Funciones discretas

Capítulo 3
Funciones discretas
3.1
Antecedentes
Hay consideradas dos ramas del cálculo:
• El Cálculo Infinitesimal (Cálculo diferencial y cálculo integral)
• El Cálculo de diferencias finitas
En ambas ramas se estudian tanto funciones continuas como funciones discretas, considerando sus respectivos y muy particulares puntos de vista [prospero]
Para ejemplificar, considere que la primera definición de derivada consiste del
siguiente «cociente diferencial infinitesimal».
f (t) − f (t − h)
(3.1)
h
Una «diferencia finita» es una expresión matemática de la forma f (t)−f (t−
h). Si una diferencia finita se divide por h se obtiene una expresión similar al
«cociente diferencial». Nótese que el Cálculo de las Diferencias Finitas difiere
en que se emplean cantidades finitas en lugar de cantididades infinitesimales, es
decir:
f � (t) = limh→0
f (t) − f (t − h)
(3.2)
h
El Cálculo de diferencias finita se inició como un método para calcular, de
manera aproximada, las soluciones a las ecuaciones diferenciales usando, como
ya se mencionó, Ecuaciones en Diferencias Finitas.
f � (t) ≈
3.2
Introducción
En el presente capítulo se estudian algunas operaciones sobre las funciones
discreteas como lo son la «Independencia Lineal», el cálculo de energía y poten43
44
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
cia contenidas en la señal así como las diferencias del producto y del cociente
de funciones.
En la mayoría de las bibliografías se estudian las diferencias hacia adelante
de las funciones. En este capítulo se estudian las diferencias hacia atrás lo cual
da continuidad al estudiar filtros digitales.
En cuanto al conjunto dominio de las funciones discretas, se hace lo que en
la mayoría de las bibliografías, se considera al conjunto de los enteros.
3.3
Función discreta
Definición 3.1 Una función en tiempo discreto se caracteriza por que
su variable independiente sólo puede tomar determinados valores [1]. A este
respecto, se puede afirmar que le conjunto domino de tal función es numerable,
fnito o infinito1 . En cuanto a la imagen de la función, se trata de un conjunto
no numerable pero acotado por fonteras finitas: un subconjunto de los números
reales.
La definición 3.1 da libertad de considerar que el dominio de una función
discreta puede estar formado por un conjunto de números reales, los cuales no
guardan una relación entre sí: muestreo no uniforme. Por ejemplo la función:
f (t) = t + 1; t = ... − 1.1, 0.5, 2.3, π, 4.02, ...
(3.3)
f (t) = rt cos (�0 t)
(3.4)
Un caso particular de conjunto dominio es aquel cuyos valores están equiespaciados por una cantidad finita llamada periodo de muestreo: muestreo uniforme.
Por ejemplo, considere la función:
Al muestrear el tiempo uniformemente se define que:
t = nτs ; n = ... − 1, 0, 1, 2, ...
(3.5)
Definición 3.2 una función de tiempo discreto con muestreo uniforme
se caracteriza por que su variable independiente sólo puede tomar valores que
están equiespaciados por una cantidad constante llamada periodo de muestreo
τs .
Así entonces, dada una función discreta f , su conjunto dominio será
dom {f } = [...0, τs , 2τs , 3τs , ..., (N − 1)τs , ...]
(3.6)
En tanto que el recorrido o imagen de la función es:
img {f } = [..., f (0) , f (τs ) , f (2τs ) , f (3τs ) , ..., f ((N − 1) τs ) , ...]
1 Un
(3.7)
conjunto numerable es el conjunto de los enteros, dependerá del lector definir si este
conjunto está acotado por dos fronteras definidas (finito) o bien, si el conjunto crece indefinidamente (infinito).
3.3. FUNCIÓN DISCRETA
45
E posible apostar a que todas las diferentes bibliografías, realizan el estudio
de las funciones discretas, considerando un muestreo uniforme de la señal, y
por tanto tienden a ocultar el periodo de muestreo, aprovechando que es una
constante para la función. Así que el dominio de la funciones discretas está
constituido por un subconjunto impropio de los enteros.
dom {f } = [...0, 1, 2, 3, ..., N, ...]
3.3.1
(3.8)
Ejemplo de función discreta
En [1] se plantea el siguiente problema: un bien material tuvo un costo
original de $1000.00. Debido a la depreciación a la cual está sujeto, su valor
depreciado se calcula en el tiempo con la fórmula siguiente:
n
f (n) = 1000 (1 − 0.05) n = 0, 1, 2, 3, . . .
(3.9)
Se deja al lector el desarrollo de la solución al problema.
3.3.2
Propiedades de las funciones discretas
Definición 3.3 Propiedad sobre el precursor de la señal discreta. La
señal discreta f (n) fue obtenida de muestrear una señal analógica fa (t), denominada su precursor. Entonces la señal discreta se calcula como f (n) = fa (nτs )
donde τs es el periodo de muestreo o tiempo entre dos muestras consecutivas.
Definición 3.4 Propiedad sobre la existencia de las muestras. La señal
discreta f (n) es no definda entre instantes de muestreo. Por tanto es incorrecto
pensar que la señal f (n) toma el valor de cero para n no entera, simple no está
definida para valores no enteros de n.
Definición 3.5 Propiedad sobre el conjunto dominio. A pesar de que se
conviene que una señal discreta tenga como precursora una señal analógica, el
estudio temporal de tales señales se realiza considerando que el conjunto dominio
de tales señales es el conjunto de los números enteros.
3.3.3
Representaciones para una señal discreta
Más allá de la representación gráfica de un señal discteta o secuencia, existen
representaciones alternativas que son frecuentes dada la conveniencia de su uso.
Estas son:
46
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
1. Representación funcional, tal como


1
f (n) = 4


0
2. Representación tabular, tal como
n
... -2 - 0 1 2 3
f(n) ... 0 0 0 1 4 1
; n = 1, 3
; n=2
; otro caso
4
0
5
0
(3.10)
...
...
3. Representación en secuencia tal como una secuencia de duración inifinta
con el origen temporal en n = 0 indicado por una flecha.
�
�
(3.11)
f (n) = . . . , 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0,
↑
4. Una secuencia infinita f (n) la cual es cero para n ≤ 0, puede ser representada como:
�
�
f (n) = 0, 1, 4, 1, 0, 0,
(3.12)
↑
5. Una secuencia de duracuión finita puede ser representada como
�
�
f (n) = −3, −1, −2.5, 0, 4, −1
↑
(3.13)
6. Una secuencia de duración finita, la cual es cero para n ≤ 0 puede ser
representada como
�
�
f (n) = 0, 1, 4, 1
(3.14)
↑
En el caso de las secuencias de duración finita se les suele identificar de manera
particular como secuencias de N puntos, siendo N el número de muestras que
contienen. Por ejemplo, la secuencia de la ecuación 3.13 se puede llamar como
«secuencia de cinco puntos». Similarmente, a la secuencia de la ecuación 3.14,
se le llamaría secuencia de cuatro puntos.
3.4
Señales discretas elementales
Suelen presentarse con frecuencia algunas funciones que juegan un papel importante en el estudio de las señales y de los sistemas discretos. Al respecto, cabe
decir, que las diferentes bibliografías coinciden en que, las señales presentadas a
continuación, tienen com conjunto domino, al conjutno de los enteros, en tanto
que su conjunto imagen o recorrido es un subconjunto de los números reales.
3.4. SEÑALES DISCRETAS ELEMENTALES
47
Figura 3.1: Función pulso unitario.
Figura 3.2: Función escalón unitario.
Definición 3.6 Pulso unitario δ (n). El recorrido de la función pulso unitario
vale uno para n = 0 y cero para cualquier otro valor de n. Su representación
gráfica puede verse en la figura 3.1 en tanto que su definición matemática es:
�
1; n = 0
(3.15)
δ (n) =
0; n �= 0
Definición 3.7 Escalón unitario µ (n). El recorrido de la función toma un
valor constante, un uno, para cada entero del dominio a partir de n ≥ 0 y toma
el valor de cero para n < 0. Su representación gráfica puede verse en la figura
3.2 en tanto que definición matemática es:
�
1; n ≥ 0
µ (n) =
(3.16)
0; n < 0
Definición 3.8 Rampa r (n). La función rampa es aquella en la que cada valor
del dominio se corresponde a sí mismo a partir de n ≥ 0. Su repsesentación
gráfica puede verse en la figura 3.3 en tanto que su definición matemática es:
�
n; n ≥ 0
(3.17)
r (n) =
0; n < 0
48
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Figura 3.3: Función rampa
Figura 3.4: Represetnaciones de la función exponencial para diversos valores y
signos de la base. Figuras generadas en MATLAB. A la derecha de la figura se
presenta el código que la generó.
