12.3.2. Área y volumen de una Esfera 12.3.3. Huso Esférico y Cuña

En física, las ondas esféricas son ondas tridimensionales que se propagan a la misma velocidad en todas direcciones. Se llaman ondas
esféricas porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas, cuyo centro coincide con la
posición de la fuente de la perturbación en
todas las direcciones.
Un ejemplo de este tipo de ondas son las ondas sonoras que se propagan a través del aire
en reposo. Otros ejemplos de ondas esféricas
lo son las ondas luminosas y en general todo
tipo de ondas electromagnéticas.
Toda sección de la esfera correspondiente al plano que pasa por su centro recibe el nombre
de círculo máximo.
12.3.2. Área y volumen de una Esfera
Respecto a la figura (b) se verifican las siguientes relaciones:
12.3.2A. Área de la superficie esférica
El área de una superficie esférica, denotada como ASE, es igual al cuádruplo del área de un
círculo máximo.
ASE  4R2
12.3.1. Esfera y Superficie Esférica
12.3.1A. Definición
Sea «O» un punto cualquiera y sea «R» un número positivo arbitrario. Se llama esfera al cuerpo
formado por todos aquellos puntos del espacio que no distan más de «R» del punto «O».
El punto «O» se llama centro de la esfera y el número «R» se conoce como el radio de la esfera.
Ver figura (a). La frontera de la esfera se denomina superficie esférica. Los puntos de la superficie esférica son aquellos puntos de la esfera que están a una distancia igual al radio.
12.3.2B. Volumen de la Esfera
El volumen de una esfera es igual a 4/3 del área de círculo máximo multiplicado por la
longitud del radio.
VE 
4 3
R
3
12.3.3. Huso Esférico y Cuña Esférica
12.3.3A. Huso esférico
Se llama huso esférico a la superficie esférica comprendida entre
dos semiplanos secantes cuyo borde común es un diámetro.
Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medida
º, llamado amplitud, y el radio de la esfera es «R», entonces el
área del huso esférico, denotado por AHE, viene dado por:
La esfera es un sólido geométrico que se genera por la rotación de un semicírculo que gira
una vuelta completa alrededor de su diámetro, como se aprecia en la figuras (b) y (c).
AHE  R 2 
º
90º
12.3.1B. Teorema
«Toda sección de la esfera correspondiente a un plano es un círculo y el centro de este círculo
es el pie de la perpendicular trazada desde el centro de la esfera al plano secante». Fig. (a).
12.3.3B. Cuña esférica
La cuña esférica es el sólido geométrico comprendido entre dos semiplanos secantes que
tienen como borde común un mismo diámetro y el huso esférico.
798 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
799
Si los semiplanos secantes forman un ángulo diedro de medida º, y el radio de la esfera es
«R», entonces el volumen de la cuña esférica, denotado por VCE , viene dado por:
VCE  R3 
º
270º
B1. Área total
B2. Volumen
El volumen de un segmento esférico está dado por:
12.3.4. Partición de una Esfera
Un plano secante divide a la esfera en dos sólidos llamados segmentos esféricos, y a la superficie esférica en
dos porciones llamadas casquetes esféricos.
Si el plano secante es diametral, los dos casquetes y los
dos segmentos son iguales, y se llaman hemisferios.
ASEG  2Rh    a2  b2 
{Área total}  {Área de la zona}  {Área de las bases} ;
1

VSEG  h3  h  a2  b2 
6
2
12.3.4C. Casquete Esférico (CE)
Se llama casquete esférico a la parte de la superficie esférica obtenida al cortar a la esfera por
un plano que no pasa por su centro.
Si el plano secante es diametral, los casquetes obtenidos son congruentes y se denominan
casquetes semiesféricos. Si el plano secante no pasa por el centro de la esfera se obtienen un
casquete menor y un casquete mayor que un hemisferio.
Si el plano secante no es diametral se tendrán un casquete y un segmento esférico mayor y menor, respectivamente, que un hemisferio.
En ocasiones a los casquetes esféricos se les llama cascarones esféricos, cuando su interior es vacío.
12.3.4A. Zona Esférica (ZE)
Se llama zona esférica a la superficie esférica comprendida entre dos planos paralelos secantes.
Por ejemplo en la figura, ABCD es una zona esférica. Estos planos cortan a la superficie esférica
según dos círculos paralelos llamados bases de la
zona. Asimismo la distancia entre los planos paralelos es la altura de la zona.
Si «h» es la altura de la zona esférica, o del casquete, y «R» es el radio de la superficie esférica,
entonces el área AZE de un casquete o de una zona
esférica es la de la superficie lateral de un cilindro recto de igual altura y radio:
AZE  2Rh
A continuación analizamos el casquete de la Fig. (b) para determinar el área de su superficie
y el volumen del segmento esférico limitado por el casquete y el plano secante. Para ello
establecemos una relación entre el radio «R» de la esfera, la altura «h» del casquete y el radio
«a» de la base del casquete:
i) Aplicando el teorema de Pitágoras en el
R2  (R – h)2  a2

