Generalización Inductiva y Generalización Constructiva 1 Sobre

Generalización Inductiva y Generalización Constructiva
Sylvia da Rosa
Mayo 2004
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Sobre ”Recherches sur la Generalization”
En este informe se resumen las principales ideas de un trabajo de la Escuela de
Ginebra publicado en Series of ”Etudes d’Epistemologie Genetique” en los años 60,
a saber ”Recherches sur la Generalization” por Jean Piaget.
La obra contiene descripciones completas y análisis de varios experimentos incluyendo
partes seleccionadas de entrevistas a los niños, como es usual en los trabajos de la
Escuela de Ginebra. Aunque hemos extraido provechosas ideas de dichas descripciones, éstas no se incluyen acá sino que nos enfocamos en las conclusiones del autor
y hacemos referencia a nuestros propios experimentos, para mostrar ejemplos de
aplicación. Las páginas referidas entre paréntesis contienen extractos de entrevistas
que se realizaron en el curso de dichos experimentos (que se adjuntan), en el marco
de una investigación sobre algoritmos recursivos. Las partes relevantes del texto de
las entrevistas están resaltadas.
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Ejemplos de aplicación
Una vez que los estudiantes trabajaron con el problema de la búsqueda binaria y con
el conteo de as del lenguaje (papers 2010 y 2007 respectivamente), se les plantean
otros problemas, algunos de los cuales son: contar elementos en una estructura de
árbol (que se trabajó anteriormente en un ejercicio que no se incluye acá), ubicar
una palabra que no está en el diccionario y buscar una palabra en una novela. Los
problemas son:
Exercise 1
A mathematical definition of the set of trees is given by the following rules:
1) R is a tree.
2) B is a tree.1
3) if a1 is a tree and a2 is a tree, then a1 R a2 is a tree.
4) if a1 is a tree and a2 is a tree, then a1 B a2 is a tree.
5) Only the elements generated by application of these rules a finite number of steps
are trees.
Graphically, the trees can be represented as follows:
1
R stands for ”red light” and B stands for ”blue light”
1
R
/ \
a1
a2
B
/ \
a1
a2
Define a method of counting the red lights (R) of any tree.
Exercise 2
How would you search for the word gato in a novel in which you know that the word
exists?
Exercise 3
1) How can the algorithm of searching a word in a dictionary be modified to take
into account the case in which the word is not in the dictionary?
2) Given a dictionary and a word that is not in it, define a method of including the
word in the dictionary at the right place.
El objetivo consiste en investigar el instrumento psicológico llamado por Piaget
generalización, donde una de las condiciones de generalización efectiva consiste en
que los obstáculos se resuelven no por mera repetición de operaciones construidas
previamente, sino por las transformaciones a las mismas que deben imponerse debido
a las caracterı́sticas propias de cada problema.
Los problemas propuestos presentan variaciones y similitudes adecuadas, enfrentando a los estudiantes a la necesidad de diseñar nuevas composiciones de métodos
(insertar, búsqueda secuencial, contar en estructura binaria).
Se ha constatado en los experimentos que el razonamiento de los estudiantes
se caracteriza por un estado tal que pretende fundarse en constataciones uniformes
y generalizar los observables a todas las situaciones presentadas. Se dan en este
artı́culo las fundamentaciones de la teorı́a para interpretar ese comportamiento.
En los experimentos realizados después del de buscar una palabra en el diccionario, hay uno en el que se pide a los estudiantes que diseñen un método para
ubicar una palabra que no está en el diccionario, en el lugar correcto (ejercicio 3
parte 2 arriba). Se observa que todos los estudiantes, tal vez con excepción de uno
(Sergio), aplican el método de búsqueda binaria que han usado y conceptualizado
anteriormente, para ubicar una palabra en su lugar, y esto constituye el prototipo
de la generalización inductiva2 .
