un problema de stefan a una fase en materiales detipo storm

Matemática Aplicada, Computacional e Industrial
MACI
Vol. 5
2015
Trabajos presentados al V MACI 2015
Proceedings of V MACI 2015
Tandil, 4 al 6 de mayo de 2015
Matemática Aplicada, Computacional e Industrial
ISSN: 2314‐3282
Director: Cristina Maciel, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca
Comité Editorial / Editorial Board
Carlos D’Attellis, Univ. Favaloro – UNSAM, Buenos Aires
Pablo Jacovkis, UBA, UNTreF, Buenos Aires
Sergio Preidikman, CONICET – UNC, Córdoba
Diana Rubio, UNSAM, Buenos Aires
Rubén Spies, IMAL (CONICET – UNL), Santa Fe
Juan Santos, CONICET‐IGP‐UBA, Buenos Aires
Domingo Tarzia, CONICET – UA, Rosario
Cristina Turner, CONICET – UNC, Córdoba
Volumen 5, 2015
Contiene los trabajos presentados al congreso V MACI 2015, Tandil, Argentina.
Editores
Néstor Biedma, UTN, Neuquén.
Pablo A. Lotito, PLADEMA; F. C. Exactas, UNCPBA, Tandil.
Lisandro A. Parente, CIFASIS y FCEIA, UNR, Rosario.
Aldo J. Rubiales, PLADEMA; F. C. Exactas, UNCPBA, Tandil.
ASAMACI
Asociación Argentina de Matemática Aplicada, Computacional e Industrial
Güemes 3450, (3000) Santa Fe, Argentina.
E-mail: [email protected]
http://asamaci.org.ar/
MACI Vol. 5 (2015) 313 - 316
U N PROBLEMA DE S TEFAN A UNA FASE EN MATERIALES DE
TIPO S TORM
Adriana Briozzo†
†
Facultad de Ciencias Empresariales, Universidad Austral y CONICET,Rosario, Argentina, [email protected]
Resumen: Se considera un problema de Stefan unidimensional, no lineal a una fase para un material semi-infinito
x > 0, con temperatura de cambio de fase Tf . Se asume que la capacidad de calor y la conductividad térmica
satisfacen una condición de Storm y que existe una condición convectiva en el borde fijo. Se obtiene una solución de
tipo similaridad y se da un algoritmo para obtener la solución explı́cita.
Palabras clave: problema de Stefan, proceso con cambio de fase, solución de similaridad
2000 AMS Subject Classification: 35R35- 80A22- 35C05
1.
I NTRODUCCI ÓN
Se considera el siguiente problema de Stefan unidimensional, no lineal a una fase para un material semiinfinito x > 0, con temperatura de cambio de fase Tf .
[
]
∂
∂T
∂T
=
k(T )
, 0 < x < X(t) , t > 0 ,
(1)
s(T )
∂t
∂x
∂x
k(T (0, t))
∂T
h0
(0, t) = √ [T (0, t) − Tm ] , h0 > 0 , t > 0 ,
∂x
t
T (X(t), t) = Tf ,
k(Tf )
•
∂T
(X(t), t) = α X (t) , t > 0 ,
∂x
X(0) = 0
(2)
(3)
(4)
(5)
donde la constante positiva α es ρL, L es el calor latente de fusion del medio, ρ es la densidad (se asume
constante) y h0 > 0 es el coeficiente de transferencia de calor.
Se supone que el metal tiene propiedades térmicas no lineales tales que la capacidad de calor cp (T ) y la
conductividad k(T ) satisfacen una condición de Storm [2, 5, 6, 7, 9]
d
dT
(√
s(T )
k(T )
s(T )
)
= λ = const. > 0 ,
(6)
donde s(T ) = ρcp (T ).
La condición (6) fue originalmente obtenida por [9] en una investigación sobre conducción del calor
en metales monoatómicos simples. La validez de la aproximación (6) fue examinada para aluminio, plata,
sodio, cadmio, zinc, cobre y plomo.
En [1] fue estudiado este problema con condición de flujo y de temperatura en el borde fijo y se demuestra
la equivalencia de ambos. En [7] fue estudiado el problema de frontera libre (1) − (6) (fusion case) para el
caso particular k(T ) = ρc/ (a + bT )2 y s(T ) = ρc = constante. la solución explı́cita de este problema fue
obtenida a través de la única solución de una ecuación integral. Un caso similar con temperatura constante
en el borde fijo x = 0 también fue estudiado.
El objetivo de este trabajo es determinar la temperatura T = T (x, t) y la posición de la frontera de
cambio de fase t, X = X(t), que satisfacen (1) − (6) . En la sección que sigue se muestra cómo encontrar
una solución paramétrica para este problema. También se da un algoritmo en orden a calcular la solución
explı́cita.
313
MACI Vol. 5 (2015)
2.
N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.)
S OLUCI ÓN AL PROBLEMA DE S TEFAN CON
CONDICI ÓN CONVECTIVA
Se considera el problema (1) − (6) y se propone una solución de tipo similaridad dada por
T (x, t) = Φ(ξ) , ξ =
donde
X(t) =
x
X(t)
(7)
√
2γt , t > 0
(8)
es la frontera libre y γ es una constante positiva a determinar
Entonces se tiene que el problema (1) − (5) es equivalente a
k(Φ)Φ′′ (ξ) + k ′ (Φ)Φ′2 (ξ) + γs(Φ)Φ′ (ξ)ξ = 0 , 0 < ξ < 1 ,
√
k(Φ(0))Φ′ (0) = 2γh0 [Φ(0) − Tm ] ,
(10)
ϕ(1) = Tf ,
(11)
k(Φ(1))Φ′ (1) = αγ .
(12)
(9)
√
Si se define
k(Φ (ξ))
,
s(Φ (ξ))
y(ξ) =
(13)
entonces una parametrización de la condición de Storm es
s(Φ) = −
1 dy
1 dy
, k(Φ) = −
2
λy dΦ
λ dΦ
(14)
y entonces se tiene que el siguiente problema es equivalente a (9) − (12)
d2 y γξ dy
=0 , 0<ξ<1 ,
+ 2
dξ 2
y dξ
[( )
]
√
k −1 2
′
y (0) = − 2γλh0
(y (0)) − Tm ,
s
(15)
(16)
y ′ (1) = −αλγ ,
√
k(Tf )
y(1) = y1 =
.
s(Tf )
donde
( k )−1
s
(17)
(18)
es la función inversa de la función decreciente ks .
Lema 1 Una solución paramétrica al problema (15) − (18) está por
ξ = φ1 (u) =
√
γ
{
exp(−
− u0
y = φ2 (u) =
Fu0 (u)
,
Fu0 (u1 )
u2
0)
2
∫u
+
exp(−
u0
(19)
}
x2
2
)dx
,
Fu0 (u1 )
(20)
para
u0 < u < u1
donde la función Fu0 = Fu0 (u) está dada por
Fu0 (u) = exp(−
314
u2
2