OMF de la Fig. (c):
2
2
R  a h
2h
. . . ()
ii) Área del casquete esférico (ACE ).- El valor de esta área es igual al área lateral de un cilindro
recto cuya base es un círculo de radio «R» y su altura «h» es igual al del casquete:
12.3.4B. Segmento Esférico (SEG)
Es un sólido geométrico definido como la porción
de esfera comprendida entre dos planos secantes y
paralelos, o bien, la porción de esfera comprendida
entre una zona esférica y sus bases.
Y de ():
Si a y b son los radios de las bases del segmento
esférico ABCD, «h» su altura y «R» es el radio de la
esfera, se cumple que:
Y de ():
800 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
ACE  2Rh
ACE  (a2  h2)
iii) Volumen del segmento esférico (VCE ):
VCE 
2
VCE  h (3R  h)
3
h  2
3a  h 2 
6
801
12.3.4D. Sector Esférico (SEC)
Se llama sector esférico a la porción de esfera limitada por una superficie cónica, con vértice
en el centro, y el casquete correspondiente.
Ejemplo.- Un plano «P» es tangente en el punto «M» a una esfera de centro «O». Si «R» es un
punto del plano «P», el radio de la esfera mide 3 y OR  5; calcule MR.
Por propiedad, sabemos que:
OM 
En el
P
 OM  MR
OMR aplicamos el Teorema de Pitágoras:
2
2
2
3 x 5
 x4
12.3.6. Teorema de Pappus y Guldinus
12.3.6A. Centroide (G)
El área lateral del sector esférico es el que se obtiene al sumar el área lateral de la superficie
cónica con el área del casquete.
«Es un punto característico de una figura cuya ubicación guarda relación directa con la
equidistribución de los puntos que lo conforman».
 Área total del  
 

Área de la
Área del




sector
esférico
superficie
cónica
casquete
esférico

 
 

En cuanto al volumen del sector esférico (V SEC ) este viene a ser un tercio del producto del
área del casquete correspondiente por la medida del radio.
VSEC 
1
A R
3 CE
12.3.5. Propiedades
1ra Propiedad.- Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por el
punto de contacto. Fig (a)
2da Propiedad.- La recta que une el centro de una esfera y el de un círculo menor de la
esfera es perpendicular al plano del círculo.
3ra Propiedad.- Planos equidistantes del centro de una esfera la cortan en círculos iguales.
Fig. (b)
12.3.6B. Área de una superficie
«El área de una superficie de revolución es igual al producto de la longitud de la curva
generatriz por la distancia recorrida por el centroide de la curva al generar el área de la
superficie».
 es la longitud de una curva y x es la distancia de su centroide a un eje de giro dado,
Si AB
el área S de la superficie generada al dar una vuelta está dado por:

S  2x  AB
Ejemplo.- Determinar el área de la superficie generada por:
a) El segmento AB respecto del eje «L».
AB  4 m
x  1,5 m
 S  2(1,5)(4)  12
802 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
803
b) La semicircunferencia AB respecto del eje «L».
R3m
x

2(3) 6
 m


01.- El gráfico muestra un casquete esférico ubicado en una esfera de radio «R».
S  2  (3  )  6  36

03.- La figura sombreada está conformada por
un cuadrante y un rectángulo de modo que dicha
figura gira 360º en torno a la recta L .
L
12.3.6C. Volumen
«El volumen que encierra una superficie de revolución es igual al
producto del área generatriz por la distancia recorrida por el
centroide del área al generar el volumen».
Si SC es el área de una figura cerrada y x es la distancia de su
centroide a un eje de giro dado, el volumen «V» generado por
éste, al dar una vuelta, está dado por:
Completar el siguiente cuadro:
V  2x  SC
Ejemplo.- Determinar el volumen generado por:
a) La región triangular ABC respecto del eje «L».
Si «V» es el volumen del sólido que se obtiene,
completa el siguiente cuadro:
02.- En el gráfico se muestra una semiesfera inscrita en un paralelepípero rectangular.
AB  6 m, BC  8 m
x  AB  6  2 m
3 3

