1.2 Aritmética

Introducción a la Computación
Tc1001
Conceptos Fundamentales
1.2 Aritmética
1.2.1 Conjuntos: Identificación de subconjuntos en los números
La aritmética es la parte de la ciencia matemática que estudia
los números, sus propiedades y las operaciones que pueden llevarse a
cabo con ellos.
El concepto de número surge de la intuición humana de
unidad, base fundamental de todo sistema que tenga en cuenta los
números. El inicio de la aritmética está en la necesidad, que el
hombre tiene desde siempre, de concebir un procedimiento capaz de
contar y medir los objetos y agrupaciones de objetos que se
encuentran a su alrededor.
La extensión y complejidad que progresivamente caracteriza
la noción de número es un factor esencial para la evolución de la
aritmética como rama de las matemáticas. Un ejemplo de esto son
los números naturales, definidos por intuición, son la base de los
números enteros. Los números enteros se definieron para que
tuvieran sentido las ecuaciones y las operaciones cuyos resultados no
estaban dentro de los naturales.
Para poder realizar operaciones con fracciones, el siguiente paso fue
el desarrollo de la idea de números racionales (de ración,
proporción). Después, para dar sentido a algunos resultados de
radicales, fue necesario introducir la idea de los números reales y
finalmente, a partir de los trabajos de Gauss, la de los números
complejos.
Con el apoyo del Álgebra y la Teoría del Conjuntos, la
Aritmética se transforma en una ciencia profunda y precisa.
Ngj/2011
1.2 Aritmética
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Introducción a la Computación
Tc1001
Conceptos Fundamentales
Clasificación de los números
Un número es un símbolo que representa una cantidad. Es también una
entidad abstracta con la que se describe una cantidad. Los números más conocidos
son los números naturales 0, 1, 2,…, que se usan para contar. Si añadimos los
números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los
números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con
decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a
éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números
necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Entre los reales, existen
números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebraica. Reciben el
nombre de transcendentales o irracionales. El ejemplo más famoso de estos
números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los
logaritmos naturales.
Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de
números:
1)
Número primo
Números compuestos
Número perfectos
Números naturales
2) Números enteros
Pares
Impares
3) Números reales
irracionales
algebraicos
Trascendentes
4) Números racionales
5) Números complejos
6) Cuaterniones
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1.2 Aritmética
Ngj/2011
I
Introducci
ión a la Co
omputació
ón
Tc1001
Concepto
os Funda
amentales
Número
o
D
Descripci
ión
Elemento
os
N
Natural
Todo núm
mero entero po
ositivo (1, 2, 3,4
4,...) o como tod
do número
entero no
o negativo (0, 1,
1 2, 3, 4,...). Alg
gunos matemáticos
(especialm
mente los de Teoría
T
de Númeeros) prefieren no
reconocer el cero como un número nattural, mientrass que otros,
especialm
mente los de Teeoría de Conjun
ntos, Lógica e Informática,
tienen la postura opuestta. Nota: En esste curso, tomaremos el
cero com
mo número natu
ural.
0, 1, 2, 3, 4,
4 5, 6, 7, 8,, 9, …
E
Entero
Son del tiipo: -59, -3, 0, 1, 5, 78, 34567, etc., es decir, los
naturaless, sus opuestos (negativos) y el
e cero.
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,, …
R
Real
Los númeeros reales se definen
d
de man
nera intuitiva co
omo el
conjunto de números qu
ue se encuentra
an en una recta
a infinita: la
recta num
mérica. El conju
unto de los núm
meros reales see expresa por
la letra
. El nombree de "número reeal" se propuso
o como
antónimo
o de "número im
maginario".
El concep
pto de número real se originó cuando se con
nstató la
existencia
a de los númerros irracionaless. Así, el conjun
nto de los
números reales se origin
na como la unión del conjunto de los
números racionales y ell conjunto de lo
os irracionales. Igualmente,
incluye ta
ambién los núm
meros naturales y los números enteros.
Por tanto
o, los números reales pueden ser racionales o
irraciona
ales, algebraicoss o trascendenttes; y positivoss, negativos,
o nulos.
R
Racional
Todo aqu
uel número quee puede ser exp
presado en form
ma de
fracción (como
(
resultad
do de la división
n de dos númerros enteros,
con el div
visor distinto de
d 0). El conjun
nto de los racion
nales se nota
por "quotient", o seea "cociente" en
n varios idioma
as europeos.