3.5. OPERACIONES CON FUNCIONES DISCRETAS
49
Definición 3.9 Exponencial. La función exponencial es aquella en la cada
valor del dominio es potencia de una constante llamda base. Su representación
gráfica puede verse en la figura 3.4 en tanto que su definición matemática es:
f (n) = an ;
∀n ∈ Z ∧ ∀n ∈ R
(3.18)
Definición 3.10 Exponencial compleja. Es una señal del tipo exponencial,
como la indicada en una definición anterior. Para este calo la base es un número
complejo:
a = rejϕ
(3.19)
Así que la función exponencial compleja queda expresada como:
f (n) = rn ejnϕ
3.5
(3.20)
Operaciones con funciones discretas
Para mantener cierta generalidad y formalidad matemática, en vez de emplear la frase «funciones discretas» para las respectivas definiciones, se utiliza
la frase «funciones reales de variable entera».
3.5.1
Álgebra de funciones discretas
Definición 3.11 Suma de funciones. Sean f (n) y g (n) dos funciones reales,
ambas de variable entera. La suma de ambas funciones, denotada por f (n) +
g (n), es otra función definida como f + g (n) = f (n) + g (n). El dominio de f +
g (n), es la intersección de los dominios de sendas fucniones. Matemáticamente,
la suma de funciones se define como:
f + g (n) = f (n) + g (n) ;
dom {f + g} = dom {f } ∩ dom {g}
(3.21)
Definición 3.12 Diferencia de funciones. Sean f (n) y g (n) dos funciones
reales, ambas de variable entera. La diferencia de ambas funciones de ambas
funciones, denotada por f (n) + g (n), es otra función definida como f + g (n) =
f (n) + g (n). El dominio de f + g (n), es la intersección de los dominios de
sendas fucniones. Matemáticamente, la diferencia de funciones se define como:
f − g (n) = f (n) − g (n) ;
dom {f − g} = dom {f } ∩ dom {g}
(3.22)
50
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Definición 3.13 Producto de funciones. Sean f (n) y g (n) dos funciones
reales, ambas de variable entera. El producto de ambas fucniones, denotado por
f (n) g (n), es otra función definida como f g (n) = f (n) g (n). El dominio de
f g (n), es la intersección de los dominios de sendas funciones. Matemáticamente, el producto de funciones se define como:
dom {f g} = dom {f } ∩ dom {g}
f g (n) = f (n) g (n) ;
(3.23)
Definición 3.14 Cociente de funciones. Sean f (n) y g (n) dos funciones
reales, ambas de variable entera. El cociente de ambas fucniones, denotado por
f (n) /g (n), es otra función definida como f /g (n) = f (n) /g (n). El dominio
de f /g (n), es la intersección de los dominios de sendas funciones. Matemáticamente, el cociente de funciones se define como:
f /g (n) = f (n) /g (n) ;
dom {f /g} = dom {f } ∩ dom {g}
(3.24)
Definición 3.15 Producto escalar. Sea f (n)una función real de variable
entera y sea λ un número real llamado escalar. El producto de un escalar por la
función se denota como λf (n). El dominio de λf (n), es el dominio de f (n).
Matemáticamente, el producto de un escalar por una función se expresa como:
λf (n) ;
3.5.2
dom {λf } = dom {f }
(3.25)
Convolución y correlación
Estas operaciones serán tratadas en un capítulo posterior y esto es debido a
la extensión del tema.
3.5.3
Combinación lineal
Definición 3.16 Combinación lineal. Sean f (n) y g (n) dos funciones reales,
ambas de variable entera y sean dos números reales λ1 y λ2 , ambos llamados escalares. La combinación lineal de ambas funciones denotada por λ1 f (n) + λ2 g (n),
es otra función definida como λ1 f (n) + λ2 g (n) = λ1 f + λ2 g (n). El dominio
de la combinación lineal es la intersección de los dominios de sendas funciones.
Matemáticamente, se puede expresar la combinación lineal como:
λ1 f (n) + λ2 g (n) = λ1 f + λ2 g (n) ;
(3.26)
dom {λ1 f + λ2 g} = dom {f } ∩ dom {g}
3.6. TRANSFORMACIONES DE SEÑALES
3.5.4
51
Ejercicio
Dada las funciones siguiente, calcule la suma:
�
�
f (n) =
1, 2, 3, 4, 5 ;
↑
g (n)
=
�
�
(3.27)
−3, −1, −1, 0, 1, 2, 3 ;
↑
Primero se define el conjunto dominio de f (n)como el intervalo n� [−1, 3].
Luego, el conjunto dominio de g (n)es el intervalo n� [−3, 3]. En conclusión, el
conjunto dominio de la suma será el intervalo n� [−1, 3].
Así entonces, ya es posible realizar la suma. Una forma simple en que el
lector puede ver como se realiza tal operación es colocando los operandos de la
forma siguiente:
+
−3
−2
1 2 3 4 5
−1 0 1 2 3
0
2
4
6
8
El respectivo resultado es:
f + g (n) = [0, 2, 4, 6, 8] ;
3.6
n� [−1, 3]
(3.28)
Transformaciones de señales
Entre las transformaciones de señales se ecuentran:
• Amplificación, atenuación, inversión de fase
• Adelanto, atraso
• Dilatación, compresión
• Reflexión
Los casos de la dilatación y de la compresión son especiales dado que implican
el sobremuestrear2 y submuestrear3 , respectivamente la señal de interés.
3.6.1
Transformaciones de amplificación-atenuación-inversión
de fase
Un proceso de amplificación de una señal implica un dispositivo cuya ganancia es myor a la unidad y por tanto la señal resulta de mayor amplitud. El
proceso contrario implica una disminución de la amplitud de la señal.
2 Intercalar
3 Suprimir
ceros entra las muestras originales.
algunas muestras.
52
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Definición 3.17 Amplificación y atenuación. Sea una primera función
x (n), existe una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = Ax (n) ; A�R
(3.29)
Donde:
|A| > 1
Amplif icación
|A| < 1
Atenuación
A<0
Inversion de f ase
El lector debe considerar que ambas funciones x (n) y y (n) tienen el mismo
conjunto dominio.
3.6.2
Transformaciones de adelato-atraso
Un proceso de adelanto de una señal implica que esta comenzará instantes
antes que su versión original. A diferencia, un proceso de atraso de una señal
implica que ésta comenzará luego que su versión original.
Definición 3.18 Adelanto y atraso. Sea una primera función x (n), existe
una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = x (n + m) ; m�Z
(3.30)
Donde:
m < 0;
Atraso
m > 0;
Adelanto
El lector debe considerar que ambas funciones x (n) y y (n) tienen el mismo
conjunto dominio.
3.6.3
Transformaciones de dilatación-compresión-reflexion
La dilatación de una señal implica que ésta aumentará su tiempo de existencia. En tiempo discreto, implica la intercalación de muestras nulas o ceros.
La compresión de una señal implica que ésta durará menos tiempo. En tiempo
discreto, la compresión implica la supresión de muestras.
Definición 3.19 Compresión. Sea una primera función x (n), existe una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = x (αn) ;
α�Z ∧ α > 0
(3.31)
3.7. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES
53
La compresión de una señal discreta puede verse como un proceso de submuestreo, es decir, algunas muestras se pierden cuando se aplica la compresión.
Este proceso se conoce como submuestreo.
Definición 3.20 Dilatación. Sea una primera función x (n), existe una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = x
�
�
1
n ;
α
α�Z ∧ α > 0
(3.32)
La dilatacion de una señal discreta puede verse como un proceso en el cual se
intercalan nuevas muestras entre las muestras originales. Este proceso se conoce
como sobremuestreo.
Definición 3.21 Reflexión. Sea una primera función x (n), existe una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = x (αn) ;
a�Z ∧ |α| < 0
(3.33)
El lector debe considerar que ambas funciones x (n) y y (n) tienen el mismo
conjunto dominio.
