Demostraciones.

Demostraciones.
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1. F r(A) = A \ A (obtención de la frontera).
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(→) Sea x ∈ F r(A). Entonces x ∈ A y x ∈ E \ A =⇒ ∀r > 0, B (x, r) ∩ E \ A 6= φ,
luego toda bola centrada en x contiene puntos de E \ A, por lo que ninguna bola
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está contenida en A. Es decir, x ∈
/ A. Como A⊂ A, resulta que x ∈ A \ A.
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(←) Sea x ∈ A \ A. Entonces x ∈ A y x ∈
/ A=⇒6 ∃r > 0/ B (x, r) ⊂ A. Entonces toda
bola abierta centrada en x contiene puntos de E \ A, por lo que x pertenece a la
adherencia de E \ A. Entonces x ∈ A ∩ E \ A, por lo que x ∈ F r(A).
2. A = A ⇐⇒ F r(A) ⊂ A (condición de cerrado).
(→) La frontera está contenida en la adherencia. Como A es cerrado, coincide con su
adherencia, luego la frontera está contenida en A.
F r(A) ⊂ A; A = A =⇒ F r(A) ⊂ A.
(←) La adherencia es la unión del interior y la frontera. Como el interior de A está contenido en A siempre y la frontera lo está por hipótesis, entonces la adherencia
está contenida en A. Como A ⊂ A siempre, A y su adherencia coinciden:
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A⊂ A, F r(A) ⊂ A =⇒ A =A ∪ F r(A) ⊂ A =⇒ A = A.
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3. A = A ⇐⇒ A ∩ F r(A) = φ (condición de abierto).
(→) La intersección del interior y la frontera es vacı́a. Como, por ser A abierto, coincide
con su interior, entonces la intersección de A y su frontera es vacı́a.
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A ∩ F r(A) = φ; A =A=⇒ A ∩ F r(A) = φ.
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(←) Por reducción al absurdo: Si A 6= A, entonces existe algún punto no común, es decir
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∃x ∈ A ⊂ A / x ∈
/ A. En ese caso x ∈ A \ A, con lo que x ∈ F r(A). Entonces
x ∈ A ∩ F r(A) =⇒ A ∩ F r(A) 6= φ.
4. Teorema: A es abierto si y sólo si su complementario es cerrado.
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(→) A =A=⇒ E \ A = E \ A . Como E \ A ⊂ E \ A, basta demostrar E \ A ⊂ E \ A.
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Sea x ∈ E \ A. Entonces ∀r > 0, B (x, r) ∩ E \ A 6= φ, por lo que B (x, r) 6⊂
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A =⇒ x ∈
/ A. Como A = A, x ∈
/ A =⇒ x ∈ E \ A. Por tanto E \ A ⊂ E \ A.
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(←) E \ A = E \ A =⇒ A =A . Como A⊂ A, basta demostrar A ⊂A.
Sea x ∈ A =⇒ x ∈
/ E \ A. Como E \ A = E \ A, x ∈
/ E \ A. Entonces ∃r >
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0 / B (x, r) ∩ E \ A = φ =⇒B (x, r) ⊂ A =⇒ x ∈ A. Por tanto A ⊂A.