INGENIERÍA GEOTÉCNICA – GICO UPC Tema 7. Muros

INGENIERÍA GEOTÉCNICA – GICO UPC
Tema 7. Muros
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CATALUÑA
GRADO EN INGENIERÍA DE LA CONSTRUCCIÓN
___________________________________________________
INGENIERÍA GEOTÉCNICA
APUNTES TEMA 7
____________________________________________________
TEMA 7. MUROS
7.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................ 2
7.2 EMPUJE ACTIVO. TEORÍA DE COULOMB................................................................................. 2
7.2.1 Planteamiento del caso básico. Efecto de la cohesión ............................................................... 2
7.2.2 Efecto de cargas en superficie del terreno ................................................................................. 6
7.2.3 Acción del agua ............................................................................................................................ 9
7.2.4 Otros casos .................................................................................................................................. 10
7.3 EMPUJE ACTIVO. TEORÍA DE RANKINE ................................................................................. 14
7.4 EMPUJE ACTIVO SOBRE TIPOS DE MUROS ESPECÍFICOS................................................ 18
7.4.1 Muros en L ................................................................................................................................. 18
7.4.2 Otros tipos de muros específicos ............................................................................................... 22
7.5 OTROS MÉTODOS PARA LA ESTIMACIÓN DE EMPUJES ACTIVOS ................................ 24
7.5.1 Método elástico........................................................................................................................... 24
7.5.2 Distribuciones semiempíricas ................................................................................................... 26
7.6 EMPUJE PASIVO ............................................................................................................................. 27
7.6.1 Introducción. Teorías de Coulomb y de Rankine y métodos basados en soluciones estáticas
.............................................................................................................................................................. 27
7.6.2 Modificaciones de Kp. Reducción parabólica ........................................................................... 31
7.7 PROYECTO DE MUROS ................................................................................................................ 32
7.7.1 Predimensionado. Acciones a considerar................................................................................. 32
7.7.2 Procedimiento de comprobación .............................................................................................. 35
7.7.3 Sistemas de drenaje ................................................................................................................... 43
7.7.4 Otros tipos de muros. Suelo reforzado ..................................................................................... 45
7.7.5 Aspectos constructivos ............................................................................................................... 47
1
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7.1 Introducción
Un aspecto esencial para la comprobación de un muro, con sus condiciones de contorno, es la
estimación de los empujes (activos y pasivos) en función de la configuración del propio muro,
de las características y condiciones del terreno y de las acciones que le afecten según el caso.
En los apartados siguientes se explicarán las diferentes teorías de obtención de empujes (activos
y pasivos) con distintas posibilidades en cuanto a condiciones de contorno así como
planteamientos específicos según tipologías estructurales varias.
Al final del tema se hará especial énfasis en la vertiente más práctica del diseño y construcción
de estructuras de contención.
7.2 Empuje activo. Teoría de Coulomb
7.2.1 Planteamiento del caso básico. Efecto de la cohesión
Hacia 1776, el ingeniero militar francés Charles-Augustin de Coulomb observó que en los
muros reventados por la artillería, el trasdós se derrumbaba siguiendo siempre una forma
inclinada más bien plana (Figura 7.2.1); en base a esto propuso un modelo de estimación de los
empujes del terreno (empujes activos) planteando el equilibrio de la masa del mismo derramado
en el trasdós (cuña de rotura). Dicho modelo supone que los movimientos del muro son
suficientes como para que se forme en el terreno una cuña de empuje (Figura 7.2.2) que está
limitada por una superficie de deslizamiento plana (la curvatura real es despreciable). Por su
parte, la dirección del empuje depende del movimiento relativo entre el terreno y el trasdós del
muro durante el proceso de colapso (ascenso o descenso relativo de una parte respecto a la otra,
según el caso). En la figura 7.2.2 (y una vez definida la cuña de rotura):
 El lado BC corresponde a la superficie de rotura.
 Se conoce el peso (W) en magnitud, posición (centro de gravedad de la cuña) y dirección
(vertical).
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C
A
plano de rotura
B
Figura 7.2.1 Plano de rotura
C
A
W
h
R
Ea
 
B
Figura 7.2.2 Cuña de rotura. Acciones sobre la cuña
Dado que en el caso de colapso la cuña se mueve (desliza sobre el segmento BC) y que además
existe rozamiento en la superficie de rotura, R no puede ser ortogonal a la misma. Aplicando el
criterio de rotura de Mohr-Coulomb (   c   h tan  ) y si se supone por el momento nula la
cohesión (que nos deja del lado de la seguridad), R resulta tener una dirección que forma un
ángulo  respecto al plano de rotura.
Si suponemos el caso de un muro bien cimentado (asientos mínimos), el muro tenderá a subir,
volcando, al girar en el colapso respecto al punto B. La orientación que define la dirección del
empuje activo Ea dependerá del movimiento que tenga el muro en el proceso de colapso. Dicha
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orientación, definida según δ (siendo δ el ángulo de contacto tierras-muro), se opondrá al
movimiento del muro mejorando en este caso el equilibrio (reduciendo el momento de vuelco).
Lo contrario ocurre en muros cimentados sobre terrenos más blandos que puedan asentar. En
este caso el muro desciende respecto a la cuña de rotura, δ va en sentido contrario al caso
anterior (se considera en este caso negativo) y el momento de vuelco aumenta.
δ nunca va a ser mayor que el ángulo de rozamiento interno del terreno; típicamente adoptará
valores entre  y 2 . En casos extremos tenemos que en terrenos muy húmedos y superficies
3
3
de muro muy lisas δ tenderá a valores casi nulos (δ=0), mientras que en condiciones bien
drenadas y superficies de muro muy rugosas δ resultará igual a  , que será su valor máximo
posible. Sin embargo, en situaciones especiales como por ejemplo el caso de que el terreno de
apoyo del muro sea muy blando o en presencia de empujes muy fuertes δ puede llegar a ser
negativo, como se ha indicado anteriormente (hasta - ).
Ea se puede obtener por equilibrio de fuerzas en la cuña de rotura al conocer completamente el
vector peso (W) y la dirección de la reacción en el segmento BC (al ser plano) y de Ea. Sin
embargo se desconoce todavía cuál es la cuña de rotura que se produce. Cuñas de rotura
pequeñas (segmento BC muy vertical) darán lugar a empujes bajos (poco peso de terreno)
mientras que cuñas de rotura grandes (segmento BC muy horizontal) darán lugar también a
empujes bajos ya que casi todo el peso lo absorbe la reacción en el segmento BC. En
consecuencia, habrá una cuña intermedia que produzca un empuje máximo y que es la que
deberemos considerar. Esta cuña puede obtenerse gráficamente (antiguamente se hacía así de
manera habitual) o analíticamente. En este último caso se obtienen las siguientes expresiones
para el caso básico planteado:
1

2
 Ea  2 K a h

1

Ea  f ( ,  ,  ,  , h...) :  Eah  K ah  h 2
2

1

2
 Eav  2 K av h

ea ( z )  K a z

 eah ( z )  K ah  z
e ( z )  K  z
av
 av
con:
K ah 
sin 2 (   ')

sin( '  ) sin( '  ) 
sin  1 

sin(   ) sin(   ) 

2
2
4
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K av  cot(   ) K ah
Ka 
K ah
sin(   )
donde Eah y Eav son, respectivamente, las componentes horizontal y vertical del empuje y z la
profundidad desde superficie.
Falta todavía el punto de aplicación del empuje. Teniendo en cuenta que el mismo es en este
caso (superficie plana, sin cargas exteriores, …) proporcional, cuadráticamente, a la altura del
muro, esto significa que las leyes de empujes deben aumentar linealmente formando un
triángulo, por lo que la resultante estará aplicada en su centro de gravedad, es decir, a 1/3 de
dicha altura. Con este proceso es posible encontrar Ea en magnitud, posición y dirección (ángulo
δ).
Efecto de la cohesión
Si suponemos la existencia de cohesión (c≠0), ésta contribuye a través de la adherencia en el
trasdós y el incremento de las tensiones tangenciales resistentes de la superficie de
deslizamiento BC (Figura 7.2.3), todo lo cual reduce el valor de Ea.
C
A
adherencia
ón
si
e
h
co
W
ón
si
 
adherencia
Ea
he
co
h
co
n
ió
es
R
B
Figura 7.2.3 Efecto de la cohesión
Debido a la cohesión puede ocurrir que aparezcan fisuras de tracción en la parte más superior
del terreno del trasdós debido a posibles tensiones negativas que en realidad no se desarrollan ya
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que se separa el terreno. El método de Coulomb permite analizar este problema (estimar, por
ejemplo, la profundidad de terreno afectada), pero es más fácil plantearlo mediante el método de
Rankine que se presenta más adelante (apartado 7.3).
La cohesión es, pues, un factor de mejora del comportamiento del terreno, pero si al final no se
acaba desarrollando nos deja del lado de la inseguridad. Dado que con frecuencia es difícil
estimar su efecto de forma adecuada, es habitual despreciarla, quedando del lado de la
seguridad.
7.2.2 Efecto de cargas en superficie del terreno
Caso de cargas uniformemente repartidas
Si existen sobrecargas uniformemente distribuidas (Figura 7.2.4) se puede aplicar sin
problemas, y con una ligera variación, la teoría de Coulomb. Puede considerarse que las
sobrecargas afectan generando un incremento ficticio del peso W de la cuña de rotura (ver la
figura 7.2.5 para el desarrollo que sigue).