V  2( 2 )  6  8  96 m3
2
b) El semicírculo AB respecto del eje «L».
04.- De acuerdo al gráfico mostrado.
I. Calcule el volumen del paralelepípedo cuando el radio de la semiesfera mide 2.
......................................................................
R3m
II. Calcule los dimensiones del paralelepípedo,
cuando el volumen de la semiesfera es 18.
4( 3 ) 4
x

3 


......................................................................
2
SC  (3)  9  m2
2
2
V  2    4
 
   9   36 m3
  2 
  
III. Calcule el radio de la semiesfera, cuando el
volumen del paralelepípedo mide 500.
Completa el siguiente cuadro:
......................................................................
IV. Calcule la diagonal del paralelepípedo, cuando el radio de la esfera mide 3.
......................................................................
804 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
805
05.- En el gráfico mostrado el círculo gira 360º
alrededor de la recta «L».
07.- En el gráfico
 el hexágono regular gira en
torno a la recta L .
Prob. 01
Calcular el volumen de una esfera, sabiendo
que éste es numéricamente igual al área de su
superficie.
a. ¿Cuál es el volumen del sólido generado, cuando R = 2 y d = 4?
......................................................................
b. Si R = 3 y el área de la superficie generada es
962. ¿Cuánto mide «d»?
......................................................................
Escribir (V) o (F), según las proposiciones sean
verdaderas o falsas.
I. El perímetro del hexágono mide 12.
(
)
II. El área del hexágono mide 24 3 .
(
)
c. Si R = d y el área de la superficie generada es
64. ¿Cuál es el volumen del sólido generado?
III. La distancia del centro de gravedad hacia el
eje mide 2 3 .
( )
......................................................................
IV. El área de la superficie generada es 48  3 .
( )
06.- En el gráfico se muestra
un rombo el cual

gira en torno a la recta L .
V. El volumen del sólido generado es 96  3 .
( )
08.- En el gráfico mostrado «P» es un plano secante a la esfera, de modo que la sección determinada es un círculo y «d» es la distancia del
centro de la esfera a dicho plano.
Representando gráficamente la esfera, según condición del problema:
(
(
) 24
e. Volumen del sólido generado.
) 240
(
Calcular el radio de la esfera que se puede construir con el material fundido de dos esferas de
radios 1 y 2.
Simplificando: R = 3
3
 V(esf.) = 4 (3) = 36 
3
Tengamos en cuenta que la semisuma tiene una base la cual es el círculo máximo de
la esfera:
) 288
) 6
d. Área de la superficie generada. (
 Sx = 3R2
3
2
V(esf.) = S(esf.)  4 R  4 R
3
Correlaciona ambas columnas coherentemente.
b. Perímetro del rombo.
c. Área del rombo.
2
Graficamos la condición de equivalencia
de las esferas pequeñas y de la obtenida
por fundición:
Calcular el área total de una semiesfera cuyo
radio mide «R».
Completar el siguiente cuadro:
2
Sx = SL + SB  Sx = 2R + R
Prob. 03
Prob. 02
a. Distancia del centro de gravedad al eje.
(
) 20
Sea Sx el área de la semiesfera, donde:
Según condición del problema:
4 x 3  4 (1)3  4 (2)3
 x3 = (1)3 +
3
3
33
(2) = 9
 x=39
Prob. 04
Dos esferas sólidas de radios «r» y «2r» se
funden para formar un cilindro circular recto
de radio básico igual a «3r». Calcular la altura
del cilindro.
Graficamos y ubicamos los datos del problema:
806 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
807
Prob. 06
Siendo «V» el volumen del segmento esférico, entonces:
La sección producida en una esfera por un plano secante, dista 5 del centro y tiene 144 de
área. Calcular el área de la superficie esférica.
3
2
V  1 h  1 ha . . . (1)
6
2
Del gráfico:
De acuerdo a la condición:
4  r 3  4 (2 r )3  (3r )2 h
3
3
Graficamos la esfera y así también la sección circular determinada por el punto secante:
12r3 = 9r2h

Reemplazando en (1):
Sean:
 h= 4r
3
Ve: Volumen de la esfera
Vx: Volumen del cilindro
Luego:
Una semicircunferencia de diámetro 6, gira 90º
alrededor de su diámetro. Calcular el área de la
superficie generada.
La sección producida es un círculo de radio «r».
Por condición del problema:
r2 = 144  r = 12
Esquematizando el problema y ubicando
datos tenemos:
Se observa en el
OHB que:
R2 = 169
Nos piden:
S(esf) = 4R2
3
2
Ve  4 R y Vc  1 R (2 R )
3
3
De donde:
2R3 = 100
Prob. 07
2
 
