1 y 3 de la Primera Olimpiada Junior de Lituania, por Ricardo

Solución al Prob #1 y Prob #3 de la Primera Olimpiada de Lituania
Solución por: Ricardo Junior Espino Lizama,(15 años) Lima/Perú
LIT1. En la multiplicación siguiente, en los factores cada letra representa un
número, de modo que letras distintas corresponden a números distintos. Pero
en los productos parciales, todos los núumeros (iguales o no) han sido codificados
por la letra x :
F I N D
F I N D
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x x
x x x x
x x x x
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x x x x x x
SOLUCIÓN:
Como no se presenta el segundo producto parcial, deducimos que el valor de N es cero
Quedando lo siguiente:
F I 0
F I 0
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x
0 0 0 0
x x x x
x x x x
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x x x x x x
D
D
x
Al analizar el cuarto producto parcial, el cual es resultado de la multiplicación
FIODxF, este producto tiene 4 cifras, concluimos diciendo que el valor de F pueden ser {1,2,3}
Pero analizando el producto total, este presenta una cifra más, lo que quiere decir que el valor de F
debe ser 3
ya que si toma el valor de 1 o 2, el producto final no sera posible.
Quedando asi:
3 I 0
3 I 0
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x
0 0 0 0
x x x x
x x x x
__ __ __ __ __ __ __ __
x x x x x x x x
D
D
x
Ahora, analizando los dos productos parciales restantes, se observa que estos son de 4 cifras, por
lo tanto
los productos 3I y 3D deben tener solo una cifra, osea, tanto I como D pueden tener como valores
{1,2,3}
pero no contemos al 3 ya que, a letras distintas, valores distintos (condición del problema)
por lo tanto I y D solo podran ser 1 y 2, mas no se sabe el orden
Evaluando las dos posibles soluciones, se muestra que la única solución sl problema es si I=2 Y
D=1
Finalmente, reconstruyendo la multiplicvación:
3 2 0 1
3 2 0 1
__ __ __ __ __ __ __ __
3 2 0 1
6 4 0 2
9 6 0 3
__ __ __ __ __ __ __ __
1 0 2 4 6 4 0 1
LIT3. Robinson Crusoe, navegando por el proceloso Océano de los Números,
se aproxima a la isla donde habitan todos los números con exactamente 100
dÌgitos. Quiere cumplir dos deseos:
a) Hallar un número de 100 dÌgitos divisible por 100 y tal que la suma de
sus cifras sea 100.
b) Encontrar el menor de tales números.
SOLUCIÓN:
a) Si el número es divisible por 100, entonces deberá acabar en dos ceros y la suma de sus otras
98 cifras deberá ser 100
un número que cumpla esos requisitos es el siguiente
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1..... 1 2200
-----------96 veces "1"------------b) Para encontrar el menor de todos los números que cumplan los mencionados requisitos,
debemos contar con que
se vea mayor cantidad de nñumeros 1, aquél número sería el siguiente:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1300
----------98 veces "1"------------------