 1

 1
l
l
2
W   Áreacuña   q

   ABl   q
  ABl 1  q
 AB sin(   ) 
 sin(   )  2
 sin(   )  2


donde 1  q


2
 es un factor constante que no depende de la cuña escogida.
 AB sin(   ) 
Luego se puede entender el problema como si la sobrecarga tuviera un efecto sobre el peso
específico del terreno, transformándolo:
W


1
2
ABl   1  q

2
 AB sin(   ) 



*
Considerando el plano de deslizamiento invariable y teniendo en cuenta la relación
AB 

h
2q sin  
, resulta  *    1 
 , y se tiene:

h
sin(
)
sin 





1
1 
2q sin   2
1 2
sin 



Ea   * z 2 K a   1 
z
K
z
K
qz
Ka
a
a
2
2   z sin(   ) 
2
sin(   )
es decir:
6
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1
sin 
Ea   h 2 K a  qh
Ka
2
sin(   )
sin 
ea ( z )   zK a  qK a
sin(   )
q
W
plano de rotura
Figura 7.2.4 Sobrecarga uniformemente repartida en la superficie del trasdós
q
A
90- -
l
90-
B
Figura 7.2.5 Cuña de rotura con sobrecarga uniformemente repartida
Se puede pues, aplicar el método gráfico con γ* o el método analítico con las expresiones
indicadas. Los empujes evolucionarán con la profundidad según la ley de empujes deducida
(Figura 7.2.6).
El empuje resultante pasará por el centro de gravedad del trapecio; calculándolo queda:
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sin 
sin(   )

sin 
3 h  6q
sin(   )
2 h 2  3qh
zcdg
q
E a ( q)
E a ()
h
h/3
h/2
Figura 7.2.6 Ley de empujes para el caso de sobrecargas uniformemente repartidas
aunque resulta más cómodo trabajar con ambas componentes, cada una de ellas aplicada en un
punto de aplicación diferente.
Es frecuente el uso del concepto sobrecarga reducida de tierras para definir las sobrecargas a
través de una altura representativa del mismo terreno del trasdós, esto es, encontrando la altura
de tierras h0, con γ, que produce la sobrecarga q:
h0 
q

Carga arbitraria
Si la carga aplicada en la superficie del terreno no es uniforme (carga variable, carga puntual,
etc.; Figura 7.2.7), la ley de empujes no resulta lineal. A pesar de ello, el método de Coulomb,
que es de una potencia significativa, puede aplicarse para estimar los empujes producidos
dividiendo el trasdós en subtramos (más exactitud a mayor número de divisiones) y obteniendo
de este modo las cuñas de rotura de los submuros definidos (Figura 7.2.8) y los diferentes
centros de gravedad de las distintas distribuciones de empuje resultantes.
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Este procedimiento es largo de realizar y por ello resulta más sencillo utilizar las
distribuciones semiempíricas que se presentan más adelante para estimar los sobreempujes
producidos por cargas exteriores arbitrarias.
q
Q
q
plano de rotura
Figura 7.2.7 Cargas variables en la superficie del trasdós
1
Ea
1
Ea
2*
Ea
2
2
2*
1
E a =E a -E a
Ea
3
Ea
{
4
Ea
Figura 7.2.8 Esquema del método para el cálculo de empujes en el caso de carga arbitraria
7.2.3 Acción del agua
El agua, y concretamente las presiones intersticiales que genera, tiene una gran importancia en
la estabilidad de las estructuras de contención. El efecto del agua, en particular tras periodos de
fuertes lluvias, puede generar incrementos significativos de los empujes e inestabilizar a las
estructuras de contención.
En general, puede considerarse tres estrategias distintas en relación con este tema:
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 Asegurar un buen drenaje en el trasdós a lo largo de la vida útil de la estructura de
contención de forma que las presiones intersticiales no lleguen a generarse.
 Impermeabilizar en superficie en la zona de afección de la estructura de contención y
reconducir al agua de forma que no llegue a introducirse en el terreno.
 Calcular la estructura de contención teniendo en cuenta el posible efecto del agua en el
trasdós.
Para calcular la estructura teniendo en cuenta el efecto del agua se debe encontrar el empuje que
genera y componerlo (vectorialmente) con el empuje debido al peso de las tierras y posibles
acciones exteriores. Si se supone la existencia de una cierta altura de agua en el trasdós del muro
(Figura 7.2.9), para considerarla se suman los empujes del agua a los del terreno teniendo en
cuenta el peso específico sumergido del suelo bajo el NF (  '     w ). El empuje debido al
agua siempre actúa ortogonal al trasdós (   0 ) y con coeficiente de empuje unidad ( K aw  1 ),
lo cual es desfavorable a la estabilidad. En conjunto, la acción directa del agua y la reducción de
empujes de tierras (acciones efectivas) inducen unos empujes mayores que en el caso de terreno
seco.
z
h
1
h1
Ka
NF

w
K a=1
w
zK
h
1
=0
a
K a + '(z-h 1)K a
Figura 7.2.9 Existencia de agua en el trasdós
En un caso general habría que estimar la red de flujo (por ejemplo con lluvia) y la ley general de
presiones de agua en el trasdós, y a partir de ella obtener los empujes de las tierras y del agua en
el trasdós (suponer una cierta altura de agua en el trasdós es una simplificación del caso real).
7.2.4 Otros casos
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Caso de terreno estratificado
En el caso de que el terreno en el trasdós tenga naturalezas diferentes según la profundidad (y en
particular diferentes ángulos de rozamiento interno), el método de Coulomb no puede aplicarse,
en general, directamente, ya que se desconoce el ángulo que formará la reacción en el plano de
rotura con la normal al mismo. Al respecto hay varias alternativas. Una es suponer un ángulo
medio de los correspondientes a los diferentes estratos, lo cual puede ser razonable si los
mismos no son muy diferentes entre sí. Otra opción es sustituir los estratos superiores por su
efecto en los inferiores mediante una carga repartida de valor medio (amplitud de la cuña de
rotura) (Figuras 7.2.10 y 7.2.11).
h1
z

1
h1 K a,1
1
K a,1 , 1 , 
1
K a,2 , 2 , 
2
Figura 7.2.10 Terreno estratificado en el trasdós. Sustitución de estratos superiores por
sobrecargas. Estrato superior
Caso de trasdós quebrado
Los muros con trasdós quebrado, por ejemplo el de la figura 7.2.12, permiten reducir el
momento volcador de los empujes que se producen en la parte superior del trasdós (los que
tienen mayor brazo) y la sección transversal del muro, aunque por ello mismo también se pierde
parte del efecto estabilizador de éste último y aumenta algo el brazo de los empujes que se
producen el parte inferior del trasdós. En estos casos (el de la figura 7.2.12 o el de otros, con
posibles efectos diferentes a los indicados) se puede proceder de la siguiente forma para la
estimación de las acciones producidas por el terreno. Primero se obtiene el empuje sobre la
primera parte del trasdós (Ea1 sobre A-B) siguiendo el procedimiento básico de Coulomb con
cuñas triangulares desde el punto B (trasdós plano convencional); después se obtiene el empuje
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sobre la otra parte del paramento (Ea2 sobre B-C, con una cuña cuadrangular) lo cual es posible
por conocerse Ea1 (la única incógnita es Ea2). Este proceso puede llevarse a cabo sucesivamente
en el caso de haber más quiebros. El procedimiento original implica obtener la cuña de máximo
empuje en cada una de las etapas indicadas. Para determinar el punto de aplicación del empuje
en el tramo BC, debe recurrirse a la división en submuros, siguiendo el procedimiento explicado
con anterioridad.
h1
z
( /2)-
q
2
K a,1 , 1 , 
1
K a,2 , 2 , 
2
( 1 h1 + 2 (z-h1)) K a,2
2
Figura 7.2.11 Terreno estratificado en el trasdós. Sustitución de estratos superiores por
sobrecargas. Estrato inferior
Al igual que en el caso de terreno estratificado, el empuje sobre el tramo BC se puede estimar de
forma más simple substituyendo el terreno del trasdós que conforma la parte superior del
paramento quebrado (tramo AB) por su peso en el terreno inferior (carga uniformemente
repartida si el espesor es constante).
Si el trasdós es curvo, se puede estimar los empujes aproximando la curvatura a una sucesión de
tramos quebrados y calculándolos del mismo modo ya visto.
Caso de muros cercanos
Los muros cercanos o en paralelo (Figura 7.2.13) es una tipología constructiva bastante
frecuente, por ejemplo, en rampas de acceso a pasos superiores de vías de comunicación o en
muros de acompañamiento de estribos de puentes. En estos casos la ley de empujes es siempre
menor o igual a la que se produciría si no existiera uno de los dos muros, dependiendo de la
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distancia entre ellos (Figuras 7.2.14-7.2.15), debido a que la cuña empuje (y por lo tanto su
peso) puede reducir su dimensión por la existencia del otro muro (si está suficientemente cerca).
Por ello, el cálculo de este tipo de estructuras en estas situaciones se puede llevar a cabo como si
sólo hubiera un muro, dejando del lado de la seguridad, aunque existen procedimientos que
permiten tener en cuenta esta situación.
A
Ea
AB
W
B
Ea
BC
R 
C
Figura 7.2.12 Muro con trasdós quebrado
Alzado
Planta
A
B
A'
B'
Figura 7.2.13 Esquema de una situación con muros cercanos
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Sección AA'
q
Figura 7.2.14 Esquema de la sección AA’ según la situación de la figura
anterior (Figura 7.2.13). Caso en que los dos muros se afectan
Sección BB'
q
Figura 7.2.15 Esquema de la sección BB’ según la situación de la Figura
7.2.13. Caso en que los dos muros no se afectan
7.3 Empuje activo. Teoría de Rankine
Pese a las limitaciones de aplicación que se verán seguidamente, el método de Rankine (1857)
es, desde un punto de vista matemático, más elaborado que el de Coulomb. Este método obtiene
los empujes del terreno partiendo de un estado de equilibrio en rotura en el que la estructura de
contención no produce ninguna perturbación.
En una masa de terreno en estado de Rankine todos sus puntos están en situación de rotura
(plastificados), es decir, que en cada punto el círculo de Mohr correspondiente a su estado
tensional es tangente a la línea de resistencia (Figura 7.3.1).
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dirección líneas de rotura