3.7
3.7.1
Ejemplos de transformaciones
Compresión de una señal
Considere la ecuación rampa simétrica y acotada
x (n) =
�
|n|
0
; −6 ≤ n ≤ 6
otro caso
(3.34)
Considere ahora una versión comprimida en tiempo de tal función:
y (n) = x (2n)
(3.35)
La figura 3.5 ilustra la tabla de datos obtenida de ambas funciones x (n) y
y (n). El lector puede notar dos situaciones:
• El conjnto domino, para ambas funciones x (n) y y (n) es exactamente el
mismo.
• Se ha generado un efecto de submuestreo sobre la función original, esto es,
dado el factor de compresión α = 2, se toma una de cada dos muestras.
54
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
x (n)
2n
y (n) = x (2n)
...
−7
−6
−5
...
0
6
5
...
0
0
0
−4
−3
−2
−1
0
1
4
3
2
1
0
1
...
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
0
6
4
2
0
2
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
0
4
6
8
10
12
14
4
6
0
0
0
0
...
...
...
...
Figura 3.5: Ejemplo de compresión en tiempo discreto. El lector puede observar
qe se ha generado un submuestreo de la función, es decir, se consideran en la
nueva función algunas de las muestras.
n
x (n)
n/2
y (n) = x (n/2)
...
−7
−6
−5
−4
−3
−2
...
...
...
0
0
0
0
3
2
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
0
3
−1
0
1
2
3
4
1
0
1
2
3
0
5
6
7
...
0
0
0
...
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
...
0
2
0
1
0
0
0
1
0
2
0
3
0
...
Figura 3.6: Ejemplo de dilatación en tiempo discreto. El lector puede observar
que se ha generado un efeto de sobremuestreo, es decir, han aparecido ceros
entre muestras de amplitudes intermedias.
3.7. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES
3.7.2
55
Dilatación de una señal
Considere la ecuación rampa simétrica y acotada
x (n) =
�
|n|
0
; −3 ≤ n ≤ 3
otro caso
Ahora bien, una versión dilatada en tiempo de tal función es:
y (n) = x
�
1
n
2
�
(3.36)
La figura 3.6 ilustra la tabla de datos obtenida de ambas funciones x (n) y
y (n). El lector puede notar dos situaciones:
• El conjunto domino, para ambas funciones x (n) y y (n) es exactamente el
mismo.
• Se ha generado un efecto de sobremuestreo sobre la función original, esto
es, dado el factor de dilatación α = 1/2, se intercalan una muestra de
valor cero entre las muestras originales.
3.7.3
Adelanto y atraso de una función
Dada la ecuación
x (n) =
�
|n|
0
; −3 ≤ n ≤ 3
otro caso
(3.37)
calcule:
1. y (n) = x (n)
2. y (n) = x (n − 1)
3. y (n) =
1
3
[x (n + 1) + x (n) + x (n − 1)]
• En el cuadro 3.7 se muestra el desarrollo de la ecuación y (n) = x (n). Su
gráfica se muestra en el mismo cuadro.
• En el cuadro 3.8 se muestra el desarrollo de la ecuación y (n) = x (n − 1).
Su gráfica se muestra en el mismo cuadro.
• En el cuadro 3.9 se muestra el desarrollo de la tercera ecuación y (n) =
1
3 [x (n + 1) + x (n) + x (n − 1)]. Su gráfica se muestra en el mismo cuadro.
56
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x (n)
0
0
3
2
1
0
1
2
3
0
0
Figura 3.7: Desarrollo de y (n) = x (n) y su respectiva gráfica.
n
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x (n − 1)
x (−6) = 0
x (−5) = 0
x (−4) = 0
x (−3) = 3
x (−2) = 2
x (−1) = 1
x (0) = 0
x (1) = 1
x (2) = 2
x (3) = 3
x (4) = 0
Figura 3.8: Desarrollo de y (n) = x (n − 1) y su respectiva gráfica.
3.7. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES
57
x (n + 1)
y (n)
0
x (n − 1)
x (−6) = 0
x (−4) = 0
0
0
x (−5) = 0
x (−3) = 3
1
-3
3
x (−4) = 0
x (−2) = 2
1.67
-2
2
x (−3) = 3
x (−1) = 1
2
-1
1
x (−2) = 2
x (0) = 0
1
0
0
x (−1) = 1
x (1) = 1
0.67
1
1
x (0) = 0
x (2) = 2
1
2
2
x (1) = 1
x (3) = 3
2
3
3
x (2) = 2
x (4) = 0
1.67
4
0
x (3) = 3
x (5) = 0
1
5
0
x (4) = 0
x (6) = 0
0
n
x (n)
-5
-4
Figura 3.9: Desarrollo de y (n) =
gráfica.
1
3
[x (n + 1) + x (n) + x (n − 1)] y su respectiva
58
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
x (n)
−n
x (−n)
...
−7
−6
−5
−4
...
0
0
0
0
...
7
6
5
4
...
0
0
0
0
−3
−2
−1
0
1
2
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
...
3
0
0
0
0
...
3
2
1
0
−1
−2
3
2
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
...
−3
0
0
0
0
...
Figura 3.10: Ejemplo de la reflexión, en el tiempo, de una función discreta.
3.7.4
Reflexión de una función
Considere la ecuación rampa acotada:
x (n) =
�
n
0
; −3 ≤ n ≤ 3
otro caso
Considere ahora una versión reflejada en tiempo de tal función:
y (n) = x (−n)
(3.38)
La figura 3.10 ilustra la tabla de datos obtenida de ambas funciones x (n) y
y (n). El lector puede notar que el conjnto domino, para ambas funciones x (n)
y y (n) es exactamente el mismo.
3.8
Transformación general
Una transformación compuesta se entiende como la aplicación de dos o más
transformaciones, sucesivas, a una señal. Considerando las transformaciones descritas en secciones anteriores, es posible generar la formulación para aplicar
hasta tres transformaciones sucesivas.
3.9. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES COMPUESTAS
3.8.1
59
Casos de transformaciones compuestas
Teorema 3.1 Primero retardo y luego reflexión. Para lograr que una
función se retarde en m y luego, la versión retrasada se refleje, primero se debe
reflejar el argumento y luego se debe retrasar
(3.39)
y (n) = x (−n − m)
Ahora, es posible preguntarse que pasa si el orden de las transformaciones
se invierte ¿Cómo se expresa tal caso?
Teorema 3.2 Primero reflexión y luego retardo. Para lograr que una
función se refleje y luego, la versión retrasada se atrase en m, primero se debe
retrasar el argumento y luego se debe reflejar.
(3.40)
y (n) = x (− (n − m))
3.8.2
Definición de transformación general
Una transformación que involucra hasta tres transformaciones sucesivas se
denomina con frecuencia como la «transformación general». Un caso de transformación general se define a continuación.
Definición 3.22 Transformación general. Sea una primera función x (n),
existe una segunda función y (n)cuya relación con la primera es:
y (n) = Ax
�
α
(n + m)
β
�
(3.41)
donde:
• A�R es el factor de amplificación-atenuación-inversión de fase.
• α�Z es el factor de compresión-reflexión.
• β�Z es el factor de dilatación
• m�Z es la cantidad de adelanto-atraso.
Lo interesante de las transformaciones generales, es el orden en el cual se
aplican los terminos A, α y m para lograr la transformación deseada.
60
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
x (n)
− (n − 2)
x (− (n − 2))
...
−7
...
0
...
9
...
0
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
0
0
−3
−2
−1
8
7
6
5
4
3
0
0
0
0
0
3
6
7
...
0
0
...
2
1
0
−1
−2
−3
2
1
0
−1
−2
−3
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
0
0
−4
−5
...
0
0
...
Figura 3.11: Proceso de reflexión y atraso de una función discreta. Las gráficas
de la derecha corresponden con la función original (gráfica superior), la función
reflejada (gráfica centrlal) y finalmente, la función reflejada y retrasada (gráfica
inferior).
3.9. EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES COMPUESTAS
n
x (n)
−n − 2
x (−n − 2)
...
−7
−6
−5
−4
...
0
0
0
0
...
5
4
3
2
...
0
0
3
2
−3
−2
−1
0
1
2
−3
−2
−1
0
1
2
1
0
−1
−2
−3
0
3
4
5
6
7
...
3
0
0
0
0
...
1
0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
...
61
0
0
0
0
0
...
Figura 3.12: Proceso de atraso y reflexión de una función discreta. Las gráficas
de la derecha corresponden con la función original (gráfica superior), la función
atrasada (gráfica centrlal) y finalmente, la función retrasada y reflejada (gráfica
inferior).
