Ecuaciones Diferenciales, Fracciones Parciales y Fórmulas de

Ecuaciones Diferenciales,
Fracciones Parciales y Fórmulas de Heaviside
Dr. Julián Gpe. Tapia Aguilar
E S F M – Instituto Politécnico Nacional
[email protected]
Agosto de 2008
Índice
1. Introducción
1
2. Raı́ces Reales Distintas
2
3. Raı́ces Reales Repetidas
5
4. Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos
8
1.
Introducción
Una fracción propia es por definición aquella en donde,
P (x)
,
Q(x)
(1)
el grado del polinomio en el denominador Q(x) es mayor que el grado del polinomio en el numerador
P (x).
A veces se hace necesario escribir el cociente como una suma de fracciones en donde el denominador es lineal o cuadrático (en el caso de que no existan raı́ces reales). Por ejemplo, como
motivación de esta idea, considere la integral,
Z
3x2 − 6x + 7
dx.
x3 − 6x2 + 11x − 6
A primera vista, parece una tarea bastante complicada; sin embargo, al tomar en cuenta la factorización del denominador,
x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3),
1
le permite al método que estamos a punto de estudiar, escribir la fracción como una “suma de
fracciones parciales”,
3x2 − 6x + 7
=
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
=
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A
B
C
=
+
+
.
x−1 x−2 x−3
donde hay que determinar las constantes numéricas A, B y C. Una vez calculadas estas constantes,
de manera inmediata, por la linealidad de la integral indefinida, procederemos con la búsqueda de
la integral como se indica a continuación.
Z
3x2 − 6x + 7
dx =
x3 − 6x2 + 11x − 6
Z
3x2 − 6x + 7
=
dx
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
Z
Z
Z
A
B
C
=
dx +
dx +
dx.
x−1
x−2
x−3
= A ln(x − 1) + B ln(x − 2) + C ln(x − 3).
2.
Raı́ces Reales Distintas
En este caso, el polinomio Q(x) factoriza y la fracción se puede reescribir de la siguiente manera.
P (x)
.
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )
(2)
donde ai , i = 1, 2, 3, · · · , k denotan las raı́ces de Q(x).
Para este caso, la descomposición en fracciones parciales que se propone es,
P (x)
=
(x − a1 )(x − a2 )(x − a3 ) · · · (x − ak )
A1
A2
A3
Ak
=
+
+
+ ··· +
.
x − a1 x − a2 x − a3
x − ak
En este caso,
Ai =
P (ai )
,
Q0 (ai )
equivalentemente, Ai =
P (ai )
Qi (ai )
(3)
(4)
donde como siempre, Q0 (x) es la derivada con respecto de la variable independiente del polinomio
Q(x), y el polinomio Qi (x) queda definido por,
Qi (x) =
Q(x)
,
(x − ai )
esto es, Qi (x) es el polinomio original Q(x) al que se le ha cancelando el factor (x − ai ).
2
Ejemplo 1 Descomponga en fracciones parciales a,
s2
s−1
.
+s−6
Solución: En este caso la factorización es la siguiente,
s2
s−1
s−1
A1
A2
=
=
+
,
+s−6
(s + 3)(s − 2)
s+3 s−2
(5)
Con anterioridad, hemos trabajado la idea de “números amigos”; aquellos números que anulan al
polinomio en el denominador Q(s). Si la propuesta expresada en la Ecuación 3 se satisface, entonces,
s − 1 = A1 (s − 2) + As (s + 3).
Los números amigos en este caso son s = 2 y s = −3. Procedemos de la siguiente manera:
s = 2: Implica que,
2 − 1 = A1 (2 − 2) + A2 (2 + 3) = 5A2 ,
∴
1
A2 = .
5
s = −3: Implica que,
−3 − 1 = A1 (−3 − 2) + A2 (−3 + 3) = −5A1 ,
∴
4
A1 = .
5
Las fórmulas de Heaviside en este caso, donde
Q(s) = s2 + s − 6, ∴ Q0 (s) = 2s + 1,
P (s) = s − 1,
proponen para los coeficientes,
4
s − 1 ¯¯
−3 − 1
= ,
=
¯
2s + 1 s=−3 2(−3) + 1
5
s − 1 ¯¯
1
2−1
= .
=
¯
2s + 1 s=2 2(2) + 1
5
A1 =
A2 =
Las fórmulas equivalentes requieren los polinomios,
Q1 (s) =
Q2 (s) =
s2 + s − 6
(s + 3)(s − 2)
=
= s − 2,
s+3
s+3
s2 + s − 6
(s + 3)(s − 2)
=
= s + 3.
s−2
s−2
Los coeficientes son,
A1 =
A2 =
−3 − 1
s − 1 ¯¯
4
=
= ,
¯
Q1 (s) s=−3 −3 − 2
5
2−1
s − 1 ¯¯
1
=
= .