 
c
/4)+( /2)
P
/4)-( /2)
P

Estado
Pasivo
Estado
Activo
E.Activo
h
z
E.Pasivo
h
Figura 7.3.1 Representación de los estados activo y pasivo de Rankine en un punto de un
terreno con superficie libre horizontal con tensión vertical σz.
En estas condiciones, con terreno homogéneo en estado de Rankine, sin acciones exteriores y
con superficie libre horizontal (sin variación de tensiones verticales en los puntos de cualquier
plano paralelo a la superficie), la tensión horizontal resulta:
  
  
   2c tan      zK a  2c K a (estado activo)
 4 2
 4 2
 h   z tan 2 
  
  
   2c tan      zK p  2c K p (estado pasivo)
 4 2
 4 2
 h   z tan 2 
Y en suelos no cohesivos (c=0):
  
    zK a (estado activo)
 4 2
 h   z tan 2 
  
    zK p (estado pasivo)
 4 2
 h   z tan 2 
Mediante este procedimiento se puede obtener las leyes de empuje (también en el caso de
superficie del terreno en el trasdós inclinada y con trasdós no vertical, obteniendo los empujes
sobre éste último a través de los círculos de Mohr correspondientes), pero aún siendo más
teórico que el método de Coulomb, es también más difícil de aplicar con geometrías
mínimamente complejas (trasdós quebrado, superficies del terreno en el trasdós no planas,
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cargas arbitrarias sobre éste último) y no es mucho más preciso. Es por ello que el método de
Rankine se suele usar cuando es fácil de utilizar y, en particular, con superficie del terreno
horizontal (β=0), muro con trasdós vertical (α=0), y δ=0, mediante las expresiones
anteriormente indicadas. Si las superficies libres no son horizontales estas expresiones se
complican (con c≠0 las líneas de rotura no resultan rectas). En lo que se denominará método
americano, los muros se pueden aproximar al caso con superficie del terreno horizontal (β=0),
muro con trasdós vertical (α=0), y δ=0 y usar las expresiones indicadas.
Sin cohesión se tiene pues:
1
  
ea ( z )   z tan 2      zK a  Ea   h 2 K a
2
 4 2
Si se aplica una sobrecarga uniforme de valor q, se puede substituir la altura h por h+ h0, siendo
h0 (como ya se ha visto en el apartado 7.2.2) la altura de tierras que produciría q (sobrecarga
reducida
de
tierras;
Figura
7.3.2),
o
utilizarse
directamente
el
valor
de
q
  
    q   z  Ka )
 4 2
( ea ( z )   q   z  tan 2 
q
h K a
0
h =q/ 
0
h
ea(z)
(h+h )K a
0
Figura 7.3.2 Sobrecarga reducida de tierras
Con cohesión, los empujes pueden resultar negativos cerca de la superficie (Figura 7.3.3).
La ley de empujes (sin cargas exteriores) es la siguiente:
1
  
  
ea ( z )   z tan 2     2c tan      zK a  2c K a  Ea   h 2 K a  2ch K a
2
 4 2
 4 2
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zc
ea(z)
Figura 7.3.3 Aparición de empujes negativos (grietas) debidos a la cohesión
En esta última expresión (empuje total) está también integrada la parte con empujes negativos,
lo cual no es correcto, como se comenta a continuación. Considerando nulas las sobrecargas, el
terreno puede estar traccionado con la consecuente aparición de fisuras (Figura 7.3.3) hasta una
profundidad zc de valor:
  '
2c tan   
 4 2   2c K a  2c K  2c tan     ' 
zc 
p


 Ka


  '
4 2
 tan 2   
4 2
que cambia si hay acciones exteriores (la ley se va hacia la derecha). Estos empujes negativos,
que significarían que el terreno tira del muro para estabilizarlo (son favorables a la estabilidad),
no se producen en realidad, sino que el terreno se separa. En consecuencia debe anularse esta
parte negativa, aunque teniendo en cuenta que las acciones en superficie trasladan la ley de
empujes hacia valores positivos, por lo que los valores negativos (si se producen) sólo se deben
anular en la configuración final de empujes. Para el cálculo de la ley de empujes en esta
situación se supondrá inexistentes los valores negativos en la parte superior del trasdós,
integrando a partir de la profundidad en que empiezan las compresiones debidas al peso y
cargas exteriores, es decir, considerando el empuje resultante según:
h
Ea   e( z )dz
zc
Como se ha indicado, los valores negativos deben anularse una vez se ha tenido en cuenta los
sobreempujes debidos a otras acciones (por ejemplo las cargas en superficie del trasdós). Con
sobrecarga uniforme, en el caso de existir cohesión, el procedimiento es análogo al ya planteado
con el caso sin cohesión:
17
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Tema 7. Muros
1
ea ( z )   q   z  K a  2c K a  Ea   h 2 K a  qhK a  2ch K a
2
1
zc  2c K p  q



7.4. Empuje activo sobre tipos de muros específicos
7.4.1 Muros en L con talón
Si se considera muros con trasdós en ‘L’ (└ o ┴ T invertida), la existencia del talón o zarpa
trasera modifica el comportamiento estudiado a efectos de determinar el empuje activo. En el
caso de muros en ‘L invertida’ ( ┘), el procedimiento es análogo al ya visto con trasdós plano
convencional.
El esquema cinemático de movimiento en el colapso de esta tipología de muros es diferente al
habitual. La cuestión básica es que la cuña de empuje, que tendería en general a bajar respecto
del muro con un trasdós convencional (plano) es a la vez levantada por el talón en el proceso de
vuelco. El fenómeno o proceso real (así como los empujes correspondientes) no se conoce
teóricamente a fondo, aunque sí existen reglas empíricas avaladas por la práctica. Se comprueba
experimentalmente que en el proceso de colapso (vuelco) y con movimientos de importancia, se
produce una zona de terreno muerto (elástico, no en rotura) que acompaña rígidamente al muro
como formando parte de él (Figura 7.4.1).
Terreno solidario
con el muro
Figura 7.4.1 Situación de colapso (vuelco) de un muro en L.
Aparición de una zona de terreno solidaria con el muro encima del talón
18
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Tema 7. Muros
Esta zona del terreno colabora, con su peso, a la estabilidad como si se tuviera un muro
compuesto (└ + tierras). Se deberá pues, comprobar la estabilidad del mismo en su conjunto.
Para ello existen varios procedimientos de cálculo según se indica a continuación.
El denominado método americano (Figura 7.4.2) es un método más simple que puede también
aplicarse a otros tipos de muros con trasdós no vertical. Consiste en convertir cualquier trasdós
(└ o ┴) en vertical a partir del punto más interior del mismo y calcular el empuje activo
mediante el método de Rankine (δ = 0). En caso de existir inclinación del terreno, se supone
igualmente horizontal pero con una carga repartida de valor medio a la del peso del terreno
substituido (q→Δσ).
q
( =0)
h
E a=(  h K )/2
2

a
h/3
Figura 7.4.2 Aplicación del método americano
Este método queda del lado de la inseguridad al aumentar el peso del muro en mayor medida de
lo razonable (trasdós vertical), y del lado de la seguridad al considerar δ=0 (realmente debiera
ser δ= al ser un contacto terreno-terreno). Estas dos hipótesis contraponen aproximadamente
sus efectos. El cálculo es análogo a lo visto con anterioridad en el método de Rankine. Este
procedimiento es bastante común en muros con trasdós quebrado o escalonado.
El denominado método europeo (Figura 7.4.3) es más realista en su planteamiento que el
americano y también más complicado de aplicar. Según este método, el terreno que acompaña al
muro al colapsar queda limitado por una de las trayectorias de las líneas características de rotura
del estado de Rankine pasando por el punto del talón más introducido en el trasdós. Por su parte,
la cuña de rotura queda limitada por la otra línea característica de rotura de dicho estado .
19
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Tema 7. Muros
Las direcciones de las líneas características de rotura se calculan mediante la teoría de Rankine
como ya se ha indicado (analítica o gráficamente), aunque para el cálculo sólo acostumbra a
necesitarse la que delimita la zona de terreno superior al talón que es solidaria con el muro en el
colapso; a partir de aquí el cálculo es análogo al ya visto con anterioridad considerando (según
las direcciones obtenidas y la geometría del muro, según se indica a continuación) el muro con
trasdós quebrado.

