` Efectos Dinamicos de Viento en Chimeneas Industriales de Acero 1

Ávila
·
Valdés
GEMEC
Aula UGTO-CIMNE
ISBN:
978-607-441-334-2
’
Efectos Dinamicos
de Viento en Chimeneas Industriales de Acero
Este trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuentra familiarizado en el ámbito industrial o al menos es un área de
trabajo que no es tan abordada por el Ingeniero Civil. Haciendo
referencia a esto debido a que otras ramas de las ingenierı́as si
lo estudian, pero lo hacen de una manera empı́rica o basados en
reglamentos que sugieren procedimientos empı́ricos, respecto al
cálculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento.
Es de suma importancia conocer el comportamiento que presenta una estructura ante las acciones del viento, en nuestro caso
una chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallan
ante su acción presentando deflexiones o deformaciones excesivas las cuales presentan una estructura insegura aunque muchas
veces solamente es un aspecto visual. Al presentarse este tipo
de situaciones se considera una reinversión en la estructura ya
sea de forma parcial o total, generando costos de inversión muy
grandes, debido a que este tipo de estructuras son muy costosas.
En este trabajo se emplea una modelación computacional la cual
en la actualidad tiene gran relevancia, ya que se deja de recurrir a modelos empı́ricos a escala que resultan costosos y en los
cuales muchos de los reglamentos se basan, se verá un caso de
aplicación práctica, los avances que se tienen respecto al tema
y algunas propuestas que se pueden ir desarrollando conforme a
la potencia de computo.
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Efectos Dinamicos
de Viento en
Chimeneas Industriales de Acero
Gilberto Ávila Jiménez
Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Guanajuato, Gto. — M«exico
http://www.di.ugto.mx
1
Universidad de Guanajuato
Campus Guanajuato
División de Ingenierı́as
Departamento de Ingenierı́a Civil
Efectos Dinámicos de Viento en
Chimeneas Industriales de Acero
Gilberto Ávila Jiménez
Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Efectos Dinámicos de Viento en Chimeneas Industriales de Acero
Primera edición, 2014
c Universidad de Guanajuato
D. R. Lascurain de Retana 5
Zona Centro
Guanajuato, Gto., México
C. P. 36000
Producción: GEMEC (Grupo de Estructuras y Mecánica Computacional)
Departamento de Ingenierı́a Civil
Universidad de Guanajuato
Avenida Juárez 77
Zona Centro
Guanajuato, Gto., México
C. P. 36000
Cuidado de la edición: Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Diseño de portada: Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Fotografı́a de portada: Ciudad de Pompeya y Monte Vesubio (por J. Gerardo Valdés V.)
ISBN:
978-607-441-334-2
La composición del texto ha sido realizada y editada en LaTeX por
Gilberto Ávila Jiménez y Jesús Gerardo Valdés Vázquez
Contenido
1. Introducción
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Antecedentes . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Análisis por viento. . . . . . .
1.3.2. Mecánica de materiales . . . .
1.3.3. Mecánica de fluidos . . . . . .
1.3.4. Interacción Fluido-Estructura
1.4. Estructura del trabajo. . . . . . . . .
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2. Mecánica de Medios Continuos.
2.1. Concepto de Medio Continuo. . . . . . . . . . . . . .
2.2. Cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Coordenadas Materiales y Espaciales. . . . . .
2.2.2. Desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Velocidad y Aceleración. . . . . . . . . . . . .
2.3. Deformación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Medidas de la Deformación . . . . . . . . . .
2.4. Ecuaciones de Conservación. . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Conservación del Momento Lineal y Angular.
2.5. Ecuaciones Constitutivas. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1. Elasticidad Lineal. . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2. Ley de Hooke Generalizada. . . . . . . . . . .
2.6. Fluido Newtoniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Ecuaciones de Navier-Stokes. . . . . . . . . . . . . . .
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3. El Método de los Elementos Finitos
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3.1. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
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4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
4.1. Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993. . . . . . . . . .
4.2.1. Clasificación de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Velocidad de Diseño CFE 1993. . . . . . . . . . . . . .
4.2.3. Presión Dinámica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4. Determinación del Tipo de Análisis. . . . . . . . . . . .
4.2.5. Análisis Dinámico, Manual CFE. . . . . . . . . . . . .
4.3. Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008. . . . . . . . . .
4.3.1. Clasificación de la Estructura. . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Velocidad de Diseño CFE 2008. . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Presión Dinámica de Base. . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4. Cálculo de la Presión Neta Estática. . . . . . . . . . .
4.3.5. Análisis Dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6. Presión en la Dirección del Viento. . . . . . . . . . . .
4.4. Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008. . . . . . . . . . . . .
4.5. Vibraciones Locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Reducción de los Efectos de Vórticidad. . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Otras Soluciones para Evitar los Efectos de Vórticidad.
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3.1.1. Sistema Discreto y Continuo . . . . . . .
3.1.2. Definición del Proceso General del MEF
Discretización del MEF para Sólidos . . . . . .
3.2.1. Trabajo Virtual . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Discretización para Geometrı́a Lineal . .
3.2.3. Discretización para Geometrı́a No-Lineal
Elemento Finito de Membrana . . . . . . . . . .
3.3.1. Formulación de Membrana. . . . . . . .
3.3.2. Discretización del MEF para Membrana.
Elemento Finito de Lámina (Shell) . . . . . . .
3.4.1. Formulación del Elemento Lámina . . . .
3.4.2. Discretización del MEF para Láminas . .
Elementos Mecánicos: Fuerzas y Momentos . . .
Elementos Finitos para Fluidos . . . . . . . . .
Interacción Fluido-Estructura . . . . . . . . . .
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura
5.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Consideraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Geometrı́a del Modelo para Viento. . . .
5.2.2. Geometrı́a del Modelo para Chimenea. .
5.3. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . .
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Contenido
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5.3.1. Condiciones de Contorno del Fluido. . . . . . . . .
5.3.2. Condiciones de Contorno Shell. . . . . . . . . . . .
5.4. Mallas Fluido y Estructura (Shell). . . . . . . . . . . . . .
5.4.1. Malla Modelo del Viento, Fluido. . . . . . . . . . .
5.4.2. Malla Modelo Chimenea, Estructura. . . . . . . . .
5.5. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1. Fluido, Viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2. Shell-Estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Ovalización de la Sección. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Elementos Mecánicos en la Base. . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Análisis Dinámico y Estático en la Práctica. . . . . . . . .
5.8.1. Análisis Dinámico. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2. Análisis Estático. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3. Comparación de los Análisis Dinámico vs. Estático.
5.9. Distribución de las Presiones. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Esfuerzos Generados en la Estructura. . . . . . . . . . . .
5.11. Movimiento Real de la Chimenea. . . . . . . . . . . . . . .
6. Resumen de Resultados y Conclusiones.
6.1. Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Presión de Empuje Actuante. . . . . . . .
6.1.2. Presión de Succión Actuante. . . . . . . .
6.1.3. Elementos Mecánicos en la Base, Dirección
6.1.4. Desplazamientos en la Estructura. . . . . .
6.2. Conclusiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7. Propuestas de Futuros Análisis.
112
7.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A. Anexo
A.1. Partes principales de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2. Consideración del recubrimiento refractario. . . . . . . . . . .
A.3. Justificación de las dimensiones de chimenea. . . . . . . . . . .
A.4. Justificación en la simplificación de las mallas, en elementos de
Bibliografı́a
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
estructuración.
115
115
115
116
117
118
Índice de figuras
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
Configuraciones del medio continuo . . . . . .
Descripción material (izq.) y espacial (der.) de
Descripción de la deformación . . . . . . . . .
Tensores de deformacion . . . . . . . . . . . .
Estado tensional en un fluido en reposo . . . .
. . . . . . . . .
una propiedad
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3.1. Coordenadas curvilineas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Vector base covariante formando un plano tangente. . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Shell superficie media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
33
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
44
46
47
50
55
Chimenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento . . . .
Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelo SAP2000 v.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ovalización por efecto de vortices alternantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento, CFE
2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Secciones consideradas en el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Diagrama de flujo para el análisis dinámico, CFE 2008 . . . . . . . . . . . . .
4.9. Anillos atiesadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10. Rompedores de Viento, Spoilers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
58
62
68
69
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
71
71
72
72
73
74
74
Dimensiones del modelo, Elevación. . . . . . . . . . . .
Dimensiones del modelo Planta. . . . . . . . . . . . . .
Geometrı́a del Fluido 3D (lineas,superficies,volumenes.)
Contorno interior del Fluido 3D. . . . . . . . . . . . . .
Dimensiones de la chimenea. . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrı́a Modelo No.1, Chimenea Lisa sin refuerzos. .
Geometrı́a Modelo No.2, Chimenea con Rigidizadores. .
iv
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Índice de figuras
5.8. Geometrı́a Modelo No.3, Chimenea con Rigidizadores y Anillos.
5.9. Perfil Tipo Tee, Rigidizador. Perfil Tipo C, Anillo. . . . . . . . .
5.10. Condiciones de Contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Condiciones de Contorno, Modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. Condición Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. ALE Boundary-surface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14. Forces-Drag-Lift-Surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15. Condición Ext-coupling-surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.16. Espesores de Placa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.17. Malla Generada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.18. Captura de Capa Lı́mite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.19. Malla Generada. Modelo No.1, sin refuerzos. . . . . . . . . . . .
5.20. Malla Generada. Modelo No.2, Con rigidizadores. . . . . . . . .
5.21. Malla Generada. Modelo No.3, Con rigidizadores y Anillos. . . .
5.22. Corte, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.23. Contorno, Presiones del fluido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.24. Velocidades en X. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.25. Desarrollo de Vortices alternantes, Velocidades. . . . . . . . . .
5.26. Desarrollo de Vortices alternantes, Presión. . . . . . . . . . . . .
5.27. Presiones en la estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.28. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.1.
5.29. Norma de los desplazamientos, Modelo No.1. . . . . . . . . . . .
5.30. Deformación de la estructura, Modelo No.1. . . . . . . . . . . .
5.31. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.2.
5.32. Norma de los desplazamientos, Modelo No.2. . . . . . . . . . . .
5.33. Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.3.
5.34. Norma de los desplazamientos, Modelo No.3. . . . . . . . . . . .
5.35. Deformación de la estructura, Modelo No.3. . . . . . . . . . . .
5.36. Ovalización teórica de la sección. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.37. Ovalización de la sección, obtenida. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.38. Presiones Consideradas, Medias y Máximas. . . . . . . . . . . .
5.39. Presiones Consideradas CFE2008 y CFE1993. . . . . . . . . . .
5.40. Presiones Consideradas CFE-2008 y CFE-1993. . . . . . . . . .
5.41. Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993. . . . . . . . . . . . .
5.42. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . .
5.43. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes. . . . . . . . . . . .
5.44. Desplazamiento en X, Presiones CFE 2008. . . . . . . . . . . . .
5.45. Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993. . . . . . . . . . . . .
5.46. Desplazamiento en X, Presiones Medias. . . . . . . . . . . . . .
5.47. Desplazamiento en X, Presiones Envolventes . . . . . . . . . . .
5.48. FSI-CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
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99
100
100
101
101
103
Índice de figuras
vi
5.49. FSI-CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.50. FSI-Medidas medias y envolventes . . . . . . . . . .
5.51. FSI-Todos los análisis dinámicos . . . . . . . . . . .
5.52. Distribución de las Presiones de empuje y succión,
Estructura FSI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.53. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.1. . . . . . . . .
5.54. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.2. . . . . . . . .
5.55. Fuerzas de Von Mises, Modelo No.3. . . . . . . . .
5.56. Comportamiento en la deformación de la Chimenea.
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caso
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Interacción
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Fluido. . . . .
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105
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106
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108
7.1. Propuesta 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.2. Propuesta 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3. Malla con rompedores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.1. Chimenea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.2. Malla con rigidizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Índice de tablas
3.1. Regla de Voigt para esfuerzos en 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
4.1. Secciones consideradas 1,2,3,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Velocidades de diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Presión Dinámica de base Kg/m2 , CFE 1993. . . . . . . . . . . . .
4.4. Factor de Excitación de Fondo, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . .
4.5. Factor de Ráfaga, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Factor de Reducción por tamaño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . .
4.7. Factor de Energia de rafaga-frecuencia natural, CFE 1993. . . . . .
4.8. Relación σ/µ, Ecuación 4.2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. Factor pico o de efecto máximo de la carga de viento . . . . . . . .
4.10. Factor de respuesta dinámica debida a rafagas Ecuación 4.2.6 . . .
4.11. Presiones de Diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12. Presiones de Diseño, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13. Fuerza y Momento Resultante, CFE 1993. . . . . . . . . . . . . . .
4.14. Velocidades de diseño para el modelo, CFE 2008. . . . . . . . . . .
4.15. Diámetros promedio y Áreas expuestas por cada sección, CFE 2008.
4.16. Velocidad de diseño por secciones, CFE 2008. . . . . . . . . . . . .
4.17. Presión dinámica de base, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18. Resumen de Valores para determinar FAD . . . . . . . . . . . . . .
4.19. Presión de diseño, 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20. Fuerza y Momento de diseño, CFE 2008. . . . . . . . . . . . . . . .
4.21. Velocidades de diseño para el modelo . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22. Resumen CFE 1993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.23. Resumen CFE 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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48
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53
53
54
54
58
59
59
60
65
66
66
67
67
68
5.1. Espesor de placa considerado en el modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
vii
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Índice de tablas
viii
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Velocidades de diseño para el modelo. . . . . . .
Elementos mecánicos en la base . . . . . . . . .
Desplazamiento Longitudinal, Análisis dinámico.
Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático.
Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático.
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6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
Presión Máxima de empuje. . . . . . . . .
Presión Máxima de Succión. . . . . . . . .
Elementos mecánicos, Dirección del viento.
Comparación de desplazamientos. . . . . .
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109
110
110
111
Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
Motivación
El análisis estructural de chimeneas industriales de dimensiones considerables presenta diversos aspectos a tener en cuenta. En primera instancia se debe realizar un análisis estático
convencional en el que se tengan en cuenta las cargas debidas al peso propio de los elementos
envolventes y el de los elementos refractarios constitutivos. A su vez, debe contemplarse el
efecto del viento y sismo sobre la estructura, como ası́ también los efectos térmicos producidos
por el funcionamiento de la chimenea. En el caso del viento se debe evaluar no solamente la
carga producida por este, sino los efectos dinámicos que se producen al interactuar la frecuencia de los vórtices o torbellinos que se desprenden a ambos lados de la chimenea con las
frecuencias naturales de vibración de la estructura. Los efectos en una estructura propensa a
presentar respuesta ante el viento deben de ser evaluados, por metodologı́as propuestas por
autores y en la gran mayorı́a por la reglamentación vigente, pues su seguridad depende de
ello. Las cargas en este caso presiones y succiones generadas por el viento en una estructura
se traducen en esfuerzos y deformaciones, que servirán al calculista para poder diseñar, tanto
la estructura en si como su cimentación. Un mal análisis conducirá a un mal diseño y muchas
veces al colapso de la estructura o a quedar fuera de servicio, estos resultados no son los
esperados y se deben evitar.
El presente trabajo surge debido a que el Ingeniero Civil no se encuentra familiarizado en
el ámbito industrial o al menos es un área de trabajo que no es tan abordada por el Ingeniero
Civil. Haciendo referencia a esto debido a que otras ramas de las ingenierı́as si lo estudian,
pero lo hacen de una manera empı́rica o basados en reglamentos que sugieren procedimientos
empı́ricos, respecto al cálculo de las presiones y succiones ocasionadas por el viento. Es de
suma importancia conocer el comportamiento que presenta una estructura ante las acciones
del viento, en nuestro caso una chimenea de acero, debido a que muchas estructuras fallan
ante su acción presentando deflexiones o deformaciones excesivas las cuales presentan una
1
2
1. Introducción
estructura insegura aunque muchas veces solamente es un aspecto visual. Al presentarse este
tipo de situaciones se considera una reinversión en la estructura ya sea de forma parcial o
total, generando costos de inversión muy grandes, debido a que este tipo de estructuras son
muy costosas.
El problema surge de un mal diseño o de acciones de diseño mal consideradas como son
las presiones que se generan al circular el viento alrededor de la chimenea, pues existen
presiones tanto de empuje como de succión. Esta problemática es real y se ha presentado en
varias chimeneas de la Refinerı́a en la cuidad de Salamanca Guanajuato México, Ahı́ existen
chimeneas que presentan deflexiones considerables, las cuales siguen en funcionamiento cuya
solución estructural es un sistema de contravientos a base de cables tensores de acero. Del
análisis de las presiones surge el diseño o revisión de la chimenea también surge el diseño
estructural de la cimentación y elementos de anclaje el cual es un aspecto de gran importancia
en este tipo de estructuras pues sin una buena cimentación y anclaje podrı́an existir daños de
gran consideración. De todo esto queda manifestada la importancia de considerar en el diseño
un buen análisis de las acciones que se pudieran presentar ante el viento.
En este trabajo se emplea una modelación computacional la cual en la actualidad tiene
gran relevancia, ya que se deja de recurrir a modelos empı́ricos a escala que resultan costosos
y en los cuales muchos de los reglamentos se basan, se verá un caso de aplicación práctica, los
avances que se tienen respecto al tema y algunas propuestas que se pueden ir desarrollando
conforme a la potencia de computo.
1.2.
Objetivos
Modelación dinámica por viento de una chimenea industrial basado en el método de los elementos finitos, llevando a cabo la interacción fluido estructura, obteniendo empujes y succiones
generadas por el fluido, ası́ como la deformación y desplazamiento de la estructura, realizando una comparación de los resultados mediante reglamentación aplicable vigente, haciendo
énfasis en el reglamento por viento de la Comisión Federal de Electricidad CFE.
1.3.
Antecedentes
1.3.1.
Análisis por viento.
Toda construcción sometida a la acción del viento puede sufrir daños parciales o totales.
Muchos reglamentos abordan el tema y fijan procedimientos de diseño para el cálculo de las
cargas que genera el viento. El viento al pasar por una estructura genera acciones de empuje,
además de succión en la dirección perpendicular al flujo. Los efectos estructurales producidos
por el viento más comunes en las construcciones pueden ser: deformación excesiva, fatiga, daño
en elementos de apoyo como cimentación y anclas, vibración excesiva que provoca inseguridad.
Los efectos de deformación excesiva generan inseguridad visual, e incluso a largo plazo
1.4 Estructura del trabajo.
3
el colapso de la estructura el cual podrı́a ocasionar pérdidas humanas de manera directa
e indirecta, sobre todo al tratarse de instalaciones industriales. De estos hechos podemos
entender la importancia del análisis estructural por viento.
1.3.2.
Mecánica de materiales
La Mecánica de materiales es la rama de la mecánica que estudia los efectos internos que
experimenta un cuerpo bajo carga, considerando a los elementos estructurales como modelos
idealizados sometidos a restricciones y cargas simplificadas. En la mecánica de materiales el
concepto de importancia primordial es el de esfuerzo y las deformaciones.
1.3.3.
Mecánica de fluidos
La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos que estudia el movimiento de los fluidos ası́ como las fuerzas que los provocan. La caracterı́stica fundamental
que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes lo que provoca que
carezcan de forma definida. También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno
que lo limita. La hipótesis fundamental en la que se basa toda la mecánica de fluidos es la
hipótesis del medio continuo.
1.3.4.
Interacción Fluido-Estructura
Muchos fenómenos de la vida real están caracterizados por el flujo de un fluido que es afectado
por la deformación de una estructura sólida, que a su vez es deformada por las fuerzas ejercidas
por el fluido. Modelar la interacción fluido estructura involucra acoplamientos multifı́sicos
especı́ficos entre las leyes que describen la dinámica de fluidos y la mecánica estructural. La
importancia de muchos problemas acoplados es que generan mayor información del problema
real que cuando se trata el fluido y el solido de forma separada.
1.4.
Estructura del trabajo.
El trabajo aquı́ presentado se divide en las siguientes partes:
Capı́tulo 2. En este capı́tulo se presenta un resumen de la mecánica de los medios continuos
y las ecuaciones constitutivas tanto para sólidos como para fluidos.
Capı́tulo 3. En este capı́tulo se presenta el fundamento teórico de los elementos finitos para
sólidos, Shell y fluidos, ası́ como la descripción de en que consiste la interacción fluido estructura
4
1. Introducción
Capı́tulo 4. En este capitulo se desarrolla las metodologı́a propuesta por el Manual de Diseño
de Obras civiles, Diseño por viento en la versión 1993 y la más reciente 2008, para obtener
las velocidades de diseño para el modelo, las presiones de diseño mediante análisis dinámico
y posteriormente el cortante y el momento máximos en la dirección del flujo del viento.
Capı́tulo 5. En este capı́tulo se presenta la modelación y resultados del caso mediante elementos finitos. Utilizando para el proceso de cálculo interacción fluido-estructura el código
COMET desarrollado por el asesor.
Capı́tulo 6. En este capı́tulo se presentan un resumen de los resultados obtenidos y las conclusiones.
Capı́tulo 7. En este capı́tulo se plantean dos propuestas de futuros análisis a desarrollar,
destacando el sistema de rompedores de viento para evitar las vibraciones transversales en
estructuras de forma cilı́ndrica.
Capı́tulo 2
Mecánica de Medios Continuos.
2.1.
Concepto de Medio Continuo.
Todos los materiales en escala microscópica presentan diversas discontinuidades. La mecánica
del medio continuo considera el medio en escala macroscópica, ignorando en el medio esas
discontinuidades para pasar a ser un medio continuo y partiendo de este argumento se puede
formular el comportamiento mecánico de los sólidos y de los fluidos. Ver referencia Oliver y
Agelet (2006).
2.2.
Cinemática.
La cinemática estudia el movimiento y la deformación de un cuerpo sin importarle las fuerzas
