Métodos Numéricos - Facultad de Ingeniería

FORMATO OFICIAL DE
MICRODISEÑO CURRICULAR
FACULTAD:
INGENIERIA
PROGRAMA:
ELECTRONICA, PETROLEOS, AGRICOLA
1. IDENTIFICACIÓN DEL CURSO
NOMBRE DEL CURSO:
No. DE CRÉDITOS ACADÉMICOS: 3 HORAS SEMANALES:
CÓDIGO:
REQUISITOS:
METODOS NUMERICOS
4
INTRODUCCION A LA PROGRAMACION
ÁREA DEL CONOCIMIENTO: CIENCIAS
BASICAS DE INGENIERIA
UNIDAD ACADÉMICA RESPONSABLE DEL DISEÑO CURRICULAR:
INGENIERIA ELECTRONICA
COMPONENTE BÁSICO
X
COMPONENTE FLEXIBLE
TIEMPO (en horas) DEL TRABAJO ACADÉMICO DEL ESTUDIANTE
Actividad Académica Del
Trabajo Presencial
Estudiante
Trabajo Independiente
Total
(Horas)
Horas
(Semanal)
4
6
10
TOTAL
(Semestral)
64
96
160
1
2. PRESENTACION RESUMEN DEL CURSO
Las computadoras electrónicas se utilizan en la solución de problemas de Ciencia, Ingeniería
y Administración de Negocios entre otros. Este uso se basa en su habilidad para trabajar a
gran velocidad, para producir resultados exactos, para almacenar grandes cantidades de
información y para llevar a cabo secuencias de operaciones largas y complejas. Entonces, el
estudiante de Ingeniería debe estar en capacidad de hacer uso de ellas, aunque no sea el
objetivo mismo de su formación, para tratar de encontrar una solución rápida y adecuada
frente a varias alternativas que por su complejidad llevarían demasiado tiempo estudiarlas.
Siendo el objeto del Cálculo Numérico la construcción de soluciones aproximadas en
problemas matemáticos, el curso tiene un carácter más técnico que púramente matemático.
En la vida real, los cálculos de los métodos que estudia el curso se realizan en un ordenador,
por lo que estas técnicas de programación debe tenerlas el alumno.
Dentro del curso se estudian los problemas de interpolación, aproximación de funciones por
otras más sencillas, resolución aproximada de ecuaciones no lineales y sistemas, derivación
e integración numérica, valores propios y resolución aproximada de ecuaciones
diferenciales.
Objetivo:
 Proporcionar las herramientas necesarias para analizar problemas de ingeniería, a
través de algoritmos numéricos.
 Facilitar la comprensión de los métodos numéricos, para elegir de entre todos ellos el
que mejor se aplique, en función del problema a resolver.
 Utilizar el software disponible para ejercitar, aprender y observar los datos teóricos
que generan los algoritmos que se usan.
 Capacitar al alumnado sobre el área de acción de los algoritmos como son la solución
de: ecuaciones no lineales de una o más variables, derivadas e integrales propias,
ecuaciones diferenciales, sistema de ecuaciones lineales y cálculo de valores y
vectores propios.
Objetivos Generales:
 Mostrar a los alumnos casos de la vida real, aplicar conceptos de sistemas propios de
problemas que tiene la industria, elaborar o interpretar soluciones existentes por
medio de métodos numéricos.
 Realizar modelos matemáticos simples que permitan plantear nuevos algoritmos que
posibiliten el desarrollo del programa para la solución de los mismos.
 Capacitar a los estudiantes en los conocimientos sobre el software, (MathCAD,
MatLAB, Cientific Work Place ó Lenguaje C++) que permitan resolver modelos
matemáticos en forma aproximada, además elaborar los algoritmos respectivos.
 Impartir a los alumnos conocimientos sobre la teoría de errores, de los cuales,
depende la aproximación a la solución del modelo.
2
 Hacer hincapié en los errores que generan las computadoras con respecto al cero.
3. JUSTIFICACIÓN.
El curso de Métodos Numéricos es de gran importancia para los estudiantes de Ingeniería de
Sistemas, porque les permite adquirir, comprender y utilizar el lenguaje matemático, como una
herramienta fundamental en la simulación de problemas.