Ea
( =0)
Figura 7.4.3 Aplicación del método europeo
La línea de rotura, dependiendo de la geometría del problema y de las propiedades del terreno,
finalizará en el propio muro (muros esbeltos, terrenos de baja calidad) o en la superficie del
trasdós (muros poco esbeltos, terrenos de alta calidad). Veamos cómo se procede según estos
dos casos (Figuras 7.4.4 y 7.4.5, respectivamente):
Caso 1: la línea de rotura finaliza en la superficie del terreno en el trasdós (punto A).
A
Ea
( =
 )
C
D
Figura 7.4.4 Aplicación del método europeo. Primer caso
20
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Tema 7. Muros
El empuje sobre ACD se calcula diferenciando las zonas AC y CD (como trasdós quebrado):
 En AC se usa Rankine o Coulomb tal y como se ha visto (por Coulomb, en esta zona δ= por
ser contacto tierras-tierras).
 En CD, por Rankine o por Coulomb, considerando la sobrecarga de tierras correspondiente a
la zona AC (por Coulomb es δ ≤  al ser contacto tierras-muro). Es habitual que tramo CD
no se considere por separado al ser CD<<AC. En este caso se puede prolongar AC hasta la
base del muro y realizar el cálculo de una sola vez con las características de dicho tramo.
Caso 2: la línea de rotura finaliza en el paramento del muro (punto B).

A
( =0)
B
( =
)
C
D
Figura 7.4.5 Aplicación del método europeo. Segundo caso
El empuje sobre ABCD se calcula diferenciando AB, BC y CD (como trasdós quebrado):
 En AB se obtienen los empujes por Rankine o por Coulomb tal y como ya se ha visto. Se
debe recordar que para usar Coulomb se puede considerar δ ≤  por ser contacto tierrasmuro.
 En BC se usa Rankine o Coulomb (trasdós quebrado) considerando por ejemplo la
sobrecarga de tierras correspondiente a AB. Por Coulomb, en esta zona δ= por ser contacto
tierras-tierras.
 En CD se procede como en el caso anterior, considerándolo por separado o no, aunque es
habitual integrar este tramo en el anterior.
Con cualquiera de los procedimientos indicados se obtiene el empuje sobre el muro en magnitud
y posición. La estabilidad debe considerarse en el conjunto muro-tierras con éstas (las situadas
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Tema 7. Muros
sobre el talón y solidarias con el muro en el colapso) en estado elástico (no en rotura). Existen
también otros métodos de cálculo que pueden consultarse en la bibliografía de la asignatura.
7.4.2. Otros tipos de muros específicos
Plataformas estabilizadoras
Las plataformas estabilizadoras (Figura 7.4.6) presentan ciertas ventajas en relación con el
efecto desestabilizador de los empujes del terreno pero no se usan demasiado en la práctica
debido a que resulta con frecuencia más ventajosa la utilización de otras alternativas, como por
ejemplo, cuando son posibles, los anclajes, que requieren menor mano de obra. La plataforma
genera un momento estabilizador por el peso de tierras superior que se debe tener en cuenta en
el dimensionamiento y reduce los empujes en el terreno bajo la misma (hasta una cierta
profundidad) siempre que se evite que la plataforma confine al terreno inferior al deformarse
(flexión, y compresión del terreno inferior). Esto último se consigue habitualmente mediante la
disposición de elementos compresibles bajo la plataforma.
Figura 7.4.6 Muro con plataforma estabilizadora
La evaluación de su efecto, al igual que acostumbra a ocurrir con otros elementos singulares, es
difícil de estimar de forma rigurosa. Un procedimiento empírico relativamente válido es el que
se muestra en la Figura 7.4.7.
Como se ha indicado, en la práctica se suele usar más los anclajes que las plataformas, por ser
más fáciles de construir.
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terreno no influido
por la plataforma
 
empujes
sin
plataforma
no influye el
terreno superior
ea(z)
efecto reductor
de la plataforma
( /4)+  
no influido por la plataforma
Figura 7.4.7 Análisis empírico de empujes para muros con plataforma estabilizadora
Contrafuertes
El efecto de los contrafuertes (Figura 7.4.8) es de modificación de empujes así como de mejora
de la estabilidad.
Sección central
Sección con contrafuerte
Figura 7.4.8 Muro con contrafuertes
Como en el caso de las plataformas estabilizadoras (y aparte de procedimientos más
sofisticados) su cálculo se basa en consideraciones empíricas (Figura 7.4.9) utilizando el
método americano.
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Tema 7. Muros
Sección central
Sección con contrafuerte
h/4
z
z
h/2
e (z)
h
h/2
a
h
e (z)
a
h/4
h/4
hK a/2
h/4
zK a
z K a
hK a/2
Figura 7.4.9 Análisis empírico de empujes para muros con contrafuertes
Por este procedimiento se obtiene de nuevo los empujes en magnitud y posición. Es necesario
efectuar el resto de los cálculos de estabilidad, que se indican más adelante, en las dos secciones
diferenciadas.
7.5. Otros métodos para la estimación de empujes activos
Existen diversos métodos para la estimación del empuje activo. Cada uno de ellos tiene, en
general, su campo de aplicación específico. En este apartado se va a presentar algunos casos que
permiten estimar los sobreempujes inducidos por cargas exteriores. El procedimiento a seguir
diferencia el cálculo de los empujes de tierras (utilizando, por ejemplo, los métodos de Coulomb
o de Rankine) y el de los sobreempujes inducidos por las cargas exteriores o por otras acciones,
que se deberán añadir a los anteriores. Para ello se utiliza habitualmente el método americano.
7.5.1 Método elástico
Este método utiliza hipótesis elásticas para estimar los sobreempujes inducidos por cargas
exteriores. Para ello se supone un semiespacio de Boussinesq y se obtiene las acciones
(tensiones horizontales) en el trasdós teniendo en cuenta su posición relativa respecto a las
cargas. En la Figura 7.5.1 se muestra un ejemplo correspondiente a una carga concentrada Q
aplicada a una distancia a del trasdós vertical.
24
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Las hipótesis elásticas acostumbran a subestimar los empujes producidos ya que la estructura
de contención se comporta habitualmente con más rigidez que el terreno y restringe los
corrimientos, por lo que los empujes aumentan. Este hecho hace que los empujes elásticos
queden usualmente del lado de la inseguridad. Para compensar este efecto puede duplicarse los
empujes producidos, lo cual correspondería a una situación con estado de cargas simétrico
respecto del trasdós (cargas iguales a ambos lados del mismo). En esta situación el trasdós es un
eje de simetría y los corrimientos son nulos. En ella, evidentemente, se sobreestima los empujes,
ya que la estructura siempre tendrá algún movimiento. Por esta razón es habitual utilizar un
factor intermedio entre 1 (elasticidad con carga única; empujes subestimados) y 2 (elasticidad
con cargas simétricas; empujes sobreestimados). En este sentido es frecuente adoptar el valor
1.5 (e(z)=1,5σh). Cuanto más rígido se comporte el muro (más masivo, mejor cimentado) más
se acercará el coeficiente a 2. Cuanto más flexible se comporte el muro (menos masivo,
cimentación con mayor asiento) más se acercará el coeficiente a 1.
Q
a
z
h
h 
a2 z
3Q

