Ecuación de estado para sólidos y líquidos

Ecuación de estado para líquidos y sólidos
Prof. Jesús Hernández Trujillo
Facultad de Química, UNAM
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 1/9
Forma diferencial de la ecuación de estado
•
Ecuación de estado de una substancia pura:
V = V (p, T, n)
(1)
donde V , p y T son el volumen, la presión y la
temperatura, respectivamente.
•
Esta ecuación expresa a v como función de p y T
•
La diferencial total de (1) es
dv =
∂V
∂T
dT +
p,n
∂V
∂p
T,n
dp +
∂V
∂n
dn
T,p
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 2/9
Si el sistema es cerrado:
(2)
dV =
∂V
∂T
dT +
p
∂V
∂p
dp
T
En términos de coeficientes de respuesta
(3)
(4)
1
α =
V
∂V
∂T p
1 ∂V
κ = −
V ∂p T
se obtiene
(5)
dV = αV dT − κV dp
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 3/9
Otras expresiones:
(6)
(7)
α
1
dp =
dT −
dV
κ
Vκ
κ
1
dT + dV
dT =
Vκ
α
El conocimiento de los coeficientes de
respuesta puede llevar a la ecuación
de estado (1) mediante (5), (6) o (7)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 4/9
Líquidos y sólidos
Experimentalmente:
Dentro de intervalos amplios de presión
y temperatura, los coeficientes α y κ de
sólidos y líquidos, pueden considerarse
constantes:
(8)
(9)
α = α0
κ = κ0
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 5/9
Líquidos y sólidos
Experimentalmente:
Dentro de intervalos amplios de presión
y temperatura, los coeficientes α y κ de
sólidos y líquidos, pueden considerarse
constantes:
α = α0
κ = κ0
(8)
(9)
Al sustituir (8) y (9) en (5):
dV = V α0 dT − V κ0 dp
(10)
d ln V = α0 dT − κ0 dp
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 5/9
Hay que integrar (10). A partir de
∂ ln V
= α0
∂T
Se obtiene:
(11)
ln V = α0 T + D1 (p)
Al derivar (11) respecto a p e igualar con
∂ ln V
= −κ0
∂p
se llega a
dD1 (p)
= −κ0
dp
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 6/9
Al integrar:
(12)
D1 (p) = −κ0 p + D2′
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9
Al integrar:
(12)
D1 (p) = −κ0 p + D2′
Sustituir (12) en (11):
ln V = α0 T − κ0 p + D2′
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9
Al integrar:
D1 (p) = −κ0 p + D2′
(12)
Sustituir (12) en (11):
ln V = α0 T − κ0 p + D2′
Por lo tanto:
V = D2 eα0 T −κ0 p
(13)
donde D2 =
′
D
2
e .
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9
Al integrar:
D1 (p) = −κ0 p + D2′
(12)
Sustituir (12) en (11):
ln V = α0 T − κ0 p + D2′
Por lo tanto:
V = D2 eα0 T −κ0 p
(13)
donde D2 =
′
D
2
e .
Para conocer D2 , se dan valores: V = V0 cuando
T = T0 y p = p 0
D2 = V0 e−α0 T0 +κ0 p0
Entonces:
(14)
V = V0 eα(T −T0 )−κ(p−p0 )
(se eliminó el subíndice 0 en α y κ)
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9
Simplificación de (14)
La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es
1 2 1 3
e = 1 + x + x + x + ...
2
3!
x
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 8/9
Simplificación de (14)
La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es
1 2 1 3
e = 1 + x + x + x + ...
2
3!
x
La aproximación a primer orden para (14) es:
(25)
V = V0 [1 + α(T − T0 ) − κ(p − p0 )]
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 8/9
•
Otra expresión:
∆V
= α∆T − κ∆p
V0
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9
•
Otra expresión:
∆V
= α∆T − κ∆p
V0
•
Además:
α
y κ ∼ 10−6 − 10−5
atm−1 y K−1 , respectivamente
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9
•
Otra expresión:
∆V
= α∆T − κ∆p
V0
•
Además:
α
y κ ∼ 10−6 − 10−5
atm−1 y K−1 , respectivamente
•
Caso particular: Fluido incompresible (κ = 0)
∆V
= α∆T
V0
Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9