GUIA_ESTADISTICA_ESTUDIANTES_Definitivo

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA
VICERRECTORADO ACADÉMICO.
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES
DOCENTES COLABORADORES:
BELKIS LÓPEZ (GUANARE – ESTADO PORTUGUESA)
RONIER SALAZAR (SAN TOMÉ – ESTADO ANZOÁTEGUI)
ARGENIS BRITO (SAN TOMÉ – ESTADO ANZOÁTEGUI)
ALEXY FUENMAYOR (MARACAIBO – ESTADO ZULIA)
JESÚS PEROZO (ACARIGUA – ESTADO PORTUGUESA)
JULIO CAMPOZANO (NÚCLEO CARACAS)
MANUEL RODRIGUEZ (NÚCLEO CARACAS)
MARIO TOVAR (NÚCLEO CARACAS)
MARCOS SARMIENTO (VICERRECTORADO ACADÉMICO)
CARACAS, 26 DE MARZO DE 2014
1
TEMA: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
UNIDAD I: ESTADISTICA, VARIABLES Y GRÁFICOS.
1.- Escoge el tipo de variable estadística de que se hable: “Tiempo que se tarda
en recorre 1 Km”.
a) Variable cualitativa nominal.
b) Variable cualitativa ordinal.
c) Variable cuantitativa discreta.
d) Variable cuantitativa continúa.
Solución: Por definición la opción correcta es la d) variable cuantitativa
continua.
2.- En una ciudad hay tres millones de personas con derecho a voto, de las que
el 53% son mujeres. Se quiere elegir una muestra constituida por 3000
personas.
¿Cuántos hombres y mujeres deberán formar parte de la muestra para que sea
representativa de la población?
Solución:
Para que la muestra guarde la misma proporción de hombres y mujeres que en
la población, se deberá elegir:
53  3000
 1590 Mujeres
100
47  3000
 1410 Hombres
100
3.- Se ha evaluado la acción global de un fármaco sobre un conjunto de
enfermos con las siguientes variaciones clínicas: -1 = peor; 0 = igual; 1 = algo
mejor; 2 = mejor; 3 = mucho mejor. ¿Con qué escala de medida ha sido
registrada esta variable?
a) Discreta.
b) Nominal
c) Ordinal.
d) Con ninguna escala.
Solución: Por definición la opción correcta es la c Variable Ordinal.
4.- La tabla adjunta muestra el número de faltas en una clase a lo largo de un
mes.
2
Nº Faltas
1
2
3
4
5
6
Nº Estudiantes
10
7
6
2
1
4
Representar gráficamente los datos usando un diagrama de barra.
Solución: El eje de la abscisa (x) representará el número de faltas, mientras
que el eje de las ordenadas (y) representará el número de estudiantes.
5.- Al preguntar a 30 estudiantes cuántas asignaturas han suspendidos, 13 de
ellos contestaron que 5 materias. ¿Qué sector circular le corresponde al valor 5
de la variable de suspenso?
Solución:
El total de estudiantes (30) corresponde a 360º, entonces con una regla de tres
resolvemos.
30 ---------- 360º
13 ----------
X=
13  360º
 156º
30
X
Le corresponde el sector circular de 156º.
6.- Para representar gráficamente datos cuantitativos de modo que se
conserven los datos originales se utilizará:
a) Un diagrama de caja.
b) Un histograma.
3
c) Un diagrama por sectores.
d) Un diagrama de tallos y hojas.
Solución: Por definición la opción correcta es la d un diagrama de tallos y
hojas.
7.- Dada la siguiente tabla que representa las ciudades y los centros de
votación; calcule el porcentaje de centros de la ciudad de caracas.
CIUDAD
Nº DE CENTROS
VALENCIA
30
MARACAY
27
MARACAIBO
43
CARACAS
25
BARINAS
40
MÉRIDA
15
Solución: Realizamos la sumatoria de los centros de votación.
CIUDAD
Nº DE CENTROS
VALENCIA
30
MARACAY
27
MARACAIBO
43
CARACAS
25
BARINAS
40
MÉRIDA
15
Total
180
Entonces quiere decir, que 180 centros de votación corresponden al 100%, por
lo tanto, 13,9% le correspondería a la ciudad de caracas.
4
UNIDAD II: DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA (MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL Y DISPERSIÓN).
1.- Disponemos de los siguientes números 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 34 y
22. Determinar el rango de esos números.
Solución:
El menor valor es 6 y el mayor valor es 57.
Rango = Mayor Valor – Menor valor.
Rango = 57 – 6
Rango = 51.
2.- La tabla adjunta muestra el número de faltas en una clase a lo largo de un
mes.
Nº Faltas
0
1
2
3
4
5
Nº Estudiantes
10
7
6
2
1
4
Cuál es el valor de su moda.
Solución: Según el concepto de moda la respuesta correcta es cero (0) faltas.
3.- Dada la siguiente tabla de frecuencia, complete los valores faltantes.
Xi
fi
Fi
Xi.fi
1
5
3
7
12
21
4
2
14
7
8
8
1
10
4
11
3
56
23
33
Total
Solución: Recordemos el concepto y aplicación de la frecuencia acumulada
(Fi), producto Xi.fi, sumatoria. Entonces tendremos los siguientes valores.
5
Xi
fi
Fi
Xi.fi
1
5
5
5
3
7
12
21
4
2
14
8
7
8
22
56
8
1
23
8
10
4
27
40
11
3
30
33
Total
30
171
4.- Las notas de un estudiante en seis exámenes han sido: 84, 91, 72, 68, 87 y
78 respectivamente. Hallar la mediana de las notas.
Solución: Las notas ordenadas son:
68, 72, 78, 84, 87 y 91.
Como hay un número par de ellas, hay dos valores centrales, 78 y 84, cuya
media aritmética es:
x
x=
x
(Ver Anexo 1 – Formulario)
n
78  84
= 81
2
; 81 es la nota pedida (mediana).
5.- La siguiente tabla de frecuencia representa el dinero gastado en telefonía
móvil en un mes por un grupo de 50 estudiantes de bachillerato.
DINERO
Nº ESTUDIANTES (fi)
[0 – 5)
4
[5 – 10)
12
[10 –15)
14
[15 – 20)
10
[20 – 25)
6
[25 – 30)
4
6
Calcular el gasto medio en móvil del grupo de estudiantes.
Solución:
Para este caso debemos calcular la media ponderada.
X 
n