Otros ejemplos son: en el problema de contar sobre la estructura de los árboles
(ejercicio 1 arriba), que es binaria, los estudiantes tratan de usar un * (186-187 y
173 (Felipe)) tratando de generalizar lo que han construido para el caso del lenguaje
(paper 2007) sin transformarlo. En el problema de buscar una palabra en una
novela (ejercicio 2 arriba), dicen que hay que leer toda la novela (67 y 173) (incluso
un estudiante (Juan Andrés) dice que hay que numerarla), en un intento de usar lo
que han asimilado para el caso del diccionario y tratando de salvar los obstáculos que
aparecen sin transformar el método o sin tomar conciencia de que lo transforman
(al decir que hay que leer la novela, implı́citamente lo están transformando). Como
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La generalización de un método a un caso para el cual no fue generado, puede dar un resultado
correcto o no.
2
ejemplo sobre el problema de ubicar una palabra en el diccionario ver la descripción
que sigue al Exercise 2 pág 187.
Uno de los obstáculos detectados se encuentra en el significado de la implicación
(que ya habı́a sido detectado para los primeros problemas) y que en el caso de los
árboles se revela más claramente al ser la estructura binaria y porque aparece en el
plano de la acción, es decir en la implicancia entre acciones (ver Lograr y Comprender
del módulo anterior). Los estudiantes no son capaces de construir un árbol usando
R y B como árboles previos, es decir no pueden usarlos como a1 y a2. Al hablar
sobre las reglas dicen: si tengo R tengo que agregar otros dos árboles ..., pensando
en derivar dos árboles desde R (hacia abajo) en vez de pensar que deben juntar a1 y
a2 con R (hacia arriba). Interpretamos esta conducta como la no comprensión de la
implicación ”if a1 and a2 are trees, then a1Ra2 is a tree”. Esa no comprensión está
relacionada con la confusión entre lo posible y lo necesario, es decir, confundir ”si
tengo A entonces tengo B” (que significa que A puede no darse) con ”para tener B
debo tener A”. A eso se refiere Piaget en las conclusiones resumidas en el material
”Lograr y comprender” pág. 3 cuando dice: ”Es el gran salto que se da en el proceso
cognitvo cuando el niño pasa de ”lo empujé y se movió” a ”si lo empujo se mueve”.
Ver ejemplo en pág 61.
2.1
De la generalización inductiva a la generalización constructiva
La formación de la generalización constructiva consiste en transformar una construcción material en una construcción conceptual, aunque la material puede ser
mental pero aferrada a los objetos (como hacen casi todos los estudiantes frente a
un tema nuevo).
Se distinguen tres niveles en los datos de la acción propia y entre las trancisiones
entre ellos:
• Partiendo de la periferia (ley de TC), se reconocen los resultados exteriores de
la acción, sin que se comprenda el cómo se logran.
• En segundo lugar tenemos el desarrollo de la acción material y la TC de la
misma, que junto con lo primero, son asuntos de abstracción empı́rica.
• En tercer lugar tenemos la comprensión del mecanismo interno de la acción,
por tanto de sus necesarias coordinaciones (fuente de las operaciones lógico
matemáticas) y la TC de esta lógica depende de la abstracción reflexiva. Las
acciones ya no se perciben aisladamente sino coordinadas y dicha coordinación
se impone como necesaria.
Hemos comprobado la existencia de estos niveles en varios experimentos: diccionario,
lenguaje, ordenación, etc. Al efectuar una acción paso a paso, percibiendo solamente
el resultado de la misma (y aún a veces deformado), las constataciones, correctas o
no, conducen a generalizaciones inductivas, por falta de abstracción reflexiva y falta
de TC del mecanismo coordinador interno que ha permitido que la acción llegue a
ese resultado.
Cuando se generaliza a partir de los observables provenientes de los objetos (constataciones), es generalización inductiva. Cuando el pensamiento del sujeto no se limita
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sólo a una lectura de los resultados de la acción o de las manipulaciones materiales
que intervienen, sino que alcanzan el esquema mismo de su construcción, es decir,
se llega a las coordinaciones que proveen las razones estamos ante generalización
constructiva.
