intervalos de confianza

ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
FORTINO VELA PEÓN
INTERVALOS DE CONFIANZA
Para construir intervalos de confianza de los parámetros de la regresión,
necesitamos suponer también que los errores tienen una distribución de
probabilidad normal, lo que nos permitirá establecer que las distribuciones
muestrales de β̂ 0 y β̂1 son normales. De hecho, dentro de los supuestos planteados
para elaborar el modelo se tenia que para cada valor fijo de X, los errores se
suponían ser cantidades aleatorias, independientes y distribuidas normalmente
con media cero y varianza común σ2. Consecuentemente, el intervalo de confianza
al (1-α) 100% para β̂ 0 esta dado por
βˆ0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( βˆ0 )
donde t nα−/k2 es el porcentil (1-α/2) de una distribución t con n-k grados de libertad
y ee( βˆ0 ) es el error estándar de β̂ 0 .
De manera semejante, el intervalo de confianza al (1-α)100% para β̂1 esta dado
por
βˆ1 ± t nα−/k2 ⋅ ee( βˆ1 )
La interpretación del intervalo de confianza para β̂1 , por ejemplo, es la siguiente: si
tomáramos muestras repetidas con los mismos tamaños y los mismos valores de X
y se construyeran 100 intervalos de confianza, 95 de estos intervalos para el
parámetro de la pendiente, β̂1 , serían iguales al obtenido, o bien, con una
probabilidad del 95%, el verdadero valor de β̂1 es encuentra dentro del intervalo
apuntado.
Observe que los límites de confianza señalados se construyen para cada uno de los
parámetros β 0 y β1 , por separado. Esto no significa que una región de confianza
simultánea (común) para los dos parámetros sea rectangular. Realmente, la región
de confianza simultánea es elíptica. Esta región se da para el caso general de la
regresión múltiple en el apéndice de estas notas, donde la región de confianza
simultánea para β 0 y β1 es un caso especial.
PREDICCIÓN
La ecuación de regresión ajustada se puede utilizar para realizar predicción. Se
distinguen dos tipos de predicciones:
1. La predicción del valor de la variable de respuesta, Y, que corresponde
a cualquier valor elegido de la variable predictora, X,
2. La estimación de la respuesta media, µ0, cuando X=x0 (esto es,
E (Y \ x0 ) = µ ).
UAM-X
1
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FORTINO VELA PEÓN
a) Predicción del valor y0
Para el primer caso, el valor predecido de y0 esta dado por
yˆ 0 = βˆ0 + βˆ1 x0
(1)
El error estándar de esta predicción es
ee( yˆ 0 ) = σˆ 1 +
(x − x)2
1
+ n 0
n
∑ ( xi − x ) 2
(2)
i =1
Por lo tanto, los límites de confianza para el valor de la predicción con un
coeficiente de confianza (1-α) se da por
yˆ 0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( yˆ 0 )
(3)
b) Estimación de µ0
Para el segundo caso, la respuesta media es estimada por
µˆ 0 = βˆ0 + βˆ1 x0
(4)
El error estándar de esta estimación es1
ee( µˆ 0 ) = σˆ
(x − x)2
1
+ n 0
n
∑ ( xi − x ) 2
(5)
i =1
de cuál se sigue que los límites de confianza para µ̂ 0 con un coeficiente de
confianza (1-α) están dados por
µˆ 0 ± t nα−/k2 ⋅ ee( µˆ 0 )
(6)
Observe que la estimación puntal de µ̂ 0 es idéntica a la respuesta predecida, ŷ 0 .
Esto puede ser visto comparando (1) con (4). El error estándar de µ̂ 0 es, sin
embargo, más pequeño que el error estándar de ŷ 0 , y puede ser considerado
comparando (2) con (5). Intuitivamente, esto tiene sentido. Hay mayor
incertidumbre (variabilidad) en predecir una observación (la observación
siguiente) que en el cálculo de la respuesta media cuando X=x0. Haciendo un
1
Algunos autores como Bowerman et. al. (2007:109) le denominan al término
(x − x)2
1
+ n 0
n
∑ ( xi − x ) 2
i =1
valor de distancia, denominación debida a que es una medida de la distancia entre x0 y el
promedio de los valores x observados.
