Definición y clasificación de las ecuaciones

Ecuaciones Diferenciales
ECUACIONES DIFERENCIALES
Definiciones Básicas.
Es aquella ecuación
diferenciales.
que contiene derivadas
o
•
Ecuación diferencial:
•
Orden
en
una En una ecuación diferencial es el de la derivada más
alta contenida en ella.
ecuación diferencial:
•
Grado
de
una En una ecuación diferencial es la potencia a la que
esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la
ecuación diferencial:
ecuación diferencial este dada en forma polinomial
Clasificación de las ecuaciones diferenciales.
Tipo
Grado
Ordinarias
La ecuación diferencial contiene derivadas de una o
más variables dependientes con respecto a una sola
variable independiente.
Parciales
La ecuación diferencial contiene derivadas parciales
de 1 o mas variables dependientes, respecto a 2 o
mas variables independientes.
Lineales
La variable dependiente Y y todas sus derivadas son
de primer grado.
Cada coeficiente de Y y sus derivadas depende
solamente de la variable independiente X (puede ser
constante).
No lineales
Las que no cumplen las propiedades anteriores
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Ecuaciones Diferenciales
Solución
General
Es la función que contiene una o más constantes
arbitrarias
(obtenidas
de
las
sucesivas
integraciones).
Particular
Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un
valor específico.
Ejemplo 1.
Comprobar que la función
ecuación diferencial
x
y = e 2 (1)
2 y ' + y = 0 (2)
es solución particular de la siguiente
Solución
Se deriva a la función (1) en una primera ocasión para obtener la primera
derivada, como se muestra a continuación:
x
d
x
2 2
y = e *
dx x 1 y = e 2 2 1 x
y = e 2 ......(3)
2
Sustituyendo (1) y (3), en (2) tenemos:
2 y ' + y = 0......(2)
1 x x
2 e 2 + e 2 = 0
2
x
e 2 +e
0+0 = 0
0=0
x
2
=0
La función (1) es solución de la ecuación diferencial (2) dada.
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Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden
Definición. La ecuación diferencial de variables separables es de la forma
siguiente:
f(x)dx+g(x)dy=0
donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o
una constante.
Si una ecuación diferencial ordinaria es de la forma:
dy
= f (ax + by + c )
b0
dx
entonces puede llevarse a la forma ed una ecuación diferencial e variables
separables empleando la sustitución:
u=ax+by+c
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