3.9
3.9.1
Ejemplos de transformaciones compuestas
Primero reflexión y luego retardo
Considere la ecuación rampa acotada:
x (n) =
�
n
0
; −3 ≤ n ≤ 3
otro caso
Considere ahora que se desea reflejarla y luego atrasar su reflejo en m = 2.
Tal operación puede expresarse en su argumento como sigue:
y (n) = x (− (n − 2))
(3.42)
El lector debe observar el proceso que se aplica al argumento n, es decir, que
primero debe retrasarse el argumento y luego reflejarse, lo que parece contrario
a lo que se busca. La figura 3.12 ilustra el resultado de evaluar la ecuación 3.42.
3.9.2
Primero retardo y luego reflexión
Considere la ecuación rampa acotada:
62
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
x (n) =
�
n
0
; −3 ≤ n ≤ 3
otro caso
Considere ahora que se desea atrasar la función en m = 2 y luego reflejarla
. Tal operación puede expresarse en su argumento como sigue:
y (n) = x (−n − 2)
(3.43)
El lector debe observar el proceso que se aplica al argumento n, es decir,
primero debe reflejarse y luego se aplica el retardo, lo que parece contrario a lo
que se busca. La figura 3.11 ilustra el resultado de evaluar la ecuación 3.43
3.10
Diferencia hacia atrás de una función
El cálculo de diferencias finitas se aplica tanto a funciones continuas como a
funciones discretas, para el caso que compete al presente capítulo se aplicarán
las diferencias finitas únicamente a funciones reales de variable entera.
3.10.1
Primera diferencia hacia atrás de una función
Sea la función discreta f (n) y partiendo del instante n, este instante se
decrementa en una cantidad finita, 1, de tal manera que para n − 1 el valor
de la función es f (n − 1). Entonces el cambio que experimenta la función es
f (n)−f (n − 1) y se le conoce como primera diferencia hacia atrás de la función.
Definición 3.23 Primer diferencia hacia atrás de una función. El cambio de una función f (n) debido a un decremento en 1 de su argumento n, se
llama primer diferencia hacia atrás de la función y se representa por Δf (n).
Matemáticamente, la primera diferencia se expresa como:
Δf (n) = f (n) − f (n − 1)
3.10.2
(3.44)
Ejemplo
Se desea obtener la primera diferencia de la función siguiente:
f (n) = 2n2
(3.45)
Δf (n) = f (n) − f (n − 1)
(3.46)
Solución
Realizando la sustitución de f (n) y f (n − 1) y resolviendo se obtiene
3.10. DIFERENCIA HACIA ATRÁS DE UNA FUNCIÓN
Δf (n)
=
=
A lo que finalmente resulta en:
2
2n2 − 2 (n − 1)
�
�
2n2 − 2 n2 − 2n + 1
Δf (n) = 4n − 2
3.10.3
63
(3.47)
Segunda diferencia hacia atrás de una función
De forma semejante a como se calculó la primera diferencia de la función
f (n), se calcula la segunda diferencia, es decir:
Δ2 f (n) = Δ {Δf (n)}
(3.48)
Ahora se susituye la ecuación 3.44 en la ecuación 3.48 y se realiza el siguiente
desarrollo.
Δ2 f (n)
=
=
=
=
Δ {Δf (n)}
Δ {f (n) − f (n − 1)}
f (n) − f (n − 1) − [f (n − 1) − f (n − 2)]
f (n) − 2f (n − 1) + f (n − 2)
En conclusión, la segunda diferencia de una función se expresa como:
Δ2 f (n) = f (n) − 2f (n − 1) + f (n − 2)
3.10.4
(3.49)
Tercera diferencia hacia atrás de una función
De forma semejante a como se calculó la segunda diferencia de la función
f (n), se calcula la tercera diferencia, es decir:
Δ³f (n) = Δ {Δ²f (n)}
(3.50)
Ahora se sustituye la ecuación 3.3.49 en la ecuación 3.3.50 y se realiza el
siguiente desarrollo.
Δ³f (n)
= Δ {Δ²f (n)}
=
=
=
Δ {f (n) − 2f (n − 1) + f (n − 2)}
f (n) − 2f (n − 1) + f (n − 2) − f (n − 1) + 2f (n − 2) − f (n − 3)
f (n) − 3f (n − 1) + 3f (n − 2) − f (n − 3)
En conclusión, la tercera diferencia de una función se expresa como:
Δ³f (n) = f (n) − 3f (n − 1) + 3f (n − 2) − f (n − 3)
(3.51)
64
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
3.10.5
Cálculo de la m-ésima diferencia hacia atrás de una
función
La m-ésima diferencia de una función puede generalizarse mediante la fórmula siguiente:
Δm f (n) =
m
�
i
i=10
con:
i
=
Cm
donde:
i
(−1) Cm
f (n − 1)
m!
i! (m − i)!
(3.52)
(3.53)
i
son todos los coeficientes del triángulo de Pascal.
• Cm
• (−1) representa los signos alternados de los coeficientes dados por el triángulo de Pascal.
i
3.10.6
Ejemplo
Calcule las diferencias Δ0 , Δ1 , Δ2 y Δ3 , de la función:
f (n) = n3
(3.54)
La diferencia de orden de una función es la misma función:
Δ0 f (n) = f (n) = n3
(3.55)
La primera diferencia se calcula como:
Δf (n) = 3n2 − 3n + 1
(3.56)
La segunda diferencia se calcula como:
Δ2 f (n) = Δ {Δf (n)} = 6n − 6
(3.57)
La tercera diferencia se calcula como:
�
�
Δ3 f (n) = Δ Δ2 f (n) = 6
(3.58)
A concluir, se debe observar que siempre es más fácil calcular la diferencia
m − ésima es mas fácil de calcular si se parte de la diferencia m − 1.
3.11. DIFERENCIAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
3.11
Diferencias de productos y cocientes
3.11.1
Primera diferencia de una constante
65
Teorema 3.3 La primera diferencia de una constante es cero, es decir:
Δcte = 0
3.11.2
(3.59)
Producto de dos primeras diferencias
Teorema 3.4 El producto de dos diferencias. Sean las dos funciones reales
de variable entera f (n) y g (n). El producto de sus diferencias es:
Δ {f (n)} Δ {g (n)} = f (n) g (n)−f (n) g (n − 1)−f (n − 1) g (n)+f (n − 1) g (n − 1)
(3.60)
A modo de desmostración, considérense las funciones reales de variable entera f (n) y g (n). El producto de sus diferencias se puede expresar como:
Δ {f (n)} Δ {g (n)} = [f (n) − f (n − 1)] [g (n) − g (n − 1)]
Realizando el producto binomial de la ecuación anterior
Δ {f (n)} Δ {g (n)} = f (n) g (n)−f (n) g (n − 1)−f (n − 1) g (n)+f (n − 1) g (n − 1)
Observe que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación 3.3.60 por lo cual
se valida el teorema 3.4.
3.11.3
Primera diferencia de un producto de funciones
Teorema 3.5 Primera diferencia de un producto de funciones. Sean
las dos funciones reales de variable entera f (n) y g (n). La primera diferencia
de su producto es:
Δ {f (n) g (n)} = f (n) Δg (n) + Δf (n) g (n) − Δf (n) Δg (n)
(3.61)
A modo de demostración, considérense las funicones reales de variable entera
f (n) y g (n). La primera diferencia de su producto es:
Δ {f (n) g (n)} = f (n) g (n) − f (n − 1) g (n − 1)
ahora se va agenerar el primer término del miembro derecho de la ecuación
3.3.61. Esto se logra sumando y restando f (n) g (n − 1) sel segundo miembro
de la ecuación anterior.
66
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Δ {f (n) g (n)} = f (n) g (n)−f (n − 1) g (n − 1)+f (n) g (n − 1)−f (n) g (n − 1)
Simplificando términos se logra
Δ {f (n) g (n)} = f (n) Δg (n) − f (n − 1) g (n − 1) + f (n) g (n − 1)
El siguiente paso consiste en generar el segundo término del miembro derecho de la ecuación 3.3.61. Esto se logra sumando y restanto Δf (n) g (n) de la
ecuación anterior.
