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FUNCIONES DE TRANSFERENCIA CON POLOS Y CEROS CUADRÁTICOS
Todas las funciones de transferencia que presenta el circuito RLC en serie contienen un polo cuadrático de la
forma: (jw)2 LC +(jw) CR +1 , la cual se puede considerar como un polinomio cuadrático en la variable jw = S
igualándolo a cero y así podremos determinar las raíces que tiene el polinomio. Por lo tanto el polinomio
cuadrático se puede reescribir de las formas siguientes:
R
1
R
1
+
= S2 + S +
=0
(jw)2 LC +(jw) CR +1 = S2 LC +S CR +1 = (jw)2 + (jw)
L LC
L LC
Como la frecuencia de resonancia del circuito RLC en serie estará expresada por:
1
1
= LC = RC, y la constante de
Wo =
, la constante de tiempo del circuito queda definida por: τ =
Wo
LC
tiempo al cuadrado será : τ2 = LC
Reemplazando estos términos en el polinomio cuadrático, éste podrá reescribirse como:
S2 τ2 + S τ +1 = (jw)2 τ2 + (jw) τ +1, y éste a su vez, podrá ser modificado de la forma siguiente:
El término lineal (jw) CR, puede modificarse multiplicándole por un quebrado igual a la unidad. Como el
2τ
término
es igual a la unidad, entonces:
2 LC
R C
2τ
CR
(jw) CR =
(jw) CR = 2 τ (jw)
= 2 τ (jw)
2 L
2 LC
2 LC
R C
, el cual recibe el nombre de coeficiente de amortiguamiento, el término lineal puede
2 L
quedar expresado por: (jw) CR = 2 ξτ (jw)r Por lo tanto el polinomio cuadrático podrá expresarse de la forma
siguiente:
2ξ
2ξ
(jw)2 τ2 + 2 ξτ (jw) + 1 = (jw)2 +
(jw) + wo2 = S2 +
S + wo2
τ
τ
De esta forma un polinomio cuadrático, cualquiera que sea su presentación, se le podrá determinar los valores
característicos enunciados anteriormente, estos son:
Frecuencia de resonancia Wo
Constante de tiempo τ
Coeficiente de amortiguamiento ξ
POLOS Y CEROS CUADRÁTICOS QUE TIENEN RAÍCES REALES
Ejemplos numéricos: Raíces reales y diferentes
1º. Sea el polinomio S2 + 200 S + 100 = 0 = 0.01 S2 + 2 S + 1
La cual se puede reescribir como: (jw)2 + 200 (jw) + 100 = 0 = 0.01 (jw)2 + 2 (jw) + 1
2
200 x 0.1
Determinando las características: τ = 0.1 , τ2 = 0.01, Wo = 10, Wo2 = 100, ξ =
=
= 10
2 x 0.1
2
Como el coeficiente de amortiguamiento es mayor a 1.0, las raíces del polinomio son reales y diferentes.
En efecto las raíces son: - 0.5012 y - 199.49 ≅ - 0.5 y 200
El polinomio cuadrático se puede simplificar como la multiplicación de dos polinomios de primer grado o
simples: S2 + 200 S + 100 = (S+0.5) (S+200) y estos dos polinomios a su vez son expresados como polinomios
w
w
simples: (S+0.5) (S+200) = (jw + 0.5) (jw + 200) = 0.5 * 200 ( 1 + j
)(1+j
)
0.5
200
Por lo tanto, el citado polinomio, tendrá un diagrama asintótico con una frecuencia de quiebre en
w = 0.5 rad./seg. y una segunda frecuencia de quiebre en w = 200 rad./seg
En el Diagrama asintótico de Bode, si el polinomio es un polo, las asíntotas se extienden hacia abajo y si es un
cero hacia arriba.
A continuación se dibuja a escala el diagrama asintótico de Bode, como si el polinomio fuese un polo.
Sí hacemos ξ =
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La asíntota de frecuencias bajas es horizontal y en w = 0.5 rad/seg, se presenta una asíntota que baja con una
pendiente de – 20 db/dec, hasta w = 0.5 rad/seg, en donde a partir de ese valor la asíntota baja con un pendiente
de – 40 db/dec.
