Actividades de repaso para el segundo parcial

EJERCICIOS MATEMÁTICA FINANCIERA
1.- Se han depositado 60000€ al 3,4% anual de interés simple durante un periodo de 48 meses. ¿Qué
intereses producen?. ¿ Cuál es el capital final?.
2.- A un 5% de interés simple, ¿qué capital hemos depositado para que en 45 días nos proporcionen
45€ de intereses?
3.- Depositamos 3500 € en el banco a un interés anual de 4,5%, calcula el capital que tendremos a los
cinco años.
4.-Calcula el T.A.E. del 5% anual capitalizable trimestralmente.
5.- Una entidad financiera ofrece un producto con un TAE del 5,46%:¿Cuál es la tasa de interés
nominal si la capitalización es cuatrimestral? .
6.- Durante cuántos años debo ingresar la cantidad de 600€ mensuales al 4% anual para acumular un
capital de 90000€?
7.- Determina las cuotas semestral y anual que se deben satisfacer para devolver 15000€ al 7% anual
en tres años.
8.- Una persona decide comprar un piso que la cuesta 300000€. Como tiene 100000€ ahorrados, pide
una hipoteca al banco, que le conceden al 3,2% anual a devolver en 20 años. ¿qué cuota debe
satisfacer trimestralmente?.
9.- El precio del alquiler de un piso es de 600€. Si cada año el propietario lo incrementa un 4,5%,
¿cuál será el precio al cabo de 5 años?.
10.- Se invierten 2 millones de euros a un interés compuesto anual del 6%. ¿Cuál es el capital que
habrá al cabo de los 3 años?.
11.- Se depositan en una libreta de ahorro 20000€, ¿qué interés simple nos dan si a los 4 años
obtenemos un capital total de 24800€?
12.- Recibimos un préstamo de 30000€ al 10% anual, lo hemos de devolver a los cinco años
mediante un único pago. Averigua cuánto habremos de pagar si los periodos de capitalización
son: a) anuales
b) mensuales
c) trimestrales
13.- ¿ A qué interés se ha colocado un capital de 3750€ si al cabo de cinco años se ha convertido en
5018,35€?
14.- Una persona presta 10000€ a un familiar. Cada trimestre le da 200€ correspondientes a los
intereses que aquel capital ha producido durante ese trimestre. Calcula el TAE de este préstamo.
15.- Pepe pide un préstamo de 10000€ al 7% de interés compuesto por 6 años. ¿Qué anualidad debe
abonar?
16.- Una familia desea abrir una cuenta vivienda para tener un cierto capital en el momento de la
compra. Ahorra 1000€ mensuales y el banco le ofrece un 6% de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado
a los 3 años?¿Y a los 5?.
17.- Un trabajador de 52 años invierte anualmente 1750€ a un interés compuesto del 5,5% con la
intención de disponer de cierto capital cuando se jubile a los 65 años. ¿De que capital podrá
disfrutar?.
18.- Se pide un préstamo de 15000€ a un interés anual del 9,5% a devolver en 15 años. ¿Qué cuota
mensual debe pagarse?.
19.- Supóngase que en la actividad anterior la cuota mensual que hay que pagar fuese de
125€.¿Cuánto tiempo se tardaría en devolver el préstamo?
20.- ¿Cuánto tiempo se tardará en amortizar una deuda de 2500€ al 8,5% de interés si se paga una
anualidad de 250€?
21.- Decidimos ingresar en una cuenta de ahorro 1200€ al comienzo del año durante 10 años. En los
seis primeros años la libreta nos da unos intereses de 4,6% y a partir del séptimo año el interés
disminuye al 4,2% anual. ¿Cuál es el saldo final de la libreta?.
22.- Se pide un préstamo de 15000€ a un interés anual del 9,5% a devolver en 15 años. ¿Qué cuota
mensual debe pagarse?
ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL
1.- Al preguntar a 20 individuos sobre el número de libros que han leído en el último mes,
hemos obtenido las siguientes respuestas:
3 2 3 2 1
3 4 2 4 3
4 3 1 3 2
2 5 2 3 3
a
xi
fi
a Elabora una tabla de frecuencias.
1
2
b Representa gráficamente la distribución.
2
6
b
3
8
4
3
5
1
20
2.- Hemos ido apuntando la edad de cada uno de los componentes de un grupo de 30 personas,
obteniendo estos datos:
24 3 29 6 5
30 16 14 12 8
37 26 28 15 17
17 25 24 36 42
4 8 37 32 40
41 20 18 27 42
a Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más
conveniente.
b Representa gráficamente la distribución.
INTERVALO
FRECUENCIA
0, 5
2
5, 10
4
10, 15
2
15, 20
5
20, 25
3
25, 30
5
30, 35
2
35, 40
3
40, 45
4
30
a Por una parte, la variable que estamos estudiando la edad es continua.
Además, entre los datos que tenemos hay una gran variedad. Por tanto,
debemos agrupar los datos en intervalos.
El menor valor es 3 y el mayor es 42; su diferencia es 42  3  39.
Así, podemos tomar 9 intervalos de longitud 5, empezando en 0:
3.- Se han realizado 50 lanzamientos con un dado, obteniendo los siguientes resultados:
RESULTADO
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES
6
10
5
7
10
12
a Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de resultados hay en el intervalo
 x   x   ?
a
Media:
 f x 191
x i i 
 3,82
n
50
Desviación típica:

 fi xi2
 x2 
n
885
 3,822  3,1076  1,76
50
fi xi2
xi
fi
fi xi
1
6
6
6
2
10
20
40
3
5
15
45
4
7
28
112
5
10
20
250
6
12
72
432
50
191
885
Hemos obtenido una puntuación media de 3,82, con una desviación típica de 1,76 puntos.
b) x    2,06 

x    5,58 
En el intervalo 2,06; 5,58 hay 22 resultados, que representan un 44% del total.
4.- En un grupo, A, de animales de una misma especie, el peso medio es 20,4 kg, con una desviación
típica de 3,2 kg. En otro grupo, B, de animales de una segunda especie, el peso medio es 96 kg y
la desviación típica es de 12 kg. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di en cuál
de los dos grupos la variación relativa es mayor.
3,2
A


 0,157  15,7%
x A 20,4


B 12
C.V.B 

 0,125
 12,5%

xB 96

C.V.A 
La variación relativa es mayor en el grupo A.
5.- Tiramos sucesivamente una moneda y anotamos el número de lanzamientos que necesitamos
hasta obtener por primera vez cara. Realizamos el experimento 100 veces, con los siguientes
resultados:
LANZAMIENTO EN EL
QUE SALE CARA
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES QUE HA
OCURRIDO
48
25
16
4
5
2
Calcula Me, Q1, Q3 y p30.
Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me  p50  2
Q1  p25  1
Q3  p75  3
p30  1
xi
fi
Fi
en %
1
48
48
48
2
25
73
73
3
16
89
89
4
4
93
93
5
5
98
98
6
2
100
100
porque para
porque para
porque para
porque para
xi  2,
xi  1,
xi  3,
xi  1,
la
la
la
la
Fi
Fi
Fi
Fi
supera el 50%.
supera el 25%.
supera el 75%.
supera el 30%.
6.- En un grupo de personas hemos preguntado por el número medio de días que practican deporte a
la semana. Las respuestas han sido las siguientes:
4 2 3 1 3
7 1 0 3 2
6 2 3 3 4
6 3 4 3 6
xi
fi
a
a Haz una tabla de frecuencias.
0
1
b Representa gráficamente la distribución.
1
2
2
3
3
7
4
3
6
3
7
1
b
20
7.- En un grupo de 30 niños, se ha medido el peso, en kilogramos, de cada uno de ellos, obteniendo
los siguientes resultados:
30 31 28 25 33
32 35 37 29 32
34 35 30 28 27
34 31 32 26 39
40 35 38 31 36
32 33 29 30 31
a Haz una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más
conveniente.
b Representa gráficamente la distribución.
a Por una parte, la variable que estamos estudiando el peso es continua. Además, entre los datos que
tenemos hay una gran variedad. Por tanto, debemos agrupar los datos en intervalos.
El menor valor es 25 y el mayor es 40; su diferencia es 40  25  15.
Así, podemos tomar 6 intervalos de longitud 3, empezando en 24,5:
b
INTERVALO
FRECUENCIA
24,5  27,5
3
27,5  30,5
7
30,5  33,5
10
33,5  36,5
6
36,5  39,5
3
39,5  42,5
1
30
8.- Las notas obtenidas en un examen de matemáticas por las alumnas y los alumnos de una clase de
4º ESO vienen reflejadas en esta tabla:
NOTA
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Nº ALUMNOS/AS
1
2
3
5
4
6
4
3
2
a Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentaje de alumnos/as hay en el intervalo  x  σ, x  σ  ?
a
Media:
 f x 190
x i i 
 6,33
n
30
Desviación típica:

 fi x
1332
 x2 
 6,332  4,33  2,08
n
30
2
i
La nota media de la clase es 6,33, con una desviación típica de 2,08.
b) x    4,25 

x    8,41
fi xi2
xi
fi
fi xi
2
1
2
4
3
2
6
18
4
3
12
48
5
5
25
125
6
4
24
144
7
6
42
294
8
4
32
256
9
3
27
243
10
2
20
200
30
190
1 332
En el intervalo 4,25; 8,41 hay 19 alumnos, que representan un 63,33% del total.
9.- En una empresa, A, el sueldo medio de los trabajadores es 950 € al mes, con una desviación
típica de 150 €. En otra empresa, B, el sueldo medio es de 1 200 € al mes, con una desviación
típica de 200 €. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y di cuál de las dos empresas
tiene mayor variación relativa en los sueldos.
A 150

 0,158
xA 950

 15,8%


B
200
C.V.B 

 0,167  16,7%

xB 1200

C.V.A 
La variación relativa es mayor en la empresa B.
10.- En la siguiente tabla hemos resumido los resultados obtenidos al lanzar un dado 120 veces:
Nº OBTENIDO
1
2
3
4
5
6
Nº DE VECES
18
30
21
25
17
9
Calcula Me, Q1, Q3 y p20.
Hacemos la tabla de frecuencias acumuladas:
Me  p50  3
Q1  p25  2
Q3  p75  4
p20  2
xi
fi
Fi
en %
1
18
18
15
2
30
48
40
3
21
69
57,5
4
25
94
78,3
5
17
111
92,5
6
9
120
100
porque para
porque para
porque para
porque para
xi  3,
xi  2,
xi  4,
xi  2,
la
la
la
la
Fi
Fi
Fi
Fi
supera el 50%.
supera el 25%.
supera el 75%.
supera el 20%.
11.- En un grupo de 20 personas, hemos preguntado por el número de individuos que viven en su
hogar. Las respuestas has sido las siguientes:
4 5 3 4 1
4 2 3 5 4
3 4 4 5 3
3 5 3 2 4
a Elabora una tabla de frecuencias.
b Representa gráficamente la distribución.
12.- En una clase de Educación Física de 4º ESO se ha cronometrado el tiempo, en segundos, que
tarda cada alumno/a en recorrer cierta distancia fija. Los datos obtenidos han sido los siguientes:
10, 5 9, 2 8 8, 6
9
8, 2 8,1 9, 3 9, 4 10
8
8, 4 9, 2 14 11, 6
15 12 12,5 9,2 10
10,2 9,1 8,2 8,1 8
10
9 8,6 12 8,3
a Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más
conveniente.
b Representa gráficamente la distribución.
13.- Hemos preguntado las edades a un grupo de 50 personas. Los resultados obtenidos se reflejan
en la tabla siguiente:
EDAD
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 25
25, 30
Nº DE PERSONAS
4
8
10
9
17
2
Halla la media y la desviación típica.
14.- En un grupo, A, de personas, la estatura media es 165 cm, con una desviación típica de 10,5 cm.
En otro grupo, B, la estatura media es 140 cm y su desviación típica, 8,4 cm. Calcula el
coeficiente de variación en los dos casos y compara la dispersión de ambos grupos.
15.- Un grupo de atletas ha obtenido las siguientes puntuaciones en una prueba deportiva que se
valoraba de 0 a 5 puntos:
PUNTUACIÓN
1
2
3
4
5
Nº DE ATLETAS
4
4
12
18
12
Calcula Me, Q1 y Q3.
16.- Las notas obtenidas en un examen de matemáticas realizado en una clase de 4º ESO han sido las
siguientes:
4 5 7 5 8
3
9 6 4 5
7 5 8 4 3
10 6 6 3 3
a Ordena los datos en una tabla de frecuencias.
b Representa gráficamente la distribución.
17.- En un grupo de 30 personas hemos medido la estatura, en centímetros, de cada una de ellas,
obteniendo los siguientes resultados:
160 163 165 164 162
161 164 167 168 154
166 168 165 167 169
168 175 167 159 160
163 164 167 164 165
164 150 166 147 170