Δ {f (n) g (n)}
=
−
+
+
−
f (n) Δg (n)
f (n − 1) g (n − 1)
f (n) g (n − 1)
Δf (n) g (n)
Δf (n) g (n)
=
+
−
+
−
f (n) Δg (n)
Δf (n) g (n)
f (n − 1) g (n − 1)
f (n) g (n − 1)
Δf (n) g (n)
=
+
−
+
−
+
f (n) Δg (n)
Δf (n) g (n)
f (n − 1) g (n − 1)
f (n) g (n − 1)
f (n) g (n)
f (n − 1) g (n)
Aplicnado la propiedad conmutativa, se cambia la posición del penúltimo
término de manera que resulta:
Δ {f (n) g (n)}
El último paso consiste en desarrollar el término −Δf (n) g (n) de forma que
resulta:
Δ {f (n) g (n)}
Ordenando los términos de la forma que sigue:
Δ {f (n) g (n)}
=
+
−
−
−
+
f (n) Δg (n)
Δf (n) g (n)
f (n) g (n)
f (n) g (n − 1)
f (n − 1) g (n)
f (n − 1) g (n − 1)
Algunos de los términos corresponden con la ecuación 3.60. Asi que a modo
de conclusión se puede escribir
3.11. DIFERENCIAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
67
Δ {f (n) g (n)} = f (n) Δg (n) + Δf (n) g (n) − Δf (n) Δg (n)
Observe que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación (3.41) por lo cual
se valida el teorema 3.5.
3.11.4
Ejemplo de la primera diferencia de un producto
Calcule la primera diferencia del producto de las siguientes funciones
f (n)
g (n)
=
=
2n
n
(3.62)
Sustituyendo la ecuaciones de la fórmula 3.3.61 se logra el siguiente desarrollo
Δ {f (n) g (n)}
=
=
=
2n [n − 1 + 1] + 2 [n − n + 1] − 2 [n − n + 1] [n − n + 1]
2n [1] + 2 [1] n − 2 [1] [1]
2n + 2n − 2
A lo que finalmente resulta en:
Δ {f (n) g (n)} = 4n − 2
3.11.5
(3.63)
Primera diferencia de un cociente de funciones
Teorema 3.6 Primera diferencia de un cociente de funciones. Sean las
dos funciones reales de variable entera f (n) y g (n). La primera diferencia de
su cociente es:
Δ
1
f (n)
=
[Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n)]
g (n)
g (n) g (n − 1)
(3.64)
A modo de demostración, considérense las funciones reales de variable entera
f (n) y g (n). La primera diferencia de su cociente es:
Δ
f (n)
f (n) f (n − 1)
=
−
g (n)
g (n)
g (n − 1)
Realizando la resta de quebrados
Δ
f (n) g (n − 1) − f (n − 1) g (n)
f (n)
=
g (n)
g (n) g (n − 1)
Restando y sumando f (n) g (n) en el numerador del miembro derecho de la
ecuación
Δ
f (n) g (n − 1) − f (n − 1) g (n) + f (n) g (n) − f (n) g (n)
f (n)
=
g (n)
g (n) g (n − 1)
68
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Factorizando términos comunes
Δ
[f (n) − f (n − 1)] g (n) − f (n) [g (n) − g (n − 1)]
f (n)
=
g (n)
g (n) g (n − 1)
Sabiendo que Δf (n) = f (n) − f (n − 1) y Δg (n) = g (n) − g (n − 1) se
sutituyen estas relaciones y resulta
Δ
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n)
f (n)
=
g (n)
g (n) g (n − 1)
Obsérvese que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación 3.64 por lo cual
se valida el teorema 3.6.
Teorema 3.7 Primera diferencia, por determinante, de un cociente
de funciones. Sean las funciones reales de variable entera f (n) y g (n). La
primera diferencia de su cociente es:
�
�
� f (n)
1
f (n)
g (n) ��
�
=
(3.65)
Δ
g (n)
g (n) g (n − 1) � f (n − 1) g (n − 1) �
A modo de demostración, considérese solamente el numerador del miembro
derecho de la ecuación 3.64 y desarróllese como sigue:
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = [f (n) − f (n − 1)] g (n) − f (n) [g (n) − g (n − 1)]
Resolviendo los paréntesis del miembro derecho de la ecuación anterior se
logra
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n)
=
−
−
+
f (n) g (n)
f (n − 1) g (n)
f (n) g (n)
f (n) f (n − 1)
Operando ahora los términos repetidos y aplicando propiedad conmutativa
de la suma resulta
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = f (n) g (n − 1) − f (n − 1) g (n)
Este resultado puede expresarse como el determinante siguiente
�
�
� f (n)
g (n) ��
|
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = ��
f (n − 1) g (n − 1) �
Entonces la primera diferencia de un cociente puede expresarse como
�
�
� f (n)
f (n)
1
g (n) ��
�
Δ
=
g (n)
g (n) g (n − 1) � f (n − 1) g (n − 1) �
Obsérvese que la ecuación obtenida es idéntica a la ecuación 3.65 por lo cual
se valida el teorema 3.5.
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
3.11.6
69
Ejemplo de la primera diferencia de un cociente
Calcule la primera diferenciaa del cociente de las siguientes funciones
f (n)
g (n)
=
=
2n
n
(3.66)
Sustituyendo las ecuaciones 3.66 en la fórmula 3.65 se logra
Δ
f (n)
1
=
[2 (n − n + 1) n − 2n (n − n + 1)]
g (n)
n (n − 1)
Resolviendo el miembro derecho se simplifica a:
Δ
f (n)
2n − 2n
=
g (n)
n (n − 1)
Lo que resulta finalmente en
Δ
f (n)
=0
g (n)
3.12
Dependencia lineal e independencia lineal
3.12.1
Criterios de dependencia e independencia lineal
sobre dos funciones discretas
Teorema 3.8 Dependencia lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de
variable entera f (n) y g (n), éstas dos formarán un conjunto de ecuaciones
linealmente dependientes si una de ellas es un múltiplo escalar de la otra. Matemáticamente se puede escribir:
f (n) = λg (n)
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.67)
Teorema 3.9 Criterio del cociente para valuar la dependencia lineal.
Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n), éstas dos
formarán un conjunto de ecuaciones linealmente dependientes si su cociente es
una constante real, diferente de cero, para toda nen el dominio común de las
funciones: lo cual indica que una de las funciones es un múltiplo escalar de la
otra. Matemáticamente se tiene que:
f (n)
=λ
g (n)
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.68)
70
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Teorema 3.10 Criterio del cociente para valuar la indepdencia lineal.
Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n), éstas dos
formarán un conjunto de ecuaciones linealmente independientes si su cociente
es una función de la variable independiente. Matemáticamente se tiene que:
f (n)
= h (n)
g (n)
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.69)
Teorema 3.11 Criterio de la diferencia de un cociente para valuar
la dependencia lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n), éstas dos formarán un conjunto de ecuaciones linealmente
dependientes si satisfacen la siguiente condición:
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = 0
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.70)
A modo de demostración considérese que el cociente de dos funciones linealmente dependientes es una constante y que su primera diferencia será cero, es
decir:
Δ
f (n)
= Δcte = 0
g (n)
(3.71)
Sustituyendo la ecuación 3.64 en el miembro izquierdo de la ecuación 3.71
se tiene que:
1
[Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n)] = 0
g (n) g (n − 1)
Despejando el denominador se logra:
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = 0
Nótese que la ecuación obtenida corresponde con la ecuación 3.70.
La ecuación 3.70 es una forma elegante de expresar la dependencia lineal de
dos funciones discretas. Esta ecuación, si se desarrollan las diferencias, puede
expresarse en forma de determinante lo que da pie al siguiente teorema.
Teorema 3.12 Criterio del determinante para valuar la dependencia
lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n), éstas
dos formarán un conjunto de ecuaciones linealmente dependientes si satisfacen
la siguiente condición:
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
g (n) ��
=0
g (n − 1) �
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.72)
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
71
A modo de demostración considérese que el cociente de dos funciones linealmente dependientes es una constante y que su primera diferencia será cero, es
decir:
Δ
f (n)
=0
g (n)
Sustituyendo la ecuación 3.65 en el miembro izquierdo de la ecuación 3.71
se tiene que:
�
�
� f (n)
1
g (n) ��
�
=0
g (n) g (n − 1) � f (n − 1) g (n − 1) �
Despejando el denominador se logra
�
� f (n)
g (n)
�
� f (n − 1) g (n − 1)
�
�
�=0
�
Nótese que la ecuación obtenida corresponde con la ecuación 3.72.
