Presentación de la asignatura Objetivos Capacidades y destrezas a

Asignatura: T 06I3 Matemáticas
Curso: 1o
Cuatrimestre: 1 y 2
Créditos: 10’5
Área de conocimiento: Geometría y Topología
Departamento: Matemáticas
Profesorado:
Pedro José Herrero Piñeyro (clases teóricas y prácticas).
Tutorías: Lunes, Martes y Jueves de 9:30 a 11:00; Jueves 16:30 a 18:00.
Facultad de Matemáticas. Despacho 0.15. Tfno. 968364171. E-mail [email protected].
Website de la asignatura: http://www.um.es/docencia/pherrero/mat-opt.
Presentación de la asignatura
Con esta asignatura se pretende dotar al alumno de los conocimientos matemáticos
básicos necesarios para poder entender y desarrollar los conceptos y contenidos que
necesiten de ello en la Diplomatura en Óptica y Optometría. Se trata, por tanto, de un
planteamiento eminentemente práctico.
Objetivos
Repasar y consolidar los conocimientos matemáticos adquiridos en la enseñanza
secundaria.
Conocer y manejar los conceptos elementales del algebra lineal y la geometría
euclídea.
Conocer y manejar los conceptos del cálculo de una y varias variables.
Conocer y manejar los conceptos elementales de la estadística.
Resolver problemas en los que estén involucrados uno o varios conceptos de los
estudiados.
Aprender a aplicar los conceptos estudiados a situaciones y problemas.
Requisitos: Los conocimientos adquiridos en el bachillerato.
Capacidades y destrezas a adquirir por el alumno
Dominar con cierta precisión el lenguaje matemático.
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Conocer y manejar con soltura los conceptos asociados a la trigonometría plana:
resolver ecuaciones, resolver triángulos, aplicarla a la resolución de problemas.
Conocer y manejar las operaciones con números complejos.
Conocer y manejar con soltura los conceptos básicos de álgebra lineal: matrices,
determinantes; y aplicarlos a la resolución y estudio de sistemas de ecuaciones
lineales.
Conocer el concepto de función real de variable real y de derivada de una función.
Aplicarlos al estudio de funciones.
Calcular algunas integrales de funciones de una variable y aplicar el cálculo integral
al cálculo de áreas, volúmenes, longitudes de curvas,...
Conocer y manejar vectores en el plano y el espacio y las operaciones entre ellos.
Conocer y manejar los conceptos básicos asociados a funciones vectoriales: derivadas,
vector velocidad, aceleración,...
Conocer y manejar algunos conceptos básicos sobre funciones de varias variables:
derivadas parciales, gradiente, derivadas direccionales, extremos,...
Calcular integrales dobles y triples en dominios sencillos. Aplicarlas al cálculo de
áreas y volúmenes.
Saber resolver ecuaciones diferenciales sencillas y aplicarlas a la resolución de problemas.
Conocer algunos conceptos de estadística descriptiva (unidimensional y bidimensional) y aplicarlos en el estudio de problemas concretos.
Programa de la Asignatura
1. Repaso de algunos conceptos básicos. Trigonometría plana. Vectores en el
plano y en el espacio. Exponenciales y logaritmos. Resolución de ecuaciones,
números complejos,...
2. Álgebra lineal. Operaciones elementales con matrices. Determinantes: definición,
propiedades y reglas de cálculo. Sistemas de ecuaciones lineales.
3. Números y funciones. Números, desigualdades y valores absolutos. Funciones
y sus gráficas. Transformaciones y operaciones con funciones. Clasificaciones de
funciones.
4. Cálculo diferencial de una variable. Límite de una función. Continuidad de
una función. Límites infinitos. Derivada de una función. Interpretación geométrica.
Reglas de derivación. Extremos absolutos y relativos. Teoremas de Rolle y del
valor medio. Teorema de Taylor. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones.
Interpolación polinómica.
5. Cálculo integral de una variable. El problema del área. La integral definida.
Interpretación geométrica de la integral definida. La integral indefinida. Teorema
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fundamental del cálculo integral. Métodos de integración: cambios de variable, integración por partes, integración de funciones racionales, integración de funciones
trigonométricas. Aplicaciones del cálculo integral: área de la región entre dos curvas; cálculo de volúmenes de los sólidos de revolución; longitudes de curvas; áreas
de superficies de revolución. Integrales impropias. Integración numérica: regla del
punto medio, regla del trapecio y regla de Simpson.
6. Geometría euclídea. Espacios vectoriales: bases y dimensión. Valores y vectores
propios de una matriz. Diagonalización y formas canónicas de matrices. El plano
y el espacio euclídeo. Producto escalar. Normas y distancias. Producto vectorial
y mixto (o triple). Cónicas en el plano y cuádricas en el espacio. Coordenadas
polares, cilíndricas y esféricas.