UAM-X
2
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FORTINO VELA PEÓN
promedio implica que la respuesta media reduce la variabilidad y la incertidumbre
asociadas a la estimación. Esto es, nótese que el intervalo de predicción media es
mayor que el intervalo de confianza para la estimación individual debido a que se
presenta una mayor incertidumbre acerca del término de error.
Para distinguir entre los límites señalados en (3) y (6), los límites dentro (3) se
refieren en ocasiones como los límites de predicción o de pronóstico, mientras que
los límites dados por (6) se llaman los límites de confianza.
____________________________________________________________________________________________
Ejemplo: datos sobre ventas vs publicidad
____________________________________________________________________________________________
Si se consideran los resultados obtenidos para el caso del modelo entre las ventas y
la publicidad, se puede observar que el intervalo al 95% de confianza para β̂1 esta
dado por
3.25 ± (2.228) (0.8979142) = (1.2494472, 5.2505528)
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model |
507
1
507
Residual |
387
10
38.7
-------------+-----------------------------Total |
894
11 81.2727273
Number of obs
F( 1,
10)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
12
13.10
0.0047
0.5671
0.5238
6.2209
-----------------------------------------------------------------------------ventas |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------publicidad |
3.25
.8979142
3.62
0.005
1.249322
5.250678
_cons |
33.75
8.27836
4.08
0.002
15.30466
52.19534
------------------------------------------------------------------------------
La interpretación de este intervalo de confianza es la siguiente: con un 95% de
probabilidad, por cada peso que aumentan los gastos en publicidad, el incremento
en las ventas se encuentra entre 1.25 y 5.25 pesos. El cálculo del intervalo de
confianza para β̂ 0 en este ejemplo se deja como ejercicio para el lector.
Si continuamos con el ejemplo de las ventas en función de los gastos de publicidad,
se puede buscar predecir el valor individual (o particular) de las ventas cuando
los gastos de publicidad asciendan a 5 (valor no observado dentro de la muestra).
De esta manera, se tiene
yˆ 0 = 33.75 + 3.25(5) = 50
con error estándar de
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ee( yˆ 0 ) = σˆ 1 +
FORTINO VELA PEÓN
(x − x)2
1
1 (5 − 9) 2
16
+ n 0
= 6.2209 1 + +
= 6.2209 1.0833 +
= 7.404352019
n
12
48
48
2
∑ ( xi − x )
i =1
Note que si se calculan los diferentes intervalos de confianza para todos los valores
observados en la muestra y se presentan gráficamente, se llega a una gráfica como
la que se muestra a continuación.
graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter ventas publicidad,
mlabel(t)
),
yline(63)
xline(9)
title("Ventas
vs
Publicidad")
ytitle("Ventas") legend(ring(0) order(2 "Ajuste lineal" 1 "IC del 95%
"))
80
Ventas vs Publicidad
6
2
70
11
1
9
Ventas
60
12
7
5
4
8
40
50
10
3
6
Ajuste lineal
IC del 95%
8
10
12
publicidad
Por otra parte, si el departamento de producción puede desear estimar el valor
esperado de las ventas (media) cuando los gastos de publicidad asciendan a 5, se
utilizaría (4) y (5), respectivamente. Denotando por µ0 a las ventas promedio
previstas para cuando los gastos de publicidad son 5, es decir, X=5, se tiene:
yˆ 0 = 33.75 + 3.25(5) = 50
con un error estándar de
ee( µˆ 0 ) = σˆ
(x − x)2
1
1 (5 − 9) 2
16
+ n 0
= 6.2209
+
= 6.2209 0.0833 +
= 4.015573683
n
12
48
48
2
∑ ( xi − x )
i =1
___________________________________________________________________________________________
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4
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
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Con los errores estándar señalados en las expresiones (3) y (6), se pueden
construir los intervalos de confianza elegidos apropiadamente.
Adicionalmente, como puede observarse de (2), el error estándar de la predicción
individual incrementa la predicción en la medida que se consideran valores más
lejanos al valor de la media muestral, el cual representa el centro de las
observaciones. Por lo tanto, debe tenerse cuidado al predecir el valor Y (las ventas
en este caso) para aquellos valores de X (gastos en publicidad) muy alejados a los
observados en la muestra.
