SOLUCIÓN Problemas 1

CN 1
En el mecanismo de la figura: w1 = 2 rad/s
Longitud de todas las barras = 30 mm ,
O1A y O2C inclinadas a 45º.
Calcular:
1.- La posición de los
centros
instantáneos de rotación de los elementos AB y
CD.
2.- La velocidad del punto C.
3.- La aceleración del punto C.
CN 2
El mecanismo de la figura, es una biela de colisa que mueve la herramienta de corte en una
limadora. El elemento 3 tiene un movimiento de vaivén guiado en dirección x. El elemento 1 se mueve
con velocidad angular constante w en torno a su centro O1.
1.- Calcular la velocidad del punto A perteneciente al elemento 1.
2.- Calcular la velocidad del punto B perteneciente al elemento 3.
3.- Calcular la aceleración angular del
elemento 2.
1
CN 3
En el mecanismo de la figura:
R = 50 mm
r = 40 mm
w = 10 rad /s
a = 20 rad /s2 c = 100 mm
- Calcular la velocidad VB
- Calcular la aceleración AB
CN 4
En el mecanismo de la figura el elemento 1 gira en torno al punto A.
A.1.- Calcular la posición del centro instantáneo de rotación del elemento 2.
A.2.- Construir el cinema de velocidades del elemento 2 y representar de forma aproximada en el
cinema la velocidad del punto E.
R2
A.3.- Calcular la velocidad de deslizamiento en
B.1.-
V3
D
el punto de contacto C.
Construir el cinema de aceleraciones del
elemento 2. Representar de forma
aproximada la posición del
E
a3
3
R2
polo de
2
aceleraciones del elemento 2 .
C
w1 = 2 rad/s
R1 = 2 m
V3 = 2 m/s
a 1 = 4 rad/s2
R2 = 4 m
a3 = 4 m/s2
B
A
CN5
En el mecanismo de la figura la barra ABC es un
o1
R1/2
"1
R1
1
2
único sólido rígido. Se conoce la velocidad VA cuyo módulo es 17 m/s y la aceleración del punto B
cuyo módulo es 15 m/s2
La escala del dibujo es aproximadamente 1:1000
1.-
Cuantos grados de libertad tiene el mecanismo? . Justificar la respuesta.
2.-
Determinar las posiciones de los centros instantáneos de rotación de todos los elementos del
mecanismo.
3.-
Determinar la velocidad del punto G.
4.-
Determinar la aceleración del punto D.
G
E
3
D
4
F
C
aB
2
1
B
VA
A
3
CN6
D
3
A
1
B
2
C
P1.- ¿ Cuantos grados de libertad tiene el mecanismo de la figura ?. Justificar la respuesta.
P2.- El alumno se propondrá a sí mismo y resolverá gráficamente el problema. Para ello:
- Debe formular ANALÍTICAMENTE las ecuaciones de excitación aplicadas a los elementos
que estime más convenientes. Formulará ecuaciones de excitación en el número necesario y
suficiente para que el mecanismo quede cinemáticamente determinado. Se recomienda
formularlas de la forma más sencilla posible a la vista de P3. Indique de forma clara y precisa
CUANTAS Y CUALES son las ecuaciones de excitación.
- Es condición obligatoria, sin embargo, que alguna de las barras del mecanismo se mueva.
P3.-
El alumno resolverá GRAFICAMENTE el problema que él mismo se ha propuesto en P2.
Calculando velocidades y aceleraciones en todos los puntos significativos del mecanismo así
como velocidades angulares y aceleraciones angulares en los tres elementos del mecanismo.