El estudio de las soluciones numéricas de sistemas son el objeto fundamental del curso, en el cual
se analizan sus distintas formas de solución. Para su análisis es importante reconocer y describir
algunas características globales como son continuidad, valores extremos, concavidad, convergencia
de la solución, errores en la aproximación.
.
4. COMPETENCIAS
4.1.
TRANSVERSALES / GENERICAS
Con generalidad, contribuir a la formación y desarrollo del razonamiento científico. Proveer al
alumno de unas mínimas capacidades de abstracción, concreción, concisión, imaginación,
intuición, razonamiento, crítica, objetividad, síntesis y precisión. Capacitar al alumno para
modelar matemáticamente una situación, así como para resolver problemas con técnicas
matemáticas, utilizando aquellos métodos numéricos que mejor se ajusten a las características
dadas.
4.2.
ESPECIFICAS
SABER
Cognitivas
Hace referencia a las acciones que efectúa el futuro
profesional con el fin de entender un hecho o
problema en un contexto determinado.
Quien posee esta competencia reconoce y relaciona
las ecuaciones diferenciales como una herramienta
propia de la ingeniería.
Utiliza de manera formal, el lenguaje matemático para
INTERPRETATIVA
expresar un problema de ingeniería mediante una
solución numérica de las ecuaciones diferenciales.
Muestra interés por el desarrollo de las actividades
propuestas.
Expresa en forma creativa sus aportes.
Resuelve problemas de optimización en situaciones de
la vida real.
Representa aquellas actuaciones que lleva a cabo el
estudiante de Ingeniería con el fin de explicar o
ARGUMENTATIVA sustentar una hipótesis, proyecto, plan, idea, decisión
o acontecimiento.
El establecimiento de relaciones de causalidad, la
3
articulación y delimitación conceptual de los procesos
que llevarán a una solución exitosa, la explicación de
la lógica y la validez de un planteamiento, o de la
validez de las conclusiones frente a los argumentos o
premisas, subyacen como elementos centrales en esta
competencia.
Inculcar al estudiante la formulación de diferentes
alternativas para solucionar un problema, capacidad
para señalar, realizar generalizaciones o fijar opciones
de acción, alternativas en la toma de decisiones,
formulación de nuevas hipótesis, formulación de
procedimientos o diseños nuevos o alternativos, la
articulación dentro de una teoría de conceptos o
procedimientos, o entre explicaciones teóricas
alternativas.
PROPOSITIVA
Inculcar igualmente unos conocimientos mínimos
sobre análisis de errores y métodos numéricos de
resolución de problemas, en lo que concierne a Raíces
de funciones no lineales, Interpolación e Integración
Numérica, Sistema Simultáneo de Ecuaciones
Lineales, Ecuaciones Diferenciales.
Saber discernir cuál de entre un abanico de métodos
numéricos es el más apropiado a la hora de resolver
un problema dado, en función de las características
que concurran.
 Conocimiento en conceptos fundamentales del cálculo diferencial
e Integral, cálculo en varias Variables, Ecuaciones diferenciales.
 Detectar intervalos apropiados para aproximar numéricamente
ceros de funciones no lineales mediante el método de NewtonRaphson
 Conocimiento en Matrices
HACER
 Habilidad en resolver ecuaciones algebraicas como diferenciales
Procedimentales
 Habilidad para interpretar modelos físicos matemáticos
Instrumentales
 Resolver sistemas lineales mediante métodos directos e iterados,
así como sistemas superdeterminados.
 Saber construir el único polinomio interpolador sobre un soporte
dado, y más aún, cómo aplicarlo a la hora de realizar una
aproximación numérica del valor de la integral de la función
original.
Competencia “Ser Disciplinado”:
 El curso de Métodos Numéricos contribuye fundamentalmente al
desarrollo de la competencia Ser Disciplinario que busca que el
SER
estudiante conozca y comprenda las teorías de lo científico de la
Actitudinales
disciplina, lo cual supone apropiarse de determinadas teorías y
métodos propios de la disciplina para la comprensión cada día más
aproximada del mundo.
4
 Desarrollar el pensamiento algorítmico en el estudiante de
ingeniería para aplicarlo a la resolución de problemas utilizando las
máquinas computacionales como herramienta.