DB
m = - 20 db/dec
0.1
1.0
10
100
1000
rad./seg.
m = - 40 db/dec
w = 0.5 rad/seg
w = 200 rad/seg
Raíces reales e iguales:
2º. Sea el polinomio S2 + 20 S + 100 = 0 = 0.01 S2 + 0.2 S + 1
La cual se puede reescribir como: (jw)2 + 20 (jw) + 100 = 0 = 0.01 (jw)2 + 0.2 (jw) + 1
0.2
20 x 0.1
Determinando las características: τ = 0.1 , τ2 = 0.01, Wo = 10, Wo2 = 100, ξ =
=
= 1.0
2 x 0.1
2
Como el coeficiente de amortiguamiento es igual a 1.0, las raíces del polinomio son reales iguales.
En efecto las raíces son: - 10 y - 10
El polinomio cuadrático se puede simplificar como la multiplicación de dos polinomios de primer grado o
simples: S2 + 20 S + 100 = (S+10) (S+10) y estos dos polinomios a su vez son expresados como polinomios
w
w
w 2
simples: (S+10) (S+10) = (jw + 10) (jw + 10) = 100 ( 1 + j
)(1+j
)=(1+j
)
10
10
10
Por lo tanto, el citado polinomio, tendrá un diagrama asintótico con una frecuencia de quiebre en
w = 10 rad./seg. y la asíntota de alta frecuencia tiene una pendiente de 40 db/dec
En el Diagrama asintótico de Bode, si el polinomio es un polo, la asíntota se extiende hacia abajo y si es un cero
hacia arriba.
A continuación se dibuja a escala el diagrama asintótico de Bode, como si el polinomio fuese un polo.
La asíntota de frecuencias bajas es horizontal y en w = 10 rad/seg, se presenta una asíntota que baja con una
pendiente de – 40 db/dec.
DB
0.1
1.0
10
100
w = 10 rad/seg
1000
rad./seg.
m = - 40 db/dec
POLOS Y CEROS CUADRÁTICOS QUE TIENEN RAÍCES IMAGINARIAS
Para los polos y ceros cuadráticos que tienen raíces imaginarias se presenta el análisis siguiente:
El polinomio cuadrático se puede expresar de la forma siguiente:
[1 + 2 ξ (jwτ ) + ( jwτ ) 2 ] = [(1 − ( wτ ) 2 ) + 2 ξ (jwτ )] , por lo tanto,
DB = 20 log 10 [1 + 2 ξ (jwτ ) + ( jwτ ) 2 ] = 20 log 10 [(1 − ( wτ ) 2 ) + j 2 ξ w τ ]
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2ξw τ
]
1 - (w τ) 2
Sí el coeficiente de amortiguamiento es menor a uno (ξ < 1.0) las raíces son complejas, entonces, el polinomio
se analiza de la forma siguiente:
1°. Para 0 < w < wo, o sea, para w <<< wO, o sea, para w
0, frecuencias bajas.
1
1
0,
Sí wo = , entonces, w <<< , w τ <<< 1.0, finalmente, para w τ
DB = 20 log 10 [ [1 − ( w τ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ] 2
τ
]
θpol = tan- 1[
y
τ
la expresión [1 − ( w τ ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ ] 2 se hace igual a 1.0, por lo tanto,
db = 20 log 10 [ [1 − ( w τ ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ ] 2 ] = 0 , o sea que, para frecuencias bajas DB = 0
La cual corresponde a una recta horizontal que pasa por 0 db, igual que el polinomio lineal
2°. Para wo < w , o sea, para w >>> wO, o sea, para w
∞, frecuencias altas.
1
1
∞,
Sí wo = , entonces, w >>> , w τ >>> 1.0, finalmente, para w τ
τ
τ
2 2
La expresión (1-(w τ) ) ≅ ((w τ)2)2 , la expresión (w τ)4 >>> (2 ξ w τ)2, por lo tanto, la expresión
[1 − ( w τ1 ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ] 2 ≅
2
[1 - (w τ ) 2 ] 2 ≅ (w τ) , por lo tanto, sí el polinomio es un polo,
DB = - 20 log 10 [ [1 − ( w τ ) 2 ] 2 + [2 ξ w τ ] 2 ] = - 20 log 10 [(w τ)2] = - 40 log 10 [(w τ)] = - 40 log 10 [
w
]
wo
DB = 40 log10(wo) – 40 log10(w) , la cual corresponde a la recta Y = K – 40 X
O sea que para frecuencias altas la magnitud decrece, con una variación de 40 decibeles por década.
