Lección 2: suma y resta de números naturales

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Lección 2: suma y resta
de números naturales
Suma de números naturales
Para empezar recordaremos la suma y haremos algunas
reflexiones sobre ella. Recuerde que la suma también se
llama adición y que los números que se suman se llaman
sumandos. Hemos puesto aquí la tabla básica de suma con
los dígitos y hemos llenado una parte. Cópiela en su cuaderno
y complétela. Observe que cada cuadro es el cruce de una
columna y un renglón y en el cuadro está la suma del dígito
que está al pie de esa columna y el dígito que está a la
izquierda de ese renglón. Como un ejemplo en la tabla
se marcó con flechas cómo se obtiene 6 + 3 = 9.
9
18
8
16
17
14
15
16
12
13
14
15
10
11
12
13
14
8
9
10
11
12
13
6
7
8
9
10
11
12
4
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
6
5
4
3
2
1
14
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
LECCIÓN 2
Observe con cuidado la tabla que hizo y conteste las siguientes
preguntas. Recuerde que se llaman suma la operación y el
resultado.
a) ¿Qué relación hay entre cada par de sumas en la lista
siguiente?
•3+8 y 8+3
•5+6 y 6+5
•4+7 y 7+4
•9+8 y 8+9
¿Sucede lo mismo con todas las sumas en que se cambia
el orden de los sumandos?
b) Encuentre todas las formas posibles de repartir once
lápices en dos cajas iguales, de tal manera que en una
caja queden al menos dos lápices. ¿Cuántas son?
c) Encuentre todas las formas posibles de poner doce
canastas en dos anaqueles iguales, de tal manera que
en cada anaquel queden
al menos tres canastas.
¿Cuántas son?
d) ¿Qué diferencia
encontró en las dos
respuestas anteriores?
Lo que usted observó
al hacer el primer inciso
del ejercicio anterior es
cierto en general: cambiar
el orden de los sumandos
no altera el resultado de
la suma. En la tabla estas
sumas están en cuadros
simétricos con respecto
a la diagonal marcada.
15
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Recordemos ahora una manera de sumar números con más de
una cifra, por ejemplo 47 y 25:
+
1
4 7
2 5
7 2
Sumamos las unidades: 7 + 5 = 12.
Obtenemos una decena y dos unidades.
En el resultado anotamos las unidades
y agregamos la decena a las decenas
de nuestros sumandos: 1 + 4 + 2 = 7.
Esto es lo que estamos haciendo cuando
decimos "llevo uno". Con esto obtenemos
7 decenas que anotamos en el lugar
de las decenas en nuestro resultado.
Para sumar números con más cifras hacemos lo mismo.
Por ejemplo, para sumar 365 y 4789, sumamos las unidades,
obtenemos 5 + 9 = 14, anotamos
en el resultado las 4 unidades
y agregamos la decena a las
1 1
1
decenas de los sumandos;
3
6
5
sumamos las decenas y obtenemos
1 + 6 + 8 = 15 decenas, es decir
+ 4
7
8
9
5 decenas y 1 centena, anotamos
5
1
5
4
las 5 decenas en el lugar de las
um c
d
u
decenas en el resultado y
sumamos la centena con las
centenas de los sumandos y
tenemos 1 + 3 + 7 = 11 centenas, es decir 1 centena y 1
millar; anotamos la centena en el lugar de las centenas
del resultado y sumamos el millar a los millares de nuestros
sumandos y tenemos 1 + 0 + 4 = 5 millares. Así al final
tenemos cinco millares, una centena cinco decenas y cuatro
unidades, es decir cinco mil ciento cincuenta y cuatro.
El procedimiento anterior es el más usual, pero no es
la única manera de llegar al resultado de una suma. Ahora
veremos un segundo procedimiento para efectuar la suma.
Este segundo procedimiento se parece a la forma en que
acostumbramos contar el dinero, cuando contamos primero
16
LECCIÓN 2
los billetes grandes y luego los
chicos para finalizar con las
monedas.
Veamos cómo se suman 47 y 25 en esa forma. Primero
sumamos las decenas (los billetes de diez pesos): 4 + 2
Obtenemos 6 decenas, que anotamos en el
resultado dejando lugar para las unidades o
poniendo cero en el lugar de las unidades.
