
0,0267 0,0642 6,0353
0,0155 0,2029 4,5181
0,0111 0,3690 3,8139
0,0086 0,5500 3,3815
0,0058 0,9343 2,8746
0,0043 1,3339 2,6231
0,0033 1,7438 2,4244
0,0027 2,1630 2,2691
0,0022 2,5910 2,1447
0,0019 3,0262 2,0482
0,0016 3,4675 1,9778
0,0014 3,9151 1,9257
184
Método Méndez Ms = 1, 8
Ju2s
IAEs
29,3055 0,7204
7,2488 1,1298
3,6077 1,4357
2,3082 1,6918
1,3129 2,1209
0,9160 2,4845
0,7044 2,8090
0,5716 3,1095
0,4783 3,3961
0,4076 3,6768
0,3509 3,9590
0,3036 4,2527
46,0497 0,7410
10,5169 1,1877
4,9622 1,5227
3,0430 1,8033
1,6200 2,2724
1,0764 2,6666
0,7983 3,0147
0,6306 3,3327
0,5180 3,6319
0,4366 3,9215
0,3744 4,2098
0,3245 4,5072
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.37: Parámetros óptimos de
a
τo
Kc
Ti
0
0,1 3,9879 0,3015
0
0,2 2,1715 0,4432
0
0,3 1,5341 0,5560
0
0,4 1,2092 0,6533
0
0,6 0,8799 0,8205
0
0,8 0,7136 0,9648
0
1 0,6132 1,0941
0
1,2 0,5461 1,2127
0
1,4 0,4981 1,3229
0
1,6 0,4620 1,4266
0
1,8 0,4339 1,5248
0
2 0,4114 1,6184
0,25 0,1 3,9602 0,5598
0,25 0,2 2,0858 0,6936
0,25 0,3 1,4567 0,7990
0,25 0,4 1,1413 0,8893
0,25 0,6 0,8253 1,0434
0,25 0,8 0,6672 1,1754
0,25 1 0,5722 1,2932
0,25 1,2 0,5088 1,4007
0,25 1,4 0,4636 1,5004
0,25 1,6 0,4296 1,5938
0,25 1,8 0,4032 1,6821
0,25 2 0,3821 1,7660
0,5 0,1 3,9760 0,6446
0,5 0,2 2,1773 0,7840
0,5 0,3 1,5401 0,8942
0,5 0,4 1,2139 0,9889
0,5 0,6 0,8825 1,1510
0,5 0,8 0,7149 1,2903
0,5
1 0,6136 1,4148
0,5 1,2 0,5458 1,5286
0,5 1,4 0,4973 1,6343
0,5 1,6 0,4608 1,7334
0,5 1,8 0,4324 1,8272
0,5
2 0,4096 1,9165
controlador PID
Td
β
0,0607 0,7541
0,1018 0,8185
0,1408 0,8782
0,1785 0,9333
0,2512 1,0295
0,3215 1,1070
0,3900 1,1659
0,4571 1,2061
0,5231 1,2277
0,5882 1,2306
0,6524 1,2148
0,7159 1,1804
0,1639 0,6470
0,2160 0,7487
0,2615 0,8422
0,3032 0,9274
0,3793 1,0729
0,4490 1,1853
0,5143 1,2645
0,5763 1,3106
0,6357 1,3235
0,6930 1,3033
0,7484 1,2499
0,8023 1,1633
0,2387 0,5867
0,3103 0,6848
0,3671 0,7751
0,4161 0,8577
0,5001 0,9996
0,5725 1,1104
0,6374 1,1903
0,6968 1,2391
0,7520 1,2568
0,8039 1,2436
0,8530 1,1993
0,8998 1,1240
Método
Ms
1,4151
1,3879
1,3839
1,3853
1,3918
1,3981
1,4037
1,4078
1,4120
1,4144
1,4164
1,4339
1,4023
1,4073
1,4108
1,4125
1,4126
1,4108
1,4078
1,4042
1,4007
1,3967
1,3924