i 1
MCi  fi
 fi
(Ver Anexo 1 – Formulario)
Procedemos a calcular los valores solicitados en la fórmula, quedando la tabla
de frecuencia de la siguiente manera:
DINERO
Nº ESTUDIANTES
(fi)
Marcas (Xi)
Xi.fi
[0 – 5)
4
2.5
10
[5 – 10)
12
7.5
90
[10 –15)
14
12.5
175
[15 – 20)
10
17.5
175
[20 – 25)
6
22.5
135
[25 – 30)
4
27.5
110
Total
50
695
Aplicando la fórmula final, tenemos:
695
= 13.9 es el gasto medio.
50
X=
6.- Dados los siguientes números hallar la desviación media.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18 y 5
Solución:
Calculamos la media aritmética de los datos.
x
x
n
x = 9.5
La fórmula de desviación media es:
MD 
X X
N
(Ver Anexo 1 – Formulario)
Resolviendo numerador tenemos:
7
MD = 12  9.5 + 6  9.5 + 7  9.5 + 3  9.5 + 15  9.5 + 10  9.5 + 18  9.5 +
5  9.5
MD =
34
= 4.25 es el resultado solicitado.
8
7.- En una población con 2500 habitantes adultos se ha realizado un estudio
sobre su altura. La distribución de la altura es normal (unimodal y simétrica).
Sabiendo que en el intervalo (172,196) se encuentra 2375 habitantes y que la
altura media es de 184 centímetros. Calcular la desviación típica de la
distribución.
Solución: En el intervalo (172,196) se encuentra 2375 habitantes, lo que
supone el 95% de la población total. Como el intervalo que contiene el 95% de
los datos de una distribución es ( X - 2s, X + 2s), se tiene que X - 2s = 172.
Sustituyendo los datos del enunciado obtenemos la siguiente ecuación.
X - 2s = 172
184 – 2s = 172
Despejando s (desviación típica) el resultado es 6.
8
UNIDAD III: MOMENTO, SESGO Y CURTOSIS.
1.- El valor de la curtosis se toma como referencia al:
a. La distribución uniforme.
b. La distribución exponencial.
c. La distribución T-student.
d. La distribución normal.
Solución: La curtosis es una medida que toma como referencia la distribución
normal y todas las comparaciones que se realizan al determinar “cuán
puntiaguda” es una distribución es respecto a la curtosis de una distribución
normal con su misma desviación típica. La respuesta válida es “d”.
2.- El concepto de momento respecto a un punto se refiere a:
a. La suma de los cuadrados de las distancias determinada entre los
valores medidos.
b. La suma de las distancias determinada entre los valores medidos
y dicho punto elevada a la “n”.
c. La suma de los valores absolutos de las distancias determinada
entre los valores medidos.
d. NA
Solución: El momento por definición se refiere a la suma de las distancias
elevada a un exponente. Dependiendo del exponente se habla de 1er
momento, 2do momento, y así sucesivamente. La respuesta válida es “b”.
3.- Si una distribución simétrica tiene una desviación típica de 5, el valor del
cuarto momento respecto a la media para que la distribución sea leptocúrtica
debe ser:
a. Mayor a 1875.
b. Menor a 1875.
c. Igual a 1875.
d. NA.
m
Solución: aplicando que k  44 , queda que m4  ks4 y sustituyendo queda
s
4
m4  3  5  1875 . La respuesta válida es “a”.
4.- Si los segundos momentos respectos a las medias de dos distribuciones
son 9 y 16 mientras con los terceros momentos son -8,1 y -12,8
respectivamente, se puede concluir que:
a. La primera distribución es más sesgada que la segunda y a la
derecha.
b. La primera distribución es más sesgada que la segunda y a la
izquierda.
c. La primera distribución es menos sesgada que la segunda y a la
derecha.
d. La primera distribución es menos sesgada que la segunda y a la
izquierda.
9
Solución: El coeficiente de sesgo indica al comparar el módulo que distribución
m3
es más sesgada. Aplicando que a3 
, queda que para la primera
( m2 ) 3
a3 
distribución:
a3 
 12,8
( 16 )
3

 8,1
( 9)

3
 8,1
 0,3
(3) 3
y
para
la
segunda
 12,8
 0,2 . El que tiene mayor sesgo será en este caso la
(4) 3
primera distribución y el signo indica que lo está a la izquierda. La respuesta
válida es “a”.
5.- Sean tres números consecutivos de forma:
El primer momento está definido por:
a.
b.
c.
d.
.
.
.
Solución: Al ser un número consecutivo tenemos que:
por lo cual
. Al aplicar la definición del
La respuesta válida es “a”.
primer momento queda:
6.- La relación entre el segundo momento respecto a la media y el segundo
momento respecto a un punto arbitrario es:
2
a. m2  m´2 m´1  .
b. m2  m´2 m´1  .
c. m2  m´2 2m´1  .
d. m2  m´2 2m´1  .
2
Solución: Se tiene que d i  xi  A . (1)
Por lo cual 
di
x
A
  i    d  x  A . (2)
n
n
n
Luego restando 1 menos 2 queda:
d i  d  xi  A  ( x  A)  xi  x .
De esta forma resulta:
10
m2

d  d 

x  x 2

2
n
2
2
d
 2d   d 
n
2
2
d 2  2dd  d 
d2
d
1


 2d   d   
n
n
n
n
2
n
2
d2

 d 
n
Pero:

d2
 m´2 y m´1  d
n
 m2  m´2 m´1 
2
La solución válida es “a”.
7.- La relación entre el quinto momento respecto a la media y un punto
ordinario es:
2
3
5
a) m5  m´5 5m´1 m´4   10 m´1  m´3  10 m´1  m´2  4m´1  .
b) m5
c) m5
d) m5

 

 m´ 5m´ m´   10m´  m´   10m´  m´   4m´  .
 m´ 5m´ m´   10m´  m´   10m´  m´   4m´  .
 m´ 5m´ m´   10m´  m´   10m´  m´   4m´  .
2
5
1
4
1
5
1
4
1
5
1
4
1
3
3
1
3
1
3
1
2
5
2
1
2
1
2
1
3
2
5
3
5
Solución: El procedimiento es análogo a los anteriores, sin embargo, vamos a
desarrollarlo:
m2
5

x  x

n
d  d 

5
n
d 5  5d 4 d  10d 3 d   10d 2 d   5d d   d 

n
2
3
4
5
 d  5  d d  10  d 3 d   10  d 2 d   5  d d   d 


n
5
2
4
3
4
5
 d 5  5d  d 4  10d   d 3  10d   d 2  5d   d  d   1

n
2
3
4
5
Aplicando propiedades queda:
2
3
4
5
d5
d4
d3
d2
d
1

 5d 
 10d  
 10d  
 5d    d   
n
n
n
n
n
n
2
3
4
5
m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 5m´1  m´1 m´1  
m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 5m´1   m´1  
2
3
5
5
m´5 5m´1 m´4 10m´1  m´3 10m´1  m´2 4m´1 
2
3
5
La solución válida es “d”.
11
TEMA: PROBABILIDADES.
UNIDAD IV: TEORIA DE PROBABILIDAD.
1.- Si lanzamos dos dados simultáneamente. Calcule la probabilidad de que la
suma de ambos resultados sea siete.
Solución: Construimos el espacio muestral.
S = {(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
N = 36.
Sea el evento A que la suma de ambos resultados sea siete.
A = {(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) }
P(A) =
h
N
 P(A) =
6
36
h=6
 P(A) =
1
6
2.- Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 bolas negras; otra contiene 3 bolas
blancas y 5 bolas negras. Hallar la probabilidad de que ambas sean blancas.
Solución:
Sea el evento A bolas blancas de la primera bolsa.
Sea el evento B bolas blancas de la segunda bolsa.
P(A  B) = P(A)xP(B)
(Ver Anexo 1 – Formulario)
 4   3 
P(A  B) = 