NOTA:
Se debe explicar de forma clara y completa toda la resolución gráfica, indicando
claramente las ecuaciones que soportan las resoluciones gráficas , las posibles
direcciones de vectores etc
4
SOLUCIÓN CN1
Cálculo de velocidades:
VA = w1.O1A = 2.30= 60 mm/s
Resolviendo gráficamente mediante el método de las velocidades proyectadas:
VAP = VA . cos 45º = 42,43 mm/s
AIAB = 42,55 mm
BIAB = 67,5 mm
CICD = 42,426 mm
BICD = 33,54 mm
wAB = VA/AIAB = 1,41 rad/s
VB = wAB BIAB = 95,2 mm/s
wCD = VB/AICD = 2,84 = w3
VC = wCD CICD = 120,4 mm/s
w2 = VC/CO2 = 4 rad/s
Cálculo de aceleraciones:
aA = aAn = w12.O1A = 4.30 = 120 mm/s2
aI = aCn + aCt + aICn + aICt
aCn = w22 . 30 = 480 mm/s2
aICn = wCD2 . CICD = 342 mm/s2
aI = aDn + aDt + aIDn + aIDt
aDn = w32 . 30 = 242 mm/s2
5
aIDn = wCD2 . DICD = 242 mm/s2
Gráficamente se obtiene aI = 844 mm/s 2
aB = aI + aBIn + aBIt
aBIn = wCD2 . BICD = 270,5 mm/s2
aB = aA + aBAt + aBAn
aBAn = wAB 2 . 30 = 59,6 mm/s2
aC = aB + aCBn + aCBt
aCBn = wCD2.15 = 121 mm/s2
aC = aCn + aCt
aCn = w22.30 = 480 mm/s2
aI
aB
aC
6
SOLUCIÓN CN2
1.- |VA |= w. O1A = 20 m/s
2.-
sen a = 2/5
;
a = 23,57º
|VA2 |= |VA |. sena = 20 . 2/5 = 8 m/s
|VA21 |= |VA |. cosa = 20 . 0.916 =18,32 m/s
w2 = |VA2|/AO 2 = 8/5 = 1.6 rad/s
VA1
V A12
V B2
B
|VB2 |= w2 . O2B =
A
VA2
V B32
VB3
8/5 . 8 = 12.8
7
m/s
|VB3 |= VB2 / cosa = 12.8 / 0.916 = 13.97 m/s
3.- Aceleraciones.
Consideramos un sistema de referencia móvil situado en A2 de forma que la aceleración relativa
es paralela a O2A.
aA1 = arel + aarr + acor = aA1n
2
aarr = aA2 = aA2n + aA2T
2
|aA2n |= w2 . O2A = 12.8 m/s
acor = 2 w2 x VA12
|acor |= 2 . 1,6 . 18,32 =58,62 m/s2
|aA1n |= w12 . O1A = 100 . 2 = 200 m/s2
|aA2T |= a 2 . O2A = 123 m/s2
en el cinema
a 2 = 24.6 rad/s2
VA12
acor
w
acor
aA2n
aA2t
arel
aA1
8
SOLUCIÓN CN3.
VA = w.IA = 10 . 64,03 = 640,3 mm/s VB= 400 mm/s
IA = 64,03 mm
wAB = VAB /AB = 500/100 = 5 rad/s
aI = w2 . R = 100.50 = 5000 mm/s2
OI / O' I' = OA/O'A'
2
aO = a.R = 20.50 = 1000 mm/s
O'A' = OA . O' I' / OI = 40.51/50 = 40,8 mm
aB = aA + aBAn + aBAt
aA = 3200 mm/s2
aBAn = wAB 2 . AB = 52 . 100 = 2500 mm/s2
aB = 3400 mm/s 2
9
SOLUCIÓN CN4
A.1
VB
VD
V3
D
V3
3
4m
I2
4m
VB
A
IBD
B
Puesto que la distancia
entre los puntos B y D permanecerá invariable para cualquier posición del mecanismo, se puede
considerar el sólido imaginario BD con lo que el mecanismo equivalente resulta ser un cuadrilátero
articulado cuyo extremo 3 puede deslizarse horizontalmente.
|VB| = w1 . R1/2 = 2.2/2 = 2 m/s
A.2
CINEMA DE VELOCIDADES
E’
La figura muestra el cinema de velocidades del
VB
elemento 2.
Utilizamos un factor de escala igual a 2.
VD
A.3.- Para el cálculo de la velocidad de deslizamiento en
D’
P
V3
10
el punto C, utilizamos el centro instantáneo de rotación del elemento 2 calculado anteriormente. La
velocidad de deslizaiento, tendrá una dirección tangente al contacto entre los dos elementos.
V C12
V C2
VC1
I2
C
A
B
|VC2 |= |V3 |= 2
m/s dirección
y sentido indicados. Los módulos de |VC2| y|V3 |son iguales porque sus distancias a I2 son iguales.
La dirección de VC1 es perpendicular a la recta AC.
El factor de escala utilizado ahora es aproximadamente 1.