¯
Q2 (s) s=2 2 + 3
5
Los mismos resultados.
3
Ejemplo 2 Regresando al problema dado como motivación al inicio de este documento, vamos a
encontrar la descomposición en fracciones parciales del integrando:
3x2 − 6x + 7
x3 − 6x2 + 11x − 6
3x2 − 6x + 7
(x − 1)(x − 2)(x − 3)
A
B
C
+
+
.
x−1 x−2 x−3
=
=
Solución: En este caso,
P (x) = 3x2 − 6x + 7,
y,
Q(x) = x3 − 6x2 + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
Entonces,
3x2 − 6x + 7 ¯¯
P (x) ¯¯
= 2
.
Ai = 0
¯
¯
Q (x) x=ai
3x − 12x + 11 x=ai
3x2 − 6x + 7 ¯¯
¯
3x2 − 12x + 11 x=1
3−6+7
4
=
= = 2,
3 − 12 + 11
2
2
3x − 6x + 7 ¯¯
A2 =
¯
3x2 − 12x + 11 x=2
7
12 − 12 + 7
=
= −7,
=
12 − 24 + 11
−1
3x2 − 6x + 7 ¯¯
A3 =
¯
3x2 − 12x + 11 x=3
16
27 − 18 + 7
=
= 8.
=
27 − 36 + 11
2
Si queremos usar los polinomios Qi (x), i = 1, 2, 3, tenemos que eliminar el factor lineal que corresponde a ai ; esto es,
A1 =
Q1 (x) = (x − 2)(x − 3),
Q2 (x) = (x − 1)(x − 3),
Q3 (x) = (x − 1)(x − 2),
entonces,
A1 =
A2 =
A3 =
P (1)
3−6+7 4
=
= 2,
Q1 (1)
(1 − 2)(1 − 3) 2
12 − 12 + 7 7
P (2)
=
= −7,
Q2 (2)
(2 − 1)(2 − 3) −1
P (3)
27 − 18 + 7 16
=
= 8.
Q3 (3)
(3 − 1)(3 − 2) 2
Los mismos resultados!
4
3.
Raı́ces Reales Repetidas
P (x)
P (x)
=
.
Q(x)
(x − a)r
(6)
En este caso el polinomio Q(x) tiene un factor de multiplicidad r. La descomposición en fracciones
parciales que se propone es,
P (x)
=
(x − a)r
A3
Ar
A1
A2
+
+ ··· +
.
=
+
2
3
x − a (x − a)
(x − a)
(x − a)r
(7)
En este caso,
Ar = ϕ(a),
ϕ0 (a)
,
Ar−1 =
1!
ϕ00 (a)
Ar−2 =
,
2!
..
.
A2 =
A1 =
ϕ(r−2) (a)
(r − 2)!
(8)
,
ϕ(r−1) (a)
,
(r − 1)!
donde la función ϕ(x) está definida por,
ϕ(x) = (x − a)r ·
P (x)
≡ P (x).
Q(x)
(9)
Ejemplo 3 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracción.
3x2 − 5
.
x3 − 9x2 + 27x − 27
Solución: En este caso,
P (x) = 3x2 − 5,
Q(x) = x3 − 9x2 + 27x − 27 = (x − 3)3 .
En este caso la descomposición en fracciones parciales que corresponde es,
3x2 − 5
A1
A2
A3
=
+
+
.
3
2
(x − 3)
x − 3 (x − 3)
(x − 3)3
5
(10)
La función ϕ(x) es,
ϕ(x) = (x − 3)3 ·
3x2 − 5
= 3x2 − 5.
(x − 3)3
(11)
Se sigue que
ϕ(x) = 3x2 − 5,
ϕ0 (x) = 6x,
ϕ00 (x) = 6.
Entonces, con r = 3,
A3 = ϕ(3) = 3(3)2 − 5 = 22,
A2 = ϕ0 (3) = 6(3) = 18,
ϕ00 (3)
6
A1 =
= = 3.
2!
2
Entonces,
3x2 − 5
3
18
22
=
+
.
+
(x − 3)3
x − 3 (x − 3)2 (x − 3)3
Si el problema es integrar; entonces tenemos que
Z
3x2 − 5
dx =
(x − 3)3
Z
Z
Z
18
3
22
dx +
=
dx +
dx
x−3
(x − 3)2
(x − 3)3
11
18
−
+ C.
= 3 ln(x − 3) −
x − 3 (x − 3)2
Ejemplo 4 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracción.
3x2 − 7x + 5
.
(x + 2)4
Solución: En esta caso la descomposición es,
3x2 − 7x + 5
A2
A1
A3
A4
+
=
+
+
.