 4  2 35
P(A  B) =
1
4
3.- Dos niños escriben en un papel una vocal cada uno. Cuál es la probabilidad
de que sea la misma.
12
Solución:
Hemos de hallar la probabilidad de que los dos escriban la “a”, o que los dos
escriban la “e”, o que los dos escriban la “i”, o que los dos escriban la “o”, o
bien que los dos escriban la “u”. Además, tengamos en cuenta que lo que
escriba uno de los niños no depende para nada en lo que escriba el otro.
P(aa  ee  ii  oo  uu) = P(aa) + P(ee) + P(ii) + P(oo) + P(uu) = P(a)P(a)
+ P(e)P(e) + P(i)P(i) + P(o)P(o) + P(u)P(u)
Sustituyendo tenemos:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
5
1
+
+
+
+
=
=
         =
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
25 25
25
25 25 25 5
4.- Las probabilidades de que llueva o nieve en una ciudad determinada el día
de navidad, el día de año nuevo o en ambos días son: P(C) = 0.60, P(N) = 0.60
y P(C  N) = 0.42. Verifique si los eventos N y C son independientes
.Solución: Sustituyendo en la fórmula para una probabilidad condicional,
obtenemos:
P(C  N ) 0.42
=
= 0.70
0.60
P(C )
Ya que P(N/C) = 0.70 no es igual que P(N) = 0.60, encontramos que los
eventos N y C son dependientes.
P(N/C) =
5.- En una muestra de 1.000 personas hay 300 que saben inglés, 100 que
saben ruso y 50 ambos idiomas. Con estos datos averigua si son
independientes o no los sucesos “saber inglés” y “saber ruso”.
Solución:
Sea el evento A saber inglés.
Sea el evento B saber ruso.
Entonces P(A) =
P(A  B) =
300
= 0.3
1000
P(B) =
100
= 0.1
1000
50
= 0.05
1000
Para que los sucesos A y B sean independientes se ha de cumplir que P(A  B)
= P(A)xP(B).
Pero P(A)xP(B). = 0.3 x 0.1 = 0.03 y esto es diferente a P(A  B) = 0.05; por lo
tanto A y B no son independientes.
13
6.- En una clase, un 40% de alumnos aprobaron filosofía, y un 50%
matemáticas. Se sabe que la probabilidad de aprobar filosofía si se ha
aprobado matemáticas es 0.6. ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron ambas
asignaturas
Solución:
Sea el evento A aprobar filosofía.
Sea el evento B aprobar matemáticas.
Entonces P(A) = 0.4 y P(B) = 0.5.
Además se sabe también que P(A/B) = 0.6. Esto último nos indica que en este
caso los sucesos Ay B, por la razón que sea, no son independientes.
De la fórmula de probabilidad condicional:
P(A/B) =
P( A  B)
despejamos el numerador, nos quedaría:
P( B)
P(A  B) = P(A/B) x P(B)
sustituyendo
P(A  B) = 0.6 x 0.5 = 0.3 lo que significa un 30% de los estudiantes que
aprueban filosofía y matemáticas.
7.- Un economista piensa que las probabilidades de que el precio de la carne
de res suba durante el mes siguiente son de 2 a 1, las posibilidades de que
permanezca sin cambio son 1 a 5 y las posibilidades de que suba o
permanezca sin cambio son de 8 a 3. ¿Son consistentes las probabilidades
correspondientes?
Solución.
Las probabilidades correspondientes de que la carne de res suba durante el
mes siguiente, de que permanezca sin cambio y de que suba o permanezca sin
cambios son:
2
2
=
2 1 3
1
1
=
1 5 6
respectivamente y
8
8
=
8  3 11
5
8
2 1
+
=
y no
, las probabilidades no son consistentes. De
3 6
6
11
ahí que se debe cuestionar el criterio del economista.
Puesto que
14
UNIDAD V: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.
1.- En un examen de matemática, la calificación media fue 72 y la desviación
típica 15. Determinar en unidades estándar la puntuación de los estudiantes
que obtuvieron 93.
Solución:
Aplicamos la fórmula de distribución normal.
Z
XX
s
(Ver Anexo 1 – Formulario)
Sustituyendo los valores del problema tenemos:
Z
93  72
= 1.4
15
2.- Hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos haya un varón,
1
suponemos que la probabilidad de que nazca un varón es
2
Solución:
Aplicamos la fórmula de distribución binomial.
P( X ) 
N!

X !( N  X )!
X
p q
NX
(Ver Anexo 1 – Formulario)
Sustituyendo los datos tenemos: N = 4; p =
1
1
(Éxito) ; q = 1 – p (Fracaso) q=
2
2
y para X = 1.
1
4 1
1 1
4!
P( X ) 
   
1!(4  1)!
 2  2
Resolviendo factoriales, potencias, productos y división obtenemos como
1
resultado
4
3.- Se informó a dos estudiantes que habían recibido puntuaciones estándar de
0.8 y -0.4 respectivamente, en una prueba de inglés. Si sus puntuaciones
fueron 88 y 64 respectivamente. Hallar la media de las puntuaciones de esa
prueba.
Solución
15
Con la fórmula de distribución normal:
Z
XX
establecemos la siguiente relación de la media
s
X = X  Z  s sustituimos los valores para cada estudiante y obtenemos el
siguiente sistema de ecuación:
Primer estudiante
88 = X + 0.8xs
Segundo estudiante
64 = X + (-0.4xs)
Resolviendo el sistema de ecuación, eliminando la desviación típica (s)
obtenemos de resultado 72 para X .
4.- Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una
inyección de cierto suero es 0.001. Hallar la probabilidad de que entre 2000
individuos exactamente 3 reaccione negativamente.
Solución:
La solución la realizaremos con la distribución de Poisson:

P( X )   e

X
(Ver Anexo 1 – Formulario)
X!
Entonces, tenemos probabilidad de reacción negativa 0.001 y cantidad de
individuos 2000 esto nos permite calcular 
 = Nxp
 = (0.001)x(2000) 
 =2
Sustituyendo en la fórmula tenemos:
2