B.- ACELERACIONES
a3
aDBN
aBN
aDBT
aB
aB
aBT
aD
aBDN
aBDT
11
Calculamos en primer lugar la aceleración aB mediante sus componentes normal y tangencial.
|aBN |= w12 . R1/2 = 4.2/2 = 4 m/s2
|aBT |= a . R1/2 = 4.2/2 = 4 m/s2
Pasamos ahora a calcular aD
aD = aB + aDBN + aDBT
aD = a3 + aD3N + aD3T
|aDBN |= wDB 2 . DB = 1/9 . 6 = 2/3 m/s2
|aD3N |= w22 . R2 = 1/4 . 4 = 1 m/s2
|wDB |= |VB |/ BIBD = 2/6 = 1/3 rad/s
|w2 |= |V3 |/ R2 = 2/4= 1/2 rad/s
CINEMA DE ACELERACIONES
Q
a3
aD
D’
E
12
SOLUCIÓN CN 5:
1.-
n = 4 +1 = 5 elementos
Restricciones = 3 + 2x4 + 3x1 = 14
k= 5x3 - 14 = 1 gdl
2.-
I3
G
E
3
D
4
I2
C
F
I4
2
1
I1
B
A
13
I3
G
E
VG
3
D
4
VF
I2
I4
F
C
2
1
I1
B
VC
VA
A
3.- Cálculo de VG
w1 = |VA | / I1A = 17/23 = 0.74 rad/s
VC = w1 . I1C = 0.74 * 71 = 52.5 m/s dirección perpendicular a I1C , sentido indicado.
w2 = |VC | / I2C = 52.5/35 = 1.5 rad/s
VF = w2 * I2F = 1.5 * 16 = 24 m/s
w4 = |VF | / I4F = 24/14 = 1.71 rad/s
VG = w4 * I4G = 1.71 * 32 =54.8 m/s
VD = w2 * I2D = 1.5 * 39 = 58.5 m/s
w3 = |VD | / ED = 58.5 / 32 = 1.82 rad/s
14
4.- Cálculo de aD
G
E
3
D
4
F
2
C
aB
1
C’
aABn
B
B’
VA
aB
aC
a ABt
A
aB
A’
aA
aA
aA = aB + aABn + aABT
|aABn |= w12 * AB = 0.742 * 36 = 19.71 m/s2
La dirección de aA es obligatoriamente horizontal debido a su restricción.
Obtenemos aC mediante el cinema de aceleraciones del elemento 1
aD = aC + aDCn + aDCt
|aDCn | = w22 . DC = 1.52 * 35 = 78.75 m/s2
aD = aDn + aDt
|aDn | = w32 . ED = 1.822 *32 = 106 m/s2
|aD | = 145 m/s2 aproximadamente a escala en el cinema.
15
C’
aDn
B’
aC
aB
A’
aA
aDt
aD
aDCn
aDCt
16
SOLUCION CN6
P1.- Consideramos juntas compuestas revolución-traslación en B y C.
Nº de elementos del mecanismo = 3 móviles + tierra = 4
GDL si no hubiese restricciones = 4 * 3 = 12
Restricciones
2 en cada junta de revolución A y D
1 en cada junta revolución-traslación B y C
3 del elemento tierra
restricciones totales = 2x2 + 2x1 + 3 = 9
GDL del mecanismo = 12-9 = 3 GDL
Si hubiésemos considerado las correderas como sólidos y cada una de las juntas B y C como suma de
una junta de revolución más una de traslación, tendríamos:
Nº de elementos del mecanismo 5 móviles + tierra = 6
GDL si no hubiese restricciones = 6 * 3 = 18
Restricciones
2 en cada junta de revolución A , B, C y D
2 en cada junta de traslación B y C
3 del elemento tierra
restricciones totales = 2x4 + 2x2 + 3 = 15
GDL del mecanismo = 18-15 = 3 GDL . El resultado evidentemente es el mismo.
P2. Debemos añadir tantas ecuaciones de excitación como GDL tiene el mecanismo, es decir 3
ecuaciones de excitación.
P3. Se pueden proponer las expresiones que se deseen para estas ecuaciones de excitación, algunos
ejemplos son:
ECSA:
f ’1 = k1
f ’2 = k2
f ’3 = k3
Donde evidentemente las aceleraciones angulares son nulas f ”1 = f ”2 = f ”3 = 0
y las posiciones angulares que formulan correctamente las ecuaciones de excitación son:
f 1 = k1t + f 10
f 2 = k2t + f 20
f 3 = k3t + f 30
17
w1 = 0
w3 = 0
B
D
w3 = k3
C
w2 = k2
B
w2 = 0
C
w1= 0
w3 = 0
B
w2 = 0
w1 = k1
A
Los valores de ki no podrían ser nulos para los tres elementos porque se impediría el
movimiento, pero si podrían ser nulos en dos de ellos con lo cual los mecanismos equivalentes en cada
caso serían:
Se observa como en este caso, para valores nulos de k, las ecuaciones de excitación se
convierten en ecuaciones de restricción. Las ecuaciones de restricción son un caso particular por lo
tanto de las de excitación.
