APUNTES DE ECUACIONES EN DERIVADAS - FENOMEC

Anuncio
 "!#$
%&%('*),+-/.021,34'*0/5769871:),'
!"#
$&' % ()
+*#,#".-0/21 -4365!, 75!"-0/8-0:9;-<>=71 7/@?A5!BCB-0/
DFEG IHKJK
LNM7OQPSRUVXT W8Y PSRZM7[!P\7]_^ W&`ba&cW L
d,#/
<="feg, ehCijd+i!
k "ilm-4no!prqF1 -0Cseg-0 k milm+.i, iutNilm7/
v.w DFEG x Gzy ({
dC|F-<i}~Cm-0/
ehCijd+i!
prqF1 -0Cseg-0 k milm+.i, i€C>="-<
‚?j<ƒ- i-0
CBX„+"/Ku„+…1 † ƒ l", -0
‡AG JxH<‰ ˆ E HgŠI y‹E7y ‚?j<ƒ- i-0
„+QBijehŒ@ƒ ="-<
ŠF G) H
y8DFEG)ŽKG.% ‰ 9;B5!B-0X|#i-1 -7‘"‘"’
‰ E H (z‹J vIv % J G ‹J E HK(
!
#"$
&% '(
)*,+-./0
)
1.2
3546
3% 17 } 398p3ge 7.H
JUHK(:  H ‰ y HK(<HKJS EG E H (z‹J;mH ‰ %  H<
‰ J,=s( G ‰ H y (zHKJ?><H y v y IH Ž H ‰ H ‰ EG JS G ‰ y J EG J Ž
G v( G ‰ y J ŽKG H ‰ 'A% @ Žy JB7 y ( Gz <
v()J y G ‰DC HKJS G2Ey‹ŽKG ‰ HKJ Ž ‰F ‰ y J E HNHKJIvH ŽKG y ( G JS y J~H ‰ H
JI y J EG J Ž
G v( G ‰ y JG>0H
Ž  v y SH ‰ ‰ ()H ‰ E y F H Ž  % ‰IH
J ‰ H
JIxH @7‰ 70( yLK 3 „+n
3 } 398Xp3ge vNM( GzŽKy xHO0J  ‰ E %y @ Ž ‹J JIPMxH
‰ y  v( G ~H
Jxv"H Ž xx E H H  y J ‰ ‹( G ‰ H y ()HKJ E H E y ‰ G ‰ H
H
% JUH ‰ HKJ y J EG J Ž
G v( G ‰ y J H
D JI‹JHO0JHKJI %y ‰ G H ‰ y‹E J_ y ‰ x y2G ‰C HKJS GQE!y‹E IHKJ Ž  y HKJS EGzy ‰ H
J
><H>0 G HK y ‰ G ‰ G)ŽKG y xJxH H ‰ ( y 2y ‰ HK y8E H&vH ‰ J y ‰ ‹( G ‰ H y ( H
( E ‰ J E HAH
JI‹J HO0xJR:HKI ‰ HKJ Ž G ‹J~v C G J G y ‰ xHKJ E H } 398p3ge w
Jx ‰ KH ( IHKJx() y E E Hx y ‰ J Ž G M G B7 y vHo GzŽ
G.% ‰ E H
( J 2G H % DFEG x Gzy (7"( y JNv"S<
‰ H ‰ ŽKG y JsIH y ( G2TKy‹E7y J E y ‰ xHNJI C G J G y H
$ E J (zJsHO0xJ E H H
JI yUK 3A„+no3 JI ‰ Ž G)E7y‹E J y‹ H ‰ H JIHK()H ŽKŽ
G ‰ y‹E JAv"
HK( J G H % DFEG x Gzy (w+Jx  H
GzE J y ‰ vI Ž HKJx E H y VM G x y F H H
W y vXM( G)Žy‹Ž
G.% ‰ JxH xH y ( GQTyYE y‹Ž
G y J y ( y "v .w5>0H ( y J 0 EG ‰ y‹Ž
G.% ‰ E H ( yYZ ‰DC HKJ[<
GQE!y‹ŽKG% ‰ J G H ‰ 'Q% @ ŽKyE H ( y\ =s9]^M G ‰ E yy } 398p3ge HS7 G ‰ EG xH Ž y‹ H ‰ xH7
y (#Š I.wH Ž E H`_6xva_-bPcSdbPef< D 7g] y H b%y GzŽy Jh=‹( G ‰ H y ()HKJsH ‰ ( y ; ' % J GzŽKy w
( yLZ ‰ E H ‰ G HK ' % y 7 E H
( Jji = J w $ H
m!nGo#pqsrftXuvwyxnq{z
e@pnBk 3 ƒ 369nBk8@„+n
,l
m!n{u3o#xX|uPn{u}p!uPnDzXu
!m n{u„oa…Nu„o#†{{|‡x!uPnPˆS‰Š~wSnD€{
Ž2)P‘)’)“R”X•
–s—™˜„š ’s›Vœ š ’s›ž ™Ÿ ¡1¢B£¤
¥ £ —§¦  š©¨fª*«©¬­V­¯®«¯¬V°
± £² › ˜ £³´ ˜¶µ˜R· ¸¹¸™˜„š œ · ¢º² š©˜R· ˜¯¨
»¼¼¾½ ª ¦1¦¿¿¿À· ± £² › ˜ £³ · ¢B² šV˜R· ˜¯¨
m!no~wSnD€{ƒ‚fz{
m!no#‹DntDq{nNwŒXuPnD€XuXr
!#"
$&%'%
%/.
( !)+*,,#0#132>?@>*?BA+CE45D<FHG"7C,FH6+I<J 89:<I ;7D<#=-C ,DQ" PRSI@TUD!R R D ?
?Q?
?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V? 0>
>>?X? hWY?[?BiZVD KI@FaT\I DHC ]SR<^J CKLNO DM If_dL M FaC,G_`_dM)I!FaOCbJ RcCFHD]dD!R<C^J _`_e]d_ IfFaK CG_UO Fa?QI L ?QD!?
_ ?QD?
?QCU?
D!FH?QG5?QCFH?VI<?QJ ?
?QDQ?
P?QRSI@TU?QD!?
R ?Q?
R ?QD ?V? >!lg
>>??XmuY?B?Bn&i FHL GI@FaC,I FHO I<CKJ ONL3j3M I DL O D!CCMo_`O _ DQK,G_eLND!FHpI O G L5D<MOY_vK\PK CbKR RcO M C D L C\K,F D!L K,FaL GCF!O FaCbI!RcJ CM Fq]SDaD Rr^J _s]SI@F!KCC Lk_tO ?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?QK ?
?
O ?Q?QL?V?V??wWb><hW
L O OkO M KM KL M K,LO K,LO
x)1NWYy ?@>"!?B!n [P"UR +zDaT7,C *+,D #C,+_ "7J D<,C5_ {,DVY]dRcC b<_e,T\YIf|- _e"aI<<J ?Q" ?
?Q?Q?V?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V?wx5Wb}
WYWY?X? hWY?B?B€9A+CMR K_PD!CbK,Fap:~GCMCFHFaI<I KJ LD!OO _ D MKD‚L„…O M C,^ CL _†YD ‡&L D CbO p,?VGC‚?Q?
?
L ?Q?Q?Q?Q?
?
K?Q?QL ?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?ƒ
?ƒhhh‰
K,L O
Mˆ
Šo132h?@>*?Œ 4]d5R "7GF!:FH=dI<|- J 8!4C " pG _PR DaT7C,_9]rJ PI@F _&?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V?Ž‹ m,}
hhL ?ˆ?ˆ>,>,?ˆ? W>,KY??O n&n&FHFHGGKC,C,LNFHFHI<Ij KJ LND<M O _vDQD LG KJ PL ]dCUIfFaT\CK_vDa~T D M ~ RST\C LD<F)CUC J^ D M I@CJF!_eKC ]dIfFaCED
‘5D L GI D!:G_’I M I ~?
RS?QI K ?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?w
?Žm,ubh
h?XWY?[h“ K,? WM G5?ˆ>,FH?I KL €9D<R _`CUDaC T7KM p,L CG _ LK _&D‚M ^ P•–R IˆK,RS~I@FcM D!— T7DaL ]
C_?
D ?QM ^J PY?Q]dL ?
IfF ?QK _”?
O ?Q?Q?
?
?Q?QO?Q?QK ?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?w
?wuuuu
,
K
~
M
O
M
hh?? WW?? hW??A+€9CER ˜bK J RSDaT™T7G C M C D
O D‚›œ€ DaGK T7If_d_ C KL ?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?ƒ
šš,W>
ƒ
?
,
K
~
M
O
L
L
hh?? WW?? m5u??n€9MR PRSI DaL T7FaIˆCP_&I K7D O J PYD M]dIfT”F CJ_
†Y?VIˆT ?QK ?
P?QCRS?QC ?
M CU?QD<?
FH?QGC,?
FH?QI<KJ ?QLk?VO D‚?QAo?
C?QP ?
M C,?QFHD?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?ƒ
šbš,mu
ƒ
?
,
K
~
M
M
K
^
h? W? š?€9R K,~M DaT7C O D O I˜žRcCF!FHI<KJ L ?
?Q?Q?
?Q?
?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V?ƒšš
‹ 1Nmy ?@,>8Ÿ?[Y“D!P,Cb,#Rc- C FaI!+J k¡DQr£4CYRd;ŸIfC ="\D!_v8PrCRSC C\*D!FH,G5C#FH+I<J " ?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V?¤¢ g0>
m?XWY?[“D!PCbRcCFaI!K,K,J LLOO DQ£CRdIfC ~~MM D!_vPCRSCEMG L _dI@_e]dD!T\KC L O DQD<FHGC,FHI KL D<_¥?
?Q?Q?
?Q?
?Q?V?¤gg
¦
¦
m ? h?BAoCE]dRcC L _s˜ K RdT7C O C O D‚A+CbP M CFaD?
?Q?
?Q?Q?
?Q?V?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?wgb‰
12 ,*+,,#- z5+ ”a"7+4[+"<#:"
uYuY?@?XWY>?B?B€AoCER K ˜bPK J CRSp,T™C,G FHMI<CKJ L3O D‚O D € K,K LI@_SO _ C,K,_vL _ j KL_dGNK RcICL _\]dD!?QRdP?
Rd?QDa]S?QCFa?
I!K,J?QL ?V?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?Ž
?Ž ‰,‰,Šhš
uYuY?? mh??Bn MP MPIfRFaK,C~FaIM K,D!LT7D!CE_ FO KD L M CE£rC ˜bMˆK JK RSRdT™D<_G MI CL I@OFaI@D‚C M€ D<K_ I@_S_ ?QK,?QL ?
?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?Ž
?Ž‰:Wg
)12 ,*+,,#- z+ /*"<,#šš?@?XWY>?B?B€•œRIf_dK P5PD!CRSp,_dC,I!K,FHJ LzI<KJ L3O DQO FD‚KF!L C ]cM@CbK T\R I ?QL C ?QL ?
]dD<?Q_ ?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?
?
?Q?Q?Q?Q?V?V?Q?Q?
?
?Q?Q?”?Ž>!}5,l,}l
š? h?Bn M Da˜žD!FH] K7O D M C_v˜žGD L ]SD!_7?Q?
?Q?
?Q?
?Q?Q?
?Q?V?Q?
?Q?Q?
?Q?
?Q?
?Q?Q?V?Q?
?Q?”>!l:W
8E- +," 5 [ o#*+r4:
0#0#0
8E- +," 5 [ 98=4
0#0 ¢
8Eo- +*+,,#+ "7" !r
0x)0
# <"
0YŠ ¢
E;=4#$ c| - 0YŠ#}
( - +4 = Y;E:- <
0‹Š
– D GTEI@DaRGK Fc— Cp_`RcC C,O _eP#D<FHD!D!FHRV] Ck_a? „ CRdIvCbRST\D LK Rdp,DEP K R M CRSDaD O IfFHI<KJ L O D7D!_e]SC_ LK ]SC,_ j _eG T\D K RcC
L K K
]c]œKC pL RcFaC M@I@KOC RSM:DD!!O _ F D Kj M C]c„ _CbTC?p~ OGIHDDRcJ MLC_vC3j‚Cb„RSO TUD CbD RcM LCœF K P,RdK D<RSL_epD ]D&LK—]SL CIfI FHKFaI@I!DaK,Œ'J R pL KM ?LD! _dC–IfpCD<Rc__sC P]cO C K DRœ!L F G_dK GzDa£M CRdCVD!_+£D!T _SDaFHRcG JRS_dMII!]S]SK,J IˆGL™P RcM COD!_D j T\M CT\D_ DLK RSKK C,]SRS_+CC_TU:GI@C DD`M L ZVG] K_SI CbMˆ~_dR GDaM CR__
F K T K T7Cb]dDaRSIfC M)O D‚CP Kj,K D L _dG_ FaGRS_ K _ O D M C C,FHG M ]SC OO D&I@D L FHIfC_!?
nœMRe]S GRPK!D J L–MO If£FHDaD RcCO ?D G L FaI K,L D!_ O DZVRSDaD L :GD F K T\P M DH]SCkD<_s]cCkPRSD!_dD L ]SC,FHI<KJ L ˜žGD D!_SFHRSIˆ] K P K R
T\jœpDa RcR LCK OC7_SCD€\_&!F Da_eJ K RSGDpC™œDa]RST\KYD LIoOYFHKCIf_9pCRc_9T\C :OIf_GD<D
FHF I@KT\—M DaC Iˆp:LD CL D_] LK O RdDPIf:M K G•œR D!D!M@FaK PI O_…CbK RdG J ]SMD!C]S_eIˆT\]dT D–D K L ]d_vRc] KUC ] ~K O C#,DVGK „…D!? _ CCU]dI D!L D!T”C _e]SM CTUCUJ ]dIfD D FaL O C,]dI@_ D
FaI!j K,C J L „z ? D<M T7F)C JCL $I@F!KYC O M RrC^J_ p,GL G"D ¦
¦ ¤ c]nO C D M MŸPM O IR ~ DK R P KM CK J_–_œ_eIˆ:]D!GK FaD7GO CD9FHFaG D!I ~K,_e]SLRdC,D D!L_ _–LDp,K L…RS]SC C,OL _)DaD<RSPIˆ_)C£DReC ]SMO D O CD&O_ PD P5M RdCbD<T7Rc_eFHD CIfL C]S]SDaM CbD!RS_!RI@C ?#C MŸ“ M pO K,G DE~ LRdD<DEK _s_]cD!C]S_eDa_ ]dT7D™LC]dK Da_]ST7CO _DCM P—CKC ]SR
j D K TUG RrL^JD C`C3L FFHpMI CKRcJ _dCL I@L CbF!C`RQFaDCC M LM Dap]dT\G I O LD C LK O _
]SO D R#L CUJ D!FT KKL _‚_eG D M M&]SCO R`DT™ GD!Fc—I LK ~ _ DaORSpD DaM@R K _v,]dK D!— T7L C+_€Ÿ]SDaRS]dCbR ]SK C £O_K _vI D L K D!P_e]S_ C,K_L LOYK ]cKCL_!O ? D D MvM D<Fq] K R™I L ]dD!RdD<_dC OYK P K n_dD
M ]dT\RcCCb]c]dC D!L RdIfYC D M L C,,˜ K G+Rd^J T7]dRcC\C]SD CM D!OYTUK7D O L I ]SC DaM RSD C MO p,D G MoLO K D _vMˆ]SK Da_vT7]dCDH†_œ] F K K _`T CbK RSRS_dI ~I@_eCE]dD!T\T\D C,L _Fa—I K,I@P5L CD!RO~ K K,_J M IfF j K C\_:GD!FHD
G5D CL FHI DKM@L ˆKD!__
GOn D
_dL G„ C D M M CbT\†PD ‡vRSL IˆD ]ST\M@D
D!_dR ˜bDVK J FaRd]dCbTERcP+CG ]c^J ]SMC C,G L _M@K D O L DV_dD FH€ GOK RcIfI@_ _d_SK Fa_ _vK,GYL]dT”D PCJ MCb_`CRcCrC D<£FHM C C™GL C,D<<FHFHC I<GOYKJ C,KL FH_aI<?MKJI LL3D!O C DMœK,O LDzO PC RSYI@C,TU_!D!^J R F K K T R O K D LCbP M jIfFaC_dFaDzI K,RSL D!D!_d_vGD :M G£DD
GC,Fq_S]dC D!L5RrOY^J _eK ]dIfD FaM C,T _ jDaJ ] T7KYOYC KQL DaO RcD CM_&CC_9M Fa]dDaCbRRcLCCbFH]d]dD!I@£rR<C,^J _e_ ]dIfO FaD C_!K ?P#“DaD RcCbO R9If_dF FaKGYL ]dDœD MˆF KCL7_ O M CDa]S_vC CbM@P D M IfM FaC
C,p,FHID KK L T\D<_Da]dF RrK,^J CL O D DM ‘M CG#_9 KUFaCbO RD PMF I K RL KFcD!—~C D!MM+D!_`OT\P D™C,K _d_™R–Dap_dG D3G L LCPOYR F!K\K CbP KRSK RdR DaRcO FH]dD DaI LKRcLCF C?K“YL C D MvFaK CM D<T\RSFqC,]IˆFq]dK D‚]SR DaDRrM M^JC _eP]dMIfR IˆFa]dKC,D!~_RSM CbDa
]dT7M C\GCRcD<CFHO ?ŸGDE“C,DD!FHFaI<KOGJ LzI@C_SFaFHO I GYK,D‚]SL DNPD!R _ F K KLPLKCbp:OM CI DHL FH]SD<I<C KCJ MˆLNM D!D _O M D C PK,CbD<LRcFHOC\GCC,D!_FH_e I<] KKJ Lj _
M@I KL _`]dDa£RSCPRdRSI DHK ]c_CFHPI<R KJ KL ~MO D!DHT\]SC C,Mˆ_ C F O K,C L O £rD C M MˆK PRdCD<P5_`D I ML OI@FaD I@C M M CD<_V_ FajkCRSO C,DQFq˜ž]dRD!KRrL^J _e]d]dD!IfRSFaC\C,_CD_ KL FHF!IfC C OYO K C_`FaF CK,_ L K ? D M@ CI L ?5C “M T\D DO L C ]SDUG L _dCD
O If_SFHGY]SD M C\G L IfFHI O C OO D M C_`_ KM GFaI K,L D!_vPCRSC M CED<FHGC,FHI<KJ LkO D KLO C?
nOYK L DD sM D!T\_dDaP p,MˆG K L_ OYOK D FaCM ^JPoL ^JD<]dCG _ M@K O _dD…D ]SO RSCI@_SL FH_dGYTU]SD IfL_dI!K,J C L M pDG M LD!J KFH]d_ERSI@_dF!If_sC]S_ DaT7j CP_UR K—PI@P5CD!p,R C~ FaKJI!K,M J I@L F K O_UD _eI@KT\LP O M CD<__ D GL ]dI MCbI !pCG5L C ?
–,G+^ J ]SCbT ~ IHD J L _eD O If_SFHGY]SD‚F KL FHI@DaRd] K7O Da]SC Mˆ D
D M PCP5D MoO D M C_`FaCRSC,Fq]SDaRr^ J _e]dIfFaC,_a? I L C M T\D L ]SD
D<_dC J D™_sL] OYRSK D!K _ _dGDF MKT\LT D LFHDaJ I@] DaKYM@KRdOY] _–K7K DHOO†YDDHP#]SDaM C C,RSMˆIˆ_`T\D‚FaD DCL LRS]C,K FaFq_VC]dD!_ :RrK G^J_œ_eD ]d_eIfI@M@FaT\C,D!£_aP ?CbM D<R _aK?#L › C GD!M C,£_œCbT\D<FHD GL C,]dFHD I KMˆKL _`D<_ PRO KD\~„M DaT7C†YC,‡v_ D _eM@D™oj RdD<_d_eDGD O M £,If_SD FHL GY]SGD _L nOYK M _a]d?)DaRc“FHD\D!R]SRSFaCbC]SPoC ^J ]dO G D7M@K D!Fa]SRSGCbC]SFaC I K,O L D D!M _ ]dOI@P D\K7D<K ,PGGI M D<I ~ _s] RdKUI K O ,DQGD<D FHGLC,K FHIPKR L K D<P_`CbCp:C M LC,_v_d]dD RcL CC ]SM C D<O _aC?)_v“D7D LNI L M@]dK R _KYPO RdGI@FHT\D DaL R K C _ M
]cD<„ Cb_s]STCbG †Y~ O ‡&IHIfD CbDJ L MˆR MC‚D C,L _]SRSODCrMDH£&D<‘5D<FqJ DH_]S†YR O K I DVK,_sL]#PCD!J R ]d_ KIfFa~O CMDQDa?5T7G € L CCCU_RSC TUO D–_dD!G…T‘G_ ~ KI RcOYM CGK L FH_I<C KJ j L~ C F _eK DEK\T I M L KCU]dRCbCKYPF!O FHR KI<GK†YJ FaLkIˆD T7O M CCDQFa]_eI K,D!GNJ FL LPD!I@R_9F!K CC PIMO KCD\_&P5_eD!D<D!Fa_ PGK CbCRcFaCCI _<K,Fa^J LI!K,FJ D!LzK _ T OO KDD
£M CECbRS˜žI@R C K~L M ]dD<D!_ RSCj…? M C,_V_dDaRSI@D!_ O D K GRdI@DaR<?“YD O I@_SFHGY]SD L £CbRSI K _œPR K~M D!T\C,_
_eI@T\P M D<_ O D\£rC MˆK RdD<_œD L
O IˆI ˜žL RSCC,MFaT\FHI<D KJ L L ]SD™O D\_dD G O L I@C _SFHKGL]dDO L C3PP#R DaK,RS~I!K:JM D!O T7IfFaCC_`P D K L RVRdG D!L pI KK,L~ D<_s]#_CJ I FaL G MˆLK I]cICM _G_e]dD RcL C LPOYCbKRd]dIfD!FH_eG ] MKNCbR`M CD M _dDaPPR CKRS~C,M FHD!I<T\KJ L…C OO DD
£CbRSI@C ~M D<_vD L RdD!pI KL D<_vI L L I]cC_!?
n_eI KL L D D!M _!?+F!Cb“PoD7^J ]dI GL ]SMˆK R KYFHO I G5L FHF D3K F_dKD\T D!_eK ]dG G O L IfC C CM CNPR D<K FH†YGI@C,T7FHCI<KFHJ LI<KJ LO DUC PM R C,K _QPD!CbFap:GCCFHFaI<KIJ K,L L OD!_D O KD3LO ›œC,Cr_
£D I@DaL R™]d“:RSD!] K_ O D<I@_ T\
D M LC_
D!D MFaGF!CCFa_ IKUK,LO D!D _ KO LD O MC,C‚_`T\_ K,D!LFoK C J RcL CIf_!Fa?YC “O DQDœRd‘5D<G_eGI OD KM £_ D MFHCUG5CD<LFHGOYC,K™FHMˆI<K KJ _9L T D L K £]IˆD!T\J RdT\I@D LI L] KK _ _9O_ KDQL G P#L D!CU:I GL D ]dLD!pK Rc_C,MF KGT _SC K L5OYD LK
G€ L K CIf_d_ F KK LNT M ~ C I L FHCG FaC J I!M K,J _dL[DQO I L D]SDa]dRcRSPC LRdDa_e]S˜ KC7RSFT7KCL O OC,Da_ ]SOC M@DND Aoj CbP _dMD™C,FHCD P M jIfFaC\K D GL RSI@£DaCbR<RS?ŸI@C,“_`D _eKIˆ]d~ G5]dCI@DFHLI KD L D!M C…_ O˜bK D™J RST™CFG GJ M _sC ]SI@OF!CD
jK T O DaDEJ ]dRS_dI@IfF!_eCT _vK,M@KGp#DQ^J C—?5C “j DUPD!C_eRS]dC G OK~I@C ]SL D L £D!CbR`RSIIfLC_œ˜ K CRST\PR C,K FH†I<I@KJT7L CC\FaI PK,LCbRdD!]d_ I@R j O _dD D M OCEI@_S˜bKFHJ GRdTE]dD G L M C M C,O _ D‚O € I 5K FaI@_SG _ M K]SCL O ? D!_VpD
n9F K,_eL ]S£,C D!L F!GFHI<DaKJ£L CU?D “O DVIfFHC I<L KJ CL O _eI<D
K J F]SKCbTTU~P IHM DDaJ L]5K J G C L L C™C _eO D<IˆFaD FHLI<OYKJ KL G D<L_dFaRdF!IˆCb]SP+C
^J ]SP G K MˆR K _ K,Rd]d~ GRSRD–KD<–MFHGC,£FHDaIRcKC
L _ D<K,_ ~ O RSDD O GIˆ˜žLGFa_dI!I K,K,J LL D!j _
On9D™_e]SZVC,_RSDaC D O LNIfFHj I KFL KD<L _+_eP#]dDaRSGRST\FaFaII!]SK,JD L L D
G_SI LCbRŸ]dDaD!RS_eP]SRSC,DH_ ]cLCFHK I<]cKJCL _DD LL G]dD L K PRr^JRSC IˆT\O DaD RM PFaGK Rc]d_D K
L FHO IfD`C M n9? FaGCFaI K,L D!_€ CbRcFHIfC M D!_!?