En cada nivel hay lı́mites que impiden que el sujeto ”vaya más allá”. Coordinación
insuficientemente dominada, en el caso de Felipe (pág.139 del adjunto), por ejemplo,
que se confunde al poner X y también en los casos en que ”restan 2” porque la palabra disminuye (144 del adjunto, Gimena). Es una construcción intermedia entre el
esquema de construcción completo (3er. nivel) y la simple lectura o reconstrucción
de los resultados de la acción (1er. nivel) o de las manipulaciones materiales (2do.
nivel). El segundo nivel se aprecia en las descripciones del experimento de búsqueda
binaria, donde los estudiantes se mantienen aferrados a sus manipulaciones concretas (comparar por ejemplo Q6 y pregunta de página 9 del paper 2010).
Los sujetos se apoyan continuamente en el esquema de sus acciones, lo que les permite a la vez, anticipar por construcción mental o representativa que sustituye a la
manipulación material, y explicar las coordinaciones necesarias dando las razones.
Transformación continua de la generalización
Lo primero que ocurre son constataciones dadas por el resultado de las acciones
(generalización inductiva, incompleta y a veces deformada por ideas preconcebidas
de fuente constructiva anterior). En segundo lugar, la generalización inductiva se
vuelve más completa, hasta pasar a la generalización constructiva en la medida en
que el sujeto, se remonta a la sucesión de sus manipulaciones materiales y finalmente a su esquema mismo, en tanto que sistema de coordinaciones necesarias (los
3 niveles).
El 2do. de los 3 niveles se manifiesta cuando el sujeto no se limita a analizar el
resultado de sus actos sino que puede reconstruirlos e incluso reemplazarlos por
un cálculo mental, es decir, por una evocación representativa. En cuanto a las
coordinaciones necesarias (3er.nivel), su eficacia se manifiesta por el descubrimiento
de razones asignadas, lo que constituye el criterio auténtico de las generalizaciones
que se han convertido en constructivas.
No hay que olvidar que las acciones del sujeto también evolucionan de un nivel a
otro (ver el caso de la construcción de los árboles). La TC de la acción es parte de
la conceptualización, es normal que se mantenga una interacción entre el progreso
de la acción y el progreso en la conceptualización (abstracción pseudo empı́rica). Es
importante constatar siempre que el método funciona, ya que el éxito va ligado a la
comprensión (Success and Understanding).
2.2
Capı́tulo IV
Hay casos en los cuales la generalización constructiva hace que los sujetos caigan en
generalizaciones inductivas a causa de ideas preconcebidas, producidas por aquella
generalización constructiva. Ejemplos de ideas preconcebidas son las nociones de
naturaleza espacial que vimos en algunos casos (-2 porque la palabra disminuye,
(paper 2007 pág 10), o la idea de que en las siguientes búsquedas (en el caso del
diccionario) hay más palabras (paper 2010 Student 1 responde ”Greater”, pág. 6)
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Piaget dice que en estos casos, la generalización constructiva anterior es correcta
(pag. 65) pero anterior a los datos del presente caso. Es el caso de Felipe y Nicolás,
que tratan de resolver el problema de los árboles (y también todos los estudiantes
en el problema de ubicar una palabra en el dicccionario), en que usan lo que construyeron antes sin adaptarlo al caso presente. Dice Piaget: ”hay aquı́ una falsa
generalización inductiva dictada por consideraciones constructivas anteriores y no
pertinentes, pero tan fuertes que ...”. Hay que hacer nuevas constataciones que
conduzcan a nuevas generalizaciones inductivas, es decir, volver atrás en el proceso,
para permitir que el estudiante construya el conocimiento sobre el nuevo problema.