1,3882
1,4006
1,3696
1,3783
1,3911
1,4076
1,4164
1,4207
1,4218
1,4208
1,4185
1,4149
1,4111
185
Méndez Ms = 1, 4
FI
0,1876
0,1614
0,1531
0,1501
0,1507
0,1551
0,1602
0,1659
0,1705
0,1754
0,1990
0,2154
0,2741
0,2546
0,1395
0,1496
0,1606
0,1657
0,1688
0,1703
0,1706
0,1705
0,1513
0,1689
0,4397
0,3478
0,1248
0,1398
0,1590
0,1704
0,1768
0,1802
0,1823
0,1822
0,1816
0,1796
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.38: Parámetros óptimos de
a
τo
Kc
Ti
0,75 0,1 4,1890 0,8030
0,75 0,2 2,3785 0,9236
0,75 0,3 1,6996 1,0246
0,75 0,4 1,3440 1,1147
0,75 0,6 0,9769 1,2745
0,75 0,8 0,7889 1,4170
0,75 1 0,6747 1,5478
0,75 1,2 0,5979 1,6700
0,75 1,4 0,5427 1,7855
0,75 1,6 0,5011 1,8955
0,75 1,8 0,4687 2,0010
0,75 2 0,4427 2,1026
1
0,1 4,6882 0,8466
1
0,2 2,6548 0,9979
1
0,3 1,8935 1,1181
1
0,4 1,4949 1,2218
1
0,6 1,0837 1,3999
1
0,8 0,8732 1,5535
1
1 0,7452 1,6911
1
1,2 0,6592 1,8172
1
1,4 0,5975 1,9344
1
1,6 0,5510 2,0446
1
1,8 0,5147 2,1490
1
2 0,4856 2,2484
controlador PID
Td
β
0,2748 0,5836
0,3597 0,6641
0,4253 0,7388
0,4809 0,8076
0,5746 0,9274
0,6540 1,0238
0,7242 1,0966
0,7878 1,1458
0,8465 1,1715
0,9012 1,1736
0,9527 1,1522
1,0015 1,1073
0,3177 0,5618
0,4112 0,6361
0,4819 0,7048
0,5410 0,7678
0,6392 0,8768
0,7212 0,9630
0,7930 1,0265
0,8576 1,0673
0,9167 1,0853
0,9715 1,0805
1,0228 1,0531
1,0711 1,0029
Método
Ms
1,3945
1,3693
1,3626
1,3772
1,4000
1,4149
1,4242
1,4294
1,4320
1,4324
1,4317
1,4297
1,3954
1,3645
1,3561
1,3719
1,3979
1,4156
1,4275
1,4354
1,4406
1,4434
1,4443
1,4441
186
Méndez Ms = 1, 4
FI
0,4138
0,3790
0,3472
0,1265
0,1505
0,1656
0,1755
0,1825
0,1870
0,1895
0,1904
0,1904
0,5063
0,3913
0,3587
0,1263
0,1492
0,1646
0,1755
0,1834
0,1881
0,1917
0,1942
0,1950
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.39: Valores de los desempeños medidos para
a
τo
Ju1r
Ju2r
IAEr
Ju1s
0
0,1 0,3394 0,0460 0,0990 2,3312
0
0,2 0,5827 0,0240 0,2684 2,2410
0
0,3 0,7820 0,0165 0,4628 2,1218
0
0,4 0,9585 0,0127 0,6655 2,0038
0
0,6 1,2889 0,0089 1,0755 1,7986
0
0,8 1,6240 0,0072 1,4845 1,6603
0
1 1,9785 0,0061 1,8937 1,5662
0
1,2 2,3537 0,0055 2,3046 1,4993
0
1,4 2,7454 0,0051 2,7173 1,4515
0
1,6 3,1480 0,0048 3,1314 1,4784
0
1,8 3,5551 0,0046 3,5445 1,5960