7. Cálculo diferencial en varias variables. Funciones vectoriales de una variable.
Derivadas de los productos de vectores. Funciones de varias variables. Límites y
continuidad. Derivadas parciales de primer orden. Interpretación geométrica. Gradientes y derivadas direccionales. Derivadas parciales de orden superior. Extremos
relativos, condicionados y absolutos. Método de los multiplicadores de Lagrange.
Aplicaciones: curvas parametrizadas en el plano y en el espacio; vectores tangentes,
velocidad y aceleración; el parámetro arco; el triedro de Frenet; curvatura y torsión
de una curva; círculo de curvatura y radio de curvatura; superficies parametrizadas
en el espacio.
8. Cálculo integral en varias variables. Integrales dobles sobre dominios sencillos.
Coordenadas polares en la integral doble. Cálculo de áreas y volúmenes. Integrales
triples. Coordenadas cilíndricas y esféricas.
9. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definición de una ecuación diferencial:
tipo y orden. Ecuaciones diferenciales de primer orden: separables, homogéneas,
lineales y exactas. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes: homogéneas y
no homogéneas. Ecuaciones lineales de orden superior con coeficientes constantes.
10. Estadística descriptiva unidimensional. Introducción a la Estadística. Tabulación de los datos. Representaciones gráficas. Medidas de posición. Medidas de
dispersión. Momentos. Medidas de forma.
11. Estadística descriptiva bidimensional. Tabulación de los datos. Distribuciones
marginales y condicionadas. Independencia de variables. Representaciones gráficas.
Covarianza. Regresión y correlación. Coeficiente de determinación. Regresión y correlación lineal. Regresión exponencial. Regresión potencial. Regresión parabólica.
Programa de clases prácticas con ordenador: Las clases prácticas son de dos tipos:
Resolución de ejercicios y problemas en el aula; se desarrollan parejas a las clases teóricas
a lo largo de todo el curso. Clases prácticas con ordenador con siete sesiones de dos horas
de duración cada una y cuyo programa es el siguiente:
Práctica 1: Introducción al uso del programa y repaso de conceptos básicos.
Práctica 2: Cálculo con vectores, matrices,...
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Practica 3: Cálculo diferencial e integral (I).
Practica 4: Cálculo diferencial e integral (II).
Práctica 5: Ecuaciones diferenciales ordinarias. Métodos numéricos de resolución
de ecuaciones de primer orden.
Práctica 6: Cálculo vectorial (diferencial e integral).
Práctica 7: Estadística descriptiva unidimensional.
Calendario de prácticas con ordenador: Las clases prácticas con ordenador
tendrán lugar por la tarde en sesiones de dos horas en grupos reducidos que permitan
el uso de un ordenador por cada alumno. El calendario será el siguiente: 26 y 27 de
octubre, 13 y 14 de diciembre de 2005; en 2006, 12 y 13 de enero, 9 y 10 de marzo, 6 y
7 de abril, 3, 4 y 31 de mayo; 1 de junio.
Metodología didáctica
La explicación de conceptos teóricos irá pareja a la práctica con ejercicios y problemas
en clase, procurando la participación de los alumnos. Por medio de una página web de
la asignatura se ofrece todo tipo de información sobre la materia: hojas de ejercicios,
pruebas de evaluación, convocatorias,...
Criterios básicos de evaluación
Se realizarán dos exámenes parciales coincidiendo con cada uno de los dos cuatrimestres que eliminan materia si son superados con una calificación igual o superior
a 5 sobre un total de 10 puntos. Un examen final de toda la asignatura, en el que el
alumno que haya superado alguno de los exámenes parciales puede optar por no hacerlo. La calificación obtenida en los exámenes supondrá el 85 % de la calificación final;
el 15 % restante será la calificación de prácticas con ordenador. La realización correcta
de las prácticas supondrá el 10 % de la calificación global y el 5 % que resta se evaluará
mediante un examen práctico con ordenador.
Bibliografía
[1] J.J. GARCÍA, P. LUCAS y J. MARÍN, Matemáticas, Colección texto guía. 2a ed.
Diego Marín. Murcia 1999.
[2] T. M. APOSTOL, Calculus, 2a ed. Reverté, Barcelona 1990.
[3] S.L. SALAS y E. HILLE, Calculus de una y varias variables, 2a ed. Reverté,
Barcelona 1986.
[4] R. T. SMITH y R. B. MINTON, Calculus (volúmenes I y II), Mc Graw Hill,
Madrid 2003.
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