Unidad 4 Teoremas Integrales Rotacional, Divergencia

4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente
Unidad 4 Teoremas Integrales
Rotacional, Divergencia, Gradiente
Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional
Dado un campo vectroial F = P î + Qĵ + Rk̂ ¾hay un campo G = Lî + M ĵ + N k̂ tal que rot G=F?
Si F es un csampo vectorial de clase c1 denido en R3 tal que div F = 0 entonces existe
un campo vectorial G de clase c1 de modo que
Teorema 1.
rot G = F
Demostración. Si F = P î + Qĵ + Rk̂ y G = Lî + M ĵ + N k̂ se tiene entonces
î
∂
rot G = ∇ × G = ∂x
L
ĵ
∂
∂y
M
se debe cumplir
k̂ ∂N
∂M ∂L ∂N ∂M
∂L
∂ =
−
,
−
,
−
∂z ∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
N
∂N
∂M
−
=P
∂y
∂z
∂L ∂N
−
=Q
∂z
∂x
∂M
∂L
−
=R
∂x
∂y
tomando L = 0 se llega a
∂N
∂M
−
=P
∂y
∂z
∂N
−
=Q
∂x
∂M
=R
∂x
Integrando la segunda expresión se tiene
x
Z
N (x, y, z) = −
Q(t, y, z) dt + f (y, z)
x0
tomamos f (y, z) = 0
Z
x
N (x, y, z) = −
Q(t, y, z) dt
x0
Integrando la tercera expresión se tiene
Z
x
M (x, y, z) = −
R(t, y, z) dt + g(y, z)
x0
Sustituimos ambas expresiones en la ecuación
∂N
∂M
−
=P
∂y
∂z
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
1
4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente
Unidad 4 Teoremas Integrales
y obtenemos
R
x
∂ − x0 Q(t, y, z) dt
∂y
−
R
x
∂ − x0 Q(t, y, z) dt
∂y
Z
x
x0
como div F = 0 entonces
R
x
∂ − x0 R(t, y, z) dt + g(y, z)
−
∂z
R
x
∂ − x0 R(t, y, z) dt
∂z
−
=P
∂g
=P
∂z
Z x
∂ (−R(t, y, z) dt) ∂g
∂ (−Q(t, y, z) dt)
−
−
=P
∂y
∂z
∂z
x0
Z x
∂Q
∂R
∂g
−
(t, y, z) −
(t, y, z) dt −
=P
∂y
∂y
∂z
x0
∂P
∂Q ∂R
∂P
∂Q ∂R
+
+
=0 ⇒
=−
−
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
por lo tanto
Z
x
x0
Z x
∂R
∂g
∂g
∂P
∂Q
(t, y, z) −
(t, y, z) dt −
=P ⇒
(t, y, z) dt −
=P
−
∂y
∂y
∂z
∂x
∂z
x0
⇒ P (x, y, z) − P (x0 , y, z) −
∂g
=P
∂z
esto quiere decir
∂g
∂g
=0 ⇒
= −P (x0 , y, z) ⇒ g(y, z) = −
−P (x0 , y, z) −
∂z
∂z
Z
z
P (x0 , y, u) du
z0
y asi tenemos el campo G = Lî + M ĵ + N k̂ dado por
L(x, y, z) = 0
Z
x
Z
z
R(t, y, z) dt −
M (x, y, z) =
x0
P (x0 , y, u) du
z0
Z
x
N (x, y, z) = −
Q(x0 , y, u) du
x0
Ejemplo
Sea F (x, y, z) = −z î + xy k̂. Hallar G tal que rot F=G
Solución
En este caso se tiene
F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ P (x, y, z) = −z
F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ Q(x, y, z) = 0
F (x, y, z) = (−z, 0, xy) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ R(x, y, z) = xy
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
2
4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente
Unidad 4 Teoremas Integrales
de esta manera
P (x, y, z) = −z ⇒ P (0, y, u) = −u