Existen dos tipos de riesgos en tales predicciones. Primero, hay una substancial
incertidumbre debido a que el error estándar es más grande. Otro elemento, quizás
más importante es que la relación lineal que se ha estimado no puede sostenerse
fuera de la gama de datos observados. Por lo tanto, debe tenerse mucho cuidado al
emplear la línea de regresión ajustada para una predicción muy distante de las
observaciones utilizadas en el ajuste del modelo. En nuestro ejemplo, no
utilizaríamos la ecuación ajustada para predecir las ventas cuando los gastos en
publicidad asciendan a 100. Este valor esta demasiado alejado de la gama existente
de datos observados de la variable gastos de publicidad. En otras palabras, entre
más alejado del valor medio es x0, mayores son los intervalos de confianza y de
predicción, y por lo tanto más factible es incurrir en una imprecisión.
Ventas vs Publicidad
80
6
2
11
70
1
12
60
7
5
Ventas
9
4
8
10
3
50
Ajuste lineal
6
IC del 95%
8
10
40
12
publicidad
______________________________________________________________________________________________
Cálculo de los intervalos de confianza en Stata para el ejemplo de Ventas vs
Publicidad
______________________________________________________________________________________________
Vamos a considerar la construcción de los intervalos de confianza tanto para la
predicción del valor y0 como para la estimación de µ0 en Stata. De esta manera,
una vez que se ajustado el modelo mediante
UAM-X
5
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
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regress ventas publicidad
el paso siguiente será obtener el valor de las ventas estimadas para cada valor de
los gastos en publicidad observados en la muestra, esto es, ŷi , lo cual en Stata se
logra utilizando el comando
predict ventashat, xb
El Cuadro 1 presenta las diferentes opciones que pueden emplearse con el
comando predict así como los resultados que estás opciones ofrece
Cuadro 1. Comandos en Stata para la predicción2
Comando
lo qué hace
predict varname1, xb
Calcula el valor ŷ i = βˆ 0 + βˆ1 x y lo almacena
en una nueva variable llamada varname1.
predict varname2, r
Calcula el residual
eˆi = yi − yˆ i para cada
observación, y lo guarda en una nueva
variable llamada varname2.
predict varname3, stdp
Calcula el error estándar de la predicción media
para cada observación, y la guarda en una nueva
variable llamada varname3 (expresión (5)).
S ŷ
predicit varname4, stdf
Calcula el error estándar del pronóstico particular
S y- ŷ
para cada observación, y lo guarda en una nueva
variable llamada varname4 (expresión (2)).
Nota: varname es un nombre seleccionado por el usuario.
Puede suceder que nos encontremos preocupemos porque nuestra predicción sea
inexacta al querer formar un intervalo de confianza razón por la que quizás sea
más conveniente pronosticar las ventas promedio. Sabemos que la fórmula para
construir intervalos de confianza parte de:
Ŷi ± Zα/2 (S ŷ )
donde S ŷ es el error estándar de la predicción media (dada por la expresión (5)).
Se puede entonces considerar que Stata calcule el error estándar de la predicción
media a través de la sintaxis:
predict syhat, stdp
2
Los nombres de las variables pueden ser cualquier pero las opciones xb, r, stdp y stdf
necesitan ser indicadas tal y como se encuentran en el Cuado 1.
UAM-X
6
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
FORTINO VELA PEÓN
La opción “, stdp” le indica a Stata que se desea encontrar el error estándar de la
predicción media ; con tal fin, para el ejemplo de ventas vs gastos en publicidad
se crea una nueva variable llamada syhat para este valor (observe nuevamente
que este nombre puede ser cualquiera). El intervalo de confianza al 95% estaría
dado por los límites inferior (LI) y superior (LS) de la forma siguiente:
gen liestventas = ventashat – 1.96 * syhat
gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat
Es posible entonces visualizar los rangos de intervalo de confianza si graficamos
considerando las siguientes instrucciones3:
40
50
60
70
80
order publicidad
label variable ventashat “ventas estimadas”
label variable liestventas “LI del pronostico medio”
label variable lsestventas “LS del pronostico medio”
label variable publicidad “gastos en publicidad”
graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat
publicidad) (line liestventas publicidad) (line lsestventas
publicidad)
6
8
10
12
publicidad
ventas
liestventas
Linear prediction
lsestventas
3
Las instrucciones completas para el ejemplo de Ventas vs Publicidad son las siguientes
regress ventas publicidad
predict ventashat, xb
predict syhat, stdp
gen liestventas = ventashat - 1.96 * syhat
gen lsestventas = ventashat + 1.96 * syhat
sort ventashat
graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat publicidad)
(line liestventas publicidad) (line lsestventas publicidad)
graph twoway (lfitci ventas publicidad) (scatter ventas publicidad)
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
FORTINO VELA PEÓN
Observe que esta gráfica es la misma que se obtiene mediante la instrucción
graph twoway
publicidad)
(lfitci ventas publicidad) (scatter ventas
40
50
60
70
80
como se muestra a continuación:
6
8
10
12
publicidad
95% CI
ventas
Fitted values
Podemos también obtener los límites inferior y superior del intervalo de confianza
al 95% para las ventas de cualquier valor especifíco de los gastos en publicidad.