z máximo 
a
2
 z2 
3
2
2
a
2
Figura 7.5.1 Tensiones horizontales en un plano vertical causadas por una carga
aislada en un semiespacio de Boussinesq situada a una distancia a
Mediante este procedimiento se obtiene la distribución de empujes y, consecuentemente, la
magnitud total de los mismos y su punto de aplicación. El ejemplo de la figura 7.5.1 es
representativo del tipo de distribución que se obtiene con cargas exteriores puntuales o
extendidas en una cierta distancia. Como se ve, la ley de empujes presenta un máximo que
aumenta cuando lo hace Q y viceversa, sin que la posición del mismo varíe si la carga no
cambia de posición. Por otro lado, cuando Q se aleja del trasdós (a aumenta), el máximo
desciende y se hace menos intenso (y viceversa). Como es lógico, sólo se debe tener en cuenta
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Tema 7. Muros
los empujes incluidos en el trasdós (y no los que se producen, según la teoría elástica, más
abajo). Las soluciones elásticas son en algunos casos bastante simples (analíticas), en particular
para geometrías sencillas (superficie horizontal), y pueden dar lugar a resultados aceptables.
7.5.2 Distribuciones semiempíricas
Hay distribuciones semiempíricas que también proporcionan una estimación de los
sobreempujes inducidos por estados de cargas exteriores específicos. Como se ha indicado
anteriormente, primero se obtiene los empujes sin acciones exteriores (por ejemplo por
Coulomb o por Rankine), y luego se añade distribuciones (aproximadas o exactas) de las
acciones exteriores utilizando, habitualmente, el método americano. Se recoge a continuación
algunos casos:
 Caso de una sobrecarga uniforme (Figura 7.5.2; ya visto exacto en Coulomb o Rankine).
q
q
E a =hqK a
h
h/2
qK a
Figura 7.5.2 Distribución empírica para sobrecarga uniforme
 Caso de una carga puntual localizada, lineal y paralela al muro, sobre terreno granular
(Figura 7.5.3a) o sobre terreno cohesivo (Figura 7.5.3b).
a
0,5a
Q
0,4(Q/a)
Q
h
E a =0,6Q
granular
a
Q
a
1,17a
0,67(Q/a)
3a
Q
h
E a =Q
1,33a
3a
cohesivo
Figura 7.5.3a-b. Distribuciones empíricas para carga puntual sobre terreno granular y cohesivo
26
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Tema 7. Muros
 Caso de cargas asimilables a uniformemente distribuidas en una faja continua paralela al
muro sobre terreno granular (Figura 7.5.4.a) o sobre terreno cohesivo (Figura 7.5.4.b):
d
b
A
b
q
a
q
a
 
a
q
E a =bqK a
2d+a
(2qb)
(2d+a)
1,33(d+a)
q
E a =bq
/4)+( /2)
B
AB/2
(bqK a)/AB
granular
cohesivo
Figura 7.5.4a-b. Distribuciones empíricas para sobrecarga uniforme en faja
en terreno granular y cohesivo
Se puede observar que en muchos de estos casos se reproduce una distribución con un máximo
intermedio (aunque simplificado a un triángulo) que sigue las tendencias indicadas en el
apartado anterior en relación con su intensidad y posición dependiendo de la magnitud de la
carga y de su distancia al trasdós del muro. Evidentemente si toda el área de empujes queda
integrada en el trasdós, es suficiente con saber la magnitud del empuje total y su punto de
aplicación. En caso contrario se debe tener en cuenta únicamente los empujes que realmente
afectan al trasdós, eliminando los que se aplican por debajo del mismo.
7.6. Empuje pasivo
7.6.1 Introducción. Teorías de Coulomb y de Rankine y métodos basados en soluciones
estáticas
El cálculo del empuje pasivo es necesario en determinadas zonas de los muros (Figura 7.6.1).
Su efecto es favorable a la estabilidad de los mismos. En la práctica es frecuente que este tipo de
empujes no se tenga en cuenta, lo cual deja del lado de la seguridad, aunque no siempre es así.
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Tema 7. Muros
Diversas razones justifican que los empujes pasivos puedan no considerarse en los cálculos.
Como ya se comentó en el tema anterior, las deformaciones necesarias para el desarrollo del
empuje pasivo en su totalidad son superiores a las correspondientes al empuje activo. Estas
deformaciones pueden ser incompatibles con la estructura o con estructuras cercanas, con lo que
hay que tener cuidado en considerar este tipo de empujes, en especial si son importantes para
asegurar la estabilidad. El desarrollo de empujes pasivos (si ocurre) se efectúa en las partes
inferiores del intradós, donde precisamente son menores los movimientos en un mecanismo de
colapso de vuelco. Aparte, los métodos tradicionales (Coulomb y Rankine) pueden ser inexactos
al considerar superficies de rotura no realistas, con lo que, de nuevo, si el empuje pasivo es en
algún caso clave para la estabilidad de la estructura es importante asegurar su adecuada
estimación o aplicar un coeficiente minorador para quedar del lado de la seguridad.
Como cuestiones más prácticas que justifiquen las precauciones frente a los empujes pasivos y
la aplicación de un coeficiente minorador se puede comentar el hecho de que habitualmente los
empujes pasivos deben desarrollarse en una zona (pie del muro) que suele ser de terreno de
aportación, de calidad a veces dudosa, que se compacta insuficientemente en obra; que puede
verse sometida a cambios (a veces probables) a lo largo de la vida del muro (excavaciones,
zanjas, instalación de servicios, cunetas, etc.); y que puede estar afectada por la erosión
producida por agua de lluvia (u otro origen) que caiga por el paramento del intradós del muro (si
no está protegida, por ejemplo, con un pavimento). Sin embargo, el no considerarlo puede en
ciertas ocasiones encarecer mucho la solución, y en este caso se debe asegurar que se pueden
desarrollar apropiadamente.
Ea
Ep
Figura 7.6.1 Empuje pasivo. Situación
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Tema 7. Muros
Como ya se ha comentado con anterioridad, el modo en que se generan las deformaciones
influye directamente en el desarrollo y distribución de los empujes. Para el empuje pasivo
podría utilizarse la teoría Coulomb, pero mientras que para empujes activos los valores que se
obtienen mediante dicha teoría son muy aproximados a los de teorías plásticas más modernas,
para empujes pasivos puede dar lugar a valores exagerados. Ello es debido a que en el caso de
empujes pasivos, entre otras razones más prácticas anteriormente señaladas, la superficie de
rotura no es plana, sino curva. Mediante Rankine (Figura 7.6.2) resultan también valores que
pueden ser altos, y teniendo en cuenta que el empuje pasivo es en general favorable a la
estabilidad, dejaría del lado de la inseguridad sobrevalorarlos.
Intradós
Muro
z
h
Ep
h/3
  '
e p ( z )   z tan 2    =  zK p
4 2
1
1  1
M pest  K p h 2  h   K p h3
6
3  6
Figura 7.6.2 Empuje pasivo. Rankine según el método americano
Método de la espiral logarítmica
Se ha propuesto otros mecanismos de rotura más realistas para el cálculo del empuje pasivo,
como el del método de la espiral logarítmica (Figura 7.6.3) que se explica someramente a
continuación. En este mecanismo AE es la superficie frente al muro (terreno superior en estado
pasivo) afectada por el posible mecanismo de rotura con terreno inclinado en el intradós; BC es
una espiral logarítmica (zona OBC de plasticidad radial) que corresponde a una superficie de
rotura; y ACE y AOB son cuñas de rotura (AC según el estado de Rankine). Para obtener el
empuje sobre el intradós del muro debe establecerse el equilibrio de pesos y fuerzas. Para ello
puede considerarse una sección vertical por el punto C e imponer equilibrio en ABCD (Figura
7.6.4).
29
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Tema 7. Muros
Fijando arbitrariamente O (que determina en consecuencia la posición del punto C a partir de
la expresión de la espiral logarítmica), se va obteniendo el valor de los distintos parámetros
(unos más inmediatos de definir que otros; así, por ejemplo, hay métodos aproximados para
ayudar en la obtención del peso en la zona en plasticidad radial W2) y se consigue Ep por
equilibrio (con el ángulo de contacto que se haya adoptado, como en el caso activo), que puede
suponerse aplicado a ⅓ de la altura sin no hay acciones exteriores. Se debe tantear varias
posiciones de O hasta obtener el menor valor ya que se supone que el mecanismo de colapso se
desarrollará de forma que se minimice la resistencia opuesta por el terreno en el intradós (de
forma análoga, aunque contraria, a lo que ocurre con los empujes activos, que se producen a
través de la cuña que los hace máximos). Esta situación, aparte, deja del lado de la seguridad.
A
O
superficie del terreno
Muro
Estado
Pasivo
E
Estado
Pasivo
Estado
Radial
B
C
Figura 7.6.3 Mecanismo de rotura según el método de la espiral logarítmica
A
Estado Pasivo
O
D
E
CD
Ep
W3
r
r
W2
C
eBC
W1
0
B
Estado
Pasivo
Estado
Radial
Figura 7.6.4 Mecanismo de rotura según el método de la espiral logarítmica. Variables
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Tema 7. Muros
Existen otros procedimientos de cálculo, con modelos diferentes, que tienen un tratamiento
análogo al ya visto para la espiral logarítmica.
7.6.2 Modificaciones de Kp. Reducción parabólica
El empuje pasivo puede ser en muchas ocasiones importante para asegurar o mejorar la
estabilidad, y sobrevalorarlo deja del lado de la inseguridad. Por otro lado, considerar el empuje
pasivo es razonable cuando se tiene seguridad de su colaboración. Por ello es frecuente calcular
el empuje pasivo mediante un método tradicional (por ejemplo Rankine) y aplicarle una
minoración. En este sentido un procedimiento posible es utilizar una reducción parabólica, que
deja del lado de la seguridad (Figura 7.6.5). En ella el empuje se anula tanto en superficie
(confinamiento nulo) como en el pie (punto de giro) del intradós.
C
Intradós
ep
E p-E pr
Ep
h/2
Muro
z
ep-epr
h
epr
h/3
B
A
reducción parabólica
empuje a considerar:
E p-E pr
Figura 7.6.5 Reducción parabólica de Ep
Desarrollando las leyes de empujes de la Figura 7.6.5 se tiene:
e p ( z )  K p z

