Primer Repaso Matemáticas II 1. Si t segundos es el tiempo para

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Programa Principia
Primer Repaso Matemáticas II
1. Si t segundos es el tiempo para una oscilación completa de un péndulo de x pies de longitud,
entonces 4 2 x g t 2 , donde g = 32.2. Utiliza diferenciales para estimar el efecto que tiene
sobre el tiempo cometer un error de 0.01 al medir la longitud del péndulo.
1
2. La gráfica que se muestra abajo corresponde a la función f ( x)
.
1 ex
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-3
-2
-1
1
2
3
4
-0.2
a) Usa sumas de Riemann con n = 5 para estimar los valores por exceso y defecto del área bajo
la curva entre x = 0 y x = 2.
b) Calcula el menor valor de n con el cual puedan asegurarse 2 cifras decimales exactas en una
aproximación del área del inciso (a) usando sumas de Riemann.
c) Supón que existe una función F tal que F ´ ( x) f ( x) y que F ( 1 ) = 2, estima los valores
de F ( 1.01) y F ( 1.02). Estima el error cometido al calcular F ( 1.01).
x
dt
d) Sea F ( x)
, determina dónde crece y dónde decrece la función F, sus máximos y
0 1 et
mínimos (si tiene), su concavidad así como sus puntos de inflexión. Bosqueja la gráfica de
F sobre la misma gráfica que se te muestra arriba. Describe lo que ocurre con la gráfica de F
a la larga, ¿a qué lo atribuyes?
e) Calcula explícitamente a la función F, para ello haz el cambio de variable: u e t y utiliza
dz
1
z a
la fórmula:
Ln
C . Con tu cálculo, repite los incisos (a) (ahora, el área
2
2
2a
z a
z a
de manera exacta) y (c).
3. La función G (t ) 3
6t 8
2t 4
2
t
( arctan( x)) 2 dx 2 t indica la posición de un objeto, calcula
la rapidez inicial G ´ ( 0 ).
4. La resistencia eléctrica R de un cable es directamente proporcional a su longitud e inversamente
proporcional al cuadrado de su diámetro. Si se considera la longitud fija ¿cuál debe ser el error
porcentual del diámetro para que el error porcentual de R sea del 3%?
5. La base de un sólido es la región plana del primer cuadrante limitada por la parábola
y 14 1 x 2 , el eje de las “ x ” y el eje de las “ y ”. Si las secciones transversales del sólido
perpendiculares al eje de las “ x ” son cuadradas, determina el volumen de dicho sólido.
Autor: Carlos Daniel Prado Pérez
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6. Evalúa las siguientes integrales:
A)
E)
x 1 x dx ;
arcsenx
d x ; C)
1 x2
B)
sen( x) cos( x)
d x ; F)
cos(2 x)
2
0
dx
x
tan
5
( x 1)(3 x 1) dx ; G)
x
7. Una función f está dada por: f ( x) 3
0
p( x)
8.
2
0
dx
; D)
2
(1 x ) Ln x
5
f ( x)dx , si
0
f ( x)dx
9 e
;
1 x
5
2
2
f ( x)dx
1.
1 sen(t )
dt . Encuentra un polinomio cuadrático
2 t2
2
a bx cx tal que p (0)= f ( 0 ), p ' ( 0 ) = f ' ( 0 ) y p '' ( 0 ) = f ' ' ( 0 ).
Una partícula se desplaza a lo largo de una recta. Su posición en el tiempo t es f (t ) donde:
u2
1 s2
f (t )
g (u ) du , g (u )
d s . Calcula su aceleración cuando t 2.
4
0
u 1 s
9. Decide con qué método puede hallarse el volumen del sólido obtenido al girar alrededor del eje
de las “y” la región limitada por y x 4 x 5 y el eje “x”. Una vez que tengas la decisión haz el
cálculo.
t2
10. La región encerrada por y Log 7 ( x) , y 49 , x 0 , y 0 se hace girar en torno a la recta
x
1 . Calcula el volumen del sólido generado.
11. Encuentra el área limitada por la curva y 2
x 4 (4
x) cuya gráfica se muestra abajo.
y
7.5
5
2.5
x
-4
-3
-2
-1
-2.5
-5
-7.5
12. Determina el área del plano encerrada por y
Autor: Carlos Daniel Prado Pérez
arccos x , y
x 2 , y 0, y
.