El problema consumidor

Teoría del Consumidor
El Problema del Consumidor
Preferencias y funciones de utilidad
• Los axiomas A1, A2 y A4 implican que existe
una función de utilidad continua u: ℜ2+ → ℜ que
representa las preferencias del consumidor.
• El axioma A3 implica que la función u(x,y) es no
decreciente en x y no decreciente en y; además
es creciente en (x,y).
• El axioma A5 implica que u es cóncava.
Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios y sustitutivos
imperfectos.
y
u(x,y)=xαyβ
x
Ejemplos
Los bienes x e y son sustitutivos perfectos
y
u(x,y)=αx+βy
x
Ejemplos
Los bienes x e y son complementarios perfectos.
y
u(x,y)=min{αx,βy}
x
Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Definimos la RMS(x,y) como el valor absoluto de la
pendiente de la recta tangente a la curva de indiferencia en
el punto (x,y).
y
RMS(x,y) = 1/2
x
Relación Marginal de Sustitución (RMS)
Conceptualmente, la RMS(x,y) es la cantidad de
bien y que hay que dar al consumidor para
compensarle por renunciar a consumir una unidad
(infinitesimal) de x, de manera que el consumidor
mantenga el bienestar que tiene cuando consume
la cesta (x,y).
Es decir, la RMS(x,y) es el valor que el consumidor
que tiene la cesta (x,y) atribuye a una unidad
(infinitesimal) del bien x, expresado en unidades
del bien y.
Ejemplos
1. u(x,y) = xy
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos xy =
u* el nivel de utilidad
u* = xy → y =f(x) = u*/x.
Por tanto,
f’(x) = -u*/x2.
Sustituyendo u*=xy obtenemos
RMS(x,y) = |-xy/x2| = y/x.
Si evaluamos la RMS en la cesta (2,1), tenemos
RMS(2,1) = 1/2.
Ejemplos
y
RMS = |pte| = 1/2
x
Ejemplos
2. u(x,y) = 2x + y
Sea (x,y) una cesta de bienes cualquiera; denotemos
el nivel de utilidad como 2x + y = u*
u* = 2x + y → y = f(x) = u* - 2x.
Por tanto,
RMS(x,y) = |f’(x)| = 2.
En este caso la RMS es una constante.
Ejemplos
3. Los bienes x e y son sustitutivos perfectos
y
4
2
0
1
2
x
Ejemplos
3. u(x,y) = min{x,2y}
La función de utilidad no es derivable en los
puntos (x,y) tales que x ≤ 2y. Para estos
puntos la RMS no está definida.
En los puntos (x,y) tales que x > 2y, tenemos
RMS(x,y)=0.
Ejemplos
3. RMS(x,y) = 0 si y < x/2 y RMS(x,y) está indefinida si y ≥
x/2.
y
u(x,y)=min{x,2y}
y = x/2
x
La RMS como ratio de utilidades marginales
Podemos encontrar una fórmula para calcular la RMS(x,y)
sin necesidad de obtener la función y = f(x) que define la curva
de indiferencia.
Para calcular RMS(x0,y0), partimos de la ecuación que define la
curva de indiferencia que pasa por el punto (x0,y0)
u(x,y) = u0,
(*)
con u(x0,y0) = u0.
El Teorema de la Función Implícita establece condiciones que
garantizan que esta ecuación define una función alrededor del
punto (x0,y0), y nos dice que en estas condiciones la derivada de
esta función se puede obtener diferenciando totalmente la
ecuación.
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La RMS como ratio de utilidades marginales
Si denotamos las derivadas parciales de u(x,y) con respecto a x
e y como ux y uy, derivando totalmente la ecuación (*)
obtenemos
dx ux + dy uy = 0.
La derivada de la función que define la ecuación (*) es
|dy/dx| = |-ux/uy |
Por tanto, podemos obtener la RMS(x0,y0) evaluando esta
expresión en (x0,y0):
RMS(x0,y0) = |-ux(x0,y0)/uy(x0,y0)|
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La RMS como ratio de utilidades marginales
Si aplicamos esta fórmula a los ejemplos 1 y 2
que hemos tratado, obtenemos:
1. u(x,y)=xy
ux= ∂U/∂x=y
uy= ∂U/∂y=x
RMS(x,y)= |- ux/uy| = y/x.