 Generar en el estudiante hábito para trabajo independiente, como
una forma de garantizar el aprendizaje continuo.
Competencia “Ser Ciudadano”:
 Manifiesta honestidad en la elaboración de trabajos, uso del tiempo
destinado para la asignatura y en los procesos de evaluación.
 Comparte sus conocimientos y habilidades con sus compañeros
 Colabora con sus actitudes en el proceso de aprendizaje en el aula.
 Valora y reconoce los aportes de las personas que han contribuido
con el avance de la disciplina.
 Respeta las apreciaciones que hacen sus docentes y compañeros.
 Manifiesta agrado por el rigor conceptual y teórico en la
construcción del conocimiento.
 Muestra agrado y compromiso con lo que estudia.
 Demuestra sentido de trabajo en equipo, solidaridad, sentido de
identidad y pertenencia enriqueciendo el ejercicio de la academia.
Competencias Ser Científico:
 Pensamiento matemático que permita interpretaciones lógicas y
sistémicas de la realidad.
 Pensamiento flexible e innovador.
 Pensamiento abstracto y complejo.
 Capacidad para modelar situaciones, mediante algoritmos
generales que se puedan comprobar en un lenguaje específico de
programación de alto nivel.
El docente, al igual que el estudiante, es una persona en permanente proceso de formación y
desarrollo de sus dimensiones, con una visión autocrítica para enriquecerse desde su ejercicio
pedagógico. En consecuencia, se establece el:
Deber Ser del docente:
 Cumplir con excelencia su compromiso con la misión institucional y con su propia
misión como profesor de la institución.
 Contribuir en la construcción y consolidación de la comunidad universitaria y una
cultura fundamentada en valores.
 Tener una comprensión global del currículo y del proceso formativo que le permita
enriquecerlo y recrearlo.
 Contribuir en los procesos de auto evaluación y planeación académica del programa.
 Promover la creatividad, el espíritu innovador, reflexivo y participativo de los
estudiantes.
 Promover la conformación de equipos de investigación que coadyuven, al
fortalecimiento de la comunidad académica y la excelencia del programa.
 Fomentar, propiciar y participar en procesos de investigación y proyección social de la
universidad y en especial del programa.
5
 Estar en permanente relación con la comunidad académica de la disciplina, en el
ámbito nacional e internacional mediante la participación de asociaciones y
organizaciones que promuevan la investigación y el conocimiento.
Saber del docente:
 Poseer una sólida formación en el campo del saber o de la ciencia a desarrollar con los
estudiantes.
 Tener experiencia académica y/o profesional en el área de desempeño académico.
 Estructurar experiencias de aprendizaje ágiles, dinámicas y participativas para los
estudiantes.
 Hacer más relevante, pertinente y funcional el contenido de lu docencia.
 Preparar los materiales de apoyo que requiere la experiencia.
 Brindarle al estudiante retroalimentación continúa y permanente sobre su proceso
formativo.
 Establecer el espacio y el tiempo para la asesoría individual y en pequeños grupos.
 Poner en común con estudiantes y otros docentes sus elaboraciones teórico – prácticas.
 Propiciar unas relaciones interpersonales alrededor del conocimiento, marcadas por la
calidad humana, la empatía, la sinergia con los estudiantes y colegas que faciliten el
trabajo en equipo.
5. DEFINICION DE UNIDADES TEMATICAS Y ASIGNACIÓN DE
TIEMPO DE TRABAJO PRESENCIAL E INDEPENDIENTE DEL
ESTUDIANTE POR CADA EJE TEMATICO
No.
NOMBRE DE LAS UNIDADES TEMÁTICAS
DEDICACIÓN DEL
ESTUDIANTE (horas)
HORAS
TOTALES
(a + b)
a) Trabajo
Presencial
b) Trabajo
Independiente
4
4
8
8
8
16
16
16
32
PRELIMINARES MATEMÁTICOS
Repaso del cálculo
1 Números Binarios
Errores de redondeo y aritmética de un PC
2
SOLUCIONES DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
El método de Newton
El método de bisección
Interacción de punto fijo
Análisis de error para los métodos iterativos
Convergencia acelerada
Ceros de polinomios
3
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Vectores y matrices
Sistemas Lineales Triangulares
Eliminación Gaussiana y pivoteo
Factorización triangular
Métodos iterativos para sistemas lineales
Métodos iterativos para sistemas no lineales
6
4
5
6
INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL
Interpolación y polinomios de Lagrange
Diferencias divididas.
