Puntos notables en un espacio métrico.

Puntos notables en un espacio métrico.
Dado un espacio métrico (E,d) y un conjunto A ⊂ E, a un punto x ∈ E se le llama...
1. Punto de adherencia de A ⇐⇒ “toda bola abierta de centro x contiene algún punto
de A”.
◦
∀r ∈ R+ , B (x, r) ∩ A 6= φ
El punto x es de adherencia de A si tiene puntos de A tan cerca como se quiera.
Consecuencia: Los puntos de A son de adherencia de A.
2. Punto de acumulación de A ⇐⇒ “toda bola abierta de centro x contiene algún punto
de A, distinto de x”.
◦
∀r ∈ R+ , B∗ (x, r) ∩ A 6= φ
El punto x es de acumulación de A si tiene puntos de A, distintos de él, tan cerca como
se quiera.
Consecuencia: Todo punto de acumulación es de adherencia. Todo punto de adherencia es
de A o, si no, es de acumulación que no pertenece a A.
3. Punto aislado de A ⇐⇒ “pertenece a A y existe una bola abierta de centro x que no
contiene ningún otro punto de A”.
◦
∃r ∈ R+ / B (x, r) ∩ A = {x}
El punto x es aislado de A si es de A y está “rodeado” de puntos que no lo son.
Consecuencia: Un punto de adherencia es de acumulación, salvo si existe alguna bola
centrada en él que no contiene otro punto de A más que él, en cuyo caso es aislado.
4. Punto interior de A ⇐⇒ “existe una bola abierta de centro x contenida en A”.
◦
∃r ∈ R+ / B (x, r) ⊂ A
El punto x es interior de A si es de A y está “rodeado” de puntos que también lo son.
5. Punto exterior a A ⇐⇒ “existe una bola abierta de centro x que no contiene ningún
punto de A”.
◦
∃r ∈ R+ / B (x, r) ∩ A = φ
El punto x es exterior a A si no es de A y está “rodeado” de puntos que tampoco lo son.
6. Punto frontera de A ⇐⇒ “toda bola abierta de centro x contiene puntos de A y de su
complementario (E \ A)”.
◦
B (x, r) ∩ A 6= φ
+
∀r ∈ R , ◦
B (x, r) ∩ E \ A 6= φ
El punto x es frontera de A si tiene puntos de A y de E \ A tan cerca como se quiera.
Consecuencia: Un punto frontera es de adherencia de A y de adherencia de E \ A. No
cumple la condición de interior ni la de exterior. Los puntos aislados son puntos frontera.
Ejercicio. Demostrar que un punto exterior a A es interior de (E \ A) y que un punto
interior de A es exterior a (E \ A).