a Elabora una tabla de frecuencias, agrupando los datos en intervalos de la forma que creas más
conveniente.
b Representa gráficamente la distribución.
18.- Se ha preguntado a las alumnas y a los alumnos de una clase de 4O ESO por el tiempo que tardan
en llegar desde su casa hasta el instituto. Las respuestas se recogen en esta tabla:
TIEMPO MINUTOS
0, 5
5, 10
10, 15
15, 20
20, 25
Nº ALUMNOS/AS
10
6
9
3
2
Calcula la media y la desviación típica de esta distribución.
19.- En un examen de matemáticas realizado en 4º A de ESO, la nota media ha sido 5,2, con una
desviación típica de 2,3. En la clase de 4º B, con el mismo examen, se ha obtenido una nota media
de 7,4 y una desviación típica de 3. Calcula el coeficiente de variación en los dos casos y compara
la dispersión en ambos grupos.
20.- En la siguiente distribución, halla Me, Q1, Q3 y p90.
xi
1
2
3
4
5
6
7
fi
5
12
32
19
27
15
10
ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL
1.- Se ha medido el número medio de horas de entrenamiento a la semana de un grupo de 10 atletas
y el tiempo, en minutos, que han hecho en una carrera, obteniendo los siguientes resultados:
Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más
apropiado para el coeficiente de correlación: 0,71; 0,71; 0,45; 0,32.
A la vista de la representación, observamos que el coeficiente de correlación, r, es negativo y
relativamente alto. Por tanto, r  0,71.
2.- Se han realizado unas pruebas de habilidad (puntúan de 0 a 5) en un grupo de alumnos. Las
siguientes puntuaciones corresponden a las obtenidas por seis alumnos en dos de ellas:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las variables?
 Medias:
23
 3,83
6
20
y
 3,33
6
x
 Desviaciones típicas:
95
 3,83 2  1,16  1,08
6
70
 3,33 2  0,58  0,76
6
x 
y 
 Covarianza:
77
 3,83  3,33  0,079
6
 xy 
 σ xy  0,079
 Coeficiente de correlación:
r
0,079
 0,096
1,08  0,76
 r  0,096
 La relación entre las variables es prácticamente nula.
3.- En distintos modelos de aspiradores se ha medido el peso, en kilogramos, y la capacidad útil de la
bolsa, en litros, obteniendo los siguientes resultados:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ  6. ¿Es fiableesta estimación? (Sabemosque r  0,85).
a)
 Medias:
37,7
 6,28
6
15,5
y 
 2,58
6
x
 Varianza de X:
 x2 
238,97
 6,282  0,39
6
 Covarianza:
 xy 
100,35
 6,28  2,58  0,52
6
 Coeficiente de regresión:
myx 
 xy
 x2

0,52
 1,33
0,39
 Ecuación de la recta de regresión de Y sobre X:
y  2,58  1,33 x  6,28  y  1,33 x  5,77
b) yˆ  6  1,33  6  5,77  2,21
Sí es fiable, puesto que la correlación es fuerte, r  0,85, y x  6 está dentro del intervalo de datos que
estamos considerando. Para un peso de 6 kg la capacidad de la bolsa será, aproximadamente, de 2,21
litros.
4.- En una academia para aprender a conducir se han estudiado las semanas de asistencia a clase de
sus alumnos y las semanas que tardan en aprobar el examen teórico (desde que se apuntaron a la
autoescuela). Los datos correspondientes a seis alumnos son:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación
entre las dos variables?
a)
 Medias:
27
 4,5
6
37
y 
 6,17
6
x
 Desviaciones típicas:
x 
151
 4,5 2  4,92  2,22
6
y 
247
 6,17 2  3,1  1,76
6
 Covarianza:
 xy 
184
 4,5  6,17  2,9
6
 Coeficientes de regresión:
2,9
 0,59
4,92
2,9

