CUSUM, CUSUM2

Apuntes de Teoría Econométrica I. Profesor: Viviana Fernández
CONTRASTES DE ESTABILIDAD: CUSUM, CUSUM2
I
Residuos Recursivos
Los tests de CUSUM y CUSUM2 se basan en los llamados residuos
recursivos. El residuo recursivo correspondiente a la observación t se define
como el error de predicción o pronóstico de yt (véase apéndice), utilizando el
estimador de mínimos cuadrados ordinarios obtenido con las t−1 primeras
observaciones:
βˆ t −1 = ( X t −1 ' X t −1 ) −1 X t −1 ' Yt −1
û t = y t − x t ' βˆ t −1
(1)
Error de Predicción
(2)
donde xt′ = (1 xt2 xt3 ...xtk), vector correspondiente a la t-ava observación de
los k regresores del modelo.
Se tiene que el valor esperado y la varianza del error de predicción en t
(condicional en Xt) vienen dados, respectivamente, por:
E (û t | X t ) = E( y t | X t ) − x t ' E(βˆ t −1 | X t ) = x t ' β − x t ' β = 0
Var (û t | X t ) = σ 2u + x t ' Var (βˆ t −1 ) x t = σ 2u (1 + x t ' ( X t ' X t ) −1 x t )
Por lo tanto, el llamado residuo normalizado viene dado por:
wt =
û t
−1
1 + x t ' ( X t −1 ' X t −1 ) x t
~ N (0, σ 2u )
(3)
Si los valores de wt cambian de manera sistemática, se tomará como
evidencia de inestabilidad en los parámetros del modelo. Hay dos estadígrafos
que permiten contrastar esta hipótesis: test de CUSUM y de CUSUM2.
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II
2
Test de CUSUM y CUSUM2
Se basa en la suma acumulada de los residuos normalizados:
Wt =
donde σˆ 2 =
t
wr
ˆ
r = k +1 σ
∑
(4)
T
1
(w r − w ) 2
∑
T − k r = k +1
w=
T
1
∑wr
T − k r =k +1
Bajo la hipótesis nula (ausencia de cambio estructural), E(Wt)=0,
Var(Wt)≈t−k. Por lo tanto, el contraste se lleva a cabo mediante el análisis
gráfico de la evolución de Wt. Las bandas de confianza de Wt vienen dadas
por las rectas que unen los puntos:
(k ±a
T − k ); (T ± 3a
T−k)
Wt
3a T − k
a T−k
k
−a T−k
− 3a T − k
T
t
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3
El valor de la constante ‘a’ depende del nivel de significancia escogido:
a
1.143
0.948
0.85
Nivel de Significancia
1 por ciento
5 por ciento
10 por ciento
Si Wt no se sale de las bandas de confianza, entonces no hay evidencia
para rechazar H0.
El test de CUSUM2 se basa en el siguiente estadígrafo:
t
St =
∑wr
r =k
T
∑
r =k
(5)
w 2r
t−k
. El contraste consiste en dibujar la serie St con
T−k
sus correspondientes bandas de confianza, E(St)±C0, donde C0 es una
constante que depende de T y k:
Bajo H0, E (S t ) ≈
St
C0 +
t−k
T−k
t
− C0 +
t−k
T−k
Si St no se sale de las bandas, no rechazamos H0.
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4
Apéndice: Predicción Individual en Lenguaje Matricial
Supongamos que deseamos predecir el valor de y, dada una nueva
observación del vector de regresores, x0:
y0 = x0′β
β + u0
(1)
Por ejemplo, si tuviésemos un modelo de crecimiento para la economía
chilena para los años 1980-1999, estaríamos interesados, en principio, en
hacer un pronóstico de la tasa de crecimiento en el año 2000.
Por el teorema de Gauss-Markov, ŷ 0 = x 0 ' β̂
β , con βˆ = ( X' X) −1 X' Y , es
el estimador lineal insesgado de mínima varianza de E(y0| x0, X). El error de
predicción o pronóstico es:
û 0 = y 0 − ŷ 0 = x 0 ' (β − βˆ ) + u 0
(2)
con E (û 0 | x 0 , X) = 0 y Var (û 0 | x 0 , X) = σ 2u (1 + x 0 ' ( X' X) −1 x 0 ) .
Se puede demostrar que un intervalo de confianza para y0 es:
ŷ 0 ± t εn /−2k%
donde σˆ 2 =
σˆ 2 (1 + x 0 ' ( X' X) −1 x 0 )
(3)
1 T
( y t − x t ' βˆ ) 2 , ε es el nivel de significancia escogido.
∑
T − k t =1
Análogamente, se puede demostrar que un intervalo de confianza para
la predicción media (o predicción del valor esperado de y0) es:
ŷ 0 ± t εn /−2k%
σˆ 2 x 0 ' (X' X) −1 x 0
(4)
Véase para mayores referencias, Gujarati, “Econometría”, capítulo 9
(tercera edición), por ejemplo.