4
2
3
(x + 2)
x + 2 (x + 2)
(x + 2)
(x + 2)4
La función ϕ(x) es,
ϕ(x) = 3x2 − 7x + 5,
sus derivadas,
ϕ0 (x) = 6x − 7, ϕ00 (x) = 6, ϕ000 (x) = 0.
Entonces,
A4 = ϕ(−2) = 3(−2)2 − 7(−2) + 5
= 12 + 14 + 5 = 31,
A3 = ϕ0 (−2) = 6(−2) − 7 = −19,
ϕ00 (−2)
6
A2 =
= = 3,
2!
2
ϕ000 (−2)
0
A1 =
= = 0.
3!
6
6
(12)
La representación en fracciones parciales es,
3x2 − 7x + 5
3
19
31
=
−
+
.
4
2
3
(x + 2)
(x + 2)
(x + 2)
(x + 2)4
Nota 3.1 Si el factor lineal es de la forma ax + b con a 6= 1, entonces primero factorizamos a a y
después aplicamos la técnica anterior como en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5 Descomponga en fracciones parciales la siguiente fracción.
−3x3 + 2x2 − 7
.
(2x − 5)5
(13)
Solución: Antes de iniciar a resolver, primero llevemos la expresión anterior, Ecuación 13 a una
fracción donde el coeficiente del término lineal es unitario. Esto es,
−3x3 + 2x2 − 7
=
(2x − 5)5
=
(14)
"
#
−3x3 + 2x2 − 7
1
3x3 − 2x2 + 7
,
h
i5 = − 5 ·
2
(x − 5/2)5
2(x − 5/2)
(también es conveniente factorizar signos negativos) y aplicamos la técnica a la fracción sin el factor
2−5 ; esto es, descomponemos en fracciones parciales a,
3x3 − 2x2 + 7
=
(x − 5/2)5
A1
A2
A3
=
+
+
2
(x − 5/2) (x − 5/2)
(x − 5/2)3
A4
A5
+
+
.
4
(x − 5/2)
(x − 5/2)5
Por supuesto, en este caso ϕ(x),
ϕ(x) = 3x3 − 2x2 + 7,
y sus derivadas,
ϕ(1) (x) = 9x2 − 4x, ϕ(2) (x) = 18x − 4, ϕ(3) (x) = 18, ϕ(4) (x) = 0.
Entonces,
A5 = ϕ(5/2),
A4 =
A3 =
A2 =
A1 =
ϕ(1) (5/2)
,
1!
ϕ(2) (5/2)
,
2!
ϕ(3) (5/2)
,
3!
ϕ(4) (5/2)
.
4!
7
(15)
Una vez evaluadas las constates Ai , i = 1, 2, 3, 4, 5, substituimos en la Ecuación 15 y después en la
Ecuación 14 para obtener la descomposición de la fracción original Ecuación 13.
Problema 1 Termine los detalles que se mencionan en el ejemplo anterior, Ejemplo 5, para escribir completamente la descomposición en fracciones parciales.
4.
Factores Cuadráticos Irreducibles Distintos
Por un factor cuadrático irreducible entenderemos un polinomio cuadrático que no tiene raı́ces
reales. Por ejemplo,
x2 + 4x + 5, x2 + 7.
En el primer caso, si buscamos las raices tedremos
p
√
√
−4 ± 42 − 4(1)(5)
−4 ± 16 − 20
−4 ± −4
x=
=
=
= −2 ± i.
2(1)
2
2
Esto permitirı́a la siguiente factorización,
x2 + 4x + 5 = (x + 2 − i)(x + 2 + i).
Es equivalente a la siguiente completación de cuadrados,
x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1.
Hecho 4.1 (Caso ax2 + bx + c Irreducible.) Por cada factor cuadrático irreducible que aparezca en el denominador se propone la fracción,
Ax + B
,
ax2 + bx + c
donde hay que determinar las constantes A y B.
Ejemplo 6 Descomponer en fracciones parciales la siguiente función racional,
f (x) =
3x2 − 5x + 1
.
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
(16)
Solución: Los factores del denominador son (x − 2), por lo que habrá una fracción A/(x − 2), y el
factor cuadrático irreducible x2 + 4x + 5, por lo que habrá la fracción mencionada en el Hecho 4.1.
Esto es,
3x2 − 5x + 1
A
Bx + C
=
+
.
(17)
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
x − 2 x2 + 4x + 5
Si la igualdad en la Ecuación 17 se satisface, significa que,
A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2)
3x2 − 5x + 1
=
.
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
8
(18)
lo cual se cumple si y sólo si los numeradores coinciden; esto es,
3x2 − 5x + 1 = A(x2 + 4x + 5) + (Bx + C)(x − 2).
