Predictor de Smith

Predictor de Smith
Uno de los principales problemas de los controladores clásicos,
como es el PID, es su comportamiento frente a plantas con un retardo
considerable. Este retardo se puede deber a una distancia física entre el
proceso y el lugar de medición de la variable, una demora en los actuadores
o cualquier otra causa. En general, la forma de solucionar este efecto es
reducir la ganancia del controlador a los fines de poder esperar el resultado
de la actuación luego del retardo. Si ajustamos un regulador para una planta
con y si retardo los parámetros serán completamente distintos. Es obvio
que el comportamiento a lazo cerrado del proceso sin retardo será superior
al de la planta equivalente con retardo. De aquí la principal idea que surge:
¿Será posible diseñar un regulador de modo tal que la planta con retardo
tenga el mismo comportamiento que si no lo tuviera?. La respuesta es
afirmativa con la salvedad que no es posible compensar el retardo ya que es
intrínseco al proceso pero sí se puede compensar su efecto sobre la
realimentación. La idea está basada en que, al conocer el retardo, es posible
saber qué es lo que sucederá luego del mismo, es decir podemos predecir el
comportamiento del proceso. El método lleva el nombre del primero en
plantearlo, el Predictor de Smith. Veamos como hacer esto.
En la Figura 1 mostramos un lazo genérico de control de una planta
con retardo en donde se realimenta la salida afectada por la demora. Esto
ocasiona un efecto degradante en el comportamiento en lazo cerrado.
r = Ref erencia
+
y = Salida
u = Actuación
Regulador
G(s) + Retardo
-
Figura 1 – Lazo Genérico de Control de Planta con Retardo
1
Sería totalmente distinta la conclusión que obtendríamos si
pudiéramos hacer lo que muestra la Figura 2, o su equivalente discreto la
Figura 3, en donde se separa el retardo del resto de la dinámica.
u = Actuación
r = Ref erencia
y = Salida
Regulador
+
G(s)
Retardo
-
Figura 2 – Misma planta separando el retardo
u = Actuación
r = Ref erencia
y = Salida
Regulador
+
G(z)
z-d
-
Figura 3 – Planta vista como un modelo discreto
En este caso podríamos ajustar el regulador como si la planta no
tuviera retardo, elemento que se sumaría a posteriori sin afectar la
realimentación. Desafortunadamente, el punto elegido para realimentación
es inaccesible pero lo que sí podemos hacer es predecir el valor de la salida
previa al retardo. Esto se consigue realimentando la salida del regulador
como muestra la Figura 4. Notemos que el regulador es el obtenido al ajustar
el lazo de la planta sin retardo.
2
R'
r = Ref erencia
+
-
-
+
Regulador
calculado
sin
Retardo
y = Salida
u = Actuación
G(z) z-d
G(z) z-d
G(z)
Figura 4 – Predicción de salida y realimentación
Ahora demostraremos que el esquema de la Figura 4 es equivalente
a tener una realimentación como la de la Figura 3.
Para esto recordemos que la función de transferencia en lazo
cerrado del sistema sin retardo es de la forma,
M sr ( z ) =
G( z )
1  R( z ) G ( z )
[1]
al agregarle el retardo, resulta:
-d
G( z)
z
M ( z) =
d
1 + z R( z ) G ( z )
[2]
Donde vemos que los polos o la dinámica varía al estar el retardo
en el denominador. Si definimos el nuevo regulador R' como el recuadro
de la Figura 4 y operamos con álgebra de bloques, su función de
transferencia resulta:
R( z ) =
R( z )
1  (1  z d ) R( z )G( z )
[3]
3
Aquí R continúa siendo el regulador calculado para la planta sin
retardo. Con este nuevo regulador R' la función de transferencia a lazo
cerrado será:
-d
z G ( z ) R( z )
-d
G ( z ) R( z )
1  (1  z d ) R( z )G ( z )
M ( z ) = z -d
=
[4]
-d
G ( z ) R( z )
1 + z R( z )G ( z )
z
1+
1  (1  z d ) R( z )G ( z )
operando algebraicamente obtenemos,
-d
G ( z ) R( z )
M ( z ) = z d
= z d M sr ( z )
1  z R( z )G( z )
[5]
Esto significa que la nueva función de transferencia es exactamente
igual a la que obtendríamos si la planta no tuviera retardo, más es retardo
que inevitablemente aparece. Con lo que hemos obtenido lo que nos
proponíamos que era lograr diseñar un regulador para una planta sin retardo
y que mantenga su comportamiento al incluir el retardo.
Otra forma de verlo sería volver a la Figura 4 y observar que el
d
término z G(z) , que es la salida de la planta, se suma y se resta en la
entrada del regulador por lo que se podría cancelar y el sistema quedaría
como la siguiente figura
R'
r = Ref erencia
-
+
Regulador
calculado
sin
Retardo
G(z)
4
y = Salida
u = Actuación
G(z) z-d
Figura 5 – Regulador sin realimentación
Lo que implica que el regulador está actuando sobre la planta sin
retardo como era nuestra idea inicial. Obviamente esto no es posible
hacer ya que no estamos considerando ninguna perturbación ni ninguna
inexactitud en el modelo, de ahí la imprescindibilidad de la
realimentación.