que intervienen en dicha acción.
Se puede suponer que un medio continuo esta formado por una infinidad de puntos, que
pueden ocupar distintos puntos en su movimiento a lo largo del tiempo, estos son llamados
puntos materiales, al lugar geométrico de las posiciones que ocupan en el espacio a lo largo
del tiempo se define como configuración y esta dada por Ω.
La configuración en t = 0 se llama configuración inicial Ω0 , para poder describir la cinemática de un cuerpo es necesaria una configuración de referencia que generalmente se toma
esta como la configuración inicial.
Consideremos ahora que el medio continuo se mueve a una nueva región Ω, t > 0 en este
instante de tiempo la configuración es llamada configuración actual o configuración deformada. El contorno del dominio para la configuración actual esta dado por Γ. La dimensión de
cualquier modelo se expresa por ndime indicando el número de dimensiones que ocupa en el
espacio el medio continuo dime = 1, 2, 3.
El vector de posición X de un punto material en la configuración de referencia Ω viene
5
6
2. Mecánica de Medios Continuos.
dado por:
X = Xi ei =
nX
dime
Xi e i
(2.2.1)
i=1
donde Xi son los componentes de X en la configuración de referencia y ei son los vectores
unitarios que definen un sistema de coordenadas rectangular cartesiano. Las componentes del
vector X son conocidas como coordenadas materiales o también como coordenadas Lagrangianas.
Figura 2.1
Configuraciones del medio continuo
El movimiento de las partı́culas del medio continuo está dado por
x = φ(X, t) = x(X, t)
(2.2.2)
donde
x = xi ei =
nX
dime
xi ei
(2.2.3)
i=1
es la posición de un punto material X pero en la configuración actual.
Las componentes del vector x son llamadas coordenadas espaciales o coordenadas Eulerianas y la función φ(X, t) nos da la posición que corresponde a la configuración de referencia
pero en la configuración actual.
2.2.1.
Coordenadas Materiales y Espaciales.
Cuando describimos la cinemática de un medio continuo dos aproximaciones son frecuentemente usadas. La primera es cuando tomamos las coordenadas materiales Xi y el tiempo t
7
2.2 Cinemática.
como variables independientes, y entonces la descripción es conocida como descripción material o descripción Lagrangiana.
Por otra parte, si las variables independientes son las coordenadas espaciales xi y el tiempo
t, entonces nos estaremos refiriendo a una descripción espacial o descripción Euleriana.
Ambas descripciones se diferencian esencialmente por el tipo de argumento (coordenadas materiales o espaciales) que aparecen en las funciones matemáticas que describen las
propiedades del medio continuo.
Figura 2.2
Descripción material (izq.) y espacial (der.) de una propiedad
En general, la mecánica de sólidos y las estructuras usan la descripción Lagrangiana mientras que la mecánica de fluidos usa la descripción Euleriana.
2.2.2.
Desplazamiento.
La diferencia en un punto material entre su configuración actual y su configuración de referencia nos da como resultado un desplazamiento el cual escrito en descripción material viene
dado por
u(X, t) = x − X
(2.2.4)
Reemplazando la ecuación (2.2.1) y la ecuación (2.2.2) en la ecuación (2.2.4) nos da como
resultado
u(X, t) = φ(X, t) − φ(X, 0) = φ(X, t) − X
(2.2.5)
Ya que para t = 0, x = φ(X, 0) = X, lo que significa que en la configuración de referencia,
x = X. Por el contrario, si las variables independientes son (x, t), la ecuación inversa del
movimiento se define por
X = φ−1 (x, t) = X(x, t)
(2.2.6)
8
2. Mecánica de Medios Continuos.
Lo que significa que el punto material X se asocia con el lugar que ocupa la variable x en el
instante de tiempo t. De esta manera, el desplazamiento en descripción euleriana se expresa
por
u(x, t) = x − φ−1 (x, t)
2.2.3.
(2.2.7)
Velocidad y Aceleración.
Para un punto material, la velocidad está dada por la derivada del vector de posición. Cuando
X se mantiene constante, entonces la derivada se llama derivada material respecto al tiempo
o también es conocida como derivada total respecto al tiempo.
Usando la ecuación (2.2.2) y la ecuación (2.2.5), la velocidad material se expresa por
∂u(X, t)
∂x(X, t)
=
= u̇(X, t)
(2.2.8)
∂t
∂t
De la misma forma, la aceleración material se expresa como la derivada de la velocidad respecto
al tiempo, y viene dada por
v(X, t) =
a(X, t) =
∂v(X, t)
= v̇(X, t) = ü(X, t)
∂t
(2.2.9)
Cuando las expresiones están dadas en descripción espacial, por ejemplo la velocidad v(x, t) =
v x(X, t), t donde se ha usado la ecuación (2.2.2), su derivada material puede ser encontrada
si usamos
∂vi (x, t) ∂vi (x, t) ∂xj (X, t)
∂vi
∂vi
Dvi (x, t)
=
+
=
+
·
vj
Dt
∂t
∂xj
∂t
∂t
∂xj
(2.2.10)
donde ∂vi (x, t)/∂t es la derivada espacial respecto al tiempo y el segundo término en el lado
derecho de la ecuación es el término convectivo, donde ∂vi /∂xj es el gradiente derecho del
vector velocidad respecto a las coordenadas espaciales, la cual se puede expresar en notación
indicial por vi,j o en notación tensorial por v∇. Usando la ecuación inversa del movimiento,
ecuación (2.2.6), para expresar la velocidad en descripción espacial, la ecuación (2.2.10) puede
ser escrita como
Dv(x, t)
∂v(x, t)
=
+ v(x, t) · ∇v(x, t)
(2.2.11)
Dt
∂t
donde ∇v es el gradiente izquierdo del vector velocidad con respecto a las coordenadas espaciales, las cuales pueden ser expresadas en notación indicial por ∂j vi . Es importante resaltar
que
∂v(X, t)
Dv(x, t)
=
Dt
∂t
(2.2.12)
9
2.3 Deformación.
En general, la derivada material respecto al tiempo de cualquier función, ya sea un escalar,
un vector o un tensor expresado en variables espaciales x y tiempo t se puede obtener con
D(•)
∂(•)
=
+ v · ∇(•)
Dt
∂t
2.3.
(2.2.13)
Deformación.
Consideremos en el medio continuo en movimiento una partı́cula P en la configuración de
referencia Ω0 , y que ocupa el punto del espacio P´ en la configuración actual Ω y una partı́cula
Q situada en un entorno diferencial de P y cuyas disposiciones relativa respecto a esta en los
instantes de referencia y actual vienen dadas por dX y dx respectivamente.
Figura 2.3 Descripción de la deformación
Una medida importante de la deformación comúnmente usada en mecánica es el tensor material gradiente de la deformación F(X, t) dado por
φ(X, t)
∂φ
∂φi
∂xi
∂x
=
o
Fij =
=
(2.3.1)
∂X
∂X
∂Xj
∂Xj
el cual relaciona cantidades en la configuración de referencia con su correspondiente cantidad
en la configuración deformada. Por ejemplo, si consideramos un segmento de lı́nea infinitesimal
d X en la configuración de referencia, entonces usando la ecuación (2.3.1), el segmento de lı́nea
resultante d x en la configuración deformada es
F=
dx = F · dX
o
dxi = Fij dXj
(2.3.2)
llamado ensor material gradiente de la deformación F también es conocido como la matriz
Jacobiana. Otra cantidad importante relacionada con F es el determinante del Jacobiano
expresado por
10
2. Mecánica de Medios Continuos.
J = det(F)
(2.3.3)
El determinante del Jacobiano es importante ya que nos permite relacionar integrales en la
configuración de referencia con su correspondiente contraparte en la configuración deformada.
El tensor material gradiente de la deformación viene dado por
Fij =
∂ui
∂Xi
∂ui
+
=
+ δij
∂Xj ∂Xj
∂Xj
(2.3.4)
donde ∂ui /∂Xj es el tensor material gradiente de los desplazamientos y el termino δij es
conocido como delta de Kronecker, y esta puede tomar dos valores únicos
(
1 cuando i = j
(2.3.5)
δij =
0 cuando i 6= j
2.3.1.
Medidas de la Deformación
Consideremos una partı́cula del medio continuo, que ocupa el punto del espacio P en la
configuración material, y otra partı́cula√Q de su entorno diferencial separada de
√ la anterior
por el segmento dX (de longitud dS = dX · dX) siendo dx (de longitud dS = dx · dx) su
homólogo en la configuración actual.
Figura 2.4 Tensores de deformacion
11
2.3 Deformación.
En el caso de descripciones lagrangianas, la medida de deformación más importante es el
tensor de deformación de Green-Lagrange E(X, t) que se define como
1 T
1 T
(2.3.6)
F ·F−I
or
Eij =
Fik Fkj − δij
2
2
el cual se puede expresar en función del tensor material gradiente de los desplazamientos,
dando como resultado
∂uj
∂uk ∂uk
1 ∂ui
(2.3.7)
+
+
Eij =
2 ∂Xj ∂Xi ∂Xi ∂Xj
E=
Para problemas con deformaciones lineales, el tensor de deformaciones infinitesimales ε(X, t)
se puede deducir a partir de la ecuación (2.3.7) simplemente despreciando los términos no
lineales, de donde encontramos
1 ∂ui
∂uj
εij =
(2.3.8)
+
2 ∂Xj ∂Xi
Ahora definamos el tensor espacial gradiente de la velocidad l (x, t) como
l=
∂v
∂x
o
lij =
∂vi
∂xj
(2.3.9)
el cual se puede descomponer en su parte simétrica y antisimétrica usando
1
1
(2.3.10)
l +lT + l −lT
2
2
La parte simétrica del tensor gradiente de la velocidad se define como el tensor velocidad de
deformación d(x, t) y viene dado por
1
1 ∂vi
∂vj
T
d=
(2.3.11)
o
dij =
l +l
+
2
2 ∂xj ∂xi
l=
Por otro lado, el tensor velocidad de rotación w(x, t), también conocido como tensor spin se
define como la parte antisimétrica del tensor gradiente de la velocidad expresándose por
1 ∂vi
∂vj
1
T
l −l
o
wij =
−
(2.3.12)
w=
2
2 ∂xj
∂xi
Calculando la derivada material del tensor material gradiente de la deformación, ecuación
(2.3.1), nos da como resultado
Ḟ =
∂v
∂X
o
Ḟij =
y ahora la ecuación (2.3.9) se puede escribir como
∂vi
∂Xj
(2.3.13)
12
2. Mecánica de Medios Continuos.
l = Ḟ · F−1
o
−1
lij = Ḟik Fkj
=
∂vi ∂Xk
∂Xk ∂xj
(2.3.14)
donde se ha usado el tensor espacial gradiente de la deformación F−1 (x, t) que se expresa por
F
−1
φ−1 (x, t)
∂φ
∂X
=
=
∂x
∂x
o
−1
Fkj
∂φ−1
∂Xk
i
=
=
∂xj
∂xj
(2.3.15)
Si calculamos la derivada material del tensor de deformación de Green-Lagrange, ecuación
(2.3.6), obtenemos
1 T
T
Ė =
F · Ḟ + Ḟ · F = FT · d · F
2
(2.3.16)
que en el caso de dinámica estructural se utiliza para calcular el amortiguamiento viscoelástico
de estructuras.
2.4.
Ecuaciones de Conservación.
La mecánica de medios continuos se asienta en una serie de postulados o principios generales
que se suponen validos siempre, independientemente del tipo de material y del rango de
desplazamientos o de deformaciones. Entre estos se encuentran los denominados Postulados
de conservación-balance que son los siguientes: Conservación de la masa, Balance del momento
cinético (o cantidad de movimiento), Balance del momento angular (o momento de la cantidad
de movimiento),Balance de la energı́a (o primer principio de la termodinámica).
Las ecuaciones de conservación reflejan cantidades fı́sicas para un medio continuo, las
cuales siempre se deben de satisfacer y que no tienen restricción alguna de aplicación para
ningún material. La aplicación de las ecuaciones de conservación al dominio Ω de un medio
continuo B nos arroja como resultado una ecuación en función de integrales. Ya que las
ecuaciones integrales se deben de satisfacer para cualquier parte del dominio o subdominio del
medio continuo, entonces las ecuaciones de conservación se pueden expresar como ecuaciones
en derivadas parciales
Antes de continuar con las ecuaciones de conservación, la derivada material de una ecuación
integral para cualquier propiedad espacial se define por
D
Dt
Z
(•)dΩ =
Ω
Z Ω
D(•)
+ (•)∇ · v dΩ
Dt
(2.4.1)
la cual es conocida como teorema de transporte de Reynolds La divergencia ∇ · (•) respecto a
coordenadas actuales también puede ser expresada por div(v) o en notación indicial por vi,i .
13
2.4 Ecuaciones de Conservación.
2.4.1.
Conservación del Momento Lineal y Angular.
La conservación de momento lineal dice que la derivada respecto al tiempo del momento lineal
deber ser igual a la suma de todas las fuerzas aplicadas en un medio continuo.
Si consideramos un dominio arbitrario Ω con su respectivo contorno Γ en configuración deformada, el cual se encuentra sujeto a fuerzas másicas ρb y fuerzas de superficie t, donde b
es una fuerza por unidad de masa, entonces la fuerza total en el sistema es
Z
Z
f(t) =
ρb(x, t)dΩ + t(x, t)dΓ
(2.4.2)
Ω
Γ
Por definición, el momento lineal es igual al producto de la densidad ρ y la velocidad v en
todo el dominio Ω en estudio, lo cual se expresa por
Z
p(t) =
ρv(x, t)dΩ
(2.4.3)
Ω
Por definición, la conservación del momento lineal viene dado por
Z
Z
Z
D
ρv(x, t)dΩ =
ρb(x, t)dΩ + t(x, t)dΓ
Dt Ω
Ω
Γ
y la ecuación de continuidad dada por
Dρ
+ ρ∇ · v = 0
Dt
(2.4.4)
(2.4.5)
Substituyendo las ecuaciones (2.4.2) y (2.4.5) en la ecuación (2.4.3), la derivada respecto al
tiempo del momento lineal es
Z
Z
Dv(x, t)
D
ρv(x, t)dΩ =
ρ
dΩ
(2.4.6)
Dt Ω
Dt
Ω
La integral del contorno en la ecuación (2.4.4) se puede transformar en una integral de dominio
como
Z
Z
t(x, t)dΓ =
∇ · σ(x, t)dΩ
(2.4.7)
Γ
Ω
Substituyendo las ecuaciones (2.4.6) y (2.4.7) en la ecuación (2.4.4) se obtiene
Z Dv
ρ
− ρb − ∇ · σ dΩ = 0
Dt
Ω
(2.4.8)
Y, ya que esta relación integral se cumple para cualquier dominio arbitrario, encontramos que
ρ
Dv
= ∇ · σ + ρb
Dt
o
ρ
Dvi
∂σij
=
+ ρbi
Dt
∂xj
Esta ecuación es conocida como la ecuación de momento.
(2.4.9)
14
2. Mecánica de Medios Continuos.
En descripción Euleriana la ecuación de momento esta dada como
ρ
∂v
+ v · ∇v
∂t
= ∇ · σ + ρb
o
ρ
∂vi
+ vj ∂ j vi
∂t
=
∂σij
+ ρbi
∂xj
(2.4.10)
donde todas las cantidades se encuentran expresadas en coordenadas espaciales. La ecuación
(2.4.10) es la que en general se utiliza en problemas de mecánica de fluidos. Cuando ésta
ecuación se usa para hacer una discretización con elementos finitos, se dice que se trata de
una formulación euleriana
En descripción Lagrangiana la ecuación de momento esta dada como
ρ
∂v
= ∇ · σ + ρb
∂t
o
ρ
∂vi
∂σij
=
+ ρbi
∂t
∂xj
(2.4.11)
Cuando se estudian sólidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementos
finitos, la ecuación (2.4.11) recibe el nombre de formulación lagrangiana actualizada.
La conservación de momento angular se obtiene mediante el producto vectorial entre el
vector de posición actual x por cada uno de los términos de la ecuación de momento lineal,
ecuación (2.4.4), de donde obtenemos
Z
Z
Z
D
x × ρv(x, t)dΩ =
x × ρb(x, t)dΩ + x × t(x, t)dΓ
(2.4.12)
Dt Ω
Ω
Γ
La conservación lineal de momento también se puede expresar en configuración de referencia.
La conservación lineal de momento en configuración de referencia y coordenadas lagrangianas
es
ρ0
∂v
= ∇ 0 · P + ρ0 b
∂t
o
ρ0
∂vi
∂Pji
=
+ ρ0 b i
∂t
∂Xj
(2.4.13)
Esta ecuación se conoce como la descripción lagrangiana de la ecuación de momento. Si se
estudian sólidos y estructuras no lineales utilizando discretizaciones con elementos finitos, la
ecuación (2.4.13) recibe el nombre de formulación lagrangiana total.
2.5.
Ecuaciones Constitutivas.
Las ecuaciones son ecuaciones que permiten describir el comportamiento y propiedades de un
medio continuo en especifico.
2.5.1.
Elasticidad Lineal.
Las hipótesis simplificativas de la teorı́a de la elasticidad lineal básicamente son Deformaciones
infinitesimales Existencia de un estado neutro Se considera en principio que el proceso de
deformación es isotérmico y adiabático
15
2.5 Ecuaciones Constitutivas.
2.5.2.
Ley de Hooke Generalizada.
La ley de Hooke para problemas unidimensionales supone la proporcionalidad entre la tensión,
σ, y la deformación, ǫ, a través de la constante de proporcionalidad denominada módulo de
elasticidad E
σ = Eǫ
(2.5.1)
En la teorı́a de la Elasticidad esta proporcionalidad se generaliza al caso multidimensional
suponiendo la linealidad de la relación entre las componentes del tensor de tensiones σ y de
deformaciones ǫ en lo que se denomina ley de Hooke generalizada
σ(x, t) = C : ǫ(x, t)
o
σij = Cijkl ǫkl
(2.5.2)
La ecuación (2.5.2) representa la ecuación constitutiva para un material elástico lineal.
El tensor de cuarto orden C es denominado tensor de constantes elásticas. Tiene en principio 34 = 81 componentes. Sin embargo, debido a la simetrı́a de σ y ǫ, debe presentar ciertas
simetrı́as ante el cambio de indices, Cijkl = Cjikl y Cijkl = Cijlk representan las simetrı́as
mayores, mientras Cijkl = Cklij son simetrı́as menores. Como consecuencia el número de
constantes distintas en el tensor de constantes elásticas C se reduce a 21.
2.5.2.1.
Ley de Hooke para elasticidad lineal isótropa.
Para el caso de un material elástico lineal, las propiedades elásticas están contenidas en
el tensor C, este tensor es isotrópico si mantiene sus componentes en cualquier sistema de
coordenadas cartesiano y está dado por
C = λ1 ⊗ 1 + 2µI
o
Cijkl = λδij δkl + µ [δik δjl + δil δjk ]
(2.5.3)
donde λ, µ son conocidas como constantes de Lamé, que caracterizan el comportamiento
elástico de material y que deben ser obtenidas experimentalmente. La condición de isotropı́a
reduce el número de constantes elásticas del material de 21 a 2.
Sustituyendo la ecuación (2.5.3) en (2.5.2) se obtiene la ecuación constitutiva elástica lineal
isótropa, también llamada Ley de Hooke
σ = λT r (ǫ) 1 + 2µǫ
o
σij = λδij ǫll + 2µǫij
(2.5.4)
De la inversión de la Ley de Hooke se desprenden dos propiedades elásticas el módulo de
Young o módulo de deformación longitudinal E y el coeficiente de Poisson ν definidos como
E=
µ (3λ + 2µ)
λ+µ
y
ν=
λ
2 (λ + µ)
(2.5.5)
y las constantes de Lamé como
λ=
νE
(1 + ν) (1 − 2ν)
y
µ=
E
2 (1 + ν)
(2.5.6)
16
2. Mecánica de Medios Continuos.
donde µ = G, G= Módulo de deformación transversal.
2.6.
Fluido Newtoniano.
Una ecuación que relaciona de manera lineal al tensor de esfuerzos con la derivada del tensor
de deformación en un fluido se conoce como ecuación constitutiva para fluidos newtonianos.
De acuerdo con el principio de pascal el estado tensional de un fluido en reposo está caracterizado por un tensor de tensiones de la forma
σ = −p0 1
o
σij = −p0 δij
(2.6.1)
donde p0 es la denominada presión hidrostática, la cual representa una tensión normal de
compresión constante sobre cualquier plano.
Figura 2.5 Estado tensional en un fluido en reposo
La ecuación constitutiva mecánica para los fluidos newtonianos, (considerando que el fluido
esta en movimiento) puede escribirse como
σ = −p1 + C:d
o
σij = −pδij + Cijkl dkl
(2.6.2)
donde C es un tensor constitutivo (de viscosidad) constante de cuarto orden.
Empleando las ecuaciones (2.3.11) y (2.5.3) para sustituirlas en (2.6.2) obtenemos
σij = −pδij + λdll δij + 2µdij
(2.6.3)
donde dll = ∇ · v es la divergencia de la velocidad. Si se substituye la restricción de Stokes,
λ+ 23 µ = 0, en la ecuación (2.6.3) para tener una relación entre λ y µ, se encuentra la siguiente
ecuación
17
2.7 Ecuaciones de Navier-Stokes.
2
σij = − p + µ∇ · v δij + 2µdij
3
2
σ = − p + µ∇ · v I + 2µd
3
o
(2.6.4)
que se conoce como ecuación constitutiva para fluidos Newtonianos. Para fluidos incompresibles, la ecuación de continuidad, ecuación (2.4.5) se substituye en la ecuación (2.6.4) y se
obtiene la ecuación constitutiva para fluidos incompresibles
σij = −pδij + 2µdij
2.7.
o
σ = −pI + 2µd
(2.6.5)
Ecuaciones de Navier-Stokes.
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y George Gabriel
Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen
el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan cualquier fenómeno en el que se
involucren fluidos newtonianos. Ver referencia Váldes y otros (2007).
Esencialmente la ecuación de Navier-Stokes es la ecuación del movimiento expresada únicamente en función del campo de velocidades v(x, t) y de presión p(x, t). Sustituyendo la
ecuación constitutiva para un fluido Newtoniano, ecuación (2.6.3) en la ecuación del momento en descripción Euleriana, ecuación (2.4.10), de donde se obtiene
2
∂
∂p
∂vi
2µdij − µ(∇ · v)δij
+ vj ∂ j vi = −
+ ρbi +
(2.7.1)
ρ
∂t
∂xi
∂xj
3
Esta ecuación representa la forma general de las ecuaciones de Navier-Stokes. Si µ se toma
como constante, la derivada de la parte derecha de la ecuación se puede expresar como
∂
2
1 ∂
2
2µdij − µ(∇ · v)δij = µ ∇ vi +
(∇ · v)
(2.7.2)
∂xj
3
3 ∂xi
donde ∇2 vi es el Laplaciano
1
de vi .
Para fluidos incompresibles, la ecuación de continuidad (∇·v = 0), se substituye en la ecuación
(2.7.1) y las ecuaciones de Navier-Stokes se escriben de forma simplificada como
∂p
∂vi
+ vj ∂ j vi = −
+ ρbi + µ∇2 vi
(2.7.3)
ρ
∂t
∂xi
Si además despreciamos la viscosidad, como ocurre en algunos casos cuando el flujo en estudio
se encuentra lejos de la capa lı́mite, tenemos que
1
∇ 2 vi =
∂ ∂vi
∂xj ∂xj
=
∂ 2 vi
∂x21
+
∂ 2 vi
∂x22
+
∂ 2 vi
∂x23
18
2. Mecánica de Medios Continuos.
ρ
∂vi
+ vj ∂ j vi
∂t
=−
∂p
+ ρbi
∂xi
(2.7.4)
y de esta forma se ha encontrado la ecuación de Euler.
Si se conoce la velocidad caracterı́stica vc y la longitud caracterı́stica del sistema, entonces
el número de Reynolds se define como Re = ρvc lc /µ. Si en un flujo el número de Reynolds
es pequeño, el término convectivo se puede despreciar lo que da como resultado la siguiente
ecuación
ρ
∂vi
∂p
+
− µ∇2 vi = ρbi
∂t
∂xi
(2.7.5)
que se conoce como flujo de Stokes Sin embargo, es común encontrar que la ecuación (2.7.5)
se expresa sin el término inercial.
Capı́tulo 3
El Método de los Elementos Finitos
3.1.
Concepto de Elemento Finito
3.1.1.
Sistema Discreto y Continuo
Si estudiaramos un sistema y lo separamos en sus componentes o elementos podriamos tener
dos clases de sistemas un sistema discreto o un sistema continuo. Se dice que se tiene un sistema discreto cuando dicho sistema tiene un numero finito de componentes bien definidas y
pasa a ser un problema discreto. Un sistema continuo se tiene cuando la subdivisión prosigue
indefinidamente, el problema solo se puede definir haciendo uso de la ficción matemática de
infinitésimo, ello nos lleva a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un numero infinito de elementos. Un sistema discreto se puede resolver generalmente sin dificultad,
mientras que para dar solución a un sistema continuo se debe llevar a cabo formulaciones matemáticas realizando una aproximación de la solución, teniendo entonces una discretización
del sistema continuo.
3.1.2.
Definición del Proceso General del MEF
El Método de los Elementos Finitos (MEF) se puede resumir en dos pasos generales: el primero
es dividir el continuo en un numero finito de elementos, cuyo comportamiento se especifica
mediante un numero finito de parametros. El segundo es llevar a cabo un ensamblaje de los
elementos. Ver referencia Valdés (2008).
3.2.
Discretización del MEF para Sólidos
19
20
3. El Método de los Elementos Finitos
3.2.1.
Trabajo Virtual
La ecuación Fundamental para formular una aproximación por elementos finitos es el principio
del trabajo virtual, la cual es la forma débil. El principio del trabajo virtual surge como
consecuencia de la forma fuerte de la ecuación de momento y es válido tanto si las relaciones
entre tensiones y deformaciones (o entre tensiones y velocidades de deformación) son lineales
o no lineales.
Para formular la forma débil, la función de test δui (X) y la función de prueba ui (X, t) son
requeridas. El espacio de la función de test esta definido como:
U0 = δui |δui ∈ C 0 (X), δui = 0 en ΓD
δui (X) ∈ U0 ,
(3.2.1)
donde C 0 describe la continuidad de la función y el dominio Γ0 esta definida por Γ0 = ΓD ∪ΓN .
En tanto que el espacio de la función de prueba para los desplazamientos esta dado por:
ui (X, t) ∈ U, U = ui |ui ∈ C 0 (X), ui = ūi en ΓD
Z
δui
Ω
(3.2.2)
∂σij
+ ρbi dΩ = 0
δxj
(3.2.3)
Esta forma debil es usada debido a que el espacio de la función de prueba para los desplazamientos necesita tener continuidad C 1 . Para dar solución se realiza una integración por partes
del término señalado de la ecuación 3.2.3. desarrollando tenemos:
Z
Z
δui t¯i dΓ = 0
(3.2.4)
(δǫij σij − δui ρbi ) dΩ −
ΓN
Ω
donde t¯i = σij ni
La ecuacion 3.2.4 representa el principio del trabajo virtual la cual puede ser escrita de la
siguiente forma:
δW int − δW ext = 0
(3.2.5)
donde:
δW
δW
ext
=
Z
int
δui ρbi dΩ +
Ω
=
Z
Z
δǫij σij dΩ
δW
=
Ω
δui t̄i dΓ
ΓN
o
int
o
δW
ext
=
Z
Ω
Z
δǫ : σdΩ
(3.2.6)
Ω
ρδu · bdΩ +
Z
ΓN
δu · t̄dΓ
Las cuales representan el trabajo virtual externo e interno respectivamente.
(3.2.7)
21
3.2 Discretización del MEF para Sólidos
3.2.2.
Discretización para Geometrı́a Lineal
Es asumido que el dominio Ω esta discretizado por un numero finito de elementos que conforman la malla de los elementos finitos. Para cada elemento finito de la malla, los desplazamientos están aproximados por:
uhi (x, t)
=
nX
node
Ni (x)uiI (t)
∀i = 1, ndime
I=1
(3.2.8)
donde NI (x) son las funciones de forma para cada nodo, nnode es el numero de nodos para el
elemento finito y uiI (t) son el valor del desplazamiento nodal en nodo I con dirección i. Si se
usa la misma función de forma en la discretización para la función de prueba como para la
función de test, entonces la forma dédil es conocida como la forma débil de Galerkin.
La discretización de la función de test está escrita como:
δuhi (x)
=
nX
node
NI (x)δuiI
I=1
∀i = 1, ndime
Si el tensor de deformaciones infinitesimales esta escrito en la forma:
1 ∂ui
∂ul
∂ui
1 ∂uk
=
+
δik +
δil
ǫkl =
2 ∂xl
∂xk
2 ∂xl
∂xk
(3.2.9)
(3.2.10)
donde los subı́ndices ij han sido cambiados por los subı́ndices kl por simple conveniencia y
los desplazamientos u son aproximados por uh . Entonces sustituyendo la ecuación 3.3.7 en la
ecuación 3.2.10. obtenemos:
nnode 1 X
∂NI (x)
∂NI (x)
ǫkl =
δik +
δil uiI (t)
2 I=1
∂xl
∂xk
∀i = 1, ndime
(3.2.11)
Definiendo el tensor deformación-desplazamiento de cuarto orden como:
BiklI
nnode 1 X
∂NI (x)
∂NI (x)
=
δik +
δil
2 I=1
∂xl
∂xk
∀i = 1, ndime
(3.2.12)
Entonces el tensor de deformaciones infinitesimales se puede expresar como:
ǫkl = BiklI uiI
(3.2.13)
Encontrando una metodologia similar para la discretización de δǫkl se tiene la siguiente ecuación:
22
3. El Método de los Elementos Finitos
δǫkl = BiklI δuiI
(3.2.14)
Recordando que el trabajo puede ser obtenido como el producto de una fuerza por distancia,
las fuerzas internas surgen de el trabajo virtual interno como:
δW
int
=
δuiI filint
=
Z
δǫkl σkl dΩ
(3.2.15)
Ω
Sustituyendo la ecuación 3.2.14 en la parte derecha de la ecuación 3.3.14, tenemos:
δW
int
=
δuiI filint
= δuiI
Z
BiklI σkl dΩ
(3.2.16)
Ω
de donde encontramos que las fuerzas internas quedan expresadas como:
filint
=
Z
BiklI σkl dΩ
(3.2.17)
Ω
donde el tensor de esfuerzos se puede encontrar usando apropiadamente una ecuación constitutiva y reemplazando la ecuación 3.2.13 tenemos:
σkl = C klmn ǫmn = C klmn BjmnJujJ
(3.2.18)
Hasta aquı́ es recomendable el uso de la notación de Voigt para expresar la Ecuación 3.2.17
de la siguiente manera:
faint
=
Z
Ω
T
Bab
σb dΩ
ó
fint =
Z
T
Ω
B {σ} dΩ
ó
fIint
=
Z
Ω
BTI {σ} dΩ
(3.2.19)
donde las fuerzas internas faint = fiIint y la posición de los subı́ndices esta dada por:
a = (I − 1) ndime + i
(3.2.20)
Las componentes de esfuerzo de Cauchy son transformadas por la regla de Voigt para problemas en 3D como se muestra en el cuadro 3.1.
El tensor deformación-desplazamientos BI para un nodo en particular I en notación de Voigt
para problemas de 3D está dado por 3.2.21.
23
3.2 Discretización del MEF para Sólidos
σij
i j
1 1
2 2
3 3
2 3
1 3
1 2
σa
a
1
2
3
4
5
6
Tabla 3.1 Regla de Voigt para esfuerzos en 3D
σij
i
1
2
1
j
1
2
2
σa
a
1
2
3
Tabla 3.2 Regla de Voigt paara esfuerzos en 2D
 ∂NI
∂x1