Un cono circular recto y una esfera se encuentran inscritos en un cilindro circular recto. Si la
suma de los volúmenes del cono y de la esfera
es 100, calcular el volumen del cilindro.
808 Geometría
Calcular el volumen del sólido generado por el
círculo mostrado.
Nos piden: Vx = R2(2R) = 2R3 . . . (2)
Comparando (1) y (2) obtenemos:
Vx = 100
Prob. 08
Una esfera de radio 5 es intersectada por un
plano que dista del centro 3. Calcular el volumen del menor segmento esférico determinado.
En la esfera graficamos la sección circular
menor producida por el plano secante:
De acuerdo al gráfico y a
las condiciones del problema:
Aplicamos el Teorema de
Pappus-Goulding:
V = (2)2· 2(2)
 V = 162
Prob. 10
 
  (6)2 90º
90º
90º
 S = 36
Prob. 09
. . . (1)
 S(esf) = 676
S  R
 V = 52
3
3
3
Entonces: Ve  Vc  4 R  2 R
3
3
R2 = 52 + r2 = 25 + 122
Reconociendo la superficie sombreada
como un huso esférico de área «S», entonces:
3
2
V  1 (2)  1 (2)(4)
6
2
Vc: Volumen del cono
Prob. 05
h=5–3=2 y a=4
Calcular el área total de una semiesfera, en la
cual se encuentra inscrito un cubo de arista 2
y una de sus caras descansa en la base del
cilindro.
Elaboramos el gráfico que se ajuste a las
condiciones del problema:
Und. 12 – Cuerpos Redondos
809
Dado que el cono es equilátero, entonces:
Graficamos y ubicamos los datos, además
reconocemos que el centro «O» de la base
de la semi esfera lo es también de la base
del cubo.
VA  VB  AB  4 3
PA  PB  4 3
Además:
En el
POB de 30º y 60º: R = 2
2
2
Reemplazando: SS.E. = 4R = 4(2)
 SS.E. = 16
Sea «O» el centroide de la región cuadrada
ABCD, luego:
Prob. 12
Sea «R» la longitud del radio, en el
tendremos:
AOB
R2 = 22 + (OA)2
Sea «G» el centroide del triángulo ABC,
luego el área de la figura generada será:
Una región rectangular ABCD, gira entorno a
AD , si: AB = 4 y BC = 6, calcular el volumen
del sólido generado.
Prob. 15
Reconocemos que «G» es el centro del rectángulo y «d» la distancia de este al eje de
rotación:
Calcular el volumen del sólido generado por la
región correspondiente a un tríangulo equilátero de 6 de lado, que gira 360º alrededor de
uno de sus lados.
 S(F.G.) = 324
OC  OA  2 2  2
2
Además:
2
2
2
R  2 ( 2)
Nos piden:
 R2 = 6
ST = 3R2 = 3(6)
S(F.G.) = (6 + 6 + 6)2(9)
 ST = 18
Prob. 11
De la figura: OD  2 2
Calcular el área de la superficie de una esfera
que está inscrita en un cono equilátero cuya
generatriz es de 4 3 de longitud.
El volumen del sólido generado será:
2
V(S.G.)  (4)  2 (2 2 )
Por el Teorema de Pappus–Goulding:

Vx = S(ABCD) · 2d
Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos:
Donde:
S(ABCD) = 4· 6 = 24 y d = 2
Luego:
Vx = 24· 2· 2

Vx = 96
V(S.G.) = 64 2 
Prob. 14
En un triángulo equilátero ABC de lado 6, se
traza la altura BH . Calcular el área de la figura
generada por dicho triángulo al girar en torno
a una recta paralela a BH y que dista de ella 9.
Prob. 13
Calcular el volumen del sólido generado por el
cuadrado ABCD al girar entorno a
.
810 Geometría
Esquematizamos el problema según su
condición:
Graficamos y ubicamos los datos del problema:
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Según el Teorema de Pappus-Goulding:
V = S(ABC)· 2d
2
Donde:
S( ABC)  6
Del gráfico:
d  BH  3 3  3
3
3
4
3 9 3
811
Luego:
V  9 3  2 3
Vx  9   2  4
2