Teorema 3.13 Criterio de la diferencia de un cociente parra valuar
la independencia lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n), éstas dos formarán un conjunto de ecuaciones linealmente
independientes si satisfacen la siguiente condición:
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = x (n)
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.73)
A modo de demostración considérese que el cociente de dos funciones linealmente independientes es una función de n y por tanto su primera diferencia
también será una función de n o una constante, es decir:
�
f (n)
Δh (n)
Δ
=
(3.74)
cte
g (n)
Sustituyendo la ecuación 3.65 en el miembro izquierdo de la ecuación 3.74
se logra
�
1
Δh (n)
[Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n)] =
cte
g (n) g (n − 1)
Despejando el término de denominador resulta en:
Δf (n) g (n) − f (n) Δg (n) = x (n)
Nótese que la ecuación obtenida corresponde con la ecuación 3.73 .
La ecuación 3.73 es una forma elegante de expresar la independencia lineal
de dos funciones discretas. Esta ecuación, si se desarrollan las diferencias, puede
expresarse en forma de determinante, lo que da pie al siguiente teorema.
72
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Teorema 3.14 Criterio por determinante para valuar la independencia lineal. Dadas dos funciones reales, ambas de variable entera, f (n) y g (n),
éstas dos formarán un conjunto de ecuaciones linealmente independientes si
satisfacen la siguiente condición:
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
g (n) ��
= x (n)
g (n − 1) �
∀n � dom {f }
�
dom {g}
(3.75)
La respectiva demostración se deja al lector.
3.12.2
Criterio de dependencia e independencia lineal
sobre un conjunto de funciones
Teorema 3.15 Criterio por determinante para valuar la dependencia
lineal de un conjunto de funciones. Sea un conjunto de N funciones reales
de variable entera ϕ = {f1 (n), f2 (n),. . .,fN (n)}, este conjunto será linealmente
dependiente si todos los posibles pares de funciones que puedan tomarse del
conjunto son linealmente dependientes. Matemáticamente se puede escribir:
N
−1
�
N �
�
� fi (n)
�
� fi (n − 1)
i=1 j=i+1
�
fj (n) ��
=0
fj (n − 1) �
∀n � dom {ϕ}
(3.76)
Por ejemplo, supóngase un conjunto de tres ecuaciones
ϕ = {f1 (n) , f2 (n) f3 (n)}
(3.77)
El desarrollo de la ecuación 3.76 sería como sigue:
�2
i=1
�
� fi (n)
�
j=i+1 � f (n − 1)
i
�3
�
fj (n) ��
fj (n − 1) �
=
+
+
(3.78)
�
� f1 (n)
�
� f1 (n − 1)
�
f2 (n) ��
f2 (n − 1) �
�
� f2 (n)
�
� f2 (n − 1)
�
f3 (n) ��
f3 (n − 1) �
�
� f1 (n)
�
� f1 (n − 1)
�
f3 (n) ��
f3 (n − 1) �
Teorema 3.16 Criterio por determinante para valuar la indepdencia
lineal de un conjunto de funciones. Sea un conjunto de N funciones reales
de variable entera ϕ = {f1 (n), f2 (n),. . .,fN (n)}. Este conjunto será linealmente
independiente si todos los posibles pares de funciones que puedan tomarse del
conjunto son linealmente independientes. Matemáticamente se puede escribir:
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
N �
�
� fi (n)
�
� fi (n − 1)
N
−1
�
i=1 j=i+1
3.12.3
�
fj (n) ��
= xi,j (n)
fj (n − 1) �
∀n � dom {ϕ}
73
(3.79)
Criterios sobre la combinación lineal de funciones
discretas para el cálculo de la dependencia e
independencia lineal.
Teorema 3.17 Criterio de la combinación lineal para dependencia lineal. Sea un conjunto de N funciones reales y discretas de variable entera:
ϕ = {f1 (n) , f2 (n) , . . . , fi (n) , . . . , fN (n)} y sea el conjunto de constantes reales
λ = {λ1 , λ2 , . . . , λi , . . . , λN �R} no todas cero. Este conjunto de funciones será
linealmente dependiente si existe al menos una función cuyo múltiplo escalar es
una combinación lineal de las restantes para toda n en el dominio del conjunto
de funciones, es decir:
λi fi (n)
=
λ1 f1 (n) + λ2 f2 (n) + . . . + λN fn (n) ∀n � dom {ϕ}
∧ {λ1 , λ2 , . . . , λi , . . . , λN �R}
(3.80)
Si ahora se resta λi fi (n) a ambos miembros de la ecuación 3.80 se tiene que:
λ1 f1 (n) + λ2 f2 (n) + . . . + λN fn (n) − λi fi (n) = 0
∀n � dom {ϕ}
(3.81)
Si las funciones de la ecuación 3.81 fueran linealmente dependientes, se puede
afirmar que hay un conjunto de constantes, no todas cero, para las cuales la
combinación lineal de todas las funciones del conjunto es cero.
Si las funciones de la ecuación 3.81 fueran linealmente independientes, no
habría un conjunto de constantes, no todas diferentes de cero, para las cuales la
combinación lineal sea nula. Entonces, la única forma en que tal combinación
lineal sea cero sería que todas las constantes sean cero. Así entonces se tiene el
siguiente criterio de independencia lineal:
Teorema 3.18 Criterio de la combinación lineal para la indepdencia
lineal. Sea un conuunto de N funciones reales y discretas de variable entera:
ϕ = {f1 (n) , f2 (n) , . . . , fi (n) , . . . , fN (n)} y sea el conjunto de constantes reales
λ = {λ1 , λ2 , . . . , λi , . . . , λN �R} no todas cero. Si la combinación lineal de las
funciones es cero, es decir, λ1 f1 (n) + λ2 f2 (n) + . . . + λN fn (n) = 0 para n en
el dominio del conjunto de funciones, solamente cuando todas las constantes
son cero λ1 = λ2 = . . . = λN = 0, se dice que las funciones son linealmente
independientes.
74
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
3.12.4
La matriz de Casorati y su determinante el casoratiano
Suponga ahora un conjunto de tres funciones reales, las tres de variable
entera:
ϕ = {f (n) , g (n) , h (n)}
(3.82)
Estas funciones serán linealmente independientes si satisfacen:
λ1 f (n) + λ2 g (n) + λ3 h (n) = 0
∀n � dom {ϕ} ∧ λ1 = λ2 = λ3 = 0
(3.83)
Dado que la ecuación 3.83 se cumple para toda n del dominio del conjunto de funciones, estonces se cumple también para los dos valores consecutivos
anteriores, es decir, n − 1 y n − 2. As´i entonces, se pueden plantear las dos
ecuaciones siguientes:
λ1 f (n − 1) + λ2 g (n − 1) + λ3 h (n − 1) = 0
(3.84)
y
∀n � dom {ϕ} ∧ λ1 = λ2 = λ3 = 0
λ1 f (n − 2) + λ2 g (n − 2) + λ3 h (n − 2) = 0 ∀n � dom {ϕ} ∧ λ1 = λ2 = λ3 = 0
(3.85)
Ahora bien, es posible reunir las ecuaciones 3.83, 3.84y 3.85 en el siguiente
sistema:


 

f (n)
g (n)
h (n)
λ1
0
 f (n − 1) g (n − 1) h (n − 1)   λ2  =  0 
(3.86)
f (n − 2) g (n − 2) h (n − 2)
λ3
0
Donde la matriz de coeficiente formada por las diferencias de las funciones
se llama matriz de Casorati de las funciones y el determinante de la matriz se
llama casoratiano de las funciones. El casoratiano será representado como WC
y se denota como:
�
�
� f (n)
g (n)
h (n) ��
�
(3.87)
WC = �� f (n − 1) g (n − 1) h (n − 1) ��
� f (n − 2) g (n − 2) h (n − 2) �
3.12.5
Significado del casoratiano
Del sistema de ecuaciones homogéneas 3.86 no nos interesa el cálculo de
las constantes λ1 , λ2 , λ3 ya que, como es visible, los métodos de cálculo sólo
permiten la solución trivial. En realidad nos interesa el casoratiano ya que éste
determinante permite calcular la dependencia o independencia lineal de todas
las posibles parejas que puedan formarse con un conjunto de funciones.
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
75
Desarrollando el casoratiano de la ecuación 3.87:
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
� f (n − 2)
g (n)
g (n − 1)
g (n − 2)
h (n)
h (n − 1)
h (n − 2)
�
�
�
�
�
�
=
−
+
(3.88)
�
� g (n − 1)
f (n) ��
g (n − 2)
�
� f (n − 1)
g (n) ��
f (n − 2)
�
� f (n − 1)
h (n) ��
f (n − 2)
�
h (n − 1) ��
h (n − 2) �
�
h (n − 1) ��
h (n − 2) �
�
g (n − 1) ��
g (n − 2) �
Este resultado permite suponer su utilidad para evaluar la dependencia o
independencia lineal de cualquier número de funciones.