T7i L C L M I? ~ R K ,GD–F K,L ]dI L GJ C‚F KL D<_s]SD ]dI@P KEO D–T\Cb]dD!RdIfC M D!_ D M5M I ~ R K RdD<FHI@D L ]dD O D $`IfFc—CR O C ~ D!R
P€O RDQCbK Rc£PC–CbCRSF p,I@KCCL ~FaF I!M K,MD!J GL7_vIˆR D O L D RdM D<PFF!R K,C KLM@~K K M R DaFHbT7Da]ST CC,T\_&K _+T”P —5K C,JCF _`~K FDa_dKR D T\K O TUP D<M _dIˆIf]dCFaI CRdOYROK KK M@]S_!DaK™?J T7O CDH_]cC O M@D`C I@O T\CbPT\K D ReL ]c]SC D L FaM C‚I@C ]D!J F F K L T IfFaKVC M O C
DVD!_dFaDaGPCCFaRSI!K,C,J LUFHI<KO J L D
JKM C PY]d]SMR II@K]SF!Da_&C7Rc]dCpD!]SD T7GK RSCT C\_ DaJ :O]dGRSDQI@DQF!p,C _dRSDC L_dL DC GYM KC]ST\T I M I IˆK O ]d_I@C DaOCR :KF GoL K ^J T ?F K K TUD P M M D!Da]S_e]dCbG T\O D I KL ]SODD‚?#€ _ K,CbMRcGC[FaID!JK,_eL ] KD!__ CD ML CM D<M Fq^J ]d] IfK FaRC_P CKPO RR5KC J †YF I@T7KL C _dO G C,M ]S_ Cj R
˜ K,RSL MˆT7KkC LC M OCbD!RSK _ p KkD L O ]dD7D ˜ K D!RdI _eT7]SC,C,CB_`_ Cp,L_<D K JK ]cPT CR _QDaJ ]d_dRSD7CI@F!R —C CK ] _dK DaP T7R K RN_C OYC KGL FHC D I M@M K Pp#D<G^J _C L ] F KD KL{O D7_K ]S£PR I@R K_e]S_ C PDaO R T7D\K~CRS_`M D!D!_ FaT\KGM C,C£_aDa?&R
AoPCR _e_KD‚~_ _SM K,CD!M T\]SG5I@_eFHC,˜I _VCKFaL RSD D<C _
F_ K K,K,MLG5O FHIfI<FHKM J I L KL ˜ KD<K ~ _
RdT7]D<LJC F M LO? If•–FaC,D _QM I ~ Cb^ DaPRcR C K KO P~ CI@C T\O K,D CLL _Q]dD7:G_dDD sKK G5M TU_s]SIˆI]d5KD F!LL C ~M@K C _O L O D DHMˆKM ]SC TMˆ DHD!J ]_–KKY~]OYD!M J K F L _dI@DaF p,K G_I OO K CL5LPOYOCbK RcK C C,K_!~^J ]SM DC L ‘5D!DHR †YM ILC ~M CNI M I_ O KC M GO3FHOI<KJDœL GK_S~CbR]SD MˆLK I_ O TC? DHJ ]A+KYC!OYK _9L CPM CbI ORcC
C O…pRcO C D\L D<Fa_sC ]cL C3]dI T7O C C O L DaO RcD C PO R D\K~PM RSDaD!T7_dD CL _]SC£,R–DaRSD I M #T\FaC CbL5]dOYD!KRdIfCCQM P D!K _
_e]d:DaGRSD\I K DRSMI
MM D<C,Fq_v] ]K D<JRœF L_dDQIfFa˜C,Cb_vT\PI CbM IfRcCbC RSIfK,FH~D™]dF D KL LzDaR M@K jN_`O PIfR _dKFa~GY]dM D!I@RT\_ C,K,_`M G5T”FHICJK_–L _eD<I@_aT\? P M D<_ O D M C,_`D!FaGCFaI K,L D!_ PCbRcFHIfC M D!_ j F K,L
„zZVRSIfCFc—)L ?P5D CbL Rd]d>!D gO gD M j T7D CbL ]dDa„ RSIfDaCJ RSM I OO CDQD! _e]SGC,Fb_ ? LD K L ]cC><_`:_dgD ‰?K,~ ]dG£ K D LNMˆK _`FHGRc_ K _ O D
£D!RSC LK D L „ K RSD M I@C – Q !#" $&% ! $ %(' *)+,!-.+ # + ' $
DRS“sD!DNDaFHT\]SDaCUT\P CM@P#K0DMˆ/ K\<D CbMM R#CbC]SRSJ R5p C D!JK\L_e]SO_eC IˆD ] MKk_dDD!OsFaD D7FaI!1kK,FJ LK ]SFcC I—M L D<]dF _œRK KPT O K K GRQFH_dGI@DVD L L£,COD
K F!D CbLkM RSC…RdM DaCD<]dFHD!GRSp,CC,G?#FHRcI<“KCEJ D7L[_dIˆ_dMp,GI GL P I@D!K,D C LL M]dD\DO P/ DNCbPRcC RdI@T\D<_sDa] KR KG R L O CkD L FaCbF RSKRSDHL ]dD!G RSL C
x
x
0
2436587,987:9
$`D!PRSD!_dD ]dD!T _ P R<; =1?>A@ C D _eI C D&F Fc—D!_oD D PG ] 1 D CœF!CbRSRdDa]dD!RSCC ]dI@DaT\P
@ D M PR KL ~M DaT7K CND!_
K D L F K,L ]SRSCM R
DO M L F K T\O P O‚K ReO ]cCbT\K IˆD L ] KzO L DB;M C1?>DL @ K žD M O ]dR#C#M J 5F K D L M CzF!CbM RSRdDa]dDaRcC K D<CN_s]]SKIˆD!TUO DP ~ K Da_™T ˜žGYK _3]SGD R LK _F K,L _e]SI&RSD!C_ER ,G GL D3C[_eD!DFHG5F KCLFHI<K KJ FaL DEP5; Cb
C1?RcCFS> l ;5 o? D! _ K O T D!KFaIˆRED<_sD ]cM C]dR#˜žC#G J 5L FFaKI!K,J LI L IfO FHIfD!C P5M DT\LD O L D ]dD,O ?D € OYCKRSC _
£D<FHCbGRSIfC,C FH~I<KM J D!L_ O M D!C_dD!D<C FHO GC C,FHM I<CNKJ L D L :F GKLD ]SRSD CL T F K,K L _
]SRSF CKRdL D!_eT I O K Da_\RcC _eL5D!OYR5C KJ GM CkL CBRcCbD!PFaI GO CDFaI!K,O J L D F!O CbIˆ˜žT DaRS~ D I L KzFHIfO C D M M P5CzCbRcFaFHC IfL C ]dM I ? O AoC OC
O DQF K Fc—D!_D L ]SRdDG10H j 1o?n&_s] K D!_ /
>
W
œ$ CbPI O D O D‚F!CbT ~ I K\O D M)L GJ T\DaR K7O D‚F K Fc—D<_D L ]dRSDG1 H j 1 @ ; >D@ € K R K ]SRSCEPCRe]SD
_SC ~ DaT K _`,GD
@ ; >D@ › GJ TUD!R K7O D‚F K Fc—D!_`:GD
D L ]SRSC L D L 1 H P K R`G L I O C OkO D
]SIˆD!T\P K
› GJ T\DaR K7O D‚F K Fc—D<_`:GDQ_dC M D L P K R 1zP K R`G L I O C OkO D
]dI@DaT\P K
M G# K O D
F K Fc—D!_`:GDQD L ]SRSC M G# K7O D‚F K Fc—D<_`,GD
_SC M D?
Fa“C I L O ]SD I OLCK ON]cCbOT D‚K F_VK D FcM —‘5D<_&G# D<K _ / TUD O IfC L ]dD #]dD LO RSDaT K _Q:GD M C3D<FHGC,FHI<KJ L O D7F KL _eD!Rd£CFaI!K,J L…O D M C
@ ; >D@ ! =10H >A@ C1 >A@ "
s>,?ˆ> AoFc— CK D!DHFa†YGP#CDaFaRSI!K,IˆJ T\L D sL >,]c?ˆC > M œ
D<MˆK_VGF KL T\CPD!RFHKG5~ CCFHTI<KJ LK _`F _eK,I@LDaT\OYPK RS_–DQI L:GFoKD‚J p £L I@IC ]ceCCb#_ T K _j F K;#L ?o“]dIR#L C#J 5DaF T K ~ Cb:RSGp DQK D D!M _V‘G G#L K3—O D D DF KL FcFa—GD<D _L ]SRSD CEL DHG†YLP#DaPRSIˆG T\L D] KL ]c C O M TUD!P5D D L L]dO D D j O DG L M CCUpO R#D C#JL 5_dF!I O CQC ]rO ^J P;I@F!C D L O D D!_d D
=P;GL _d]D
K T™?Ÿn9GD<_e_s]S]SC RSCEO DaD P#LND ML5C O D L I@pFa?I@C >,? _dWD ?
Q (ρ)
ρo
ρm
ρ
I@p? >,? W
DaAoAoT CCU~5D! KFaIˆ]dGp5D C? M@Fa>CbI!?XK,T\WJ L IˆLD P5K L Cb_] RcK I CL5 O;3j I@F!_dG CED
L :DC LGO FaD
GD —L D CL_eIj ]SO RSCGCUOL PC ;GHOD<_`D PL _eCb_dG5RcI _sCO ]SC IM ]SOC\G FH;%j G5D$ LC MOYPDK CbM Rc ‘C G#
CM; C\KvFHDO GLkDQC M#MF C Kj FcC s—>LD<?@> K_ D!P5j _C_ST”D!C_ CL J †YF I@TK FcK —? D!_ žG L
@ ; >A@ ! C; C1 H8>D@ C; C1 >A@ &
s>,? W h
A+C\D!FHG5CFHI<J e>?XW D<_`I ]SDapR Iˆ˜žDaRSD FaI@C ?€ CRSCED F ]SRSCR G C\D<FHGC,FHI<J Iˆ˜žDaRSD FaI@C PCRSC
;7D<_`F KL £,D KL L I@D L ]dD O D!RdI@£L CbRRSD!_dKYP5O D<Fq] K L C 1…MCT ~#K _vT\L IˆD!TKL ~ R K _ O D L e>?XW j K,K~ Lz]dD O L DaR / L M
e>? h @ ; =1?>D@ 1 C; C1 >A@ ; C; ; l D˜ž€ G LCL RSM FHC‚CEI<KJFF!L KCbT\RSF RdKPDaL]dM DHD!K ]cRSFaCbCEI OR C CM M C™?]d€ ˜I@DaK CbT\RSRcT™CEP G KD ML C,@ F FH KI<KL J L]dl RcYOCbD!RD _ M M OC PD!R O FHKI@I@~_eR ]dM:DaRSD<T7I ~_eP#CGD!FHFaI<LKI J #K Lk_FaCbO ~ R D‚C;_eF ]S
CK C1 Fc>d—O l D<D< _ FH
I@O R D M ~ C CDa1 OT I@_dK POY_ KK RdL5_dD<I@O Fa_ DK,I!K,JM £,LNDa
=O1R D
vD<F K_FcG —L D<C _
; C; ; l > 1 > @ 0l >
; =1?>Sl C1 "
e>? m •O D KLM C O D IˆM p5C‚? ˜žG>?XL WYFH? I<KJ L _dD O DH]SDaRSTUI L CEDH†YP#DaRSIˆT\D L ]cC M TUD L ]dD j ]dI@D L DVG L CE˜ K RdT7C‚P5CbRSD!FHI O CUC M C
$`FaGD<C _ K,M £,DaR ;M CQ D!Fa> G
CFaI!K,J —L C s>? m C\ P D!_9_dF I K T\I I P MC I@F!C OYDQKQDaj T F K T ]dKD PCbRST\IˆT\I@D DaR9] PC:_ GK D‚]dRcF C]cT\CbRSP DaT I@:KG_ D O D C7RdD<_ _ K,MG£,FHDaI<R J M C
O D M lLPOR ;#KK $?~œM Da_<T7^J C q
e?b>n L? m L K vD!_e_eDQ]djD CPF!M RCK _ †YK KI@PT7KY~C™O DaMP T OK R K Ok_ CbO PR K †YIˆ~5T7K CR Mˆ =;ŸF L K TK K G L CVK ˜žG L FHM I<KJ L\M LNI L D<M C M KM =; K L
; ; 0l > 1 >
; C1 >dl =1 >
l &
e>?Xu €•–CI@FcRS—5C C ~ C _ eKCM G_ FHO I<DKJ LL _dI _eO D C OKD<~ _]dI@D O L D D ~ D!LT K ]SK C _L5RdOYD<K_ K,:M £,GDaD R eM C…>?Xu D< FHGP5C,CbFHRcI<C`KJ DL L F
eK>L?Xu ]dURcCb_dR+DD D<M _d]dFaR#RdC#J I #~ F DNK D D L L™MM CœC Fa˜ CK RdRdRST7DH]SC DaRc_eCI ?
p,GIˆD L ]dD /
=; >A; >!> l
e>? š :O GD<FHD I@R L;K _ O I@Fa@D :_ GK,~D RS;zD M]dCI@D_ L RdD D<FqM ]SC C,_ŸO PDaRSCbI@Rc£rC C M O D CM C_ŸO I@C RdD<
Fa FH>aI > KqL ?C i M L FHC
D!R T7K C C L D!MˆKzRSC M CbO RSIˆ˜žp DaKNRSD O L D ]dM D £O D!D FH]D!K _SRFHRS
I ~ >!IˆR > q
e?)>?n&š _
D<_
; ; @ ; C1 =@ >D@ l OYK,LO D 1 =@ @ i ]dI M I !C LOYK D!_e] K _—D!Fc— K _P KYO D!T K _`F K,L _e]dRSGIˆR M C\_ K,M G5FHI<KJ LkO D s>?Xu C,_<^J /
I kO“YDC ~ M DaCzT ˜KC_TU:I M GI@C D ;O D3 RSD!FH]SF CK_ L _e1 ]SC !L ]dD
@"C M@KEYM ?ŸCbRS€ p K KER‚O D!D _e] M K C,_&O RSI D!~ FHG#]SeC,Cb_ T K _ M Cz#˜CbD!T\_ I O M IfD<C FHI@O RD3C RSM@D!KEFq]cM CbCRS_ p jK
]dD L DaT K _ M C Iˆp5? >? h?
˜–~CbT\D!I RdM If£,CDa? T K O _UDa:T”GCJD_ P5M CCb_RcC…RSD!FaFHC]SC,O _C 1PGL ] $K@%# E I L ]d
=Da1?Rc>D_d@D!UFq]cPC CL _SCC M G DLsD C 1zj D _5LkKJ M@MˆK K _G PL G C…L ]RSKD!FH_ ]S
C >SO l D q? M C
m
P(x,t)
t
x=ct+ ξ
Q
(ξ,0)
x
(ξ,0)
I@p? >,? h
I@ £“YCC M@~ K D!R T O K D _œ;z:GD DL$; # D<_–F D KM L £_eC]SCM@K L R ]dD‚O DC ;NM@K7D M L CRd7p K\?€O D K R–1D<
_s] K @P C"RSC P O K DHR ]SDaD<RS_sTU] K I L D CLzRM ; C C1 >AIˆp5@ ?o~>?C,h\_s]cD C M
£,DaR FHGœC J M D!_ D M PG L ] K >Sl OYK,LO D M C\RSD!FH]SC # I L ]dD!RS_dD!FH]SCED M DsD 1 j3O D<FHI@R
; C1 >A@ ; >dl &
Ln GI@M pD<£r?)_sC ]S>,MˆRSK? CNh R _j O K,D M]SG5D ; FHL
I<OKJ RS>SL…Dal T vLK _dK D
_V_ F˜M CC\KM L]S_ KCNKFaM GDaD †FHj I<PKCEJ RdL D<:_dGCDVR D!_ D M L CEF]D!KJ RdLT\O I@I FaLI!K K,J _ L O I LD I@Fa1 I@C j M @q?)
n9H_e?] € K Cb_dRcDUC™—5F CK FHT\DUP D M DaL ]SCM C R
; C1 >A@ C1 @ &
s>,?Xg AoFa“CDCNT PI KLG_]SD DaO eRSD–>P? RS£g DHDav]SRSC,F I 5KFHI<TFaKJCL K R9˜ž:O G GD L D FaM CkI!
sK,>,J _LN?XKg MŸO GDD!FH_9I<1kKJDHL ˜žPD<CDFqRS]dL C I@£]OYCbD!J KT\Rd_&T\D ]SL I IˆL]SD!D–K TU_ _ P KO K M DUG_ FH]SO I<R5KIˆJ C ˜žJL7Da5RSFO D KNDL ]SM
sD!CN>_`?XPu F KYK OPT DaK K T R&_dK_dDVG_ _s£,K,]SDœI~ ]SD]dGDLFHL I<MKDaJC LR‚ _dO II@IˆpRSp?D!RcFH>,C#]S? Cm5 ??
MT CkD!K CI £!T Da:R#GK CVJ _+I@Da—:R CGO FaDCNI@C M G C M L C pC R#O C#JOD!#RdIfFa_eD<]SC FcC —O L CQD FHIfF ;QC K,CL M @ £,]dH DI@DaM@_eKT\I LFHP I O KFaCC@ OT H `~D!_If_dCbI M RL C Op,F!CbD7R5CT J ˜5K ~ FaRdI@C T7CR;QCM C?)C M n9O ]S_eIˆIfD!]_dKkPT\K PL_eKKIfFH_ @I<KJO L I@FaOl D D O ,M@D!GK _d_&D7P MF D C K M !FcC]S—R5O D<C JC _a5?—F n&KC,_sFH]_dIfKCD
_e_eDD OKD!~ P _eD!M C Rd!£CœC™D F LUK T ~MˆG KJ L :T\GDD L _e]SI L D F!j CbCUT :~ GI@CD
RFHCGPC RSLD!OYFHIfKUC ~LMK D!TU—5C D jL ]dDaD T O ~#D9K ˜ ]SK D RdM@T7CCT\?rIˆAoD CVL ] _ K K_&M GG FHL I<KJ pL RSGC,P_<^J KUF KO LDQ_eF ]dKRSGFc—I O D<C _
D!_e]5CUJ PGD<_ O DQCFaGDaR OYK F K,LL GD<_s]SRSCEDH†YP#DaRSIˆD L FHIfC?
L ]dD<_ O D`RSD!_ KM £D!R K ]dR K _PR K~M DaT7C_ LK ]dD!T K _ C M pG LK _ O Da]SC M@ D!_ O D M TDHJ ] KOK
O D _ K,M GFaI!K,J LUO D
_
sK,>,J Mˆ? K
u qO ?D!•–P5D D LM C O D L7I@pO ?5D >M ? CVhVD!£FaDaGT CK Fa_I!K,J :L G
4D CœM C™]SRS_CrK,£&M D<GJ _ FaOI!K,JD L D< _9j™F LKLKQ_eO ]SDC L M C]SD` C =1 MˆK‚H?,M Cbn9RS_ep ]SK
C,_O RdDœD<FaFqIˆ]SD!C,Re_Ÿ]cC_eD_ŸM@RSD!CFHT\]SCC _9LE,M GCD_
ρ(x,0)
u
t=0
ρ(x,t 0)
t=t 0
x
x=ct 0
x
I@p?o>? m
D, MYT\P I@K b_dR9T<,D!K _eY]d|- £D`"aC<T M@KK R]S" IˆO £ D O K D F!MCb? CET D<I~ LFHI GCK C,M_T\FHD I<DL7KJ L L M@]SK D‚
s_Ÿ>D £? Mg C H£M@?K C RSM@KD!_R MˆK\I O L DM I@CbFa;3RSI@Cp MDK\D<L _ O #DD L M C,_PK,_`J G MˆK3FaL C] O RSK C,Da_ P#FqO ]dD D!IfL_eRr]dO ^J I_eDL ]d]IfO FaK DC,_ M _ O ££DC D!M@T K R K L_I K L _eIfC I@FHDaM If]dT\C DaM RcPCD RSLL D
;7D L # ?
lF K ]SFcR —K D!1 _vPR F K,K~L M DaG T7jzL CC LOOK DDE—L I C_dL Ij ]dO DaC F ROK D<J Fc_œ; —D<
D<l0_V_œ>AC,@I L:IfGvFHD IfJ CM M D =TU@L 9D LD :M]dGD FaDV GD!P#C _&DaMŸRG M K CL C™D F!L Cb˜žGRSDRdL MDaFa]dDHI!DaK,†J RcL ]SC3RdFD!_dKTDULKDHK †FH1 ]dI I@O D CL?,O lŒ DEL D!]dD _eD!L ]5RdC D<J D L_dM C‚D I ]SL L C]d]STD!RSRdC ~£LIHC OYD JMˆLKK
F KLK FHD!R M C O I@_e]dRSI ~ GFHI<KJ LkO DQF K Fc—D<_C M@KEM CbRSp KUO D M CUFaCRdRSDH]SDaRcC?n M PR K~M DaT7CUC™RSD!_ KM £D!R&D<_
; ; l >Sl 1 >D@ ”l >
; C1 >dl l >Sl 1 >
; 4l >A@ C@ >D@ l > =@ l @”l e>? ‰ €O D CRSM CUCURS˜CbD!_T\KIM M£IfCDaR O sDQ>?Rd‰ D< Fq]cPCR _ K 1FaD O D!T @%K _œ\F K ,T GKD
_dD D
L £
sD >,L ? u D Lj M C £D! T Iˆp5K ?_œ>:?XGuYD? ;D<_–F KL _e]SC L ]SD™C M@K M CbRSp K
DnO M D L £;NCM C M@CbK —+R Iˆ^J Op5D!D ?#_œ>,;UFa? u‚DaD R L £K D!#?T n&D<K _s_9]_9K D:M GD!£_eD
]5C C_eMˆJ KI O R # D™O D<DC,_sFH;]#GC™J D!OYRC OK,M LK C O F O D KDaLMRSCED!D FcFaM—Cb—C RcCD<O FcFHD—]dD!K7M R<C™^JO _eRSD™]dD!IfFHFa:]SC GC D™# _d I ]dF D K
CL1ReDa]cTCQDK M _@ ,DG s; DLz 1 K,~ j l _e D!D jRdM £C™£C C :OYM@GKK DRR
DPL RSI@TU10H D!vR&D<J F _sK ]SFcD —LD–K :£GD!D–Rr^_SJ C C M L I<K™IJ L O pD G J L1F{K Fcl™—CDVM —]SCIˆD!_eT\]SCUP :K G@ GD @(l?10•œHD M C  ]dIˆp5I@Da?5T\>,P? u
K P :KYGO DVDaT ]cCbK R _9O C‚£,DaD RSLI 5M@F!D!Cbp,R&CD!R&_e]dD D M
—O D<D FcM — C™K Rd D<j FqC7]cC :
GD‚ D L ;\1 _dDaR#C J 10O H Iˆ˜ž0Da;RSD L ]dlD O _dI?D–@ FaDa R K 1 ?,H€ CRS?CQ€ F!K C R M FHK G ]dRM CbK R&PD CbM Rd£]dC D M@5K _dR I O 1 D ;\D L@ D<_ T O KD<FH_e]dI@RœRcC CbORSKRdI ~D LC
M C I@p? >,? u ~ C_e]SCURSD!F K R O CbR:GD
; C1 >A@ ; 4l > >
e>?  DOYM K,£rLC O MˆD K R 4l O >D D!~ _œCD_e]SM C PGLLK ]]SK3CbR`OY:K,GLD O D M C F!CbRcCFq]SDaRr^J _s]SI@F!C I L ]SDaRc_eD<Fq]cC7C M DsD @q?5€ CRSCURSD!F K R O CbR
l > >
OYK,LO D
1 @ 0> @ 1 s>,?ˆ><l š
(x 0,x0/c)
R
t
x=ct
B
ρ(0,t)=g(t)
(0,τ)=
ρ=0
ρ=0
ρ=0
P
S
A
Q
x0
ρ=0
x
I@p? >,? u
n L s>,?  j s>,?ˆ><l &£D!T K _,GD M C\_ KM GFHI<KJ LkO D s>,? ‰ &D!_e]5C J O C O CEP K R
C@ 1 &
s>?@>> €L DaKYT O DaK T _QK ,_–GDBCb— ; K =RS1 C H >AI L@ #]dD! RdPRd Da
C]S@ CbR M 1 C3H D! Fa G–CP FaK I!K,RQJ L D!_e
s] >K ?@>_d> I @ O DUD!1 _e]SH C #˜ K RS; T7tC / lD ? L &G GL C L5POYG K L ] @ K 1K H 1 H ]dDM C OF D CbL R _eI O D<C _s]#O C\J :RdGDaD]dRcKC~_SC DaRS£C™CbG T K ]d_VI@DaD< T\_ P M CNT\1 H I@_d T7?C n&O _sIf] _s]SRdD!I _e~ ]5GC J FaI!K,J D‚L C FaGC
@ Da
R :GD\F D!_e]5DCNJ D —L D<]SFcRS— C LOY,K GDQD L G 1 DalR ; C1?>D@ £O MCIf_eOYP K K K R3_dI@PFaI!CK,JRSL C OYF K K,L D LM C™O M :C[GDœF!L C D M@L D ]dRc£CbRD KKLMˆ DaC p:CbM C™R3F!C C M@MˆKD,_?:K n F LK FcD!—_eD!]dO _D
&FaFHC,G5_ CK L£,OYOYDaK TK —K K,_C Lj ]SCPT M K ~ F IHK D J _L K :F GK,D L{M@KM C_ Lk£T\C KMˆI@~K_dT7RdD<C _
O D ; _dDQPR K PCbp:C L CU£,D M@K FaI O C O F KL _s]cC L ]dDQC MˆK\M CbRSp K\O D M C_`FaCRSC,Fq]SDaRr^J _e]dIfFaC,_a?
C ] D C I@p?>?Xu‚F T D C I@p?>? h‚£,DaT _v:GD; =1?>A@ v_5J
D!P5D D D _9£C RdD<_
; 4l L > K 7K JL3; M >Sl :GDœ_ KK L7M@KK _ £rL3C M MˆK Rd D<_ O D; OKLO K D M CQF!CbRcCFH]dDaRr^J _sK]SI@M@F!KEC–O CQ]dRcCrL£9O D!J _ O O D Mˆ# K F K RdMˆ]SK CQC M
D+sDVF+K:L389MˆK _ +O Cb] K _ 4 I L O I@FaD I@C =1?M D<>A_ @ HKU?YOA D K _9˜žR PKGL L]SDa] RcK C_9?,C n&M@_sK™] K M Cb_9RSPp G K‚L O ] DK _M CE
4l Fa>C RSC, Fq]d
D!Rr>d^lJ _e ]dIf_dFaD C M@1CT7C L @ 5",F KT K
Mˆ DaG£D C O L CUD F M K £T C M@K K R Ds; D!RS
FaI@>dFal I K Rd_dD<D _ K,Mˆ MCb£,T7DaR C LM@K _P5R :K5-~”M DaT7zC,_ *+, O D M PG L ] K >dl H?