Para hacer esto escribimos en la ventana de comandos:
summ liestventas lsestventas if publicidad==10
La salida que se obtienes es la siguiente:
Variable |
Obs
Mean
Std. Dev.
Min
Max
-------------+-------------------------------------------------------liestventas |
2
62.31472
0
62.31472
62.31472
lsestventas |
2
70.18528
0
70.18528
70.18528
Finalmente, si deseamos obtener una gama de “resultados probables” para los
valores individualmente observados, es decir, construir un intervalo para el
pronóstico, la fórmula para ello es:
Ŷi ± Zα/2 (S y- ŷ )
donde S y- ŷ está el “error estándar del pronóstico” (expresión (2)). Tenemos una
fórmula para esto, pero Stata puede también generarla por nosotros:
predict syminusyhat1, stdf
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8
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ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
FORTINO VELA PEÓN
Ahora se puede construir un intervalo de confianza al 95% para las ventas
individuales observadas:
gen lifventas= ventashat - 1.96 * syminusyhat1
gen lufventas = ventashat + 1.96 * syminusyhat1
Generemos entonces una gráfica que muestre las bandas para todos los valores de
los gastos de publicidad:
40
50
60
70
80
90
order publicidad
graph twoway (scatter ventas publicidad) (line ventashat
publicidad) (line lifventas publicidad) (line lufventas
publicidad)
6
8
10
12
publicidad
ventas
lifventas
Linear prediction
lufventas
Se pueden entonces etiquetar las variables para obtener un gráfico más adecuado.
label variable ventashat “ventas estimadas”
label variable lifventas “banda inferior del pronostico”
label variable lufventas “banda superior del pronostico”
label variable publicidad “gastos en publicidad”
graph twoway (scatter ventas publicidad, ytitle("ventas"))
(line
ventashat
publicidad)
(line
lifventas)
(line
lufventas)
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9
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FORTINO VELA PEÓN
50
60
ventas
70
80
90
ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
6
8
10
12
gastos en publicidad
ventas
banda inferior del pronostico
ventas esperadas
banda superior del pronostico
La comparación de los dos tipos de intervalos (predicción media y predicción
individual) se muestra a continuación
Order publicidad
label variable lifventas "LI pred. indiv."
label variable lufventas "LS pred. indiv."
label variable liestventas "LI pred. media"
label variable lsestventas "LS pred. media"
graph
twoway
(scatter
ventas
publicidad,
mlabel(t)
ytitle(ventas)) (line ventashat publicidad) (line lifventas
publicidad) (line lufventas publicidad) (line liestventas
publicidad) (line lsestventas publicidad)
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10
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80
90
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6
2
ven ta s
60
70
11
1
9
12
7
10
3
4
40
50
5
8
6
8
10
12
publicidad
ventas
LI pred. indiv.
LI pred. media
ventas estimadas
LS pred. indiv.
LS pred. media
Bibliografía y referencias
Bowerman, Bruce, Richard T. O´Connell y Anne B. Kholer (2007). Pronósticos, series
de tiempo y regresión, 4ª. ed., CENGAGE Learning, México.
Chatterjee , Samprit y Ali S. Hadi (2006). Regression Analysis by Example, 4ª. ed.,
John Wiley & Sons, New Jersey.
Gujarati, Damodar y Dawn C. Porter (2010). Econometría, 5ª. ed., McGraw-Hill,
México.