Luego sumamos las unidades (las monedas
+
de un peso): 7 + 5 = 12. Obtenemos una
decena y dos unidades que anotamos abajo
+
de las decenas y unidades que ya teníamos
y volvemos a sumar, decenas con decenas
y unidades con unidades para obtener
el resultado final.
+
3
6
5
4
7
8
9
4
0
0
0
1
0
0
0
1
4
0
1
4
5
4
+
5
1
= 6.
4 7
2 5
6 0
1 2
7 2
Para sumar números de más cifras con
este procedimiento hacemos lo mismo.
Por ejemplo para sumar 365 y 4789
buscamos los números del orden mayor,
en este caso los miles, los sumamos
y anotamos la suma en el resultado
dejando lugar para los órdenes menores
o poniendo ceros en esos lugares.
Sumamos los números del siguiente
orden, aquí 3 + 7 = 10 centenas, que
forman un millar. Anotamos el uno en
el lugar de los miles y el cero en el de
las centenas, rellenamos los lugares
vacíos con ceros y continuamos.
17
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Sumamos las decenas: 6 + 8 = 14, obtenemos una centena y
cuatro decenas, las acomodamos en su lugar y rellenamos
con cero el lugar de las unidades. Sumamos las unidades:
5 + 9 = 14, obtenemos una decena y cuatro unidades, y las
acomodamos en su lugar: Finalmente volvemos a sumar
para obtener el resultado final: 5 154.
Cuando en la última suma que se realiza con este procedimiento
se obtienen más de diez unidades o decenas o centenas, etc.,
se puede repetir el método, sumando primero los millares
(o decenas de millar, etc.), luego las centenas, decenas y
unidades.
Haga las siguientes operaciones con el procedimiento que
le resulte más cómodo.
a)
+
7363
854
83
943
d)
18
b)
900234
+ 3100133
12390012
9313
9453
+ 93822
328342
13
e)
c)
+
129823
+
3444
87683
343256
5431
2352
124
LECCIÓN 2
Cambie las interrogaciones por números que completen
correctamente las operaciones.
a)
+
? ? 02
8?
5040
b)
d)
3538
+ 3?556?
9?0
? 2 2 ? 14
?78?02
+ ?81?993?
94?2
32733659
c)
? ? 12
632
60
? 8552
+
e)
4?693?
+ 5?8?9
?34114
?051?08
Cambie las letras por dígitos que completen correctamente
las operaciones. Si una letra se repite en una suma debe
cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.
a)
+
966
AAB
8B1
b)
+
2B92
d)
T2T
KTT
K4T
c)
+
799
JNJ
+ NNJ
8NJ
e)
R64
R19Q
761Q
RR14
GGGG
+ E E E E
14443
19
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a) De Mérida a Villahermosa hay 559 kilómetros, de
Villahermosa a Tampico hay 974 kilómetros y de Tampico
a Matamoros hay 501 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros hay
entre Mérida y Matamoros?
b) En una pequeña empresa se anotaron los siguientes gastos
en una quincena: $23 837 de salarios, $1 208 de material,
$890 de la compostura de una máquina y $1 500 de renta.
¿Cuánto se gastó en la quincena en esa empresa?
c) En una región se tienen los siguientes cultivos: 10 548 Has.
de maíz, 821 Has. de frijol, 472 Has de haba, 439 Has.
de alverjón, 127 Has. de planta de ornato, 3 058 Has. de
huertas de manzana, 2 109 Has. de huertas de pera y
502 Has. de huertas de ciruela. ¿Cuántas hectáreas de
cultivo tiene la región?
Resta de números naturales
Usaremos un ejemplo para aclarar qué tipo de restas vamos a
hacer por el momento: Si tenemos $20 podemos ir a la tienda
y gastarnos una parte o todo ese dinero, pero si queremos
comprar unos chocolates que cuestan $27 no lo podemos
hacer o tenemos que quedar a deber dinero en la tienda.
Por ahora trabajaremos con restas en las que se quita una
cantidad menor o igual a la que tenemos. Más adelante
veremos cómo se expresa la situación del ejemplo en que
"quedamos a deber".
Recordemos cómo se restan dos números naturales.
Empecemos con los dígitos, del mayor al menor. Nueve
es el dígito más grande y le podemos restar cualquier
dígito, aún el 9 mismo y quedarnos sin nada. Pero, ¿qué
estamos haciendo al restar?
Por ejemplo, si a 9 le restamos 5 lo que hacemos es
descomponer el 9 en dos partes: una con 5 y lo que sobra.