P( X  3)  2 2.718
3
3!
Resolviendo la expresión, obtenemos de resultado
0.180.
5.- En el laboratorio de una empresa se realiza prueba de dureza a un cierto
artículo. Los registros históricos de la misma indican que hay una probabilidad
de 20 artículos 2 son no conforme, Se pide. Cuál es la probabilidad de que una
muestra de tamaño 10 halla: 1) cero no conforme; 2) uno no conforme 3)
menos de 3 no conforme.
Solución:
16
Se define una variable aleatoria X como (X) el número de artículos no conforme
en una nuestra de 10 artículos. De acuerdo al planteamiento del problema, la
variable aleatoria sigue una distribución Binomial con parámetro p = 2/20 =
0.10; n = 10, lo que implica que sigue la función de probabilidad de X será
1) P (X = x) = (10X) (0.10)x ( 1 – 0.10)10-x 1) P( X = 0) = (100) .0100 .9010=
0.34868
2) P(X = 1) = (101) (0.10)1 0.909 = 0.38742
2
3) P(X < 3) = Ʃ (10x) (0.10)x (0.90)10-x = (100) 0.100 0.9010 + (101) 0.101 0.90101
+ (102)0.102
X=0
0.9010-2 = 0.92981.
6.- Se tiene que la producción de una empresa de manufactura de cierto tipo de
rolíneras, cuyos diámetros deberían ser ¼ de pulgada. Debido a variabilidades
en el proceso de manufactura y a las condiciones exigidas por el clientes, las
rolíneras se clasifican como sobre medida, bajo medida y aceptables, si los
diámetros miden respectivamente más de 0.2505”, menos de 0.2495” y entre
0.2495” y 0.2505”, De acuerdo con los registros llevados por el departamento
de Control de Calidad de la empresa, se ha determinado que 4% de la rolíneras
que se producen son sobre medida, el 6% bajo medida y el 90% son
aceptables. Si se seleccionan, al azar, 10 de estas rolíneras, cuál será la
probabilidad de obtener 3 sobre medida, 1 bajo medida y 6 aceptable.
Solución:
Los posibles resultados son tres, se define las siguientes variables aleatorias:
(X1) = Rolíneras sobre medidas, (X2) = Rolíneras bajo medidas, (X3) Rolíneras
aceptable; esto implica
P[X1 =3, X2 = 1, X3 = 6] =10! / 3!*1!*6! (0.04)3(.06)1(.090)6 = .2x10-4
7.- Un lote que contiene 25 probetas de concreto, se seleccionan 5 al azar y se
prueba. Se menos de 2 resultan ser no conforme, se acepta las 20 probetas
restante, en caso contrario se rechaza el lote. ¿Cuál es la probabilidad de
aceptar el lote sise sabe que hay 4 no conforme?
Solución:
N = 25, n =5 K = 4, se define una variable aleatoria X como (X) Número de
probeta no conforme en la muestra o sea se pide 1.
17
P(X < 2) = P (X≤1) = Ʃ P(X) = (4x) (25 - 45 - x) / (255) = (40) (215) / (255) + (41) (214)
/ (255) = 0.834
X = 0.
18
UNIDAD VI: DISTRIBUCIÓN MUESTRAL
1.- En el último año, el peso de los recién nacidos tiene una media de 3000 gr.
y desviación estándar de 140 gr. ¿Cuál será la probabilidad de que la media de
una muestra de 100 recién nacidos sea superior a 3030 gr?
Solución:
P(X > 3030) = P ( (X - µ ) / σ/√n < (3030-3000) /140/√100)
= P( Z < 2.14) = 0.9838
(VER TABLA CURVA NORMAL)
2.- Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se
distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y
desviación estándar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que una
muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida promedio de menos de 775
horas.
Solución:
Este valor se busca en la tabla de z
(VER TABLA CURVA NORMAL)
La interpretación sería que la probabilidad de que la media de la muestra de 16
focos sea menor a 775 horas es de 0.0062.
3.- Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en
forma normal con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar
de 6.9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin
reemplazo de esta población, determine:
a. El número de las medias muéstrales que caen entre 172.5 y 175.8
centímetros.
Solución
Como se puede observar en este ejercicio se cuenta con una población finita y
un muestreo sin reemplazo, por lo que se tendrá que agregar el factor de
corrección. Se procederá a calcular el denominador de Z para sólo sustituirlo
en cada inciso.
19
a)
(0.7607)(200)=152 medias muéstrales
4.- En una casa de retiro la edad de las personas tiene una media de 76 años y
una desviación estándar de 10 años.
a) ¿De qué tamaño debe ser la muestra aleatoria de las personas, para tener
una probabilidad del 9.94% de que la edad media sea inferior a 74 años?
Solución.
µ=76 años
σ=10 años
P(X <74) = P( (X - µ ) / σ/√n < (74-76)/10/√n) =0.0994
= P( Z < Z0) = 0.0994 ENTONCES Z0 = - 1.32
(74-76)*/10/√n = -1.32
OPERANDO
-2*√n/10 = -1.32
ENTONCES
√n = 6.6 POR LO TANTO n=43.6 APROXIMADAMENTE SE NECESITA 44
PERSONAS
5.- Un contador toma una muestra aleatoria de tamaño n =16 de un conjunto de
N = 100 cuentas por cobrar. No se conoce la desviación estándar de los
montos de las cuentas por cobrar para el total de las 100 cuentas. Sin
20
embargo, la desviación estándar de la muestra es S = $57.00. Hallar el error
estándar para la distribución muestral de la Media.
Solución
sx 
s
n
N n
57

N 1
16
100  16 57 84

100  1
4 99
 14,25 0,8484  14,25(0,9211)  13,13
En el ejemplo dado se estima el error estándar de la media con base en la
desviación estándar muestral, y se requiere utilizar el factor de corrección por
población finita por que no es cierto que n < 0,05 N, es decir 16 > 0,05(100)
6.- Un médico administra un medicamento a N = 5 pacientes. Los resultados de
cada paciente son respectivamente muere, vive, vive, muere, muere. Hallar la
media de todas las proporciones Muéstrales, si se toman muestras de tamaño
n = 2. También hallar el error estándar de las proporciones muéstrales.
Solución
Las muestras posibles de tamaño n = 2 y la proporción de éxitos (vive), se
indican en la tabla siguiente.
Se cumple también 5C2 = 10. M = muere, Vive = V.
Ns = Nº de muestras posibles = 10
Sabemos: p 
Donde:
S
n
p = proporción muestral de éxitos.
S = proporción de éxitos en una muestra.
n = 2.
21
Proporción de
Éxitos P
0,5
0,5
0,0
0,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,0
P = 4,0
Muestra
M1
M1
M1
M1
V2
V2
V2
V3
V3
M4
V2
V3
M4
M5
V3
M4
M5
M4
M5
M5
P
P 
Ns
4
 0,40
10
donde:
p = proporciones.
p = media de todas las proporciones.
Ns = Nº de muestras posibles.
Es decir P (media de todas las proporciones) es igual a u (media de la
población) = 0,40.
Cálculo del error Estándar de las Proporciones Muéstrales.
P 
 (1   ) N  n
n
N 1

