práctica 4. extremos relativos y absolutos. extremos condicionados.

PRÁCTICA 4. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS.
EXTREMOS CONDICIONADOS.
EJERCICIO 14. HOJA 5.
restart:with(plots):
f:=(x,y)->15+y^4-x^4+x^2*y^2+4*x^2;
(1)
RECINTO:
g0:=plot3d(0,x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=-sqrt(2-x^2)..sqrt(2-x^2),
color="DarkOrchid"):
g00:=plot3d(0,x=-sqrt(2-y^2)..sqrt(2-y^2),y=-sqrt(2)..sqrt
(2),color="DarkOrchid"):
g1:=plot3d([sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=0..f
(sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t)),color=red):
g11:=plot3d([sqrt(2-y^2),y,z],y=-sqrt(2)..sqrt(2),z=0..f(sqrt
(2-y^2),y),color=red):
g22:=plot3d([-sqrt(2-y^2),y,z],y=-sqrt(2)..sqrt(2),z=0..f(x,
sqrt(2-y^2),y),color=red):
g3:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-sqrt(2)..sqrt(2),y=-sqrt(2-x^2)..
sqrt(2-x^2),color=yellow):
g33:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-sqrt(2-y^2)..sqrt(2-y^2),y=-sqrt
(2)..sqrt(2),color=yellow):
display(g0,g00,g1,g11,g22,g3,g33);
PUNTOS CRÍTICOS:
diff(f(x,y),x);
(2)
fx:=(x,y)->-4*x^3+2*x*y^2+8*x;
(3)
diff(f(x,y),y);
(4)
fy:=(x,y)->4*y^3+2*x^2*y;
(5)
solve({fx(x,y)=0,fy(x,y)=0},{x,y});
(6)
allvalues({x = RootOf(_Z^2-2), y = 0});
(7)
allvalues({x = 2*RootOf(5*_Z^2-2), y = 2*RootOf(5*_Z^2+1)});
(8)
(8)
Puntos críticos: (0,0),(
diff(f(x,y),x,x);
(9)
fxx:=(x,y)->-12*x^2+2*y^2+8;
(10)
diff(f(x,y),y,y);
(11)
fyy:=(x,y)->12*y^2+2*x^2;
(12)
diff(f(x,y),x,y);
(13)
fxy:=(x,y)->4*x*y;
(14)
Hf:=(x,y)->matrix(2,2,[fxx(x,y),fxy(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)]);
(15)
Hf(x,y);
(16)
Hf(0,0);
(17)
Hf(sqrt(2),0);
(18)
Hf(-sqrt(2),0);
(19)
En (
EXTREMOS ABSOLUTOS
INTERIOR: (0,0)
FRONTERA
g:=(x,y)->x^2+y^2-2;
(20)
L:=(x,y,l)->f(x,y)-l*g(x,y);
(21)
L(x,y,l);
(22)
diff(L(x,y,l),x);
(23)
Lx:=(x,y,l)->-4*x^3+2*x*y^2+8*x-2*l*x;
(24)
diff(L(x,y,l),y);
(25)
Ly:=(x,y,l)->4*y^3+2*x^2*y-2*l*y;
(26)
solve({Lx(x,y,l)=0,Ly(x,y,l)=0,g(x,y)=0},{x,y,l});
(27)
allvalues({l = 4, x = 0, y = RootOf(_Z^2-2)});
(28)
allvalues({l = 0, x = RootOf(_Z^2-2), y = 0});
(29)
La solución del sistema viene dada por el siguiente conjunto de puntos:
(
Evaluamos la función en estos puntos y en el que tenemos en el interior, (0,0).
f(0,0);
15
(30)
19
(31)
19
(32)
19
(33)
19
(34)
20
(35)
20
(36)
f(0,sqrt(2));
f(0,-sqrt(2));
f(sqrt(2),0);
f(-sqrt(2),0);
f(1,1);
f(1,-1);
f(-1,1);
(37)
20
(37)
20
(38)
f(-1,-1);
Mínimo=15 que se alcanza en el punto (0,0);
Máximo=20 que se alcanza en los puntos