20
LECCIÓN 2
Aquí lo que sobra después de apartar 5
son 4; saber cuánto hay en esta parte es
①①①①① ①①①①
lo que se llama restar y esa cantidad es
el resultado de la resta: 9 - 5 = 4. Cuando
4
5
hacemos una resta (también llamada
sustracción), al número del que restamos
lo llamamos minuendo, al que se le resta lo llamamos
sustraendo y al resultado lo llamamos resta. Así, en nuestro
ejemplo, 9 es el minuendo, 5 es el sustraendo y 4 es la resta.
9
Observe que con lo que acabamos de hacer averiguamos varias
cosas al mismo tiempo:
•9-5=4
•9-4=5
•5+4=9
•4+5=9
Si conocemos todas las formas de descomponer 9 en dos
partes podemos restarle cualquier dígito. Hagámoslo y
anotemos la información que obtenemos:
9
①①①①①
①①①①
4
5
①①①①①① ①①①
6
3
①①①①①①① ①①
7
2
①①①①①①①① ①
8
1
①①①①①①①①①
9
9-5=4 y 9-4=5
5+4=9 y 4+5=9
9-6=3 y 9-3=6
6+3=9 y 3+6=9
9-7=2 y 9-2=7
7+2=9 y 2+7=9
9-8=1 y 9-1=8
8+1=9 y 1+8=9
9-9=0 y 9-0=9
9+0=9 y 0+9=9
21
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
También podemos obtener esta información de la
tabla de suma de dígitos. Observe que en ella aparecen todas
las formas de descomponer los dígitos en dos sumandos.
Nosotros hemos marcado en la tabla la descomposición de
9 como 2 + 7 y como 5 + 4. Encuentre usted las otras formas
de descomponer 9 como la suma de dos dígitos.
9
9
8
8
9
7
7
8
9
6
6
7
8
9
5
5
6
7
8
9
4
4
5
6
7
8
9
3
3
4
5
6
7
8
9
2
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Encuentre todas las maneras de descomponer 8, 7, 6, 5, 4, 3,
2, 1 y 0 como suma de dos dígitos.
22
LECCIÓN 2
Ahora que hemos revisado todas las restas que se pueden
hacer de un dígito menos uno menor o igual que él,
recordemos cómo se restan números mayores.
Si tenemos un minuendo de dos cifras y un
sustraendo de un dígito, el de dos cifras es el
1 9
mayor, por ejemplo, entre 19 y 8 el mayor es
–
8
19, entre 32 y 7 el mayor es 32. Si queremos
1 1
restar 19 - 8, primero observamos que 19
es una decena y nueve unidades, tiene más
unidades sin agrupar que el dígito que
queremos restar, entonces simplemente restamos 9 - 8 = 1,
lo acomodamos en el lugar de las unidades y dejamos la
decena intacta como parte del resultado.
10
10
10
10
Veamos ahora cómo restar 32 - 7, y para ello observemos
que 32 es tres decenas y dos unidades. Como 2 es menor
que 7, no podemos usar
el procedimiento anterior.
10 10
①①
En este caso tenemos que
desagrupar en unidades una
10 ①①①①①①①①①① ①①
de las tres decenas de 32,
juntar esas unidades con
10 ①①①①① ①①①①① ①①
las 2 que teníamos y quitar
10 ①①①①①
de ahí las 7 unidades que
queremos restar. Vemos
cuántas unidades nos
sobraron, las anotamos en el resultado y como no hay
más que restar, anotamos en el resultado las decenas que
quedaron. Podemos escribir esta operación de la siguiente
manera:
2 12
3 2
–
7
2
5
23
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
Para restar números más grandes el procedimiento es similar.
5 13
6 3
– 2 8
3
5
Si queremos restar por ejemplo 63 - 28
tenemos que desagrupar una de las decenas
de 63, restar 13 - 8 = 5 unidades y restar
las 2 decenas de 28 de las 5 decenas que
quedaron de 63, es decir 5 - 2 = 3 decenas.
Con números mayores el procedimiento sigue
siendo el mismo, por ejemplo si queremos restar
128 - 79, tenemos que desagrupar una de las
decenas de 128 y restamos 18 - 9 = 9 unidades.
Como nos quedó una decena y queremos restar
7 decenas tenemos que desagrupar una centena,
y restar 11 - 7 = 4 decenas.
