Problema 5 - Matemáticas

Programación Matemática para Economistas
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5.- Un productor tabaquero posee 85 hectáreas de terreno para cultivar dos variedades de
tabaco: Virginia y Procesado. La variedad Virginia deja un beneficio de 5.760 €/ha,
necesitándose 3h/ha de uso de maquinaria y 80h/ha de mano de obra. La variedad Procesado
deja un beneficio de 4.500 €/ha y se requieren 2h/ha de maquinaria y 60h/ha de mano de
obra. La cooperativa local ha asignado 210 horas de maquinaria y 5.900 horas de mano de
obra.
a) ¿Cuántas hectáreas debe dedicar a cada variedad, si cultiva exactamente las 85 hectáreas
de su finca, para maximizar los beneficios?
b) El propietario de la finca colindante le propone al tabaquero venderle una hectárea a
3.000 €. ¿Le sería rentable al tabaquero ampliar su finca?
Solución:
a) Denotemos por x1 al número de hectáreas que el agricultor dedica al cultivo de tabaco
Virginia y por x2 al número de hectáreas que dedica a la variedad Procesado.
Los beneficios que deja el cultivo de cada una de las variedades es, respectivamente,
de: 5.760 €/ha y 4.500 €/ha; por tanto, la función de beneficios a maximizar será:
B(x1, x2) = 5.760x1 + 4.500x2
En el problema se plantea también limitaciones de uso de maquinaria y de las horas
de mano de obra. En cuanto a la limitación de maquinaria, sabemos cuántas horas se
necesitan para cada una de las variedades y el total de horas que ha asignado la cooperativa,
por tanto, la restricción a que daría lugar es:
3x1 + 2x2 ≤ 210
La mano de obra utilizada también depende de la variedad que se cultive y de la
disponibilidad de ésta, así:
80x1 + 60x2 ≤ 5.900.
En el apartado a) se nos pide la combinación de cultivo que maximiza el beneficio
supuesto que el agricultor cultiva la totalidad de la finca. Esta imposición nos lleva a una
nueva restricción, correspondiente a las hectáreas cultivadas:
x1 + x2 = 85
En estas condiciones el problema de programación lineal a resolver será:
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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Max 5.760 x1 + 4.500 x 2
s.a
3x1 + 2 x 2 ≤ 210
80 x1 + 60 x 2 ≤ 5.900
x1 + x 2 = 85
x1 , x 2 ≥ 0
al ser las dos primeras restricciones de menor o igual introduciríamos dos variables de
holgura y en la tercera una artificial. Por tanto, el problema en forma estándar será:
Max 5.760 x1 + 4.500 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 − Mx5
s.a
3 x1 + 2 x 2 + x3 = 210
80 x1 + 60 x 2 + x 4 = 5.900
x1 + x 2 + x5 = 85
x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0
Tabla inicial:
B
P3
P4
P5
CB
0
0
-M
P0
210
5.900
85
-85M
5.760
P1
3
80
1
5.760 + M
4.500
P2
2
60
1
4.500 + M
0
P3
1
0
0
0
0
P4
0
1
0
0
-M
P5
0
0
1
0
Entra P1 y sale min{210/3, 5.900/80, 85} correspondiente a P3.
B
P1
P4
P5
CB
5.760
0
-M
P0
70
300
15
403.200
-15M
5.760
P1
1
0
0
0
4.500
P2
2/3
20/3
1/3
660
+M/3
0
P3
1/3
-80/3
-1/3
-1.920
-M/3
0
P4
0
1
0
0
-M
P5
0
0
1
0
Entra P2 y sale min{70/(2/3), 300/(20/3), 15/(1/3)} correspondiente a P5.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz
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B
P1
P4
P2
CB
5.760
0
4.500
P0
40
0
45
432.900
188
5.760
P1
1
0
0
0
4.500
P2
0
0
1
0
0
P3
1
-20
-1
-1.260
0
P4
0
1
0
0
-M
P5
-2
-20
3
-1.980
-M
La solución es (40, 45, 0, 0, 0). Por tanto, el agricultor dedica 40 hectáreas al cultivo
de tabaco Virginia y 45 al de Procesado, no sobrándole ni horas de mano de obra ni horas de
uso de maquinaria, y obteniendo un beneficio de 432.900 €.
b) Para determinar si es rentable ampliar su finca en una hectárea a un coste de 500.000 u.
m. nos basamos en la interpretación de las variables duales del problema como precios
sombra de los recursos. En nuestro caso lo hacemos para b3, que recoge el número de
hectáreas de que dispone el tabaquero. El incremento que se produciría en dicho recurso, si
el tabaquero aceptase la oferta, es de una unidad, luego:
λ 3 = 1.980 =
∆F
∆b3
⇒ ∆F = 1.980∆b3 = 1.980 < 3.000 .
Por tanto, no le es rentable ampliar su finca en una hectárea.
R. Caballero, T. Gómez, M. González, M. Hernández, F. Miguel, J. Molina, M.M. Muñoz, L. Rey, F. Ruiz