(0,4)(0,6) 5  2
 0,3
2
5 1
7.- Se supone que la estatura de los chicos de 18 años de cierta población
sigue una distribución normal de media 162 cm y desviación estándar de 12
cm. Se toma una muestra al azar de 100 de estos chicos encuestados y se
calcula la media. ¿Cuál es la probabilidad de que esta media esté entre 159 y
165 cm?
Solución.
µ=162 cm.
σ=20 cm.
P( 159 < X <165) = P( (159-162) / 12/√100< (X - µ ) / σ/√n < (165-162)
/12/√100)
22
= P( -2.5 < Z < 2.5) = P( Z < 2.5) - P( Z < - 2.5) = P( Z < 2.5) – (1 - P( Z <
2.5))
= 2*P( Z < 2.5) -1 =2*(0.9938)) – 1 = 0.9876
23
UNIDAD VII: TEORIA DE ESTIMACIÓN.
1.- Dar un ejemplo de estimadores (o estimaciones) que sean sin sesgo e
ineficiente.
Solución: Las medidas muéstrales y el estadístico muestral
donde
Q yQ
1
3
1
2
Q  Q 
1
3
,
son los cuartiles muéstrales inferior y superior, son dos
ejemplos. Ambos son estimaciones sin sesgo de la media de la población, pues
la media de sus distribuciones de muestreo es la media de la población.
2.- En una muestra de cinco medidas, un científico anotó 6.33, 6.37, 6.36, 6.32
y 6.37 centímetros. Determinar estimaciones insesgadas y eficientes de la
verdadera media.
Solución.
La estimación sin sesgo y eficientes de la media verdadera (o sea, de la
población) es:
x
x
n
=
6.33  6.37  6.36  6.32  6.37
= 6.35 cm.
5
3.- Las medidas de los diámetros de una muestra aleatoria de 200 bolas de
rodamientos producidas por una máquina en una semana, dieron una media de
0.824 cm y una desviación típica de 0.042 cm. Hallar los limites de confianza
95%.
Solución.
Los límites de confianza 95% son:
X
1.96

X
N
 0.006 cm.
1.96 s
N
 0.824  1.96
0.042
200
 0.824  0.0058cm
o
sea
0.824
4.- Si el contenido en gr. de un determinado medicamento X sigue una
distribución N (7.5, 0.3), calcular la probabilidad de que para una muestra de
tamaño n = 5, se obtenga medio menor que 7, Pr ( X  7 ).
Solución.
A partir de una muestra de tamaño n = 5
N   7.5,   0.3 , tenemos que:
de una población normal
24




X  7.5 7  7.5 
Pr ( X  7 ).=Pr 
= Pr (Z  3.7269

 0.3
0.3 


5
5 

Donde Z tiene una distribución normal estándar, y por lo tanto, Pr ( X  7 )=
0.0001.
5.- Una muestra de 150 lámparas del tipo A ha dado una vida media de 1400
horas (h) y una desviación típica de 120 h. Una muestra de 200 lámparas del
tipo B dan vida media de 1200 h y desviación típica de 80 h. Hallar los limites
de confianza 95% para la diferencia de las vidas medias de las poblaciones de
ambos tipos.
Solución.
Los límites de confianza para la diferencia en medias de los dos tipos A y B
viene dados por:
X
A

X
B
 ZC
 2  2
A
N
A
N
B
B
Los limites de confianza 95% son 1400 – 1200  1.96
2
120
150
2
80

100
Resolviendo tenemos: 200  24.8. Luego tenemos 95% de confianza de que la
diferencia de las medias de las poblaciones está entre 175 y 255 h.
6.- La desviación típica de las vidas medias de una muestra de 200 bombillos
es de 100 h. Hallar los límites de confianza 95% para la desviación típica de
ese tipo de bombillas.
Solución.
Los límites de confianza para la desviación típica de la población  vienen
dados por s  zc  / 2 N , donde
z
C
indica el nivel de confianza. Usamos la
desviación muestral para estimar  .
Los limites de confianza 95% son 100  1.96100 / 400 = 100  9.8. Luego
tenemos 95% de confianza de que la desviación típica de la población está
entre 90.2 y 109.8 h.
25
7.- Un ascensor limita el peso de sus cuatro ocupantes a 300 Kg. Si el peso de
un individuo sigue una distribución N (71,7), calcular la probabilidad de que el
peso de 4 individuos supere los 300 Kg.
Solución.
Teniendo en cuenta que el peso de cada individuo tiene una distribución normal
N   71,   7 , si seleccionamos una muestra aleatoria de 4 individuos,
tenemos que:
 4



  xi



4
300 
X  71 75  71 


I 1


Pr  xi  300   Pr

 Pr X  75  Pr

 4
 7
7 
4 
 I 1





4
4 





Pr (Z>1.1429) = 1 – Pr (Z  1.1429)
Donde Z tiene una distribución normal estándar, por lo tanto
 4