11 18
1 2 8
–
7 9
4
9
Si queremos restar 48527 - 29688 el procedimiento será el
mismo: desagrupamos una decena de 48527 y restamos
17 - 8 = 9 unidades; desagrupamos
una centena en decenas, las
3 17 14 11 17
agregamos a la decena que quedó
4 8 5 2 7
y restamos 11 - 8 = 3 decenas;
– 2 9 6 8 8
desagrupamos un millar en
centenas, las agregamos a las 4
1 8 8 3 9
que quedan y restamos 14 - 6 = 8
dm um c d u
centenas; desagrupamos una
decena de millar en millares,
los agregamos a los 7 millares que quedan y restamos
17 - 9 = 8 millares; de las 3 decenas de millar que quedan
restamos las 2 que faltan, 3 - 2 = 1 decena de millar.
Podríamos hacer todas estas restas de otra forma
muy parecida. Con este procedimiento, para restar
por ejemplo 32 - 7, en vez de desagrupar una de las
decenas de 32, le agregamos 10 a las dos unidades
de 32 para poder restar 12 - 7, y luego restamos a
las decenas esa decena adicional que usamos. Esto
es lo que hacemos cuando decimos "siete para doce
24
12
3 2
– 1 7
2
5
LECCIÓN 2
son cinco, y llevo uno". Esa operación se puede escribir como
se muestra a la derecha.
Para restar números más grandes el procedimiento es parecido,
pero ahora hay que sumar la decena adicional a las decenas
del sustraendo, y a veces hay que utilizar centenas o millares
etc. adicionales.
13
6 3
– 32 8
3
5
Si queremos restar por ejemplo 63 - 28 le agregamos 10
a las tres unidades de 43, restamos 13 - 8 = 5 unidades,
le agregamos la decena adicional que usamos a las
2 decenas de 28 y restamos 6 - 3 = 3 decenas. Algunas
personas dicen así este procedimiento: "cinco para
trece son cinco y llevo una; una y dos son tres,
para seis son tres".
Veamos cómo restar 128 - 79 con este
procedimiento. Usamos una decena para
restar 18 - 9 = 9 unidades. La decena
adicional se la agregamos a las 7 decenas
del minuendo, y ahora usamos una centena
adicional para restar 12 - 8 = 4 decenas.
Esa centena adicional se la restamos a la
centena del minuendo y nos queda 1 - 1 = 0
ninguna centena.
4
– 2
1
dm
12 18
1 2 8
– 1 87 9
4
9
Por último repitamos la resta 48527 - 29688 con este
procedimiento. Utilizamos una decena para restar 17 - 8 = 9
unidades, y se la agregamos a las 8 decenas de 29688, con
lo que ahora tenemos 9; utilizamos una centena para restar
12 - 9 = 3 decenas y se la agregamos
a las 6 centenas de 29688, con lo que
18 15 12 17
ahora tenemos 7; utilizamos un millar
8 5 2 7
para restar 15 - 7 = 8 centenas y se
9 6 8 8
lo agregamos a los 9 millares de 29688,
8 8 3 9
con lo que ahora tenemos 10; utilizamos
um c d u
una decena de millar para restar
18 - 10 = 8 millares y se la agregamos
25
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a las 2 decenas de millar de 29688; con lo que ahora tenemos
3; restamos 4 - 3 = 1 decena de millar.
Como usted puede ver, los números que se manejan en cada
uno de estos dos procedimientos son distintos, pero los
resultados son los mismos.
Es importante darse cuenta de que sea cual sea el
procedimiento de la resta que se utilice, la operación se
reduce a saber restar los dígitos de los números menores
que veinte, y si manejamos con agilidad estas pequeñas
restas podremos hacer cualquier otra, por grande que sea.
Haga las siguientes operaciones con el procedimiento que
prefiera.
a)
b)
-
7021
6490
e)
-
7664
5383
d)
26
c)
-
6650
3593
f)
-
6184
1476
7827
7627
-
3191
- 273
g) 4032 - 356
h) 58037 - 721
i) 8888 - 999
j) 704038 - 50920
LECCIÓN 2
Cambie las interrogaciones por números que completen
correctamente las operaciones.
a)
-
68?6
? ? 07
b)
-
5639
d)
-
4 ?13
?3?5
??9?
10 ? 5
c)
-
687
e)
-
3008
6204
????
?425
6?2?
1?0
f)
-
3363
????