Si observamos nuevamente la forma que tiene el nuevo conjunto
regulador-predictor vemos que es un tanto complicado implementarlo en
forma analógica, principalmente por el retardo. Es por ello que se hace
conveniente sintetizarlo en su versión discreta o digital. Otra nota
característica es que el correcto funcionamiento de este predictor está
basado en el conocimiento del modelo de la planta y el retardo. Cualquier
imprecisión en el modelo podría llevar a resultados no deseados. Esto lo
analizaremos en el ejemplo siguiente.
Presentamos a continuación un ejemplo clásico de aplicación de
este predictor: se pretende controlar el peso de material sobre una cinta
transportadora. La fuente es una tolva que vierte material pudiéndose
regular su cantidad mediante una válvula proporcional. El peso es medido
sobre la cinta con una celda de carga ubicada a una distancia determinada
de la tolva. Es decir, existe un retardo en la medición dado por la distancia
sensor-tolva y la velocidad de la cinta. En la siguiente figura se muestra un
esquema del sistema.
5
Tolva
Medición de peso
Cinta
transportadora
Figura 6 – Control de Peso sobre una Cinta Transportadora
Considerando las diferentes dinámicas del conjunto y haciendo
algunas aproximaciones podríamos considerar la planta como de tercer
orden más el retardo de medición. Supongamos también que queremos
controlar el sistema con un PID clásico el cual genera una tensión para abrir
o cerrar la válvula de paso de material en función del peso leído por la
celda.
Un simulador de este proceso es el de la Figura 7 y su respuesta a un
escalón de variación en el peso deseado sobre la cinta se observa en la
Figura 8. A pesar de que el escalón está aplicado en el instante cero, recién
se ve la variación del peso luego del retardo que es de 1 segundo.
PID
Step1
Subsystem2
6
10
(s+4)(s+2)(s+.1)
Zero-Pole2
Transport
Delay
Scope1
Figura 7 – Control de Peso sobre una cinta Transportadora con Retardo en la medición y
controlada por un PID
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figura 8 – Variación del Peso en la Cinta con Retardo debida a un Escalón
Si el sensor de peso estuviera exactamente debajo de la tolva, el
retardo no existiría y el diagrama de bloques sería el de la Figura 9 y, si
usáramos el mismo PID obtendríamos una respuesta como la de la Figura
10. En este caso se pudo aumentar la ganancia del regulador sin que haya
sobrepicos.
PID
Step
10
(s+4)(s+2)(s+.1)
Subsystem
Scope1
Zero-Pole
Figura 9 – Planta sin Retardo controlada por el mismo PID
7
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figura 10 – Salida de la Planta sin Retardo
Veremos que una respuesta similar se puede obtener agregando a la
planta con retardo el predictor de Smith. El diagrama del nuevo regulador
se ve en la Figura 11 y la salida es la de la Figura 12. En este caso el ajuste del
PID es el mismo que en el caso de la planta sin retardo.
8
10
PID
Step2
(s+4)(s+2)(s+.1)
Subsystem3
Zero-Pole3
Transport
Delay1
Scope1
10
(s+4)(s+2)(s+.1)
Zero-Pole4
Transport
Delay2
10
(s+4)(s+2)(s+.1)
Zero-Pole5
Sum
Figura 11 – Planta con Retardo controlada por un PID más el Predictor de Smith
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figura 12 – Salida de la planta con Retardo y Predictor de Smith
El ajuste del PID para el primer caso y para el predictor de Smith es
el mismo y tiene los siguientes parámetros: kp=1, Ti=15 y kd=0.36. El
9
ajuste para la planta con retardo se hizo para kp=0.5, Ti=10 y kd=0.5. El
retardo se fijó en 1 segundo. Podemos observar que la respuesta del sistema
sin retardo es idéntica a la obtenida con el predictor de Smith excepto el
retardo. También podemos ver lo degradada de la respuesta al incluir el
retardo en la planta sin compensarlo.
La última simulación es a modo de recordatorio acerca de la
importancia del conocimiento del modelo de la planta. Como todo
predictor el de Smith basa su eficacia en la exactitud del modelo. Se
muestran dos casos en los que se considera un retardo menor y otro mayor
al real: vemos que se ve afectada su eficacia pero en este ejemplo, a pesar
de ser un error exagerado del 50% en el retardo, aún sigue manteniendo la
estabilidad.
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figura 13 – Simulación de la Planta anterior con un Retardo real de 1seg y considerando
un retardo de 1,5segs en el Regulador con Predictor
10
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
Figura 14 – Simulación de la Planta anterior con un Retardo real de 1seg y considerando
un retardo de 0,5segs en el Regulador con Predictor
De este modo queda presentada una forma práctica de corregir los
efectos de un retardo en la planta, siempre perjudicial para el
comportamiento de un PID clásico. Este predictor brinda una rápida e
intuitiva solución a dicho problema preservando las características del
PID en cuanto a sencillez y robustez.
11