Si el polinomio fuese un cero, el comportamiento sería igual, solo que para frecuencias altas la magnitud
crece
Ejemplos numéricos: Sea el polinomio S2 + 10 S + 100 = 0 = 0.01 S2 + 0.1 S + 1
La cual se puede reescribir como: (jw)2 + 10 (jw) + 100 = 0 = 0.01 (jw)2 + 0.1 (jw) + 1
0.1
10 x 0.1
Determinando las características: τ = 0.1 , τ2 = 0.01, Wo = 10, Wo2 = 10, ξ =
=
= 0.5
2 x 0.1
2
Como el coeficiente de amortiguamiento es menor de 1.0, las raíces del polinomio son imaginarias.
En efecto las raíces son: -5 + 8.660 j y -5 - 8.660 j
Luego el citado polinomio, tendrá un diagrama asintótico con la frecuencia de quiebre en w = 10 rad./seg.
En el Diagrama asintótico de Bode, si el polinomio es un polo, la asíntota se extiende hacia abajo y si es un cero
hacia arriba.
A continuación se dibuja a escala el diagrama asintótico de Bode, como si el polinomio fuese un polo.
La asíntota de frecuencias bajas es horizontal y en w = 10 rad/seg, se presenta una asíntota que baja con una
pendiente de – 40 db/dec. El diagrama asintótico de Bode es igual al analizado en el ejemplo inmediatamente
anterior, solo que la curva real es diferente, por que se presenta una protuberancia hacia la parte positiva
exactamente el el punto de quiebre W = 10 rad/seg.
Curva exacta
ξ = 0.5
DB
0.1
1.0
Curva exacta
10
100
w = 10 rad/seg
1000
rad./seg.
m = - 40 db/dec
ξ = 1.0
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Ejemplo práctico: Sea un circuito RLC en serie, en donde: R = 2 Ω, L = 5 mh, C = 2 f. Determinar la ganancia de
voltaje cuando el voltaje de salida está sobre el capacitor.
IT
XL
VR
Ve
VL
VC
XC
La ganancia de voltaje, cuando la salida es el voltaje sobre la
capacitancia, quedará definida por:
V
1
Gv(jw) = C =
2
Ve ( jw ) LC + ( jw )CR + 1
1
100
100
=
=
2
(jw + 0.25) (jw + 400)
(jw) 0.01 + (jw) 4 + 1 (jw) + (jw)400 + 100
100
1
=
Gv(jw) =
w
w
w
w
0.25 * 400(1 + j
) (1 + j
)
(1 + j
) (1 + j
)
0.25
400
0.25
400
w 2
w 2
) ] – 10 log10[1+(
)]
DB = 0 – 10 log10[1+(
0.25
400
El diagrama asintótico de Bode correspondiente es muy similar al primer caso estudiado en este documento.
Gv(jw) =
2
Ejemplo práctico: Determinar los polos y ceros de la función de transferencia a continuación y bosquejar el
diagrama asintótico.
w
5 (1 + j )
5 (1 + 0.1 j w)
10
FT (jw) =
=
2
w
j w (1 + 0.5 j w) ( 1 + jw 0.012 + (jw) 0.02) j w (1 + j ) ( 1 + jw 0.012 + (jw) 2 0.02)
2
La función de transferencia posee: una constante K = 5, un polo en el origen, un polo en 2 rad./seg., un cero en
10 rad./seg., y un polo cuadrático con las siguientes características:
2
1
= 0.141421, wo = = 5√2 = 7.07 rad./seg.,
(1 + jw 0.012 + (jw)2 0.02) τ2 = 0.02 , τ =
10
τ
0.012
= 0.04242, por lo tanto las raíces son imaginarias, en efecto
Coeficiente de amortiguamiento: ξ =
2 x 0.14121
las raíces son: - 0.3 + 7.071 j y - 0.3 + 7.071 j
Por lo tanto el polo cuadrático, tiene una frecuencia de quiebre en w = 7.071 rad./seg.
DB = 13.97 – 20log10(w) – 10log10(1+(
Extrapolación de algunos valores:
w (rad/seg)
DB
1
13.97
2
5.8314
3
1.4072
4
-1.0872
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w 2
w
) ) – 10log10[(1-0.02 w2)2 + (1.44x10-4 w2)]+ 10log10(1+( )2)
2
10
w (rad/seg)
5
6
7
7.07
DB
-1,678
0.5123
8.68
8.6983
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w (rad/seg)
8
9
10
12
DB
-3.688
-11.798
-17.23
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DIAGRAMA DE BODE DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DB
33.97
m = - 20 db/dec
m = - 40 db/dec
20
0
0.1
1.0
2.0
7.07 10
12
log(w)
m = - 80 db/dec
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