Pr  X i  300  = 1 – 0.8735 = 0.1265
 I 1

26
UNIDAD VIII: PRUEBA DE HIPÓTESIS.
1.- Los sistemas de escape de emergencia para tripulaciones de aeronaves
son impulsados por un combustible sólido. Una de las características
importantes de este producto es la rapidez de combustión. Las
especificaciones requieren que la rapidez promedio de combustión sea 50cm/s.
se sabe que la desviación estándar de esta rapidez es σ = 2 cm/s. El
investigador decide especificar un nivel de confianza α = 5%. Selecciona una
muestra n = 25 y obtiene una rapidez promedio muestral de combustión de X =
51.3 cm/s. A que conclusión llega usted.
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
El parámetro de interés es µ, la rapidez promedio de combustión
Ho: µ = 50cm/s
H1: µ ≠ 50cm/s
α =0.05
La estadística de prueba es Zo = X - µ/σ/√n
Zo = 51.3 – 50/ 2/√25 = 3.25
Z0 0.025= 1.96 sacado de la tabla de la normal
Conclusión dado que 3.25> 1.96 se rechaza Ho existe una fuerte
evidencia en la rapidez promedio de combustión es mayor de 50cm/s.
2.- Se toma una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza
muestral para el volumen de llenado s2 = 0.0153 (onzas de fluidos)2. Si la
varianza es mayor que 0.01 (onzas fluidos)2 implica que existe una proporción
inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menor de liquido.
¿Existe evidencias en los datos que sugiera que el fabricante tiene problema
con el llenado? Utilice un α = 5%
Solución:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
El parámetro de interés es la varianza de la población s2
H0 : σ2 = 0.01
H1 : σ2 > 0.01
α = 0.05
El estadístico de prueba χ2 = ( n-1) s2 / σ2
Se rechaza H0 si χ2 >χ20.0519= 30.14
Calculo χ2 =19 (0.0153)/ 0.01 = 29.07
Conclusión 29.07 < 30.14 implica no hay evidencia fuerte de que la
varianza del volumen de llenado sea mayor que 0.01 (onzas de
fluido)2
27
3.- En una impresora gráfica se utiliza una pieza moldeada por inyección. Antes
de firmar un contrato de largo plazo, el fabricante de la impresora desea
asegurarse de que el proveedor puede producir piezas con una piezas con una
desviación estándar de longitud de 0.025mm como máximo. Para ello se
obtiene una muestra aleatoria de 75 piezas obteniendo una desviación
estándar muestral de longitud s = 0.022mm. ¿A qué conclusión debe llegarse si
utiliza α= 0.01?
Solución.
1. El parámetro de interés es la desviación estándar de la población
2. Ho : σ2 = 6.25x10-4
3. H1 : σ2 < 6.25x10-4
4. α = 0.01
5. El estadístico de prueba es Z = (s – σ)/ σ/√(2n)1/2
6. Se rechaza Ho si Z< -Z0.01 = -2.33
7. Z = (0.022 – 0.025)/ 0.025/√(2*75)1/2 = -1.47
8. Conclusión Z = -1.47 no es menor -2.33 no es posible rechazar Ho
la evidencia del proveedor no es suficiente.
4.- Un fabricante de semiconductores produce controladores que se emplean
en aplicaciones de motores automovilísticos. El cliente requiere que la fracción
de controladores no conforme en uno de los pasos de manufactura críticos no
sea mayor que 0.05, y que el fabricante demuestre esta característica del
proceso de fabricación con este nivel calidad. Utilice α = 5%. El fabricante toma
una muestra aleatoria de 200 dispositivos y encuentra que cuatro de ellos son
no conformes. ¿El fabricante puede demostrar la calidad del proceso?
Solución.
1. El parámetro de interés es la fracción p de artículos no conforme en
el proceso
2. Ho : p = 0.05
3. H1 : p < 0.05
4. α = 0.05
5. El estadístico de prueba Z = ( X – np) / ( np (1-p))1/2 X=4; n= 200 P
= 0.05
6. Rechaza Ho si Z < Z 0.05 = -1.645
7. Calculo (4 – 200*0.05)/ (200(0.05*0.95))1/2 = -1.95
8. Conclusión -1.95 < -1.645 se rechaza Ho se concluye que se tiene la
calidad aceptable.
5.- Un artículo publicado en una revista de materiales describe los resultados
de prueba de resistencia la adhesión de 22 especímenes de aleación U- 700.
28
La carga para la que cada espécimen falla es la siguiente en MPA los datos
son: 19.8; 18.5; 17,6; 16,7; 15,8; 15,4; 14,1; 13,6; 11,9; 11,4; 11,4; 8,8; 7,5;
15,4; 15,4; 19,5; 14,9; 12,3; 11,9; 11,4; 10,1; 7,9 . La media muestral es 13.71,
mientras que la desviación estándar es s = 3.55 ¿Sugiere los datos que la
carga promedio de falla es mayor que 10 MPA? Utilice α = 5%
Solución:
1. El parámetro de interés es la carga promedio de falla µ
2. Ho µ = 10
3. H1 µ > 10 Se rechaza Ho si la carga promedio de falla es mayor que 10
MPA
4. α = 0.05
5. El estadístico de prueba es to = (x-µ)(n / s)1/2 → to = (13.71 – 10)/22 /
3.55)1/2 = 4.90
6. t0.05 22-1=21 = 1.721
7. Conclusión 4.90> 1.721 se rechaza Ho la carga de falla es mayor que
10MPA
6.- Se analizan dos catalizadores para determinar la forma en que afecta el
rendimiento promedio de un proceso químico. De manera específica, el
catalizador 1 es el está empleando en este momento pero el catalizador
también es aceptable. Debido a que el catalizador 2 es más económico, éste
puede adoptarse siempre y cuando no cambie el rendimiento del proceso. Se
hace una prueba en una planta piloto; los resultados aparecen en el cuadro
siguiente.
¿Existe alguna diferencia entre los rendimientos promedio? Utilice α = 0.05
29
Datos del rendimiento del catalizador
Observaciones
Catalizador 1
Catalizador 2
1
91.50
89.19
2
94.18
90.95
3
92.18
90.46
4
95.39
93.21
5
91.79
97.19
6
89.07
97.04
7
94.72
91.07
8
89.21
92.75
Promedio
92.255
92.733
Desviación típica
2.39
2.98
Solución
1. Los parámetros de interés son, µ1 y µ2 los cuales representan el
rendimiento promedio del proceso con los catalizadores 1 y 2
respectivamente
2. Ho : µ1 - µ2
3. H1 : µ1 ≠ µ2
4. α= 0.05
5. El estadístico de prueba to = X1 - X2 /sp√1/n1 +1/n2
6. to 0.02514>2.145 o si to 0.02514< -2.145
7. s2p = (n1-1)s12 + (n2-1)s22/ (n1+n2-2) = (8-1)(2.39)2 + (8-1) (2.98)2/ (8+8-2)
= 7.30
sp = √7.30 = 2.70
to= (92.255 – 92.733) / 2.70√(1/8 +1/8) = -0.35
Conclusión -2.145 < -0.35 < 2.145 no es posible rechazar la hipótesis nula Ho
no se tiene evidencia fuerte que permita concluir que el catalizador 2 dará
como resultado un rendimiento promedio diferente con el uso del catalizador 1.
7.- Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, su posible uso en
una operación de pulido en la fabricación de lentes intraocular utilizados en el
30
ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con una
primera solución y, éstos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido.
Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196
resultan satisfactorios. ¿Existe alguna rezón para creer que las dos soluciones
para pulir son diferentes? α = 0.01
Solución.
1. Los parámetros de interés son p1 y p2, la proporción de lentes que
son satisfactorios después del procedimiento de pulido.
2. Ho : p1 = p2
3. H1 : p1 ≠ p2
4. α = 0.01
5. El estadístico de prueba es Z = (p1 – p2 ) / (p1 (1-p1) (1/n1 -1/n2))1/2
P1 = 253/300 = 0.8433; p2 196/300 = 0.6533; n1 = n2 = 300; p =
(253 + 196) / (300 +300) = 0.7483
6. Rechaza Ho si Z > Z.0.005 = 2.58 ó Z < -Z 0.005 = -2.58
7. Z = ( 0.8433 – 0.6533) / (( 0.7483* 0.2517) (1/300 +1/300))1/2 =
5.36
Conclusión 5.36> 2.58 implica que se rechaza Ho
31
UNIDAD IX: ANÁLISIS DE CORRELACIÓN Y DISTRIBUCIÓN
1.- En los ajustes de de regresión se usa el criterio de minimizar
a. Suma de los valores absolutos.
b. Suma de cuadrado de los residuos.
c. Desviación Media.
d. Desviación Típica.
Solución: el método de mínimos cuadrados para el ajuste de las curvas de
regresión implica obligatoriamente minimizar la función de sumar los cuadrados
de los residuos. La respuesta válida es “a”.
2.- Los siguientes datos representan las longitudes y pesos de una serie de
osos, calcular el coeficiente de correlación.
LONGITUD (PULG)
PESO(LB)
53
80
67.5
344
72
416
72
348
73.5
262
68.5
360
73
332
37
34
Solución.
Recordemos la fórmula para calcular el coeficiente de correlación:
S
R
S
XX
(Ver Anexo 1 – Formulario)
XY

