Introduccción a la elasticidad anisótropa

Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Master en Mecánica Estructural Avanzada DDG Mecánica de Materiales Compuestos Tema 2. Análisis de la lámina Curso 2010/2011 Autores: Enrique Barbero Pozuelo, K. García Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo,Shirley Sonia Sánchez Sáez Castillo, Sonia Sánchez Sáez Índice Tema 2.1 Introducción a la Elasticidad Anisótropa Planteamiento del problema elástico Relación de comportamiento Ecuaciones constitutivas Simetrías materiales Materiales ortótropos Láminas Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Planteamiento del problema elástico Problema elástico r tΩ z r fv y x Conocidas las acciones exteriores determinar el campo de desplazamientos, el tensor de tensión y el tensor de deformación r uo → → fv , t Ω ro u Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez [T] → u [D] Planteamiento del problema elástico → → o → → u , u fv , t Ω r tΩ Ecuaciones de equilibrio z Ecuaciones de compatibilidad r fv y ro u x [T] [D] Ecuaciones constitutivas Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Relación de comportamiento [T] Movimiento, temperatura, tiempo [T ] = F (φ ( t ) ,θ ( t ) , t, r ) Material viscoelástico La relación de comportamiento es lineal Material elástico lineal Material viscoelástico en el que no existe dependencia del tiempo Material hiperelástico Material hipoelástico Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez ∂U = σ ij ∂ε ij ∂σ ij ∂t =C⋅ ∂ε ij ∂t Ecuaciones constitutivas Material elástico lineal Relación lineal más general entre tensiones y deformaciones, en notación indicial Relación de Duhamel-Neumann σ ij = (σ ij ) + Cijkl ⋅ (ε kl − ε kl0 ) − γ ij ⋅ (θ − θ 0 ) 0 σ ij = Cijkl ⋅ ε kl Generalmente se suele emplear la notación: σ x   C11 σ    y  C12 σ z   C13  = τ yz  C14 τ xz   C15    τ xy  C16 C12 C13 C14 C15 C22 C23 C23 C33 C24 C34 C25 C35 C24 C25 C34 C35 C44 C45 C45 C55 C26 C36 C46 C56 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez  εx  C16    ε y   C26    εz  C36  γ   ⋅  yz  C46  2 γ  xz  C56  2     C66  γ xy   2 Ecuaciones constitutivas Material elástico lineal El tensor [C] es simétrico. Para materiales completamente anisótropos se requieren 21 constantes elásticas independientes También se puede emplear el tensor inverso:  εx   ε  S11  y  S12  εz    γ yz  S13  2  = S  γ   14  zx 2  S15  S γ  xy 2   16 S12 S13 S14 S15 S22 S23 S24 S25 S23 S33 S34 S35 S24 S34 S44 S45 S25 S35 S45 S55 S26 S36 S46 S56 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez S16  σ x  S26   σ y   S36   σ z   ⋅ τ  S46   yz  S56  τ zx     S66  τ xy  Simetría materiales Un plano de simetría elástica implica que el comportamiento del material es el mismo en las dos direcciones perpendiculares al plano Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Simetría materiales Materiales con simetría monoclínica 1 plano de simetría elástica → 13 constantes elásticas Si el plano es el xy σ x   C11 σ  C  y   12  σ y   C13  =  τ yz   0 τ xz   0    τ xy   C16 C12 C 22 C13 C 23 0 0 0 0 C 23 0 0 C 33 0 0 0 C 44 C 45 0 C 45 C55 C 26 C36 0 0 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez  εx  C16   εy    C 26    εz  C 36   γ   ⋅  yz  0 2 γ  0   xz 2   C 66   γ xy   2  Simetría materiales Materiales con simetría ortótropa 3 planos ortogonales entre si de simetría elástica → 9 constantes elásticas σ x   C11 σ  C  y   12  σ y   C13  =  τ yz   0 τ xz   0    τ xy   0 C12 C 22 C13 C 23 0 0 0 0 C 23 0 0 C 33 0 0 0 C 44 0 0 0 C 55 0 0 0 0  εx  0   εy    0    εz  0  γ   ⋅  yz  0  2 γ  0   xz 2   C 66   γ xy   2  Las constantes tienen un significado físico Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Simetría materiales Materiales transversalmente isótropos 3 planos ortogonales entre si de simetría elástica, uno de los planos es isótropo → 5 constantes elásticas Si el plano es el xy σ x   σ    y  σ y    = τ yz   τ xz      τ xy   C11 C12 C13 0 0 0 C12 C11 C13 0 0 0 C13 C13 C33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C44 0  εx 0   εy  0   εz  0  γ yz ⋅ 0   2 0   γ xz   2 C11 − C12  γ  xy  2 Las constantes tienen un significado físico Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez             Simetría materiales Materiales isótropos 2 constantes elásticas σ x   σ    y  σ y    =  τ yz   τ xz      τ xy   C11 C12 C12 C11 C12 C12 0 0 0 0 C12 0 C12 0 C11 0 0 C11 − C12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C11 − C12 0  εx       εy    εz  0  γ   ⋅  yz  0  2 γ  0   xz 2   C11 − C12   γ xy   2  0 0 Las constantes tienen un significado físico Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Materiales ortótropos Módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson σO C B B’ εz = C’ A’ εz = D σO y E Ley de Hooke σ z = σo A z σz A' D'− AD AD εx = A' C'− AC AC εx = A' B'− AB AB D’ x Experimentalmente se observa: (Material lineal elástico) Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez εx < 0 ε x = −ν ⋅ ε z εy < 0 Efecto Poisson ε y = −ν ⋅ ε z E = Módulo de elasticidad o de Young (GPa) ν = Coeficiente de Poisson Materiales ortótropos Módulo de elasticidad a cortadura τO τ xy = τ o γ xy = z τO y x Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez τ xy G Ley de Hooke G = Módulo de elasticidad a cortadura (GPa) Materiales ortótropos Significado físico de las constantes ε1 = Ley de Hooke 2 σ1 1 σ1 E1 ε 2 = −ν 21 ⋅ ε 1 = − σ1 Efecto Poisson ε 3 = −ν 31 ⋅ ε 1 = − σ2 2 ε2 = σ2 3 σ3 E2 ν12 1 ε1 = −ν12 ⋅ ε 2 = − σ2 ε 3 = −ν 32 ⋅ ε 2 = − E2 ν 32 E2 ε3 = ν 21 E1 ν 31 E1 ⋅σ1 ⋅σ1 σ3 E3 ν13 ⋅σ 2 1 ε1 = −ν13 ⋅ ε 3 = − ⋅σ 2 σ3 ε 2 = −ν 23 ⋅ ε 3 = − Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez E3 ⋅σ 3 ν 23 E3 ⋅σ 3 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes 2 τ12 2 γ 12 = 1 τ 12 γ 23 = G12 τ12 3 τ23 1 τ23 τ13 γ 13 = 3 τ13 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez τ 13 G13 τ 23 G23 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes ε1 = ε2 = ε3 = σ 1 ν 12 E1 − E2 σ 2 ν 21 E2 − E1 σ 3 ν 31 E3 − E1 ⋅σ 2 − ν 13 ⋅σ1 − ⋅σ1 − E3 ν 23 E3 ν 32 E2 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez ⋅σ 3 γ 12 = ⋅σ 3 γ 13 = ⋅σ 2 γ 23 = τ 12 G12 τ 13 G13 τ 23 G23 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes  ε 1   S11  ε  S  2   21  ε 3   S 31  = γ 23   0 γ 13   0    γ 12   0 1 s11 = E1 S12 S 22 S13 S 23 0 0 0 0 S 32 0 0 0 S 33 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 s12 = 1 E2 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez s33 = 0  σ 1  0  σ 2  0  σ 3  ⋅  0  τ 23  0  τ 13     S 66  τ 12  1 E3 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes  ε 1   S11  ε  S  2   21  ε 3   S 31  = γ 23   0 γ 13   0    γ 12   0 1 s23 = G23 S12 S 22 S13 S 23 0 0 0 0 S 32 0 0 0 S 33 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 1 s55 = G13 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez 0  σ 1  0  σ 2  0  σ 3  ⋅  0  τ 23  0  τ 13     S 66  τ 12  1 s66 = G12 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes  ε 1   S11  ε  S  2   21  ε 3   S 31  = γ 23   0 γ 13   0    γ 12   0 s12 = − ν 12 E2 S12 S 22 S13 S 23 0 0 0 0 S 32 0 0 0 S 33 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 s13 = − ν 13 E3 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez 0  σ 1  0  σ 2  0  σ 3  ⋅  0  τ 23  0  τ 13     S 66  τ 12  s23 = − ν 23 E3 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes  ε 1   S11  ε  S  2   21  ε 3   S 31  = γ 23   0 γ 13   0    γ 12   0 s21 = − ν 21 E1 S12 S 22 S13 S 23 0 0 0 0 S 32 0 0 0 S 33 0 0 0 0 S 44 0 0 0 0 S 55 0 s31 = − ν 31 E1 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez 0  σ 1  0  σ 2  0  σ 3  ⋅  0  τ 23  0  τ 13     S 66  τ 12  s32 = − ν 32 E2 Materiales ortótropos Significado físico de las constantes Restricciones al valor de las constantes elásticas Debido a que la matriz [S] es simétrica Debido a que los términos de la diagonal principal de [S] y [C] son positivos ν ji Ei = ν ij Ej , i, j = 1...3 , i ≠ j Ei 0 < ν ij < , i, j = 1...3 , i ≠ j Ej 1 −ν 12 ⋅ν 21 −ν 23 ⋅ν 32 −ν 31 ⋅ν 13 − − 2 ⋅ν 21 ⋅ν 32 ⋅ν 13 > 0 Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez Láminas Ecuaciones constitutivas 3 ε1 = 2 ε2 = σ 1 ν 12 − E1 σ 2 ν 21 E2 − γ 12 = 1 Estado tensión plana {ε } = [S ]⋅ {σ } {σ } = [Q ]⋅ {ε } Enrique Barbero Pozuelo, Shirley K. García Castillo, Sonia Sánchez Sáez E2 ⋅σ 2 E1 ⋅σ1 τ 12 G12 Matriz de flexibilidad Matriz de rigidez

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