Luego:
 V = 54

Prob. 16
Vx = 36
Prob. 19
Determinar la distancia del centroide de un semicírculo a su diámetro, si éste mide 2R.
En el
Sea «G» el centroide del semicírculo y
GO = d es la distancia buscada.
BAD de 30º y 60º:
AD  2 3 y mADB  30º
En el
OHD de 30º y 60º:
d 3
Las diagonales AC y BD de un rombo ABCD
miden 6 y 8 respectivamente. La prolongación de AC interseca en «P» a una recta
paralela a BD . Si: AB = CP, calcular el área de
la superficie generada por dicho rombo al girar
360º entorno a
.
 V(S.G.) = 24
V(S.G.) = a2· 2d . . . (1)
En el
V(S.G.)  (2)(2 3 )  2 ( 3 )
Luego:
El volumen del sólido generado (V(S.G.)) es:
OHD de 15º y 75º:
d  6 2
a 2
4
2
 d  a ( 3  1)
4
Graficamos la situación problémica donde indicamos los datos del mismo:
Prob. 18
Al girar el semicírculo se determina una
esfera de volumen:
3
V  4 R
3
Un semicírculo cuyo diámetro AB mide 6, gira
entorno a AB . Calcular el volumen del sólido
generado.
En (1):
3
a ( 3  1)
2
V(S.G.)  a  2   a ( 3  1) 
4
2
2
Por Pappus: V(S.G.)  R  2 d
2
4 R 3  R 2   d
3
Como:
Graficamos y ubicamos los datos del problema:
 d=4R
3
Un rectángulo ABCD, gira en torno a una recta
que pasa por «D» y forma 30º con AD , si:
AB = 2 y BD = 4. Calcular el volumen del sólido
generado.
 V(S.G.) = ( 3 + 1)
Luego: d = OC + CP = 3 + 5 = 8
Sx = 2(ABCD)· 2· d
Prob. 21
2(ABCD) = 5(4) = 20 y d = 8
La región triangular
 mostrada ABC, gira alrededor del eje AC , si: BH = 3 y AC =4. Calcular
el volumen del sólido generado.
Luego: Sx = 20· 2· 8
Prob. 17
a3 = 2
 Sx = 320
Prob. 20
Aplicando el Teorema de PappusGoulding:
Vx = S
· (2d)
Un cuadrado de lado 3 2 gira en torno a una
recta que contiene a un vértice y forma con
uno de sus lados 30º. Calcular el volumen del
sólido generado.
2
Donde:
Sea «L» la recta que sirve como eje de giro y
«O» el centroide del rectángulo:
812 Geometría
S

= 23  92
 
d 4 R  4
3 

Elaboramos el gráfico correspondeinte en
donde ubicamos los datos del problema:
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Trazamos la mediana BM del triángulo
ABC.
813
Sea «G» el baricentro del ABC y «d» su
distancia al eje de rotación
, luego empleando el Teorema de Pappus:
Vx = S(ABC)· 2d
SABC  6  8  24
2
Sea «G» el centroide de la región ABC y
«d» su distancia al eje
.
Sea «Vx» el volumen pedido.
Por el Teorema de Pappus-Goulding:
Luego por el Teorema de PappusGoulding:
 
Vx  4  3  2d
2

Donde
Vx = 12d
BHM ~
Vx  (S )2  (OK)
. . . (1)
Donde:
CBM ~

 Vx = 12
Vx = 1442
Prob. 23
Prob. 22
Un círculo gira en torno a una recta coplanar
(ver figura) si: MN = 7. Calcular el volumen del
sólido generado.
Determinar el volumen del sólido generado por
una región triangular rectangular ABC que gira
entorno a BC , si: AB = 6, BC = 8 y AC = 10.
Elaboremos el gráfico correspondeinte según las condiciones del problema:
Sea Sx el área de la superficie generada:
Sx = 2(ABCD)· 2· d
Sx = 24(2· 5 2 )
 Sx = 240 2 
. . . (3)
Vx = (24)(2)(2)
OK = 8

DH  HP  2 2
De donde: d  3 2  2 2  5 2
Luego:
Reemplazando (2) y (3) en (1):
Reemplazando en (1): Vx = 9· 2· 8
d k  d=1
3 3k
DHP de 45º:
CTG
 d=2
. . . (1)
2
Entonces:
. . . (2)
En el
d  2k
3 3k
S   (3)  9 
GTM:
. . . (1)
En el cuadrado ABCD: BG  GD  3 2
Vx = 96
Prob. 24
Un cuadrado ABCD gira en torno a una recta
exterior
paralelo a AC . CD prolongado
interseca en «P» a
. Calcular el área de la
superficie generada, si: PD = 4 y AB = 6.
Prob. 25
Las diagonales de un rombo miden 6 y 8. Calcular el área de la superficie generada por dicho rombo al girar 360º alrededor de uno de
sus lados.
Graficamos el rombo y el eje de rotación
que contiene a AD .
Construimos el gráfico según la condición
del problema:
Del gráfico y según el Teorema de PappusGoulding:
Sx = 2(ABCD)· 2d . . . (1)
En el
AOD: AD = 5 y d  4  3  2,4
5
Reemplazando en (1): Sx = (20)(2)(2,4)
En el gráfico, trazamos OK 
tal que:

Sx = 96
OK = 8
814 Geometría
Und. 12 – Cuerpos Redondos
815
Prob. 26
Prob. 27
Prob. 28
Prob. 29
Calcular el volumen del sólido generado por la
región cuadrada ABCD al girar entorno a
.
En la figura, AB = 13, BC = 15 y AC = 14.
Calcular el volumen del sólido generado por la
región ABC al girar alrededor de .
Calcular el volumen del sólido generado por la
región cuadrada ABCD al girar entorno a
.
Si los lados de un romboide están en la razón
de 3 a 7. Calcular la razón de los volúmenes de
los sólidos que se obtienen mediante la rotación de la región limitada por dicho romboide
en torno a sus lados adyacentes.
Elaboramos el gráfico y ubicamos datos:
Ubicamos el centro «G» del cuadrado y trazamos GT 
Ubicamos el centroide «G» (baricentro) de la
región ABC y trazamos GG' 
(GG’ = d)
Sea AC  BD  G
de modo que GT = d.
Del dato: sean:
AB = 3k y AD = 7
Por Teorema de Pappus-Goulding:
De la figura:
APD 
DQC (A.L.A.)
 AP  DQ  3
 
 PD  CQ  4
Y en el
APD:
a=5
En el trapecio PACQ:
Luego:
d  3 4  7
2
2
Vx = S(ABCD)· 2d

2
Vx  (5)  2 7
2
 Vx = 175
816 Geometría
Vx = SABC· 2· d . . . (1)
Por el Teorema de Herón:
S(ABC)  21(21  13)(21  14)(21  15)
De la figura reconocemos que « G» el
centroide de la región ABCD y «d» su distancia a
.
Reemplazando en (1):

V1 = (3k)(2x)· 2 · y ... (1)
GHD de 30º y 60º: d  3
Luego el volumen «Vx» pedido será:
Vx = 84· 2· 12
Vx = 2016
V1 = SABCD · 2 · y
BG = GD = 2
En el
d  8  8  10  12
3
Por teorema del Pappus - Gulding:
En el cuadrado ABCD:
 S(ABC) = 84
Por propiedad:
También sean: V1 el volumen generado por
el romboide al girar sobre
y V2 el volumen generado por el romboide al girar sobre
.
2
Vx  (2 2 )  2   3

Vx = 16 3 
Und. 12 – Cuerpos Redondos
Además:
V2 = SABCD · 2 · x
V2 = (7k)(2y)· 2 · x ... (2)
Dividimos (1) y (2):
V1 3