S
YY
Completando la tabla, tenemos:
32
Nº
LONGITUD
(PULG) (X)
PESO(LB)
(Y)
XY
x
1
53
80
4240
2809
6400
2
67.5
344
23220
4556.25
118336
3
72
416
29952
5184
173056
4
72
348
25056
5184
121104
5
73.5
262
19257
5402.25
68644
6
68.5
360
24660
4692.25
129600
7
73
332
24236
5329
110224
8
37
34
1258
1369
1156
Total
516.5
2176
151879
34525.75
728520
Teniendo
S
XY
S
XX
presente:
S
 x 
2
XX
1
 X 
n
2
;
S
2
y
y 
2
YY
2
1
 X 
n
2
y
1
 X  y  sustituimos los valores correspondiente obtenemos
n
 1179.22 ; S YY  136648 ; S XY  11391 .
  xy 
Finalmente el coeficiente de correlación es 0.90 y presenta una correlación
fuerte.
3.- Si s yx  3 y s y  5 , el coeficiente de correlación será:
a.
b.
c.
d.
0,6 .
0,4 .
0,64 .
NA.
Solución: El coeficiente de correlación, se relaciona con el error típico de
estimación
por:
 s y x
r  1 
 s
 y
2

 .


Al
sustituir
resulta:
33
2
 3
2
r  1     1  0,6  1  0,36  0,64  0,8 . La respuesta válida es
5
“d”.
  xy 
4.- La ecuación de regresión y  
x es equivalente a:
2 
x 
s xy
X  X  .
a. Y  Y 
s x 2
s
b. Y  Y  x 2 X  X .
s xy 
c. X  Y 
d. Y  X 
s xy
s x 2
sx
s 
2
Y  X .
Y  X .
xy
Solución: Las simplificaciones de la ecuación normal se desarrolla al escribir
y  Y  Y ; x  X  X . Por lo cual, la expresión queda:
  xy 
X  X 
Y Y  
2 
x 
(1)
Pero:
s xy 
 xy
; sx 
n
 x2
n
Sustituyendo los anteriores en (1) resulta:
  xy 
X  X  
Y Y  
2 
x 
 ns xy 
 X  X  
Y  Y  
2 
 ns x  
s xy
X  X 
Y Y 
s x 2
La respuesta válida es “a”.
5.- La pendiente y punto de corte para la recta de mínimos cuadrados son:
 y   x 2   x  xy  .
n xy    x  y 
b

a. m 
,
2
2
n  x 2   x 
n  x 2   x 


34
 y  x 2    x  xy  .
2
2
n  x 2   x 
n  x 2   x 
 y  x 2    x  xy  .
n xy    x  y 
,
b

m
2
2
n  x 2   x 
n  x 2   x 
 y  x 2    x  xy  .
n xy    x  y 
,
b

m
2
2
n  x 2   x 
n  x 2   x 
b. m 
c.
d.
n xy    x  y 
, b
Solución: Para determinar las ecuaciones normales, hay que minimizar la
función suma de cuadrado de los residuos.
 S
 S
2
 m   2 y  mx  b  x   0  m   xy  mx  bx  0




 S
 S
 b   2 y  mx  b  1  0
 b   y  mx  b   0



 S   y  mx  b 
2


 

 
 xy  mx 2  bx  0 xy   m  x 2  b x   0 m  x 2  b x   xy 






  y  mx  b   0
  y  m x  b  0

m  x  nb   y



Resolviendo por la Regla de Cramer queda:
  xy 
 x2
b
x
b


 x2
 
y

x
x
 y  x 2    x  xy 
2
n x 2    x 
n
xy   x
m
y
m


 x2
 
x
n
x

n xy    x  y 
n  x 2   x 
2
n
La respuesta válida es “a”.
6.- La expresión r 
 xy
 x  y 
2
2
, es equivalente a:
35
a) r 
sx s y
b) r 
sx
.
sy
c) r 
s xy
d) r 
sx
sx s y
sy
sx
.
.
.
Solución: Se tiene que: s xy 
 x2
, sy 
n
 xy
, sx 
n
 y2
.
n
Sustituyendo en la expresión inicial queda:
r
 xy
 x  y 
2
2

ns xy
2
 
ns x ns y
2
ns xy

2
 
n2 sx s y
2

ns xy
ns x s y 

s xy
sx s y
La respuesta válida es “c”.
7.- Las ecuaciones normales para el ajuste de la curva y  a  bx  cx 2 son:
a. 2 ( y  a  bx  cx 2 ) 1 .
b. 2 ( y  a  bx  cx 2 ) x  .
c. 2 ( y  a  bx  cx 2 )  x 2 .
d. TA.


Solución: Se tiene que derivando parcialmente la función suma de cuadrados
de los residuos:
 s
2
 a  2 ( y  a  bx  cx ) 1
 s
s  ( y  a  bx  cx 2 )  
 2 ( y  a  bx  cx 2 ) x 
 b
 s  2 ( y  a  bx  cx 2 )  x 2
 c


