DEFINICION. Diremos que una función f , tiene una discontinuidad

DEFINICION. Diremos que una función f , tiene una discontinuidad
removible O evitable en a ∈ R, si
lı́m f (x)
x→a
existe
Diremos que es una discontinuidad NO removible si el lı́mite NO existe.
En la anterior definición a puede pertenecer al dominio de f o no hacerlo.
EJEMPLOS
Clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones.
f (x) =
g (x) =
x 2 −1
x−1
1
x
(
x2
h(x) =
x +1
()
si x < 0
si x > 0
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DEFINICION. Diremos que una función f , tiene una discontinuidad
removible O evitable en a ∈ R, si
lı́m f (x)
x→a
existe
Diremos que es una discontinuidad NO removible si el lı́mite NO existe.
En la anterior definición a puede pertenecer al dominio de f o no hacerlo.
EJEMPLOS
Clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones.
f (x) =
g (x) =
x 2 −1
x−1
1
x
(
x2
h(x) =
x +1
()
si x < 0
si x > 0
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DEFINICION. Diremos que una función f , tiene una discontinuidad
removible O evitable en a ∈ R, si
lı́m f (x)
x→a
existe
Diremos que es una discontinuidad NO removible si el lı́mite NO existe.
En la anterior definición a puede pertenecer al dominio de f o no hacerlo.
EJEMPLOS
Clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones.
f (x) =
g (x) =
x 2 −1
x−1
1
x
(
x2
h(x) =
x +1
()
si x < 0
si x > 0
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Si f presenta una discontinuidad removible en a, y lı́mx→a f (x) = c,
podemos definir
(
f (x) si x 6= a
g̃ (x) =
c
si x = a
Notemos que g̃ es una función continua en a.
()
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Si f presenta una discontinuidad removible en a, y lı́mx→a f (x) = c,
podemos definir
(
f (x) si x 6= a
g̃ (x) =
c
si x = a
Notemos que g̃ es una función continua en a.
()
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Un ejemplo gráfico de una discontinuidad evitable es
()
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Un ejemplo gráfico de una discontinuidad NO evitable es
()
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RAZONES DE CAMBIO
Si una curva tiene ecuación y = f (x) (es decir, es la gráfica de f ) y
queremos saber la recta tangente a la curva en un punto C = (a, f (a)),
entonces consideramos puntos cercanos Q = (x, f (x)), donde x 6= a y
calculamos la ecuación de la pendiente de la recta secante, esta dada por
mPQ =
f (x) − f (a)
x −a
Recordemos que este problema fue el que introdujo, el concepto de lı́mite
en un punto.
()
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Gráficamente el comportamiento de las rectas secantes que se acercan a P
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DEFINICION. La recta tangente a la curva y = f (x) en punto
P = (a, f (a)), es la recta cuya pendiente viene dada por
m = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x −a
siempre y cuando el lı́mite exista.
EJEMPLOS
Encuentre la recta tangente a la curva, en el punto indicado.
f (x) = x 2 + 1, en (0, 1).
g (x) = x3 , en (3, 1).
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DEFINICION. La recta tangente a la curva y = f (x) en punto
P = (a, f (a)), es la recta cuya pendiente viene dada por
m = lı́m
x→a
f (x) − f (a)
x −a
siempre y cuando el lı́mite exista.
EJEMPLOS
Encuentre la recta tangente a la curva, en el punto indicado.
f (x) = x 2 + 1, en (0, 1).
g (x) = x3 , en (3, 1).
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Suponemos que un objeto se mueve en lı́nea recta, y el desplazamiento en
función del tiempo viene dado por s = f (t). Sabemos que la velocidad
media en un intervalo [t1 , t2 ], viene dada por
Velocidad media =
f (t1 ) − f (t2 )
Desplazamiento
=
Tiempo
t1 − t2
Si deseamos saber la velocidad instantanea en un punto t0 , tomamos el
lı́mite de estas velocidades promedio
f (t0 + h) − f (t0 )
h→0
h
v (t0 ) = lı́m
siempre y cuando el lı́mite exista.
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EJEMPLO. Suponga que una pelota se deja caer desde una torre a 450m
del suelo.
a) ¿Cuál es la velocidad después de 5 segundos?
b) ¿Qué tan rápido iba la pelota cuando toca el piso?
Resolverlo usando el hecho que la función de desplazamiento
s = f (t) = 4,9t 2 , donde t viene dado en segundos.
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