V2 7
817
Prob. 30
Una región paralelográmica ABCD gira entorno a
. Calcular el volumen del sólido generado, si: AB = 5, AD = 8 y m A  53º .
Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos:
01.- Calcular el volumen de una esfera de radio
igual a 3.
A) 36
B) 30
D) 44
E) 45
C) 40
02.- El volumen de una esfera es numéricamente igual al triple del área de la superficie esférica. Calcular el radio.
Por el Teorema de Pappus-Goulding:
Vx = S(ABCD)· 2d .....(1)
S(ABCD) = 8· 4 = 32 .....(2)
Además,
BTD: d  4  2 .....(3)
2
Reemplazando (2) y (3) en (1):
Vx = 32· 2· 2
 Vx = 128
A) 6
B) 7
D) 9
E) 10
C) 8
B) 144
D) 120
E) 156
C) 196
04.- Calcular el volumen de la esfera inscrita en
un cubo cuya longitud de su arista es igual a 6.
A) 30
B) 18
D) 40
E) 36
C) 46
B) 28
D) 32
E) 36
C) 30
06.- Calcular el volumen de la esfera inscrita en
un cilindro recto de volumen 300.
818 Geometría
A) 100
B) 150
D) 250
E) 270
Und. 12 – Cuerpos Redondos
B) 48
D) 36
E) 27
C) 24
08.- Calcular el volumen de la cuña esférica mostrada.
A) 9
C) 12
D) 15
E) 20
09.- Calcular el área del casquete esférico mostrado.
A) 9
B) 10
C) 12
05.- Calcular el área de la esfera circunscrita a
un cubo de área total igual a 72.
A) 24
A) 12
B) 10
03.- Siendo área de una superficie esférica igual
144, calcular el volumen de la esfera.
A) 288
07.- Una esfera cuyo radio mide 3 es equivalente a un cono circular recto cuyo radio de la
base mide 2. Calcular la medida de la altura del
cono.
C) 200
D) 15
E) 20
10.- Si el triángulo ABC gira en torno a
calcular el área de la superficie generada.
,
A) 288
B) 144
C) 324
D) 196
E) 720
819
11.- Si el rectángulo ABCD gira en torno a
calcular el área de la superficie generada.
,
A) 84
A) a
4
B) 90
C) 98
D) a
3
D) 100
E) 105
12.- Un círculo de radio «R», gira en torno de
una recta tangente a ella. Calcular el volumen
del sólido generado.
2 3
A)  R
2 3
D) 4 R
16.- Calcular el volumen del sólido generado
por un triángulo equilátero de lado «a» que
gira alrededor de una recta que contiene a uno
de sus lados.
2 3
B) 2 R
2 3
C) 3 R
3
B) a
2
3
E) a
8
3
3
C) a
3
17.- Del gráfico, calcule el área de la superficie
generada por el rectángulo ABCD al girar 360º,
entorno a
. Si: 3(AB) = 2(AD) = 3(DE) = 6.
A) 70
13.- Calcular el volumen del segmento esférico.
24.- Calcular el volumen de la esfera mostrada.
A) 144
C) 30
B) 48
D) 36
C) 72
E) 40
D) 52
25.- Si el cuadrado ABCD gira en torno a
,
además AD = CM, calcular el área de la superficie generada.
E) 54
21.- De una esfera cuya área es «S», se han
obtenido dos semiesferas. Calcular el área correspondiente a una de las semiesferas.
B) 60
C) 50
2 3
E) 8 R
20.- En la figura AB es diámetro del círculo
máximo de la esfera. Calcular el área de la superficie esférica, sabiendo además: AC = 6,
mBAC  60º .
D) 40
C) 6
D) 8
A) 200
E) 9
B) 220
B) 12
D) 15
E) 6 3
C) 18
C) 240
B) S/2
D) 2S/3
E) 4S/3
C) 3S/4
B) 72
A) 132
C) 84
B) 140
E) 100
19.- ABCD es un cuadrado. Calcular el volumen del sólido generado por la región cuadrada al girar 360º, alrededor de .
23.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
B) 10
D) 12
E) 13
C) 144
D) 150
E) 168
A) 144
A) 9
820 Geometría
A) 64
26.- Si el paralelogramo ABCD gira en torno a
. Además: AB + BC = 12 y AC = 4 3 ,
calcular el área de la superficie generada.
E) 280
A) 36 2
C) 11
22.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
D) 90
D) 260
15.- Un plano secante a una esfera determina
una sección de 25de área. Si el radio de la
esfera es igual a 13, ¿a qué distancia del centro
se trazó el plano secante?
B) 240
E) 450
18.- El rombo ABCD gira en torno a
;
BD 
, además: AO = OC = CM = 3, calcular
el área de la superficie generada.
A) 9
A) 260
D) 360
E) 75
14.- Dos esferas tangentes exteriores de radios
12 y 3, se apoyan en un plano horizontal. ¿Cuál
es la distancia entre sus puntos de apoyo con
el plano?
B) 24
C) 300
A) S
A) 52/3
B) 50/3
A) 20
27.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
A) 1150
B) 72
B) 1200
C) 36
C) 1250
D) 216 2
D) 260
D) 1300
E) 2264
E) 288
E) 1344
B) 64 6
C) 2504