0
2 3,9620 0,0044 3,9551 1,7740
0,25 0,1 0,4967 0,0136 0,1752 2,4344
0,25 0,2 0,7446 0,0078 0,4148 2,2153
0,25 0,3 0,9455 0,0055 0,6629 2,0582
0,25 0,4 1,1373 0,0043 0,9096 1,9303
0,25 0,6 1,5318 0,0030 1,3933 1,7356
0,25 0,8 1,9460 0,0024 1,8672 1,6092
0,25 1 2,3786 0,0020 2,3367 1,5160
0,25 1,2 2,8260 0,0018 2,8039 1,4424
0,25 1,4 3,2798 0,0016 3,2677 1,4227
0,25 1,6 3,7347 0,0015 3,7279 1,5611
0,25 1,8 4,1859 0,0014 4,1816 1,7882
0,25 2 4,6301 0,0013 4,6268 2,1145
0,5 0,1 0,6844 0,0108 0,2311 3,0251
0,5 0,2 0,9309 0,0066 0,4987 2,5900
0,5 0,3 1,1233 0,0048 0,7621 2,3353
0,5 0,4 1,3035 0,0038 1,0173 2,1571
0,5 0,6 1,6799 0,0027 1,5077 1,9160
0,5 0,8 2,0862 0,0021 1,9809 1,7655
0,5
1 2,5088 0,0018 2,4452 1,6566
0,5 1,2 2,9410 0,0015 2,9042 1,5705
0,5 1,4 3,3807 0,0014 3,3594 1,5012
0,5 1,6 3,8241 0,0013 3,8109 1,5573
0,5 1,8 4,2658 0,0012 4,2574 1,7633
0,5
2 4,7040 0,0011 4,6985 2,0415
Método
Ju2s
9,4311
3,2383
1,8481
1,2921
0,8293
0,6295
0,5150
0,4369
0,3764
0,3253
0,2796
0,2373
6,6594
2,4616
1,5157
1,1266
0,7873
0,6276
0,5251
0,4459
0,3775
0,3144
0,2548
0,1983
5,5150
2,2433
1,4347
1,0900
0,7813
0,6322
0,5350
0,4586
0,3916
0,3292
0,2697
0,2126
187
Méndez Ms = 1, 4
IAEs
0,4053
0,6984
0,9374
1,1410
1,4873
1,7916
2,0792
2,3659
2,6656
2,9908
3,3486
3,7449
0,6668
1,0001
1,2474
1,4508
1,7900
2,0867
2,3712
2,6669
2,9949
3,3729
3,8200
4,3595
0,9375
1,3045
1,5627
1,7700
2,1097
2,4016
2,6755
2,9523
3,2563
3,6100
4,0270
4,5240
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.40: Valores de los desempeños medidos para
a
τo
Ju1r
Ju2r
IAEr
Ju1s
0,75 0,1 0,7810 0,0090 0,2604 3,3242
0,75 0,2 1,0408 0,0058 0,5348 2,8785
0,75 0,3 1,2422 0,0044 0,8044 2,6021
0,75 0,4 1,4239 0,0035 1,0640 2,4020
0,75 0,6 1,7856 0,0025 1,5585 2,1195
0,75 0,8 2,1756 0,0020 2,0322 1,9382
0,75 1 2,5886 0,0017 2,4953 1,8063
0,75 1,2 3,0138 0,0015 2,9540 1,7014
0,75 1,4 3,4480 0,0013 3,4117 1,6147
0,75 1,6 3,8917 0,0012 3,8700 1,5646
0,75 1,8 4,3425 0,0011 4,3288 1,7298
0,75 2 4,7965 0,0010 4,7876 1,9702
1
0,1 0,8669 0,0087 0,2591 3,9401
1
0,2 1,1360 0,0056 0,5369 3,3170
1
0,3 1,3398 0,0042 0,8114 2,9527
1
0,4 1,5208 0,0034 1,0763 2,7009
1
0,6 1,8735 0,0025 1,5796 2,3538
1
