Regla de la Cadena

54
Unidad 4 : DERIVADAS PARCIALES
Tema 4.4 : Regla de la Cadena
(Estudiar la Sección 14.5 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 15)
Regla de la Cadena para una función de una variable que a su vez
depende de otra variable.
Si
y = f ( x ) ; x = g (t ) entonces dy =
dy
dx →
dx
dy dy dx
=
dt dx dt
Ejemplo:
dy

= cos x 
dy

dx
= (cos x )(15t 4 ) = 15t 4 cos(3t 5 )
⇒
dx
dt
= 15t 4 
x = 3t 5 ;
dt

d
o en forma equivalente
sen(3t 5 ) = cos(3t 5 ) (15t 4 ) = 15t 4 cos(3t 5 )
dt
y = senx ;
[
]
Regla de la Cadena para una función de dos variables que a su vez
dependen cada una de ellas de una sola variable.
Si
z = f ( x, y ) ; x = g (t ) ;
dz =
∂z
∂z
dx + dy →
∂x
∂y
y = h(t )
dz ∂z dx ∂z dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
Ejemplo:
z = x 2 y + 3 xy 4
; x = et
∂z
∂x
dz
dt
dz
dt
dz
dt
∂z
dx
dy
= x 2 + 12 xy 3 ;
= et ;
= cos t
∂y
dt
dt
= 2 xy + 3 y 4 ;
;
y = sent
= (2 xy + 3 y 4 )(e t ) + (x 2 + 12 xy 3 )(cos t )
= (2e t sent + 3sen 4 t )(e t ) + (e 2t + 12e t sen 3t )(cos t )
= 2e 2t sent + 3e t sen 4 t + e 2t cos t + 12e t sen 3t cos t
55
Regla de la Cadena para una función de dos variables que a su vez
dependen cada una de ellas de otras dos variables.
Si
z = f ( x , y ) ; x = g (s , t ) ;
y = h (s , t )
 ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
 ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s
∂z
∂z
dz = dx + dy → 
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
∂x
∂y
 =
+
 ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
∂z
∂z
y
Ejemplo: Calcular
∂t
∂s
x
2
z = e seny ; x = st ; y = s 2 t
∂z
∂z
∂x
∂y
∂x
∂y
= e x seny ; = e x cos y ; = t 2 ; = 2 st ; = 2 st ; = s 2
∂x
∂y
∂s
∂s
∂t
∂t
∂z
= (e x seny )(t 2 ) + (e x cos y )(2 st )
∂s
2
2
∂z
= e st sen(s 2 t ) (t 2 ) + e st cos(s 2 t ) (2 st )
∂s
(
)
(
)
∂z
= (e x seny )(2 st ) + (e x cos y )(s 2 )
∂t
2
2
∂z
= e st sen(s 2 t ) (2 st ) + e st cos(s 2 t ) (s 2 )
∂t
(
)
(
)
Regla de la Cadena para una función de tres variables que a su vez
dependen cada una de ellas de otras tres variables.
Si u = f ( x, y, z ) ; x = g (r , s, t ) ;
y = h(r , s, t ) ; z = k (r , s, t )
 ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
 ∂r = ∂x ∂r + ∂y ∂r + ∂z ∂r

∂u
∂u
∂u
 ∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
du = dx + dy + dz →  =
+
+
∂x
∂y
∂z
∂
s
∂
x
∂
s
∂
y
∂
s
∂z ∂s