 0,94
3,1
y sobre x  myx 
x sobre y  m xy
 Rectas de regresión:
y sobre x 
y  6,17  0,59 x  4,5  y  0,59 x  3,52
x sobre y 
x  4,5  0,94 y  6,17
x  4,5  0,94y  5,80
x  0,94y  1,3
x  1,3  0,94y
y 
x  1,3
0,94
 y  1,06x  1,38
 Representación:
APROBADO
xy sobre
10
yx sobre
8
6
4
2
2
4
6
8
10
ASISTENCIAS
b) La correlación entre las variables no es demasiado fuerte, pues las dos rectas no están muy próximas.
Con los datos obtenidos comprobamos que el coeficiente de correlación es: r  0,74
5.- En una empresa de televenta se ha anotado el plazo de entrega, en días, que anunciaban en los
productos y el plazo real, también en días, de entrega de estos, obteniendo la siguiente tabla:
Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos números te parece más
apropiado para el coeficiente de correlación: 0,87; 0,2; 0,87; 0,2.
6.- En un reconocimiento médico a los niños de un colegio, se les ha pesado, en kilogramos, y se
les ha medido, en centímetros. Aquí tienes los datos de los primeros seis niños:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?
7.- Se ha estudiado en distintas marcas de yogures naturales el porcentaje de grasa que contenían,
así como las kilocalorías por envase. Estos son los resultados obtenidos en seis de ellos:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula yˆ  2, 5 e yˆ  10. ¿Son válidas estas estimaciones? (Sabemos que r  0,85).
8.- Se ha preguntado en seis familias por el número de hijos y el número medio de días que suelen ir
al cine cada mes. Las respuestas han sido las siguientes:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación
entre las dos variables?
9.- Considera la siguiente distribución:
Representa los datos mediante una nube de puntos y di cuál de estos valores te parece más
apropiado para el coeficiente de correlación: 0,99; 0,4; 0,83; 0,4.
10.- En seis modelos de zapatillas deportivas se ha estudiado el peso, en gramos, que tiene (para el
número 42) y su precio, en euros. La información obtenida se recoge en esta tabla:
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?
11.- Se ha analizado en distintos modelos de impresoras cuál es el coste por página (en céntimos de
euro) en blanco y negro y cuál es el coste por página si esta es en color. La siguiente tabla nos da
los seis primeros pares de datos obtenidos:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) ¿Cuánto nos costaría imprimir una página en color en una impresora en la que el coste por
página en blanco y negro fuera de 12 céntimos de euro? ¿Es fiable la estimación? (Sabemos
que r  0,97).
12.- Considera la siguiente distribución:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación
entre las dos variables?
13.- Un grupo de 10 amigos se ha presentado a una prueba de oposición. Anotaron el número de
horas que dedicaron a estudiar la semana antes del examen y la nota obtenida en la prueba. La
información se recoge en la siguiente tabla:
Representa los datos mediante una nube de puntos e indica cuál de estos valores te parece más
apropiado para el coeficiente de correlación: 0,92; 0,44; 0,92; 0,44.
14.- Se ha realizado una encuesta preguntando por el número de personas que habitan el hogar
familiar y el número de habitaciones que tiene la casa. La tabla siguiente recoge la información
obtenida:
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación. ¿Cómo es la relación entre las dos variables?
15.- En seis institutos de la misma zona se ha estudiado la nota media de los estudiantes de 1º de
bachillerato en Matemáticas y en Inglés, obteniéndose la información que se recoge en la
siguiente tabla:
a) Halla la recta de regresión de Y sobre X.
b) Calcula ŷ  5, 5. ¿Es fiable esta estimación? (Sabemos que r  0,87).
16.- Un grupo de seis atletas ha realizado pruebas de salto de longitud y de altura. Las dos se han
puntuado en una escala de 0 a 5. Los resultados obtenidos han sido los siguientes:
a) Halla las dos rectas de regresión y represéntalas.
b) Observando el grado de proximidad entre las dos rectas, ¿cómo crees que será la correlación
entre las dos variables?