(19)
Note que aún tenemos un “número amigo”, en este caso x = 2, que nos dará información de la
constante A. Esto es,
x = 2 ⇒ 3(2)2 − 5(2) + 1 = A(22 + 4(2) + 5) + (B(2) + C)(2 − 2) = A(17) ∴ A =
3
.
17
Sin embargo uno procede en general de la siguiente manera, De la Ecuación 19, álgebra nos da,
3x2 −5x+1 = Ax2 +4Ax+5A+Bx2 −2Bx+Cx−2C = (A+B)x2 +(4A−2B+C)x+(5A−2C), (20)
que se satisface si y sólo si,
A + B = 3,
4A − 2B + C = −5 y
5A − 2C = 1.
Note que las constantes A, B y C satisfacen un sistema de tres ecuaciones y esto debe ser suficiente
para determinarlas. Sin embargo, en este ejemplo, aprovecharemos la información obtenida por
nuestro único número amigo que nos dio A = 3/17.
De la primera y tercera ecuación,
3
48
=
17
17
5A − 1
1
=− .
2
17
B = 3−A=3−
C =
Sólo a manera de verificación, observe que se satisface la segunda ecuación,
4A − 2B + C = 4(
48
1
12 − 96 − 1
85
3
) − 2( ) −
=
= − = −5,
17
17
17
17
17
como debe de ser.
Si nuestro objetivo es integrar esta expresión, entonces tenemos,
Z
3x2 − 5x + 1
dx =
(x − 2)(x2 + 4x + 5)
Z
Z
A
Bx + C
dx +
dx
=
2
x−2
x + 4x + 5
Z
Z
3
48
1
17
17 x − 17
=
dx +
dx
x−2
(x + 2)2 + 1
Z
Z
dx
1
48x − 1
3
+
dx.
=
17
x − 2 17
(x + 2)2 + 1
9
La primera integral es inmediata; es ln(x − 2). La segunda se resuelve con el cambio de variable
x + 2 = t que implica dx = dt, para tener,
Z
48x − 1
dx =
(x + 2)2 + 1
Z
Z
48(t − 2) − 1
48t − 97
=
dt =
dt
t2 + 1
t2 + 1
Z
Z
2tdt
dt
= 24
− 97
= 24 ln(t2 + 1) − 97 tan−1 (t)
2
2
t +1
t +1
= 24 ln((x + 2)2 + 1) − 97 tan−1 (x + 2)
= 24 ln(x2 + 4x + 5) − 97 tan−1 (x + 2).
Ahora sólo “arme” la integral con las partes ya calculadas. Suerte! par
Es,
Z
3
24
97
3x2 − 5x + 1
dx =
ln(x − 2) +
ln(x2 + 4x + 5) −
tan−1 (x + 2).
2
(x − 2)(x + 4x + 5)
17
17
17
Ejemplo 7 Utilizando fracciones parciales encuentre la siguiente integral
Z
3z 2 + 2
dz.
(z − 3)(z 2 + 9)
(21)
Solución: Un factor lineal y un factor cuadrático irreducible sugieren la siguiente proposición del
integrando.
A
Bz + C
3z 2 + 2
=
+ 2
.
(22)
2
(z − 3)(z + 9)
z−3
z +9
La ecuación anterior se satisface si y sólo si,
A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3)
3z 2 + 2
=
.
(z − 3)(z 2 + 9)
(z − 3)(z 2 + 9)
Si y sólo si,
3z 2 + 2 = A(z 2 + 9) + (Bz + C)(z − 3)
= Az 2 + 9A + Bz 2 − 3Bz + Cz − 3C
= (A + B)z 2 + (−3B + C)z + (9A − 3C).
Se sigue que,
A + B = 3,
−3B + C = 0
Resolviendo tenemos que,
A=
y
9A − 3C = 2.
29
25
25
, B= , C= .
18
18
6
10
(23)
Entonces,
29
25
25
3z 2 + 2
1 ³ 29
25z + 75 ´
18
18 z + 6
=
+
=
+
.
(z − 3)(z 2 + 9)
z−3
z2 + 9
18 z − 3
z2 + 9
(24)
La integral,
Z
Esto es,
3z 2 + 2
1³
dz
=
29
(z − 3)(z 2 + 9)
18
Z
Z
dz
+ 25
z−3
Z
zdz
+ 75
z2 + 9
dz ´
.
z2 + 9
3z 2 + 2
29
25
75
z
dz =
ln(z − 3) +
ln(z 2 + 9) +
tan−1 ( ).
2
(z − 3)(z + 9)
18
36
54
3
Hemos usado las siguientes integrales como directas...
Z
xdx
1
dx = ln(x2 + a2 ) + C.
x2 + a2
2
y
Z
Z
dx
x
1
dx = tan−1 ( ) + C.
x2 + a2
a
a
11
(25)
(26)