 0



 0


BI = 

 0


 ∂NI
 ∂x
 3

∂NI
∂x2
0
∂NI
∂x2
0
∂NI
∂x3
0
∂NI
∂x1
0



0 



∂NI 
∂x3 


∂NI 

∂x2 

∂NI 

∂x1 

0
(3.2.21)
De manera similar se producen para 2D teniendo el cuadro 3.2 para la transformacion de
Voigt.
24
3. El Método de los Elementos Finitos
El tensor deformación-desplazamientos:
 ∂NI
∂x1


BI = 
 0

∂NI
∂x2
0



∂NI 
∂x2 
∂NI
∂x1
(3.2.22)

Algunas veces se prefiere exprezar la ecuación 3.2.19 de la siguiente forma:
Z
int
fI =
BTI CBJ uJ dΩ
(3.2.23)
Ω
donde {σ} = C {ǫ} y {ǫ} = BJ uJ . Por consecuencia la rigidez esta dada por:
Z
KIJ =
BTI CBJ dΩ
(3.2.24)
Ω
Y entonces las fuerzas internas se quedan exprezadas por:
fint
I = KIJ uJ
3.2.3.
(3.2.25)
Discretización para Geometrı́a No-Lineal
Para no linealidad tenemos una discretización similar siguiendo el mismo procedimiento tenemos que, las fuerzas internas usando notación de Voigt son
Z
Z
Z
T
int
T
int
int
fiI =
Bab Sb dΩ0 fiI =
B {S}dΩ0 fI =
BIT {S}dΩ0
(3.2.26)
Ω0
Ω0
Ω0
y el tensor BI en notación de Voigt para problemas en 3D es

h
h
∂NI ∂x1
∂ξ 1 ∂ξ 1



∂NI ∂xh

1

∂ξ 2 ∂ξ 2



∂NI ∂xh
1

∂ξ 3 ∂ξ 3


BI = 
 ∂NI ∂xh1 + ∂NI ∂xh1
 ∂ξ2 ∂ξ3
∂ξ 3 ∂ξ 2


 ∂N ∂xh ∂N ∂xh
 1I 31 + 3I 11
 ∂ξ ∂ξ
∂ξ ∂ξ


h
 ∂NI ∂xh1
I ∂x1
 ∂ξ1 ∂ξ2 + ∂N
∂ξ 2 ∂ξ 1
∂NI ∂x2
∂ξ 1 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
2
∂ξ 2 ∂ξ 2
∂NI ∂xh
2
∂ξ 3 ∂ξ 3
∂NI ∂xh
2
∂ξ 2 ∂ξ 3
+
∂NI ∂xh
2
∂ξ 3 ∂ξ 2
∂NI ∂xh
2
∂ξ 1 ∂ξ 3
+
∂NI ∂xh
2
∂ξ 3 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
2
∂ξ 1 ∂ξ 2
+
∂NI ∂xh
2
∂ξ 2 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
3
∂ξ 1 ∂ξ 1




h
∂x
∂NI

3
2
2

∂ξ ∂ξ



∂NI ∂xh
3

∂ξ 3 ∂ξ 3



h
h
∂NI ∂x3
∂NI ∂x3 
+
∂ξ 2 ∂ξ 3
∂ξ 3 ∂ξ 2 


h
h
∂x
∂x
∂NI
3
I
3
+ ∂N
∂ξ 1 ∂ξ 3
∂ξ 3 ∂ξ 1 


h
h
∂NI ∂x3
∂NI ∂x3 
+ ∂ξ2 ∂ξ1 
∂ξ 1 ∂ξ 2
(3.2.27)
25
3.3 Elemento Finito de Membrana
Las fuerzas externas estan dadas por
Z
Z
ext
fiI =
NI ρ0 bi dΩ0 +
Ω0
ΓN
0
NI t̄0i dΓ0
(3.2.28)
y las fuerzas cinéticas, las cuales son una consecuencia del trabajo virtual cinético, vienen
dadas por
Z
Z
cin
cin
fiI =
NI ρ0 NJ üiJ dΩ0 = fiI =
NI ρ0 NJ dΩ0 üiJ
(3.2.29)
Ω0
Ω0
Aunque es común expresar la fuerzas cinéticas como el producto de la matriz de masa y las
aceleraciones
Z
MijIJ = δij
ρ0 NI NJ dΩ0
(3.2.30)
Ω0
Expresando las fuerzas cinéticas como
fiIcin = MijIJ UiJ = MijIJ ajJ
(3.2.31)
Finalmente la ecuación de movimiento está dada por
fiIint + MijIJ ajJ = fiIext
o
fint + Ma = fext
3.3.
Elemento Finito de Membrana
3.3.1.
Formulación de Membrana.
(3.2.32)
La formulación de membrana se tomó directamente de las investigaciones realizadas por
Váldes y otros (2007). Lo primero que se tiene que hacer es definir las coordenadas a utilizar en la formulación. Puesto que en general las membranas pueden ser estructuras curvas,
en este trabajo se hace la deducción de la formulación utilizada en coordenadas curvilineas.
Para empezar, se definen las coordenadas curvilinear en configuración de referencia, que
se expresan por
X = X ξ1, ξ2
(3.3.1)
mientras que las coordenadas curvilineas en configuración deformada se define por
x = x ξ1, ξ2, t
(3.3.2)
La razón de escribir tanto las coordenadas en configuración de referencia como deformada
es porque al tratarse de estructuras altamente no-lineales, se hará un planteamiento que nos
permita hacer una formulación geometricamente no-lineal.
26
3. El Método de los Elementos Finitos
Figura 3.1 Coordenadas curvilineas.
Las bases covariantes de coordenadas curvilineas definidas en cornfiguración de referencia
y deformada respectivamente son:
∂x
∂X
,
gα = α
(3.3.3)
α
∂ξ
∂ξ
y forman un plano tangente a la superficie de la membrana, tal como se aprecia en la
figura 3.2
Gα =
Figura 3.2
Vector base covariante formando un plano tangente.
De esta manera, las normales a la membrana se determinan por
27
3.3 Elemento Finito de Membrana
G3 = G1 × G2 ,
N=
G3
,
kG3 k
g3 = g1 × g2 ,
n=
g3
kg3 k
(3.3.4)
en la configuración de referencia y deformanda respectivamente, y las normales son normalizadas de manera que sean unitarias. Los componentes métricos del tensor covariante se definen
por
Gαβ = Gα · Gβ ,
gαβ = gα · gβ
(3.3.5)
para la configuración de referencia y deformada respectivamente. Los componentes covariantes
del tensor métrico se definen por
Gα = Gαβ · Gβ ,
gα = g αβ · gβ
(3.3.6)
en configuración de referencia y deformada respectivamente. Los vectores contravariantes en
Ω0 y Ω son respectivamente
Gα = Gαβ · Gβ ,
gα = gαβ · gβ
(3.3.7)
donde los componentes contravariantes del tensor métrico se obtienen a partir de
Gα · Gβ = δβα ,
gα · gβ = δβα
donde δβα es la Delta de Kronecker y tiene los siguientes valores
(
1 cuando α = β
α
δβ =
0 cuando α 6= β
(3.3.8)
(3.3.9)
El tensor material gradiente de deformación en coordenadas curvilineas se expresa por
F = gα ⊗ Gα ,
F T = G α ⊗ gα ,
F−1 = Gα ⊗ gα ,
F−T = gα ⊗ Gα
(3.3.10)
cuyos valores se pueden sustitutir en el tensor de deformación de Green-Lagrange para obtener
1 T
(3.3.11)
F · F − I = Gα ⊗ gα · gβ ⊗ Gβ − Gαβ Gα ⊗ Gβ
2
de donde se obtienen los componentes sobre la superficie de la membrana es un estado de
esfuerzo plano
E=
1
(gαβ − Gαβ )
(3.3.12)
2
Utilizando una ecuación constitutiva apropiada, en este caso la ecuación bidimensional de
esfuerzo plano, se obtienen los valores del tensor de esfuerzos, que conjugado en potencia
resulta ser el 2◦ tensor de esfuerzos de Piola-Kirchhoff, definido como
E = Eαβ Gα ⊗ Gβ ,
Eαβ =
28
3. El Método de los Elementos Finitos
S = S αβ Gα ⊗ Gβ
(3.3.13)
Finalmente, el trabajo virtual interno expresado en coordenadas curvilineas es
Z
int
δW =
δEαβ S αβ dΩ0
(3.3.14)
Ω0
el cual tras una apropiada discretización se terminará expresando en coordenadas cartesianas.
3.3.2.
Discretización del MEF para Membrana.
3.3.2.1.
Discretización en coordenadas curvilineas.
La discretización se plantea para una Formulación Lagrangiana Total y los elementos finitos
utilizados provienen de un espacio isoparamétrico, cuyas coordenadas locales se denotan por
ξ α y representan las coordenadas curvilı́neas del elemento plano. De esta manera, la ecuación
de posición en coordenadas materiales se discretiza por
h
X (ξ) =
nX
node
NI (ξ) XI
o
Xih
(ξ) =
I=1
nX
node
NI (ξ) XiI
I=1
∀i = 1, ndime
(3.3.15)
donde NI (ξ) representa las funciones de forma del elemento. De manera similar, la ecuación
del movimiento se discretiza por
h
x (ξ, t) =
nX
node
NI (ξ) xI (t)
o
xhi
(ξ, t) =
I=1
nX
node
NI (ξ) xiI (t)
∀i = 1, ndime
(3.3.16)
nX
node
NI (ξ) uiI (t)
∀i = 1, ndime
(3.3.17)
I=1
y el campo de los desplazamientos resulta ser
h
u (ξ, t) =
nX
node
NI (ξ) uI (t)
o
uhi
(ξ, t) =
I=1
I=1
Susutituyendo los valores adecuados, se obtienen los vectores base covariante en coordenadas
curvilineas para la configuración de referencia que se expresa por
! n
nX
node
node
X
∂
NI,α (ξ) XI
(3.3.18)
NI (ξ) XI =
Gα = α
∂ξ
I=1
I=1
donde la derivada de las funciones de forma es
NI,α =
∂NI (ξ)
∂ξ α
(3.3.19)
29
3.3 Elemento Finito de Membrana
Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen los componentes del vector base covariante en
coordenadas curvilineas para la configuración deformada, siendo estas
gα =
nX
node
NI,α xI (t)
(3.3.20)
I=1
Con estas ecuaciones, se obtienes los componentes del tensor de deformación de GreenLagrange
1
Eαβ = (gαβ − Gαβ )
2
(3.3.21)
cuya variación es
1
1
(3.3.22)
δEαβ = δ(gαβ − Gαβ ) = δgαβ
2
2
Ahora se desarrolla la siguiente ecuación que nos permitirá discretizar de manera adecuada
la variación anterior
δgαβ = δgα · gβ + gα · δgβ
(3.3.23)
cuyas componentes se discretizan por
δgα =
nX
node
NI,α δxI =
I=1
nX
node
NI,α δuI
(3.3.24)
I=1
Sustituyendo los valores correspondientes se puede obtener la variación de los tensores métricos
dando lugar a
δgαβ =
nX
node
I=1
NI,α δuiI ·
nX
node
NJ,β xiJ +
J=1
nX
node
J=1
NJ,α xiJ ·
nX
node
NI,β δuiI
(3.3.25)
I=1
con lo cual se obtiene la variación del tensor de deformación de Green-Lagrange que se expresa
mediante
2δEαβ =
nX
node
I=1
NI,α δuiI ·
nX
node
NJ,β xiJ +
J=1
nX
node
J=1
NJ,α xiJ ·
nX
node
NI,β δuiI
(3.3.26)
I=1
y finalmente se obtiene el trabajo virtual interno, que discretizado queda de la siguiente
manera
2δW
int
=
Z
nX
node
Ω0 I=1
NI,α δuiI ·
nX
node
J=1
NJ,β xiJ S
αβ
+
nX
node
J=1
NJ,α xiJ ·
nX
node
NI,β δuiI S αβ dΩ0
I=1
Por otro lado, sabemos que el trabajo virtual interno se puede expresar por
(3.3.27)
30
3. El Método de los Elementos Finitos
δW
int
=
Z
nX
node
Ω0 I=1
δuiI fiIint
∀i = 1, ndime
(3.3.28)
De donde se obtiene las fuerzas internas para la membrana
fiIint
=
Z
Ω0
nnode
1 X
(NI,α NJ,β + NJ,α NI,β )xiJ Sαβ dΩ0
2 J=1
(3.3.29)
A partir de la ecuación anterior podemos definir el tensor de deformación-desplazamiento en
coordenadas curvilineas como
cur
BαβiI
nnode
1 X
(NI,α NJ,β + NJ,α NI,β )xiJ
=
2 J=1
(3.3.30)
y las fuerzas internas se expresan de manera sencilla por
Z
int
cur
fiI =
BαβiI
Sαβ dΩ0
(3.3.31)
Ω0
donde
1
cur
BαβiI
= (NI,α xhi,β + NI,β xhi,α )
2
(3.3.32)
y
xhi,α
=
nX
node
= NJ,α xiJ
(3.3.33)
J=1
Si utilizamos la notación de Voigt, se pueden expresar las fuerzas internas en coordenadas
curvilineas por
Z
Z
int
T cur
b cur
int
fa =
[Bab ] {S } dΩ0 o fI =
[BTI ]cur {S}cur dΩ0
(3.3.34)
Ω0
Ω0
donde ahora la matriz deformación-desplazamiento se expresa por