Interpolación de Hermite
Interpolación de trazadores cúbicos (Splines)
Polinomios de Chebyshev
Aproximaciones de Padé
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Aproximaciones a la derivada
Fórmulas de derivación numérica
Introducción a la integración numérica
La regla rectangular.
Las reglas compuestas del trapecio y de Simpson
Reglas recursivas y método de Romberg
Integración adaptativa
El método de integración de Gauss – Legendre
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Introducción a las ecuaciones diferenciales
El método de Euler
El método de Heun
El método de la serie de Taylor
Los Métodos de Runge – Kutta
Métodos de predicción y corrección
Sistemas de ecuaciones diferenciales finitas
TOTAL
7
16
20
36
12
20
32
8
12
20
64
80
144
ESTRATEGIAS PEDAGOGICAS: Las diferentes estrategias que se usarán para el
desarrollo del curso, girarán en torno a los siguientes ejes:
Generales:
 Propiciar la interacción entre los estudiantes y el docente, mediante la elaboración de
una composición sobre un tema relacionado con las matemáticas, intercambiarlos y
opinar sobre los sentimientos que les produjo cada una de las composiciones.
 Propiciar la adquisición de conocimientos matemáticos involucrando a los estudiantes
en una actividad educativa mediante la utilización del Foro, en el cual se persigue que
el estudiante genere una lluvia de ideas cuya intención es percibir qué es lo que saben
del tema y qué les falta por aprender.
 Para que el estudiante logre una adecuada conceptualización, es necesario que él
recurra a la lectura. En este momento el docente se convierte en orientador del dicente
para conseguir la información adecuada que le permita recurrir a buenas fuentes de
conocimiento.
 Planificar ejercicios que puedan ayudar a los procesos de observación, análisis y
síntesis.
 El docente dejará ejercicios individuales que el estudiante deberá realizar en un tiempo
específico.
Presenciales
1.
2.
3.
4.
Aprendizaje Directivo Mediado (Clases magistrales por parte del docente)
Desarrollo de Proyectos
Aprendizaje colaborativo (Trabajo en grupo)
Talleres basados en problemas
Práctica: Interacción estudiante-profesor apoyado por: Herramientas Tecnológicas de
Interacción
Práctica: Revisión Bibliográfica Apoyado por: Herramientas Tecnológicas Biblioteca y
consultas en la WEB.
No presenciales
1.
2.
3.
4.
5.
Tareas y ejercicios extra clase
Preparación de clase
Preparación de evaluación
Desarrollo de Proyectos
Preparación de Talleres.
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
De Docencia (Responsabilidad del docente):
11
 Situar al estudiante y a la práctica de la profesión de la ingeniería, en el contexto
general de las Tecnologías Informáticas, y en especial de los computadores y su
programación, y en el papel que ellas han jugado, juega y jugarán en quehacer del
ingeniero en la sociedad.
 Presentación de los conceptos básicos la programación de computadoras.
 Diseño, Preparación de ejemplos tipo.
 Resolución de ejemplos tipo.
 Diseño, preparación y solución de ejercicios propuestos.
 Dirección del análisis de ejercicios propuestos en sesiones presenciales.
De Trabajo Colectivo (Responsabilidad de docentes y alumnos:)




Construcción de conceptos.
Solución de ejercicios propuestos.
Desarrollos con aplicaciones diferentes.
Ejercicios de análisis y modelado.
De Estudio Independiente (Responsabilidad del estudiante):
 Estudio de textos y exploración de sitios WEB pertinentes a los temas: Algoritmos,
métodos de solución de problemas, Programación de computadoras, Lenguajes de
programación de Alto Nivel.
 Revisión de los ejemplos resueltos.
 Resolución de ejercicios propuestos.
 Implementación en la computadora de los ejemplos estudiados en clase.
7. EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
Indicadores
Indicadores de competencias:








Identifica matrices
Escriba en Matlab las matrices
Emplea propiedades de las matrices para resolver problemas de sistemas algebraicos.
Aplica los métodos iterativos para encontrar las raíces de los polinomios.
Utiliza el Cálculo Diferencial e integral, las ecuaciones diferenciales como una
herramienta fundamental para resolver problemas de ciencia e ingeniería.
Escriba programas para resolver derivadas e integrales numéricamente.
Escriba programas para resolver ecuaciones diferenciales lineales numéricamente.
Escriba programas para resolver ecuaciones diferenciales no lineales
numéricamente.
Estrategias de evaluación
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 Se evaluarán conceptos y aplicaciones vistas en el curso. Estas serán pruebas escritas;
alguna de ella se realizará en grupo de dos estudiantes.
 Se realizarán talleres.
 En el transcurso del curso se entregará material escrito para que sea revisado por los
estudiantes sobre temas que serán vistos en las clases siguientes.
 Las lecturas suplementarias, se evalúan como conversatorios, donde el estudiante
expone el propósito del artículo, las conclusiones y dará una crítica si esta es pertinente
Criterios de Calificación
 Las soluciones propuestas deben demostrar ser efectivas como soluciones a los
problemas planteados.
 Se valora tanto la calidad lógica de la solución como la aplicación de prácticas sanas
de programación.
 Se valora también el cumplimiento de las tareas propuestas en el término estipulado.
 Uso adecuado de las herramientas de programación y el manejo de las estructuras de
datos.
Instrumentos
 Cinco exámenes evaluados de 0.0 a 5.0.
 Pruebas cortas no avisadas, evaluadas de 0.0 a 5.0 computadas con los trabajos
extraclase.
 Desarrollo de guías de laboratorio para los diferentes métodos.
 Material con problemas propuestos para ser desarrollados por el estudiante en tiempo
independiente.
Nota: Las evaluaciones y los trabajos de cada unidad se realizarán en un plazo no mayor a 8
días una vez se haya finalizado la exposición de la o las unidades a evaluar.
DETALLES DE LA EVALUACIÓN DEL APRENDIZAJE
UNIDAD TEMÁTICA
1 y 2.
3
ESTRATEGIA DE EVALUACION
Parcial Teórico
Parcial Teórico
Parcial Teórico
PORCENTAJE (%)
10%
15%
10%
15%
4.
5.
6.
Parcial Teórico
Parcial Teórico
13
10%
15%
10%
15%
RECURSOS
8.1. BIBLIOGRAFÍCOS
8.1.1. Bibliografía Básica:
 Métodos Numéricos con MATLAB. John H. Mathews. Kurtis D. Fink. Editorial Prentice Hall
8.1.2 Bibliografía Complementaria:













Análisis numérico lineal. Noél Gastinel ; tr. Javier Ruiz Fernández de
Pinedo. Nro Topográfico: 511.7 / G255 Biblioteca USCO. 1975.
Introducción al análisis numérico. Anthony Ralston; tr. Carlos E.
Cervantes de Gortari. Nro Topográfico: 511.7 / R164. Biblioteca USCO.
1978
Análisis numérico elemental: Un enfoque algoritmico / S. D. Conde, Carl
de Boor. N ro Topográfico: 511.8 / C761 Biblioteca. USCO. 1974
Análisis numérico. Richard L. Burden, J. Douglas Faires ; tr. Efrén
Alatorre Miguel; Rev. Téc. Ildefonso. Nro Topográfico: 515 / B949a.
Biblioteca USCO. 1998
Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. David
Kincaid y Ward Cheney ; tr. Rafael. Nro Topográfico: 515 / K51a.