;Ÿ=[ 0#10#1
0 ; ; l > 1 > @ 0l >
; =1?>dl =1 "
" 5;=4: 0514051 x
; ; l >
; C1?>Sl l >
; l >D@ C@ >
3 1
g
l0> @ l >
1 l0>
@”l 7
# - +G" ' % + <+G" ! !
"
!
n&
e>_v?Xu F vKLF K£TD L K I@D G L L]dD PR]SKC ~M M F DaK T7T CUK p_eD D
K T—C,DaJ FH]dD
RSI@DF LK PD<FHCGRSCC,FHM I C\KL _dGD<_P#DaO RI5˜žD!FHRdI@D D L FHIfC M D!; _ C1K R>AO@ HI L?C€ RdCbIfCRcC_,O I LC]dR D!M RdCEPRS˜ KDH]cRdCbTER`G"C M; CFa I!K,J ; LE
=1?O D<>D@_eD<rC ,O GC–D £FHD!GT T\K P _ M D9:GF DK,L
RdD<M _CK,D<M £,FHGDaRC,FH
sI<>KJ ?XL
u +O D<I˜ž_ŸD!DRdLD L F KFHIfL C ]dMRcjCbRŸ:GGLD C
PC,_dG_dCvP#DaP RK 5R FHM I@C`D FHBGRdFa£G Cj C–PCD!RSFaCGTUCFaDaI!]dK,JRSL I <D<C#_
O CUP K R >dl > q?n&_s] K _dD
£D
D LkM C I@p?o>? š
$#
%
Q
ρ
ξ=ξ 0
η=η0
c= (ξ,0, f (ξ))
t
x
ξ
R
I@p?o>? š
A+_dGC P#DaI L R]S5DaFHRSI@PD RSœDH]S?rC,n FHL I<KJ ˜ L K Rdp,T7D KCTT”DHJCJ]d_RSIfFHFaG5C C LO ]dD Iˆ]SM CbC…]dI@D<£rFHC GRdC,D<FHF I<K KJ R L O D!
eT >? Kš _™:D!G_ D9M DC M O£,D!DkFq]G K L R C LKRSD!RS_eT\]dRSC I@M F!CFHI<KJ L D!_e_ ]5KC J~ ORSD C OYM KC
P K R =; >A; > > j :GDQG_SC L5OYK D!_e] K M C Iˆp5? >? šU_dDQI L ]SDaRSPRSDH]SCUF K T K
C; >D; > > >a> >Sl l s>,?ˆ>rW &%
%
('
‰
AoC C–D!FaD!G_–CP5FaD!I!K,RdJ P#L D eL>O ?@><I@FaW G M LCRVK _ C O I@Fa D>!> :>SGl D`q?_dI•–;QDED!Cb_Ÿ—+G ^J L :CVG_DUKDM GM FaPI!K,R J KLE~O M DaD T7
s>,C ? u e >?XuD œL ] D!K_–L DFaMŸD!_O DD™M D £,L D!FFHK,] KL R]SRSLCK RœRdGT7L C C M
_e€ GCbP5RcD!C&RF 5KFaL IˆDV_e]d]cRSC GL I@Rp,DM C`L ]d_dDQGP#C DaM R£5D!FHFHI@]D K O R D<
_eD<>aC >8O >dCl RS D!j FaG,RdGRSI@DQT PK C__dCD
M P C K R I@pM C\?b>,FHG? šRd?a£n9C _)F K L £
D L >dl0I@D > L ]d
DŸ P qC? RSCTUDa]dRSI <CbR
C ”D LkM CE˜ K RST7C
=1 > >A@ > >D; > s>?@>!h GOYO KLD L5C O O DQC D PMM@CbC,KRc_CUM FHCGFaRdCRSp £OK CCE_O £DzC ?MˆG K &L R CG C FaLK GOYRSO K £rD C e CbM TCU? KPn _ CL RSCPTU CReDa]S]dHI@RSFaI G<LCMK CFa_vR\I!K,TJ D!L _K £
sO>,D!D<?ˆT ><_ehD<K C _&~LF M KKDz_L,O M GC C Dk
sF>,FaKG?ˆ><T C h L5K&OYF ˜žK GK TL FHK I<KJ ˜žL G lL O FaD LI!K,KJ L _ T K £rCT K __ K,~ RSD YD<_ O D!FaIˆR :GD!RdD!T K _`:GD
=1 >Sl >A@ >Sl >A; >dl >Sl > "
s>?@>am p D K L T DaRcK C L:GMˆD!K RdD!_dTD!C K L _9?:n9G_eD] K _eD
_dD!DaC
†]cPC RdL D<p,_dC\D L F ]dK DVT C K >!> >Sl LK _ ~ C_e]SC‚P#D O IˆR:GD M C_&FHGRS£C_ ,GD M C
1 > >
@ > 8> >
; > l >
s>?@><u @
@
@
P_eGkCbRc_ C
KM] GKFHO I<CKJ LNY?YLAoK _C,_9O D<CbFHR#GCEJ C,G FHLI KCUL DHD<†Y_ P
sRS>,D!?ˆ_d>!I!m K,J L /PuYC?@RS><C u 9{_ K,D LL M ˜ C‚K RSDHT7†YPC™RSP5D!_dCbI<RcKJ CbL TO DHJ D ]SRd
sIf>,FaC? u ? D L PCbRcCbT DaJ ]dRSI@F!C_ j
D!Ao
4u:C,?ˆG_
>rI@u £D!vCFHMG5F D K,CL LFH]dI DœKM CLC‚_`D!Rd_ F D<K_ sLK,>,MO ?ˆ£,>!IfDamFHRI KG Lj L D!_
4_euYIfI _s?@L ><]SI@uDaFaT7 I@C LC M D<K O_ _ D–O O D!D I@FaFaM GDC LCFa
e>I:K,?@G>aL D7mD!_ D MjK R RSKO D!~ _I L K]SDCM £L RdD!IfD!CR R _!M?Ck€ D<KYFHO GD!C,T FHI<K KJ_ L Cb—PKCbRcRcC
FHIfCRdD<M _ eK,>M £,?Xu DaVR D!M C _
1 > > @ > > ; > &
s>?@>!š AoC s>,?ˆ><š _ C C™Da†YPRdD<_eI<J PCbRcCbT DaJ ]dRSI@F!C D _ IfFHDQ:GGD ;7D!_F _e]SC ]SDVFaGC
1 "j @ L K ™O D!_ M O D!FaIˆR9C M@KQKM L CbRSp K
O D M C,_ RSD!Fq]cO C_ 1 LK @ O Y?bn9_e]dD`D<_ D M K,TUL If_dT LK RSD!_dG M ]SLC OOYKK
:O GD D @ >AK1+~ ?]SGn9£_eIˆ] T KUK L_ K O_ D O sC >? š H?€ CbRcC K,~ ]dD L DaR O D s>?@>!š ; =1?>A@ ~ C,_s]cC O D!_dP5DeCbR > ™D L ]DaJ RSTUI LK _
; C1 >A@ C1 @ >
s>?@>rg :n GL D
D<D!_s_]SDœM C\FaC,_ _K,K M GPFaG I!K,OJ L IˆT :K G_9D Pj C,C _dCK,R9~ ]d_dGI L £:I@O T I 5K Fa_G D M ]cL C O e>O ? g D HM? C
˜ K RST7C
PCbRcCbT DaJ ]dRSI@F!C e>?@>!š ŸC s>,?ˆ>g O D ~
C1 I OY>AK@ œCED!_,GMˆK D MTUCQIf˜ž_dG T L K FHI<KGJ L_dC
=R–1 F K: K> R O >DD @L C O > C_v1 Rd>AD<@œ_eG :M G]5KD J I L > £,Da#RdD!]dI_e~] KM D,?_dD ZVOD KD ~T DEDaJ ]dC3RSI@:F!GCbT\D #D F L K ]dT D`KD L £DI@T M P K M _œC LD LK
MF C K TU PI@pM If? Fa>,C ?OYh K )_ P M KC™R™]dRcF!C C L O _sCk˜ K PRdGT7L C] FaK I!K,J CL 1 >AL@ K _ePI@C,DaT\_dCkPGRSDVL CzD!_v_ IK,L M £,CkDaRSRdD!]dIFH~]SMC D 1 j D! _e] K @ _v DsDaYT\?+Pn M@L K _vDsRSDaD!T\:GP I@M@DaK RS_QD L T”G CJ L _
D! _eG]dG D OO IC™K F D!K _dT P#D!K FHDIfCsDaM ?RcFHIfFHI K RSD!_ KM £DaR MˆK _vPR K,~M DaT7C_–>?@>?@> j >,?ˆ>,? W‚G_dC LOYK D!_e]dDVTDHJ ] KYOYKEj F K T
PCbRcCbR M C_`_ KM GFHI KL D!_ K~ ]SD L I O C,_D L CbT ~5K _`FaC_ K _!?
%
%
%
%
%
" 
G _SL Cb]SRcD!_d_ D–O PDvC]dRSD!CERdT\RSD!I_ L KCbM £RŸDaD<R _s]cK C–]SR _dK D!F!]SFHIˆPI<KJK L O £,DQDaRSPDaR T K~K M_+DaF)T7K J C,T _vK C,D _ MK TFaI@CDaJ ]OYKYK OY_K F K,pLD K M TCUDHJD!]SFaRdGIfF CK FaI!I K,LJ L ]dR KYO GFHI OYK PGD O D
; ; {l s>,?ˆ><‰ M@TE€ K\KYGM O D!CD!_eRdT]dp RcK\C™K _`O D D‚LkP#D C M L CM p_SCbG R–p,L GC\D RSL FaC\GRS_dRdD!Iˆ£_p,CKGM I@£D DaL R ]dD D,ML C ? D eM >P ?@>!M C‰ LK _eG#
=s1?Da>D]S@C C j M :C GD!D _dP5LD<K FHI_e5D<FaC C,M FHC\I<KJ RSL D!FqO ]cDC Mˆ@ K _ £l C YM@K ]SRSC D!M _ F KO TD K; _dCD
ρ
C’
t
x
C= (p(ξ), q(ξ),0)
I@p?o>? g
nF KL…LO M C IfFHI<KJ I@L p? :>G? D g ;7MˆK ] _–K T\£C DQMˆK D RdL D<_ O M@D K _; £C C MˆMˆK KNRdD<M Cb_RSD!p _dKP5D<O FHD I 5FaC _ OYKK L _`O _dDVC] ]dK Rc_ C O O GD FaM D PL R K,D ~L M DaD T7M :C Gj D P K PRQCD<_d_sD
] KP K M C R
M C\D<FH_sG]cRSC £~ C CE˜ K ?RdT7i LC O DC™sDaP T\K PR M@MK3C_O DQRSD!D<FH_s]S]cCCU_ _d1 Iˆ]d”GC,l FHI< KJ @Lk”j C l? M@K O I@_SFHG]dI@T K _`D LkM C s>,? ‰ OKLO D M C7FHGRd£C
€
C>aRS>8C…>dl RdHD<?_ K,“MI £,PDaCR RSMCC TU
sDa>,]d?ˆRS><I <‰ Cb T M CK _7_FHC G Rd£FCK_ T K OD L D eM C>?@>! h I@9p?]SD >,L ?XD!g T O K D _ ~ D!:R5GC JD L _dDaR7PCRSC M D M C,_\C M £D<Fq] K R
@ 1 > >
@ @ > > >
@ ; > l s>,?ˆ>< €•–K D‚R CK :]SGoRSC
^J £,PDaCT Re]SK Dœ_FH:G5GC D LOYM CK _`F K, LO l IfFHM CEI KFHL GD<RS_v£I C L If
CFH1 IfC M D!>S_ l P>DCb@ Rc
C >S
el > ?@>D>!;  & _>dKl L ]dI@D L DV,GDœ_eD!R M C™FaGRd£C ?
1 >Sl @ >Sl > ; >dl ; > @% s>,? Wl PA+CCRS_ C˜žTG L DHJ FH]SIRdKIfFaL C D<
_ O D _ej D K,
~ ]d)I@]SD CbL T D™~ RdD<IHD _J LK,M _£KI@DL LF OYKK LK s>,FHI?ˆO><C,v_ jF K,PLkCbRcM C,Cb_ T\F DaK,]dLRSIO <IfC FHL I KC L D<_?rIAoL C IfFHRSIfDaC PM D!Rd_ D<_eO D C L O ]cCC,Fa_I!K,D J LL
%
%
%
>!l
s>,? Wl q?•–D‚C:G+^J K,~ ]dD L DaT K _ /
1 >4@ >,; ; > &
s>?XWY> Ao
C, _Q>!>D!FaG CFa
I K,
L D! _> e
> ?XWY`> D! _ LO K D!_ FaIˆO RIfFH; D L :FGKDBL ;…_e]SCD<L_‚]SF DQK,CL _sMˆ]cK7C LM Cb]dRSD p K\C OM@KzD MM CbCRS_`p F!KzCbRcO CD Fq]SM DaCRr_Q^J _sRS]SD!I@FHF!]SCC,_!_ ? C1?O >DDa@ T” CJ _
ID
sL >,Lk]S? WDaM CRc> _e D< FaLI@FHpK I<? K_ J >,LO ? ‰OIfFH? D Dz :GF DNK,L D M M CU£CFaM@CK RSR C,Fq; ]S
CDa1?Rr^>DJ _e@ ]dEIfFaD!C,_\_ DC™M ]d£RcCCrMˆ£9K D!J R _ OO DD ;B
=1?>AD @L H? n9 _e] OYK K,L_eDVO DT™G D<_sD<]S_URSCED MF K,PLG OL ]DaK]SC M@O DD
ρ
t
(x,t)= η (c,1)+(p( ξ ),q( ξ ))
x
(p(ξ), q(ξ))
P
I@p? >,? ‰
D! _eG]dD
D O TCNDHJ F] KKYTOYK K ? G L GD DO sDaCERcFH]SIfCFHT I K ~ IHD D JM L RSD!F _K KT M £K D!R–DsDDaMRcFHPIfFHR KI K ~MRSDaD!T7_ KCM £P D!MR&C DL M ]dD<PC R OYKK~M DDaLT7C M CD<FHGC,FHI<KJ L s>,? ‰ œP K R
;Ÿ=[ 0#1fx)1
0 ; ; 0l >
1 l > @ ”l >
; =1?>Sl l >
; =1 =@ >A@ C@ > @ l
1 C@ @ > ”l 3 3 3 3 C1 >A@ 3 7
B $ !! ' ' ' ! < <!#" $ ' % # % ! # $ ' % ! # " $' *)+,!-.+ # + ' $
!
I–~L I@Fa_dI@DaC RSM £DaP T K R`K _ Ds,DaGT\D`P PM@KCbRcC
FaGRdD<C _L5K,OYM £,K Da@R D M lPR j K~D<M _sDa] T7K7C LK s>,_ ? M@u Da£_ C7KM CUCbT\G DL L C7]dD_ KL M GD!FHFHD<I<K_eJ LIˆ]SCG J T L IfK Fa_ CG ?L i CQL FC\KT7L5O C I@L FaI!DaK,RcJ LC
OF K D T sGK _e]d_dII@5pGF!CbD,R ? M C\_dG"5FaIˆD L FHIfC O DVG L C\_ K,M CUF K,LO IfFHI<KJ L I L IfFHIfC M PCRSCEp,CRSC L ]dI !CbR M CUG L I@FaI O C O D<_
nO D L ; D M P5P CbM CRcCLK @ C1¥>A@ l ? F $`KLDK RSFaIHDaD JT LOYK K,_ L; K C1_E>dC l M C Iˆp5
=1 ?&q>,? ? $`š D<£_ DaK,T M £,K Da_ER e:>G?XuD Rd_dD<Iˆ_ p K,L M I£,5DaFaR C
eD >L ?Xu F QK,L D<]S_™RSCD R L DF MK,L£]dC RcM@KCbRR
; C1 > ™P5CbRcC FaGC M :GIˆD!RE£C MˆK R O Do? € CbRcC F!C M FHG M CbR ; C1?> _eI D<_UP5D<,GD L C P KYO D!T K _
O D<_dCRdR KM@ Cb4R ; C1 > D L _dDaRSIˆD O D C jMˆK RvD LM C\£CbRSI@C ~M D @ j ]dD L DaR
; C1 > ; =1?>dl %F; C1 >dl C1?> s>,? W,W ˜žD<OYG FHK,LGLFHC,O I<FHKD JI<LKJ L ;
C
e1 >
C>1 ?Xu >dœl ‚_dD<DQ_
]c_eCbD I@TM pGRS~ D!D IH_dD J I L O G _dK Dk? PA+GC D O ˜žG D L OFHI<DHKJ]dLD!RdT\; =I 1?L >SCbl RU#D L ]DaJ
CRS1 TUVI D<L_
K _G LBO DO C; ] CKN1 >dO l D M Pj R C K~:M GD!T\D CO ?D AoM CC
s>,? Wh ; C1 >dl ; =1?>dl 1 C1 C1 &
•–D s>,? W,W j s>,? Wh v_dD
_dI@pGDQ:GD‚FHG5C LOYK ND<_P5D<,GD L K
; =1?> C1 =1 s>,? Wbm €K R CO RSD C…L3TUj D£ KDaRcT CbKR _vM CB:GCbD PR K †YIˆT7CFaI!K,J LO D e>?XWm EG_SCbT K _ED MœO D<_dCRdR KM@ˆK O D C j:M@K R7C_dDapG LOYK
; =1?> ; =1?>Sl ; =1?>dl W> ; C1 >dl vC M FaG M CT K _Cb— K RSC ; 9D L ]DaJ RSTUI LK _ O D C1 O DaRSIˆ£C L5OYK\M CUD!FaGCFaI!K,J L e>?Xu j3K,~ ]dD L DaT K _
; C1 >dl ; 1 ; =1?>dl 1 C1 C1 &
€9R K FHD O I@D LOYK
O D M C–T\If_eT7C–˜ K RST7CVP KYO D!T K _ FaC M FaG M CR O DT\C L DaRcCBG J L IfFaC M C_ O D!RdI@£C O C,_ @ ; ?
“D
PGD O DQ£,DaRSI 5F!CbR`:GD M C7CPR K †I@T7CFaI!K,J L3O D K R O D L C M C\_ K,M G5FHI<KJ L ; D!_e]5C J O C O CUP K R
; C1?> H =1 In&O L Da_sIf]d]SFHD!DIfRdC T\MPR I LK FaLC D!OK _ _C,K _vMˆ PDDaLG£C7D ]O D!C\J D RdT\G F L IKLC3L K ]d_ _ I K,L OM GGD CbFaRcI!K,_dJ =DzL 1 HI˜ LK? ORdT7D C L M I GO J LCTUIfFaCD L j ]dD :Gj D
£,] DaKYT O C,K _ _M :C,G_ D O D!O RdC I@£O C CBO C,G _L C F K,L:GO IfD FHO I<KC J LL
A+CU_ KM GFaI!K,J L ˜ K RST7C M
; =1?>A@ H =1 @ s>,? W,u FT7KC L b_e_d]dIRSGM C–I O F C KLP £K D!RŸRdD p,M D PL R FaK I@C FHD<O _ D K s:>G?XWD`u C)FaD<C _ ~ MˆCbK T _dKG"_ 5OFaIˆD D LO ]SD<Da_dT\FaRdDI ~ L I@]SRD&˜ž_dGDaDaR#CœRdJ ]dGD L F C–K T _ KK M GPFHCI<KRSJ C–L P RdD<KC O MYDaO R D sMGP_e]dR IK,5~FaM CD R
>,>
<> W
MˆM KC,_œ_PPCR K_ KP_vIˆD ˜ O K C RdOT7D!C _ M D<O _`D M ,GO DCb] LK K I_ L M@IfFHD!If£C CbM R KL
=1 C\q?)D n M@ L C?D n9M _eF!]SCC\_ K3F K,O L D\£Da:RSGpD D L FH
=If1C VO _dD!D!_ C7O D ]cC M GM Da:p GK7D\O _eD!G P5D_eD!LRdO I@DD OO DD
C jM@K R`F K,L £DaR eC™C\D Mˆ C ]SD LO RdD!T K _`:GD s>?XWu v_eDQPGD O DQ_dGT7CbR`D LkM CE˜ K RST\C
; =1?>D@ =1 @ 5:
s>,GFH?I@DEu D qL D<? ]S_
DU PG RSLCD!J FHIf_ _Sp:KCbCbM@T\KkT\DO D L C]d]]dD KD\M CICNL If_ FHFaKIfCCM _GM FHP5I<KCbJ LD7RcC!D!O FaD GeCMCC RFaI sO >,D\? D!u T7_ q? C n9LR D!_e]SIRSCC COGRdJ IfIfL C_dIfFa_FaG5C _eD I<M@KKJ LT_
DHL£J ] CK M@_VK RSTED!_GD!D O _eD]d_eRcD!MC3RdCkI@D!Fo_ _K JK,T M GI@K Fa_SI!FHD<K,GYJ _
L ]SI_eO G"D P5n D!L RdT\D!_eIˆ]S]dCND‚L F_eD<KM@FaL K FH_eI<]dKJRSL GI@£RL Iˆ_T KKM G_
FaM :I K,GL D7D!Kk_vFHG5˜ O K C RdLT7OYKC M D!G _vL PCK,CL D!RSFaCEGD!CK FaFaGI!O K,CJ L FaL I K,]SIˆL D D!L _D7P5FaCbCbM RcRcFHCIfFHC ]dM D!D!KY_!R<OY^?J _eKz]dIfOFaC__dG_
_ K,O M G5FHI KL OD<K _
T_eFHDEI KDHJ IL] L KD<]SO_aDa?KRSPpRdDDaK]SCT L DaJ ]dF RSK I@TF K Kj KLC LO CCM_V^J ]S,I@FGK DUP_dD™CbRcPC3R KF KP5L Cb_ep,]dC RSL G?5I@R A+j C_VO FaI@_SCFHRSGYC,]SFqIˆ]dR D!RrM C^J _e_V]dIfPFaRC,K _P]SI@CD TO C ~ O IHDD<J L_ O PD R K M £,CDa_
D _L K,MG G L !#" $ % ! $ % ' < $' # # + ' $ #$ + <+G" ! "
!
,p C,KYM FHOYIˆI<p,KKJ GL_QC —OM D!D:T GKDK L_ OD L\C,K_`~ M CQ_e:D!G_dRdD!D
£F!C D!FHOI<_dKP5KJ L D!FoRSC K CJ L T T ]dD!KK Rd_vI C K D!M&R _eO] DQDHJe˜CCK Rd_RdD!KT7T FHCbIfK C RQ_ OYPLK GK F FD<K,K_sL]S RSjC
F!CbCDRc]SLCD FHL ]d˜ KFaDaI!RSRrK,T7^JJ _sL ]SC I@D F!L MˆCK _!GFa? CL M I D!sC D!OT\C P MˆKEG L O C D`FHPGR KDaRPO C C ]d_eDG\L ˜ _dK C Rd T7M CCQ_ I OL DHIfFH˜ IfK C RdM T7? C,FHD!IRdKD!L T D<K _ _9::GGD–D _dDœD<_sP]SD–R K F P5K CbT\p,CP L K ReC ]cCbMˆT\KEMI@CD LRdp] KK‚D<O _sD ]#C‚MJ C™CFa_ GK DaFHRIfCO OYC‚KQF jKL _e_dDœDaRSP£GC D L O DI L O C D<M ]d_dD!FaRSRdCI ~ O I@C R
FHO GDQC G L L ]dIˆC\]SCFa]SGIˆ£DaRCO TUCED ]dL D ]dLDE_dFCK? L M C,_–F!CbRcCFq]SDaRr^J _s]SI@F!C_ O D M C3D!FaGCFaI!K,J L :GDEp K~ I@DaR L C7D M T K £I@T\IˆD L ] K
nFHGT\D!RP#O DCE!CD T L ]dK RS_`D D 1 L F j K,L1 ]SRSC LNOY]cK7C M M C\F K D!T FaGK CFa_eDQI!K,J £,L DVO D D!Lz_dD!M C C O CI@?p€ ?)C>,RS? CU D<OY_s]KK L5O ] KD T7CTD<_ K M _ C™G ˜žLGDaC7R !P C K RSO FaD
I!K,J ]SLzD L O _dD I!K,J M LC
j1 H? =1?>A@ RdD!PRSD!_dD L ]SC‚C M5O D<_eP M C !CbT\I@D L ] KEO D M C™FaGDaR O C O DV_eG3P K _eIfFHI<KJ L O D–D!:GI M I ~ RSI K C M DsD
DAoL Cz]dRSD<GD FHG1 C,jFHI<K1 J LB O oD<_e?D<iœC O_SC CzL_dOYD K\KM C~ ]dM I@D D jL D3O DQC M› CD!P‡M ]IfFaK,CL R MF C K,L M D ; j O DO ›D L D!_d‡I O ] CK,OL O C D M CM C\P FHKGRSDaFaR I!O K,J C LO]SD DL FHD!GT DaK R _O C
s>?XWbš ; @ N_dI L z_dI L s>,K ? WT š Kzv_eM@KDV_ ]SRSO C D!L _d_sP ˜ M K C Rd!T7CTUCEI@D D L L ] K _Q_ KL P#D!:GD L K _Q]SD L D!T K _‚:GD3_dI L ]cC L ?iœ_SC LOK D!_e] K ; @ 1 1 s>?XW,g :GD
PCbRcC NP5D<,GD L K _`_eD
]SRSC L _s˜ K RdT7CED L
; s>?XWb‰ >!h
Tsen ( θ 2 )
T
θ1
u(x,t)
θ2
Tsen( θ 1)
T
x
x+h
I@p?o>? 
j L C M T\D L ]dD
s>,? W >
OYA+K,C&LD<O FHDGC, FH I<KJ L s >,? ? m#D!_ M C`:GD _dGP K,LO RSDaT K _oF KL ]SR K,M C&D M T K £I@T\IˆD L ] K`O D O If_s]SGR ~ I K _P5D<:GDL K _
DFaLUI!K,J L…M C
j FHG£,D!D R M@O K CFaI?bO € C CbO…RcCVO DF K M T\CNP FHM GDHD!]cRCbO R CNM CVFHD!G5_dC P5LD<OYFHK I 5@FaC,FHI<KlJ L7? O D K,M L PRD<K,_s]~K M DaDT7M C PLR KD!~FaD!M Da_dT7I]cCbC T O K D _ŸO _SDHC ]d~ D!DaRdR T\M C
I L P CbKR
_eD I M
T K £IˆT\I@D L ] K\O D M C\FHGD!R O CUD<_D MoO DQRSD!_ KM £D!R
C
=11?>d>Sll =
C11 > O D!_d£,P D M C !FH CI T\1 C IˆD L I ] K I@Fa>I I@L C If@ FH If C M >l >
s>,? h,l M@K O O L M
A+C— CK PRcC RdI@T\OYK Da_ RcC O DaO RSIIˆ˜ž£D!C RdDO L CFH_–IfCkD L ,GD MD ]dLI@DaK T\]cCbP T KkK j _VD,L G]SD RdD O C
eT>? hK l_ OYj K _
e>F K?Xu LVO D<IfFH_QI K,L GD!D _–M I CkL IfD<FHFHIfCGM C,D!FH_!I<? KJ n9L _dD P5L D!£:RSGCTD M £K D_
:O GD
D–D<_d]dC\D L _dp,I]SCUG_CK,FaM I!G5K,J FHL I ?KL D<_9D L ˜ K RdT7C O D KLO C,_&:GDQ_dD–PR K PCbp:C L j CE,GD e>? hl D<_&G L T KYO D M@K
L ]SD!_ O D‚RSD!_ KM £DaR e>? hl £D!RdD!T K _ F)K J T K _eD‚PGD O DUF K,L _s]SRdGIˆR G L C _ KM GFHI<KJ L ˜ K RST7C M G J L IfFaC
PO DR KM FHPD R O K,Da~T M DaKT7_C F rK _eT IYD<K _ŸD ,L GDv
s>F ?XKWbLh K FHj D!T £D!K T _ OYK K__Ÿ:F GK,D‚LFHO GIfFHC I LKOYL KD<_o I L IfFHIfC> M D!_!?€ CbRcC`D L F KL ]dRcCbR M CV_ KM GFHI<KJ L
C1?> C1?>Sl =1?>Sl C1 C1 >dl s>,? h> nF KL L sD >,M? WO h C ] KPG I L O IfI@FHT IfC K M _ D L C1F KqL?]dAoRcC
CbR D<FHG C,
C1 FHI<>dKlJ L j s>Cœ? h:lG DvLD!K_e]SPC R~ K C P RSK D RcM FHCI FHKI LKLCVC I LO ˜C K CRST7]dRcCCrFa£9I!K,D!JJ _L O _ DK~ M C RSD D<FHG C,
=1?FHI<>dKlJ L a> m
]djG J RcCzL CrIf£9Fa:D!C GJ _ D7M O CN]SD Iˆ_ D KL CM DG1 Faq_dI!? DaK,J p,L GDaRS˜LKDaO TRSC,T7_K C _9O M ,D!O GRdDI@D £CO
e>O C ?C,Oh_Kl )_HP? K€ REj CbRcD!C _e] IK…FaM GGO C_e]dDLRc~ OCbDaK R
T @ D K M _™PPl
R K R P KFaKYDP OO K I@D!RST\TFaI IˆK,K D L_L Cb] O KRQDH]dD<F D!_dKRdCkL T\_eI IIL LO ˜ DaCbK RSR9RdDaT7D T L CK Fa˜ _œI!K K,JRSG L T7L CCC
CbPR K †YIˆT7C,FHI<KJ L CE]dD!RSFaDaR K R O D L ?
s>? h,W C1?>Sl C1 C1 W > =1?>Sl h > C1 >dl n L s>,? h:W v_eD O Da]dD!RdT\I L C\CEP5CbRd]dI@R O D s>,? h,l &D LNM CU˜ K RdT7C
C1 >dl C1 >dl =1 >
j C L C J M@K p,CT\D L ]dD
C1 C1 >dl =1?>dl 1 C1 >dl 1 C1 K~ ]SD L I@D L5OYK C_<^J
=1?> C1 C1 W> C1 h > C1 s>? hh D GD ]OD!J RdCET\F I K T _ K DsD DaRc FHIfFHI K D
? M F KLD!T£D C,JL _\FHD!FHRSG_dC D–:GD– ] KY O C,_l M :C,_vGD CPC…R K F †I@TT7CFaDI K,sD!L RSD!Fa_ I@FaPI GD PO RD L DaC†YREP:RdGD<_dD CRSC_dD_
_e_ D!K,L RdM G5I@D!FH_œI<KJI LzL LO L KD IˆM]SCPO _–R K_e~GMT\Daj T7C L C?5C n9_eO ]S
C1C >AO @ If_dFaG_d I!K, J LLN OY
CjNK1M C7C @ L C J MˆK p, CU
=1 OPCbRcC K @ MC \K D!:FHGG5D™CFHD<I<_ KJ LzDH˜žK D<O FqDQ]SIˆP£KRdCb~ I@T\T\D DaL R ]SKD™R GO M LD LC
LG KL If_FHK,I O L C T”OkC,O J _ D :vGCD
GGFc—L jC\
I M GK _e£]dC RcM CDaFa£YI!_K,J L ID Lkh
O? K _`FaC,_ K _PCbRd]dIfFHG M CRdD<_ O D M ]dD K RSDaT7C O DQDH†YIf_s]SD L FaI@C j
nL CbM RSTIfCDH_J ] KYO OYCKNP O K D FaOC3D!I _SL Cb˜ RSK R RSK,T\Mˆ@C,K FHDI<KL J L _eD!_ KRdI@~ D RSD C M L C C J L M@K Cp,]dCGT\RSC D M LD!]dDUC CO D M@K M C,_VG_ DUK,M _dGGFaFHI DK,O L D\D!_ D LO D D!M FHPG5R CKFH~I KM D!L T\D!_ C?#K R€ O K I R
D!€ _eCb] RcK C‚RSRSD!D!_ _KKM £M £DaD!RSRDaT e>K ? _hl e >?LhK l ]d D!OT D K K_`]d:RcGC™D ˜ K M CURdT7D<CFHG? C,FHI<KJ L PGD O DQD!_SFHRSI ~ I@Rc_eDVD LkM C™˜ K RdT7C
s>? hbm @
1 @ 1 l @ 1 @ 1 •MœCD ˜ K M C RdT7
s>,C ? h
sm >,œ? u _eqDU? $`_eI@pD<FGK DUR O:D!GT DEK RSD!_Q_ :KGM £D D!R M@K s_
>,?Ph,R l K ~D!M Da_–T7RdD<C,__ K,M
s£,>Da?Xu Rœœ_dG]SIˆFHD D<L _eD I@£L CbT\P K D R‚L ]S_ DKM OYGKFHI_œKPL RD!K_V~˜žMG D!L T\FaC,I K,_ L O D!D_
=1 @ =1 @ H?:€ K R s>? hbm£D!T K _]SCT ~ IHD J L :GD e>? hl +]SIˆD L Dœ_ KM GFHI KL D!_ O D M CV˜ K RST7C
=1?>A@ C1 @ % C1 @ s>? h,u D!j _ O D<_ FHKI@LR KCbLR ~O IC,]S_&RSC:RdGIfCDQ_ _dj3D–PO RD K ~ PD!CbR5Cp:J LC L _dDa—R C,OFHIfDHC ]dD!M RdC T\O I DaL RSC D!O Fc—C_C Gj _S—C LC,OFHIfKUC M M CC™_`I F!K:LGOI@DaI@RFaO I K,CL ?D!A+_vCI _&L I@˜žFaG I@LC FaM D<I K,_a?L D!_ n T\P#D!CT K _vP K R D!_e]dG O I@CR`D M PR K~M D!T\C
C
C11 >d>dll l0 >
C1 > > 1 > @ 0l >
s>? hš ><u
:i–G_dDC LO OYD<K_dFaRd
s>,I ~ ? h:Du D M O T D K~ £:DaI@T T\K IˆD_ L D ] L KQF OKDL ]dG RcLCbRCQFaGj DaR O C O O D
D!]c_dC P M M C ˜ K!CRdT7O C–CUI :L GIfFHD IfC M T\D L ]dD`D L G L C–˜ K RST7C =1 H?