h
h
∂NI ∂x1
∂ξ 1 ∂ξ 1
Bcur
I



=



∂NI ∂xh
1
∂ξ 2 ∂ξ 2
∂NI ∂xh
1
∂ξ 1 ∂ξ 2
+
∂NI ∂xh
1
∂ξ 2 ∂ξ 1
∂NI ∂x2
∂ξ 1 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
2
∂ξ 2 ∂ξ 2
∂NI ∂xh
2
∂ξ 1 ∂ξ 2
+
∂NI ∂xh
2
∂ξ 2 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
3
∂ξ 1 ∂ξ 1
∂NI ∂xh
3
∂ξ 2 ∂ξ 2
∂NI ∂xh
3
∂ξ 1 ∂ξ 2
+
∂NI ∂xh
3
∂ξ 2 ∂ξ 1








(3.3.35)
Con las ecuaciones anteriores, se encuentra que la expresión del trabajo virtual interno en
notación de Voigt se puede escribir por
31
3.3 Elemento Finito de Membrana
T cur
δW int = {δEbT }cur {S b }cur = {δua }T [δBab
] {S b }cur
(3.3.36)
de donde la variación del tensor de Green-Lagrange en coordenadas curvilineas y en notación
de Voigt es
cur
δEbcur = Bba
δua
3.3.2.2.
(3.3.37)
Discretización en coordenadas cartesianas
Las ecuaciones anteriores se encuentran expresadas en coordenadas curvilineas, sin embargo
para nuestros análisis requerimos que se expresen en coordenadas cartesianas, para lo cual
partiremos de la ecuación de transformación de sistemas expresada por
cur
Ecur = J̄ξ Eloc J̄xi
(3.3.38)
donde el Jacobiano de transformación en la configuración de referencia es
G1 · eloc
G2 · eloc
J11 J12
1
1
J̄ξ =
=
G1 · eloc
G2 · eloc
0 J22
2
2
(3.3.39)
De manera similar, se puede obtener la siguiente ecuación que transforma de coordenadas
curvilineas a cartesianas
Eloc = TξT E cur Tξ
(3.3.40)
donde la inversa del jacobiano se denota por
Tξ = ξ
−1
T
T
= 11 12
0 T22
(3.3.41)
donde
T11 =
1
,
J11
T12 =
−J12
,
J11 J22
T22 =
1
J22
(3.3.42)
En notación de Voigt, las ecuaciones anteriores se escriben mediante
{E}loc = [Q]{Ecur }Ecloc = Qcb Ebcur
(3.3.43)
También se obtiene por otro lado la variación del tensor de Green-Lagrange dando lugar a
δEloc = TTξ δEcur Tξ
(3.3.44)
el cual puede ser escrito en notación de Voigt por
{δE}loc = [Q]{δE}cur
o
δEcloc = Qcb δEbcur
(3.3.45)
32
3. El Método de los Elementos Finitos
En las ecuaciones anteriores se ha utilizado la matriz de transformación Q, que da el cambio
de coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, y se define por


2
T11
0
0
2
2
T22
T11 T12 
(3.3.46)
Q =  T12
2T11 T12 0 T11 T22
Entonces el trabajo virtual interno escrito en coordenadas cartesianas locales para cada elemento finito es
T loc loc
T cur T loc
δW int = {δEcT }loc Scloc = {δua }T [Bac
] Sc = {δua }T [Bab
] Qbc Sc
(3.3.47)
donde el tensor deformación-desplazamiento expresado en coordenadas cartesianas y en notación de Voigt es
cur
loc
Bca
= Qcb Bba
o
Bloc = QBcur
(3.3.48)
Finalmente las fuerzas internas coordenadas cartesianas locales para cada elemento finito y
en notación de Voigt están dadas por
Z
Z
int
T cur
T
loc
loc
loc
fI =
[BI ] [Q ]{S} dΩ0 =
[BT
(3.3.49)
I ] {S} dΩ0
Ω0
Ω0
Hay que resaltar que la ecuación anterior se encuentra definida solamente en coordenadas
cartesianas locales, lo que quiere decir que es válida solamente para materiales isótropos.
Sin embargo, en este trabajo se requiere de la parte membranas solo como una componente
de la parte de flexión que en conjunto dará las fuerzas internas del elemento lámina, que a
continuación se complementa.
3.4.
Elemento Finito de Lámina (Shell)
3.4.1.
Formulación del Elemento Lámina
El vector de posición R̃ sobre la superficie media en la configuración de referencia esta definido
por las coordenadas curvilineas independientes ξ1 , ξ2 y ζ como (Ver Váldes y otros (2007))
R̃(ξ 1 , ξ 2 , ζ) = X(ξ 1 , ξ 2 ) + ζN(ξ 1 , ξ 2 )
(3.4.1)
donde N es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω0 y − h20 ≤ ζ ≤ h20 siendo h0
el espesor de la shell en la configuración de referencia, tal como aparece en la Figura 3.1.
El vector de posición r̃ en la configuración actual está dada por
r̃(ξ 1 , ξ 2 , ζ, t) = x(ξ 1 , ξ 2 , t) + ζλ(ξ 1 , ξ 2 , t)n(ξ 1 , ξ 2 , t)
(3.4.2)
33
3.4 Elemento Finito de Lámina (Shell)
Figura 3.3 Shell superficie media.
donde n es la normal para la superficie media sobre el dominio Ω y λ es el estiramiento del
espesor referido al espesor h para la deformación de la shell respecto al espesor h0 cuando la
shell no está deformada. Sin embargo el termino λ no es considerado en nuestro caso.
El vector base covariante del sistema de coordenadas curvilineas en Ω0 está definido por
G̃α =
∂X
∂N
∂ R̃
= α + ζ α = Gα + ζN,α
α
∂ξ
∂ξ
∂ξ
(3.4.3)
∂ R̃
=N
∂ξ
Aquı́ Gα es el vector base en la configuración de referencia. Los vectores base covariante en
la configuración actual Ω estan dados por
G̃3 =
∂x
∂n
∂r̃
= α + ζ α = gα + ζn,α
(3.4.4)
α
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂r̃
g̃3 =
=n
∂ξ
donde las gα son los vectores base en la configuración actual. El vector base contravariante
se obtiene a partir de las siguientes relaciones
g̃α =
i
G̃ · G̃j = δji ,
g̃i · g̃j = δji
(3.4.5)
G̃ij = G̃i · G̃j ,
g̃ij = g̃i · g̃j
(3.4.6)
donde δji es la delta de Kronecker. El tensor métrico covariante en ambas configuraciones viene
dado como
Los componentes del tensor de deformación de Green-Lagrange vienen dados como la diferencia entre el tensor métrico covariante en la configuracion actual y la de referencia de la shell
teniendo
34
3. El Método de los Elementos Finitos
1
g̃ij − G̃ij
(3.4.7)
2
El tensor de deformación de Green-Lagrange se puede desarrollar para ser escrito en la forma
Eij =
Eij = ǫij + ζκij + ζ 2 γij
(3.4.8)
donde los componentes no-zero de la expresión anterior estan dados por
ǫαβ =
1
g α · gβ − G α · G β
2
ǫα3 =
1
(g · n − Gα · N)
2 α
ǫ33 =
καβ = gα · n,β −Gα · N,β
1
(n · n − N · N) (3.4.9)
2
(3.4.10)
1
(n,α ·n,β −N,α ·n,β )
(3.4.11)
2
En este trabajo se han utilizado solamente láminas que trabajan con la teorı́a de KirchhoffLove para láminas delgadas, por lo que la normal n coincide en todo momento con la normal
de la superficie media del elemento. Por lo tanto, todos los valores ǫα3 y ǫ33 desaparecen y los
valores ζ 2 se desprecian en el caso de láminas delgadas.
Estas consideraciones permiten obtener los componentes del tensor de deformación de
Green-Lagrange a partir de la deformación de la superficie media de la lámina como
γαβ =
memb
bend
Eαβ = ǫαβ + ζκαβ = Eαβ
+ ζEαβ
(3.4.12)
donde
1
(gαβ − Gαβ )
(3.4.13)
2
mide las deformaciones de membrana y es exactamente la misma que se expresa en el apartado
de membranas anteriormente descrito. Por otro lado, se va a desarrollar la parte de flexión de
la lámina, la cual es conveniente escribir de la siguente manera
ǫαβ =
καβ = Gα,β · N − gα,β · n = Kαβ − kαβ
(3.4.14)
La variación del tensor de deformación de Green-Lagrange se puede descomponer en dos
partes, dando como resultado
memb
bend
+ ζδαβ
δEαβ = δαβ
(3.4.15)
Usando una ecuación constitutiva apropiada para relacionar el tensor de deformación de
Green-Lagrange con el tensor de esfuerzos, se puede obtener trabajo virtual interno que viene
expresado por
35
3.4 Elemento Finito de Lámina (Shell)
δW
3.4.2.
int
=
Z
Ω¯0
Z
+h
2
−h
2
δEαβ S αβ dζdΩ̄0
(3.4.16)
Discretización del MEF para Láminas
La discretización utilizada en este trabajo hace referencia a la formulación del tipo Lagrangiana Total. Ya que la parte de deformaciones membranales ya se discretizó, abordaremos
solamente de manera general la parte de deformaciones por flexión.
Ya que las formulaciones geométricamente no-lineales son muy complejas cuando existen
grados de libertad por rotación, en este trabajo se utiliza el elemento de lámina denominado
triángulo de sin-rotación que a pesar de las apariencias que pueda ocasionar el no tener grados
de libertad de rotación asociados a la felxión, permite obtener soluciones geometricamente
exactas para láminas no-lineales utilizando solamente grados de libertad de desplazamiento.
Esto se consigue utilizando un patch de elementos que forman un elemento principal del tipo
triangular y sus tres elementos laterales.
La parte de flexión de la lámina se discretiza a partir del trabajo virtual interno de flexión,
el cual está expresado por
δW
int
=
Z
Ω¯0
Z
+h
2
−h
2
bend αβ
δEαβ
Sbend dΩ̄0 dζ
(3.4.17)
Las deformaciones debidas a la flexión en la configuración deformada se expresan por
kαβ = gα,β · n
(3.4.18)
las cuales pueden ser escritas de la siguiente manera
kαβ
1
=
A0
Z
Ω¯0
gα,β dΩ̄0 · n
(3.4.19)
y después de aplicar el teorema de la divergencia se transforma en
kαβ
1
=
A0
Z
Γ¯0
n̄β gα dΓ¯0 · n
(3.4.20)
Aquı́ ya se hacen operaciones para un tipo de elemento en particular y es que al hacer la
formulación para un elemento triangular de 3 nodos, existen 3 elementos adyacentes, lo que
nos permite expresar la curvatura de la siguiente manera
kαβ =
nsides
1 X
lJ n̄Jβ gα · n
A0 J=1
(3.4.21)
36
3. El Método de los Elementos Finitos
Para hacer una discretización consistente con el sistema cartesiano de la parte membranal, se
cambia la parte de flexión de coordenadas curvilineas a coordenadas cartesianas, para lo cual
las bases covariantes se escriben explicitamente por
 ∂NI 
nX
node
∂ξ
g1
 xI (t)

=
g2
∂NI
I=1
(3.4.22)
∂η
El jacobiano para hacer dichas transformaciones es
g1 · ef1 ib g2 · ef1 ib
Jξ =
g1 · ef2 ib g2 · ef2 ib
(3.4.23)
y entonces, las derivadas cartesianas se pueden obtener a partir de la siguiente expresión
 ∂NI 
 ∂NI 
∂ξ
∂x

∂NI
∂y

 = J−T
ξ
∂NI
∂η

(3.4.24)
Entonces, la base covariante se puede escribir en forma cartesiana de la siguiente manera
 ∂NI 
h nX
node
∂x
x,1
 xI (t)

(3.4.25)
=
xh,2
∂NI
I=1
∂y
Las curvaturas en configuración deformada, escritas en notación de Voigt se expresan como
viene dado a continuación
 
 J
 h

nX
x,1 · n
k11
n̄1 0
sides
k22  = 1

lJ  0 n̄J2  
(3.4.26)
A0 J=1
J
J
h
k12
n̄2 n̄1
x,2 · n
Debido a los problemas de curvatura que presentan los elementos triangulares de tres nodos,
se recurre a la utilización del patch de manera que se toman en cuenta la deformación de
los elementos adyacentes y de esta forma se puedan calcular las curvaturas adecuadamente.
Entonces, la ecuación de las curvaturas en configuración deformada se expresan por
 1 M

 J
 
nX
(x,1 + xJ,1 ) · n
n̄1 0
k11
sides
2

k22  = 1
(3.4.27)
lJ  0 n̄J2  
A0 J=1
1
J
J
M
J
n̄2 n̄1
(x
+
x
)
·
n
k12
,2
,2
2
las cuales se pueden simplificar para obtener

 J
 
 J
nX
x,1 · n
k11
n̄1 0
sides

k22  = 1
lJ  0 n̄J2  
2A0 J=1
J
J
J
x,2 · n
n̄2 n̄1
k12
(3.4.28)
37
3.4 Elemento Finito de Lámina (Shell)
donde se ha utilizado la siguiente expresión
J
x,1
=
xJ,2
nX
node
I=1



∂NIJ
∂x
∂NIJ
∂y

 J
 xI
(3.4.29)
El mismo procedimiento puedes ser utilizado para encontrar las deformaciones por flexión en
la configuración de referencia, llegando a


 J
 J
nX
X,1 · N
K11
n̄1 0
sides

K22  = 1
LJ  0 n̄J2  
2A0 J=1
J
J
J
K12
n̄2 n̄1
X,2 · N

(3.4.30)
Finalmente el tensor de deformación por flexión en notación de Voigt esta dado por
{E}bend
cuya variación es
  
 
k11
K11
κ11
= κ22  = K22  − k22 
k12
K12
κ12

δ{E}bend
donde
(3.4.31)



δk11
δκ11
= δκ22  = − δk22 
δk12
δκ12

(3.4.32)

 J
 J

nX
δ(x,1 · n)
δk11
n̄1 0
sides
δk22  = 1

lJ  0 n̄J2  
2A0 J=1
J
J
J
δk12
n̄2 n̄1
δ(x,2 · n)

(3.4.33)
Tras una apropiada discretización de la parte variacional se llega a obtener


δk11
δk22  = 1
2A0
δk12

n̄J1

0
lJ  0 n̄J2 
J=1
n̄J2 n̄J1 I=1
 J
nX
n̄1
sides
1
J 
0
l
−
2A0 J=1
n̄J2
nX
sides
nX
node



∂NIJ
∂x
∂NIJ
∂y


J
 n · δuI +
 ∂NI J
x · x̃h,1 +
0 nX
node
∂x ,1

n̄J2 
J
I
n̄1 I=1 ∂N
xJ · x̃h,1 +
∂x ,2

∂NI J
x
∂y ,1
· x̃h,2
∂NI J
x
∂y ,2
x̃h,2
·
y finalmente la variación del tensor en su parte de flexión se escribe como

 n · δuI (3.4.34)
38
3. El Método de los Elementos Finitos
δ{E}bend =
1
2A0
nX
sides
J=1
 ∂NI J


I
x · x̃h,1 + ∂N
xJ · x̃h,2
n̄J1 0 nX
node
∂x ,1
∂y ,1

 n · δuI +
lJ  0 n̄J2 
∂NI J
∂NI J
h
h
J
J
n̄2 n̄1 I=1 ∂x x,2 · x̃,1 + ∂y x,2 · x̃,2
 J
 J

∂NI
nX
n̄1 0 nX
sides
node
1
 ∂x 
J
lJ  0 n̄J2 
−
 n · δuI (3.4.35)