) + u

∫u
u0
exp(−
z2
2
)dz −
u2
exp(− 20 )

u0
MACI Vol. 5 (2015)
y u0 , u1 son los valores del parámetro que deben verificar ξ = φ1 (u0 ) = 0 and ξ = φ1 (u1 ) = 1.
Las incógnitas γ, u0 y u1 deben verificar el siguiente sistema de ecuaciones
]
[( ) (
)
√
k −1
γexp(−u20 )
u0 = 2λh0
− Tm
s
[u0 Fu0 (u1 (u0 ))]2
√
γ=
exp(−
(
exp(−
u0
αλ
u2
0)
2
u21
2 )
∫u1
−
)
exp(−
u0
x2
2
(21)
(22)
)dx
u2
− exp(− 21 )
y1 =
αλFu0 (u1 )
(23)
En lo que sigue se quiere encontar u0 , u1 y γ las soluciones de las ecuaciones (21) − (23). Se puede
reescribir el sistema (21) − (23) como sigue
(
)
k
u0
γexp(−u20 )
√
+ Tm =
(24)
s
2h0 λ
[u0 Fu0 (u1 ))]2
√
γ=
exp(−
(
exp(−
u0
αλ
u2
0)
2
u0
M (u1 ) = g
(
donde M (x) = g
√x , √1
π
2
(
1
αλy1
∫u1
−
(
))
+1 .
u21
2 )
)
(25)
2
exp(− x2 )dx
u
1
√0 , √
2 π
)
(26)
Lema 2 Existe una única solución al sistema (21) − (23) dada por
))
( (
u0 1
−1
u1 = M
g √ ,√
2 π
(
γ(u0 ) =
α2 λ2
donde u0 es la única solución de
k
s
con R(u0 ) =
(
exp(−u21 (u0 ))
exp(−
u0
u2
0)
2
∫u1
−
u
√ 0 + Tm
2h0 λ
u0
)2
2
exp(− x2 )dx
)
= R(u0 )
γexp(−u20 )
[u0 Fu0 (u1 (u0 ))]2
.
Teorema 1 El problema (1) − (5) tiene una única solución de tipo similaridad.
Se da a continuación un procedimiento para calcular la solución. Fijados los datos: α, λ, q0 , Tf , k(T )
y s(T ) del problema (1) − (5) , para obtener la frontera libre X(t) y la temperatura T (x, t) para 0 < x <
X(t), t > 0, se sigue el siguiente proceso:
(i) Se obtienen u0 , u1 y γ las soluciones de las ecuaciones (21) − (23).
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MACI Vol. 5 (2015)
N. Biedma, P. A. Lotito, L. Parente, A. Rubiales (Eds.)
(ii) Para t > 0 se calcula
X(t) =
y para cada 0 < x < X(t) se obtiene
√
2γt
x
.
X(t)
(iii) Teniendo en cuenta que φ1 (u) es una función creciente se determina
(
)
x
−1
u = φ1
and φ2 (u)
X(t)
donde φ1 y φ2 are given by (19) − (20) .
(iv) Se tiene
(
) ( k )−1 (
)
P (φ2 (u))2 =
(φ2 (u))2
s
( )−1
donde P = ks
es la función inversa de la función ks , la cual es una función decreciente por la condición
(6) .
(v) Se obtiene la temperatura
(( (
))2 )
T (x, t) = P φ2 φ−1
(x/X(t))
.
1
AGRADECIMIENTOS
This paper has been partially sponsored by the project PIP No. 112-200801-00460 from CONICET-UA,
Rosario (Argentina) and Fondo de ayuda a la investigacion from Universidad Austral (Argentina).
R EFERENCIAS
[1] Briozzo, A. C.; Natale, M. F. One-dimensional nonlinear Stefan problems in Storm’s materials, Mathematics 2014, 2, 1-11.
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√
[10] Tarzia, D. A. An inequality for the coefficient σ of the free boundary s(t) = 2σ t of the Neumann solution for the two-phase
Stefan problem. Quart. Appl. Math. 1981, 39, 491-497.
316