C1 >dl C1 C1 C1 >
s>,? hg C1 >dl =1 =1 l •–D M C\_dDap,G LO CUD!FaGCFaI!K,J L e>? h:g 9]SD L D!T K _`:GD
s>,? h,‰ C1 C1 >
j _dG_e]dIˆ]dG j D LOK e>? h‰ 9D LkM CUPRSIˆT\D!RSCUD!FaGCFaI!K,J L e>? h:g 9]SD L D!T K _`:GD
C1 C1 s>,? h, W W L C J M@K p:CbT\D L ]dD
C1 s>,? m:l =1 W W •–D s>,? h, j s>,? m:l &£D!T K _:GD M C\_ KM GFHI<KJ LkO D s>,? h,š &D!_
C1 >A@ W> C1 @ % W> =1 @ s>,? m5> RS€ D!C_dRSG CkM ]SCI L O]dK DaRS:PGRSD‚DH]cF CbKR L eFa>G? DamR > O ‚CUD!F _UKFL K,DL Mo£,KD L~ I@]SD D L L ]SI DOYK pRcC C#M 5_dF!GCbT7R M CbCkR P5M C\CbRc_eC D!RdO I@DCb?RE£C M@K RSD!_ O D ]SC M F K T K…M@K
—IfFHI@T K _D LNM C Iˆp5? >? m?n L D!_e]dD‚F!C_ KEM CUpR#C#J 5F!C O D s>? m> &D!_ M C I@pz>?@>!l?
u(x,t 0)
u(x,0)=f(x)
t=0
1/2f(x+ct 0 )
x
−ct 0
1/2f(x−ct 0 )
ct 0
x
I@p?)>,?ˆ><l
MT\n CNLIˆ]SI <CM C,O G?) Iˆn9D!Iˆp5R _eO?)]dCkDU>?@—F>!KlUD!LFc£— D!£KNT D LMˆKK K _`FH_–I :O D<GC _VDO ˜MCb C T\@ +O I MDH_eIfI˜CbLK R
RSFaT7D CbL CT FaM ~I!CK,JIfLCbPR R5I C,LJO FqIfD\FH]dIfIf˜FaC K CM Rd? _dT7DQC D!P T R P#K K PDa_QR CK Cp,OCERSDaD —T”O CGCFaJ Fa_
I@IˆC D :LM GC OYDUK O D Da_dM RSGD!£FcC C —M@M KC]SGR j RcCN—5
C1?CC FH>DIfM@ CC O D!P5D LO D
_ K,M CT\D L ]dD O D M £C M@K R O D M CUF K,LO IfFHI<KJ L I L IfFHIfC M kD LMˆK _9PG L ] K _ O DVI L ]SDaRc_eD<FaFaI!K,J L O D
>!š
t
(x,t)
(x,t)
x=ct+ ξ
I@p?o>>
x=−ct+ η
(η,0) x
(ξ,0)
M C,_RdD<Fq]cC_ 1 @" 1 @% NF KLNM CERSD!FH]SC @ l ]SC M F K T K _eDQ£,D
D LNM C I@p? >?@>>,?
AoC IˆM@p5Cb? T7>?@C >O > C,L_
K ]S_ CTO I@~FaDQIaD J L,GD DQL PD!Cb_eRc]dC™D D FaL C,F _ K,K L ]dF!RcCbCbRcR CFH]d
=Da1?Rr>D^J _s@ ]S I@F!~ CC__e ]SCECN]d]SRcRSC Cr<£&CbD<J R _ OYO K D _
CRd1 D<Fq>A]S@ C,_ D O L D
F KP5L D ]SLRSO CI@R D L M C]dD_
I£L C ]SM@DaK RcRS_eD!D<_ FaFH I K L D!j_ >Sl F K T >dK l CO 1 Dz>A@ D<q_d?C,› _7GRdDaD<£FqCb]cT\C_7D L F ]SK,DQL £D DaM T DK sD_ :1 GD‚j D ] MK O T7IfCbCbpR7RcCbD T7M PC R K
C1 T\>A@D O IsKBGDaO p,D C M@G K L _
PiœCb_SP#CbDRSDaM T IˆT\K P_œK CbRd— ]SKC RSL CU]SDVD MP5CbP RcM CC™LD K L ]S
=D1?L>DO@ DaR PMCCRS_`C _ O KD!M G_SFHFHRSI KI ~ L I@D<R _ D O L…D O sDH>,]c? Ch,M@š Dq? M C _ KM GFaI!K,J L e>? m> q?5€ CRSCUD<_s] K
G_SCbRSDaT K _ M C I@p?)>,?ˆ>rWY?
M•œFaC CD RSO C,
eDaFq>RS]dD!? D!mFcRr>—^J _eC ]djIfO FaC,D O _&D M C I LM CkRd]dD<D!F FqRSK]S_dCED!L FH_e1]S]dCRSGLzFaMFa C I!@K,J RS L D!FHO ]S–DBC K J M@ C _eI+ D!Iˆl _ep5]5?D C J L >C ?@P>M >\G C7L £I] !D!K :T _ GK OYI@Da_
KR L:O OGC DD O M DC1F K, LlkO _eIfFHI I<K@ J L I L =I@1?Faj I@>ACC7@ MV: D<G_sD ]#CkJM ClC _ ?
AoO DC
I
L ]d>dDal RS–PRSG DHL ]cC CFHMˆI<K,KJ L L\pOIˆ]dD G D<O _s]cT7CQC _ejIˆ]dK G5RVC:FHGI<KJD L D<@q_ ?)Cn _<M ^J /—MˆD!K Fc_ — PKkG LO ]D7K :_ GC D M C M CkO _DaKRSD!M GFc—FHI<C KJ L O D _eD<1 CFaDa R @ K P5 Cb RcOC3I@_eD<]S_ C K L _
P@ G M@L K ] K FH_GC LMoK O _`IfIFHL5D‚O :I@F!GC7D :M@K G_ DQO D I@M_e]dO GI@_eR ]d~ GI KR ~_ I _dK DQ:PGR D‚K P_SCCMp,D C LO D PRSD!LFaI@K7_SCbMˆT\Dap:D C7L ]SC\DQD!F _KK L _£,PD G M@KL Fa] KI O _`C D O L G ? L Cb]dI@T DaT\~ IHP D J LK
£D MD!T ]SIˆD!K T\_–P:GK DU:DGM D
P]cRSCbI@R TUO D!C\RVG ]dLzI@DaT\O IfP_s]SK GR D ~ L I K D M :G:GD™D £:IfC#
Ce1 C\H F >AK@ L £D lMˆK D!FH_VI O PC RSO D!Fa
I@_SPCbCT\RSCUD L I@R]SDO @D<_ O D — C_e:]SGC DU1 D!H,_ ?
•]SœCD R O M CCED M)Iˆp5O ? I@_e>]d?@G>!R l ~ jI K O pD D L sDa>Rc? mC >OYvK _eD DQL _dIˆp,GD‚D LN:GM@D D!p,Cb
=10RH —>AC,@ _s ]cC 10l\H_e? I @ G D O CU Cb— K ,RcGCEDQF KD!_`T D K M G]d I@L DaT\DsP DaKRcFH,IfFHGI KD
Dj M CbRdRSD!RSP5I Da~ ]dC I@R&O D D M M C CUL RdC J D<M I@Fq_d]SI@C _9DH† ]dD!RdM C\I K R9_ K,PM G5CbRcFH CI<K J ML C‚D!Rd_D!pI<KJ L 1 =1 l?,n L7@ qM ? C ~ C LO C‚CF K ]SC O C
P K R 1 @ nPG L[L ]M CK RS Dap,O I!K,D™J L D Mˆ]dRSC I@C PL C,p_dG C ML CR OYK _V Fa> C RS> C, Fq]SDaM C Rr^J _e_e]dIˆIf]dFaGC,C,_ FHI< K J L D<j _™ T” C,J _E:GF KD™T\I L P ]dM D!I@F!RS_dC D!O FHC ]SC L j C @: GD3l3PD LCRSPC G FaL C ] O K C _
OYKL5O D l? GD O C3F K T K DsDaRcFHIfFHI K D M F K,L £,D L FaDaRc_eD‚:GD l D L M C RdD!pI<KJ L ]dRSIfC L p,G M CR
x=ct−a
t
x=−ct+a
>rg
u=0
(x 0, (x 0−a)/c)
u=0
x=ct+a
x=−ct−a
(x 1,(a−x1 )/c)
Q
u=0
u=0
R
P
u=0
A
−a
x1
c+
Iˆp5? ><W
c−
a
u=0
u=0
x0
x
,C F ]SK R ]cK C PO RCEKI~L M ˜žDaDaT7RSI CK RdO T\D`D PL R ]SK D–P5P CbKp,RC,FHM I<C,KJ_LURdOD<FqD ]SKC,L_ O 1 C_D L @ G L CQ FH1 GD! R O C– D<@%_ FHG5 C ? LOYK G LK‚O D M@K _ Da†:]SRdD!T K _
D<I L _s]d]#DaC J RSD! _S CEK D!D _eL]dG OG IfL CbCBR FaP5GCbC RSLD O]SI?v]cCn ]dLI@£CbD!T\_e]dD D L ]SFaDVC,_ D K M P_SRC K ~ FHDaD!T _ K K ?Y_n :M GPD R K,M@K~_M DaT7O I@CU_e]dD!G_R ~ RSID!K _ _KM £_eD DaR RdDa‘DeC L{j LK _
>d
l (1 > @ 0l >
0l >A@ l >D@"”lUFaGDaR O C eCUD L † Vl >
C1?>Sl C1 > =1 l\PCbRcC 1 H 1 >
s>,? mW =1?>Sl l $`n D<_ PK,RSM £,I@TUDaRSD!DaR T GK _vp,CCbR — K RcC _d
eDa>RS? £m:D!W T &G_Ÿ_SC ,L5GOYD`K PD CbM RcCVP M PC GLK ] =1?_ >AC @ C ,GD!D
Rd_dD<D
Fc—£C D
D D Lk1 M C I@]dpI@Da?oT\>?@P >!h_ ? P#D!:GD _
D]cCbM L RDaO ˜žD!C7Fq] G K–L O FHD I@M DaM C`Rd] PK Cb]SRSIˆD D!KO™T\~ O P D K ~ DvD L _dDaM@KR+DaI Lp,CCbR–PRSC D!FaM I@CC ~PM CbD RS D Lj OkCœK j :GRSD9DHM ‘5D DM:eO O CbI@Rc_e_d]dDG?5R ~€ I K KO Rœp,D<D _sL v] D!K jRSC OYK D lNL K C1 H M C (1O DaRSD!LFcK —1 C
M@MO KC3D _ PO RdI@D< _e_e]dD G
žLG5R FH_d~ IfC I C KL_&OYO K:D GM
sDœCN>,?£m5PIf>CbC#RSeqDC ? OL ——O C,CDaFH_eT”]SIfCCNCJ M_ :C‚GPD\C DRdMD O O IfC _s
C1]SMˆGKE R M~ C I Rd@K pK‚:D GLO D7]dD RS_dDM CC _&M D FaOCRSjD C,10Fq]dH D!RrM@?5^J D!_en ]dp,LkIfCNFaC,M C3C\_ DT\Mˆ I@Ck_dT7LC K MCU]d_d˜ I@IˆK DaD RST\L T\]SP D C LK @ 1 H ?#n L M C RSDapI<KJ L D L ]dRSD j j ˜žGD!RSC O D MˆK _ ]SRdI<C J L p,G M@K _ 1 H8> 1 > > > D:LG ]SD!RdRdD D! T M C K
=1K_`L :O GCQD@ HI L ?,FH€ I OCbRcD l\C
L ]dD FaDL C Mj71FaG M C‚M CRSR lUDHD‘] M DK e£T\C C O M@CK C T R K O£_ DD!T K D _vL ,GD > C1 > H ` C :
=M@GK710D H M D<9Cb_ RSC p M CQK7MˆKERdO D!M DCpRdI< pKJ K‚L7O?O DnD LzI L M]dC\D!RSj T\C,FFaIfKFH_eTT7I<KJ LKC
˜C K RdMˆKNT7MC–Cb£RSpDaKT KO _D : GD?)P n KYOM Da£T C MˆK K _ R _SO CD ]SI@_eM C˜C_FaKDaRM GM FaCVI!K,FJ LKL˜žO GI@D!FaRSI!CK,J LUO OD DvM C,˜žR _VKRdL D!]dpD!IRSKC L D<_e_I] O K D<T7_dFaCbRdT Iˆ]SC,K __ M@K ] K T\ C T K _
F K T K FHD!R K‚j :GD O C‚F K T K DsD!RSFaI@FaI K D M F KL £D L FHD!RS_dD bP#D L _dC LOYK D L D M PR K FaD!_ K™O D RSDH‘Da†YI!K,J L >!‰
u=(−1/2 )f(x−ct)
u=0 t=t
2
S
R
u=(1/2){f(x+ct)−
f(ct−x)}
u=0
t=t 1
u=(1/2)f(x−ct)
(1/2)f(ξ)=(1/2)f(x+ct)
W
f=0
P
I@p? >?@>!h
f=0 ξ
x0
x1
:•–GCD
T D!K _d_DQCbD!— _K D RSM C FaMCC™_ K ˜bK ?J RST™G M CE,GDVD<_eP#DaRcCbT K _&_dD!CE_ K,M GFaI!K,J LO D L GD<_s]SR K PR K,~M DaT7C?Y€ CbRcC =1?>A@ ]dO D D L L Da]ST R K™K O_ D M C™RdD!pI<KJ L CF K ]cC O C
P K R > > C1 > @ % > > =:1 DH†FaDa@ PY ] K P K R9D M ]SRdI<C J L p,G M@K > > W
W
:_dCbG]dDIf_s˜D<C,_ FHDM C M C_ _`K,M F G5K,FHLI<KO J L IfFHI D KL L D<C_vGI _eL D IfL FHFHIfC IfCM D!_!O ? DNP5CbRSD O ?Ÿ•œD<_ O D M GD!p K l ˜žGDaRcC O DND!_SC RdD!pI<KJ L[j
D!Rdn D!_ L pOI<DKI@J M_L L ]S]dRd˜žIGI<LC JD!L]SRSC pC G O OM@DNK D FHDaR> >K _>K,J > MˆK MD C7Lj ]d_ RSC,KD FM GK Fa]cI!C K,JO L> CkD!P _ K M RC\j_dGO T7D jC M C O D K,LM C O M CkKC L5RS_ O DHKCU‘M GDI eFHL C I<FaKOJ I L OC D D!L _ ]dD M C K, @L
C1O C…1 Rdq Da?@ ‘ n De
4LBC,OGM CCD
@ 1 q? $`D<_eGTUI@D L5OYK
W> =1 @ % W> C1 @ W> @ 1 s>? m,h MOY C KI L L5 C O I@MpD T\?)M@D >,K L ?ˆ_`><]ShD˜C,? LFq] K K ]SRSCD!T _ K O _œD :M GC DU_eGG T\L C3K~ _ K,DaRSL £rC_K,OYJ MˆK K3R–O D I@L _e]dGI L L ] K P_ G O L DE] K FaDa# R K F D K L T M KC_œD RdM D!:pGI KD\L _eD<DE_`£T7DUCbDRcLFaC MO C C_` I@D pL ?
M>C ?@>!Ph Rd)I@T\PRSDaIˆRcT\C7DaPR KCRe£,]SDD O PD C_SM CbC R KM L5C O KC7LRSO DHC‘DDaeT\C O I]SC I O j CzFHDG5L C L1 OYH K 1@ @ 1 £GD M £,O D™D<_eC PM GRdD!JD!_EP K C _M K ]S? IˆD! T\GP D KO C @ F K T @ K
>!
D€ sKYDaRcO FHD!IfT FHI KK _ D F M K FaTUC M PFaRG K,M C~ RCbR @ O I@j RSD!@ Fq ]cCbD T\L D ]LDaJ ]SRSDTU,I LGK D _ sO >,D? m:10h H D!j _91 _ K,M ? GFaI!K,J L7O D s>,? mW ŸF KL\M C,_ F K,LO IfFHI KL D<_
IO L D IfFHMˆIfK C _`M D!]d_ RSD!j‚_ O ]D9D!J Rd˜žRT\KIL L]SK Da_RcC j D!G_dP#L D!C7FHI T75F!C C L O D!C,RSC\_a? p, R5OC J D!5T FaC C,J _O DEM C F KO L I@_S_sFH]SGRdG_dI<I@KR J L M C C L _ ]SKDaM GRSI FHK I<RKJ LLK _d_ I+O _dD™CœDF MK,_eLI@K p FHL D I 5 F!
=C 1 OYHK ?
•–:GD D…~ Da_ T KLK _ LRdDaK ‘]SCDeRQC O,GC_\D MD CL _QM F!C CbRc˜žCR KFq]SL Da]SRrDa^J Rc_sC]SI@ F! C_j M@M D!C£_3C F!L CbRc_eCI@DaFHT\]dDaPRrRS^J _sD\]SI@G F!LC_E£RdC DaMˆK‘R
DeFC KO L C_e_ ]SC MˆL Da]d£D C L O D G L —5£CC _eM@]SK C R
FœK— L K _eRc]SC™C L RS]SD!D _ KO M D£D!T P5K D!_ R sK7>O? m:D‚W v_dIˆ_ep I LL K RdFD<K,FHGL ]SRSRSRdI@CR`RdI C K M C C M £CIˆp5M@K?)R >?@:>!GhD ?“YMˆ CDa~£C DaLNT KM C_`_:I GL DFaI O D L ]dD!_!?
C1?>D@ C1 @ =1 @ s>,? m,m j“G5P_sR ]SK I]SFHG D jO D DaLT OYK K _
sF >,K ? Tm,m K &D D L L s
s>,>,? h? mg W O KDa~ ]d]dDaDRSLT\DaI T L C K L_ OYK j G_SC L5OYK
M C,_ F KL5O I@FaI K,L D!_ O D˜žR KL ]SDaRcC?
=1?>Sl C1 C1 C1 >A1 ”l >
0l >A@ @ @ l >D@"”l >
s>,? mu =1?>dl C1 C1 {0l >A1 ”l A+CEPRdI@T\DaRcC j ]dDaRcFHD!RSCED!FaGCFaI K,L D!_ e>? m:u LK _ O C L
>
s>,? m:š W >! l A+CU_dDap,G LO CED!FaGCFaI!K,J LNO DH]dD!RdT\I L C\C PCbRcCU£C M@K RSD!_ L Dap:C]SIˆ£ K _ j CU:GD
> 0l >
>
0l >
> l s>,? mYg •–D s>,? m:š e>? mg j s>? mm 9]dD L DaT K _`:GD M C7_ K,M GFaI!K,J L D<_
C1 >A@ W> C1 @ C1 @ W> C1 @ C 1 @ @ 1 > > _d_dII 11 @@ ll >
•–•–D!D _ OM C D O M GIf_dDaFap GK\_dI!M K,C\J L _ K,C M L G]dFaD!I!RdK,J I L K R™F K F IKL L FHF I MO GDQIˆT F K,K Lk_EM:C\G:D GD D L KD~ M ]SGP£R IˆK,T ~MK Da_T7pC D K O TD3DHJ RS]SDHRd‘5IfFaDHC†YTUI!K,J D L L ]dDM C ? _ KM GFHI<KJ L D<_
PFCK—CL RdK D_eRc]SOC…C L FoD!J]SK J_eDQT ]SC C K _dMˆDUKD!_eRdM]dCbDaDkRS‘p PDK\eR C K O FajzD D!_ MM KCCN_œL_ FaK,K CbM _\G5RcCFHP#I<FHKDaJ]dRSLD!TUR<^FJ Iˆ_eK]d]dDL IfFa]dCFI L K_ GL J j C3_e]dFaRSIˆGp,GCGI@RL5C OYM M C,K P#_7DaG R _L K K,C M FGF!K,FaCbL I RcK,CL_dFHIˆD!p ]d_\LDaRrKP5^J _sCbF ]SRcKI@C…F!L C‚]dPRcD R CbLKRSFH~I KGM D!?D T\L ]dC,D!RcRd_UC\D!TT G L KC,J C __
FœK — T\K PRcC M I@F!O C I@OY_SKFHG_Y]dI@F T K TK _ K F FaK,GL C L5O OYDHK]SC —Mˆ C Dzj D RSM DH‘PDaR K,†~I<KJM LDaT7PC CbRcOC DzOYKRSDH_`‘P5DaCb†RSI<KD J OL”D<_aO ? D K,LO C_7FaGC L5OYKBM CFaGDaR O C
D<_s]#C J eCED L 1 ?n M PR K~M DaT7CUD!_RSD!_ KM £D!R
Wbl
;Ÿ=[ 0#1 ‹ 10
> 1 >
C1 >dl C1 > C1 l 1 >
C1 >dl l
>D@ >D@ l0>A@"”l T\Pn K L D R L P]dM C\CDUM CFaD G~L DaRSRC,M C3O _ C˜ O K?D RSA+~ T7C\D!CT _ K,K M _`G
C1 FaD qI!L K,?)J F L n&KL_d_ D
]SORSDHCD\†R`CbD<D _eT\MP#ITDaL RcCUKCb£RcD _eI@LkTUDEMI@,CD GL DE] K I@D pM O? TD‚>,?ˆGK >!£LmI@C3? TUFHI@DGL D!]R KO C_dD! C eC O DUO D!£_dCP IˆM £&C D <J L C O O CUDEI PL GI@FaM I@_ C K M _
u=−(1/2) { f(η) +f(ξ) }
P3
u=−(1/2)f( ξ )
u=−(1/2)f( η)
u=(1/2)f( ξ)
u=(1/2)f( η)
η
x=−l
ξ
x=l
I@p? >?@>am
MAoCUC‚RS_DaKp,M I!GK,J FaL I!K,J]dL RSIfCD!L_ p,O G I@_eM C]dI R`L ]S_ CK T O ~D–RSFHD!D!C R O K C™_5K£,J M@DaK Rd]dD IfL7FaC M M C,T\_ D ~ L C ]SLDœO ]SC,D _L D!M I@T T\K I]c_ C/ O C,_9P K R M C,_9F!CbRcCFq]SDaRr^J _s]SI@F!C_!?rn L
=1?>A@ W> =1 @ W> C1 @ &
Rd€ D!CbpRcI<CKJ L PFHG GL C ] KO _RSI@Fa# G M C M OCkCV_ K]dD M GL FHDaI<T KJ L K _ D!M _
C‚D I ML ]d£D!C RSM@C,K FaR FaI!O K,J D L\O D _ KM C ~ RSK,D LO C
I L :FHGI D\O D D!L _ ]SD j\ O D M C C1KL O C
@ RdHDa?o‘n DeL C O M CC
x=0
WY>
: G D O D D!L _SFHD RSM I ~ FaC,IˆT _ K3K _–O DD L M C M C I@ pIˆ?Ÿp5?Ÿ>?@>>a?@m >! h?€ CbRcC\P G L ] qK ? _ n # L M MC C3RS_ DaKp,M I!GK,J FHL…I<KJ OYL K,LD!_VO D™D M D<£_s]#C C JM@K # R
C #]SM@K3D L M D!CbT RSp K K_ O M CD
II L!:]dDaGRcI@CDaRF!OFHI<CKJ ?bLNn O LD #M PG M _ KD<_ RSMDHCQ‘D_deGC T7OYKC OP D K R M@K M _ŸCU PPG CbM RS_ DK Ok_ :O GD!D`RdD<£FcIf—C#C eC jNL O C D‚M@KQC:M CGRdD J p M KQRSDHO ‘D De C OYK j P K R M jECUO PD CbRS D O
jF K L ?n M PG M _ KOYK:L5GO D D M@ D!
p,# C‚P K R F KL
]S RdI ~ G j D H?o n9
_e ]SCkj F K,D LM _e:]dGRSGD FaMˆFaDaI!K,p:J LC™PO KDa]dR DaRST\ I L F KC3L D ]dM RSI £~ C G M@jK DR
O D GD O D CUL F ]K KYT O K C_ DsM D!CRS_FaRSI@FaDaIp,K I K,F L K,D!L _!]d? I L G5CbR D M PR K FHD O IˆT\I@D L ] K\j D L F K,L ]dRcCbRC M pG LK _v£rC MˆK RdD<_FHGC LOYK
FP! CbC
=T\1RSCE D LT” ]dCD–J _ F 1 KO LDa]S CC jMˆ G D! _O C j O D DsDaM T\W C P ? M@I@K p_Cb?5qT ?>?@~ >aIHm™D J L F K :I L GFHD I O O C3D–£F KD!RdL7I 5M C‚FaC_ RœKM_dGI FHM I<C KJ L _ KC M GL FHC I<M K^JJ ]dLzIfFaK,C~ ? ]d
D L DaI R O C pDaDI L:K ~ T DaDaRSJ ]dpRSD!I R
]SR K DsD!RSFaI@FaI K I L ]SDaRSD!_SC L ]dDVD!_ D M)O DQ—C,FHD!R`£DaR`:GD M C_`_ KM GFHI KL D!_ O D M PR K,~M DaT7C
> 1 > @ 0l >
C1 >dl C1 = 1 1 11””ll >>
C1 >dl l >
s>,? m:‰ _M CK_&L _ PK,CM GRSCFaI K,1 L ”D!_9l P:Cb_ RcK,C
M G5D FHM I PKLR KD<~_ M OD!T\D eC >O? m:DœW RSHDH?,‘n&Da_s†Y] I!KQK,J LLK? _ OGCQD O G C‚L FC™K T7T C K L DD!sRSD!CQRSFaC I@MFa]SI DaK R LDH†C]SCbIˆT\£C I L O CbDVR F M C™KL DH_s†]S]dRdD GL I@R
_d€ I!K,CJ RSLNC–O F D K M T\TP DHMJ DH] KY]cCbOYR K L FHGGD!C _eL]dRcOYC K O _eIfDV_dFa]SGIˆD _eLI<KJD L Lz_ OYKK ~ _vRSD ˜žR M K,CVL D!]SFaDaGRcCC_!Fa?I!K,J LEO D K,LO C
F K,L _eI O D!RSCT K _oD M PR K~M DaT7C
C
C1 1 >d>dl l > =l 1 1 > & > @ l >
s>,? m: G_SFaCT K _vG L C\_ K,M G5FHI<KJ LkO D M CE˜ K RdT7C
C1?>D@ C1 @ =1 @ s>,? ul jOYK ]SRS
eCb>]S?XCubT l &K D_ L O D e>O ? m,DH]S Da9RST\]SD IL L D!CT R K _ j/ {G5_dC LOYKVM C,_ F K,LO IfFHI KL D<_+I L IfFHIfC M D!_ D L e>? m, q?“G_e]dIˆ]dG j D L C1 >dl C1 =1 0l >
s>,? u> =1?>Sl C1 C1 =1 &
•–D s>,? u> 9£DaT K _`,GD
>
> =1 W C1 W H s>,? u,W W > H >
W W
j3O D e>?XuW K,~ ]dD L DaT K _
C1 >A@ =
1 @ %
:i GD C…LI K _ ]SDaO RSCPRdM DaC\]SC,_ K,FHI<M G5J FHI<KGYJ J Lk]SI O D D s
>
s? m,>,? uvh F QK _dT D K
L L
KL M`O
C1 @ W > s>?Xubh KP~ G]SIˆD D O L DQD £O D!D RdI 5L F!GCbDaRc£ _eK D–DaP †YK CR T\_eGI L _eC]dIˆL]dOYG5KFHI<KMJ CLzO I@I@RdpD<?Fq]S>C?@><? u?+A+C
P=(x,t)
P2
P1
x=ct+ξ
x=−ct+η
I@p? >?@><u
D!C FaG]dRcCCrFa£9I!K,D!JJ L_ O sD>,? u
=h1? >D@ L K9_ £,DaO R IfFHO DzKJ :LGO DNDzPI L Cb]dRcD!C RS_dD D!L FHF]SCKL”L ]dRcM CCbR RdD<Fq
=]c1?C >D@ @ ~ C_el ]S&C…Dz]dRcI CL !]dD!CpR RcMCbCR7_\D F!L CbRcD CM Fq]SI DaL Rr]d^JDa_sRS]S£I@F!C CM@K _
D!FO K_ D TUM ]d
CPRS1 RdI!C>AD J @ LL HOp? GI OYMˆKD!K T DF LKK]S_L Rd:D £9GDaMJ DCRd]d_ IfFHOY
CDQ1 K _9>AD @ L I L O]S# DaD!RcP5jN_eD D<LLFaFHOK I DVK_eLI@_ D K,D!L M_C]S DTUM C™MˆD K FL _`K]dDL5£CO O M@I@DK FaRSI!M@K,D!KJ L_ _ O£I L CD I@MˆFaKM C3I@RdC D<MF _ KI L5?,L O nI@FaI@MFaI@C I!£K,MJ C D<L M@_ K I OR L D I@O FaD I@C M DMCQL7˜žIGLM D!C ]SRSDa~C p,CRSO _dC DD M
D!› _SGCUD!Rd£D!CbpT\I<KJD L L ? ]dD M C™PR K PIˆD O C OO DQ:GD M@K _ O If_e]dGR ~ I K _vD L _eD
PR K PCp,C L F K,L £D MˆK FaI O C O L I]cC
_eO D–GD T71 C L I @D!_e]SC?:j n&_sC ] K M CE_dDI !O:DG~ I@DaD
R O C‚C :OGDD–_dI @ =1 F K l‚T PK CRSPC GD 1 O DQ £Da Rc_dD D L ] O KD L Fa
e>D!_?Xubh j3l™O DC MM CC O D!Iˆp5RdD<?)Fc>!—hC ?