Estos núm
meros contieneen los númeross enteros, númeeros
decimales. Los númeross racionales cumplen la propiiedad
arquimed
diana, esto es, para
p
cualquier pareja de núm
meros
racionalees existe otro nú
úmero racionall situado entre ellos.
Los racio
onales se caractterizan por teneer un desarrollo decimal
(en cualq
quier base de nu
umeración), cu
uya expresión puede
p
ser de
tres tiposs:
Exacta: en
e la cual, la parte decimal tien
ne un número finito de
cifras. Ej.. 8/5 = 1.6;
Periódica
a pura: toda la parte
p
decimal se
s repite indefiinidamente.
Ej.1/7 = 0,.142857
0
1428
857...;
Periódica
a mixta: no tod
da la parte decim
mal se repite. Ej.1/60
E
=
0.01 6 6....
En efecto
o, al dividir un entero
e
por otro
o, (ejemplo 1 po
or 7) sólo
existen un número finitto de restos possibles. Siendo la sucesión
de restos infinita, apareecerá forzosameente un mismo
o resto en dos
posicionees distintas. A partir
p
de ellas, el cálculo se reepite igual.
C
Complejos
Los Núm
meros Comple
ejos son una extensión
e
de loss números
reales, cu
umpliéndose qu
ue
. Los números complejos
tienen la capacidad de representar
r
tod
das las raíces dee los
polinomiios, cosa que co
on los reales no
o era posible.
Esto se co
onsigue graciass a que los com
mplejos hacen uso
u de una
/2011
Ngj/
1.2
2 Aritméttica
a
b
Cada comp
plejo se rep
presenta en
n
forma binomial como
o:
z = a + ib
a es la parrte real del número
n
19
I
Introducc
ión a la Co
omputación
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Concepto
os Funda
amentales
unidad im
maginaria llam
mada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unid
dad imaginaria es de hecho la
a que permite definir
d
las
operacion
nes con esos nú
úmeros, puesto
o que para efecttuarlas hay
que tenerr presente que cada lado de essa unidad imag
ginaria debe
trabajarse en forma ind
dependiente.
C
Cuaternion
es
complejo z,
z y
b es su parrte imagina
aria.
Son una extensión
e
de lo
os números rea
ales, similar a la
a de los
números complejos. Miientras que los números comp
plejos son
una exten
nsión de los rea
ales por la adicción de la unida
ad
imaginarria i, tal que i2 = − 1, los cuaterrniones son un
na extensión
generada
a de manera análoga añadiend
do las unidadess
imaginarrias: i, j y k a loss números realles y tal que i2 = j2 = k2 = i j
k = − 1.
El aceercamiento
o al concep
pto de núm
mero se lleeva a cabo desde el conocimien
c
nto
generrado por trees teorías.
La Teoríía analític
ca explica todos los tipos de números
n
a partir de la
noción de númerro natural. Según esta teoría, tod
das las clasees de númerros, definid
das
como pares crea
ados en un conjunto a partir de una relació
ón precisa, los númerros
entero
os pueden ser vistoss como pa
ares de nú
úmeros naturales y los númerros
racion
nales, como
o pares de la
as distintass clases de números
n
en
nteros.
La Teoría sintética
a define la
as operacion
nes aritmétticas como imágenes de
peraciones que
q se pued
den llevar a cabo entree los conjun
ntos. Esta aproximació
a
ón
las op
se bassa en la intrroducción de
d la noción
n de conjun
ntos.
Una defin
nición rigurrosa y preciisa del conccepto de nú
úmero natu
ural se lleva
aa
cabo entre
e
los sig
glos XIX y XX, con la Teoría ax
xiomática del núme
ero natura
al,
porqu
ue toma su base de la
as operacio
ones con nú
úmeros natturales. Estta teoría diice
que en
n el conjunto de los nú
úmeros naturales existten un elem
mento –se lllama uno o 1que es
e el primerro de una sucesión
s
y del cual no
o existen elementos
e
p
predecesore
es.
Toma
ando el elem
mento 1 com
mo punto dee partida, se
s obtienen todos los demás,
d
que se
constrruyen por medio
m
del reecurso de añadir
a
una unidad
u
al ellemento prredecesor.