2. u(x,y)=2x+y
ux= ∂U/∂x=2
uy= ∂U/∂y=1
RMS(x,y)= |- ux/uy| = 2/1= 2 (constante).
El problema del consumidor
El consumidor elige la cesta de bienes que
maximiza su bienestar (utilidad) dentro del
conjunto de cestas de bienes factibles (conjunto
presupuestario). Es decir, el problema del
consumidor (PC) es:
Max x,y u(x,y)
s. a. xpx + ypy ≤ I
x ≥ 0, y ≥ 0.
El problema del consumidor
Solución: supongamos que (x*, y*) resuelve el PC.
1. x*px + y*py = I.
Prueba: Supongamos que
x*px + y*py = I - ∑,
donde ∑ > 0. Entonces la cesta
(x*+ ∑/2px,y*+ ∑/2px)
es factible y preferida a la cesta (x*, y*) - axioma A.3.
Esto es una contradicción.
El problema del consumidor
Solución: supongamos que la cesta (x*, y*)
resuelve el PC.
2.a. Si x*> 0 → RMS(x*,y*) ≥ px/py
2.b. Si y*> 0 → RMS(x*,y*) ≤ px/py
El problema del consumidor
y
I/py
En B, la RMS ≥ px/py. La cesta C es
preferida a la B y es factible. Por
tanto, B no es óptima.
B
C
I/px
x
El problema del consumidor
Solución interior: (x*,y*) >> (0,0)
(1) xpx + ypy = I
(2) RMS(x,y) = px/py
El problema del consumidor
Solución esquina:
Sólo se consume bien x: x*= I/px, y*= 0
(2) RMS(I/px, 0) ≥ px/py
Sólo se consume bien y: x*= 0, y*= I/py
(2) RMS(0, I/py) ≤ px/py
Ejemplos
1. u(x,y) = xy; px=1, py=2, I=80.
RMS(x,y) = y/x.
Usando (2): RMS(x,y) = px/py tenemos
y/x = 1/2 → x = 2y
Sustituyendo en (1): xpx + ypy = I tenemos
x+2y =80 → 2x=80.
Es decir,
x*= 40, y*= 20.
(No hay solución de esquina: u(x,0)=u(0,y)=0.)
Ejemplos
y
x
Ejemplos
2. u(x,y) = 2x + y; px=1, py=2, I=80.
RMS(x,y) = 2.
Solución Interior:
(1) xpx + ypy = I ⇔ x + 2y = 80
(2) RMS(x,y) = px/py ⇔ 2= 1/2 ??
No es posible satisfacer la ecuación (2).
¡No hay solución interior!
Ejemplos
Soluciones de Esquina:
y
RMS(0,40) = 2 > px/py = 1/2.
40
0
20
40
La cesta (0,40) no es una solución.
80
x
Ejemplos
Soluciones de Esquina:
y
RMS(80,0) = 2 > px/py = 1/2.
40
0
80
La cesta (80,0) es una solución.
x
Ejemplos
3. u(x,y) = min{x,2y}; px=1, py=2, I=80.
• La RMS(x,y) = 0 si y < x/2 (la curva de indiferencia es
horizontal en estos puntos).
• La RMS(x,y) no está definida si y ≥ x/2 (en estos puntos
la curva de indiferencia es vertical o tiene varias
tangentes).
El método que hemos discutido basado en la RMS no es
útil para resolver este problema.
Ejemplos
Veamos que la solución es la cesta (40,20), como sugiere
la inspección del gráfico adjunto.
y
y = x/2
40
0
40
80
x
Ejemplos
Supongamos que (x*,y*) resuelve el PC.
a.
Si y* < x*/2, como x* + 2y* = 80, tenemos
y* = (80- x*)/2 < 40- y* → y* < 20.
Por tanto, u(x*,y*)=2y* < 40 = u(40,20).
b. Si y* > x*/2, como x* + 2y* = 80, tenemos
x* = 80- 2y* < 80- x* → x* < 40.
Por tanto, u(x*,y*)=x* < 40 = u(40,20).
a.
y b. implican que (x*,y*) = (40,20).