Las tres ecuaciones anteriores son las ecuaciones normales. La respuesta
válida es “d”.
36
UNIDAD X: SERIES CRONOLÓGICAS.
1.- ¿Con qué movimiento característico de una serie en el tiempo asociaría
principalmente “un incendio en una fábrica que retrasa 3 semanas su
producción?
a) Cíclico.
b) Estacional.
c) Irregular.
d) Ninguna de las anteriores.
Solución. La opción correcta es la c, porque se trata de movimientos
esporádicos de las series en el tiempo debido a sucesos de azar.
2.- Una empresa estudia la evolución de los precios de tres componentes
(A,B,C) para una pieza en los últimos 5 años.
AÑO
A
B
C
1
3
4
1
2
4
6
1.5
3
5
6.5
2
4
4.5
7
2.5
5
7
4
3
Calcular un índice simple para estudiar la evolución de los precios del
componente A tomando como período de referencia el año 1.
Solución.
Desarrollando la evolución de los precios tomando como período de referencia
el año 1, tenemos.
37
Índice Simple de Precios
AÑO
A
B
C
A
B
C
1
3
4
1
100 (3/3)x100
100
100
2
4
6
1.5
133.33 (4/3)x100
150
150
3
5
6.5
2
166.67 (5/3)x100
162.50
200
4
4.5
7
2.5
150 (4.5/3)x100
175
250
5
7
4
3
233.33 (7/3)x100
100
300
Las columnas B y C se desarrolla aplicando la analogía de la columna A.
3.- Se tiene la siguiente serie de producción y queremos determinar la ecuación
de la recta que representa la tendencia de la serie.
Años
Miles (Ton)
1962
6
1963
8
1964
10
1965
14
1966
18
Solución.
Años
Miles (Ton)
Xi
Yi
Xi.Yi
Xi2
1962
6
0
6
0
0
1963
8
1
8
8
1
1964
10
2
10
20
4
1965
14
3
14
42
9
1966
18
4
18
72
16
10
56
142
30
Total
38
Yi  N
x. y
i
i
A
 b xi
56 = 5a + 10b
 a xi  b xi
2
142 = 10a + 30b
Resolviendo el sistema de ecuación nos queda: a = 5; b = 3.
Por lo tanto, la ecuación de la recta es: Y = 5 + 3X con origen en el año 1962.
4.- El consumo en combustible (miles de litros) en una empresa y los índices
de precios del combustible en seis años han sido tal y como muestra la tabla
siguiente. Sabiendo que el precio del combustible fue de 1.5  / litros en el año
2011, calcular el gasto en el combustible de la empresa en cada año.
Año
Consumo
Índice (base 2009=100%)
2006
60
91
2007
70
93
2008
75
95
2009
78
100
2010
80
114
2011
85
120
Solución
Año
Consumo
Índice (base
2009=100%)
Índice (base
2011=100%)
Precio  / litros
Gasto
2006
60
91
(91/120)x100 = 75.83
1.5x0.7583=1.137
68.22
2007
70
93
(93/120)x100 = 77.5
1.5x0.775=1.162
81.34
2008
75
95
(95/120)x100 = 79.17
1.5x0.7917=1.187 89.025
2009
78
100
(100/120)x100 = 83.33
1.5x0.8333=1.249 97.422
2010
80
114
(114/120)x100 = 95
1.5x0.95=1.425
114
2011
85
120
(120/120)x100 = 100
1.5
127.5
39
5.- Una empresa estudia la evolución de los precios de tres componentes
(A,B,C) para una pieza en los últimos 5 años.
AÑO
A
B
C
1
3
4
1
2
4
6
1.5
3
5
6.5
2
4
4.5
7
2.5
5
7
4
3
Calcular un índice conjunto de la evolución de los precios utilizando una media
aritmética de índices simples y tomando como referencia el año 1.
Solución
AÑO
A
B
C
A
B
C
Media
aritmética
1
3
4
1
100 (3/3)x100
100
100
300/3 = 100
100
2
4
6
1.5
133.33 (4/3)x100
150
150
433.33/3 =
144.44
144.44
3
5
6.5
2
166.67 (5/3)x100
162.50
200
529.17/3 =
176.39
176.39
4
4.5
7
2.5
150 (4.5/3)x100
175
250
575/3 =
191.67
191.67
5
7
4
3
233.33 (7/3)x100
100
300
633.33/3 =
211.11
211.11
6.- En cierto país el salario medio por hora, en unidades monetarias corrientes,
de los trabajadores de un determinado sector productivo y los índices de
precios de consumo a lo largo de los seis años fueron:
40
AÑOS
SALARIOS/HORA
ÍNDICE DE PRECIO
(2000 = 100)
2006
5.2
144
2007
5.8
166
2008
6
179
2009
6.3
194
2010
6.4
204
2011
8.4
209
Calcule los índices de precios con base 2006.
Solución.
Coeficiente de enlace base 2006: k = 100/144 = 0.69445
AÑOS
SALARIOS/HORA
ÍNDICE DE
PRECIO (2000 =
100)
INDICE DE PRECIO
(2006=100)(0.69445)XBASE
2000
2006
5.2
144
100
2007
5.8
166
166x0.69445 = 115.28
2008
6
179
179x0.69445 = 124.31
2009
6.3
194
194x0.69445 = 134.72
2010
6.4
204
204x0.69445 = 141.67
2011
8.4
209
209x0.69445 = 145.14
7.- Antonio alquiló un local el 1 de enero de 2010 por 3000 euros mensuales,
impuestos no incluidos. La revisión del alquiler se efectúa según los valores del
IPC. Dispone de dos tablas con información sobre el IPC de cada año. (base
2005=100)
Mes de enero
2010
2011
2012
IPC%
128.712
133.413
138.34
41
Antonio quiere saber cuál será la renta que tendrá que pagar en 2013 si la
previsión del IPC para enero de 2013 esta en 1.8% de incremento sobre el año
del mes de enero del 2012.
Solución.
IPC (2013) = IPC (2012)x(1.018) = 138.34x(1.018) = 140.83
Mes de
enero
2010
2011
2012
2013
IPC%
128.712
133.413
138.34
140.83
Índice IPC
(133.413/128.712) = 1.03652
(138.34/133.413) =
1.03693
Incremento
IPC
[(133.413/128.712) – 1]x100 =
3.652
[(138.34/133.413) -1
]x100 = 3.693
1.8
3000x1.03652 = 3109
3109.56x1.03693 =
3224.40
3282.44
Alquiler
3000
42
BIBLIOGRAFIA.
Freund, J; Simon, Gary (1994). Estadística Elemental. Octava Edición. Editorial
Prentice Hall Hispanoamericana, S.A: México.
Salama, D. (1987). Estadística. Metodología y Aplicaciones. Tipografía
Principios: Caracas.
Spiegel, M. (1991). Estadística. Segunda Edición. Mc Graw Hill: Madrid.
43
ANEXO Nº 1
FORMULARIO.
1.- Media de muestra
x
x
n
2.- Media Ponderada
X 
MCi  fi

i 1
 fi
n
n
donde:

= Sumatoria
i 1
MCi = Marca de clase
fi = frecuencia absoluta de la clase

fi = Total de datos
3.- Desviación Media
MD 
X X
donde: MD = Desviación media
N
X = Valores de la muestra
X = Media aritmética
N = Total de datos
4.- Momento, Sesgo y Curtosis
k
m4
s4
a3 
m3
( m2 ) 3
5.- Probabilidad.
P(A) =
h
N
donde: A = Suceso
h= Posibilidad de ocurrir el suceso.
N = Total de posibilidades
6.- Sucesos Independientes.
P(A  B) = P(A)xP(B)
44
7.- Probabilidad Condicional.
P(C  N )
P(C )
P(N/C) =
8.- Distribución normal.
Z
XX
s
donde: Z = unidad estándar.
X = Media
s = Desviación típica.
9.- Binomial.
P( X ) 
N!

X !( N  X )!
X
p q
NX
10.- Distribución de Poisson

P( X )   e

X
e = 2.718
X!
11.- Coeficiente de correlación.
S
R
S
XX
XY

donde:
S
S
 x 
2
XX
YY
1
 X 
n
2
S
YY
y 
1
 X 
n
S
XY
  xy 
1
 X  y 
n
2
2
Rango -1  R  1
Recomendamos la siguiente dirección para un formulario en línea:
https://docs.google.com/document/d/11UagZDAvCj96ZwJQ40jok3wfBS4w8Wgrc0x0e
_JA7xk/edit?hl=es
45