1 i j k
1 1 i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1
Cuaterniones
Repreesentación Polar del Número
N
Com
mplejo
20
1.2
2 Aritméttica
Ngj/20111
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Conceptos Fundamentales
1.2.2 Propiedades de los números
Propiedad
Operación
Cerradura o Suma
clausura
Multiplicación
Existencia del Suma
neutro
Multiplicación
Existencia del Suma
inverso
Multiplicación
Conmutativa Suma
Asociativa
Multiplicación
Suma
Multiplicación
Distributiva
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Definición
a+b = c
a×b = c
a+0= a
a ×1 = a
a + (−a ) = 0
a × 1a = 1
a+b =b+a
a×b = b×a
a + (b + c ) = (a + b ) + c
a × (b × c ) = (a × b ) × c
a × (b + c ) = a × b + a × c
1.2 Aritmética
Descripción
Cuando el resultado
numérico de una
operación, pertenece
a la misma
clasificación de los
números se dice que
es una operación
cerrada.
Un número se dice
que es neutro de una
operación definida
cuando no altera el
valor de la operación.
El cero es el número
neutro de la suma. El
uno es el número
neutro de la
multiplicación.
Un número es el
inverso del otro
cuando al efectuar
una operación entre
ambos, el resultado
es el elemento neutro
de la operación.
El orden al sumar o
multiplicar reales no
cambia el resultado.
Puedes hacer
diferentes
asociaciones al sumar
o multiplicar reales y
no cambia el
resultado.
El factor se distribuye
a cada sumando.
Ejemplos
4+3= 7
5.1 + 3.2 = 8.3
5+0 = 5
6 ×1 = 6
5 + (−5) = 0
3 × 13 = 1
3+ 4 = 4+3 = 7
3 × 4 = 4 × 3 = 12
1 + (2 + 3) = (1 + 2) + 3 = 6
2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4 = 24
4 × (3 + 2) = 4 × 3 + 4 × 2
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Conceptos Fundamentales
1.2.3 Operaciones de los números
Operaciones con los números naturales
• Las operaciones fundamentales con los números naturales son la suma y la
multiplicación. La suma se expresa a + b y la multiplicación a × b .
• La divisibilidad es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que
deben reunir dos números para que uno de ellos sea dividido de manera exacta
entre el otro. Estas condiciones se llaman criterios de divisibilidad.
o Todo número es divisible entre uno.
o Todo número terminado en cero o cifra par es divisible entre 2.
o Si la suma de los dígitos que forman un número es divisible entre 3,
entonces el número es múltiplo de 3, esto es, divisible entre 3.
o Si la suma de los dígitos que forman un número es divisible entre 4,
entonces el número es divisible entre 4.
o Todo número terminado en cero o 5 es divisible entre 5.
o Si la suma de los dígitos de un número es divisible entre 9 entonces el
número es divisible entre nueve.
Los números primos
• Los números Naturales que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad se
llaman números primos. Los números que nos son primos se llaman
compuestos. Los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 21,
37, …
•
Un número es primo si no es divisible entre ninguno de los números primos
cuyo cuadrado sea menor que dicho número. Ejemplo, para determinar si el
número 107 es primo:
22 = 4
32 = 9
5 2 = 25
107 no es divisible entre 2, 3, 5 y 7 por lo tanto es primo
7 2 = 49
112 = 121
•
22
Primos relativos son aquellos cuyo máximo común divisor es el uno. Ejemplo, el
4 y el 9 son primos relativos, el 6 y el 7 también.
1.2 Aritmética
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Teorema fundamental de la aritmética
Todo número compuesto (que no es primo) puede expresarse como un
producto de factores primos de forma única.
Para encontrar los factores primos se de divide el número entre el menor
número posible (2, 3, 5), el cociente obtenido se divide entre el menor divisor
primo posible y se repite la operación hasta obtener un cociente igual a la unidad.
24 2
12 2
6 2
3
1
24 = 2 × 2 × 2 × 3
3
= 23 × 3
Operaciones con los números enteros
Operación binaria: Es una operación en donde a partir de dos números se
a
obtiene un resultado numérico. Ejemplos: a + b , a × b , , a − b .
b
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es el valor que tiene el número
cuando prescinde del signo. Ejemplos: − 3 = 3 , 3 = 3 .
Números simétricos
Números simétricos u opuestos son aquellos que tienen el mismo valor
absoluto y signo diferente. Ejemplo: 7 y -7.
Operaciones:
o Adición y sustracción: la adición es una operación binaria, cerrada,
con inverso aditivo y elemento neutro; es asociativa y conmutativa. La
sustracción es la operación inversa de la adición
o Multiplicación: es una operación binaria, cerrada, existe elemento
neutro; es asociativa y distributiva.
o División: es la operación inversa de la multiplicación.
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1.2 Aritmética
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