 ∂u = ∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z
 ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z ∂t
56
Ejemplo: Calcular
∂u
∂s
u = x 4 y + y 2 z 3 ; x = rset ; y = rs 2 e −t ; z = r 2 ssent
∂u
Calcule
cuando r = 2 , s = 1 , t = 0 → ( x = 2, y = 2, z = 0 )
∂s
∂u
∂u
∂u
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z
du = dx + dy + dz →
=
+
+
∂x
∂y
∂z
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂z ∂s
∂u
= 4 x 3 y ret + x 4 + 2 yz 3 2rse − t + 3 y 2 z 2 r 2 sent
∂s
∂u
= 4 × 2 3 × 2 2e 0 + 2 4 + 2 × 2 × 0 2 × 2 × 1 × e 0 + 3 × 2 2 × 0 2 2 2 sen0
∂s
∂u
= 64 × 2 + 16 × 4 + 0 × 0 = 128 + 64 = 192
∂s
(
(
E1 : Calcule
)( ) (
)( ) (
)(
) (
)(
)(
∂w ∂w
;
; para w = 2 xy ; x = s 2 + t 2 ;
∂s ∂t
)
) (
y=
)(
s
t
(
)
∂R ∂R
;
; cuando x = y = 1 ; para R = ln u 2 + v 2 + w 2 ;
∂x ∂y
u = x + 2 y ; v = 2 x − y ; w = 2 xy
E 2 : Calcule
E 3 : Calcule
∂z ∂z ∂z
; ;
∂u ∂v ∂w
x = uv 2 + w3 ;
y = u + ve w
∂w 6 s 2 + 2t 2
R1 :
=
∂s
t
R2 :
9
9
;
7
7
cuando u = 2 ; v = 1 ; w = 0 ; con z = x 2 + xy 3 ;
∂w 2 st 2 − 2 s 3
;
=
∂s
t2
R3 : 85 ; 178 ; 54
)
57
Ejemplos de Aplicaciones de la Regla de la Cadena
El voltaje V en un circuito eléctrico sencillo está decreciendo lentamente a
medida que se consume la batería. La resistencia R está aumentando lentamente
a medida que se calienta el resistor. Utilice la Ley de Ohm, V=IR, para hallar
cómo está cambiando la corriente I en el momento cuando R=400 Ω, I=0.08 A,
dV/dt=-0.01 V/s, y dR/dt=0.03 Ω/s.
I (V , R ) =
dI =
V
R
∂I
∂I
dV +
dR
∂V
∂R
dI ∂I dV ∂I dR
=
+
dt ∂V dt ∂R dt
dI  1  dV  − V  dR
= 
+

dt  R  dt  R 2  dt
dI  1  dV  − IR  dR
= 
+

dt  R  dt  R 2  dt
dI  1  dV  − I  dR
= 
+

dt  R  dt  R  dt
dI 1 dV I dR
=
−
dt R dt R dt
 1 
 0.08 
=
(− 0.01) − 
(0.03)
 400 
 400 
dI
A
= −3.1 × 10 −5
dt
s
La presión de 1 mol de gas ideal está aumentando a razón de 0.05 kPa/s y la
temperatura está subiendo a razón de 0.15 K/s. Utilice la ecuación PV = 8.31T
para hallar la razón de cambio del volumen cuando la presión sea 20 kPa y la
temperatura sea 320 K.
T
P
∂V
∂V
dT
dV =
dP +
∂P
∂T
V (P, T ) = 8.31
dV ∂V dP ∂V dT
=
+
dt ∂P dt ∂T dt
dV 
T  dP  8.31  dT
=  − 8.31 2 
+