I L C M T\D L ]SD M C\_ KM GFHI<KJ LkO D s>,? h vD!_e ]5C J O C O CUP K R M C\_dGT7C O D s>? m> j s>,? uh &D LkM C™˜ K RdT7C
C1?>D@ W> C1 @ % W> =1 @ % W > s>?Xum Ao:GC
D™˜bK DJ RdM TE£GC M@M KC R s>?X
Cu1?m >D @ _dD O OD!P5D ~ D LD–O C™D\• _ K, M CM T\CbT D L~ ]dD!D Re]<O ?,D n M@L K _D M O P CM ] C K L_–K I L C1 IfFH>AIf@ C M D!M CQ_–DD<L…FHGM C,C FHI<~ KJ CL _dD s>,O ? ubD mM ]SRdLI<KC J _L pO G I@FaM@KD
˜I LK ]SRSDaT7RcC_eD<OYFqK ]SC P L K R–C D M CEM PRSGD!FHL ]S] C K @ =1?{>D@ l ? A+M C CURdRdD<D!Fqp]SI<CEKJ L@ O D l M CUjNRdD<M C,Fq]c_œC F!Cb@ Rc CFql™]SDaD RrL^J _s]S]SRdI@GD F!C1 _C\]d@RcCrj £9D!1J _ O D @v
C1 _eD >A@ M@–C,T7GCD
OMˆYK K _ T\O I CbL ] I K K‚_ O I DL I@O FaD!I@C P5M DD<L_ O ˜žGD LD!RSFHC IfC O O D D M CQ
C1 RS>ADa@ pHI<?:KJ n&L _s1 ] K _eD @ O D ~ D–CQ,1G D @q
=?,1?•–>D@D eL>K ?Xu_dm D ŸC £M D!]dTDaRcKCQ_Ÿ_d]SIC_eT D–~FaCbIaD TJ L ~ ,IfCGL D
G L F!CbT ~ I K D L M C™F KLO IfFHI<KJ L I L IfFHIfC M D L G L PG L ] K _5KJ M@K PGD O DœI L ‘GIˆRD L3M CE_ K,M GFaI!K,J L D L
g=0
(x−ct,0)
g=0
(x+ct,0)
x
bW h
]SPn RSG L CrL £&D!] D<J_eK _ ]S_ C™O D_dD!\F!O FHD ? I<M KJ FL K,—LD!K T :K G_ DED ]dL I@FD K,L LDE]dPRcC K OYR–K £&G D!J ReL ]SC‚I@Fa_ D!K_ M GC FHI< KJ L j C FHM G Pj,R KK_~M M D!C T\OYK C‚_–P_ CbK,RcL C MM C,CQ_œD!F!FaCbGRcCCFaFqI!]SK,J DaL Rr^JO _sD]SI@F!K,CL_`O CC
Dp:LCFHO I<KIˆJ £,L DaRcO _dD C,_`PG_eIˆM ]d_ G5K C_QFHCI KLM@KzD!_!M ?CRdAop C KN_ O KD7M GGFaI!L K,J CzL FHD GL DaF R K,O L C ]dRcj C O _dCUGRSRdDHDa‘‘DDHe†YC I<KL J L GD!P _e]dK RcR‚C\PDHCb†YRSP#D DaO RSD!Iˆ_!D ?oL FH“IfI C\L D D!L T P~ R CK RdP5p C#K PG J LCRSI@F!CVCF _K P T\K P _dIM ~Da]SM D!C_!R ? L GD!_e]dRcC O I@_SFHG_dI<KJ L7O D ~ DaT K _ PR K~ CRŸ:GD M C_ _ KM GFaI K,L D!_ K,~ ]dD L I O C_ _ KLUM C,_
P]Sn D CL L Rep:]SFHI@C GFaL7GC LM O Cb] D!RSK _SD!Cb_ C RSOR M KCD M@M ˆG K ]SLD_ KI@O FaRSDI DaO T7 C OCC jD<O M@K_sD]cR<Cb?vT “CbI KGL _œFcDa— RST j C ~ KCbLK RS£rCp C~K MM D!DaL£YT\K _ D_ L I I ]SL D‚O]dD!I@F _SRdKFHD<GYL _dC
£,]SI D OPL KR FaK_–I ~OYD CbK LzR_5M@M KCQF _œKG L…F!L CIf~ _FHKCI O _d_`D‚C D O LD L P5:CbMˆGRcK DC _œO F!CCj ]_ KK __
Ij3L IfO FHD
IfC ˜žM R D!K,_`L T”]SDaCRcJ _œC?Ypn9D L _e]dDaD
RcC D<M _D!_D M)CK,_<~ ^J sF DHK ] TK\KO D ]SCbM C\T _d~ IˆIHp,D J GL IˆD PL C]dRSDQC\_ePD<FaR FaKI!~K,J M L D!T\? C,_`T\I†] K _ O DE£C M@K RSD!_I L I@FaI@C M D<_
% $ !! ' ' ' % #$' #% ! # $ ) + % ! # " $&' !
K,L _eI O D!RdD!T K _vD M PR K~M DaT7C
>
1 > @ l0>
C1 >dl C 1 > C1?>Sl =1 > (1 s>,? u,u >A@ >A@ l >
@ l TA+€ C™K K R _ _ KD!P M_eKG] RKFHI<5G KJ PLL3CC‚ORS_C3D KM,
eG>GFa?XDuI!K,uJ M L\C3˜žO F GDK,D
L sF_e>K]d?XRSuL Gu _sFa]SFaRdG GI!K,LJI LO C
C™O˜žG DC LL3O FHC3M I<CKJ D _vL L _dD!M FaC F FaKI K,L I@L pOYD!?ŸK_v>_ C ?@>aOL m7D!]SDaRd£I@RS£CI KC M p:RdO D<C C,_a _ ?:O ,•œD GD<~ Dœ_ DaO _dT DCbK]dM If_VG_s˜Da_dCp Gp,K P C K,DL LL e]SDa>DR
L?Xu:O u GDHD ?
]cM GC DaL p ] KK _d DEF PK GT D OK DU CbT\]SIˆD P L M I@D CR–OYK D _M F O KDaL RSI@Fa£rDaC PYO ] CK3_O D\M@K _ K,,M GG5D FHI<_eKJ GL P P#KL5DaR O K RdD!D<T _s] K K3_‚LCkKPLCK Re_–]SIˆIR L ]SO DaD RSD!Cb_S— C7K PRSCK ?R–
D •–M D!T _ O K D T\€ CD RSL C] K PqR? K~ CbR M C[G L I@FaI O C O O D e>?Xuu GY]dI M I <CbRSDaT K _D M PRSI L FaIˆPI K”O D M C F KL _eD!Rd£CFaI!K,J L{O D
DFaLI@C DaM RSD<p5_v^J CF K bT:GK D–£D!D!_9RdD!G T L K Cb_RSpC GM@TUK7D M LCb]RSKp KEpDO L DQDaD!RcC_e]SM CCb_ P LM IfK Fa]SC C,~_aM ?DœC‚T™GFc—C,_ D<FHGC,FHI KL D<_ K R O I L CbRSI@C,_ j PCbR
€ CRSC™T K ]dI@£CbR M CEPRdGD ~ C\F K,L _eI O D!RdD!T K _ M CUD!FaGCFaI!K,J LNO D M C,_ K _SFHI M C,FHI KL D<_
=@ =@ 0l >
l > l >
s>,? uš P:_SCGR ]SKDzI@~ _e˜]SCbCIˆR D FaM L C
D D ] K P T7K RNCbT _ K,K M _ GFaI!K, J L = @ OYKL5F OK _D @ j _dI L _ @qK? Lk OYGK Da_vRSDa_ TKM KG_7FaI K,PL R K,D!_~ CbO R D M sC>,? GušL IfFH:I D O L C ] O K?vL Fa€ D!C_ RSC
l l {0l >
s>,? u:g {l >
jj CN::GGDaRSD DaT K l _ P R K~ C
4R–l :G D l LK l_ ? O IfFH^J _eD IfFa:CGTUD D ML Ck]dD™D L :D!GRdD p#^J C ] K ]Sl C D<M&_ O MD CM GT J L K If£FaCIˆT\_ I@KD M L G] FHK I<KJ D<L _‚O FHDD!R eK >?)?Xu,€ g K R #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Wm
F K, L _el\D!Rd_d£I C,@FHI<KJ L7lO ? DœD L DaRSp#^J C…D<J _s]cC O D ~ D
_eD!pGI@R&_dIˆD LOYK FaDaR K PCRSC
] KYOYK D M ]SIˆD!TUP K O DVC:Go^J ,GD
G L — C\K RS_ C KM O GCFHTI<KJ LkK _vO G D L sCU>,DH? u:†Yg P&RSD!D!_d_ I!K,J L C L C M ^J ]SI@F!C‚P> CRSCED M CRdp,> GT\D L ] K C L ]dD!RdI K R<?AoCUD L D!Rdp#^J C C@ O D
=@ W C@ W =@ &
s>,Da? RSu:Dag T q?K n _`L :GDaD ˜žD!FH] K =@ l M@K FHGC M)LK _
C@ O I@ FaD™: GD M C\D L D! Rdp#l^J CU _dD‚F KL _eD!Rd£C\_eI 7D!_ _ KM GFaI!
sK,J >Lk?XubO ‰ D •œD e>?Xub‰ ]SD L D!T K _`:GD
>W W> =@ l W> l % W> l l
s>?Xub On D †]dOYD K,LLO O D!DQRdD!_eT DQK _d_9Iˆp,CG— DQK :RcC
GD D M Cb RSpGlUT\PDCLRSC] K @C L ]Sl\DaRS:I K GR9DQC D!_M C‚D MD<FHRSGD!_dC,G FHMI<]cKJ C L OYOK\D O KD<L_eD<O C COY?:K € ? CRSC
D<_s] K™L D<FHD<_eIˆ]SC T€ŸD K L __dDDaLT F K K_ L ]SM CRSCFaR GM DaCUR O D LC D!O Rdp#Iˆ£^J C™I O FHI O I L C7DaJ ]dD IfL FaC ]SRSj CT P K K ]S_ D LF K FaTI@C MoK O _eDD‚M £,C7D‚FaD GLzDaR M OC C ? I@p?o>,?ˆ><š j RSD!F K R O DaT K _`,GD
•–9D D!_ M C M CU £I@pD ?M@K >,FH?ˆI >!O mUC ON£,DaO T D K M _C7:FHGGD D!R M OCUCED LD LkD!RdMp#C ^J CEO FHIˆRSI LD!F!DaJ FH]dI<IfKFaJ CEL D£L D!ReD]SMI@F!]SC RSM C? T K 1D> 1 D!_e]5C J O C O CUP K R
#
#
#
#
#
#
#
#
#
$#
ut (x i,t)
u(x,t)
x=−l
Tuxx (x i,t)
x=0
xi
xi +h
x=l
I@p? >?@>!š
W> ; C1?>D@ j M C\D L D!Rdp#^J CEFHI L DaJ ]dIfFaC™] K ]cC MoO D M C7FHGDaR O C™D<_s]#C J O C O CUP K R
W> ; >A@ s>? šl Wu
A+C D DaRSp5J C7P ]dD FHIfC :GD\C :GI@DaRSD CNFHGD!R CC _dG I@R D C3P _dIfFHI<J lC ]dI@DaT\P
@ {l L C M ^CEP K K _eIfFHLI<KJ L M =1?>D@ C O M ]dI@DaT\P KM @ YD!_D O M ]SRSC M ~ C# ~ K RSD!O C M I !M C OK K PCRSKCEL £D L FHD!RC M M C™˜žGDaR !KC
O DV]SD L _dI!K,J L ?€ CRSC M C\FHGDaR O CUD L ]dRSDG1 j 1 D!_e]dD
]SRSC ~ C# K D!_
s>,? š> H C1 > =1 > I:L G]dD Dap,D!RS_C LM OYCK I L_ K,]dDa~ p,RSRSDœC ] MVKOO DC MM C7CFHP GK Da]SR D O L CFa?I@Cn&? _s] •œK D D<_ s/ >,? š> K~ ]SD L D!T K _ M C D L DaRSp5^J CBP K ]dD L FHIfC M ] K ]SC M
s>,? š:W C1 > C1 > 1 H
€—C,CFHRSD!C T L K G_D!C_e]d_<R J K _\PR K PœK J _dI] K _\D!_F K, L £,D L I@D L ]SDNRSDaD<_dFaRdI ~ I@R s>,? š:W UD M I@TUI L C LOYK C ?&n9_e] KBM@K
^
% =
?
1
>
C
?
1
>
1
1 H H
s>,? š,h VW C
1?> 1 W C1 >A@ 1
H Cj:7GDQ,_dGD
D F _dDa >DRS@£ DV PCRSC\
>D_ @ G FHI C
1 D<_>dl D 
s>,l? u,?5u •œ&D _eD<
sC>? šh j e>? šl D!_dP5D!RSCT K _`:GD M C FaC L ]dI O C O
KL
KM KL O
C@ ; W> =1?>A@ 1 W =1?>D@ 1 >,? šm s
€_ KCM RSGCUFHI PKRL KD!~ _ CO R D M C7
s>,G ? u,L u IfFH I jO C PO R KP~ R CbK RSFaDaD T O D! K T _vK:_œGD F K T K lD L?€ s
Cb>,Rc? u:C‚g D< _s ]M@K CT7£DaC RSLDaTOYK K _&:M CGD O Iˆ˜žDaRSD L FaI@C O D YO K _
#
=@ ;W
$#
W
_SC]SI@_e˜CFaD =@ l q?n9_e] K _dD K~ ]SIˆD L DQFaC M FaG M C LOYK
C@ ;
# #
1 # 1 1
#
;
#
;
#
# # 1
s>,? š:u 1
## # # #
1 C@ l
#
# s>,? š,š S]j D C7L ,D!TGD K _`:
G D >D@ >A@ ; l ?5•–D
e>? šš _eD™ _dI@pGD™:GD 4l j F K T K l l s
>,? šg W 1 W 1 l0> @ l #
#
#
#
bW š
•œn9_eD ] KN
e>L? š:K g _Vœp:F CbK,RcL C FL M ]dGI !I@T CK ,_
GD,GD F K,L _e]SC L ]SD lj PCbF RcK C7T ] K KO C_ M C,l_ D M L ^J L MD<C C_–M ^J LPD<CbC3RcC I M L D MIfFHCIf_–C MC ]dD L DaT K 1 _Q,G D ?
›_eD K J Mˆ]dD!DalU_d£D\PCC,C3RSGC DEFaC D<~5_s K ]cC3D LP1 RSGGLD ~C > C RSDaO@ p,DU”I!K,J G L lL ? I@CFa F I KO G]SC DVC O OD<_CG5?#_dD C3•–M RSC˜žD!GRd_dDaD!G RdT M]d]SD!K C T\_œOYDKUCL — O ]dK D\D!Rc_dC7DD!MC G O—L K D!C ?Fc— PKNRSGO D D7~ C ,GO DEDUD G M L T IfFHKI O £C I@T\O IˆPD LCb]RcKC
G€ L CbCURcC`RSPDapR KI<KJ~ LNCR+LD<K _s]SCD&F K RS]cD!C_dGO MC]S?C OYK RSD!F K R O DaT K _:GD M Cœ˜bK J RST™G M C O Dv• M CbT ~ DaRd] s>,? ubm LK _+T™GD<_
]dD RcLkC`M :CEGRSD D!MFHC`]SC _ K
M G3FaI!? K,J L D LQM CRdD!pI<KJ L O D M C I@p?>?@>rg&_K,J MˆK O DaP#D LO D O D M@K _ O Cb] K _I L IfFHIfC M D!_
#
#
#
#
#
V=(x,t)
A’
B’
x= α +t
x= β −t
A=( α ,0)
x=( β− α)/2
B=( β ,0)
I@p? >?@>rg
]d€_ D!K,K RdL R`T\FaD<I DaL_sR]SC KD‚O DTCEL KD L]d
I@£!K D<O _eD P#~ DaP DaRcKR#CbC\R JT M@_eKK D!__ R O:FHCbGDaR]D™KK FH_vD G5IL CL MIf] ,FHKYIfGCO IˆMD!C D!Rœ_v_ D K,
L M G5 FH? I< KJ Lz?n O LD P
e>C?XReu]Su I@Fa G ,M CbGR D :O _dD‚I G MˆK L _ ^J £ O K CFa] CK TU_&DI L L If]dFHD IfC O M D!D _
— K RSC–PR K~ CRdD!T K _+D!_e]dD`RSD!_dG M ]cC OYK ?„ CJ _ŸPRSD!FaI@_SCbT\D L ]SD / _dGP K,L p,CT K _ =1?>D@ G L C
_ K,M G5FHI<KJ L
OD
>
l E>
DO L D ] MK,CUL FH_ KD<_M GFaI!K, J L l D LD LM CURd
D<Fq3]SC ? € Cb RcC\ PF K R K,T ~ K CbRœ˜žG D L M FHRdI<D<KJ _eLzG MO ]SDC M OY]dK I@DaF T\KLP _dK I ?O n9DaRS_eDa] T K K D<_ _ O D L GD!£ K M C D L DaRSp5^J C
>
C@ W W> 1?> l @ W n9_ O D7D!_dP5D!RSCRS_dD7,GD C@ LK FHRSD<FaC j Cz:GD M CzRSDapI<KJ L @ 1 @ OYK,LO D —C j
#
#
#
#
#
#
#
#
% ,W g
?€ CbRcC PR K,~ CbR3D!_e] K
TF!C K M FH£G IˆT\M CbI@T D L K ] _ K d_ D…C
@ £ Gj D M]d£,D D…L DaFaT C OK C_ / £D T”CJ _P5D<:GDL CFHGC LOYK @
>
=@ 1 W @ >D@ @ >A@ > @ >D@ > 1
W
W
> @ >A@ W @ >A@ W> F@ >D@ l
s>? š‰ •–D 4l s>, ? š,‰ lU?•œF K,DEL CF :M GGoI@^TJ :K G_7D :GD
=@ C@ l\ D L ] lKYO D CL _ M C
_ M ^J L D!O C,D _OY— KK L5RSIO D KL _e]cDzC M _dD!Iˆ_p,G D :GDzD L l ?#
=@n9 _e] K
]Ln&KK _sO]S_VKD`T™RdD<G_e
D<G _s3M]S]SRSC?CNOYn9:K‚_eG] LKD K P_ RSO GC D ~M CQC G L L GI@D<Fal_sI O]SRSDC CUL O C#P5CRdRST7C
CD FaMj I!PK,J F LR K K? T ~M K DaT7C O D lM C™D L FHG
D!R O C
]SD I LL D! T L IK ]c_QC™:CbGP DM IfF)C J L OYKlM@K D LC
]O KD OM K C‚_ _ M@KK M _`GFaPI!GK,J LL ] OK D_ M PR? K, ~GM DaD T7O C7C‚FHF G5K TC LK OYKG L _K,J DMˆsK DaRc—FHC IfjFHI KG L DC‚M PPCbR RSKD ~ O CR:GF DK,L RSDHD<‘5_sD]SeD‚C?T“DHJD ] KYO OYD K7~ DœM C\—C,G FHL DaI@R9FaI D!O _eC ] OK
F€ KCL RSC3G LT\C\C j,F KK TRSD!~_ I LO CDa]SFaC I!K,M@J LND!_QO FD K,
eL >_d? GšM‰ ]c CbRj s>,K ? Gš,RSš C qL ? ] I Mˆ~ DaRd] h ? ? RdI@D L5O RdIfFc—_ g j ,K RSpD
Œ !D ‰ /?
# #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
# #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
Wb‰
– t n“D`L C D!L _eC]SC™M I <_dCbD!R#F!C FHJ LI<KJ PL R _dK,D ~MO DaIfT7_SFHCGY_Ÿ]SIˆF R#K,C J L L £_dC I@_eMˆ]dK D!RdT7D<_+CI _ L IfO FHDœIfC D<M FHD!G_ C,jEFHOI KDL ˜žD<R _ K,ML I ]dL DaD<RcC CVM D!C–_vP5,CbGRdD ]dI@]dR I@D O L DD–£rFaCCRdRSI K C,_ŸFq]SDDasRrDa^JT\_e]dP IfFaM@KC,_!_a??
:Fa“DaGD–RcD7FFaKC _dLDEM FC,DaM _ G†LIˆP R#KM C JIf]cFaCM C C™_ L _eO D<j D FaFH_d I<D KRdJ I@L OD OIfF _dRSKFaIfLGYFc—]dC D _ ML pO G DQF LKPKL R_ŸK FHPPI@RDaCKRdp,]~CKkM FaD!OI!T\K,J DHL3C,]cC_ O M@_dD D,IˆT\?)K,L›P OM GD!CD<_9_v_sP]SD RSCbM CD<RcFqC P]dMR RSC,K D!_ T7_dDD!CL Fap]SGC,L CFHDaFaJ I<]dI KK,JIfFaL L C,D!_d_a_ I@? pO GDœDU„ T™CG †Yj ‡vDO M@D
B
% ) + # % - ' % % " $ ' <+ $ -.! <!#" $
!
!
n~&RS_+D!G_`L F K—L D<FcFH— I@KDaRdF]SKC\L£,K D FaM@IK OYFHK I O P C K O R?$] œKYOY— KK _RcC\:G£DD!RdM D!CT _Ÿ_dK D _L F)C K JM D<T _oK D M _dD<J DQFq]SPRdGIfFaD C,O _oD £O IfC#D<e_dC FaLRdI ~C I@M@RœKVFHM GCCRdpL K–]dIˆ]SO CD ]SIˆM@£K C_TUC M D CbL T]dD DF!MC ~˜žDM D–L K RSJ D!T\FHD] KLK RdD!GP_SRSC D!L_dDOYL K ]SC n9OYFHK G5CP FHK I RKL D MD!_‚DsD DGL 1 •–F DaK RST Iˆ£K C OD MC_™:G€ DQC_dRSD–FaI@IC LM D<O _aIfFa?)CU€ DCLNRSCkM C D<_s ] KI@p?_dGWYP ?@> K,YLF O KRSL DaT FaCbK P5_™CGFHIL ]c“C IL _dFaDI@C\CPF K,M I@L F!_eC–]SCG LL ]S£D K M ]Sj C sG D L C\
C@ I LO G GL FqC
]cC F L K FaRSI@RdCI@D L ]dDP K R
C@ +G L‘IGO IˆCR#CVOJ —O CD FaM@I@KC–L D pMIˆM]dC G OO K
? O DaRSD!Fc— KVj‚LK _ŸI L ]dD!RdD
_SCC™P M F!IfFaC C M FHOYG K M Cb R&
C@D!v_SC™D L F K 1RdRS I@D L l]d?D “D =1?O >DD @ ~ D D L L D ] L KYF OYKK L _ ]dRcM@KCbR_vMPC,G _L D!] FaK G_ CO FaD I K,M L F!D!C _v~M:DVGFD
K RdT D MK C,FH˜žGI KL L FHC I<KL J LNC
O D Mj £ C K,M ]cC#D sL D
DA+M CFa_C D!~FaM GD,C? FaI K,L D!_`:GD L D!FHD<_eIˆ]SCT K _D L D<_s]SD‚FaC_ K _ K,LM C M D jO D‚F KL _eD!Rd£CFaI!K,J LNO D M C\FaCRdp:C j
MA+C C M D M j3D jBO DO Dk CF RSKC L O _eCD!Rdj £? CFaI!K,J L[O D M C FaCbRSp,C LK _ O IfFHDk,GDN_dI ; C1 >A@ ED!_ M C O D L _dI O C OO DNFaCRdp:C ]SD L D!T K _D L ] K,L FHD<_`:GD
@ ; > C1 >A@ C1 >D@ &
/WY?@> Wb
#
hl
t
g(t)=V(t)
x
I@p?W?ˆ>
]d› D K L ]dDaDaT T K K _`_::GGD D /
4WYW?@?ˆ> > v)_dD<D–_ M]SC–RSC T\L I@_e_d˜ T7K RSCVT\:CEGDD L s>,?ˆ> q?n L D!_e]dD`FaC,_ K P K R O D L I@FaI!K,J LEO D j‚O D M £ K,M ]cC#sD l >
1 ”l > @ ”l 4W? W Rd—AoD CCzM j C,D<FH]SFHI<C KGJ M L C,RdFHCD I<MMKJC,pL FHD I<~ K
4J RSWL C? WI@C F!