¿Qué podemos decir del hecho de que los estudiantes crean que como la novela no
tiene un orden alfabético, entonces hay que leerla toda? Es generalización inductiva
y con las preguntas de ”¿por qué toda?”, etc, se induce a la generalización constructiva, descubriendo que la novela tiene un orden y que es necesario leerla ”hasta que
la encuentro”, o sea tenemos en este caso, búsqueda de razones.
La razón en tanto que explicación abastecida de la generalización constructiva, libera
las coordinaciones necesarias que intervienen desde la acción y sus construcciones
materiales y esa conceptualización tardı́a de las condiciones intrı́nsecas constituye
el 3er. nivel de la TC. Recordemos los niveles: 1) el pensamiento se atiene a los
resultados exteriores de la acción, 2) el pensamiento sigue el desarrollo de la acción
en sus manipulaciones sucesivas, dirigidas por naciente conceptualización, 3) el pensamiento remonta de las manipulaciones a las coordinaciones necesarias. Al pasar
del 1 al 2, las acciones son menos ”a tientas”. En el 2do. palier por una parte
continúan pensando en los detalles de sus manipulaciones (ver en p.163 adjunto (o
en paper 2010 pág. 9) un ejemplo de cómo ante la pregunta:
If you had to explain to a little child -who knows how to read and knows the alphabethow to look up any word in a dictionary, what would you say?
los estudiantes siguen aferrados a la comparación entre letras, (salvo un estudiante
Iván)). O sea que tenemos abstracción empı́rica pero orientada hacia la reflexiva
(se reconoce la relación de orden y el hecho de que ”se hace lo mismo”). En todas
las etapas las explicaciones son implı́citas, es decir, las expresiones del lenguaje natural no revelan directamente el contenido. En el caso de Nicolás tenemos no sólo
generalización simplemente inductiva sino inferencias constructivas ya que no sólo se
funda en el procedimiento de construcción, sino que trata de sacar las coordinaciones
necesarias (ver su solución al problema de los árboles, (adjunto pág. 186-187)). Es
claro que la mejora del esquema de sus acciones (en el caso de los árboles), con sus
coordinaciones intrı́nsecas da un notable empuje a la generalización constructiva.
Por ejemplo, ver la observación marcada con una flecha en la pág 61.
Resumiendo tenemos: evolución de las acciones, transformaciones de la generalización, etapas de la TC y etapas de la abstracción. ¿Qué aprendemos de estos
hechos en cuanto a la relación de los dos tipos de generalizaciones y los dos tipos
de abstracciones? Ambos tipos son, de alguna manera, indisociables. Primero que
nada, vemos que hay un cuadro previo de constructividad y de reflexión (por ejemplo, en el plano de la acción, buscar en el diccionario todos lo saben hacer) que se
encuentra ya en el esquema asimilador, o sea previo a toda generalización inductiva y
abstracción empı́rica. A continuación se distinguen dos situaciones cualitativamente
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diferentes:
• La generalización inductiva y la abstracción empı́rica funcionan de manera
autónoma en el sentido de que ese cuadro se limita a permitir inferencias o
juicios, pero no los engendra (los estudiantes saben inferir por qué van para
atrás o para adelante en el diccionario, pero no saben inferir por qué encuentran
la palabra, sabiendo que está en él), la alimentación de estas estructuras solo
está provista de constataciones sucesivas del sujeto, o sea por observables no
deducibles a partir del cuadro previo. (O sea, en el caso del diccionario deducen
lo que constatan en la acción y no de lo que han construido previamente (de
la relación de orden, por ejemplo)). O sea que los términos ”inductivo” y
”empı́rico”, van unidos a constataciones en las acciones, como es usual.
• Desde que por la ley de la TC, el empuje de la generalización constructiva
se hace posible, ésta funciona también autónomamente en el sentido de que
engendra nuevas formas y contenidos no dados en los observables existentes
antes de esta construcción. Por ejemplo, podemos decir que intentar aplicar el
método ya conocido (por ej. BB) a un problema nuevo (por eje. la novela) es
usar una forma anterior a un contenido nuevo. La deducción de otro método
de buscar es generar una forma nueva no dada en los observables antes de esa
construcción, porque de los observables previos resulta el método de búsqueda
binaria (es lo que realizan en la acción).