3.12.6
Teoremas de dependencia-independencia lineal
por el criterio de Casorati
Teorema 3.19 Criterio de Casorati para depedencia lineal. Una condición para que un conjunto de N funciones reales de variable entera: ϕ = {f1 (n),
f2 (n),. . .,fN (n)} para toda n en el dominio del conjunto, sean linealmente dependientes es que su casoratiano sea cero, matemáticamente.
WC {f1 , f2 , . . . , fN } = 0
∀n � dom {ϕ}
(3.89)
Teorema 3.20 Criterio de Casorati para independencia lineal. Una
condición para que un conjunto de N funciones reales de variable entera: ϕ =
{f1 (n), f2 (n),. . .,fN (n)} para toda n en el dominio del conjunto, sean linealmente independientes es que su casoratiano sea función de n, matemáticamente.
WC {f1 , f2 , . . . , fN } = f (n)
∀n � dom {ϕ}
(3.90)
Es posible extender el teorema 3.20 pensando que es suficiente evaluar el
csoratiano para un único valor de la variable independiente y encontrar que el
determinante es diferente de cero. Este valor de la variable independiente puede
ser cualquiera dentro del dominio del conjunto de funciones.
Teorema 3.21 Segundo criterio de Casorti para independencia lineal.
Una condición no suficiente para que un conjunto de N funciones reales de
variable entera: ϕ = {f1 (n), f2 (n),. . .,fN (n)} para toda n en el dominio del
conjunto, sean linealmente independientes es que su casoratiano sea diferente de
cero para algún valor de n dentro del mencionado dominio, matemáticamente:
WC {f1 , f2 , . . . , fN } �= 0
para alguna n � dom {ϕ}
(3.91)
76
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
Un problema que se presenta con el casoratiano ocurre con cierto tipo de
conjuntos, por ejemplo, los conjuntos que contienen funciones dependientes e
independientes, o bien, el conjunto con la función signum. En este tipo de conjuntos extraños, el casoratiano puede reusltar en cero, indicando la dependencia
lineal de las funciones.
Teorema 3.22 Incertidumbre del casoratiano de la dependencia lineal
de un conjunto de funciones. Si el casoratiano de N funciones reales de
variable entera: ϕ = {f1 (n), f2 (n),. . .,fN (n)} para toda n en el dominio del
conjunto, es cero, no se tiene certidumbre de si las funciones son linealmente
dependientes o no.
3.12.7
Ejemplo
Sean f (n)y g (n)dos funciones reales, ambas de variable entera, definidas a
continuación, defínase el respectivo casoratiano.
f (n)
g (n)
∀n�Z
∀n�Z
(3.92)
El respectivo casoratiano queda establecido como:
�
�
� f (n)
g (n) ��
�
� f (n − 1) g (n − 1) �
Resolviendo el determinante se logra:
3.12.8
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
g (n) ��
= f (n) g (n − 1) − g (n) g (n − 1)
g (n − 1) �
(3.93)
Ejemplo
Se desea saber si las funciones siguientes son linealmente independientes:
f (n)
g (n)
=
=
n; ∀n�Z
an ∀n�Z
El casoratiano de estas funciones se plantea como:
� �
�
� f (n)
an
g (n) �� �� n
�
� f (n − 1) g (n − 1) � = � n − 1 a (n − 1)
Resolviendo el casoratiano:
�
� f (n)
g (n)
�
� f (n − 1) g (n − 1)
(3.94)
�
�
�
�
�
�
� = an (n − 1) − an (n − 1) = 0
�
(3.95)
Dado que el casoratiano es cero se puede afirmar que las ecuaciones 3.95 son
linealmente dependientes.
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
n
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
77
−n2 + n
-30
-20
-12
-6
-2
0
0
-2
-6
-12
-20
Cuadro 3.1: Evalaución del casoratiano para la pareja de funciones 3.97.
3.12.9
Ejemplo
Se desea saber si las funciones siguientes son linealmente independientes.
f (n)
g (n)
=
=
n;
n2
∀n�Z
∀n�Z
(3.96)
El casoratiano de estas funciones se plantea como
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
� �
g (n) �� �� n
=
g (n − 1) � � n − 1
Resolviendo el casoratiano:
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
�
n2
�
2 �
(n − 1)
�
g (n) ��
2
= n (n − 1) − n2 (n + 1) = −n2 + n
g (n − 1) �
(3.97)
Dado que el casoratiano es una función de n se puede concluir que el conjunto
de ecuaciones 3.97 es linealmentre independiente.
El casoratiano de las ecuaciones 3.97 es notablemente una curva parabólica.
La evaluación del casoratiano para algunos valores puede verse en el cuadro 3.1.
3.12.10
Ejemplo
Se desea saber si las funciones siguientes son linealmente dependientes
f (n)
g (n)
h (n)
=
=
=
n ∀n�Z
2n ∀n�Z
n2 ∀n�Z
El casoratiano de estas funciones se plantea como:
(3.98)
78
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
casoratiano
-5
0
-4
0
-3
0
-2
0
-1
0
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
casoratiano=[,];
for n=-10:10
aux=det( [n 2*n n*n; n-1 2*(n-1) (n-1)*(n-1) ; n-2 2*(n-2)
(n-2)*(n-2) ] );
casoratiano=[casoratiano ; n,aux];
end
casoratiano
Cuadro 3.2: Evaluación del casoratiano para la pareja de funciones 3.98. A la
derecha de la tabla se exhibe el código M para calcular los determinantes.
�
� f (n)
�
� f (n − 1)
�
� f (n − 2)
g (n)
g (n − 1)
g (n − 2)
� �
� � n
� �
�=� n−1
� �
� � n−2
h (n)
h (n − 1)
h (n − 2)
2n
2 (n − 1)
2 (n − 2)
n2
2
(n − 1)
2
(n − 2)
�
�
�
�
�
�
(3.99)
Resolviendo el determinante se genera una función de n, sin embargo, es
más rápido recurrir a alguna herramienta de cálculo en la que se sustituyan
diversos valores de n y calcular los respectivos determinantes. La evaluación del
casoratiano para valores de n en el intervalo de −5 a 5 puede verse en el cuadro.
Dado que la tabla 3.2 muestra consistentemente cero para los valores de
n exhibidos, se puede concluir que, de acuerdo al casoratiano, el conjunto de
ecuaciones 3.98 es linealmente dependiente.
Al evaluar visualmente las ecuaciones 3.98 puede notarse que dos de ellas f
y g son linealmente dependientes, en tanto que h es linealmente independiente.
3.12.11
Ejemplo
Se desea saber si las funciones siguientes son linealmente independientes:
f (n)
g (n)
h (n)
=
=
=
1n
n
(−2)
n
3
∀n�Z
∀n�Z
∀n�Z
(3.100)
El casoratiano de estas funciones se plantea como:
�
� 1n
� n−1
� 1
�
� 1n−2
n
(−2)
n−1
(−2)
n−2
(−2)
3n
3n−1
3n−2
�
�
�
�
�
�
(3.101)
3.12. DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL
n
Casoratiano
-5
-4
-3
-2
-1
-1.0717e-04
6.4300e-04
-3.8580e-03
2.3148e-02
-1.3889e-01
0
1
2
3
4
5
8.3333e-01
-5.0000e+00
3.0000e+01
-1.8000e+02
1.0800e+03
-6.4800e+03
79
casoratiano=[,];
for n=-5:5
aux=det( [1^n , (-2)^n , 3^n ; 1^(n-1) , (-2)^(n-1) ,
3^(n-1) ; 1^(n-2) , (-2)^(n-2) , 3^(n-2) ] );
casoratiano=[casoratiano ; n,aux];
end
casoratiano
Cuadro 3.3: Evaluación del casoratiano de la ecuación 3.100. A la derecha se
presenta el código en M empleado para generar la tabla.
Mediante operaciones por fila se puede mostrar que esta matriz es siempre
inversible. Sin embargo, es posible recurrir al teorema 3.18 y sustituir un valor
para n, por ejemplo n = 0 y calcular el determinante.
�
�
� 1
1
1 ��
�
� 1 −0.5 0.333 �
(3.102)
�
�
� 1 0.25 0.111 �
Entonces, de acuerdo al teorema 3.18 dado que el casoratiano es diferente de
cero para algún valor de n se puede concluir que el conjunto de tres funciones
es linealmente independiente.