M C pD!D _™~ CRcG ; CbL IfFaC D C L _ ]djEKRSM DM CkC‚M C,D!_dFaDa_ Gp,OYGCK FaL_ I!O K,JI CQLL F)D<PK JFHpCbGLRcC,C IˆFH]SI<COYKJ _!KL ?b_™nPI CL L RSF)DC‚K MJ pF!FaCL C,M Iˆ_FH]SKQGCM_!O Cb?oD R nM D L jM D!
sFH >]dR?XLW K K T7_ ]dCbM D C p L L O^J CDHCT]SR5I@C_dJK T _QM C K–G M LLD jKC
DD!O L_D ]dPRS RD CbK Rc1P C K O RcC FHj I K?5jL € C C1+M RS?CC\“YMGC CU_S~ CbRcD!RCbT PO K I IfO _`FcD—P C K O R M D‚D M j C F!CbDaM TD†YjNC~ T\IO K DI L D! ?TCbnRcK C L _ O CMFaC3jC L F!
]SC:I ^JOGO CD‚C O D<D<O _ _D™DHD!£†Y_eK,P#] MK Da]cRSC#D!IˆsT\_ D D L C]c1 C M :?G>AD‚@ D! _SC F!
=C1?^J >AO @ C 4W? h =1 >D@ C1 >A@ =1?>A@ OY KL5O lD B]dD D<L _ DaMT C‚K I L_`O :GGFHD ]SC L FHIfCQP K RvG L I O C O O D MˆK,L pIˆ]dG O ? K T7C LOYK D L 4W? h ŸD M#M ^J T\Iˆ]dDœFaGC LOK
4W? m
l
€ K R M@K ]cC L ] K M C,_D!FaGCFaI K,L D!_`:GDQ:GDaRSDaT K _&D<_s]SG O IfCbR _ KL
l >
1 l > @ ”l >
4W? u l >
1 l > @ ”l >
C1?>Sl C1?>Sl l > 1 0l >
@ l
0l >A@ =@ >
› K J ]dD!_dD
,GD–D M £C MˆK R 0l >A@ LK _eDVD!_dP5D<FHI 5FaC j C™:GD O D ~ D
_dDaR`F K,L _eIf_e]dD L ]SD–F K,L D M £rC MˆK R O D
4l >D@ j _dG O Da]dD!RdT\I L CFaI!K,J L D!_VPCRe]SD O D M PR K,~M D!T7C?AoC_–D!FaGCFaI K,L D!_ 4W? u F K RSRdD<_eP KLO D L
GC\_ K,L GM CG5L FH_dI FaD KCL L ~C D<MM+_&D™O D :D‚L G£ D‚˜ KK,DRSM ]cLT\C#sC@ D O D Cl7@ K,qD<L?#_sO ›]#CC7JK _`__e:I LI GL D‚]SFaDaC_dRSRdD
D!p:_SPC C7R jK F PK,_dCLI Lp,K C FHF LDaK R RS—Rd CI@DjFaLI@C ]dD,M C?C M@O K ODaRSD‚M CbD!7JT RSFcp—CK_C? O D D L M 1F!C ~M Dl7?#_dn9D _dP5M DED!RSCbCP T M I@F!K C _
x=0
x
x+h
h >
M@ K M ,I@GpGD
C _dM D :KG~ DE]dI@D D L L D D!FHG5CFHI KL D!_ K R O I L CRdIfC_ D!_VF KL £,D L I@D L ]dD™D!_SFHRSI ~ I@R /WY?Xu œF K T K T\Cb]dRSI #F KL
l l 1 ll >D1 0l >A@ 0l >
@ ll >D1 0l >
H =@ >D@ ”l /WY? š H l >D@ DO M D
D!]T RSDaJ D!RSK _ TU_–KMI:£LGD!K DR O /M DECWY? £šD!DvFaMˆGFK CK,FHFaLI I!O _dK,J CI L O O D!
4Rd:WD!G? T š D™ K T™_vD<_
G D MM C ]dLI@_dP I@C _eJ M Mˆ]dI@KF!D!p,C3T7C7CC C M C3LD!KFHG5D!C_œFHI<G KJ L L D!O _SDEFaC PM CRdI@R T\_eDaI LR K K RG O L D C7L T7OYCK,]SLRdIO DU? Cb— L K ]dRSD<C _
l l >
/WY? g l 1 l @
D<D<_,GO Iˆ£D<CFHI@M RD vL ]SG D
L C _dOYI@_eK ]d_D!T7D!FaC GCOYFaKI K,L5L O D!D _vM I CBLO T7DaP#CD]SL5RdI O IˆD D!L _e]d]5D!CJ _ D LO D<˜_dK C,RdF T7K P C M C O O I@CC_p KL C M ? DaT K _N:GD /WY? g 7D<_
l >
l
:GD!DQT _dK DV_QRSPD!G_dGD<_ED M £,:DVGD3I L PT\CbD RcO CkI@CbG ]SL CbT\_dI@D _eL]dD!]ST\DQFC…KLF K T K / WY
C? g1 LK —@ C j O I 5FaG C1 M ]cC O D<_a ?@ q€ ? K R‚D<_s] K oC M I@pGC M
T\Œ:L GD]dDkRO KYI@D C O L L G]SFaD!D
IˆFaT GGLKCFa_vFaI DK,CbLL T ] D!K~ _ L I K\KFaD!R O O_DVI DL £M CCFaRdRdIfCIfCTC _™~~ M]dD!I RcKU_ C]cOO CbDQDaRSP#Da£rDT CLRdK OIfC_ I@D~OL M D<Dk]S_D!]S_!RS? C L _s˜ K RdT7CR /WY? š UC_eG ˜ K RST7C O I@Cp KL C M
/WY? ‰ OY“G5K,L_s]SO I]SD G j D LD<OY_ K G 4L WC[? ‰ vT\D CbL ]dRS
4I …WY? g I L Y£D!]dDRe]SL I Da~T M D K _`:G,D…GD _dD O Da]dD!RdT\I L CbR#CJ D L D M PR K FHD!_ K[O D RSD O GFaFaI!K,J L ?
ll >
@ l l 1 l l 1 ll /WY?  @
€ CRSCE,GD /WY?  _dD!C\F K T K /WY? g O D ~ D!T K _ O DQD!_SF K pD!R O D
]cC M ˜ K RST7C\,GD
l l l l 4W?ˆ><l #
#
#
#
#
#
#
#
#
#
h,W
€ CbRcC™_SC]SI@_e˜CFaDaR 4W?ˆ><l ~ C_e]SCUD L F K,L ]SRSCR MˆK _£rC MˆK RdD<_vPR K PI K _ O D
l l :GDQ_ K,L " \j ?n L ] KL FaD!_ /WY?@>!l &:GD O C7F K T K /
>W > l l > > " l l > RcC L _s˜ K RdT7C L5OYK ]SCbT ~ IHD J LBM C_EF KL5O I@FaI K,L D!_‚I L IfFHIfC M D!_ED L /WY? š O D3CFaGDaR OYK C 4WY? ‰ Q£DaT K _
:GD 4WY? š vD<_D!:GI@£C M D L ]dDQC M _eIf_s]SDaT7C O IfCbp K,L C M
l ll >
@
l 1
l
H l >A1 ”l >
C@ 0l >A@ >
C
@
H l >D@ W =@ % 4l >A@ Dn L L D 4M WP ?ˆ><M lC +LK£D!
CT 1?>DK @ _ :O GD D M M C C_Ÿ D!I@pFaG?CWFa? WI K,? L D!_ŸP5CbRcC j ‚_eD O D<_dC,F K P M C LEjEM CQ_dIˆ]dGC,FHI<KJ L _eD`TEGD!_e]dRcC
#
#
#
#
#
x=(LC) −(1/2)t +ξ
x=(LC) −(1/2)t
x=−(LC) −(1/2)+ η
w=0
z=0
z=0
z=0
I@p?W? W
w=z=0
w=0
w=0
h h
“YC @~ D!T K _‚ :UGD RdD< _eP#D!VFHF]dKI@£L Cb_sT\]cC D L L ]d]dD D,?,j € K R VD!F_e]K,K L _e£,]SDaC T L ]SK D _ :_ K,G~ D RdD M C_‚!RdD<Fq]S C, _ 1 { lQ@ P5CbRc C C 1?>D @ j C ~ 1 C# K
O_d DD L M C C M D<M ^_`J L DaD!T\CIˆ1 ]dI O C@_œ D L "1 r?,n&_sl7] K
£IfLC#K e_C L O I@F FaKD L ,C £,M D I@M@pK GFHC I O M C ,O GD M C
D<FH:GGC,D FHI<O KJ D!L\P5OD LD`O PD RSIˆO T\D D!MR CK_ R PO RD K L PIˆ:D GO DC O M C,D!__
O D M M@K7FaC M Cb~RSM D,p ?K O D M C_œFaCbRcCFH]dD!R<^J _e]dIfFaC_v:GD‚£IfC#eC L —C,FHIfC M C I <,GIˆD!R O CU]SD L D!T K _œ:GD l D L
PCRe]SI@FaG M CbR l\_ K~ RSD M C\RSD!FH]SC 1 l?n9_e] K7O Da]dDaRST\I L C 4l >A@ j CU:GD
l =@ % 4l >A@ > 0>A@ =@ &
#
#
$#
#
#
"!#$&' % (!#)*#)+,-
=1?>A@ C@ 1 >
#
1 @
C1?>D@ =
@ .
"
$
0/2133
45 0/2133 6 7889)+2$:));,$:<,;,2 =/1 > :? +!#$;27
=@ C@ 1 >
"
C@ " 1 "
0/213/
@A5B% 7C<2 0/213/ # 6 $#;D!E;,,FD<2GH)9I(;KJ,")LM$ J,E();N)(!##)&% ;O;
1
H),
P <2&2-"7<2;MQIQ$))$R#&(: 6 #+2$7SG;M";T));2$8);2)")$
H
> 1
C1 C1 >A@U0>
=1 C
1 1 >A@
% ";,)");2&-2+X;Y"<27 6 ) FD<2W;2Z( 6 6 <2$;[)Q!<2+2)D
G?
C6 O
V P <8W
J,")C)\$FD<2) 2] 1 (!#<T)8;^"! $ 6 ;2^_ (`"1
B a
+ # ) ! # " $&' # $' $ !
b ;,()$#$7-DcJ, ^!# 6 #+27SdFD<2E,K#)$;ed<2;U()Q!7SK2L$<,);2$G7C< ?
6 #&")O$(!#<,2)O$;f_ /1hg`"1 *Q!^()Q!7Si 6 #&"Ej;,)\$G 6 # 6 D)$% ;e
;,2R;c<, 1 ; 6 )7k<2D 6 ;!$#$7-Dl$<,);2$ ? & 6 <:$% lR#&(7
<2;T7;2 G7C< ? ()7)m' % ;,$8!;,#7-)#)$% ; 1
@A8$<,);2$nc79H)7);D!#S#;M<2;d( 6 #!#)"<2jC$<,);2$Go p6 5;2D(!#kq2$<,)7Dq2)$"!7$;! 19r j&Q!s;,#)7A<2;Gt,<2)
FD<2u#v7C<2$u;$")25J,)\$;D! p #!#) cp$? "< ? (< 6 $(wT)v)+2#v&Q!X
% $")!
6 _ (` ! ,7x(8;xyq) 1/21 z,1{ < 6 ;,2#$7-Dv$7Y% vFD<22B|;,x 6 ? @ 1 >A@
z
z
η (x,t)
nivel medio
z=0
w
x
u
z=−h
x0
x
yq) 1,/21 z
!#);2x<,;, 6 #B|<2;,)2W;,(!;D!# 1
5#;,;W-yq) 1T/21 z - ? x-;,#9)$% ;Ex-7#-$;!# ? M!#$;27D
! $&%
_*),+.-_0/21 " `(` ! /
! "
#
%('
3
6 )2\xc7C+2)x$;D!#)2Wc<,G;D!#4 ? 3
5j<T-FD<2x$;D!# G$; 7685n<,FD<2cs$;
yq<9IQS;946
3
yA<9IQS$;;:
_ /13$zD`
=< 6 $;,2C;Z_ /13$z` $t,<9IQ;W!2% 7);2D8?> ? -S!;2$7jFD<2
! $ %
A_ ),+B-_0/21 " `#` ! /,3> _0 1 " `DC ),+.-_0 1 " `DE 6F>q_GH1 " `DC ),+.-_0;1 " `IE
!@"
% '
_ /13H`
*);, ;,5;W_ /13H` 6 <,"!#;>J-L_ ? nFD<2(< 6 ;27Aq;2s7C< ? !q<< ? ;LK
-B|;j% 7;2Dx#7 6 ) 7);D!# ` !#;,7 _ /13H` D
F <2
-#MN+O)L>
%
3
_ /13&g`
:
Pj<2$97;D!#x_ /13&g` $q<2;,s&"<,")&% ; 6 5q);,R% ;2)! 1 @An!# j$<,)$% ;G#*$;,"<,;D!# x-2);j% 7)$G<T#;,- ? ?PjQ8!; 1 u;,;D!# 7*;D!;,$FD<2
> MR3
W MR3
"$$")&% ;EJ2)\$;D!93S6j7C+2)-2 6 #&()&% ;E;93S6=T 1
_ /13VUD`
%
"$$")&% ;E#!#)X3Y6j7C+2)-2 6 #&()&% ;W;9Z?6
[\3]6=T ^76_[`:
@k8$"<T");,$8FD<2c";!#;Lk7-9H)7)$;!-2Rm' % F<,)S#;
- M +O)L>
%
3
1
> M +aT
%
3
1
W M +XT ^ +.[b3
1
_ /13dc`
N zg
&Q!u$k<2;C#)(!#$7nu!#&R$<,);2$ 6 "<,!#j);,R% ;2)! 1 45+X7DAH()Q!7S
?N6 K$(!#iJ,7C<2;,i 6 d<)7S")&% ;Z7C< ? 2T% Q!)$d; 2%< !#)7SK&"<,")&% ; _ /13dc`"1
{ < 6 ;,7-FD<2EK"$$")&% ;Z$(!)$ W M 3E? FD<2,T ^ +,;,"&KOdB|<2\$O
$2 p &$)
TJ^ 3]6[`:
_ /213&>`
;E!# 6 +,:2$")7FD<2k7-9H)7)$;!;WS)$)$% ;L#!#)&:!; 6 $FD<2
;2 FD<2O 6 #&()&% ; &Q!Xe
% 22 6 We ? J,)(!T% !#) _ /13$>D` 1 usET e!;2$7-D
);D!#;,M_ /213&>` ;D!#x#< 6 #wT"))+2 ? <2; 6 <2;D!#S$t,<2) p +!;2);TS&' %
M
M
$ %
$ %
T _GH1 Z 1 " ` ! / 3S6
[ ! /3]6[_0-_0;1 " ` 6 Z ` : _ /213`
^
^
TA_0;1 -`1 " ` 6Tq_0H1 Z41 " ` 3
b 7-^$*9C Tq_0;1 -`1 " ` 3
? !#;,
6 #&()&% ;e!#7(B&% ) p $;D!#;T"$C 6 $7-Dx!7SC7
TA_GH1 Z 1 " ` 3[l_G-_0H1 " ` 6 Z `
_ /21 /`
FD<2$8 ? x 6 $#)$% ;EJ2)(!T% !#) 12{ <TQ!) !< ? $;,d_ /21 /` ;N_ /213 c` !#$;27D
- M +O)L>
> M +.[ -
%
3
1
3
1
%
FD<2 #;N$<,);2$ 6 M 6 6 ")&% ;K2 ;,, 1 4n&#L<2$^$+T$;e($C(< 6 K
7;D! 2 6 j;,2));2$8);2)")$ ? 25B|;D! 1
n; 6 #+27ScFD<2j$#$#$7-D J2&ulj<,; 6 <2(GF<,n( 6 #<T"j$;S<2; $(!;,FD<2
<, ? H)9I( 6 #!#sJ,")cG$#& J,C2$(!;,FD<2 ?S6 #!#sJ,)CG)\$FD<2) 2 p ;,
$;,"<2$;D!# 6 #&$ ? (W#t,QI( 1 Pn-);!$K!#$#7);,-i!#<,O<,^$; 2
6 <,;!SR&Q! ;,FD<2x7-B|<2;,")&% ;^$l!#)7 6 1 6 +27S 6 #&(8$ -
> M
>
>
+
3
%$
M $
" " 1
3
1 !
1 #
> %
-_ 1 " `
- _ 1"`
" " 1
(
3
1
% > %$'&
) _G `
:
[
3
)
_ /21 /23&`
Pn!#$7A;E_ /1h/3` FD<2:;GDA<H!#7 p $Hq2 -C2+X:!#$#7);, (:"7- 6 (!*$
% ";T";D!2; $X;D!#C$T&Q! ;,FD<2 1
6 +,$7 1D{ < 6 ;,7*$7U% FD<2 ) _0 ` $(!TG
r x$#$s_ /1h/3`u6 "&7:"7G$;i_ /1 >` 5);D!#<,")7:R$7G+2)9)+2$
W
Z*
3+
+]3
> %
+!#$;278$R()(!#7S);,
3
, -.
6 3
+0/21 3
, .- %
3
/435
. 8
6
3
6 376
-
-.
z#U
W
W
Z
+
M
Z
W
+0/'1
3
+ /'1
Z*
3
[L)
6
)
[L)
1" 3
W
-_ 1 " `
Z
3
%
1
_ /1h//`
1
%
W
Z
3+ /'1
-l_ 1 " `
1
"("
% $
%$'&
;T:B|<2;,");,$ -_ 1 " `:? -_ 1 " ` 2+X;^"!7);,#;W#<,")&% ;M _ /1h//`"1
5jA$(!#<,)G_ /1h//` <,78$ 6 ;,K_0;1 " `? +,#97FD<2 W $5";TQ! ;D!#c s*$"!3
[2) " +_/ pH? Z-$8";,Q! ;D!#sCC-s
$"! 3Y6
[L) " + 1
@k#) !<,)$% ;W#7C<2&Q!-;^!;Myq) 1T/21 T1
b ;,Q!#<,)7:J, cG#<,")&% ;E$7["% !#)7;D!# p !R"7--GJ2)")78$;LR$#-2
u=0
w=η/2
u=0
G’
z=−η/2
H’
H
C+1
G
F’
C−
z=0
E’
D’
z=cte
E
C+2
2
−C−
D
C
C+1
C−1
x=0
A
F
w=η/2
z=−η/2
w=f/2
z=−f/2
B
x=l
yq) 1,/21
-&"<,")&% ;Mx;,, 1 u7 6 \&7 6 j-\;TG$;D!#
!#$;27FD<2x$;E&#-\$;,GB|<2$x:!#)&% ;2<25 b
W
3
/
3 )
_G 6
, [L) " ` 1
Z 3
1
? 7 W $j;,(!;!
%
#<,")&% ;W$
? 45*y p :
N 45;D!#Sl!T% ;2<,\5 b
3
3
W
!#;,7jFD<2
) _0 6 , [L) " ` 1
/
z c
Z,3Y6
/
3
) _0b+ , [2) " ` :
5nJ2 x <27-);2$7-D
GFD<2#<,"&5<,;,2G$ 6 ,
< #GGc 6 #&d_093 =` 1 78FD<2
$R)(!#<,#+2)SFD<2xD 6 !' % (!#) !#7);T9 -_ 1 " `:? G
FD<2
-_ 1 " ` 3
*Q!*9v#:!# ;, 6 (! 5s5
&
ZX_0H1 " ` 3Y6
3
/
6
-l_ 1
/
+ " ` 3]6
[L)
) _ 6 , [2) " ` :
/ W _ 1"` 3
3
? ;2 2FD<28;n)$% ; p s#<,")&% ;
) _ / 6F 6 , [L) " ` 1
/
W _GH1 " ` 3
:
;E$!#)$% ;2<,45*yZ!;2$7-DFD<2
3 )
_ / 6F 6
ZX_0;1 " ` 3S6
/
;-)&% ;)\&F<,)$275
5 b 4
ZT_GH1 " ` 3Y6
q7G+2)"% ;L
!#$' % (!#)
1
/
, [L) " ` 1
3 )
_0 6
W _GH1 " ` 3
/
, [L) " ` :
/
( 6 )!#$,7)(7 6 "$# ? !;2$7-DuFD<2;S)&% ;
3 )
_0 +
, [2) " ` 1
W _0;1 " ` 3
J2;D!# C 6 #& ;93
-l_ 1 " ` 3]6
/
3
ZX_ 1 " ` 3
? 2x$(!-$<,)$% ;W#x()<2xFD<2kj W
W _GH1 " ` 3
/
;
:
-? !#7);TG$R9
) _ , 2[ ) " `
1
&
3 ) ,
_ [2) " 6F ` :
;E$!#)$% ;2<,4
y
2-#<,)$% ;E&
ZX_0;1 " ` 3]6
/
3 )
_0b+
, [L) " ` 1
W _GH1 " ` 3
/
3 ) ,
_ [2) " 6F ` :
yq);,7;D!#;M-#$)&% ;
2(<,)$% ;E&
ZX_0;1 " ` 3S6
/
3 )
_ / 6F 6
, [L) " ` 1
W _GH1 " ` 3
/
3 ) ,
_ [2) " 6_ ` :
@A5#<,")&% ;G;GA9#)+2$q#));,$ 6 <2&:+!;2$#*7G<2!#) 6 );,S_ W 1 Z `W6 #+ /'1 1
P <2&2n7s<2;G(IQ ")")5) wX FD<2:s(<T")&% ;GFD<28J2$7q+!;2)s$q"B|& !)97$;!
z>
<2;, #<,)$% ;dL_ /21 /23&`"1 45C)<,R7S;2$ #C(I( "7 QIQ$))S$;,";!j (<T")&% ;
x$(!# 6 +,$7 6 C!#)7 6 6 (!#$#)$ 1
!#G(IQ ")")$$;,";!*S#<,")&% ;W 6 #+2$7S
>
+
M
)
[
3
> >
% $
3
> M $
;TjxB|<2;,)$% ; ) $*
";,H),
>
) _"`
_ 1"` 3
%
% > 3
1 0
-_ 1 " `
%$'&
1
1
"("
1
"("
1
1
? uB|<2;,);2$>q_ 1 " `v? -_ 1 " ` $(!T% ; 6 *!#7);T ( 1
bV <j% &-);D!# 6 "! ")&% ;Wx-#<,)$% ;M]
u;W$;2 p D()Q!7S2x$"<T");,$8xCB|#7S
7>
>JM`+
3
%
> _0;1 ` 3[l_G ` 1
1
;T9>U&<2;U$"!# ?
<,;,i7!#)\Z_0F<,W7&);D!#M<2;,K!# ;,(B|7S)$% ;e);2&j#
< &; 6 #W<2;OB|7SM);, ` p #-7S;N()(!#7Sx()7["% !#)"DnJ2) 6 +j% ) 1 @k
6 2
" +/ p 3
#& ! 3
+- p ;, 1 1 #;v9$ 6 # 6 )Dv #7S;-
1
!#$' % (!#)s2*#)Q!7S 1 u
7 % !#dFD<2 $7 6 &7 6 ^";,Q!#<,)cG(<T");2&
6 <2+, (< <)(!#$;,") ? <,;2)), 1j{ iQI(U"7- <2; (IQ ")")e 6 ;2$EEJ2) 6 % !$#)
6 6 )2x#+2 ) ? ,C$*!ELDC<,7-$;D!# 1Rr W7S ? $x2"!$ ? <2;
!# 9! 7)$;D!#-7U% j9;2\& ? 7 6 "!#"B|$#)78R$"!#88;,!8 L: Z
>
!"$#&%!'(*) ,+.-/010
4n)"<!)7 J2 j$2()Q!7S8$<,);2$ 6 ")$ FD<28$")+T$;G$2"7 6 #!7-);LK
!#xv$7 6 Dq"$% "!#) ? 7S;:"% !) 6 H2<,") 6 u$ ? #);D!$ 1 @A &"<,K
");2&52 d<2Q*$ (;d $#<27; ? B|#7G<2")&% ;d<,;D!) ! 9!#)D52G < 6 );,)EF<,
( !#);2L;e$ p "#);D!#& ? #<,c);D!#$");,$ 1 (!c$"<T");,$x;2O(L2$<,; 1
u;i$"!#))2 p (;O$v$FD<2)9;D!#WE ? \PjVQ8!#;O$;i7&R% ;,)$ 1 5 ";D!);H<,")&% ;
$")+2)7D $F<,7Y9% !)$7;D!#8<,;2 < 6 )7-$;D!#vFD<2);-);s ? &vF<,
J2 ? B|#7G<27:;W!2% 7-);2D:2s8&"<,");2& d <2Q: 1
u; 6 )7<2D$"27:FD<2xR$7 6 $"&% !#)" G_ =1 " ` &<2;W$"!#jF<,2 6 ;,
j 6 #))$% ; ? $2!#)7 6 1 v<,;SJ2$ J2x< 6 $#)7;D!TFD<2j$2t,<9IQGX7 6 c&% !#)"
9!*&% j-<2;,L#< 6 #wT")" 2SFD<2-;,)$# S<2;TE$
p $ 6 6 ");,AE) JT
#D 1 (!s$u ? 2<, 1 u;S;!),& p #) O$ x(< 6 $(wT)jFD<2j"!sx$
R$"!#8;2#7SR
?
p !#$;27FD<2
32
2
7 ;:
$
<
8
4>= : ! 8
3
98
?4
tT<9IQ 4 65
.7
?8
-!# $% : .3
7
@
_ /1h/zD`
? $")+,)$;N_ /1h/zD`
;,
7
z
$
3
_0;1 " ` ! &8$;,()2W2$ p !;2$78<,;,2-$ A
7S-x-45)$;,") p FD<2
=4
@ 3
_ /21 /D`
FD<2$8 < 6 $#)&% ;E<,;D!) ! 9!#)9x- ? <, 1
q7G+2)"% ;d&5<,;OJ2& J2W < 6 $#)7;D!qFD<2sm' % ;,$sGB|<2\$W<2;i7 6 E7S;8% !#)"
#;Y()7 6 ^"$# 2 1u{ )
$S$j& !#Sd7 6 N7S;8"% !) p jJ,$ J2Z
;D!)#
< 6 #&#G7S9!#$7Y9% !#)7;D!#x"7
3 =
5nJ2 6 78-$(!#<,2):8 ? $FD<2x";D!#;L-);D! )$% ;Ex$7 6 D8"$% "!#)
7 ;8% !#)"D 1 (!A ? $v;!$ d<2Q*$H ;-5 ? y, , ?s? s ? 25n7 6 $# 1
? S
7 6 \&7 6 j$ 2:- ? 2cy, , ?1 (!G ? $#<27J2& J2 < 6 $#)7;D!