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capı́tulo XIV: Conclusiones generales
La generalización inductiva
Es extensional y se funda en los observables. Las inferencias, sean falsas o correctas,
se limitan a generalizar de ”algunos” a ”todos” los hechos o relaciones constatadas,
siendo los observables los contenidos de las constataciones.
El registro de esos contenidos, supone una asimilación, donde las formas consisten
en clases, relaciones, números, etc. Nosotros agregamos algoritmos. Tales formas
resultan de abstracciones reflexivas y generalizaciones constructivas anteriores al razonamiento actual y que solo juegan un rol de cuadro asimilador. O sea, sólo se
limitan a permitir la asimilación de los contenidos, pero no los engendran. Lo que se
observa es contenido, lo que se deduce es forma. A menudo se suman ideas preconcebidas que falsean la lectura de los observables, debidas en este caso a inducciones
anteriores sobre otros contenidos. Siendo asi, una vez que los observables son registrados sobre los objetos dados, la generalización consiste solamente en transferir
este contenido a nuevos objetos, sin que el cuadro asimilador produzca el contenido
mismo de esta generalización.
Veamos como aplicamos esto último a nuestro caso: en el caso del diccionario y
ubicar una palabra, ¿qué hicieron todos? Aplicaron el mismo método exactamente
que para buscar una palabra: es decir, buscan la palabra y si no la encuentran,
como llegan a una lista de dos palabras, la ubican en el medio. Solo Iván y Sergio,
cuando les insisto en otro método, hacen insersión secuencial. En el caso de buscar
una palabra en una novela, la mayorı́a dice ”no tengo más remedio que leerla toda
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porque no está ordenada” JA dice que hay que numerarla para ordenarla. O sea,
están influidos por el caso del diccionario donde hay un orden distinto del ordinal.
En el caso de los árboles, Felipe y Nicolás intentan aplicar el método sin variación,
es decir, contando un *.
Entonces creemos que aca hay lo que Piaget llama generalización inductiva (o extensional): el método asimilado para buscar o contar en los problemas anteriores, se
aplica sin generación de nuevo contenido.
Cuando se trata de generalización lógico matemática, donde intervienen deducciones
e inferencias en el plano conceptual, las formas construidas anteriormente crean
nuevos contenidos, mientras que los contenidos de las generalizaciones inductivas
solo son provistos por los observables, provenientes de los objetos o de las acciones
pero atribuidos a los objetos (por ejemplo cuando dicen que el éxito del método de
buscar se debe a que el diccionario está ordenado (en el experimento se usa otro
método para focalizar la atención del estudiante en lo que hace, ver paper 2010)).
O sea, si solo nos remitimos a los observables constatados sobre los objetos, hay
generalización extensional o sea inductiva. Nuevos contenidos observables son asimilados a un esquema pre existente que no se modifica (asimilación simple). O sea el
método es asimilado por una generalización inductiva y abstracción reflexiva de un
cuadro asimilador que registra los observables de los objetos: es la generalización
por la cual los estudiantes llegan a definir el método para buscar palabras o contar
las ”as” de cualquier palabra. O sea, los observables sobre los objetos (diccionario, lenguaje) proveen el contenido de la generalización inductiva y
la abstracción reflexiva de ese cuadro asimilador, da lugar a las formas
(métodos) correspondientes. Esa forma se transforma en contenido que
es transferido a otros nuevos objetos sin producir nuevas formas para esos
objetos como contenidos (si se trata de generalización inductiva). Las formas
que los estudiantes construyeron para el caso del diccionaro y el lenguaje, (métodos)
son transformadas en contenido y transferidas a nuevos objetos (árboles y novela).
Observar que los estudiantes dicen con pena: ”no tengo más remedio que leer la
novela entera”, lamentando que no pueden aplicar el método anterior, sin advertir
que acaban de descubrir otro!!!