Und. 12 – Cuerpos Redondos
821
3
B) R
5
3
E) R
8
28.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
A) R
4
A) 200
D) R
7
B) 230
3
C) R
6
3
3
A) 1650
B) 1500
32.- Una esfera de radio «R», se encuentra inscrita en un prisma regular triangular de volu3
men 162 3 u . Determinar el volumen de la
esfera.
C) 240
D) 250
E) 260
29.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
A) 54
B) 18
D) 27
E) 36
C) 72
33.- A qué distancia del centro de una esfera se
debe trazar un plano, de modo que el área de la
sección determinada sea igual a la diferencia
entre las áreas de los dos casquetes esféricos
formados, además el radio de la esfera mide
( 5  2 ) cm.
A) 80 3
B) 30
D) 40 2
E) 56 2
C) 36 2
30.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
A) 288
B) 288 2
D) 136 2
E) 160 2
C) 144 2
A) 0,5 cm
B) 5 cm
D) 1 cm
E) 1,5 cm
31.- Calcular el volumen de la esfera máxima
que se puede inscribir en una semiesfera de
radio «R».
822 Geometría
C) 2 cm
A) 36
B) 18
D) 39
E) 52 
3
C) 26
35.- Un hexágono regular ABCDEF, cuyo lado
mide «a», gira en torno a una recta que contiene a AF . Calcular el volumen del sólido engendrado.
A) 9 a 
2
B) 7 a 
2
D) 2a3
E) a3
3
C) 1440
D) 1360
E) 1668
A) 25
B) 32  2  1
C) 48  2  1 
D) 75
E) 16
37.- Calcule el volumen del sólido generado
por la región ABCD al girar 360º alrededor de
. Si: AD = 15.
41.- En la figura: «G» es el centroide de la región ABCD. Calcular el valor de «x».
A) 7500
B) 700
C) 600
D) 500
E) 800
2
34.- El radio de la base de un cono de revolución es 21 m y el radio de la esfera circunscrita al cono mide 5 m. Calcular el volumen del
segmento esférico formado por la base del cono
y la esfera.
3
36.- Calcular el volumen del sólido generado
por la región sombreada al girar en torno a .
3
C) 3a 
2
38.- En un triángulo ABC: AB = 13, BC = 15 y
AC = 14. Calcular el volumen del sólido generado por la región triangular ABC al girar una
vuelta alrededor de AC.
A) a  b
a b
A) 672
B) 670
D) 667
E) 660
42.- En la figura: «G» centroide del cuadrante
AOB. Calcular «x».
C) 688
39.- En un rombo ABCD: mB  60 , por «D»
se traza una recta «L» que forma 30º con CD .
Calcular el volumen del sólido generado por el
rombo al girar 360º alrededor de «L»; la distancia «C» a «L» es 1.
A) 6 3
B) 6
D) 12
E) 24 3
C) 6 2
40.- Calcular el área de la superficie generada
por el cuadrado al girar en torno a , AB = 4 y
AB 
.
Und. 12 – Cuerpos Redondos
2
B) ab
ab
C)
ab
2
2
2
D) a  b  ab E) a  b  ab
3(a  b)
 
B) 2  R 
3 
C) 1  R 
3 
D) 3  R 
5 
E) 5  R 
3 
A) 4 R
3 
43.- Calcular el volumen del sólido engendrado por el triángulo equilátero ABC.
823
A) 16 2
A) 9
B) 10
B) 8 2
D) 13
E) 16
C) 10 2
47.- Las bases de un trapecio isósceles miden
2 y 6 metros respectivamente. Calcular la longitud del lado no paralelo, si la razón del volumen
y la superficie generado por el trapecio al girar
una vuelta en torno a la base mayor es igual a la
razón del área de la región trapecial y su respectivo perímetro.
D) 12 2
E) 12
44.- En la figura, ABCD es un cuadrado de lado
24 – 3. Calcular la distancia del centroide de la
figura sombreada a AD .
A) 10
C) 12
A) 6 m
B) 7 cm
D) 10 m
E) 12 m
C) 8 m
B) 12
C) 14
D) 5
E) 15
45.- Determinar el volumen del sólido engendrado por la región sombreada.
48.- En un romboide ABCD: AB = 1 y BC = 3. Si
el volumen del sólido generado por la región
paralelográmica ABCD al girar en torno a AB
es 12 m3. Calcular el volumen del sólido generado por la misma región al girar en torno a
BC .
A) 2 m3
B) 3 m3
D) 5 m3
E) 6 m3
C) 4 m3
CLAVES
A)  ( – 1)
B)  ( – 2)
D)  (  1)
2
E)  (  2)
2
C)  ( – 3)
46.- Calcular el área de la esfera mostrada.
824 Geometría
01
A
02
D
03
A
04
E
05
E
06
C
07
E
08
A
09
B
10
A
11
C
12
B
13
A
14
B
15
D
16
A
17
A
18
C
19
D
20
A
21
C
22
D
23
E
24
D
25
A
26
C
27
E
28
C
29
A
30
B
31
C
32
E
33
D
34
A
35
A
36
A
37
A
38
A
39
A
40
B
41
D
42
A
43
A
44
A
45
B
46
C
47
C
48
C