dt 
P  dt  P  dt
dV
T dP 8.31 dT
= −8.31 2
+
dt
P dt
P dt
320 

 8.31 
=  − 8.31
(0.05) + 
(0.15)
400 

 20 
dV
L
= −0.2701
dt
s
58
El auto A se desplaza hacia el norte por la carretera 16 y el auto B hacia el oeste
por la carretera 83; cada uno se aproxima al cruce de estas carreteras. En cierto
momento, el auto A está a 0.3 km del cruce y viaja a 90 km/h mientras que el auto
B está a 0.4 km del cruce y viaja a 80 km/h. ¿Cuál es la razón de cambio de la
distancia entre los autos en ese momento?
s2 = x2 + y2
∂s
∂s
ds = dx + dy
∂x
∂y
ds ∂s dx ∂s dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
∂s
∂s x
2s = 2 x ;
= =
∂x
∂x s
ds
=
dt
ds
=
dt
dx
+
x + y dt
2
x
2
x +y
2
dy
x + y dt
(− 80) +
y
2
2
y
x + y2
x2 + y2
ds − 59
m
=
= −118
dt 0.5
s
y
x2 + y2
Ejemplo del Teorema de la Función Implícita:
Calcule
∂z
∂x
y
∂z
∂y
si 3 x 2 z − x 2 y 2 + 2 z 3 + 3 yz = 5
F ( x, y, z ) = 3 x 2 z − x 2 y 2 + 2 z 3 + 3 yz − 5 = 0
∂z − Fx
− (6 xz − 2 xy )
2 xy − 6 xz
=
= 2
=
∂x
Fz
3x + 6 z 2 + 3 y 3x 2 + 6 z 2 + 3 y
(
2
ds (− 80)(0.4 ) + (90)(0.3)
=
dt
0.4 2 + 0.32
x
∂s
∂s y
2s = 2 y ;
= =
∂y
∂y s
x
2
)
∂z − Fy − − 2 x 2 y + 3 z
2 x 2 y − 3z
=
= 2
=
∂y
Fz
3x + 6 z 2 + 3 y 3x 2 + 6 z 2 + 3 y
Para la próxima clase estudiar las secciones
14.5 La Regla de la Cadena
14.6 Vector Gradiente y Derivada Direccional
Tarea para entregar la próxima clase
Tarea No. 15 La Regla de la Cadena
(90)
59
Teorema de la Función Implícita
para una función de una variable
z = F ( x, y ) = 0 define a " y"
implicitamente como :
y = f ( x ) entonces :
F ( x, y ) = f ( x ) − y = 0
dF ∂F dx ∂F dy
=
+
=0
dx ∂x dx ∂y dx
∂F ∂F dy
⇒
+
=0
∂x ∂y dx
∂F
−
dy
⇒
= ∂x
∂F
dx
∂y
dy − Fx
⇒
=
dx
Fy
Ejemplo:
Si
x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz = 1 →
F ( x, y, z ) = x 3 + y 3 + z 3 + 6 xyz − 1 = 0
F
∂z
3x 2 + 6 yz
=− x =− 2
=
∂x
Fz
3z + 6 xy
∂z
x 2 + 2 yz
=− 2
∂x
z + 2 xy
Fy
∂z
3 y 2 + 6 xz
=−
=− 2
=
∂y
Fz
3z + 6 xy
∂z
y 2 + 2 xz
=− 2
∂y
z + 2 xy
Teorema de la Función Implícita
para una función de dos variables
w = F ( x, y, z ) = 0 define a " z"
implicitamente como :
z = f ( x, y ) entonces :
F ( x, y , z ) = f ( x, y ) − z = 0
∂F ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
=
+
+
=0
∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂z ∂x
∂F ∂F ∂z
⇒
+
=0
∂x ∂z ∂x
∂F
−
∂z
⇒
= ∂x
∂F
∂x
∂z
∂z − Fx
=
⇒
∂x
Fz
w = F ( x, y, z ) = 0 define a " z"
implicitamente como :
z = f ( x, y ) entonces :
∂F ∂F ∂x ∂F ∂y ∂F ∂z
=
+
+
=0
∂y ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂y
∂F ∂F ∂z
⇒
+
=0
∂y ∂z ∂y
∂F
−
∂z
∂y
⇒
=
∂F
∂y
∂z
∂z − Fy
⇒
=
∂y
Fz
60
Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 15 : Regla de la Cadena
(Sección 14.5 del Stewart 5ª Edición)
Utilice la regla de la cadena para hallar
1
w=
y
xe z
, x = t , y = 1 − t , z = 1 + 2t
3
z = x 2 + xy + y 2
z = e r cos θ
; x = s+t ;
y
ez
R1
2
Utilice la regla de la cadena para hallar
2
dw
dt
∂z
∂s
∂z
∂t
y
y = st
; r = st ; θ = s 2 + t 2
x 2 xy 

2t − z − z 2 
∂z
= 2 x + y + xt + 2 yt
∂s
∂z
= 2 x + y + xs + 2 ys
∂t
R2

s senθ
∂z
= e r  t cos θ −

∂s
s2 + t 2






t senθ 
∂z
= e r  s cos θ −


∂t
s2 + t 2 

R3
:Utilice la regla de la cadena para hallar las derivadas parciales indicadas:
w = x 2 + y 2 + z 2 , x = s t , y = s cos t , z = s sent
4
∂w
∂w
;
; cuando s = 1 ; t = 0
∂s
∂t
z = y 2 tan x ; x = t 2 uv ;
5
∂z
,
∂t
∂z ∂z
,
∂u ∂v
cuando t = 2 , u = 1 , v = 0
xy 2 + yz 2 + zx 2 = 3
2 , 0
R5
0 , 0 , 4
y = u + tv 2
Utilice el teorema de la función implícita para hallar
6
R4
R6
∂z
∂x
−
y
∂z
∂y
y 2 + 2 xz
2 yz + x 2
, −
2 xy + z 2
2 yz + x 2