Biblioteca USCO. 1994
Análisis numérico. W. Allen Smith ; tr. Francisco Javier Sánchez
Bernabe; Rev. Téc. José Luis Turriza Pinto. Nro Topográfico: 515 / S664a
Biblioteca USCO .1988
Análisis numérico: Las matemáticas del cálculo científico. David
Kincaid y Ward Cheney ; tr. Rafael. N ro Topográfico: 515 / K51a
Biblioteca USCO 1994
Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB. Shoichiro
Nakamura ; tr. Roberto Escalona García. N ro Topográfico: 515.1 / N163a
Biblioteca USCO. 1998
Métodos numéricos y programación fortran: con aplicaciones en
ingeniería y ciencias / Daniel D. McCracken, Nro. Topográfico: 001.6424
/ M117, Biblioteca USCO. 1986
Análisis numérico lineal. Noél Gastinel ; tr. Javier Ruiz Fernández de
Pinedo. Nro. Topográfico: 511.7 / G255 Biblioteca USCO. 1975
Métodos numéricos. Rodolfo Luthe, Antonio Olivera, Fernando Schutz,
Nro Topográfico: 511.7 / L973m, Biblioteca USCO 1986
Métodos numéricos aplicados con software. Shoichiro Nakamura ; tr.
Oscar Alfredo Palmas Velasco. Topográfico: 511.8 / N163m Biblioteca
USCO. 1995.
Métodos numéricos en computadoras digitales. José A. Nieto Ramírez,
Nro Topográfico: 001.64042 / N677, Biblioteca USCO. 1980
14












Métodos numéricos para ingenieros: con aplicaciones en
computadoras personales. Steven C. Chapra, Raymond. N ro
Topográfico: 519.5 / C467m. Biblioteca USCO. 1988
ALTZ, Franz L. Electronic. Digital. computers: Their use in science and
Engineering. 1958 Academic Press inc. New York.
Análisis Numérico. Richard L. Burden. J. Douglas Faires. Editorial Thomson
Learning.
Conte S.D y Boor Carl. Análisis Numérico elemental "con enfoque
Algoítmico" Mc. Graw-Hill 1972.
FADDEEVA, V.N. Computacional methods of linear álgebra, 1969,
Dover Publications. New York.
GREENSPAN, D. Theory and solutions of Ordinary Differencial
Equations. 1960 The. Mc Millan Co. New York.
MC. CORMICK, JOHN M. and M.C. Salvador. Numerical Methods in
FORTRAN. 1964. Prentice-Hall Inc Englewood Cliffs N:J.
Mc. Cracke, Daniel D. y Dorn, William. Métodos Numéricos y
Programación Fortran con aplicaciones en Ingeniería y Ciencias. Editorial
Limusa. México.
Nieto Ramírez, José A. Métodos Numéricos en computadoras digitales.
Editorial Limusa.
SCARBOROUGH, J.B Numerical mathematics analysis
Sierra Romero, Alberto. Manual de Métodos Numéricos. Universidad
Tecnológica de Pereira,
STANTON, Ralp G. Numerical Methods for Science and Engineering
1967. Prentice-Hall Inc. Englewood Cliffs N.J
8.2 AUDIOVISUALES

VIDEOBEAM, COMPUTADOR
8.3. SITIOS WEB DE CONSULTA




8.4.


http://www.monografias.com/trabajos13/tumatlab/tumatlab.shtml - MatLab
http://webdiee.cem.itesm.mx/web/servicios/archivo/tutoriales/metodos/index.html
http://www.uv.es/diaz/mn/fmn.html
http://www.fortunecity.com/campus/earlham/850/metodos_numericos/indice.htm#
SOFTWARE
MATLAB
LENGUAJE DE PROGRAMACION VISUAL DE MICROSOFT O DE BORLAND
OBSERVACIONES : El ambiente de programación sugerido para desarrollar la asignatura
Métodos Numéricos es C bien sea de Borland o de Microsoft, teniendo en cuenta que la
mayoría de libros de Ingeniería Aplicada orientan el desarrollo de modelos hacia este lenguaje
15
y cada vez más, dan especial uso del paquete MatLab, que como lenguaje para su
programación trabaja C. El paquete MatLab está licenciado para la Universidad
Surcolombiana.
DILIGENCIADO POR:
Ing YAMIL ARMANDO CERQUERA ROJAS
Especialista en Sistemas Universidad Nacional
FECHA DE DILIGENCIAMIENTO: Noviembre 30 de 2006
Epílogo
Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan menos importancia
que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo demás en continuo cambio y revisión, y
expresan, en cambio, mayor interés por la adquisición, por parte del alumno, de técnicas y
hábitos de estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En suma,
ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender.
16