Kutner, Michael H., Christopher J. Nachtsheim, John Meter y William Li (2005).
Applied Linear Statistical Models, 5ª. ed., McGraw-Hill, Estados Unidos.
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FORTINO VELA PEÓN
ANEXOS
ztable
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.10
1.20
1.30
1.40
1.50
1.60
1.70
1.80
1.90
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
3.50
UAM-X
Areas
.00
0.0000
0.0398
0.0793
0.1179
0.1554
0.1915
0.2257
0.2580
0.2881
0.3159
0.3413
0.3643
0.3849
0.4032
0.4192
0.4332
0.4452
0.4554
0.4641
0.4713
0.4772
0.4821
0.4861
0.4893
0.4918
0.4938
0.4953
0.4965
0.4974
0.4981
0.4987
0.4990
0.4993
0.4995
0.4997
0.4998
between 0 & Z
.01
.02
0.0040 0.0080
0.0438 0.0478
0.0832 0.0871
0.1217 0.1255
0.1591 0.1628
0.1950 0.1985
0.2291 0.2324
0.2611 0.2642
0.2910 0.2939
0.3186 0.3212
0.3438 0.3461
0.3665 0.3686
0.3869 0.3888
0.4049 0.4066
0.4207 0.4222
0.4345 0.4357
0.4463 0.4474
0.4564 0.4573
0.4649 0.4656
0.4719 0.4726
0.4778 0.4783
0.4826 0.4830
0.4864 0.4868
0.4896 0.4898
0.4920 0.4922
0.4940 0.4941
0.4955 0.4956
0.4966 0.4967
0.4975 0.4976
0.4982 0.4982
0.4987 0.4987
0.4991 0.4991
0.4993 0.4994
0.4995 0.4995
0.4997 0.4997
0.4998 0.4998
of the
.03
0.0120
0.0517
0.0910
0.1293
0.1664
0.2019
0.2357
0.2673
0.2967
0.3238
0.3485
0.3708
0.3907
0.4082
0.4236
0.4370
0.4484
0.4582
0.4664
0.4732
0.4788
0.4834
0.4871
0.4901
0.4925
0.4943
0.4957
0.4968
0.4977
0.4983
0.4988
0.4991
0.4994
0.4996
0.4997
0.4998
Standard
.04
|
0.0160 |
0.0557 |
0.0948 |
0.1331 |
0.1700 |
0.2054 |
0.2389 |
0.2704 |
0.2995 |
0.3264 |
0.3508 |
0.3729 |
0.3925 |
0.4099 |
0.4251 |
0.4382 |
0.4495 |
0.4591 |
0.4671 |
0.4738 |
0.4793 |
0.4838 |
0.4875 |
0.4904 |
0.4927 |
0.4945 |
0.4959 |
0.4969 |
0.4977 |
0.4984 |
0.4988 |
0.4992 |
0.4994 |
0.4996 |
0.4997 |
0.4998 |
12
Normal
.05
0.0199
0.0596
0.0987
0.1368
0.1736
0.2088
0.2422
0.2734
0.3023
0.3289
0.3531
0.3749
0.3944
0.4115
0.4265
0.4394
0.4505
0.4599
0.4678
0.4744
0.4798
0.4842
0.4878
0.4906
0.4929
0.4946
0.4960
0.4970
0.4978
0.4984
0.4989
0.4992
0.4994
0.4996
0.4997
0.4998
Distribution
.06
.07
0.0239 0.0279
0.0636 0.0675
0.1026 0.1064
0.1406 0.1443
0.1772 0.1808
0.2123 0.2157
0.2454 0.2486
0.2764 0.2794
0.3051 0.3078
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.09
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0.4997
0.4998
0.4998
10-P
ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
FORTINO VELA PEÓN
ttable
df
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
120
140
160
180
200
UAM-X
Critical Values of Student's t
.10
.05
.025
.01
.005
.20
.10
.050
.02
.010
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1.638
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2.015
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1.987
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1.291
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1.660
1.984
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1.975
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1.286
1.653
1.973
2.347
2.603
1.286
1.653
1.972
2.345
2.601
13
.0005
.0010
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5.408
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4.140
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4.015
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3.591
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1-tail
2-tail
10-P