J
2A0 J=1
n̄J2 n̄J1 I=1 ∂NI

∂y
La expresión anteriormente descrita se puede simplificar y escribirse en forma compacta como
δ{E}bend = [B]main δuI + [B]adj δuJI
(3.4.36)
donde ha aparecido la expresión para la matriz deformación-desplazamiento por flexión para el
elemento principal [B]main y una correspondiente para los elementos adyacentes denominada
[B]adj . La matriz completa de deformación-desplazamiento para la flexión se expresa por
[B]bend = [B]main + [B]adj
3.5.
(3.4.37)
Elementos Mecánicos: Fuerzas y Momentos
Los resultados proporcionados por el elemento lámina son deformaciones de membrana y de
flexión, asociadas a esfuerzos. Estos últimos se pueden transformar para dar lugar a fuerzas axiales y momentos flexionantes que son de gran utilidad desde el punto de vista de la
ingenierı́a civil.
La ecuación que nos permite encontrar los esfuerzos se presenta a continuación y toma en
cuenta las deformaciones de membrana y flexión vistas anteriormente, lo que da lugar a
{S} = [C] · {E} = [C] · {E}memb + ζ{E}bend
(3.5.1)
El trabajo virtual correspondiente se puede encontrar utilizando la siguiente ecuación
δW
int
=
Z
Ω¯0
Z
+h
2
−h
2
δ{E}memb + ζδ{E}bend · [C] {E}memb + ζ{E}bend dζdΩ̄0
(3.5.2)
la cual se puede dividir en dos partes, de donde se obtiene
δW
int
=
Z
Ω¯0
Z
+h
2
−h
2
δ{E}memb · [C]{E}memb dζdΩ̄0 +
Z
Ω¯0
Z
+h
2
−h
2
ζ 2 {E}memb · [C]{E}memb dζdΩ̄0 (3.5.3)
39
3.6 Elementos Finitos para Fluidos
Ya que en este trabajo se está utilizando una modelo linealmente material para la ecuación
constitutiva, la integración del trabajo interno se puede calcular explicitamente para dar lugar
a
h3
δ{E}bend · [C]{E}bend
(3.5.4)
12
y los momentos flexionantes {M}res se obtiene a partir de
δW int = A0 hδ{E}memb · [C]{E}memb + A0
donde las fuerzas axiales {N}res
{N}res = h[C]{E}memb
h3
{M}res = [C]{E}bend
12
(3.5.5)
Finalmente la expresión de las fuerzas internas para la lámina con elementos sin grados de
libertad por rotación son
bend
memb
{M}res
{N}res + A0 BT
fint = A0 BT
(3.5.6)
donde todas las expresiones relacionadas con la parte membranas se vieron en el tema anterior.
3.6.
Elementos Finitos para Fluidos
Una parte muy importante utilizada en este trabajo está relacionada con la dinámica computacional de fluidos, que a diferencia de la parte estructural que está formulada en la configuración lagrangiana, la parte de fluidos se formulará en configuración euleriana.
Las ecuaciones del continuo que se utilizan para resolver la parte del fluido son: las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación de continuidad, ya que se trata de fluidos incompresibles
que para el caso de fluidos compresibles como el viento, se puede utilizar la misma formulación
que para fluidos incompresibles si se manejan velocidades menos a Mach 0.3.
Las ecuaciones del continuo para Navier-Stokes en el caso incompresible son
Z
δvi
Ω
∂vi
∂vi
+ ρvj
ρ
∂t
∂xj
∂δvi
dΩ − p
dΩ +
Ω ∂xi
Z
Z
∂vi ∂δvi
µ
dΩ =
Ω ∂xj ∂xj
Z
δvi ρbi dΩ
(3.6.1)
Ω
mientras que para la parte de la incompresibilidad de la ecuación de continuidad es
Z
∂vj
δp
dΩ = 0
(3.6.2)
∂xj
Ω
La discretización de las velocidades usando la forma debil de Galerkin para cualquier tipo
de elemento finito es
vih (x, t) =
nX
node
I=1
NI (x)viI (t)
∀i = 1, ndime
(3.6.3)
40
3. El Método de los Elementos Finitos
donde NI (x) son las funciones de forma en coordenadas eulerianas y viI (t) son los valores
nodales de la campo de la velocidad. Las funciones varacionales de la velocidad vienen dadas
por
δvih (x)
=
nX
node
NI (x)δviI
I=1
∀i = 1, ndime
(3.6.4)
La aceleración se encuentra utilizando la derivada material de la velocidad, la cual es aproximada de manera discreta por
nX
node
∂vih (x, t)
=
NI (x)v̇iI (t)
∂t
I=1
∀i = 1, ndime
(3.6.5)
Los gradientes de la velocidad y de la variación de la velocidad se discretizan por
nX
node
∂NI (x)
∂vih (x, t)
=
viI (t)
∂xj
∂xj
I=1
nX
node
∂δvih (x)
∂NI (x)
=
δviI
∂xj
∂xj
I=1
∀i, j = 1, ndime
∀i, j = 1, ndime
(3.6.6)
(3.6.7)
mientras que la divergencias se obtienen por
nX
node n
node
X
∂δvih (x)
∂NI (x)
=
δviI
∂xi
∂x
i
I=1 i=1
nX
node n
node
X
∂vih (x, t)
∂NI (x, t)
=
δviI (t)
∂xi
∂x
i
I=1 i=1
(3.6.8)
(3.6.9)
Por otro lado, la presión se aproxima mediante la siguiente ecuación
p(x, t)
nX
node
NI (x)pI (t)
(3.6.10)
nX
node
NI (x)δpI
(3.6.11)
I=1
mientras que su variación de la presión es
δp(x)
I=1
Con las ecuaciones anteriormente vistas, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se
discretizan de la siguiente manera
41
3.6 Elementos Finitos para Fluidos
Z
Ω
∂v h
δvih ρ i dΩ
∂t
Z
= δviI
NI ρNJ v̇iJ dΩ
Ω
Z
= δviI
NI ρNJ δij dΩv̇jJ
(3.6.12)
Ω
= δviI MijIJ v̇jJ
donde la matriz de masa en descripción euleriana es
Z
MijIJ = δij
ρNI NJ dΩ
(3.6.13)
Ω
La discretización del término convectivo se expresa por
Z
∂v h
δvih ρvjh i dΩ
∂xj
Ω
∂NJ
= δviI
viJ dΩ
NI ρv h
∂xj
Ω
Z
∂NJ
δij dΩvjJ
= δviI
NI ρv h
∂xj
Ω
c
vij
= δviI KijIJ
Z
(3.6.14)
donde v h es la aproximación del vector velocidad, y la matriz de rigidez del término convectivo
se define por
Z
∂NJ
c
KijIJ = δij
ρNI v h
dΩ
(3.6.15)
∂xj
Ω
El término de la presión queda discretizado por
Z
Z
∂NI
∂δvih
dΩ = δviI
NJ pJ dΩ = δviI GiIJ pJ
p
∂xi
Ω ∂xi
Ω
donde se ha utilizado la siguiente expresión en el término de la presión
Z
∂NI
GiIJ =
NJ dΩ
Ω ∂xi
El término viscoso, por otra parte, se aproxima mediante
Z
Ω
Z
∂NI ∂NJ
∂vih ∂δvih
dΩ = δviI
µ
viJ dΩ
∂xj ∂xi
∂xj
Ω ∂xj
Z
∂NI ∂NJ
µ
δij dΩviJ
= δviI
∂xj
Ω ∂xj
v
= δviI KijIJ
vjJ
(3.6.16)
(3.6.17)
(3.6.18)
42
3. El Método de los Elementos Finitos
donde la matriz de rigidez del término viscoso esta dada por
Z
∂NI ∂NJ
v
KijIJ = δij µ
µ
dΩ
∂xj
Ω ∂xj
(3.6.19)
Ya que la variación de la velocidad δviI es arbitraria, entonces las fuerzas resultantes de las
expresiones de Navier-Stokes se pueden escribir de manera matricial de la siguiente manera
Mv̇ + K(v)v − Gp = fext
(3.6.20)
donde la rigidez K(v) comprende tanto la parte viscosa como la parte convectiva. La forma
matemática compacta de al ecuación anterior es
(∂t vh , wh ) + c(vh , vh , wh ) − b(ph , wh ) + a(vh , wh ) = (bh , wh )
(3.6.21)
donde se ha introducido una nueva función de test dada por
w(x) =
nX
node
NI (x)
(3.6.22)
I=1
Por otro lado, partiendo de la ecuación de continuidad se ha discretizado término que le da
su carácter de incompresibilidad a las ecuaciones de Navier-Stokes, de donde la divergencia
de la velocidad se discretiza por
Z
∂δvjh
δp
dΩ = δpI
∂xi
Ω
Z
NI
Ω
∂NJ
vjJ dΩ = δpI GTjIJ vjJ
∂xi
(3.6.23)
donde la matriz de divergencia es
GTjIJ
Z
NI
Ω
∂NJ
dΩ
∂xj
(3.6.24)
Ya que la variación de la presión es arbitraria, entonces la ecuación de continuidad se puede
escribir reducida de la siguiente manera
GT v = 0
(3.6.25)
la cual puede ser escrita en forma compacta utilizando la siguiente expresión matemática
b(qh , v h ) = 0
(3.6.26)
donde la función de prueba se discretiza por
qh (x) =
nX
node
I=1
NI (x)
(3.6.27)
43
3.7 Interacción Fluido-Estructura
Finalmente hay que resaltar que tanto las ecuaciones de Navier-Stokes conjuntamente con la
ecuación de continuidad están acopladas, de manera que el problema a resolver se reduce a
resolver las siguientes ecuaciones monolı́ticamente
Mv̇ + K(v)v − Gp = fext
GT v = 0
(3.6.28)
Las ecuaciones anteriores se expresan matemáticamente en forma compacta por
(v̇h , wh ) + c(vh , vh , wh ) − b(ph , wh ) + a(vh , wh ) = (bh , wh )
b(qh , v h ) = 0
(3.6.29)
ecuaciones que conducen finalmente al planteamiento de un sistema de ecuaciones. Hay que
resaltar que para que dichas ecuaciones funcionen adecuadamente, hay que estabilizarlas mediante algún método conocido, como lo es el método de SUPG, SUPG/PSPG, ASGS o OSS.
En este trabajo se optó por utilizar el método de las sub-escalas ortogonales OSS del Prof.
Ramón Codina.
3.7.
Interacción Fluido-Estructura
Una vez que se ha trabajado en la formulación y discretización tanto de la parte de sólidos y
estructuras, como de la parte de fluidos (viento), el siguiente paso es resolver la interacción
que hay entre ellos para de esta forma poder predecir la aeroelasticidad del sistema de una
manera conjunta. El procedimiento de cálculo es el siguiente (Ver Váldes y otros (2007)):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Se
Se
Se
Se
Se
Se
Se
resuelve el fluido con las velocidades de diseño calculadas
calculan las fuerzas de fluido sobre la estructura
pasan las fuerzas de fluido al solver de la estructura
resuelve la estructura con las fuerzas del fluido proporcionadas
pasan los desplazamientos al solver del fluido
mueve el dominio del fluido para que se ajuste al contorno de la estructura
repite el procedimiento desde el paso 1.
Estos sencillos pasos se hacen para cada instante de tiempo de análisis, que en la mayorı́a
de los cálculos basados en ingenierı́a civil tienen un valor de una milésima de segundo.
Hay que resaltar que tanto la parte estructural como la del fluido son no-lineales, por lo
que se necesitan de varias iteraciones en un mismo paso de tiempo para encontrar la solución
adecuada de un solo paso de tiempo (pasos del 1. al 7.) y después repetir el proceso tantas
veces sea necesario.
Capı́tulo 4
Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
4.1.
Antecedentes.
El análisis comprenderá la versión tanto de 1993 como de 2008 del Manual de Diseño por
Viento de la CFE. La estructura analizada, en este caso una chimenea de acero está ubicada
en la ciudad de Salamanca, Guanajuato. En el interior de la Refinerı́a de Salamanca Ing.
Antonio M. Amor, la cual pertenece a Petróleos Mexicanos empresa más reconocida como
PEMEX.
Esta Chimenea presenta una geometrı́a de tipo tronco-cónica en su parte de faldón y
una forma cilı́ndrica en su parte superior además presenta dimensiones considerables, pues
tiene una altura de 45.52 metros, un diámetro inferior y superior de 4.000 m y de 2.131 m
respectivamente, Figura 4.1.
Figura 4.1 Chimenea
44
45
4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
4.2.
Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por viento publicado en México 1993. Es el manual
con el que la mayorı́a de estructuras en México han sido diseñadas considerando el efecto del
viento (Ver C.F.E. (1993)).
4.2.1.
Clasificación de la Estructura.
De acuerdo al grado de seguridad de las estructuras, una chimenea debe de contar con un
grado de seguridad elevado y queda definida en el GRUPO A. De acuerdo a la sensibilidad y
respuesta dinámica ante la presencia del viento, una chimenea está clasificada como TIPO 3.
4.2.2.
Velocidad de Diseño CFE 1993.
La velocidad de diseño VD , es la velocidad a partir de la cual se calculan los efectos del
viento sobre la estructura o sobre un componente de la misma. En la Figura 4.2 se muestra
el procedimiento general para calcular las cargas por viento. La velocidad de diseño en km/h
se obtendrá como
VD = F T F α VR
(4.2.1)
donde
FT es un factor que depende de la topografı́a del sitio, adimensional.
Fα el factor que toma en cuenta el efecto combinado de las caracterı́sticas de exposición
locales, del tamaño de la construcción y de la variación de la velocidad con la altura,
adimensional.
VR la velocidad regional que le corresponde al sitio en donde se construirá la estructura en
Km/h
El factor Fα se calcula con la ecuación
Fα = Fc Frz
(4.2.2)
donde
Fc es el factor que determina la influencia del tamaño de la construcción, adimensional.
Frz es el factor que establece la variación de la velocidad del viento con la altura Z
en función de la rugosidad del terreno de los alrededores y esta dado para nuestro caso
como, si Z < 10 el valor de Z se toma fijo como 10 y sino
α
Z
(4.2.3)
Frz = 1.56
δ
46
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.2 Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento
4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
47
El terreno en el que está desplantada la estructura corresponde a categorı́a 4 y la clase de la
estructura según su tamaño se considera como Clase C.
El valor de α se toma el valor de 0.193, mientras que el valor de δ se toma el valor de
455 m. Para Fc se toma el valor de 0.90, de acuerdo a la Clase C de la estructura, y para
FT se toma el valor de 1.0 que corresponde a un terreno prácticamente plano, campo abierto,
ausencia de cambios topográficos importantes, con pendientes menores a 5 %.
Para la velocidad regional se toma el valor de 140 km/h teniendo en cuenta las condiciones
mas desfavorables para la estructura y un periodo de retorno de 200 años.
Se presenta la tabla 4.1 para las secciones consideradas en el cálculo, en la tabla 4.2 se
presentan las Velocidades de diseño y en la figura 4.3 se presentan las secciones consideradas
ası́ como diámetros y alturas.
Figura 4.3 Esquema de Secciones consideradas, CFE 1993.
48
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Altura(m)
De 0.000 a 10.000
De 10.000 a 16.195
De 16.195 a 23.695
De 23.695 a 45.520
No. Sección
1
2
3
4
Z(m)
5.000
13.097
19.945
34.607
VR
140
140
140
140
Diam. Prom.(m)
3.423
2.488
2.131
2.131
AreaExp.(m2 )
34.23
15.416
15.982
46.509
Tabla 4.1 Secciones consideradas 1,2,3,4
Sección No.
1
2
3
4
Z(m)
5.000
13.098
19.945
34.608
FT
1
1
1
1
Fc
0.9
0.9
0.9
0.9
δ
455
455
455
455
α
0.193
0.193
0.193
0.193
Frz
0.747
0.787
0.853
0.949
Fα
0.672
0.708
0.768
0.854
VD (Km/h)
94.08
99.11
107.49
119.55
VD (m/s)
26.13
27.53
29.86
33.21
Tabla 4.2 Velocidades de diseño, CFE 1993.
4.2.3.
Presión Dinámica de Base.
Cuando el viento actúa sobre un obstáculo, genera presiones sobre su superficie que varı́a
según la intensidad de la velocidad y la dirección del viento. La presión que ejerce el flujo
del viento sobre una superficie plana perpendicular a él se denomina comúnmente presión
dinámica de base y se determina como
qZ = 0.0048GVD2
(4.2.4)
donde
G es el factor de corrección por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar.
VD la velocidad de diseño en km/h definida anteriormente.
qz la presión dinámica de base en kg/m2 .
El factor de 0.0048 corresponde a un medio de la densidad del aire 1/2 ρair y el valor de G se
obtiene como
G=
0.392Ω
273 + τ
donde
Ω es la presion barométrica, en mm de Hg.
τ la temperatura ambiental en o C
(4.2.5)
49
4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
Para la ciudad de Salmanca, Guanajuato, se tiene una altitud de 1720 m, e interpolando se
obtiene que Ω=624.72 y tomando una temperatura atmosférica de 20o C, se obtiene un valor
para G =0.8358.
En la tabla 4.3 se muestran los valores obtenidos para la presión dinámica de base.
Sección No
1
2
3
4
Z(m)
5.000
13.098
19.945
34.608
Ω
624.72
624.72
624.72
624.72
τ
20
20
20
20
G
0.8358
0.8358
0.8358
0.8358
VD (Km/h) qz (Kg/m2 )
94.08
35.51
99.11
39.41
107.49
46.35
119.55
57.34
Tabla 4.3 Presión Dinámica de base Kg/m2 , CFE 1993.
4.2.4.
Determinación del Tipo de Análisis.
Para determinar el tipo de análisis a considerar se deben evaluar dos condiciones
a) Relación H/D, es decir, 45.52m/4m = 11.38 > 5
b) Periodo fundamental de la estructura
El periodo fundamental de la estructura se evaluó haciendo uso del programa para análisis
estructural SAP2000 V.12. El modelo se muestra en la figura 4.4. Para el modelo se utilizaron
elementos tipo Shell. El periodo fundamental de la estructura resulto de 0.5773 seg y su
frecuencia natural de 1.7322.
Debido a los resultados anteriormente obtenidos, se realizará un análisis dinámico.
4.2.5.
Análisis Dinámico, Manual CFE.
El análisis dinámico permite evaluar los empujes ocasionados por la interacción dinámica
entre el flujo del viento y las estructuras.
En el análisis dinámico, las presiones y las fuerzas de diseño que aparecen cuando el viento
actúa en una dirección dada se determinan separadamente para dos direcciones ortogonales;
una de ellas es en la dirección del viento y la otra es transversal a la anterior.
4.2.5.1.
Presiones en la dirección del viento.
La presión total en la dirección del viento se calcula como
Pz = Fg Ca qz
donde
(4.2.6)
50
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.4
Modelo SAP2000 v.12
Fg es el factor de respuesta dinámica debida a ráfagas Ecuación 4.2.6, adimensional.
Ca el coeficiente de arrastre, adimensional, depende de la forma de la estructura.
qz la presión dinámica de base en la dirección del viento en kg/m2 .
Para nuestro análisis tenemos un Coeficiente de arrastre con d/b = 0.2/2.131=0.09 y H/b =
45.52/2.131=21.36, y Ca =1.18.
Fg =
1
[1 + gp (σ/µ)]
g2
(4.2.7)
donde
g es un factor de ráfaga, variable con la altura Z, ecuación (4.2.8) y si Z < 10 Z toma el
valor g = 10.
gp el factor pico o de efecto máximo de la carga de viento.
51
4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
σ/µ la relación entre la desviación estándar (raı́z cuadrada del valor cuadrático medio) de la
carga por viento y el valor medio de la carga por viento, Ecuación 4.2.9
η
Z
g = ḱ
δ
(4.2.8)
donde ḱ y η son adimensionales y dependen de la rugosidad del sitio de desplante y δ es la
altura gradiente en m.
Para categorı́a de terreno 4 se tiene: ḱ=1.457 ; η=-0.151 ; δ=455.
La relación σ/µ, se calcula como
σ
=
µ
s
kr
Cά
SE
B+
ζ
(4.2.9)
donde
kr
ζ
B
S
E
es un factor relacionado con la rugosidad del terreno
es el coeficiente de amortiguamiento crı́tico
es el factor de excitación de fondo
es la reducción por tamaño
es el factor que representa la relación de la energı́a de ráfaga con la frecuencia natural
de la estructura
Cά se calcula como
2ά
2 H
Cά = 3.46 (FT )
(4.2.10)
δ
Evaluando la ecuación (4.2.10) tenemos que
FT
δ
H
ά
Kr
ζ
Cά
es el factor de topografı́a = 1
es la altura gradiente = 455 m
es la altura total de la Chimenea = 45.52 m
para categorı́a de terreno 4 = 0.31
para categorı́a de terreno 4 = 0.14
= 0.0016
= 0.8302
Evaluando con los valores correspondientes se obtienen las tablas 4.4 a 4.11.
52
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Sección No.
1
2
3
4
Z(m)
5.000
13.098
19.945
34.608
b (m) H (m)
3.423 45.52
2.488 45.52
2.131 45.52
2.131 45.52
b/H
0.08
0.05
0.05
0.05
Factor B
1.25
1.30
1.30
1.30
Tabla 4.4 Factor de Excitación de Fondo, CFE 1993.
Sección No.
1
2
3
4
H
Z(m)
5.000
13.098
19.945
34.608
45.520
ḱ
1.457
1.457
1.457
1.457
1.457
δ
455
455
455
455
455
η
-0.151
-0.151
-0.151
-0.151
-0.151
Factor g
2.593
2.490
2.336
2.150
2.063
Tabla 4.5 Factor de Ráfaga, CFE 1993.
Sección No.
1
2
3
4
b/H
0.08
0.05
0.05
0.05
VH (Km/h)
126.05
126.05
126.05
126.05
gH
2.063
2.063
2.063
2.063
VH
61.10
61.10
61.10
61.10
η0
1.732
1.732
1.732
1.732
ωreducida
4.65
4.65
4.65
4.65
Factor S
0.022
0.038
0.038
0.038
Tabla 4.6 Factor de Reducción por tamaño, CFE 1993.
Sección No.
1
2
3
4
VH (Km/h)
61.10
61.10
61.10
61.10
gH
1.732
1.732
1.732
1.732
VH
4.65
4.65
4.65
4.65
η0
0.022
0.038
0.038
0.038
λinversa
0.1021
0.1021
0.1021
0.1021
Factor E
0.175
0.175
0.175
0.175
Tabla 4.7 Factor de Energia de rafaga-frecuencia natural, CFE 1993.
53
4.2 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 1993.
Sección No.
1
2
3
4
Kr
0.140
0.140
0.140
0.140
ζ
0.008
0.008
0.008
0.008
Cα
0.830
0.830
0.830
0.830
B
1.250
1.300
1.300
1.300
S
0.022
0.038
0.038
0.038
E
0.175
0.175
0.175
0.175
σ/µ
0.540
0.600
0.600
0.600
Tabla 4.8 Relación σ/µ, Ecuación 4.2.9
Sección No.
1
2
3
4
η0
1.732
1.732
1.732
1.732
B
1.250
1.300
1.300
1.300
S
0.022
0.038
0.038
0.038
E
0.175
0.175
0.175
0.175
η
0.008
0.008
0.008
0.008
ν
0.913
1.082
1.082
1.082
gp
4.180
4.200
4.200
4.200
Tabla 4.9 Factor pico o de efecto máximo de la carga de viento
Sección No.
1
2
3
4
g
2.593
2.490
2.336
2.150
gp
4.180
4.200
4.200
4.200
σ/µ
0.540
0.600