0,8 2,2496 0,0020 2,0575 2,1303
1
1 2,6500 0,0017 2,5196 1,9712
1
1,2 3,0620 0,0014 2,9714 1,8484
1
1,4 3,4780 0,0013 3,4155 1,7506
1
1,6 3,8962 0,0012 3,8543 1,6741
1
1,8 4,3161 0,0011 4,2885 1,7250
1
2 4,7369 0,0010 4,7181 1,9641
Método
Ju2s
6,0384
2,5142
1,5864
1,1842
0,8240
0,6544
0,5490
0,4705
0,4052
0,3467
0,2924
0,2409
7,0100
2,8734
1,7916
1,3239
0,9062
0,7093
0,5868
0,4963
0,4215
0,3553
0,2945
0,2378
188
Méndez Ms = 1, 4
IAEs
1,0575
1,4668
1,7566
1,9861
2,3545
2,6630
2,9453
3,2217
3,5134
3,8449
4,2322
4,6843
1,1858
1,6213
1,9273
2,1689
2,5553
2,8779
3,1720
3,4576
3,7530
4,0806
4,4618
4,9083
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
D.6.
Controlador PI, método de Méndez
Cuadro D.41:
Ms
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
1,8
Parámetros óptimos de controlador PI Método Méndez a = 0
τo
Kc
Ti
β
Ms medido
FI
0,1 9,0795 0,3807 0,4527
3,2460
0,2142
0,2 4,6091 0,6407 0,4923
3,1194
0,8587
0,3 3,117 0,814 0,5304
3,0276
0,8804
0,4 2,3705 0,9476 0,5672
2,9297
0,8809
0,6 1,6238 1,1521 0,6365
2,7378
0,8358
0,8 1,2504 1,3097 0,7003
2,5681
0,7694
1 1,0263 1,4396 0,7584
2,4256
0,7047
1,2 0,8769 1,551 0,8109
2,3079
0,6483
1,4 0,7702 1,6491 0,8578
2,2108
0,6015
1,6 0,6901 1,737 0,8991
2,1298
0,5634
1,8 0,6279 1,8169 0,9348
2,0631
0,5323
2
0,578 1,8903 0,9649
2,0063
0,5070
0,1 5,0194 0,3823 0,623
1,7715
0,2223
0,2 2,7427 0,6435 0,6816
1,7972
0,2454
0,3 1,9381 0,8177 0,7364
1,8115
0,2665
0,4 1,5267 0,952 0,7875
1,8178
0,2825
0,6 1,109 1,1579 0,8784
1,8205
0,3043
0,8 0,8978 1,3166 0,9541
1,8184
0,3188
1 0,7702 1,4475 1,0148
1,8150
0,3298
1,2 0,6849 1,5598 1,0604
1,8116
0,3393
1,4 0,6238 1,6587 1,0909
1,8091
0,3481
1,6 0,5778 1,7474 1,1064
1,8070
0,3565
1,8 0,5421 1,828 1,1067
1,8060
0,3654
2 0,5134 1,9021 1,092
1,8056
0,3730
189
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.42:
Ms
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
1,4
Parámetros óptimos de controlador PI Método Méndez a = 0
τo
Kc
Ti
β
Ms medido
FI
0,1 2,2888 0,4009 0,6988
1,3405
0,1238
0,2 1,5276 0,65 0,8083
1,3803
0,1236
0,3 1,1614 0,8197 0,9124
1,4073
0,1417
0,4 0,9461 0,9523 1,0109
1,4195
0,1483
0,6 0,704 1,1583 1,1916
1,4240
0,1542
0,8 0,5713 1,3194 1,3502
