Principio de Trabajo-Energía en 2 y 3 dimensiones

Trabajo hecho por una fuerza constante
G
F
G
d
El trabajo W hecho por un agente ejerciendo una fuerza
constante F es el producto del componente de la fuerza en la
dirección del desplazamiento y la magnitud del
desplazamiento:
G G
W = Fd cos θ = F ⋅ d
Trabajo hecho por una fuerza constante
NOTA: El trabajo es cero si el
bloque no se mueve. También
es cero si hay movimiento, pero
la fuerza no tiene componente
en la dirección del
desplazamiento.
G
F
G
d
Si la fuerza es en Newtons y el desplazamiento en metros,
entonces el trabajo es en Julios:
1 J =1 N ⋅m
Trabajo hecho por una fuerza variable
G
F
Fx
dx
dW = Fx dx
xf
W = ∫ Fx dx
xi
El trabajo es igual al
área bajo la curva de
fuerza paralela versus
desplazamiento.
Principio de Trabajo-Energía
G
F
Fx
dx
W =∫
xf
xi
Fx dx
dv
Fx = max = m
dt
dv dv dx
dv
=
=v
dt dx dt
dx
dv
Fx dx = m dx = mvdv
dt
Principio de Trabajo-Energía Cinética
xf
vf
xi
vi
Wneto = ∫ Fx dx = ∫ mvdv
Wneto
1 2 1 2
= mv f − mvi
2
2
La cantidad 1/2mv2 se conoce como la energía cinética K.
La ecuación anterior dice que el trabajo neto o total es igual
al cambio en la energía cinética.
Wneto = ∆K
Potencia P ~ razón a la cual se hace trabajo
G G
dW
P=
dW = F ⋅ ds
,
dt
G
G ds G G
P=F⋅
= F ⋅v
dt
La unidad de potencia es el vatio (W ).
J
1W = 1
s
Ejemplo
Un pequeño motor mueve un ascensor que eleva una carga
de ladrillos de peso 800 N a una altura de 10 m en 20 s. ¿Cuál
es la potencia mínima que debe suplir el motor?.
La fuerza F más pequeña que
puede ejercer el motor (esta
fuerza es la tensión en la
cuerda) es de 800 N. En ese
caso el bloque se mueve
hacia arriba sin aceleración
(velocidad constante ).
Trabajo hecho por la fuerza de gravedad
Partícula subiendo:
W = mgd cos180 = − mgd
D
W = ∆K = − mgd
El signo negativo significa que la
energía cinética se reduce.
Partícula bajando:
W = mgd cos 0 = + mgd
W = ∆K = + mgd
D
El signo positivo significa que la energía
cinética aumenta.
Ejemplo:
Una caja de 15 kg,
inicialmente en reposo, se
mueve cuesta arriba
mediante un cable. La caja se
desplaza una distancia d =
5.7 m hasta llegar a una
altura h = 2.5 m donde se
detiene. Calcula (a) el trabajo
hecho por la fuerza de
gravedad y (b) el trabajo
hecho por la tensión en el
cable.
Trabajo hecho por un resorte
Ley de Hooke
G
G
F = −kd
Para movimiento en x:
F = −kx
xf
xf
xi
xi
Wr = ∫ Fdx = ∫
( −kx ) dx
⎛ 1 ⎞ 2 xf ⎛ 1 ⎞ 2
Wr = ⎜ − k ⎟ x
= ⎜ − k ⎟ ( x f − xi2 )
⎝ 2 ⎠ xi ⎝ 2 ⎠
⎛1 2 1 2⎞
Wr = − ⎜ kx f − kxi ⎟ Ver ejemplo
2
⎝2
⎠ 7-7.