El cuadro 3.3 nos ilustra la evaluación del casoratiano para diferentes valores del dominio: claramente se puede deducir la independencia lineal de las
funciones.
3.12.12
Ejemplo de incertidumbre del casoratiano
Sean las funciones siguientes, determine si son linealmente independientes.
Evalúe el casoratiano para valores de n� [−5, 5] y analice los resultados.
f (n)
g (n)
=
=
n2
n|n|
∀n�Z
∀n�Z
El casoratiano para esta función se plantea como
�
�
�
n|n| ��
n2
�
� (n − 1)2 n|n − 1| �
(3.103)
(3.104)
Evaluando el casoratiano para los valores de n indicados en el problema, se
consigue la tabla del cuadro.
La figura 3.13 ilustra la gráfica del comportamiento tanto de n2 y n|n|. Si
se aplica el criterio del cociente, el resultado es una función signus (sgn (n)) no
80
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
n
casoratiano
-5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
0
0
0
0
0
0
2
3
4
5
0
0
0
0
casoratiano=[,];
for n= -5: 5
aux=det( [n^2 , n*abs(n); (n-1)^2 , (n-1)*abs(n-1)] );
casoratiano=[casoratiano ; n,aux];
end
casoratiano
Cuadro 3.4: Evaluación del casoratiano de las ecuaciones 3.103. A la derecha se
presenta el código en M empleado para generar la tabla.
Figura 3.13: Gráficas de n2 y n|n|.
3.13. ENERGÍA Y POTENCIA
81
obstante que el casoratiano es consistentemente cero. Tal situación indica que el
teorema de dependencia lineal por casoratiano no se cumple en todos los casos.
3.13
Energía y potencia
La señales, para su tratamiento correcto, deben clasificarse en función de la
energía consumida por ellas y en función de la rapidez con la cual consumen
energía. A este respecto, las señales pueden clasificarse en uno de dos tipos:
señal energía y señal potencia.
Los métodos matemáticos empleados en el análisis de señales discretas están
en función del tipo de señal que se desea analizar. Así entonces, las señales
potencia serán analizadas empleando series trigonométricas de Fourier y series
exponenciales de Fourier. Por otra parte, las señales energía se analizan mediante
la transformada de Fourier.
3.13.1
Energía
Definición 3.24 Energía consumida por una función en un intervalo
finito. Considere inicialmente la siguiente secuencia discreta:
�
�
f (n) = . . . , f (−N ) . . . f (0) . . . f (N ) , . . .
(3.105)
↑
La energía consumida por la serie de la ecuación 3.105, en el intervalo
−N ≤ n ≤ N se calcula entonces como:
ξ2N +1 {f (n)} =
N
�
f 2 (n)
(3.106)
n=−N
Definición 3.25 Energía media total de una función. Es toda la energía
que la función consume. Para calcular esta energía se evalúa desde tiempo
−∞ hasta tiempo ∞. Así, considere la función 3.105, la energía media total
consumida se evalúa considerando un intervalo infinito.
ξ {f (n)} = lim
N →∞
3.13.2
N
�
f 2 (n)
(3.107)
n=−N
Potencia
Definición 3.26 La potencia consumida en un intervalo finito. o rapidez con la cual se consume la energía la función 3.105 se calcula como la energía
consumida en el intervalo −N ≤ n ≤ N .
82
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
S2N +1 {f (n)} =
1
ξ2N +1 {f (n)}
2N + 1
(3.108)
Definición 3.27 La potencia media total es la rapidez con la cual se consume la energía media total. Este consume se calcula como sigue:
S {f (n)} = lim
N →∞ 2N
1
ξ2N +1 {f (n)}
+1
(3.109)
Sustituyendo la ecuación 3.106 en la ecuación 3.109 se logra:
N
�
1
f 2 (n)
N →∞ 2N + 1
S {f (n)} = lim
3.13.3
(3.110)
n=−N
Señal energía
Definición 3.28 Una señal energía es aquella que:
• Tiene energía media total finita, es decir, requiere de un consumo finito
de energía
ξ {f (n)} < ∞
(3.111)
• Tiene potencia media total cero
S {f (n)} = 0
(3.112)
• Son señales de duración finita
• Son también señales de duración infinita pero que concentran su consumo
de eneregía en un pequeño intervalo. El resto del tiempo el comsumo de
energía es mínimo y tiende a cero.
3.13.4
Señal potencia
Definición 3.29 Una señal potencia es aquella que:
• Tiene potencia media total finita
S {f (n)} < ∞
(3.113)
• Tiene energía media total infinita, es decir, requiere de un consumo infinito de energía.
ξ {f (n)} = ∞
(3.114)
3.13. ENERGÍA Y POTENCIA
83
• Son señales periódicas, las cuales son de duración infinita.
• Son señales constantes, las cuales tienen una duración infinita.
• Son señales aleatorias, las cuales son de duración infinita.
3.13.5
Ejemplo de señal energía: exponencial unilateral
decreciente
Sea la función exponencial unilateral decreciente indicada a continuación, se
desea calcular su energía media total y su potencia media total.
f (n) = µ (n) an ;
0<a<1
(3.115)
El cálculo de la energía media total se despliega a continuación
ξ {µ (n) an }
=
lim
N →∞
=
lim
N →∞
�N
n=0
�N
n=0
a2n
� 2 �n
a
� �N +1
1− a2
1−a2
N →∞
=
lim
Considere ahora que 0 < a < 1 por lo cual:
(3.116)
lim a2(N +1) = 0
N →∞
Entonces, la energía media total de la exponencial unitarial es:
ξ {µ (n) an ;
0 < a < 1} =
1
1 − a2
(3.117)
El cálculo de la potencia media total se despliega a continuación
S {µ (n) an }
=
ξ{µ(n)an }
N →∞ 2N +1
lim
�
1
1−a2
�
=
lim
N →∞ 2N +1
=
0
Entonces, la potencia media total de la exponencial unilateral es:
S {µ (n) an ;
0 < a < 1} = 0
(3.118)
84
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS
3.13.6
Ejemplo de señal potencia: escalón unitario
Sea la función escalón unitario de la cual se desea calcular su potencia media
total y su energía media total. El cálculo de la potencia media total se despliega
a continuación:
S {µ (n)}
1
N →∞ 2N +1
=
lim
�N
n=−N
lim 1
N →∞ 2N +1
=
�N
µ2 (n)
n=0
1
lim N +1
N →∞ 2N +1
=
Ahora, resolviendo el límite
S {µ (n)}
=
=
lim N +1 /N
N →∞ 2N +1 /N
1
1+ N
1
2+
N
N →∞
lim
1
2
=
Entonces, la potencia media total de una señal escalón unitario es:
1
(3.119)
2
El cálculo de la energía media total del escalón unitario se realiza a continuación
S {µ (n)} =
ξ {µ (n)}
=
=
=
lim µ2 (n)
N →∞
lim
N →∞
�N
n=0
1
lim N + 1
N →∞
Entonces la energía media total de un escalón unitario es infinita:
ξ {µ (n)} = ∞
3.14
Ejercicios
1. Grafique las siguientes ecuaciones
�10
(a)
i=0 δ (n − i) ; n� [−5, 15]
�
��
5
δ
(n
−
i)
+ r (n) ; n� [0, 5]
(b)
i=0
(c) [r (n) − r (n − 5)] µ (n) ; n� [0, 10]
(3.120)
3.14. EJERCICIOS
85
2. Dadas las siguientes funciones, calcule las diferencias hacia atrás �, �2
de su producto
f (n)
=
n+1
g (n)
=
n+2
3. Dadas las siguientes ecuaciones, resueva las diferencias:
(a) y (n) = Δ2 x (n) + 5Δx (n) + x(n)
(b) Δy (n) + 2y (n) = Δ2 x (n) + 2Δx (n) + 3x (n)
4. Calcule el conjunto dominio de las funciones siguientes:
�
�
(a) f = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 ; n� [¿?]
↑
(b) f = [−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3] ;
n� [¿?]
(c) f = [−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .] ; n� [¿?]
�
�
(d) f = . . . 0, 0, 1, 2, 3 ; n� [¿?]
↑
�
�
(e) f = . . . 0, 0, 1, 2, 3, . . . ; n� [¿?]
↑
(3.121)
86
CAPÍTULO 3. FUNCIONES DISCRETAS