0.600
0.600
Fg
0.485
0.568
0.644
0.761
Tabla 4.10 Factor de respuesta dinámica debida a rafagas Ecuación 4.2.6
Sección No.
1
2
3
4
Z(m)
5.000
13.098
19.945
34.608
Ca
1.180
1.180
1.180
1.180
Tabla 4.11
Fg
0.485
0.568
0.644
0.761
Ca × Fg
0.572
0.670
0.760
0.898
qz (Kg/m2 )
35.509
39.407
46.353
57.341
Pz (kg/m2 )
20.31
26.39
35.25
51.50
Presiones de Diseño, CFE 1993.
NOTA: Realizando un seccionamiento más detallado para determinar la fuerza total horizontal
y el momento flexionante se tienen las tablas 4.12 y 4.13.
54
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Sección No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Z (m)
2.500
7.500
13.098
18.695
23.694
28.695
33.695
38.695
43.357
Ca
1.180
1.180
1.180
1.180
1.180
1.180
1.180
1.180
1.180
Tabla 4.12
Sección No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Z (m)
2.500
7.500
13.098
18.695
23.694
28.695
33.695
38.695
43.357
Fg
0.485
0.494
0.568
0.632
0.679
0.719
0.755
0.787
0.815
Ca × Fg
0.572
0.582
0.670
0.746
0.801
0.849
0.891
0.929
0.961
qz (Kg/m2 )
35.509
31.777
39.408
45.209
49.540
53.340
56.752
59.866
62.553
Pz (kg/m2 )
20.305
18.510
26.394
33.715
39.685
45.273
50.563
55.613
60.141
Presiones de Diseño, CFE 1993.
Area Exp.(m2 )
18.918
16.033
15.416
10.655
10.655
10.655
10.655
10.655
9.217
Pz (Kg/m2 )
20.305
18.510
26.394
33.715
39.685
45.273
50.563
55.613
60.141
P
Fz (kg)
384.126
296.758
406.900
359.229
422.839
482.386
538.752
592.557
554.291
4037.838
Mz (Kg × m)
960.316
2225.685
5329.575
6715.780
10018.748
13842.062
18153.249
22929.007
24032.399
104206.820
Tabla 4.13 Fuerza y Momento Resultante, CFE 1993.
4.2.5.2.
Fuerzas perpendiculares a la acción del viento.
En el diseño de estructuras Tipo 3, o de elementos con sección transversal pequeña comparada con su longitud, deberán tenerse en cuenta tanto las vibraciones generales causadas por
fuerzas alternantes debidas al desprendimiento de vórtices como las vibraciones locales de su
sección transversal originadas por dichas fuerzas. En las chimeneas, las vibraciones locales se
denominan efectos de ovalización de la sección transversal, Figura 4.5.
55
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
Figura 4.5
4.2.5.3.
Ovalización por efecto de vortices alternantes
Velocidad crı́tica de vórtices periódicos.
La velocidad crı́tica Vvc , es aquélla en la que la frecuencia del modo fundamental de la estructura, en dirección perpendicular a la del flujo del viento, se sincroniza con la frecuencia de
desprendimiento de vórtices alternantes, provocando efectos de resonancia transversal.
Para determinar la velocidad crı́tica, tenemos que evaluar el producto de n0 b2 = 1.732 ×
(2.131)2 = 7.87. Por lo que la velocidad crı́tica se calculará como:
Vvc = 18n0 b
(4.2.11)
Evaluando la Ecuación (4.2.11) tenemos Vvc = 66.44 Km/h. La velocidad de diseño a la altura
de la chimenea es de 126.05 Km/h.
Como la VD > Vvc se debe de tomar en cuenta las vibraciones generadas debido al desprendimiento de Vórtices alternantes.
4.3.
Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
En esta parte se hace referencia al Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Viento
publicado en México 2008. Representa la versión más actualizada que existe hasta ahora (Ver
C.F.E. (2008b)). En la figura 4.6 se muestra el procedimiento general.
4.3.1.
Clasificación de la Estructura.
De acuerdo al grado de seguridad de las estructuras, una chimenea debe de contar con un
grado de seguridad elevado y queda definida en el GRUPO A.
De acuerdo a la sensibilidad y respuesta dinámica ante la presencia del viento, una chimenea está clasificada como TIPO 3.
4.3.2.
Velocidad de Diseño CFE 2008.
La velocidad de diseño en km/h se obtendrá como
56
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.6 Diagrama de flujo del Procedimiento para obtener las cargas por viento, CFE 2008
57
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
VD = FT Frz VR
(4.3.1)
donde
FT es un factor que depende de la topografı́a local, adimensional.
Frz el factor que toma en cuenta el efecto de las caracterı́sticas de exposición local, adimensional.
VR la velocidad regional de ráfaga que le corresponde al sitio en donde se construirá la
estructura en Km/h
El factor Frz se calcula como
Frz = c
Frz = c
donde
Z
10
α
si Z ≤ 10
si 10 < Z < δ
(4.3.2)
(4.3.3)
Z es la altura por encima del terreno natural, a la cual se desea conocer la velocidad de
diseño, en m.
α el exponente que determina la forma de la variación de la velocidad del viento con la
altura, adimensional.
δ la altura medida a partir del nivel del terreno de desplante, por encima de la cual la
variación. de la velocidad del viento no es importante y puede suponerse constante; a
esta altura se le conoce como altura gradiente; en m.
c el coeficiente de escala de rugosidad, adimensional.
El terreno en el que está desplantada la estructura corresponde a categorı́a 4. Tomando en
cuenta esta consideración se obtienen los siguientes valores:
α
δ
c
FT
toma el valor de 0.170
toma el valor de 455 m
toma el valor de 0.815
se toma el valor de 1.0 que corresponde a un terreno prácticamente plano, campo abierto,
ausencia de cambios topográficos importantes, con pendientes menores a 5 %.
Para la velocidad regional se toma el valor de 140 km/h teniendo en cuenta las condiciones
mas desfavorables para la estructura y un periodo de retorno de 200 años.
En la tabla 4.14 se muestra el calculo de las velocidades de diseño que se utilizarán en el
modelo, y en la tabla 4.16 se muestra el calculo de las velocidades considerando la chimenea
dividida en diez secciones en figura 4.7 se muestran tales secciones.
58
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.7 Secciones consideradas en el cálculo
Sección
1.00
2.00
3.00
4.00
Altura (m) Alt. Prom. (m)
10.00
5.00
16.20
13.10
23.70
19.95
45.52
34.61
Frz
0.82
0.88
0.94
1.05
VD (Km/h)
114.10
123.85
132.12
147.63
VD (m/s)
31.69
34.40
36.70
41.01
Tabla 4.14 Velocidades de diseño para el modelo, CFE 2008.
59
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
Sección
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Altura(m)
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
45.52
Alt. Prom.(m)
2.50
7.50
12.50
17.50
22.50
27.50
32.50
37.50
42.50
45.26
Diam. Prom.
3.71
3.13
2.56
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
2.13
Area exp.
18.56
15.67
12.79
10.74
10.66
10.66
10.66
10.66
10.66
1.11
Tabla 4.15 Diámetros promedio y Áreas expuestas por cada sección, CFE 2008.
Sección
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Altura(m)
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
45.00
45.52
Frz
0.82
0.82
0.87
0.92
0.95
0.98
1.01
1.03
1.05
1.05
VD (Km/h)
114.10
114.10
122.24
128.37
133.33
137.53
141.18
144.42
147.34
147.63
VD (m/s)
31.69
31.69
33.96
35.66
37.04
38.20
39.22
40.12
40.93
41.01
Tabla 4.16 Velocidad de diseño por secciones, CFE 2008.
4.3.3.
Presión Dinámica de Base.
La presión dinámica de base se determina como
qz = 0.047GVD2 (en P a)
qz = 0.004GVD2 (en kg/m2 )
(4.3.4)
donde
G es el factor de corrección por temperatura y por altura con respecto al nivel del mar.
VD es la velocidad de diseño en km/h.
60
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
El valor de G se obtiene con la siguiente ecuación
G=
0.392Ω
273 + τ
(4.3.5)
donde
Ω es la presión barométrica, en mm de Hg.
τ es la temperatura ambiental en o C.
Para la ciudad de Salamanca, Guanajuato, se tiene una altitud de 1723 m. e interpolando se
obtiene el valor de Ω=624.49, y tomando una temperatura atmosférica de 20o c se encuentra
que G =0.8355.
En la tabla 4.17 se muestran los valores obtenidos para la presión dinámica de base.
Sección
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabla 4.17
4.3.4.
qz (Pa)
511.23
511.23
586.80
647.09
698.10
742.74
782.71
819.06
852.53
855.86
qz (kg/m2 )
52.21
52.21
59.93
66.09
71.29
75.85
79.94
83.65
87.07
87.41
Presión dinámica de base, CFE 2008.
Cálculo de la Presión Neta Estática.
La presión neta estática se determina como
pn = Kre Ca qz
(4.3.6)
en la que
Ca = 1.6+0.105ln
hr
b
donde
Ca es el coeficiente de arrastre obtenido con la Ecuación (4.3.7) en nuestro caso.
(4.3.7)
61
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
Kre es el factor de corrección por relación de esbeltez para la altura total de la estructura,
adimensional que interpolando obtuvimos un valor de 0.83.
qz es la presión dinámica de base.
hr es la altura promedio de la rugosidad de la superficie de la estructura, para acero pesado
tiene un valor de 1.5.
4.3.5.
Análisis Dinámico.
De acuerdo al tipo de estructura se considera un análisis dinámico de acuerdo a lo expuesto
anteriormente, en la determinación del tipo de análisis, en la Figura 4.8.
4.3.5.1.
Determinación de la velocidad media.
´
La velocidad media VD
, corresponde a un tiempo de promediado de diez minutos y se aplica
para determinar el factor de respuesta dinámica y en los problemas de aparición de vórtices
e inestabilidad aerodinámica. Se determina como
´
VD
FT F´rz VR
=
3.6
(4.3.8)
donde
VR es la velocidad regional de ráfaga, 140 Km/h.
FT el factor de topografı́a, 1.
F´rz el factor de exposición para la velocidad media, Ecuación (4.3.9)
F´rz = 0.702b̄
Z
10
α´
(4.3.9)
en la que
Z es la altura medida a partir del nivel medio del terreno, en la cual se desea calcular
la velocidad media del viento, en m. Para chimeneas se toma una altura de referencia
Z = 0.6 h, donde h es igual a 45.52 m.
b̄ es un coeficiente, adimensional. Para terreno categorı́a 4 tiene un valor de 0.55.
α´ el exponente adimensional, de la variación de la velocidad con la altura. Para terreno
categorı́a 4 tiene un valor de 0.29.
62
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Figura 4.8 Diagrama de flujo para el análisis dinámico, CFE 2008
4.3.5.2.
Determinación del factor de amplificación dinámica.
El factor de amplificación dinámica proporciona la fuerza máxima producida por los efectos
de la turbulencia del viento y las caracterı́sticas dinámicas de la estructura. Considera dos
contribuciones en la respuesta estructural, la parte cuasi-estática o de fondo y la de resonancia.
63
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
El factor de amplificación dinámica FAD se calcula como
√
1 + 2kp Iv (Zs ) B 2 + R2
FAD =
1 + 7Iv (Zs )
(4.3.10)
donde
Iv = Iv (Zs ) es el ı́ndice de turbulencia, evaluado a la altura de referencia, Zs =0.6 h,
Ecuación (4.3.11)
Zs es la altura de referencia, en m. Para el caso tiene un valor de 27.31 m.
B 2 es el factor de respuesta de fondo, adimensional. Ecuación (4.3.12).
R2 es el factor de respuesta en resonancia, adimensional. Ecuación (4.3.14).
kp es el factor pico, adimensional. Ecuación (4.3.17).
Zs
Iv (Zs ) = d¯
10
¯
Para nuestro caso, α´=0.29, Zs =27.31m, d=0.43
B2 =
1+
donde
3
2
r
D
L(Zs )
1
2 −α´
h
L(Zs )
2 (4.3.11)
(4.3.12)
Dh
L2 (Zs )
D es el diámetro promedio de la sección transversal de la estructura, en m.,
Dprom =2.432m.
h es altura total de la estructura, en metros igual a 45.52 m.
L = L(Zs )] es la longitud de escala de turbulencia, evaluada a la altura de referencia Zs ,
y calculada con la Ecuación (4.3.13)
L(Zs ) = 300
en la que Zs = 27.31m, ᾱ=0.67
R2 =
Zs
200
ᾱ
π
SL (Zs , n1,x )Ks (n1,x )
4ζt,x
(4.3.13)
(4.3.14)
donde
SL (Zs , n1,x ) es la densidad de potencia del viento, Ecuación (4.3.15).
n1,x es la frecuencia natural de vibrar de la estructura, en Hz. Igual a 1.7322 Hz.
64
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Ks (n1,x ) es el factor de reducción de tamaño, adimensional. Ecuación (4.3.16).
6.8
SL (Zs,n1,x ) = h
1 + 10.2
n1,x L(Zs )
´ (Z )
VD
s
n1,x L(Zs )
´ (Z )
VD
s
(4.3.15)
i5/3
1
Ks (n1,x ) =
1+
s
2 2 Dn1,x
hn1,x
5.75 V´ (Zs ) + 3.19 V´ (Zs ) + 11.69
D
D
n21,x Dh
[VD´ (Zs )]
2
2
(4.3.16)
donde
D es el diámetro promedio de la sección transversal de la estructura, en m.
h es la altura total de la estructura, en m.
n1,x es la frecuencia natural de vibrar de la estructura, en Hz.
´
´
VD
= VD
(Zs ) es la velocidad media evaluada a la altura de referencia Zs , en m/s.
kp =
donde
p
0.6
2Ln(νT ) + p
≥ 3.0
2Ln(νT )
(4.3.17)
T es el intervalo de tiempo con el que se calcula la respuesta máxima, igual a 600 s.
ν es la frecuencia de cruces por cero o tasa media de oscilaciones, en Hz. Ecuación (4.3.18).
ν = n1,x
r
R2
≥ 0.08
B 2 + R2
En la tabla 4.18 se resumen los valores obtenidos para cada expresión.
(4.3.18)
65
4.3 Manual de Diseño de Obras Civiles CFE 2008.
Descripción
Altura de la estructura (m)
Altura de referencia (m)
Factor categoria de terreno 4
Factor categoria de terreno 4
Factor de Exposicion para la velocidad media
Velocidad Media (m/s)
Constantes terreno 4
Constantes terreno 4 (m)
Constantes terreno 4 (m)
Constantes terreno 4
Indice de Turbulencia
Longitud de escala de turbulencia
Diametro promedio (m)
Factor de respuesta de fondo
Frecuencia Fundamental de la estructura Hz
Densidad de potencia del viento
Factor de reducción de tamaño
Relación de amortiguamiento
Factor de respuesta en resonancia
Tasa media de Oscilacion Hz
Intervalo de tiempo (s)
Factor pico
FACTOR DE AMPLIFICACIÓN DINÁMICA
Simbologı́a
h
ZS
b̄
α´
F´rz
´
VD
(Zs)
d¯
Z0
Zmin
ᾱ
Iv (Zs )
L(Zs )
Dprom
B2
n1,x
SL (Zs , n1,x )
Ks (n1,x )
ζt,x
R2
ν
T
Kp
FAD
Valor
45.520
27.310
0.550
0.290
0.517
20.094
0.430
1.000
10.000
0.670
0.321
79.029
2.432
0.536
1.732
0.039
0.059
0.010
0.180
0.868
600.000
3.707
1.00
Tabla 4.18 Resumen de Valores para determinar FAD
4.3.6.
Presión en la Dirección del Viento.
La presión de diseño en la dirección del viento, tomando en cuenta los efectos dinámicos se
de termina como
Pz = Kre Ca FAD qz
(4.3.19)
Las fuerzas de diseño que actúan en la estructura se de terminan como
Fz = Pz Aexp
(4.3.20)
La sumatoria de las fuerzas individuales, representa la fuerza cortante en la estructura debido
a la acción del viento.
El momento individual en cada sección producido por el viento se determina como
66
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Mz = Fz Altprom
(4.3.21)
La sumatoria de los momentos individuales, representa el momento actuante en la base debido
a la acción del viento.
En las tablas 4.19 y 4.20 se presenta el resumen de cálculo.
Sección
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
qz (P a)
511.23
511.23
586.80
647.09
698.10
742.74
782.71
819.06
852.53
855.86
qz (kg/m2 )
52.21
52.21
59.93
66.09
71.29
75.85
79.94
83.65
87.07
87.41
Ca
0.78
0.80
0.82
0.84
0.84
0.84
0.84
0.84
0.84
0.84
Qz (P A)
330.79
338.32
398.73
449.73
485.45
516.49
544.28
569.57
592.84
595.16
Qz (Kg/m2 )
33.78
34.55
40.72
45.96
49.58
52.75
55.59
58.17
60.55
60.78
Tabla 4.19 Presión de diseño, 2008.
Sección
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
Alt.P rom (m)
2.50
7.50
12.50
17.50
22.50
27.50
32.50
37.50
42.50
45.26
Areaexp (m2 )
18.56
15.67
12.79
10.74
10.66
10.66
10.66
10.66
10.66
1.11
P
PZ (Kg) MZ (Kg × m)
626.90
1567.26
541.49
4061.19
520.71
6508.81
493.42
8634.91
528.25
11885.62
562.03
15455.88
592.27
19248.92
619.78
23241.89
645.11
27417.07
67.47
3053.60
5197.44
121075.16
Tabla 4.20 Fuerza y Momento de diseño, CFE 2008.
67
4.4 Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008.
4.4.
Resumen Reglamento CFE 1993 y 2008.
Se presenta un resumen del análisis comparando los resultados obtenidos con el reglamento
de la Comisión Federal de Electricidad CFE Versión 1993 y 2008.
Resumen de Velocidades. Tabla 4.21. Resumen de la presiones, fuerzas y momento de
diseño CFE 1993. Tabla Resumen CFE 1993, 4.22.
Sección No.
1
2
3
4
Altura(m)
De 0.000 a 10.000
De 10.000 a 16.195
De 16.195 a 23.695
De 23.695 a 45.520
VD (m/s) CFE 1993
26.13
27.53
29.86
33.21
VD (m/s) CFE 2008
31.69
34.40
36.70
41.01
Tabla 4.21 Velocidades de diseño para el modelo
Sección No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Altura
0a5
5 a 10
10 a 16.195
16.195 a 21.195
21.195 a 26.195
26.195 a 31.195
31.195 a 36.195
36.195 a 41.195
41.195 a 45.52
Pz (Kg/m2 )
20.305
18.510
26.394
33.715
39.685
45.273
50.563
55.613
60.141
P
Fz (Kg)
384.126
296.758
406.900
359.229
422.839
482.386
538.752
592.557
554.291
4037.838
Mz(Kg ∗ m)
960.316
2225.685
5329.575
6715.780
10018.748
13842.062
18153.249
22929.007
24032.399
104206.820
Tabla 4.22 Resumen CFE 1993
Resumen de la presiones, fuerzas y momento de diseño CFE 2008. Tabla Resumen CFE 2008,
4.23.
68
4. Análisis con el Manual de Diseño por Viento CFE
Sección No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Altura
0a5
5 a 10
10 a 15
15 a 20
20 a 25
25 a 30
30 a 35
35 a 40
40 a 45
45 a 45.52
Qz (Kg/m2 )
33.78
34.55
40.72
45.96
49.58
52.75
55.59
58.17
60.55
60.78
P
Pz (Kg)
626.90
541.49
520.71
493.42
528.25
562.03
592.27
619.78
645.11
67.47
5 197.44
Mz(Kg ∗ m)
1567.26
4061.19
6508.81
8634.91
11885.62
15455.88
19248.92
23241.89
27417.07
3053.60
121 075.16
Tabla 4.23 Resumen CFE 2008
Nota. Las velocidades de un reglamento a otro varı́an, debido al cálculo del Factor de Exposición, pues la expresiones para calcular este sufrieron modificación.
4.5.
Vibraciones Locales.
Para el diseño local, se debe tomar en cuenta que por efecto del desprendimiento de vórtices
alternantes, la flexión a veces se presenta perpendicular a la dirección del viento, debido al
efecto de ovalización. Usualmente este efecto puede evitarse utilizando atiesadores anulares
en las secciones propensas, Figura 4.9.
Figura 4.9 Anillos atiesadores
4.6 Reducción de los Efectos de Vórticidad.
4.6.
69
Reducción de los Efectos de Vórticidad.
Una recomendación práctica para evitar la formación de vórtices es el uso de barras o spoilers
colocados sobre el tercio superior de la construcción, formando una espiral cada 5 diámetros,
Figura 4.10.
Figura 4.10
4.6.1.
Rompedores de Viento, Spoilers
Otras Soluciones para Evitar los Efectos de Vórticidad.
Los efectos de ovalización en la estructura se pueden disminuir considerablemente, empleando
alguna de la siguientes soluciones en el diseño.
1) Cambiar el diámetro de la chimenea para modificar el periodo natural.
2) Aumentar el momento de inercia incrementando espesores de las placas que conforman
la chimenea.
3) Modificar el amortiguamiento de la estructura mediante sistemas de amortiguamiento,
como placas amortiguadores o amortiguadores controlados.
4) Cambiar la forma cilı́ndrica por troncocónica, en la parte de faldón (parte inferior de
ductos), o en toda la estructura.
Capı́tulo 5
Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura
MEF, COMET.
5.1.
Introducción.
Para el caso se realizó un análisis computacional basado en elementos finitos. Modelando el
viento como un fluido y la chimenea como un elemento tipo Shell. Para la realización de la
geometrı́a de los modelos, mallado y lectura de resultados se utilizó el programa GID 9.1.1b.
Para la fase de cálculo de la interacción Fluido-Estructura se utilizó el código COMET. (Ver
referencia Váldes y otros (2007))
5.2.
Consideraciones.
Para el fluido: densidad del aire ρ=1.185 Kg/m3 y una viscosidad µ=1.831x10−5 Kg/(m × s).
Para la Chimenea: densidad de acero ρ=7,850 Kg/m3 y un coeficiente de Poisson ν=0.3. Las
cargas consideradas en el análisis son: viento y peso propio.
5.2.1.
Geometrı́a del Modelo para Viento.
La geometrı́a para el modelo del fluido se muestra en la figura 5.1 y 5.2. Donde H representa
la altura total de la chimenea igual a 45.52 m, D representa el diámetro en la base de la
chimenea igual a 4.00 m.
En la geometrı́a se presentan dos niveles principales, señalados como H, la parte inferior