2
e pr ( z )   z
e pr (h)   h 2  K p h  e p (h) de donde  
Kp
h
luego:
e pr ( z ) 
Kp
h
 z2
31
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Tema 7. Muros
e p  e pr  K p z 
Kp
h
 z2
 z
e p  e pr  K p z 1   (empuje nulo en B y C)
 h
En total:
1

2
 E p  2 K p h (sin reducción)

E  1 K  h
 pr 3 p
E p  E pr 
1
K p h 2 (reducido a la tercera parte)
6
En relación con el punto de aplicación, puede comprobarse que la ley e p  e pr es simétrica (es
decir, E p  z   E p  h  z  ) por lo que el centro de gravedad, y por lo tanto el punto de
aplicación de la resultante, estará en el punto medio ( z 
h
).
2
El análisis de momentos estabilizadores respecto al punto de giro A resulta:
M pest 
1
1  1
K p h 2  h   K p h3
2
3  6
M pest pr 
1
1  1
K p h 2  h   K p h3 (reducido a la mitad)
6
 2  12
En consecuencia, la reducción parabólica disminuye el empuje pasivo a la tercera parte y el
momento estabilizador a la mitad. La aplicación de esta reducción es importante, sobre todo si
el empuje pasivo es necesario para la estabilidad.
7.7 Proyecto de muros
7.7.1 Predimensionado. Acciones a considerar
El proyecto de un muro requiere un procedimiento de predimensionado y comprobación, ya que
en general no es posible determinar su tipología y dimensiones a partir de las condiciones (de
estabilidad u otro tipo) a cumplir. Entre estas condiciones hay que tener en cuenta también
aspectos como la estética que puede ser especialmente importante en determinados casos (por
32
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Tema 7. Muros
ejemplo en zonas urbanizadas o claramente visibles). En consecuencia es necesario comenzar
con un predimensionado de la estructura (tipología y dimensiones), para lo cual se puede
proceder de diferentes maneras (por ejemplo en base a recomendaciones existentes, o a la propia
experiencia).
Cabe recordar que un terreno con un ángulo de rozamiento interno  bajo proporcionará
empujes activos mayores sobre la estructura a calcular y viceversa (a mayor ángulo de
rozamiento interno menores serán los empujes activos). Por otro lado, la existencia de agua o de
cargas en superficie del terreno generará sobreempujes que también influirán de forma
significativa en el proyecto final. Así mismo la altura del muro será un parámetro esencial.
Todos estos aspectos serán importantes para definir un buen predimensionamiento, que facilita
y acelera el desarrollo del proyecto, aunque de no ser así también puede finalizarse con una
solución correcta.
Existen diferentes recomendaciones que proporcionan predimensionamientos orientativos,
aunque al final es el cálculo el que debe asegurar la idoneidad de la estructura proyectada. En la
Figura 7.7.1 se muestra un ejemplo de algunos rangos de proporciones geométricas entre base y
altura para dos estructuras de contención que trabajan por gravedad y flexión.
Figura 7.7.1 Predimensionamiento básico de dos tipos de muros
Una estructura de contención estará sometida a los empujes que le transmita el terreno en su
trasdós e intradós, a su peso propio y al efecto de posibles cargas exteriores. Este conjunto de
acciones han de ser soportadas y transmitidas de forma estable al terreno sin que éste falle, sin
que sufra asientos inadmisibles y sin que la estructura llegue a ningún estado límite. En resumen
la estructura de contención ha de ser proyectada para:
33
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Tema 7. Muros
a) Soportar los empujes del terreno y cargas exteriores con integridad del material que lo
constituye, es decir, sin llegar a rotura ni deformarse en exceso.
b) Transmitir al terreno las tensiones tales que éste pueda soportarlas tanto en estado límite
último (E.L.U), como en estado límite de servicio (E.L.S).
En la Figura 7.7.2 se observa una estructura de contención con las acciones más habituales a
tener en consideración.
Figura 7.7.2 Acciones más habituales sobre una estructura de contención
Dentro de los empujes activos debe tenerse en cuenta sus diferentes componentes incluyendo al
efecto de las tierras, del agua en caso de existir, de eventuales cargas exteriores, etc. Cabe
recordar, en particular, la importancia que tiene el agua por el efector desestabilizador que
puede producir.
Al mismo tiempo, para quedar del lado de la seguridad, sólo se debe tener en cuenta el efecto de
los empujes pasivos cuando se tenga la seguridad de que se vayan a producir. Por otro lado la
estimación de los mismos debe ser apropiada para no sobreestimarlos.
Las acciones exteriores deben ser tratadas con especial atención y únicamente se deben tener en
cuenta todas las desfavorables y todas las permanentes, intentando evitar actuaciones
coincidentes de acciones que no sean posibles en la práctica. En particular no deben
considerarse las acciones favorables no permanentes. Es decir, debe considerarse todas las
acciones desfavorables, y las favorables permanentes o todas las permanentes, y las no
permanentes desfavorables.
34
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Tema 7. Muros
Se debe destacar que una misma acción puede ser favorable o desfavorable dependiendo del
aspecto que se esté estudiando. Así, en la Figura 7.7.2, la carga puntual p es desfavorable al
hundimiento y favorable a la estabilidad al vuelco y se considerará así en el caso de que sea una
carga permanente. Sin embargo, en el caso de que sea una carga no permanente, únicamente se
tendrá en cuenta para el caso desfavorable frente al hundimiento y no se considerará su
contribución a la estabilidad al vuelco.
7.7.2 Procedimiento de comprobación
Aunque existen procedimientos sofisticados que permiten analizar en detalle el estado de cargas
generado y las condiciones de estabilidad correspondientes, habitualmente la comprobación de
un muro se puede realizar en los siguientes pasos:
a) Seguridad al vuelco (estado límite último)
b) Seguridad al deslizamiento (estado límite último)
c) Paso de la resultante de esfuerzos por el núcleo central de la base (estado límite de servicio)
d) Seguridad al hundimiento de la cimentación (estado límite último)
e) Estabilidad general (estado límite último)
f) Resistencia estructural (estado límite último)
g) Comprobaciones en servicio tales como asientos y corrimientos (estado límite de servicio)
A continuación se comenta con mayor detalle cada uno de ellos de acuerdo con los
procedimientos más habituales:
a) Seguridad al vuelco.
Se determina comprobando que los momentos estabilizadores respecto al punto de giro supuesto
son superiores que los momentos volcadores con un factor de seguridad que puede escribirse
como:
Fvuelco 
M
M
estabilizadores
volcadores
El mecanismo de vuelco depende de la geometría del muro y, por ejemplo, de la presencia de
anclajes. En un muro de gravedad, el punto de vuelco habitual es el pie (extremo de la base en el
lado del intradós). Si hay una hilera de anclajes, el punto de vuelco puede ser el propio punto de
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Tema 7. Muros
anclaje en el muro (suponiendo que el anclaje no falla, lo cual correspondería a una
comprobación adicional no incluida en la relación anterior).
Como se ha indicado con anterioridad, las acciones no permanentes deben incluirse solamente si
dan lugar a momentos volcadores. Un caso habitual se presenta en la Figura 7.7.3.
Figura 7.7.3 Acciones básicas sobre un muro de gravedad
Los momentos estabilizadores se calcularán en este caso (Figura 7.7.3) como:
M
estabilizadores
 Wc  E p b   e
donde W es el peso del muro y c la distancia perpendicular desde la línea de aplicación del peso
al punto de vuelco (en este caso A); Ep es el empuje pasivo (acción resultante de empujes
pasivos) en la zona de terreno del intradós y b la distancia perpendicular desde la línea de
aplicación del empuje pasivo al punto de vuelco; y e es el momento estabilizador resultante de
otras posibles acciones permanentes.
Los momentos volcadores se calcularán como:
M
volcadores
Ea a   v
donde Ea es el empuje activo (acción resultante de empujes activos) en el trasdós del muro y a la
distancia perpendicular desde la línea de aplicación del empuje activo al punto de vuelco; y v
es el momento resultante volcador de otras posibles acciones permanentes o no permanentes que
puedan actuar de forma simultánea.
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Tema 7. Muros
Cada una de las acciones antes mencionadas, todas ellas de tipo vectorial, pueden tratarse
usando descomposiciones diversas en componentes. Por ejemplo, el empuje activo suele
descomponerse en sus componentes horizontal y vertical, lo cual facilita el cálculo (en particular
lo facilita más que si se descompone en sus componentes normal y paralela al trasdós excepto,
lógicamente, en el caso de trasdós vertical, en que ambos casos coinciden). De esta forma
quedaría:
Ea a  Eah av  Eav ah
En la Figura 7.7.4 se muestra esta última descomposición.
Figura 7.7.4 Descomposición del empuje activo
En la expresión anterior, la componente vertical del empuje activo aparece con signo negativo
lo que indica que se convierte en estabilizadora. Sin embargo no debe trasladarse a los
momentos estabilizadores ya que la descomposición es siempre arbitraria y este cambio
conllevaría diferencias en el valor del factor de seguridad (aunque seguiría siempre siendo
mayor o menor que 1 independientemente de la descomposición realizada). Sólo en el caso de
equilibrio sería indiferente tratar a las componentes negativas de los momentos volcadores como
positivas en los estabilizadores y viceversa. Consideraciones análogas se pueden hacer respecto
a las demás acciones involucradas en la expresión anterior.
En estas condiciones el factor de seguridad sería:
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Tema 7. Muros
Wc  E p b   e
FSvuelco 
Ea a   v