1,4186
0,1554
1 0,4875 1,4535 1,4869
1,4103
0,1551
1,2 0,4297 1,5695 1,6016
1,4014
0,1540
1,4 0,3875 1,6723 1,6943
1,3929
0,1531
1,6 0,3554 1,7649 1,765
1,3852
0,1525
1,8 0,33 1,8496 1,8137
1,3782
0,1520
2 0,3095 1,9278 1,8405
1,3720
0,1519
190
APÉNDICE D. CONTROLADORES CON COSTO DE CONTROL ÓPTIMO
Cuadro D.43: Valores de los desempeños medidos para Método Méndez a = 0
Ms τ o
Ju1r
Ju2r
IAEr
Ju1s
Ju2s
IAEs
0 0,1 0,3421 0,0932 0,0423 2,5153 18,7166 0,2612
0 0,2 0,6291 0,0431 0,1433 2,4618 5,4125 0,5007
0 0,3 0,8885 0,0272 0,2792 2,4355 2,8250 0,7274
0 0,4 1,1183 0,0192 0,4378 2,3945 1,8523 0,9446
0 0,6 1,5079 0,0114 0,7889 2,2802 1,0848 1,3476
0 0,8 1,8363 0,0077 1,1550 2,1631 0,7753 1,7131
0
1 2,1319 0,0057 1,5204 2,0771 0,6110 2,0500
0 1,2 2,4122 0,0044 1,8810 2,0176 0,5092 2,3670
0 1,4 2,6876 0,0035 2,2369 1,9803 0,4391 2,6705
0 1,6 2,9642 0,0029 2,5898 1,9614 0,3870 2,9656
0 1,8 3,2461 0,0025 2,9417 1,9592 0,3462 3,2563
0
2 3,5349 0,0021 3,2950 1,9708 0,3124 3,5455
1,8 0,1 0,3141 0,0301 0,0762 1,9882 10,0959 0,2679
1,8 0,2 0,5219 0,0152 0,2346 1,8454 3,5518 0,4734
1,8 0,3 0,6943 0,0101 0,4219 1,7732 2,0599 0,6742
1,8 0,4 0,8628 0,0076 0,6236 1,7164 1,4581 0,8669
1,8 0,6 1,2076 0,0050 1,0441 1,6284 0,9548 1,2340
1,8 0,8 1,5666 0,0038 1,4665 1,5891 0,7374 1,5836
1,8 1 1,9321 0,0031 1,8794 1,5884 0,6135 1,9206
1,8 1,2 2,2992 0,0026 2,2774 1,6105 0,5295 2,2488
1,8 1,4 2,6644 0,0023 2,6590 1,6473 0,4647 2,5719
1,8 1,6 3,0267 0,0020 3,0242 1,6954 0,4101 2,8938
1,8 1,8 3,3745 0,0018 3,3721 1,7546 0,3611 3,2185
1,8 2 3,7072 0,0017 3,7049 1,8263 0,3154 3,5524
1,4 0,1 0,4872 0,0114 0,2046 1,9688 2,5992 0,4957
1,4 0,2 0,6740 0,0067 0,4416 1,6923 1,5369 0,6951
1,4 0,3 0,8528 0,0047 0,7086 1,5328 1,1291 0,8721
1,4 0,4 1,0427 0,0036 1,0066 1,4067 0,9187 1,0351
1,4 0,6 1,6478 0,0024 1,6453 1,2615 0,7058 1,4234
1,4 0,8 2,3120 0,0018 2,3095 1,2727 0,5964 1,8474
1,4 1 2,9840 0,0014 2,9815 1,3665 0,5264 2,2738
1,4 1,2 3,6548 0,0012 3,6525 1,5206 0,4744 2,7083
1,4 1,4 4,3165 0,0010 4,3156 1,7546 0,4317 3,1545
1,4 1,6 4,9629 0,0009 4,9660 2,0146 0,3940 3,6158
1,4 1,8 5,5928 0,0008 5,6048 2,2954 0,3587 4,0998
1,4 2 6,2003 0,0007 6,2288 2,5978 0,3249 4,6084
191