representa la altura de la chimenea, la cual está a su vez subdividida en cuatro, debido la
geometrı́a de chimenea y la parte superior representa el viento circundante por encima de
la chimenea. De igual manera el viento circundante lateral es representado por la divisiones
laterales de la geometrı́a.
70
71
5.2 Consideraciones.
Figura 5.1 Dimensiones del modelo, Elevación.
Figura 5.2 Dimensiones del modelo Planta.
72
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
En la figura 5.3 se presenta el modelo en tres dimensiones, teniendo la siguiente orientación
de ejes: Eje X (paralelo a la dirección del viento), Eje Y (transversal al viento) y Eje Z (en el
sentido de las elevaciones ortogonal a XY).
En la figura 5.4 se muestra un corte del modelo para el fluido.
Figura 5.3
Geometrı́a del Fluido 3D (lineas,superficies,volumenes.)
Figura 5.4 Contorno interior del Fluido 3D.
5.2.2.
Geometrı́a del Modelo para Chimenea.
La geometrı́a de la chimenea consta de 4 divisiones que corresponden a 4 diferentes espesores
de placa los cuales se muestran en la tabla 5.1 para el valor de espesor equivalente referirse
al anexo A.2, las dimensiones de la chimenea corresponden a las siguientes:
73
5.2 Consideraciones.
Diámetro exterior en la base 4.0m., diámetro exterior en la parte superior 2.131 m. Además
de tener una sección variable tronco-cónica y una sección constante lineal.
Las caracterı́sticas de esta se presentan en la figura 5.5.
Sección
1.00
2.00
3.00
4.00
Espesor(mm) Recubrimiento(mm)
22.20
0.000
19.05
0.000
15.90
30.00
12.70
30.00
EspesorP lacaEquivalente(mm)
22.20
19.05
19.90
16.70
Tabla 5.1 Espesor de placa considerado en el modelo.
Figura 5.5
Dimensiones de la chimenea.
Para la chimenea se realizaron tres modelos que se describen a continuación:
74
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
1) Modelo No.1: Modelo simple, este modelo representa una chimenea conformada simplemente de placa y sin refuerzo estructural exterior alguno.
2) Modelo No.2: Modelo con Rigidizadores, este modelo representa la chimenea con 8
refuerzos perimetrales.
3) Modelo No.3: Modelo con rigidizadores y anillos perimetrales, este modelo incluye los
8 refuerzos perimetrales, además de 4 anillos perimetrales en la parte de sección constante de
la chimenea.
La geometrı́a del Modelo No.1 generada se muestra en la figura 5.6.
Figura 5.6
Geometrı́a Modelo No.1, Chimenea Lisa sin refuerzos.
La geometrı́a del modelo con rigidizadores generada se muestra en la figura 5.7.
Figura 5.7 Geometrı́a Modelo No.2, Chimenea con Rigidizadores.
75
5.2 Consideraciones.
La geometrı́a del modelo con rigidizadores y anillos generada se muestra en la figura 5.8.
Figura 5.8
Geometrı́a Modelo No.3, Chimenea con Rigidizadores y Anillos.
La sección de los rigidizadores es un perfil tipo TEE, mientras que los anillos perimetrales
son una sección Canal de ambos perfiles cuyas dimensiones se muestran en la figura 5.9.
Figura 5.9
Perfil Tipo Tee, Rigidizador. Perfil Tipo C, Anillo.
En los modelos con rigidizadores y anillos se tomó una simplificación de modelar los rigidizadores y anillos por la parte interna, ya que en realidad están colocados en el perı́metro
exterior de la chimenea.
Esta simplificación es debido a la complejidad del acoplamiento de las mallas del fluido y de
la estructura referirse al anexo A.4, esta simplificación es adaptable pues lo que nos interesa en
este caso es determinar la rigidez que aportan estos elementos, pues su modelación adecuada
del fluido es mucho más compleja.
76
5.3.
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Condiciones de Contorno.
Por tales condiciones se entienden aquellas que definen el comportamiento del modelo en sus
lı́mites.
5.3.1.
Condiciones de Contorno del Fluido.
Las condiciones de contorno para el fluido se muestran en la figura 5.10.
La asignación de cada condición de contorno en el modelo se muestra en la figura 5.11.
Figura 5.10
5.3.1.1.
Condiciones de Contorno.
Velocidades de entrada.
Las velocidades de entrada en el fluido corresponden a las velocidades de diseño, las cuales fueron calculadas conforme al Manual de Diseño por Viento de la Comisión Federal de
Electricidad CFE Versión 2008. Dichas velocidades se muestran en la tabla 5.2.
77
5.3 Condiciones de Contorno.
Figura 5.11
Condiciones de Contorno, Modelo.
División
1
2
3
4
5
Altura (m)
10.00
16.20
23.70
45.52
45.52-91.04
VD (m/s)
31.69
34.40
36.70
41.01
41.01
Tabla 5.2 Velocidades de diseño para el modelo.
5.3.1.2.
Condiciones de acoplamiento.
La condición de external-coupling-surfaces, representa las condición en donde se realizará la
interacción del fluido con la estructura. Esta condición se muestra en la Figura 5.12.
5.3.1.3.
Condición de superficie ALE Boundary.
Esta condición hace referencia a la formulación ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) para
un fluido cuyo contorno es movil. Esta condición se muestra en la Figura 5.13.
78
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.12
Condición Ext-coupling-surfaces.
Figura 5.13
5.3.1.4.
ALE Boundary-surface.
Condición de superficie Forces Drag Lift.
La condición de Forces-Drag-Lift-Surfaces, está relacionada con las fuerzas que se generan
en el fluido, esta condición ha sido impuesta en el contorno donde se simula que el fluido
interactúa con algún obstáculo, en este caso donde choca con la chimenea. Esta condición se
muestra en la Figura 5.14.
79
5.3 Condiciones de Contorno.
Figura 5.14
5.3.2.
Forces-Drag-Lift-Surfaces.
Condiciones de Contorno Shell.
Las condiciones de contorno de los modelos de la chimenea son básicamente dos, la primera
es la condición de external-coupling-surfaces y la de Constraints.
5.3.2.1.
Condiciones de Restricción.
Las condiciones de restricción se aplicaron a la base simulando una restricción de movimiento
en las direcciones principales X, Y y Z, ası́ como de restricción en el giro. Considerando que
la chimenea esta empotrada en su base. Para el caso de los rigidizadores las condiciones de
contorno son iguales, pues los rigidizadores no están empotrados en la corona de la base.
5.3.2.2.
Condiciones de acoplamiento.
La condición de external-coupling-surfaces, representa las condición de en donde se realizará la
interacción de la estructura con el fluido. Dicha condición se puede ver que es similar a la del
fluido, pero ahora aplicada al modelo de la chimenea. Esta condición se muestra en la Figura
5.15.
80
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.15
5.3.2.3.
Condición Ext-coupling-surfaces.
Materiales.
Al modelo se le asignan los materiales y el espesor de la placa de acuerdo al cuadro 5.1, correspondiente a cada nivel. La asignación de materiales y caracterı́sticas del mismo se muestran
en la figura 5.16.
Figura 5.16
Espesores de Placa.
81
5.4 Mallas Fluido y Estructura (Shell).
5.4.
Mallas Fluido y Estructura (Shell).
5.4.1.
Malla Modelo del Viento, Fluido.
La malla generada para el fluido se muestra en la Figura 5.17, se consideró una malla estructurada con elementos de volumen tipo hexaedro.
Figura 5.17
Malla Generada.
Teniendo las siguientes caracterı́sticas de la malla 1:
Total número de elementos hexaedro=46600
Total número de nodos=50502
82
5.4.1.1.
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Capa lı́mite.
En la malla del fluido existe una condición especial en el tipo de mallado, pues en dicha malla
se debe de poder capturar la capa lı́mite. Para la capa lı́mite se realizo una concentración de
los elementos de malla disminuyendo o concentrándose en proporción logarı́tmica de tamaño,
los elementos en el contorno interior del fluido van desde 2.136 metros hasta 25 milı́metros
como se muestra en la figura 5.18.
Figura 5.18
Captura de Capa Lı́mite.
5.4 Mallas Fluido y Estructura (Shell).
5.4.2.
83
Malla Modelo Chimenea, Estructura.
Las mallas generadas para el modelo son la siguientes.
Para el modelo No. 1 se tiene una malla, que se muestra en la figura 5.19, con la siguientes
caracterı́sticas:
Número de elementos triangulares=3840
Número de nodos=1960
Figura 5.19
Malla Generada. Modelo No.1, sin refuerzos.
Para el modelo No. 2 se tiene una malla, que se muestra en la figura 5.20, con la siguientes
caracterı́sticas:
Número de elementos triangulares=6144
Número de nodos=3160
84
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.20
Malla Generada. Modelo No.2, Con rigidizadores.
Para el modelo No. 3 se tiene una malla, que se muestra en la figura 5.21, con la siguientes
caracterı́sticas:
Número de elementos triangulares=12544
Número de nodos=6400
Figura 5.21
Malla Generada. Modelo No.3, Con rigidizadores y Anillos.
Como se puede ver por el número de elementos, las mallas se van complicando, pues entre
más número de elementos tengamos en las mallas, mayor será el tiempo de cómputo y tamaño
del archivo de cálculo.
85
5.5 Resultados.
5.5.
Resultados.
5.5.1.
Fluido, Viento.
En el fluido los principales resultados que podemos observar son las presiones y velocidades
que se generan, además de observar si se desarrollan vórtices en la zona de sotavento.
5.5.1.1.
Presiones del Fluido.
En la figura 5.22 se muestran los resultados obtenidos para las presiones que genera el fluido al
interactuar con la estructura, se puede observar que existen valores de presión positiva como
negativa. La presión positiva o de empuje tienen un valor de 1093.6 Pa y la presión negativa
o de succión un valor de -2140.1 Pa, el cual casi duplica el valor de presión de empuje.
Figura 5.22
Corte, Presiones del fluido.
86
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Los valores de presión negativa se obtienen en la parte donde se generan los vórtices, por lo
que además de tener desplazamientos longitudinales en la estructura también se presentarán
desplazamientos perpendiculares en la dirección al flujo del viento.
En la Figura 5.23 se muestra el contorno del fluido, donde se pueden apreciar las zonas de
presión positiva en color rojo y las zonas de presión negativa en color azul.
Figura 5.23
5.5.1.2.
Contorno, Presiones del fluido.
Velocidades en Fluido.
Las velocidades en X se muestran en la figura 5.24, podemos apreciar que la velocidad asciende
hasta tomar un valor de 82.47 m/s (296.89km/h) hasta un valor de -49.03 m/s (-176.51 km/h)
en la zona de sotavento, esto es debido a que en esta zona se desarrollan vórtices.
87
5.5 Resultados.
Figura 5.24
5.5.1.3.
Velocidades en X.
Vórtices.
En nuestro caso se desarrollan vórtices alternantes, los cuales contribuyen en gran parte a la
deformación de la estructura, el desarrollo de estos se debe de tomar mucho en consideración,
pues estos pueden hacer que la estructura entre en resonancia y la estructura podrı́a colapsar.
En la figuras 5.25 y 5.26 se muestra el desarrollo de los mismos incluyendo las velocidades y
las presiones, respectivamente.
88
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.25
Figura 5.26
5.5.2.
Desarrollo de Vortices alternantes, Velocidades.
Desarrollo de Vortices alternantes, Presión.
Shell-Estructura.
Los principales resultados que podemos observar en la estructura son las presiones a las
cuales esta sometida debido al viento, las deformaciones que se generan en la misma y sus
desplazamientos máximos en sus direcciones principales, ası́ como la norma de los mismos.
89
5.5 Resultados.
5.5.2.1.
Presiones en la estructura.
Las presiones que se ejercen en la estructura se muestran en la figura 5.27. Los valores de
presión a las que se ve sometida la estructura son los siguiente: Presión positiva o de empuje
1,093.6 Pa y Presión de succión -2139.5 Pa.
Cabe mencionar que la presión de succión se presenta de manera alternante longitudinal
en los lados donde se presenta la misma.
Figura 5.27
5.5.2.2.
Presiones en la estructura.
Deformación y Desplazamientos Modelo No.1.
En la figura 5.28, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Y
y Z para el modelo No.1 (Chimenea Simple).
En dirección X: 0.0451 m (4.51 cm)
En dirección Y: 0.0109 m (1.09 cm)
En dirección Z: 0.0015 m, -.0022 m (1.5 mm, -2.2 mm)
90
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.28
Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.1.
En la figura 5.29, se muestra la norma de los desplazamientos Para el Modelo No.1, el cual
toma un valor de 0.04516 m (4.52 cm)
Figura 5.29
Norma de los desplazamientos, Modelo No.1.
En la Figura 5.30, Se muestra la deformación que sufre la estructura al interactuar con el
viento.
91
5.5 Resultados.
Figura 5.30
5.5.2.3.
Deformación de la estructura, Modelo No.1.
Deformación y Desplazamientos Modelo No.2.
En la figura 5.31, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Y
y Z para el modelo No.2 (Incluyendo Rigidizadores Perimetrales).
En dirección X: 0.0359 m (3.59 cm)
En dirección Y: 0.0146 m (1.46 cm)
En dirección Z: 0.0013 m, -0.0018 m ( 1.3mm, -1.8 mm)
92
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.31
Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.2.
En la figura 5.32, se muestra la norma de los desplazamientos Para el Modelo No.2, el cual
toma un valor de 0.03638 m (3.64 cm).
Figura 5.32
Norma de los desplazamientos, Modelo No.2.
93
5.5 Resultados.
5.5.2.4.
Deformación y Desplazamientos Modelo No.3.
En la figura 5.33, se pueden observar los desplazamientos en las direcciones principales X,Y
y Z para el modelo No.3 (Incluyendo Rigidizadores Perimetrales y Anillos Longitudinales).
En dirección X: 0.04173 m (4.17 cm)
En dirección Y: 0.0097 m (0.97 cm)
En dirección Z: 0.0015 m, -0.0021 m (1.5 mm, -2.10 mm)
Figura 5.33
Desplazamientos Direcciones Principales X, Y y Z, Modelo No.3.
Figura 5.34
Norma de los desplazamientos, Modelo No.3.
94
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
En la figura 5.34, se muestra la norma de los desplazamientos para el Modelo No.3, el cual
toma un valor de 0.0417 m (4.17 cm).
En la Figura 5.35, se muestra la deformación que sufre la estructura al interactuar con el
viento.
Figura 5.35
Deformación de la estructura, Modelo No.3.
95
5.6 Ovalización de la Sección.
5.6.
Ovalización de la Sección.
En la figura 5.36 se muestra la deformación transversal de la estructura propuesta por diversa
bibliografı́a y en C.F.E. (2008b). En la figura 5.37 se muestra la deformación transversal
obtenida en la modelación Interacción Fluido-Estructura.
Figura 5.36
Figura 5.37
5.7.
Ovalización teórica de la sección.
Ovalización de la sección, obtenida.
Elementos Mecánicos en la Base.
Los elementos mecánicos, como son fuerzas cortantes, fuerzas axiales y momentos flexionantes
se presentan en la tabla 5.3. Para el caso de análisis y diseño el valor que interesa es el valor
máximo que se presenta.
96
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Máximo
Promedio
Mı́nimo
Cortante (Kg)
X
Y
Z
8272.27 2979.20 564.68
7536.11 996.07 445.58
7048.42
0.63
363.77
Momento (Kg-m)
Y-Y
X-X
179 001.02 59 922.53
171 892.55 19 769.46
163 995.92
4.98
Tabla 5.3 Elementos mecánicos en la base
5.8.
Análisis Dinámico y Estático en la Práctica.
Se presenta un análisis sin realizar interacción Fluido-Estructura, en este análisis se le colocaron a la estructura las presiones exteriores como normalmente se considera en la práctica.
Las presiones que se tomaron en cuenta son las siguientes:
Presiones medias. Representan las presiones medias del viento, estas fueron tomadas del
análisis del fluido y después se colocaron franjas de presiones alrededor de la estructura y a
lo largo de su altura. Ver figura 5.38
Presiones Envolventes. Estas Representan los máximos valores que se presentan a lo largo
del tiempo en el fluido (Máx-Abs). De igual forma se colocaron franjas de presiones alrededor
de la estructura y a lo largo de su altura.
Figura 5.38
Presiones Consideradas, Medias y Máximas.
5.8 Análisis Dinámico y Estático en la Práctica.
97
Presiones por CFE 2008. Son las presiones calculadas con el reglamento de la comisión
federal de electricidad 2008. Estas se modificaron de tal forma que no actúen en una área
plana sino en el área real curva de la chimenea. Ver figura 5.39
Presiones por CFE 1993. Son las presiones calculadas con el reglamento de la comisión
federal de electricidad 1993. Estas se modificaron de tal forma que no actúen en un área plana
sino en el área real curva de la chimenea.
Figura 5.39
5.8.1.
Presiones Consideradas CFE2008 y CFE1993.
Análisis Dinámico.
En las siguientes figuras, se muestran los desplazamientos máximos que generan las diferentes
presiones consideradas para el análisis dinámico, estos se compararon con el desplazamiento
máximo que se obtuvo del análisis interacción fluido estructura.
Para las presiones obtenidas con el Manual CFE 2008, se tiene un desplazamiento máximo
de 3.59 cm.
98
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.40
Presiones Consideradas CFE-2008 y CFE-1993.
Para las presiones obtenidas con el Manual CFE 1993, se tiene un desplazamiento máximo
de 3.55 cm.
Figura 5.41
Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993.
5.8 Análisis Dinámico y Estático en la Práctica.
99
Para las presiones Medias obtenidas de la modelación del Fluido, se tiene un desplazamiento
máximo de 4.31 cm.
Figura 5.42
Desplazamiento en X, Presiones Medias.
Para las presiones Envolventes obtenidas de la modelación del Fluido, se tiene un desplazamiento máximo de 5.63 cm.
Figura 5.43
Desplazamiento en X, Presiones Envolventes.
100
5.8.2.
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Análisis Estático.
En las siguientes figuras, se muestran los desplazamientos máximos que generan las diferentes
presiones consideradas para el análisis estático, estos se compararon con el desplazamiento
máximo que se obtuvo del análisis interacción fluido estructura.
Para las presiones obtenidas con el Manual CFE 2008, se tiene un desplazamiento máximo
de 1.82 cm.
Figura 5.44
Desplazamiento en X, Presiones CFE 2008.
Para las presiones obtenidas con el Manual CFE 1993, se tiene un desplazamiento máximo
de 1.79 cm.
Figura 5.45
Desplazamiento en X, Presiones CFE 1993.
5.8 Análisis Dinámico y Estático en la Práctica.
101
Para las presiones Medias obtenidas de la modelación del Fluido, se tiene un desplazamiento
máximo de 2.25 cm.
Figura 5.46
Desplazamiento en X, Presiones Medias.
Para las presiones Envolventes obtenidas de la modelación del Fluido, se tiene un desplazamiento máximo de 3.15 cm.
Figura 5.47
5.8.3.
Desplazamiento en X, Presiones Envolventes
Comparación de los Análisis Dinámico vs. Estático.
En la tabla 5.4 se muestran los resultados obtenidos para el análisis dinámico, si comparamos los resultados con el análisis Interacción Fluido Estructura FSI, observamos un error
102
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
considerable en los desplazamientos que generan las presiones, pues el Manual predice el desplazamiento con un error de 20 %. En cuanto a las presiones que obtuvimos de la modelación
del fluido observamos que las presiones que predicen mejor el comportamiento de la estructura
son las presiones medias, pues tienen un error tan solo del 4 %, mientras que las envolventes
sobrestiman el comportamiento, lo cual es razonable, pues en el fluido no se presentan valores
máximos en un solo paso del tiempo, sino que estos se presentan de forma individual en cada
paso de tiempo.
Tipo de Presión
FSI
CFE 2008
CFE 1993
Medias
Envolventes
Tabla 5.4
Desplazamiento (cm)
4.51
3.59
3.55
4.31
5.63
Error %
-20 %
-21 %
-4 %
25 %
Desplazamiento Longitudinal, Análisis dinámico.