Wc  E p b   e
Eah av  Eav ah   v
Si sólo se tiene el peso del muro y el empuje activo en el trasdós (es frecuente, como ya se ha
indicado, despreciar la contribución del empuje pasivo en el intradós) resulta una expresión más
simple:
FSvuelco 
Wc
Wc

Ea a Eah av  Eav ah
Normalmente se exige que este factor de seguridad sea superior o igual que 2 en estados
permanentes y superior o igual que 1.5 en estados eventuales o transitorios.
El empuje activo puede llegar a ser estabilizador en muros con base muy ancha. Esto hace que
el factor de seguridad resulte ser negativo, lo cual implica, en este caso, que el muro está
sobredimensionado.
b) Seguridad al deslizamiento.
El deslizamiento del muro acostumbra a ser el caso más crítico si el muro no es demasiado alto
o en muros en L sin talón (L invertida).
Se trata de analizar si la resistencia al corte del contacto terreno-muro en la base es superior a
los esfuerzos tangentes en la misma (resultante de esfuerzos paralela a la base) con un factor de
seguridad que puede escribirse como:
FS deslizamiento 
T
T
resistentes
desestabilizadores
Como se ha indicado con anterioridad, las acciones no permanentes deben incluirse solamente si
dan lugar a esfuerzos desestabilizadores. Un caso habitual se presenta en la Figura 7.7.5.
Para estimar la resistencia al corte en la base se puede plantear la condición de rotura de MohrCoulomb:
  a  v tan 
donde a es la adherencia y  el ángulo de rozamiento terreno-muro en la base. Estos parámetros
se pueden correlacionar con los parámetros resistentes del suelo según la tabla de la Tabla 7.7.1.
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Figura 7.7.5 Acciones sobre un muro de gravedad (deslizamiento)
Tabla 7.7.1 Coeficientes para el rozamiento entre suelos y material de construcción
En todo caso a  c y    ya que en caso contrario la rotura se produciría por el terreno y no
por la superficie de contacto.
Suponiendo que la base del muro es horizontal, la resultante de acciones normales a la misma
será:
W  Eav  E pv  v
donde v es la resultante vertical de otras posibles acciones permanentes.
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Por su parte la resultante de acciones desestabilizadoras (tangentes a la base) será:
Eah  E ph   h
donde h es la resultante horizontal de otras posibles acciones.
La acción resistente en la base será por tanto:
F
resistente

W  Eav  E pv  v  tan  
 Ba 


B


El factor de seguridad al deslizamiento queda por tanto como:
FS deslizamiento 
aB  W  Eav  E pv  v  tan 
Eah  E ph   h
que en el caso más simple de que sólo se disponga de peso y empuje activo resulta:
FS deslizamiento 
aB  W  Eav  tan 
Eah
y en el caso de despreciar la adherencia, lo cual es habitual:
FS deslizamiento 
W  Eav  tan 
Eah
que debe ser superior o igual que 1.5 en todos los casos.
Muchas veces el ángulo de rozamiento terreno-muro  se toma como el del terreno  ya que es
relativamente fácil asegurar que el contacto es suficientemente rugoso.
Una de las medidas más adecuadas para mejorar la estabilidad al deslizamiento de un muro (sin
casi modificarlo ni afectar a la estabilidad al vuelco) es inclinar un poco su base, según la figura
7.7.6, lo que da lugar al siguiente factor de seguridad:
FS deslizamiento 
a


B
 W  Eav  E pv  v  cos    Eah  E ph   h  sin  tan 
cos 
 Eah  E ph  h  cos   W  Eav  E pv  v  sin 
donde  es el ángulo de inclinación de la base.
Esta última expresión general también puede escribirse como:
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FS deslizamiento 
a
B
  Rv cos   Rh sin   tan 
cos 
Rh cos   Rv sin 
Rv  W  Eav  E pv  v
Rh  Eah  E ph   h
en la que se ha usado las resultantes vertical (Rv) y horizontal de acciones (Rv). En el caso más
simple (sólo peso y empuje activo) resulta:
FS deslizamiento 
 W  E  cos    E  sin   tan 
av
ah
 Eah  cos   W  Eav  sin 
Figura 7.7.6 Base inclinada para mejorar la seguridad al deslizamiento
Otra medida para mejorar el factor de seguridad al deslizamiento puede ser la colocación de
rastrillos en la base del muro. En este caso hay que añadir (restar en el denominador) el empuje
pasivo que se desarrolla en el frente del trasdós del rastrillo. Es razonable contar con el
desarrollo de este empuje pasivo en este caso, por estar protegido por la base del muro.
c) Paso de la resultante de esfuerzos por el núcleo central de la base.
El núcleo central de una sección es el lugar geométrico de los puntos en los que la aplicación de
un esfuerzo normal genera una distribución de tensiones del mismo signo (en este caso de
compresión, es decir, sin tracciones). En el caso de una sección rectangular el núcleo central es
un rombo y en el caso de una sección alargada (corrida) el núcleo central es una franja central.
Aunque no es estrictamente necesaria, esta condición se suele aplicar en muros para optimizar el
trabajo de la cimentación y reducir giros. En el caso de aplicación de una carga V en una sección
con una excentricidad e, la tensión mínima viene dada por:
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2 
V 6 Ve 