Q(x, y, z) = 0 ⇒ Q(t, y, z) = 0
R(x, y, z) = xy ⇒ R(t, y, z) = ty
por lo tanto si x0 = z0 = 0
Z
x
M (x, y, z) =
0
L(x, y, z) = 0
Z z
yt2 x
u2 z
yx2
z2
ty dt −
−u du =
|0 +
|0 =
+
2
2
2
2
0
Z x
N (x, y, z) = −
0 du = 0
0
de esta manera
G(x, y, z) =
z2
yx2
+ ,0
0,
2
2
Ejemplo
Sea F (x, y, z) = 2î + ĵ + 3k̂. Hallar G tal que rot F=G
Solución
En este caso se tiene
F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ P (x, y, z) = 2
F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ Q(x, y, z) = 1
F (x, y, z) = (2, 1, 3) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) ⇒ R(x, y, z) = 3
de esta manera
P (x, y, z) = 2 ⇒ P (0, y, u) = 2
Q(x, y, z) = 1 ⇒ Q(t, y, z) = 1
R(x, y, z) = 3 ⇒ R(t, y, z) = 3
por lo tanto si x0 = z0 = 0
x
Z
M (x, y, z) =
0
L(x, y, z) = 0
Z z
3 dt −
2 du = 3t |x0 − 2t |z0 = 3x − 2z
0
Z
N (x, y, z) = −
x
du = −x
0
de esta manera
G(x, y, z) = (0, 3x − 2z, −x)
Supongamos todos los campos vectoriales que se consideran derivables con continuidad. Sea H =
F + G, donde F es solenoidal (div F = 0) y G es irrotacional.
Existe entonces un campo vectroial u tal que F = rot u y un campo escalar ϕ tal que G = ∇ϕ en
S.
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral IV
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
3
4.1 Rotacional, Divergencia, Gradiente
Unidad 4 Teoremas Integrales
Demostrar que u y ϕ satisfacen en S la siguiente ecuación diferencial en derivadas par-
Ejercicio
ciales
a) ∇2 ϕ = div H
b) grad (div u) − ∇2 u = rot F
Demostración. tenemos que
div H = div F + G = div F + div G = div G = div (∇ϕ) = ∇2 ϕ
por otro lado
rot H = rot F + rot G = rot F = rot (rot u) = grad (div u) − ∇2 u
Hallar los campos F y G donde F es solenoidal (div F=0) y G es un campo gradiente de
modo que se verique
Ejercicio
H =F +G
para
Solución
a) H(x, y, z) = (x2 y, y 2 z, z 2 x)
para el inciso a) como
div H = div F + G = div F + div G = div G
entonces H = ∇ϕ por lo tanto
∂ϕ
= x2 y,
∂x
∂ϕ
= y 2 z,
∂y
∂ϕ
= z2x
∂z
integrando
Z
ϕ(x, y, z) =
ϕ(x, y, z) =
donde
Z
x2 y + A(y, z),
ϕ(x, y, z) =
x3 y
+ A(y, z),
3
A(y, z) =
de esta manera
ϕ(x, y, z) =
y3 z
z3x
+
,
3
3
por lo tanto
G = ∇ϕ =
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ
,
,
∂x ∂y ∂z
ϕ(x, y, z) =
y3 z
+ B(x, z),
3
B(x, z) =
ϕ(x, y, z) =
Z
y 2 z + B(x, z),
x3 y z 3 x
+
,
3
3
ϕ(x, y, z) =
C(x, y) =
z 2 x + C(x, y)
z3x
+ C(x, y)
3
x3 y y 3 z
+
3
3
z3x
x3 y y 3 z
+
+
3
3
3
z3 2
x3 2
y3
2
= x y + ,y z + ,z x +
3
3
3
de la ecuación H = F + G se tiene
F (x, y, z) =
Facultad de Ciencias UNAM
Cálculo Diferencial e Integral IV
3
z
x3
y3
− ,− ,−
3
3
3
Prof. Esteban Rubén Hurtado Cruz
4