En la tabla 5.5 se muestran los resultados obtenidos para el análisis estático, comparando los
resultados nuevamente nuestro caso de Interacción Fluido Estructura FSI, observamos que el
error es muy considerable, pues incluso las presiones envolventes del fluido que en el análisis
dinámico sobrevaloraban el desplazamiento, ahora para el análisis estático lo subestima presentando un error del 30 %. Por lo tanto en este tipo de estructuras es de suma importancia
tomar en cuenta la realización de un análisis dinámico.
Tipo de Presión
FSI
CFE 2008
CFE 1993
Medias
Envolvente
Tabla 5.5
5.8.3.1.
Desplazamiento (cm)
4.51
1.82
1.79
2.25
3.15
Error %
-60 %
-60 %
-50 %
-30 %
Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático.
Graficas desplazamiento-tiempo.
En la siguientes gráficas se muestra el desplazamiento de la estructura con el paso del tiempo,
comparando los diferentes casos contra el análisis Interacción fluido estructura FSI.
En las figuras 5.48 y 5.49 se muestran las gráficas del movimiento de la estructura en el
tiempo.
103
5.8 Análisis Dinámico y Estático en la Práctica.
Se puede observar que para el caso de Interacción FSI la estructura se deforma más rápidamente, lo que nos indica que se están activando más rápidamente los modos de vibración
natural de la estructura, además de que no es un solo modo el que se activa, sino que son la
combinación de varios, prueba de ello son las irregularidades en las crestas y valles de la gráfica.
Mientras que para el análisis con las presiones calculadas con los manuales CFE2008 y
CFE1993 la estructura solamente tiene una forma de vibrar muy uniforme.
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
INTERACCIÓN FSI
CFE2008 DINAMICO
1.50
CFE2008 ESTÁTICO
1.00
0.50
0.00
[S ]
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
-0.50
-1.00
[ cm ]
Figura 5.48
FSI-CFE 2008
4.50
4.00
3.50
3.00
2.50
2.00
INTERACCIÓN FSI
CFE 1993 DINÁMICO
1.50
CFE 1993 ESTÁTICO
1.00
0.50
0.00
0.00
[S]
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
-0.50
-1.00
[ cm ]
Figura 5.49
FSI-CFE 1993
De igual forma en la figura 5.50 se observa que las presiones envolventes sobrestiman el
104
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
efecto de deformación en la estructura, mientras que las presiones medias lo hacen de forma
aceptable.
7.00
6.00
5.00
4.00
INTERACCIÓN FSI
PRESIONES MEDIAS DINÁMICO
3.00
PRESIONES MEDIAS ESTÁTICO
ENVOLVENTES DINÁMICO
2.00
ENVOLVENTES ESTÁTICO
1.00
0.00
0.00
[S ]
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
-1.00
[ cm ]
Figura 5.50
FSI-Medidas medias y envolventes
En la Figura 5.51 se muestra un resumen de las gráficas para los análisis dinámicos, podemos
destacar que la mejor aproximación sin tener que realizar un análisis de Interacción FluidoEstructura, la da las presiones medias en el fluido, por lo tanto una alternativa puede ser obtener las presiones medias del fluido, colocarlas a la estructura y realizar un análisis dinámico.
Pero la desventaja de este tipo de análisis es que no predice el comportamiento real, pues
para este caso la estructura solamente se ve forzada a un solo modo de vibración natural,
mientras que en el caso de Interacción la estructura se ve forzada a desarrollar varios modos
de vibración, esta problemática debe de ser considerada y este planteamiento es solo una
alternativa para una modelación práctica.
5.9.
Distribución de las Presiones.
En la figura 5.52 se da un bosquejo general de las presiones que genera el fluido al pasar frente
a un obstáculo circular, para nuestro caso el flujo del viento frente a la Chimenea obtenido
mediante la interacción Fluido-Estructura.
Se puede observar que se tienen presiones de empuje en la parte donde el viento hace
contacto directo con la estructura y en su mayorı́a succiones en donde el viento pasa sobre la
estructura. Siendo mayores las succiones que las presiones de empuje, pero que combinadas
en dirección longitudinal se suman en dirección del flujo del viento. De igual manera existen
105
5.10 Esfuerzos Generados en la Estructura.
7.00
6.00
5.00
4.00
INTERACCIÓN FSI
CFE 2008 DINÁMICO
3.00
CFE 1993 DINÁMICO
MEDIAS DINÁMICO
2.00
ENVOLVENTES DINÁMICO
1.00
0.00
[S ]
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
-1.00
[ cm ]
Figura 5.51
FSI-Todos los análisis dinámicos
succiones transversales al flujo del viento, estas ultimas de forma alternante a lo largo de la
estructura.
Figura 5.52
FSI.
5.10.
Distribución de las Presiones de empuje y succión, caso Interacción Fluido-Estructura
Esfuerzos Generados en la Estructura.
Debido a la deformación que sufre la estructura por el viento, se generan esfuerzos internos.
Estos esfuerzos deberán ser menores que la resistencia del material.
En las Figuras 5.53, 5.54 y 5.55. se muestran las fuerzas de Von Mises.
106
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
Figura 5.53
Fuerzas de Von Mises, Modelo No.1.
Figura 5.54
Fuerzas de Von Mises, Modelo No.2.
Y en la tabla 5.6 se resumen los esfuerzos a los cuales la estructura se encuentra expuesta.
Estos se obtienen dividiendo las fuerzas por el espesor de la placa donde se presenta el máximo
esfuerzo. El esfuerzo en el que la estructura comenzarı́a a fallar es de 2530 kg/cm2 que es el
107
5.11 Movimiento Real de la Chimenea.
Figura 5.55
Fuerzas de Von Mises, Modelo No.3.
esfuerzo de fluencia para el acero. Siendo el permisible de 2018 kg/cm2 .
Modelo
No. 1
No. 2
No. 3
Fuerzas de Von Mises (N ) Espesor placa (m) Esf. de Von Mises kg/cm2
385 550
0.01905
206
293 220
0.01905
157
372 910
0.01905
200
Tabla 5.6
Desplazamiento Longitudinal, Análisis estático.
Como podemos observar los esfuerzos no exceden el esfuerzo de fluencia, por lo que la estructura no presentara fallas por esfuerzos. Y dicho material se encuentra trabajando a menos del
15 % en todos los casos.
Hay que resaltar que los esfuerzos máximos no siempre están en la misma posición y que
además presentan máximos locales a lo largo del tiempo. En nuestro estudio encontramos que
el máximo a lo largo de todo el tiempo se encontraba en una posición cercana al cambio de
sección variable a sección constante. Lo cual es un indicio de que una posible falla se puede
presentar en esa zona.
5.11.
Movimiento Real de la Chimenea.
En el análisis Interacción Fluido-Estructura FSI el movimiento de la estructura no es totalmente longitudinal al flujo del viento, sino que tiene un movimiento sesgado a la derecha del
108
5. Análisis del caso Interacción Fluido-Estructura MEF, COMET.
flujo del viento y en recuperación continúa con un movimiento sesgado a la izquierda, este
fenómeno es de gran importancia, pues mientras la estructura se está deformando conjuntamente se están activando varios modos de vibración de la estructura, generando fuerzas de
torsión en la sección de la estructura y por consecuencia también en la parte de anclaje y
cimentación, lo que puede llevar a la fatiga a los elementos de anclaje e incluso a la estructura
misma.
Este movimiento solamente se presenta si se realiza la interacción fluido estructura, pues
en los casos dinámicos con presiones constantes sobre la estructura el movimiento es muy uniforme en sentido longitudinal y transversal de la sección. Cabe mencionar que este movimiento
se repite en ciclos de deformación y recuperación.
Figura 5.56
Comportamiento en la deformación de la Chimenea.
Capı́tulo 6
Resumen de Resultados y Conclusiones.
6.1.
Resultados.
6.1.1.
Presión de Empuje Actuante.
Haciendo una comparación de la presiones de empuje a las que está sometida la estructura,
respecto a las que toma en cuenta el manual de diseño por viento a la CFE 2008 tabla 6.1, se
puede observar que esta es menor a la que en realidad se presenta en la estructura.
Método
Presión de empuje (Kgf /m2 )
Interacción Fluido-Estructura
111.50
Manual CFE 1993
60.14
Manual CFE 2008
60.78
Error ( %)
46
45
Tabla 6.1 Presión Máxima de empuje.
6.1.2.
Presión de Succión Actuante.
En lo que se refiere a la presión de succión esta no debe de subestimarse, pues podrı́a ser esta
más crı́tica que la presión de empuje, pues se desarrollan succiones que son mucho mayores
que los empujes. Por lo que se puede decir que es más probable que una estructura de gran
altura colapse debido a la succión que al empuje generado por el viento, ya que la estructura
podrı́a entrar en resonancia. En la tabla 6.2 se observa el valor de succión máximo que actúa
en la estructura.
109
110
6. Resumen de Resultados y Conclusiones.
Método
Presión de Succión (kgf /m2 )
Interacción Fluido-Estructura
218
Manual CFE 1993
Solo un fuerza en el tercio superior
Manual CFE 2008
No aplica como Presión
Tabla 6.2 Presión Máxima de Succión.
6.1.3.
Elementos Mecánicos en la Base, Dirección del Viento.
Estos son una consecuencia de las presiones y en la modelación Fluido-Estructura se desarrollan mayores elementos mecánicos, que realizando un cálculo con el Manual de diseño por
viento CFE 2008. En la tabla 6.3 se hace una comparación frente al análisis sı́smico (Ver C.F.E.
(2008a)), para ver la importancia del viento frente a las estructuras de altura considerable.
Método
Interacción Fluido-Estructura
Manual CFE 1993-Viento
Manual CFE 2008-Viento
Manual CFE 2008-Sismo
Considerados de diseño, CFE 1993,(F.S.=3)
Cortante (Kgf )
8 272
4 072
5 197
10 262
12 600
Momento (Kgf · m)
179 001
104 468
121 075
229 058
310 810
Tabla 6.3 Elementos mecánicos, Dirección del viento.
6.1.4.
Desplazamientos en la Estructura.
Los desplazamientos varı́an dependiendo de la rigidez de la estructura en nuestro caso se
tienen tres diferentes estructuraciones consideradas en la chimenea y estos fueron comparados
respecto al Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por viento 2008 y 1993.
En la tabla 6.4 se muestran los resultados obtenidos para las tres diferentes estructuraciones modeladas.
Se puede observar que la chimenea conformada a base de placa tiene un desplazamiento
máximo de 4.51 cm en la dirección del viento y de 1.09cm en la dirección transversal al flujo
del viento.
En el segundo modelo incluyendo los rigidizadores, observamos que estos sirven de refuerzos
a flexión, pues el desplazamiento máximo se reduce a 3.59 cm en la dirección del viento y de
1.46 cm en la dirección transversal al flujo del viento, incrementándose este valor, pues ahora
tiene una concentración de masa lateral mayor.
En el tercer caso donde se modela la estructura a la forma más real se observa que los
anillos sirven como refuerzo longitudinal de la sección, pues reduce el desplazamiento de
ovalización a 0.97 cm en la dirección transversal al flujo del viento, pero esta concentración de
111
6.2 Conclusiones.
masa en la parte superior de la estructura provoca que el desplazamiento en la dirección del
viento se incremente respecto al segundo modelo teniendo un valor de 4.17 cm, esto es debido
a la no linealidad, pues una vez deformada la estructura se le somete a una mayor fuerza de
gravedad. Por lo que se deben de evitar las concentraciones de masa en la parte superior de
la estructura.
Modelo
Descripción
No. 1
Simple
No. 2
Rigidizadores
No. 3
Rigidizadores y anillos
Manual
CFE 2008
Manual
CFE 1993
Desplazamiento (cm)
X
Y
Z
4.51 1.09 0.15, -0.22
3.59 1.46 0.13, -0.18
4.17 0.97 0.15, -0.21
3.59
3.55
Norma (cm)
4.52
3.64
4.17
3.59
3.55
Tabla 6.4 Comparación de desplazamientos.
6.2.
Conclusiones.
En este trabajo podemos ver la importancia que existe en la realización de un análisis de
Interacción Fluido-Estructura (FSI) aplicado al análisis de estructuras sometidas a los efectos
del viento, ya que se puede dar una predicción más real de las cargas por viento y deformación
de la estructura, ası́ como de su comportamiento.
También se destaca la utilización de reglamentos actuales de diseño por viento, y la variación de resultados en lo referente a las presiones, succiones y desplazamientos de la estructura.
Resulta de gran importancia conocer los reglamentos de diseño por viento y extraer lo mejor de
ellos, para que de este modo se puedan realizar en un futuro actualizaciones o modificaciones
basadas en la investigación. Es importante remarcar la aplicación de modelos de Interacción
Fluido-Estructura (FSI) para algunos casos especiales. Además se ve la aplicación directa
y la potencia del método de los elementos finitos y por ende el desarrollo de los métodos
numéricos, pues todo este trabajo de modelación finalmente recae en estos.
Es importante destacar las estructuraciones que se pueden proponer tratando siempre de
que una estructura se comporte lo mas óptimo ante los efectos que le ocasiona el viento,
sin embargo debemos de evitar la concentración de elementos en la parte superior de las
estructuras altas y flexibles, pues estos contribuyen a la deformación y al cambio en el periodo
de la estructura. Lo más recomendable es tratar de darle estabilidad en la parte de la base e
incluir refuerzos a flexión en la dirección del viento y refuerzos perimetrales como anillos en
las partes medias de la estructura, donde existan discontinuidades como cambio de pendiente
o huecos de ductos, ya que estas partes representan una zona de gran probabilidad de falla
tal y como se demostró.
Capı́tulo 7
Propuestas de Futuros Análisis.
7.1.
Propuesta 1.
Una modelación futura que se propone es la de considerar en el modelo los rigidizadores por
la parte exterior, para comparar las presiones del viento y ver el comportamiento de este.
Además en esta propuesta incluir unos rigidizadores que no vayan con longitudes iguales,
sino que vayan con longitudes variables de tal modo que se genere una geometrı́a de forma
helicoidal con estos elementos, con la suposición de que en esta forma los vórtices no se lleguen
a desarrollar debido al cambio brusco de sección conforme con la altura de la estructura.
Para ver el tipo y criterios de malla ver Anexo A.4.
Figura 7.1
Propuesta 1.
112
113
7.2 Propuesta 2.
7.2.
Propuesta 2.
Se propone la modelación de los elementos helicoidales en la parte superior de la chimenea, o
en todo el tercio superior de la misma. Estos elementos son llamados spoilers o rompedores
de viento.
Esta modelación permitirı́a ver la función que tienen los mismos al reducir o eliminar
incluso, la formación de vórtices alterantes y evitar la ovalización de la sección, ası́ como su
movimiento lateral.
Cabe mencionar que este tipo de elementos pueden ser empleados en otro tipo de construcciones de sección circular, como tuberı́as en plataformas columnas y pilotes en el mar,
por lo que el análisis de este tipo de aditamento es de gran interés y relevancia.
Para ver el tipo y criterios de malla ver Anexo A.4.
Figura 7.2 Propuesta 2.
La malla aproximada para considerar los rompedores de viento se muestra en la figura 7.3. En
esta malla la capa limite no esta capturada debidamente pero se puede observar la complejidad
de la malla y la concentración de los elementos, además de que la malla debe ir girando
siguiendo la geometrı́a de los rompedores de viento.
114
7. Propuestas de Futuros Análisis.
Figura 7.3 Malla con rompedores.
Capı́tulo A
Anexo
A.1.
Partes principales de la chimenea.
La Chimenea se divide en 2 partes principales, la parte de Faldón de chimenea que en este caso
se tiene una sección tronco-cónica la cual se encuentra por debajo del ducto de gases y la zona
de Ducto de chimenea que en este caso pertenece a la zona de sección lineal constante la cual
se encuentra por encima del ducto de gases. Esta segunda parte cuenta con un recubrimiento
de concreto refractario, que depende de las especificaciones. En la figura A.1 se muestra un
esquema de la chimenea.
A.2.
Consideración del recubrimiento refractario.
El recubrimiento de concreto refractario se tomó en cuenta para considerar la rigidez que le
aporta a la sección y por consecuencia afectar en la frecuencia natural de la estructura.
El procedimiento fue considerar el volumen presente de concreto refractario y convertirlo
a un espesor equivalente de acero, y ası́ modelar la chimenea como una sección solamente
formada por acero.
El peso especı́fico está dado por
γ=
W
V
Wc = γc Vc = γc Ac ec
(A.2.1)
(A.2.2)
Para convertir a espesor equivalente
γ=
Wc
Aa ea
115
(A.2.3)
116
A. Anexo
Figura A.1 Chimenea.
Despejando ea , sustituyendo WC y simplificando la áreas de contacto las cuales son iguales
nos queda
ea =
WC
γC AC eC
γConcreto
=
=
eC
γa Aa
γA AA
γAcero
(A.2.4)
Sustituyendo valores, γC =1100 kg/m3 , γa =7850 kg/m3 , espesor de Concreto refractario = 30
mm. ea =4mm.
Tenemos que al espesor real de placa debemos de sumarle 4mm correspondientes a la
aportación del espesor del concreto refractario.
A.3.
Justificación de las dimensiones de chimenea.
Los valores de altura y diámetro de la chimenea van ligados a las variables de velocidad de
los gases circulantes y las perdidas por tiro térmico en cada sección por la cual circulan los
gases.
Diámetro,necesario para liberar los gases producidos en la quema del combustible. Altura,
Como referencia se deben de superar los 32 m de altura.
A.4 Justificación en la simplificación de las mallas, en elementos de estructuración.
A.4.
117
Justificación en la simplificación de las mallas, en
elementos de estructuración.
En este apartado se desarrolla la explicación de la simplificación en las mallas. Las presiones
y succiones que genera el viento al pasar por un obstáculo dependen de la geometrı́a general
del mismo.
El problema al querer implementar elementos en la sección de la chimenea se basa no en
la geometrı́a de esta, sino en la geometrı́a del fluido y por consecuencia la complejidad de la
malla, pues al momento de querer capturar la capa limite se tendrá el problema de capturarla,
teniendo entonces que aumentar considerablemente el número de elementos de malla.
El problema no radica en la complejidad, dificultad y numero de elementos de malla en el
fluido, ni en el código de cálculo, sino que la capacidad de cómputo de la que se dispone se
vuelve insuficiente, pues se generan archivos de cálculo muy grandes.
Es por eso que los elementos que aportan rigidez a la estructura se tuvieron que modelar
por dentro de la chimenea, elementos que en la realidad forman parte de la estructura por la
parte exterior de la misma.
Como prueba se generó una malla del fluido incluyendo los rigidizadores, teniendo una
malla con las siguientes caracterı́sticas:
Número de elementos hexaedro=91952
Número de nodos=98695
La cual supera por mucho las malla empleadas.
La malla aproximada para considerar los rigidizadores externamente se muestra en la figura
A.2. En esta malla la capa limite no esta capturada debidamente pero se puede observar la
complejidad de la malla y la concentración de los elementos.
Figura A.2 Malla con rigidizadores.
Bibliografı́a
C.F.E. (1993). Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Viento. Institututo de Investigaciones Electricas.
C.F.E. (2008a). Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Sismo. Institututo de Investigaciones Electricas.
C.F.E. (2008b). Manual de Diseño de Obras Civiles, Diseño por Viento. Institututo de
Investigaciones Electricas.
Oliver, J. y Agelet, C. (2006). Mecánica de medios continuos para ingenieros. UPC.
Valdés, J. G. (2008). Apuntes Elementos finitos. Facultad de Ingenierı́a civil, Universidad de
Guanajuato.
Váldes, J. G.; Oñate, E. y Miquel, J. (2007). Nonlinear Analysis of Orthotropic Menbrane
and Shell Structures Including Fluid-Structure Interaction. CIMNE.
118