B
B2
de lo que se deduce que para e = B/6 se produce tensión nula en el borde y no hay tracciones.
Esto significa que entre + B/6 y - B/6 respecto al centro puede estar aplicada la resultante, y por
tanto queda definida una franja de dimensión B/3 centrada en la base del muro donde puede
estar
la
misma.
Para
determinar
la
posición
de
dicha
resultante,
con
valor
Rv  W  Eav  E pv  v , basta tomar momentos respecto a cualquier punto de la base.
En ocasiones se admite una cierta zona sin tensión (lógicamente las tracciones deben anularse,
ya que no se desarrollan) y se extiende la franja hasta 2B/3 centrada en la base del muro.
d) Seguridad al hundimiento.
Esta comprobación se refiere al hundimiento del terreno en la base del muro. Esto se plantea
con los métodos de cálculo de cimentaciones utilizando como acción a la resultante en la base.
La cimentación puede ser de diversos tipos y, en particular, superficial o profunda dependiendo
de dichas acciones y del tipo de terreno de apoyo.
e) Estabilidad general.
Se trata de la posible inestabilidad del terreno circundante como si se tratase de un talud que
incluye en su interior a la estructura de contención (Figura 7.7.7). La comprobación de este caso
se lleva a cabo mediante procedimientos de cálculo de estabilidad de taludes que se basan en el
análisis de superficies de rotura diversas y comprobación de los factores de seguridad
correspondientes. La estabilidad se asegura si todos los factores de seguridad obtenidos son
suficientemente altos (en cualquier caso mayores que 1).
f) Resistencia estructural.
En este apartado se debe dimensionar o comprobar estructuralmente el muro utilizando
procedimientos de resistencia de materiales. Esta materia se incluye en otras asignaturas.
g) Comportamiento en servicio.
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Tema 7. Muros
Esta comprobación incluye básicamente los asientos de la estructura de contención al
someterla a las acciones previstas, que se estiman de acuerdo con el comportamiento de su
cimentación utilizando para ello las técnicas expuestas en el tema correspondiente. También
pueden ser relevantes, especialmente en zonas urbanas, los movimientos del muro en
coronación, que se pueden estimar a partir del comportamiento de la cimentación y de la
deformación de la estructura, aunque para tener mayor precisión es necesario llevar a cabo
cálculos más elaborados.
Figura 7.7.7 Colapso por el desarrollo de una superficie de rotura en el terreno
7.7.3 Sistemas de drenaje
Como se ha indicado anteriormente, las presiones intersticiales producidas por el agua pueden
ser muy perjudiciales para la estabilidad de una estructura de contención ya que los empujes se
incrementan. Como referencia cabe indicar que, aplicando el método americano, los empujes
son proporcionales a Ka en el caso de terreno seco y a 'Ka + w en el caso de terreno saturado.
Ésta es la razón de que gran parte de los colapsos que se producen en muros se deban a la
generación imprevista (por ejemplo por fallo de los sistemas de drenaje) de presiones de agua.
Existen básicamente tres estrategias posibles en relación con el efecto del agua en una estructura
de contención:
a) Calcular la estructura de contención para resistir las presiones intersticiales que se puedan
producir. Evidentemente esta opción es segura pero cara, ya que da lugar a mayores
secciones.
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b) Evitar o dificultar que el agua se introduzca en el terreno impermeabilizando la superficie y
conduciendo apropiadamente el agua hacia el intradós. Esto es especialmente factible en
zonas urbanas con superficies pavimentadas, pero más difícil en otros casos.
c) Eliminar eficientemente el agua del terreno mediante un sistema de drenaje que evite la
generación de presiones intersticiales sobre el trasdós de la estructura de contención. A esta
opción se va a dedicar este apartado.
Existen muy diversos sistemas de drenaje de muros. A continuación se comentan algunos
habituales. El más sencillo lo constituye los mechinales. Se trata de perforaciones en el muro
(cuadradas, rectangulares, circulares) que permiten el drenaje hacia el intradós evitando que se
generen presiones intersticiales. En la Figura 7.7.8 se muestra un ejemplo de los mismos en
perspectiva.
Figura 7.7.8 Sistema de drenajes en muros (mechinales y tubo dren)
Su dimensión (diámetro, lado) suele ser de unos 10-15 cm y se disponen con separaciones que
pueden depender de la naturaleza del terreno (en general no menor de 1.5 m; mayor cuanto más
permeable es el mismo).
Adicionalmente se puede instalar un bulbo de grava (del orden de 30 cm de diámetro) en la
entrada del mechinal por el trasdós para facilitar de esta forma el flujo hacia el mismo o un
cordón horizontal de grava (dren continuo horizontal) conectando los mechinales de una misma
altura. En este último caso se mejora aun más la eficiencia del sistema y puede alejarse los
mechinales entre sí (hasta del orden de 3 m dependiendo de la permeabilidad del terreno).
Los mechinales se pueden construir mediante un material (madera o plástico) que queda
embebido en el paramento de hormigón y que posteriormente se extrae. Los aspectos negativos
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de los mechinales son que pueden colmatarse con facilidad con suciedad, plantas, nidos de
pájaros, etc. y que vierten el agua en el intradós del muro, con los problemas consecuentes en el
paramento (estético, de durabilidad) y la posible degradación del terreno en el pie del muro
(donde se debe generar, precisamente, los empujes pasivos).
El dren interior con desagües es una solución mejor (Figura 7.7.8). El dren se coloca en la parte
inferior del trasdós, con una ligera pendiente (1-2%) hacia las conexiones con el intradós o a la
red de evacuación (desagües) colocadas cada 20 a 30 m. Para el dren se puede utilizar material
granular, una tubería de hormigón poroso o plástico ranurado para conducir el agua hasta el
punto donde se vierte hacia el intradós o a la red de evacuación. Se debe evitar la colmatación
de todo el sistema utilizando materiales que actúen como filtro en caso de ser necesario.
Si el muro es alto se debe combinar el dren interior con drenes verticales (típicamente cada 5 m)
que recojan el agua y la transporten hacia el dren inferior y después a los desagües.
Una solución alternativa es la del dren continuo en el trasdós. Consiste en una capa de material
granular que cubre todo el trasdós del muro. En la zona inferior se debe colocar también
sistemas de desagüe hacia el intradós o a la red de evacuación.
Otra solución posible es el dren continuo inferior que está constituido por una capa horizontal
de material permeable bajo el terreno del trasdós (al nivel de la base del muro, con una cierta
pendiente hacia el mismo) que debe ir acompañado también de los correspondientes desagües.
Por último, cabe indicar que los suelos quizás más críticos desde el punto de vista de la
generación de presiones intersticiales de agua suelen ser los de permeabilidad media ya que los
muy permeables drenan con facilidad sin generar empujes hidrostáticos significativos y los poco
permeables se saturan con dificultad.
7.7.4 Otros tipos de muros. Suelo reforzado
Este tipo de estructura de sostenimiento es aconsejable o especialmente útil cuando se cumplen
los siguientes supuestos:
 Se necesita salvar desniveles de cotas significativas.
 En zonas donde la cimentación sea un aspecto crítico de la obra.
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 En una ubicación donde la parte del trasdós sea amplia, despejada y se pueda ocupar para la
construcción del terraplén.
Básicamente consiste en reforzar un terraplén, que se construye al mismo tiempo que el
paramento, mediante unas bandas, barras o pletinas, tradicionalmente de acero (chapa, barras) y
en la actualidad también de otros materiales (de naturaleza polimérica, geotextiles, geomallas,
etc.) que se instalan generalmente en planos horizontales encima de tongadas de terreno
debidamente compactado.
Estos elementos de refuerzo se fijan en un extremo a los elementos prefabricados del
paramento, que suelen estar constituidos por elementos tipo placa (paneles de hormigón armado
de poco espesor, por ejemplo) o bloque (piezas de hormigón de proporciones cúbicas)
instalados de manera machihembrada. Los elementos de refuerzo suelen tener una longitud del
orden del 70% de la altura estructural total de tal modo que se supere la cuña de rotura y se
garantice la estabilidad. Para mejorar la fricción con el terreno y garantizar una buena
adherencia, estos elementos se suelen fabricar con resaltes.
El material de relleno del terraplén suele ser granular para que su rozamiento con los refuerzos
sea mayor, no haya problemas de drenaje interior y los empujes consiguientes sean menores. En
la figura 7.7.9 se muestra un esquema orientativo de este tipo de estructura de contención.
Figura 7.7.9 Proporciones orientativas en muros de suelo reforzado
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El mecanismo básico de trabajo es el siguiente: el terreno de relleno empuja al paramento y
éste lo transmita a los refuerzos, que resisten por fricción (  a   n tg ) en el terreno estable,
es decir, al que está fuera de la cuña de rotura. En el caso de la figura 7.7.9, el elemento más
solicitado resulta ser el a, que es el más profundo, donde el confinamiento es mayor. En este
elemento el punto más solicitado es el de contacto con el paramento.
Se debe realizar varias comprobaciones para asegurar la estabilidad de este tipo de muros.
Desde un punto de vista global externo debe comprobarse la estabilidad al hundimiento, vuelco
y deslizamiento (en general poco críticas en este caso) del completo estructural (material
comprendido dentro de las proporciones H×L según la figura 7.7.9) siguiendo, por ejemplo, los
métodos ya explicados en apartados anteriores. Por otra parte, desde un punto de vista de
estabilidad interna, debe comprobarse tanto el deslizamiento de los refuerzos en mecanismos de
traslación o vuelco al superarse la resistencia máxima por fricción con el terreno, así como la
resistencia a la rotura del material (acero, polímeros, etc.) que deben soportar los elementos de
refuerzo en las zonas donde se acumula la tensión máxima y en las uniones con el paramento.
Como ejemplo se muestra a continuación la comprobación más sencilla de las anteriores,
correspondiente a la rotura del refuerzo por tracción en terreno homogéneo, seco y sin cargas
exteriores. Como se ha indicado, el punto más crítico es el de conexión con el paramento del
refuerzo más profundo, que debe soportar el empuje del terreno en el área de influencia que le
corresponde:
FS 
 a ·A
 ·H ·K a ·d v ·d h
donde:
 a : tensión de rotura del material de refuerzo.
A : área de la sección transversal del elemento de refuerzo.
 ·H ·K a ·d v ·d h : fuerza que recibe el elemento de refuerzo, con la distancia vertical (dv) y
la distancia horizontal (dh) entre elementos.
7.7.5 Aspectos constructivos
No se incluye en este apartado aspectos básicos relativos a la puesta en obra de la estructura de
contención como, por ejemplo, los relativos a excavaciones, terraplenado, colocación de
encofrados, disposición de armaduras, puesta en obra del hormigón, etc., que corresponden a
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otras asignaturas, sino que se da simplemente una visión muy genérica del proceso a seguir en
la ejecución de los muros que se han estudiado en el tema.
a) Muros de sostenimiento. El proceso constructivo consiste en ejecutar primero el muro y
posteriormente rellenar el trasdós con terreno de aportación. En la figura 7.7.10 se muestra
las etapas básicas para construir un muro de sostenimiento tanto de gravedad como en L.
Figura 7.7.10 Fases de ejecución en muros de sostenimiento
b) Muros de suelo reforzado. El proceso constructivo consiste en ejecutar el muro que está
constituido por las placas del paramento y por el refuerzo, al mismo tiempo que se va
construyendo el terraplén en el trasdós. En la figura 7.7.11 se muestra el procedimiento
básico de ejecución de esta tipología de estructuras de contención.
Figura 7.7.11 Fases de ejecución en muros de suelo reforzado
c) Muros de contención. Esta tipología de muros se emplea cuando se necesita generar un
desnivel de cota, en un talud existente. El procedimiento constructivo dependerá de si el
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terreno es estable frente a un corte, más o menos vertical, o no. En el caso de que el terreno
sea estable, aunque sólo sea a corto plazo o sin la presencia de acciones exteriores, la
construcción del muro consiste en excavar la parte del terreno donde se pretende construir el
muro y ejecutarlo. En el caso que el terreno no sea estable, se puede realizar por bataches,
que son tramos pequeños de muros discontinuos, tanto más pequeños cuanto más inestable
sea el terreno. También se puede realizar mediante la técnica del muro berlinés, con vigas
previas verticales hincadas, o bien, en caso extremo de terreno inestable, mediante pantallas
continuas, de pilotes o tablestacas, que corresponden a otro tema.
En las Figuras 7.7.12-13-14 se muestra el procedimiento de construcción de estas tipologías
de estructuras de contención.
Figura 7.7.12 Fases de ejecución en muros de contención en terreno estable
Figura 7.7.13 Fases de ejecución de un pantalla continua de hormigón
Figura 7.7.14 Muro berlinés a la izquierda de la figura y muro por bataches a la derecha
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