xFD<2x#)Rlt,<IQ <2;^7 6 7;8"% !#)"G!# $% :<2;,& 6 ) Gx$+2x7G+2)-;
$,!)$7 6 p $;L$+25#5);,<T"s<2; ! 9IQsF<,5& 6 6 ");T ? #);2C";D!# )C
$7C+,)C2Tt,<9IQ 1 @Ac < 6 $#)&% ; "<T;D!#)!!#)Gn&Q! c ? _|$;L$X;,<,IQj7H2;2G5D
$ !$ p $";2") 6 GyT 2 ?2` $
2
S3Y6 ! !# "
;,
&u$, ! 9IQ$;Sx& 6 ) ? $2t,<9IQG
$;L!2% 7);2D8xD7 6 ? !#$;27
4
$
4 =H3]6
! $
!@"
<
_ /21 /g`
1
8
!# $% 1 ")+2)$;,xS_ /21 /g`
= : ! 8 1
_ /21 /#U`
;,
$Le<2ZFD<2dB|7NZ& 6 ) 1 5#;,Z k
$7SZ { !#$S$;_ 2/ 1 /#U`
!;2$7-DFD<2
M + 3
_2
/ 1 / c`
!4
FD<2$8 < 6 $#)&% ;L7S!#7Y% !#)xG ? cy,2 ?1
r K2%< !)7 )"<!)7j ? 5j7 6 CFD<2x$j< 6 #&()&% ;M"<,;D!#)!9!)9 2RJ2& J2
< 6 )7-$;D!X5FD<2s 6 <2;,C#);D!j"$% "!#)$ 6 *<,;L+2 p #B|#7Sc<,;L7 6 7S;8% !#)"L$&S) J2M+,S"< ? W")<2")&% ;d& 6 # 6 );, EW);!;,#)2
S"#)$;D!# 1 *Q! G#) !<,)$% ;W#x7C<,$(!# C&#FD<2$7U% !#)7-$;D!#;M-yq) 1,/21 g21
b <,;D!#)!!#)97;D!#x- ? 5n7 6 c#s< 6 #&#-&' %
$
= ")<2")&% ;W
3
3
$&
Nx);D!#;T()2Wc#);D!#3 N
,3
$
<
N!!= :
8
! 1
I
B
C
B
B
B
I
yq) 1,/21 g
;T !d&*c);D!#$;,()2 ")$;!nFD<2 6 6 8l7G+2# 1 5#;,C;H<2$97;D!#s
k$7S- { !# &8+!;2$7-D
3 !=:
_ /1h/>D`
?2
@k8 ? $2$"!#7S;2"!)#7-;2)28;D!#& d <2Q:R(;2
=14
=
M
,
@ 1
_ Q `
!4
=! :
_ Q`
_ Q`
_ `
1
3
+
3
3
3
1
_ /1h/ D`
{ 6 ;,+,FD<2v&Q! &"<,");2& 6 k' % ;2$")+2)lB|$;j% 7;,R$$"!#7S;2"!)#7 1
u;c$)2xn ? 5j7 6 $#*B|<2:;,;D!# ,j,% 6 n#);D!#&R&Q! ");T)u_ !X3
` );T 6 ;,2)$;!$x$ !#)7 6 pR6 E! ;D!#W;2MJ, ? ;2);2<2;,W\k% ; 6 W(< 6 ;,
8% )2x"<,;, !3 M? !.7G+2)W;N
!#)7 6 1q{ );N7G+, p <2 ;D!#S7G<, J2D
;2 D8(s<,;L&Q! :$<,);2$ ? 8$#<2!2*+!;2)8;, 2+,;L";E$ < 6 K
)7$;! 1 @AM)2$^$ 6 H$#^F<,S# 6 #&($;D!;i$<,);2$S_ /1h/ D` _FD<2 J,$ J2M$
-7S;, C;,!#<2 R2x#&( ` &jFD<2 !i!#$#7);, C!*&% *2_) ` x7S;2 =
=
,3
);,(!;D!X% ;2& 1 @kC$7G+2)Dc ! 6 <,;ed#<Z$\L7C+2)x$; FD<2L7-&);D!#i_|))) `
6 <,;M7G+2):;
1
n;S <27;S7Y% "<,)2#x7C<,$(!# xF<,C_|) `v? _|) ` #;S);,";,()(!#;D!$u;Sx ? 2n";2K
#9")&% ; 25#D M + !3 2p FD<2s#+T$7-D
9 6 c#) !<,);2$: 6 ;T)$;D!#$:$
!)$7 6 1 *Q! s);,;,# )Q!;,)s($+TjFD<2x_|) ` ;2 2 !X3 2p x"<,$v";,#$"<,;,)
FD<2nG ? 5n7 6 x,% C 6 G")$;!$
$(!);,) 1 @kC\k% ;E5% <H)!#G
_ /1h/ ` $nF<,<,;TS(x<,+TC";T($#9)$% ;Ec$C;2 (<,+TW_) `:? H)"$ 1
y,<2 d <2Q:vuFD<2S7) wXRM
% W ? 2 5n7 6 $#d_) `s6 W($c";,()(!#;D!-;iD < K
% <2;U;D<,K!2$% #7);2 p FD<2^#8<,% ; $% 6 ;T#+, p #W$+k' % O
6 )7$;! 1 5 _) ` M ;, 2)$i
79H)7);D!#d2 %"! O_0FD<2 J2 ? #+T$7-Dx;2d<)(!# ` 1Ar c;,T' % WMKFD<2 6 W;
!# C#)!#<,");2& p !#7UO
% $K#);D!#E"7 6 # 6 );,* M 7) B;,iK ? %
5n7 6 6 G!#$;2$;M<2;D! --&#"#);D!#s;MCB|#7S
(4
=
=
2
_ /21 z`
@ 4M ` :
$7) !)7
,$"!#
!+,9IQx#));,22d< Q: 33 _|$2) ! 6 459$ `q6 <2;,
$"!#<2 G#+,#s$(!#D:#<27;D!#D 1 b ;O_ /21 z` :$<,);2$8$$ !#7S;,"!#)#7-FD<2
J2 ? ;277-*"<,");2&8?d
2 <2Q:R(;2
=14 3 1$_ Q`
@
= 3 1&_ Q` M + !4 3 1&_ Q`
_ /21 z,3&`
@ N 4 M 6
3S6 N !=1$_ ` _!
3
+
FD<2C2+X;K&Q! s(< 6 $7-$;D!, 6 s";,)");2&j);2))& ? CB|#;D!# 1 P <2$2LJ2
7n<2;-QIQ$))57(!# F<,:#)
? 9!)(B;E_))) ` ? _|) ` ? 7Y% 1 !L9!)(B;
L&"<,")&% ;K2-;D!#);H<2), p ;D!;,$
? 9!)(B;i<!7Y9% !)$7;D !#W_|) ` ? _))) ` 1
*Q!G;2D:7C<2&Q!-FD<2c2,
? !OFD<2x"<,7 6 $;W-$<,)$% ;Ex";D!#);D<,)2 p $+T$7-D
$#$s_))) ` ? _) ` 6 -"! 7-);,D7 6 1
Pn!#$7:F<,-_) ` J,(!W_|) ` )7 6 );L<2; 6 H$#C)B|;D!#$;LC;2$")&% ; ? FD<25l2 6 s_) ` J,(!L_|) `"1 =<27);,;,2L_|) ` $7
FD<25;E;, 3 ! ?
FD<2:$(!#&(+,;," 6 <,"8<2;7C+2) MR$2FD<25#<G\ p96 q7&)xx_))) ` p6 #<T"
<2;M7C+2); 1
P <2&2x$ 6 +,$7Cn<7);, 6 8F<8j
% u&"<,");2&n_) ` K _) ` 2;S+2<,;2D
$#<2!2
<,;,2S$<,);2$8$&(;e_|) ` K _) ` 1Tr )"<!)j&Q!S$(!#<,2)#$7-D;d2"!
<2;M( 6 (!)<2FD<2!7C+2)"% ;E;2#H)X% 6 C)<,Q!7S;,QIQ S_|) ` K _|) ` 1
b ;,()$#$7-D 6 <2&c 6 +27S^L2"!#$#7);,C*$7 6 d"$% "!#) ? 7S;8% !#)" 6 K
<T") 6 <2;T-#);D!sFD<2c) "<2-;W<2; 6 ;2S$DS"7-$Rx-yq) 1T/21 U,1
{ < 6 ;,7xFD<2 D_ " ` &x) B|$#$;D!#S"W;iLB|;9I(F6
? ,% 6 "(" ,1{ < 6 ;,7
!7C+2)$% ;LFD<2
3 2p $8&"):FD<2s;2-J, ? ;T()2Ls$ p? FD<2
$+2)EWFD<2C;2WJ, ? 6 $;,;T") ; `1 Z 6 $7-D
s7 6 3 3 i#) " 3 21 4n
+2<T#$C<,;,K#<,")&% ;e2O_|))) ` ? _) ` vFD<2W 6 ;,,K#7;D!#W ? " 1 ;e$(!#W(
4
4
4
4
,4
D/
z
J3(t) k
J3(t) k
−ε/2
ε/2
y
J3(t) k
J3(t) k
E
x
B
yq) 1,/21 U
!#$;27:!7S;T
4
3
1
_ 1 1
`1
3
_ 1 1
1
`1
!#$;27FD<2x8&"<,");2&_ /1 z23` ;^"7 6 ;,;D!#&(;
3 `
/`
zD`
H`
g`
UD`
c`
>D`
1 3
%
1 3
%
M1 3
1
1
1
@
@
@
3 1
M 6 %
M + 3 1
%
M1 3 1
N M 6
3 1
%
3Y6 N N M 6
%
_ /1 z/`
_ " ` :
4
4n$+2) F<,KW)92E"; #& 6 $"!#[OZ ? .(; " $# 1 557Y% W+X7EF<,
3 3 O; " 3 ,1 45 3&` pR/` pz`"p`UD` ;,<,)7FD<2 1 3 1 3 E6 " " _#
z
(I("7QIQ$))$J,!$ ` 1 45 g`*?9c` 7DF<,
MM 3
@ %V % 1
_GH1 D` 3
M _GH1 D` 3]6
_GH1 D` 3
1
$+2)ss " ;,)");2&q);2)")$ 19r D!7Ss8<2;2)")2 6 55$<,)$% ;G8;,2
75F<,
3 () " " 21 45G 7)(7S B|7L$7-D5FD<2 3 F<,$2;,E7
%
(IQ ")")-7 6 +,:&Q! 1 @A8$<,);2$_ /1 z/` ##&<,"$;^
M 6 %
M 6
%
_0;1 D`
@
3
1
6 G_ H1 " ` 1
_0;1 ` 3 1
3
3
_ /21 zz`
FD<2$8<,;M#)Q!7S-J2) 6 +j% )";2SJ27v% ;2$ 6 #&")-- ? G&Q!<,)D 1
5n;!$*n$#$n_ /21 zz` J,#$7v<2;TC 6 #d<)7")&% ;-7C< ? 7 2%< ;S;L7!#$7U% !#)
6 ) K
$2 1l{ -;,#) X
% <2;,L$% 7-);,EG;, J2E pT? E")$;!x!#!qFD<2-")<2 6 $(7S;D!#$;,XG
% w,;2)! 1 @RS;D!#$#)8#x c!7S;,2
1 _"`
_0;1 " ` 3 6
"
1
1
FD<2L;Z$(!# $#^^$;D!#)2i2L"#)$;D!#SFD<2L") "<2W$
? W
$7 6 \$:S($<2;,,C&"<,")&% ;N_ /1 zzD`*6 @ M
{ );M7G+,GGB|<2;,)$% ;
6
@ N $ M ! 3
? !7S;TRm' % 7-)!#x<,;,2
_
/
@
! 3Y6
1"` +
2p? FD<2);!;,G!#;,7
_ " ` ! ;1
@
$
_6
/
@
1 " ` 3]6 N
@
6
%
_"`
2p #< 6 ;2);T M ! p +!#$;,7FD<2
_
1"` +
_ / 1"` 3
N _"` :
45x-7)(7SGB|7SG 6 )7 -$<,)$% ;O_ /21 zz` ;2D2
6 $7-D
:
;2 #XG
% ;D!#);H<,-;3
$ @ $ M ! 6 x;,c#x()<2xFD<2
%
_ " ` 1 ;D!#;T"$
_
1"` +
_ /1 " ` 3
:
#
yq);,7$;!x8$<,);2$ 6 Gk$7 6 _
_
M 6 %
/ M 6
%
3
3
1
3
1
3
1
_ / 1"`
_ / 1"`
3
1"` 6 1"` 6
?
3
#; Y 1
Y 1
" 3
1
@
#1
3 N
1
_ /1 zH`
"(" 1
" " :
_"` 1 (
r 7s$#$-_ /1 zD` );,)\$;,LW7S9!#)\ ?K6 #$);,2M7W;Y_ /1 >`"1k{ );
7G+,E$c;H$;2)$;D!#-)$;D!#)wTxx)$$");2& "!#$&' % (!#)5)#& !7;D!#S
$<,)$% ;[_ /21 z#D` 1Xr S$(!#W(<,77 ? $(!7j5$<,);2$G_FD<2-$5$FD<2)9;D!#-
3 p +!#$;27DF<,
7C<2!#) 6 )$ 6 7 `8? 7;, 3 ?
" _ /21
" 6 _ /21
_ ` _
+
` _ ]6 `
3
` _
`
3
_ `
` _ / 1"`
3
1
1 " ` 6U_ +
" 3
4nc"<2$2-;N_ /1 zg` 7D8;W 6 ;,M_GH1 " ` Syq) 1,/21
6 + " @:
3
" @:
3
_ /1 zg`
1
_"` 1
3
"("
:
FD<2
-S#G?93 " +B/21
G#-2?3Y6 " +B-J:
u;ZKyq) 1v/1 7DCFD<2L$;e^#$)&% ;e^K2$ J,^ 3 " ? ^d)\$FD<2) 2d2
3S6 " p S3
3 -? FD<2xj$ "!#' % Q!)$*C!*&% 8x$# 6 <,;!8$9;MR9
);,))T"$# 1 b ;,"<2)7-D 6 <,$:F<,jD
$7 6 Du$"&% !#)"D ? 7;8"% !#)"Dv( 6 6 ;";
$")2 3
1 b "<27sJ, S 9-W(<T")&% ;d$; 1 5!*&% n
6 GS$ !' % Q!)$ p ";E "<T
/
@
A7C+2)$% ;
+ 6 js "!#$&' % (!#)
4ncFD<k' % D
F <2
_ ]6 3
;
_GH1 " ` 3:
_ /1 z#UD`
? 55#5:5#u!)$;2F<,X6 ` _GH1 " ` 3_ 6 ` _ 1" 6
` :
& ";TQ! ;D!# 1
_ /1 z c`
PjDB!E<2Y6 SL GS$"!\3 21Tr &Q! ,
< 7n #$")&% ;
FD<2C;2D5, )#;D!#);H<2),dY6 ;a_3 21 4n-Eyq) 1l/21 c 75FD<2G<,;,2
,p ]6 3 ,p c;T+!;2$7-DFD<2
_ ]6 _ ` :
` _ 1 ` 3Y6 N
Dg
t
(0,t−x/c)
P=(x,t)
x=ct
x=ct+ ξ
C−
C+
E + cB = 0
x=−ct+ η
E + cB = 0
x
yA) 1X/1 c
5#;,$(!-$<,)$% ;E$' % 78$"<T");,$_ /21 z@U`*? _ /1 z c`"p +!;2$7
_
+ ` _0;1 " ` 3
_
1
6 _" 6
` _0H1 " ` 3Y6 N
` :
x;,c#;,<2;D!# FD<2
_0;1 " ` 3S6 /
_" 6
` 1
L_0;1 " ` 3
_" 6
/
` :
_ /21 z>`
;LB|#7S()7)x_0F<,$2S7QIQ ")")-R) wT$ ` !;2$7FD<2 6 , U
N
L_0H1 " ` 3]6 /
_" +
` 1
L_GH1 " ` 3Y6
N
/
_" +
` :
_ /21 z `
@A&"<,");2&c_ /21 z>`:? _ /1 zD` # 6 $#;D!;E;,2nF<,C( 6 # 6 D;M";^")2 3
NdJT")i[$ J, ? J,)NN)\&FD<2)$,N#& 6 $"!#)7;D!# 1 (!S(;U ;,2
$& !#7S;8% !#)sFD<2E(;Z 6 $2)$")&% ;e C$<,);2$c2 d <2Q: ? <2;2K2 D
&#<2+2)7);D!#Dj7Y% 5 ;T$5 () 6 1 Pd% !#&(-F<,C;K<2; 6 <,;! wIQ4 p 3
3 JT(!KFD<2 " 3 p !#)7 6 NFD<2E! 2^$;[$C 6 )7-$K(
;, 1 *Q!K;2D
7G<2$(!# LFD<27 6 s;2M# 6 #<,;O);,(!;D!T% ;,$7$;! p #);2MFD<2H)I(;K;i<2;,
H),SwT;2) ! 1
{ -QI(W"7 <2;K(IQ ")")L$A$#$jn&"<,");2&52 d< Q: "<,;,E#c!)$;2-<2;,
6 #&^;F 3 (1{ ) #< 6 ;2$7L 6 $O";T<, ! p !#$;27FD<2 3 $;.3 (1
@
.2
&2
@U
@k8$"<T");,$ 6 #&(#;2
_
L_ M 6 %
M 6 %
S3
1"` 6 _ / 1"`
1 " ` 6 L_ / 1 " `
_"`
{ < 6 ;2);T FD<2
6
O
1 &
O
1 &
3
1
3
1
6
3
1
" 3
1
3
1
"#"
1
"("
3
!#);2xGB|7S
_"` 1
1
" Y 1
1
" Y 1
:
j(t)
t
yq) 1,/21 >
4n)"<! d; "! WDC$7 6 D 6 Q1 r W!#$#7);,G$(!K#$$")&% ;Z$7D
R% 7-Oc&"<,");2&E_) ` K _) ` (;e<2;,O 6 d<)7S)$% ;Z[_|) ` K _|) ` v;e$($;!)2OFD<2L
(<T");2&xd_|) ` K _) ` A# 6 $;NEC(<,);2$O_|) ` K _|) `s6 W)$(!9$x2
_0;1 " ` 1
78_ /21 z>` F<,s<,;,2 % " _|$:&")W$(!T% "$$c$+IQ!#C$7)# `v6 7
6 d<)7Ss_ /1 z>`*6 j#<^($#)s 2 A ? 8;MCB|#7S
N
3
3
N_ " ` + N1
_"` +
_ " ` + 3 :
/ / /
3
6
_ /1 D`
+,#7DAFD<2c_ /1 ` #;(<T");2&vc_|) ` K _|) ` 6 6 )2q$(!#) !<,)$% ; 1 v&") p
(<T");2&:2
_
M 6 %
1"` 6 _ / 1"`
3
1
3
1
%
L_ 3
1
1 " ` 6E_ / 1 " ` 3
N _"` :
u;ER(b " _ FD<2$*B|$<2;D!# ? GFD<2 &: ;, 6 ($8G$")2LC<2\ `
u&"<,");2&n_|) ` K _|) `u6 #9;S<,;,c+2<,;,G$") 6 ")&% ; 2TB|;j% 7-$;2 1 u; 6 #!#)"<2 p 2
c
_ /1 ` 7DGFD<2
? <2 #; 6 #<,)2c);,(!;!X% ;2&7;D! 1v{ ); 7G+, p &"<,");2&G_) ` K _) ` ;2 6 <2&;N$")+2)$ B|;j% 7-$;2M 6 # 6 D)$% ; 6 Z ;T
" 1 j$#<2 ! Xd
% W);D!2$% 6 ^:$ !"7 6 c&Q! K)#<,#)$% ;[";eO 1
$l)+2 #@k$"!#<2$*; r J ? #) cy2 ? ;27S;2; g ;,(s)#<!#s$(!# 6 +27SC;
#<27;D!#DuB(' % #) 1
>
"! $# %&
(' ) %+*-, #.' ! "/#&. %10 ?032&(%!#&546, #+7(0$98 :*; . 4("1 # @Ax&"<,");2&xm' % 6 !#)c$")+T$;N#)!#<,");2&CFD<2 ;2d$7G+2);Z;Z$u!#)7 6 p ^+2);
#) !<,);2$CF<,L(;Z;[)$(! WB|7S 6 $#)&% 2)$ ? "< ? d 6 $;,;T")M!#$7 6 6 <2&
$)7);,#x$<,)"% ;,D(c <2; 6 +27S&Q!X9% !#)" 1 5 6 $;^;^9#)57 6 j2G 6 ) K
$")&% ; p? ;,#!#v2)"<!)7Du<2;, 6 +,$7 !' % 6 )"Dv;S$Q!)), p 7&R% ;,)$x
t,<,)D ? $"!#(!T% !#) 1 ;E&Q! (&")&% ;M)#<!#)7<2;2 6 +,$7:!#) 6 1
<>=@?A=B?A= CEDFHGADIKLNJ MPO9Q F M GSR Q RUT9VWG M G QYX G[J Z]\WIBDG Q^MPQY_ F9I X I`TVaI L
A7S7DS<2;,[7-$7C+2 ;TZ&% (!#)e; <,;,ZB|<2$#\&eO#&Q!) !<,")&% ;cb 6 E<2;2)2
;2) !<, 1 PjE);!$e+XEFD<8^
% B|7Se 6 !eZ7$7C+2 ;,e+,9IQ[#< 6 6 ) 6 $#
<,;,2#;,<2;D! p &' % )27-$;D!#5#<9IQ!;^#<E+X p G 6 #))$% ;W&F<,))+,#) 1
yq) I(7Gj#)(!#$7SK^"H$;,,x! "7O#E7G<2$(!# d$; ^w,<2 pq? ;,!7
E#$)&% ;OFD<2"< 6 LW77C+,;,L<,;,2M#+,#GW;2M"!l<,% W;2);2<,;, B|<,\$
6 $+2)^ 6 $# 1Rr s!#M p #$
$u+T2-W77C+,;, p? 2;2!#7D!7C+2)"% ;
6 Z,3> _0;1 ` CB|7SGFD<2sC77G+2 ;,c!#7S-"<,;,(B|7C+,9IQ-G")&% ;E
#< 6 # 6 ) 6 $# 1 $Syq) 12z2131
@k5)&n& +!;2$ <2;,s$<,)$% ;GFD<28;2 )5nB|#7Ss8577G+2;,sF<,82"!#$#7);,
CCB|<2;,)$% ; > _0H1 ` <,;,2G
B|<2\$*2n!;,#)$% ;O_0F<,s#5 6 ;2;ECG2"B|7S)$% ; L7$7C+2 ;, `? $ 6 &(N_FD<2SB|7 ` p $(!T% ;K$;O&F<,))+,#) 1 P <2$,E7E(IQ ")")L$
<!))\$($<2;T2- ? PjVQ8!#; 6 C+!#$;2-$"<T")&% ; 6 ,>q_GH1 `"1
Pn#!#j+!;,7Dj $<,)$% ; 6 \>i<!))\&;,2L 6 );T") 6 )WC7^' % ;2)7S ;,T' % p
$A"<Tk;,s)CFD<2 #<2;d#)(!#$7 7-&R% ;2)L#c;,<2;D!S$;K#< 6 D()")&% ;dG$FD<2))+2) p
<,;,25#<C;,T' % j";w,<2")&% ; _ 6 !;,) ` $q7^' % ;2)7 1 4n$+T$7 6 <2&A$;,";D!# <2;TG< 6 #&()&% ; 6 --$;2T' % C2x-77G+2;,-;E!2$% #7);28c#<EB|7b> _0;1 ` 1
;U;H<2&Q!#D (DN$;2X' % NK;wT<2 )$% ;e!#);,K 6 #!#& 1 j;,Z&SN&% (!#)
ed
d
g
z
y
x
Ω
Ω
g
b
+,)i*!# +,IQd$)\$2 6 G^B|<2$#\&
1 G<2;,KJ2) 6 % !#&()-F<,E#E$+TW$#)wT
< 6 )7;D! 7-$;D!# p FD<2x-;2$#X' % c&% (!#)-&Q!X% ,2 6 ;,T' % c$$% Q!)$ 5n% #&-2s-77C+,;,();W2"B|7S 3
u
C_ 5j% $7-$7C+2 ;TGB|7S2 K 5j% $#);MB|7 ` 5j% $#);MB|7:
b
u;E!2$% #7);28xGB|<2;,)$% ;>M!;2$7jFD<2
b
$
b
3
C _ 3 +B>
+.> ` 6 3E :
_ z,13`
%
@k$;2T' % 6 !#$;,")A D)!");, 6 j<2;2)2^2e% $$+2)2LS $, p &j$)
6 $#W-L77G+2 ;, p & [ >Z;,
$sE7SL-L77G+2 ;, 6 5<2;,)2O2
% $ 1 @kS$;2T' % C!#! q(c+!#);,C(<,7;, d_ z213&`8? _ ` C);D!#$ ;,2 1 b ;^L;!)
+!;2$7FD<2
u;2$#X' % C&% (!#) 5j% $#);M"B|#7S
[ >
! ! `:
_ z,1 /`
C _ 3 +.> +.> ` 6 3#E +
%
5 6 )7D 6 <,$q 6 );T") 6 )s:7^' % ;2)7Sj$;2T' % -_ z21h/`"1&r j+!;2$A>FD<2:7-);2)7)\&
E2) J,E$<,)$% ; p ;,;D!# 7D 6 )7$#W<2;,M";,)")&% ;O;2$$) 6 LFD<2EJ, p
?^6 DQ!)#7$;! 6 #+,7n;N<2;,s#5m' % 7)!#&s2M_ z21h/` FD<2GB|$"!#)7;D!#
7);2)7)\& 1
r i+!;2$ [";T))$% ;Y;2$$)N&(&2N+,($#97-DSFD<2K#)> 7);2)7)\&e p
;D!#;,"&8GB|<2;T")&% ;
. _ " ` 3 L_0>J + " ) `
_0> ` 3
d
d
;T )S&u<2;TB|<2;,)$% ;SwI(! lF<, ) 3 ;
? " <2; 6 X% 7"!# p ;2\$<2;L7^' % ;2)7
"7--B|<2;T")&% ;^ " $; " 3 21 *Q!G&j")#!# 6 C!#2 ) p !kFD<2 ) 3 ;
1 4nx&Q! +,#9)$% ;d!#$;27D p u)<,uFD<2$;Nk% "<2 p FD<2S<,;,M";T))$% ;O;,$"&##) 6 MF<,
> 7);2)7)"c^_ z21h/` $FD<2
. _ D` 3 )H1
!kFD<2 ) 3
$;
d:
_ z,1 zD`
b H g3
RR% "<,SS_ z,1 zD` (x(I("7<2;MQIQ$)) p x7S;2$-FD<2x+2!#;,7
b
$
. _ ` 3
C_ 3 +B> = b)b+
+B> ` / ,
>
[L) ! ! J:
_ z21 D`
*
";H;,)$;!j!;,QB|#7Sn_ ,
z 1 H` );!;, 6 6 #!#&u$ 6 # )7*!2$% #7);2c+2!#;,)$;,
$' %
$ . _ ` 3
6 _ 3 +.> +B> ` / >J+ [ `
) ! ! \3 :
_ z21hg`
%
b 7-W_ z,1 g` &* 6 b) 3 ,
7 +,)"$% ;L"$# 1 45xFD<k' % FD<2
p $!#CB !*!#);2FD<2($
! C
-$"<T")&% ; 6 ,> & b
C _3
> +
> 3
b
=
1
%
+.> ` / > d:
_0H1 `
E
%
%
+
C _ 3 +.> +B> ` / > E 3
%
[
%
d
_0H1 ` 1
_ z21 U`
@AE&"<,")&% ;U_ z21 U` &<2;,M&"<,")&% ;i;2M);2$u"7 6 )2 ?K6 x
7-7;D!#^$+T$7-D
;B|#7S;2D
";EC7;2D87C+,))D( 1 j;M(-);D!2$% *$8"<T;,G 6 $;,);D!#&
G 7-$7C+2 ;T\> ? > #; 6 $FD<2
;T p &Q!E 6 $;,X% $A+T;,C;D!#cjB|<2\$
%
$$% Q!)$ p $ 6 $#2x-77G+2;, p &' % 7S(<M)7;,#)$% ;^ "!#$&' % (!#) 1 4ncFD<k' % FD<2
<2;T $#)&% ;^()7 6 ) wT$2EE_ z21 U` $-_& 6 $);, j!2$% #7);2> ? > ` S&"<,")&% ;
%
);,$
> +B> %V%
b
3
> 3
[
1
1
d1
_ z21 c`
d:
*Q! < 6 $#)$% ;N_ z21 c` #c7SS&"<,")&% ;^ r )#; 1 +T($#97DF<,L_ z,1 c` ;2n)
FD<2x";TH),W?>^$JT")#)+, p <,&Q!XS
% c<2 S";E;H<2&Q!-);!<2)")&% ;
? < 6 $#);,) 1
&(7nJ2<2;O# & 6 $)AW_ z21 c`"p $A$#L"<,;, f&n<,;K' % "<2 C 2)
% ;W$";H;,)$;!5<T#j"H ;T2 6 $ ? &##)+2)
1 u;W$(!S#)!#<,")&
d
3
_ J
> `
> _
1 `
3
+
3
1
> 73
b
[
1
1
Y/ 1
./ :
45+2)LS#)7"!' % S$ 6 +,$7 6 7n+2<,n(<T");2&F<,c;2L 6 $;,$;d +!#$;2j&' %
? [
> _ 1 ` 3 _ 6 `
_ z21 >`
b
FD<2O$ e&"<,")&% ; O<2; 6 +T)2 1 *LO);D!2$% L <27);,L<j% ;T[e#<,")&% ;
_ z21 >` &*;,#)(!#$;D!#n;ScJ2) 6 % !$#)*n);2$)\$")&% ; 1 4n) J,C;,#)Q!;,)c2 6 ;,sn
&Q!)7S)$% ;
[
7Y% < > 3 :
/
b
@
g/
@
b <,;T
3 "B|& !)97$;!xS#<,)$% ;W&j";,#)(!#$;!c";WJ2) 6 % !$#)nc<2;,-!&' % );2& 1 v();2)wT$W
&s $ 6 $ 1 PjD52)FD<2 6 L7-$7C+2 ;Tn2-<,;K )
wIQ p 6 $;,);D!#5$ 6 $FD<2
;, c"<T;,C B|<2\$v&% (!#)u#;S ;T$v7 6 ,v";
6 $#S7$7C+2 ;, p ) 1 1 &)B(' % )A"B|#7S8<2;TG7$7C+2 ;, 6 $FD<2
;, 1
@kW$<,)$% ;U_ z21 >` ;2D 6 #<,+,WM <)(!#$;,")M #<,");2& 6 O_ z21 c` $;i<,;N$# 6 K
!#)"<2 1 @A 6 #<,+, 2x <)(!#$;,")S$;M$#7Y% $;2 $8&+IQ!#L2x!# 6 #!#&j
"<2 # 1 @kWFD<2-() 6 75J,"s$ 6 +,n <2;,))2K#<,");2&nM_ z,1 c` <,;,2
> _ ` ;,2
$<2;TG)$% ;EFD<2c;D!#);2x
12r c&Q!S+,(!G$jF<,
<2% ;,)$S(<,)$% ; > _ ` $ 6 +27S
@
d
$>J 3
d
d
d d
> 3
> 3
d1
d1
_ z,1 D`
,1
(!#J2& J2$";,#$"<,;,)-);27$)9! -2!7S-s; ? FD<2
$
>J ! ! +
$
> D_
$
>J
` ! ! \3
=D_0>J ,> ` ! ! \3
$
? "7b> 9!#)(B"_ z,1 D` !#$;27
$
>J ! ! \3
1
>J73
>J
>!