4863
2398
Cambie las letras por dígitos que completen correctamente
las operaciones. Si una letra se repite en una resta debe
cambiarse siempre por el mismo dígito en esa operación.
a)
A A 8 9
- A 0 B B
b)
2 2 3
d)
H H H D
H D D
1 9 9 0
2 R R 0
- 1 3 R R
c)
1 1 9 R
e)
1 1 2 1
F M F
7 F M
T 7 5 3
- 3 P P T
5 0 T 5
f)
7 X 2 5
X X 2
X 9 X 3
27
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a) En una fábrica de vidrio soplado, todo el proceso de
confección de una pieza toma 203 horas. Si la primera
parte, hasta antes del enfriado, toma 17 horas,
¿cuánto tiempo lleva el enfriado?
b) En la misma fábrica, la temperatura del horno de cocido
es de 1230ºC. Si al finalizar el proceso de enfriado las
piezas están a 45ºC, ¿cuántos grados centígrados baja la
temperatura con el enfriado?
c) A un tanque que contenía 183 500 litros de agua se le
vaciaron 95 432 litros. ¿Cuánta agua quedó en el tanque?
d) A un tanque que contenía 209 346 litros de agua se le
vació una cantidad, y quedaron 46 067 litros.
¿Qué cantidad se le vació?
e) En una bodega había 12 536 toneladas de producto.
Cuando terminaron los repartidores de llevarse sus cargas
quedaron 789 toneladas. ¿Cuántas toneladas se llevaron
los repartidores?
f) Un rollo de tela mide 206 metros, y de él se corta una
pieza de 14 metros. ¿Cuántos metros quedan?
A continuación se muestra una página del cuaderno de
cuentas de una cooperativa de consumo.
28
LECCIÓN 2
Fecha
Concepto
Entró a la caja
Salió de la caja
Saldo de mayo
Total
837
1 de junio
Compra de fruta
377
1 de junio
Aportación de RR
2 de junio
Compra de aceite
2 de junio
Aportación de JO
104
4 de junio
Aportación de MF
152
4 de junio
Aportación de LL
236
4 de junio
Compra de fruta
402
5 de junio
Compra de papel
231
5 de junio
Aportación de MS
251
6 de junio
Aportación de TS
560
6 de junio
Compra de granos
437
6 de junio
Compra de azúcar
187
6 de junio
Aportación de AZ
7 de junio
Compra de fruta
7 de junio
Aportación de AV
263
7 de junio
Aportación de TR
68
183
264
167
568
Las organizadoras de la cooperativa desean saber cuánto
dinero hay en la caja al finalizar el 7 de junio. Lidia propone
hacer las cuentas así: calcular en cada renglón el total,
sumando o restando al total anterior las aportaciones o
compras, con lo que el último total será la cantidad en la
caja. Mariana propone hacerlas así: sumar los números de
la columna de "entrada", sumar los de la columna de "salida"
y al final sumarle al total de mayo el resultado de "entrada"
y restarle al resultado el resultado de "salida".
29
GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
a) Realice las cuentas según el procedimiento propuesto
por Lidia. ¿Cuánto dinero hay al finalizar el 7 de junio?
b) Realice las cuentas según el procedimiento propuesto
por Mariana. ¿Cuánto dinero hay al finalizar el 7 de junio?
c) Compare ambos resultados. ¿Qué ventajas y desventajas
tiene cada uno? ¿Cuál es mejor?
a) A un rollo de 500 metros de alambre se le agregaron
275 metros más. Después se utilizaron 692 metros.
¿Cuánto alambre quedó?
b) De una caja en la que hay $21 879 se sacan estas
cantidades: $506, $987, $46 y $5 618. ¿Cuánto queda
en la caja?
c) Una compañía que fabrica pan recoge de las tiendas
el pan entregado dos días antes que no se vendió.
Un camión de la compañía recorre tres tiendas. En la
primera tienda había dejado 180 bolsas y se vendieron
162, en la segunda había dejado
50 bolsas y se vendieron 47, y en
la tercera había dejado 96 bolsas
y se vendieron 43. ¿Cuántas
bolsas recoge el camión?
d) De un rollo de tela se cortan
piezas que miden 26 metros,
11 metros, 18 metros, 2 metros,
46 metros, 10 metros y 28 metros.
Al final queda un pedazo de 9
metros. ¿Cuántos metros de tela
tenía el rollo?
30