O sea, el método anterior se adjuntó al nuevo objeto, es decir, forma anterior pasó
a ser contenido que se agrega o adjunta al nuevo objeto y los observables sobre ese
nuevo contenido todo NO produce una nueva forma, aunque su semilla está presente
(los estudiantes no dicen ”no se puede hacer” sino que dicen ”hay que hacer otra cosa
porque no puedo hacer la anterior”). Acá tenemos que el conocimiento construido
se abre a nuevas posibilidades.
El registro de los observables sobre los objetos (diccionario, lenguaje (contenidos)),
supone una asimilación de formas (para Piaget son clases, relaciones, etc, nosotros
agregamos algoritmos, funciones). Estas formas, son el resultado de abstracción reflexiva y generalización constructiva.
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La naturaleza de la generalización constructiva
La generalización constructiva no consiste en asimilar nuevos contenidos a formas
ya construidas, sino a engendrar nuevas formas y nuevos contenidos, por lo tanto
nuevas organizaciones estructurales. En este caso, la asimilación no es una asimilación simple (es decir a esquemas pre existentes), sino una asimilación recı́proca
de esquemas concebidos anteriormente como heterogéneos. Es una asimilación con
diferenciaciones y re integraciones: en este caso el punto de partida es una dificultad
de una asimilación particular, por ejemplo, buscar en una novela o sumar R en los
árboles donde los esquemas iniciales se construyeron para buscar en el diccionario
(donde el orden es evidente) y sumar las ”as” de una palabra (donde la estructura es
lineal). En el punto de llegada lo que era perturbación u obstáculo a la asimilación,
se vuelve una transformación interna del esquema extendido, pero con diferenciación
del esquema inicial en subsistemas (aquellos en los que tenemos búsqueda en una
lista (el orden es el ordinal) o contar sobre una estructura no lineal (de árbol) y con
integración de éstos en un sistema total que los coordina (métodos de búsqueda, de
conteo, etc). Siempre hay asimilación pero de rango superior.
En la generalización constructiva tanto los contenidos como las formas son construidos por el sujeto. No asi en el caso de la generalización inductiva mencionada por
Piaget, por ejemplo en el caso de los caracoles: observando los caracoles se induce
alguna ley general sobre ellos, pero los caracoles no son generados por el sujeto.
3.1
Desarrollo de la Generalización
La evolución psicogenética de las generalizaciones descrita en la obra Recherches
sur la Généralisation está dominada por una tendencia -cada vez más acentuada- a
remplazar el conocimiento de naturaleza exógena por una reconstrucción endógena.
Esa tendencia se puede explicar por la ley de la toma de conciencia, que procede
de la periferia al centro, es decir de los observables (o puntos de interferencia entre
los objetos y los resultados de las acciones) a las coordinaciones internas necesarias
para el desarrollo de dichas acciones. Con estas coordinaciones internas -que son la
fuente de las operaciones- una reconstrucción endógena se impone como condición
de la comprensión. Desde el punto de vista de la generalización, mientras se basa
en los observables (es decir en los contenidos), es esencialmente inductiva, donde no
se disocian las formas de los contenidos (estructuras de métodos, por ejemplo). Por
otra parte, en la medida en que el sujeto toma conciencia de las coordinaciones de
sus acciones, se vuelve capaz de construir nuevas formas (transformaciones-métodos)
que a su vez serán contenidos de un nivel superior. Esto es lo que caracteriza a la
generalización constructiva. La primacı́a progresiva de la generalización constructiva
no es un remplazo, ya que la generalización inductiva no desaparece sino que queda
utilizable en caso de contenidos no (o todavı́a no) deducibles.
La cuestión central del desarrollo de la generalización constructiva es la explicación de su poder o sea del mecanismo de construcción de las novedades, que
contiene un factor fundamental que es el de la supresión de limitaciones o lo que es
lo mismo, la apertura a nuevas y futuras posibilidades.
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