También podríamos haber propuesto ecuaciones de excitación en desplazamientos a algún
punto P cualquiera del elemento2 por ejemplo.
ECSB:
f ’1 = k1
x’P = k5
y’P = k6
Donde evidentemente la aceleración angular f ”1 = 0 y el punto P resulta ser el polo de
aceleraciones del elemento 2 aunque no sea su centro instantáneo de rotación:
x”P = y”P = 0
Los desplazamientos y giros que formulan de manera formal las ecuaciones de excitación son
18
en este caso:
f 1 = k1t + f 10
xp = k5t + xp0
yp = k6t + yp0
En el caso particular de que k5 = k6 = 0 , el punto P resultaría ser centro instantáneo de
rotación y polo de aceleraciones, las ecuaciones serían entonces de restricción y el mecanismo
equivalente sería:
D
P
w1 = k1
B
VPx = VPy = 0
A
C
Como sería muy largo resolver todos los mecanismos propuestos, resolveremos solamente el
caso general más complicado
f ’1 = k1
f ’2 = k2
f ’3 = k3
Es decir el problema propuesto es:
D
w3 = k3
w1 = k1
B
w2 = k2
C
A
19
Cálculo de velocidades:
VB’
D
w3 = k3
VC’
w1 = k1
B
w2 = k2
C
A
’
BB
VB’
VC’
de V
n
ió
ecc
Dir
VB
VBC
Dirección de VCC’
B y C pertenecen al elemento 2; B’ pertenece al elemento 1; C’ pertenece al elemento 3
Analizando el movimiento relativo en la junta C tenemos:
VC = VC’ + VCC’
donde la dirección de VCC’ es la BC. Por otro lado como BC es un sólido indeformable se cumplirá:
VB = VC + VBC
Donde VBC tiene módulo conocido = w2. BC
La dirección de VBC es perpendicular a BC y su sentido es descendente congruente con w2.
Sustituyendo tenemos:
VB = VC + VBC = VC’ + VCC’ + VBC
Por otro lado analizando el movimiento relativo en la junta B tendremos:
20
VB = VB’ + VBB’
donde la dirección de VBB’ es la AB. Como conocemos el valor de V B’ resolvemos gráficamente estas
dos últimas ecuaciones vectoriales obteniendo el cinema mostrado en la figura anterior . Los valores de
los módulos son supuestos.
Cálculo de aceleraciones:
D
aC’
A
B
acor C
C
.
V C’C
w2
a B’
a CC’
.
aC’
aBB’
a cor B
Q
V BB’
a B’
a cor B
acor C
aCBn
Sabemos que las tres aceleraciones angulares son nulas por definición en las ecuaciones de
excitación. Por lo tanto las aceleraciones de C’ y B’ son conocidas, sus módulos serán:
|a C’ | = w32 . C’D
|a B’ | = w12 . AB’
Las direcciones y sentidos son los mostrados en la figura anterior.
Analizando el movimiento relativo en la junta C tendremos.
21
a C’ = aC + aC’C + acor C
La aceleración de Coriolis acor
C
se puede calcular según se muestra en el cinema de
aceleraciones a partir de V C’C y de w2 .
El módulo de acor C será:
|acor C| = 2 |V C’C| . |w2|
De la misma forma, analizando el movimiento relativo en la junta B tendremos:
a B = aB’ + a BB’ + acorB
La aceleración de Coriolis acor
B
se puede calcular según se muestra en el cinema de
aceleraciones a partir de VBB’ y de w1 . El módulo de acor B será:
|acorB | = 2 |V BB’| . |w1|
Como B y C pertenecen al msmo sólido rígido, podemos expresar aC en función de aB
aC = aB + aBCn + aBCt = aB + aBCn
por lo tanto:
a C’ = aC + aC’C + acor C = aB + aBCn + acor C + aC’C = aB’ + a BB’ + acorB + aBCn + acor C + aC’C
en la ecuación anterior, los términos en negrita son conocidos. La resolución gráfica de la misma se
muestra en el cinema de aceleraciones de la figura anterior.
Evidentemente, los demás casos planteados que el alumno podría haber propuesto, tienen
resoluciones más sencillas que este.
22