d1
3
d
x;T?> 3 21 $#$7-DJ2-FD<2#<,")&% ;M _ z21 c` p #)$FD<2x-J, ? $; _ ` p
"B|& !#)97;D!s7);2)7-)\$G-$;2T' % 6 !;,)l#& 6 ;T)$;D!#5FD<2$;E&Q!$#C&8<2;
$- 6 #)7 $;W _ z21h/`
_G> ` 3
$
b
d
_G>
/
+B> ` +
%
[ > ! ! `:
r -7-DQ!nFD<2 _G> ` $n7^' % ;,)7L _0> ` $;^ (
"$#-;
p +,(!$"<2
L_0>J
$
b
7> )
% %
d
+
) ` 3
b7> ) +
$
b
+
_0>J
/
+
d
%
+B> ` +
[L) ! ! +
$
_
d
_ z213$D`
`
2xB|<2;,);2$5F<,C(;
[ > ! ! +
b ) ! ! /
L_0> `
_ z2133`
6 G!#2 ) _ ` p ";X)3 $;
? SFD<2x$k#<,;,-!2$% #7);2S _ z,133&` &j"$# p
6 FD<2& 6 $)7;D! . _ ` ? #!#)QB"$"<T")&% ; r )#;G&' % "7x";T))$% ;
sB|#;D!# 1 (!#$#<2!2CJ,#) 6 +,-+,9IQ";,)");2&*7G< ? $(!#)"!#)9 ? 6 #&)(! 1v{ );[$7C+,# p (7-$;D!#E# 6 #!#$;,)&O
% )<TQ!-i()!#<,")&% ;[2W<,;,K7S;2 ()7 6 1 b ;,)");2&*7Y% 6 $") ? $)Q! 8(c2)"<!)X% ;W;W! 6 #!#&8k<2 ( 1
b H gz
<>=@?A= >= CEDFHGADI LNM9Q Z QYX J \ I@DGAZ QYM R Q D G J M BI DG 9O Q 9F I HO L Z
% 79H)"$% ;,D(G;O!#$)7-$;,#);2$ ? < ? W79D)7)$;D!#
{ < 6 ;27-Dn<,;Kt,<,)^FD<2$(!TE
&8$(!);,) 1 j2$") p ;^2 6 <2;D!# Z$R$ 6 ") p ")2
_ ` $j7)(7S
<,;!n!l!#)7 6 1 ;E&Q!x#-<2;, 6 #!' % <2GRt,<2)S#!#)QB"s8$"<T");,$
5
5u_ " `
65
5
3
_ u_ " `(`
? #<G!# ? $"!##)n#87Ssm' % ;2&52*tT<9IQ 1 45$#$7q;,;D!# &"<,");2&qFD<28;2D 6 $#7) K
! ;-;,;D!# v$"!#M$;#)!#<,");2&v);D!2$% 1 j;,&Q! v#) !<,);2$ &v"<,;,
$lt,<2)S;2-!#);2x7);2 p ;,2))$% ;WFD<2x#x < 6 $ 6 _3 H:
_ z,13/`
557Y% nL_ z,13/` ;,$"&()!7$<,)$% ;M2C";,($#9")&% ;MC7S 1 *% Q! S+!#K
;2$7j;,#)2 ;,S<,;, #< 6 $(wX")x!#<2+,<2
1 B|7S2 6 5=' % ;2&jct,<9IQ ? ! 2
$; (<,
<H!#7D 6 ?
1D{ < 6 ;27u7Y% F<,n;S$,);D!#)
$,!<2+XcJ, ? <2;,
#< 6 #wT") 6 qsFD<2:;D!# j#
t,<2)";G<2;,5$")2_3 F<,*&k<2;TjB|<2;T")&% ;
22 1 ;M<2;,()!#<T")&% ;M&Q! ");T) p S;!),Wxt,<2)SFD<2x;D!R!#<2+X -!# $% ? x&-7)(7SSFD<2c 6 p2? F<, 6 1 ;2S$;!-;2)A#t,<,) 2+2)
FD<2
3 $;
$-;27SR
p ;,2
1 n");,2SR+,;,"+!#$;27 p #)
1
1
&8S$;,#)2E2t,<,) p FD<2
8
8
8
=:
6
8
,8
8
8
(= :
$
(= :
< $
/= :
< $
<
,8 :
8
8
8 6 8 6 8
! 3
7S-25tT<2)2 F<,x;D!# 6 ; 3 ($<2;,2L1
! 3
7S-25tT<2)2 F<,x;D!# ; 3 ($<2;,2L1
! 3
7#st,<,) FD<2$;!
x;,
6
$
<
(= :
! +
$
<
=:
! 3
$
<
(= :
5#;,l!7SS)$;,")c+!#$;27FD<2
=_
=_
` 3
! +
$; 3 #<2;,41
$
<
(= :
! :
`
? " 7 $8;2")2 p? GFD<2j!)$;2sFD<25$:; c);D!#;T()2L5xB|<,;D!# p !;,2#$7-D
FD<2x"7 #)_3 p ;D!;,$d9!)(B
%
=_
` 3
)
_ z,13&z`
;,sB|<2;,)$% ; ) & v);D!#$;,()2-2jsB|<,;D!#C_c(<,7-)$# ` F <,j$v<,;,sB|<2;,)$% ; ";,K
)2 1 @k5$<,)$% ;W_ z21 3$z` $+Tj#< 6 7;D! (8";-;,)");,$ 8
B|;D!#$ 19{ < 6 ;27
g
FD<2
$C 6 !;,):2 ;[<2;Nt,<2)K;,dH)"D( 1 u;Z$(!#W(d#L+XLFD<2L#+2
<2;,-(< 6 $(wT)s' % ),*m' % ;2$
5t,<9IQS#; 6 G p xFD<k' % F<,s#+2 6 $&
' % )2
";,)")&% ;M 6 6 ),C& 3
3 3 21
u;u<H!#7),&vj<2;!<2+T-+Xj& 6 $) wT$ (8$2t,<9IQ p &
&")u$ 6 wT") 1r QIQ$7 6 p kt,<9IQS$(!");,#)-;^<2;M!<2+T fFD<2&2S"7 6 !7$;!x$ 6 &")wT 6 j
(<T")&% ;M&"<,")&% ;
=:
_
` +
% %
_
` +
d
_ J^ ` ^
.= :
3
3
1
3
3
d1
6 $E&' % )2 1
) 1 <H!#7);,))kl!<2+X 1
1
) 1 <H!#7-w,;,kl!<2+X :
_ z213H`
u;d$q$#EG<2;,E;,#)2d;,(!;D!# p K_ z,131 /` &n &"<,")&% ;d-L77C+,;, ";
3 2p <2 6 !FD<2xF<A' % ";,)");2&:2B|#;! G#;M)Q!);D! 1
!# Z()!#<T")&% ; 2d7C<, J,e);D!2$% 2;,O 6 #&";YS&"<,");2& $=' % 6 !)$ p $L;.
M 3 M 3 p $
6 d<)7S")&% ; -:$"<T");,$: d <2Q: 1 u;W$"!#(!T% !#)C<,;T
$) p D*$7 6 *;2-2 6 ;,$;W2X!#)7 6 !#$;27D:FD<25:$"<T");,$: K <2Q*$l#
%
#&<,;M
2
34
=4
@ 1
3
=
;
4
3
3
,2
1
1
N !=1
3
(< 6 $7;D!2 6 5;,)");,$sCB|;D! L 6 # 6 )2 1 +T$% #$#cFD<2G$;K$ $#
$(!T% !#)"8$<,);2$ 6 ? 6 #;W);T 6 ;,2)$;!$ 1
{ < 6 ;2D7FD<2cFD<2$#$78"!7);,k$7 6 S"$% "!#)G$;W<,;,#$)&% ;W"7SF<,
(Gc$;dLyq) 1Xz,1 /21 2;,CE(< 6 #wT) Y$s";,<,"!# 1 u;d&(-#
3 21 @k
$<,);2$8FD<2c!#7);T;M
(;
34
8
34
b 7
!4
3
4
=4
!4
4>= :
p !;2$7-DjFD<2
3
3
3
.4= :
@H 1 1
3
3
3
@ 1
8=:
9!)(B5$ 6 +27S?Pj$<27S;2;
p2? K
1
$;!# { 1
; { 1
FD<2n&
<2;TC&"<,")&% ;Sm' % 6 !#)C)<,XcCsc77G+2;,cFD<2s)"<2!#)7-D8 6 #);,) 6 )G2
$(!#$)$% ; 1
Y , H gg
S
ρ (x)
E (x)
n
yA) 1Tz21h/
.#&0 !"$#&%! ?0323(%!# 46, #+7(0$98 0 ; . 4 * "1 # 4 # ,
4! , "/#&. % '(
, "$e7(0$
<>= >=B?A= V L T X`Q R AG Z 9O Q I`VaI@D XBQ \
b 7- 6 #)75QIQ7 6 E;,#) 7j 6 +27S -4n)) J2"! 6 S<2;O)"WC 2)
p
3
_ >
`
3
+
>
3
1
>q_ 1 ` 3
1
) _ ` ) _ ` 3 ) _ /k` 1
%
./ 1
_ z,13g`
./ :
@A )$L$5#&<,")_ z213&g` <,; 6 +27SEC&"<,");2&5)B|;T")$j2);,#) 1Tr s&Q!^+,#97FD<2 > _ 1 ` & 6 $#)&% 2)$^"7WB|<2;,)$% ;e pA6 c$(!#S7!#)
6 <,$x&###n$;W#)2cy2<,#)xGB|7
> _ 1 ` 3
;,
D_ `
3 $
/ 3 $ 3
_ `
3
D_ ` +
_ ` ($;
$ 1
> _ 1 / ` ! /21
_ ` 3
_ ` "D
+
3 $
1
_ z,13(U`
! /21
>q_ 1 / ` #; N
/
! /2:
>q_ 1 / ` N
/
_ z,13 c`
;E_ z,13(U` D "H"wT)$;D!#$ #;CB|<2;,");,$v8<2;,s#n9)+2*FD<28$ 6 7q"!7);,
6 #!#)v*5$"<T")&% ; 6 ") ? 5;,)")&% ;-*B|#;! 19{ <,(!#)!#< ? ;,2-_ z213VU` ;W_ z,13g`
+!#$;27
3
_
& `
3
3
1
_
$`
6
3
3
1
_
$`
6
3
:
_ z,13&>`
gU
@k";,)")&% ;MB|;D!#$ ? kJ2$ J2SFD<2
) _ ` 3[ +
)
_ ` #;
$ 1
_ ` +.[
;2,-;,2));2$B|;D! 6 W_ z,13&>` ;MGB|7
_ ` 3[#1
) 1
_
` 3
_ ` 3[
_ z213D`
:
j;,;,)")&% ;M2));,RFD<2x)7 6 ;27#+,#s-B|<,;,")&% ;>d$FD<2x#$! 2 1
@k^&"<,")&% ; 6 L!#);2 6 G#<,");2& 93 " : ? X3 ; 1vr W9!)(Bc
";,)");2&5CB|#;D!# ? -<,#)2 p !#$;27D5FD<2 ,3][ 1 @A5$<,);2$ 6 #;W$<,);2$8c
<2$jGB|#7S
?
+
";N#<,);2$
FD<2
1
/
6
3
1
1 b 7^$#$7x#<,");2&#$<2$ 6 3
)
%
3
[ +
$ 1
)
#;
[
!))\&;,2M_ z21h/D` !;2$7<2;T-#<,)$% ;LB|#7S
>q_ 1 ` 3
?
+
!#$;27
_ z21h/D`
:
[
:
_ z21h/3`
r -)wTnFD<2E_ z21h/3&` $jB|$"!#)7;D!#G<2;,L#<,)$% ;dE_ 2
z 13&g` J, ? FD<2 6 #&")#j
FD<2x(x$;!)$;, 6 <2;T-#<,)$% ;WS_ z213&g`"1
s&"$s)B|;,)+2
r s<2;,W(<T")&% ;K^_ z213&g` ;D!;,$#$75<2;,LB|<2;,")&% ;F> _ 1 ` 2
"
D
;
!
)
H
;
,
<
!
k
D
F
2
<
6
6
p
>
3
> _
1 `
3
) _ ` 1
1
./ 1
./ :
n ? !#Dn";," 6 !#Dj-(<,)$% ; 6 sQIQ$7 6 6 $7n2$")F<,>O&n#<,")&% ;d2C
%
_ z,13g` p ()>i$n25$$5)9+2 6 ? m' % 7 >q_ 1 ` 3 ) _ ` ();K# >K;2&" K
##)7$;!n";D!#);D<T 6 3 12{ <T");2&*s$(!#5!#) 6 -#n7S;E#<,);2$*"&% #)$ 1
b 7;D!#R!#) 6 L2c(<,)$% ;E+,<,#$2 6 $;,c7G<, J2 $k2!# ) _ ` 1 Pn#!#D 6 ##K
+,7DvFD<k' % FD<2n<,;,2s$,2!# ) _ ` $u2 &"&v";D!);H<,7-$;D!#j$#)9+2 ?C6 )$D% ) K
" p % ? #<,c2)9, p ;D!#;,"&
> _ 1 `6 9$S<2;,d#<,")&% ;Z$% ()^Le_ z213&g` F<,
$S;D!#);H<,iJ,(!iKB|;D! 1 u; _ z,1 /23&` $7-DF<,^N)B|;,)+2))2UMZ($#)
6 ;TW2Ed 6 )$\L";[K"<T:DGDwT");D!$ ) ? [ $$$;[K 1 Pj#!#D
6 +,#$7-D5FD<2S<,;,2 ) 1 / u? $ 6 )$D% ) p M($#)-;H$#G-! B|7S
FD<2 6 $#7)!#j#<2)9)$% ;c!2% 7);2x5!2% 7-);2 6 ? 2"w,;28<2;TsB|<2;,")&% ;S;D!#);H<,
6 1
Y , H g@c
r 6 +,x^;H$#;,)Wd_ z,1 /23&` ;2&"&()!7-D$(!#)7SccH"wT)$;!$ )
A7S7D 6 (IQ7 6 )
)
3 $
3
3
3
$
/
3 N
_0/ ` #); N
/ ! /3Y6
3
"D N
/ )
_G/ ` ! / 3Y6
x;,
) 7Yd% <
5n;j% D7;D!#
[
)
3 $
3
)
$
) _G/ ` ) 3
1
" N
/ )
_0/ ` ! /
/ ! /
` (); N
:
[ _ ` "D N
/ ! /21
$
_0/
3
+
? [
:
r 6 +,RFD<25_ z21h/3&` &kDR$"&R$#)9+2 6 $",7FD<2u<,;,j";,)")&% ;
#<wT)$;! 6 CF<,nc)2C2n<2;,G($#)j<2;,) B|#77$;!5;H$#;D!#<H)(! p $:FD<2
j#)u+!#$;2)2jH$#)9!2% 7);258!2$% #7);2n#$<,;,j#)u<,;2) B|#7$7-$;D!#*;H$#;D!#
sB|<2;T");2&j";!);H<, 1
*C"KFD<2i_ z21h/3` &C<2;,) B|#77$;!E;H$#;D!# 6 1 *Q!K(W+XMKFD<2
&Q!XO
% 7);,2 6 S<2;,i($#)W;H$#;D!# pA?[6 KSFD<2W$S$#)9+2 6 <7);,7 6 QIQ$7 6 S($#)
u_ 6
$ 3&`
/ )
#;
+.[
+!#$;2),e)O_ z21h/3&` 2
! $% #7);2eZ!2% 7);2e;
<2;,) B|#77$;!x";H;D! 6 ? GFD<2
u_ 6
$ /
3&`
/ )
#;
+.[
"
$ / 1
_ z,1 //`
$ 6 $ ![
/
$ 1 @k ($#)[_ z,1 //` &
u_ 9
6 3`
/ :
*Q! C&()<,, 6 <2$+,CFD<2>M$::&"&*$#)9+2n$ 6 $ !- 6 1 P <2&2
7G(IQ ")") 6 +T8$#)9+2))2L$ 6 $ !S 1
@A[7)(7SU";TQ!#<,$")&% ;fOY(<T")&% ; p 7C<,$(!# [FD<2 > #!#)QB"iU$<,)$% ; 1 (!#
7 6 "!W 6 #<,+,MSFD<2d_ z,1 /23&`56 9$C<2;,^#<,)$% ;i$% ()W^_ z,13g` "<,;, ) 1 / R? ) & 6 $#)&% ) 1
@A 6 #<,+,SC<2;2)")2^22 p <!#))\$;,S$R!#$7SScS)$#;,) p ;2 $n 6 )$+2
$; $(!#i# ? eFD<2K;2U#+T$7WF<,> _ ` 1 j;T 6 <2+Tei<2;2)")2 6 K
6 ), L2#$7-Dn7Y% 5;D!# 1l{ );O7C+TL#G(I(E7L(IQ ")")L$ 6 #+,sF<,-#)
) 1 / ? !#2*#<,8$#)92*#; 6 $#)&% ) p ;D!#;,"&> 6 ? d
g>
(<T")&% ;W$d2%< ;2)-$;W&(x$# 1
@kE(<,)$% ;[_ z,1 /23&` 2G &"<,")&% ;[_ z213&g` B|<2-+!;2)2 <2!#))\$;,WqJ2$ J2E7C< ?^6 #!#) K
"<2vFD<282,9!#&A<,;,5B|<2;,")&% ; 6 )$D% ) ?c6 $#:7!#)$#+,u$;S($#):2
y2<2#) 1T{ );^7G+,-<2;^<7;^7Y% j2"!2 _ z,1 /23&` ;2D7C<2&Q!S)$(!J,$ J2D
FD<2;2 6 7) !)X% ;i#&(s!#D 6 +,$7 1Rr #)7EFD<2;,2N_ z21h/3` &<2;,M#<27S
6 <, !8xGB|7
_ ` _ `
_ z21h/zD`
;TG$2 6 #<,"!#W#!#)QB"c & "<,")&% ; ? #&")+TGq;27G+2G-(<,)$% ;d( 6 +, 1
5n$7Y% AnB7)) C E !#);,* 6 # 6 )&2x2:FD<2*!#2jB|<2;,")&% ;-:<2;,s"#* 6 # 6 ) 2
6 <2&x$")+,) (s;MGB|7
) _ ` 3
$
$
)
_G/ `
_0/ ` ! /
_ ` :
4n&Q! :+,#9);2$*$<T")7-DFD<2s<,;TG$R29!-2 6 +27S 6 <2$2s< 6 #&##
";K<2;,LB% 7C<,E;j% EW-($#)$sy2<,#) p $;K!2% 7);,n2GB|<,;,");2&F<,
(;KB !$xS<2;TW#<,)$% ;i# 6 +2 p 6 #+27SM( 6 <2&S$#xv7-$;2xB| K
7S7-$;D!#xxG7)(7S7S;, GFD<2x$ 6 #+27S;D!#$#) 1
j;,c!2&% ";2) 6 x$#$u$<,);2$ 6 ")$
$*-n+,<,#$*!#2
6 D()+2$:(<LK
");2&x( 6 +,& pX? #$);,$;!#$s<2;,M#<2+l"#FD<2 6 <,$2M< 6 #&#5$u29!
6 #+27S 1 n;,$\s$;,";D!# 2*&#(<T");2&8<2;,S#<27S-;j% DGM_ z,1 /z` ;2
2X% <,;,M(<,)$% ;dB|#7Sv$ 6 +27S 1 @A !2$% ;2)$E2$") ! E#7SE 1
:
b 7<2;MQIQ$7 6 Sc 6 )")&% ;M";,()$#$7-D
$ 6 +27S-7(!# -;WSyA) 12z,1 z >
3
>q_ 1 `
> _0H1 `
3
C _0;1 ` L O 1 > _
1 ` 3 1
q
d1
> _GH1 ` 3 1
q
:
3
E 1
:<,#$7n(<,);2$5( 6 +,&j 6 +27S GSB|7 >q_GH1 ` 3[_G ` _ `"pX? $ 6 $;2\$M&CFD<2 $#<2!#S<2;TMB7))dLB|<2;,");,$ C _G `IE FD<2 ;2D
6 7) ! e
; &#K
#:-B|<2;T")&% ; ) _0 `"1X{ <TQ!) !< ? $;,;MG&"<,")&% ;E!#$;27
c;,
+ 3
3
=1
1
+
3Y6 =
1
3
1
_ z21h/ H`
;T $s<2;,W";,(!;D!G$ l
1 r LFD<2b>N#&(<2$9E 6 +27S p LB|<2;,")&% ; $+T
#!#)QB"$! _ ` 3"[_ ` 3 _ ` 3 ,
1 4n$+T$; 6 <2$8$#$#G_ z21h/ H` ;W";,)");2&
Y , H g y
u=0
y=b
∇2 u = 0
u=0
u=0
u=f
x=a
sB|;D!#$- 6 # 6 )2 12{ < 6 ;2D78FD<2 a
3
3
9
9
;2S&8 6 # 6 ) 1
Y21 u;D!;,$
3 1
[_ D` 3 [_ ` 3 1
($;) 4;1 6 $#Y#;7) 3 1 6 <,$
6
[_G `
6 8! ;D!#
_0 ` 3
($;
1
3
1
9!)(B;
+ 3
1
_ ` 3
x;,c#x()<2xFD<2
#;)
3
_ b6
? 6 $;,cFD<2#<,");2&( 6 +,&:#; _0;1 ` 3
#;
#;)
`
_ b6
3S6
3 #)R(< 6 ;,7FD<2 a
3Y6
@A8"#$ 6 ;,);D!#&*B|<2;,");,$ >
x
2p ;D!;,$
:
1
`
1
a3
3 1 / 1::V:
;e_ z213&g` k!#$7S -y2<,#)jD ;D!#)\$+,- 6 D()+2))2^G&##q29!L$
6 +,$7$;!2$% #7);2v2j B|<2;,);2$ 1 ;S$(!#n$# 6 6 $
<!))\&*,7 % !#
;2&"&()!7-D:<2;^$#G2xGB|7S
) _0 ` 3
$ 1
($;
_ z,1 /g`
;, #$;WDwT");D!$ 6 j"!7);,# 1 @AG<)(!#$;,")<2;^$#G2s
B|#7SM_ z,1 /g` ;2$+HD);2);2<2;T7;2 1 5 ? ")#!-& 6 ;2\&xF<,c(&G8% )2
` (;e")#& 1A{ < 6 ;27-F<,O_ z,1 /g` $G:% )2 ?
? dFD<2EcB|<2;,);2$#;c_
U
!# 9!7 !#$#7);, 1 b 7M;N$u#M ($#)$ y,<2)7C<2!#) 6 )$;,2
` x
);D!#;,-+!;2$7
6 j();c_
$
) _G/ ` ($;
/
$
! /?3
#;
/
! / 3
/
:
_ z21h/UD`
!))\&;,2M_ z21h/UD` +!#$;27DF<,x<2;,(<T")&% ;EB|7R 6 #+27SC&
>q_GH1 ` 3
$ 1
;T
#;2J
/
#;2J
3Y6
_ ,6
$
) 0_ / ` #;
($;
`
/
_ z21h/@c`
! /
()7 6 xFD<2 _ z,1 /g` (&G8% )2 1
uH$(!#<T)x:n9)\&##DR"75$22s;W_ z,1 /g` p (")2q";-(<T");2&
( 6 +,&Li$<,);2$ 6 ")$ p &W+IQ!# 2O A' % Z { !<27,K @R)<,D)iF<,
7 6 \kN
% K2$# ( K7$)DG2() 6 1 Pn#!#C;2K);D!#$;! 7-2
<2;,E < 6 #))$% ; ? EF<,-#<O&Q!<,)E7 6 ;,-9)Dn92%< 7;2& 1 j;TL+2G)"<,#)$% ;
6 <2&M;,;D!# (L;[$)+2i2 i);H+T$#
3&g m1 PjDG)7-)!#$7G;U$(!-;2!
e<2;,E+2#$&L"7;D!#) ? [7-DQ!E;,X' % S"; i% $+2e);2$ p W"<,&
B)) ! X% ;Ek" 6 !j#);W$7(!# ")&% ; p 9)2\xc&##D*2sGB|7SW_ z21h/g` 1
r cJ,"$;TX' % G";Wx% +2 G);2$R+T($#97D*FD<2x:B|<2;T");2&
_G ` 3
#;
#!#)QB"$;
!
_0 ` 3]6 _G ` 1 _ ` 3 _ ` 3 :
_ z21h/>D`
! @k&"<,")&% ;M_ z21h/>D` );T)$xFD<2j |B <2;T");2& # ;)$;H$"!##&q2js!;,(B|7")&% ;
1 ;,2
);2&
3 C ) 1 ) _ D` 3 ) _ ` 3 2EDp "w,;,)2 6 uD";IQ<2;D!#
$
_0
) _0 ` 3 )
&k<,;C(<,+T& 6 ")& !##)
) 1[
3
1 H?
$
` :
;N$% # 6 <2&*2"w,;2)k<,; 6 H2<, !
) [ ! H:
_ z21h/ D`
4nx"<2$ 6 <,"!#-$2-;WW_ z,1 /` p $ 6 f$#<2 ! G#j#)7["% !#)"
FD<2 6 ) 1 [ (x9!#)(B"
? ) 1[
3
$
) [ ! 3 $
) [
! 3 ) 1
[
:
Y , H U23
,7)#7G#<27;D!#c$5% +2 );2&T7C<2&Q!cFD<25Du$);H& !##&u f"#$ 6 ;2K
);D!$-)$;D9#&:2)(!#);D!##;W#!#;,$ p &$)
$
_0 ` -_G ` ! 3
1
3 =
:
557Y% j#&" 27-D8A#&(<2! e% +2 -);2&k$;^qF<,c(C2)CFD<2c$);H&IK
!$un<2;,!;,QB|#7S")&% ;()7["% !#)5B|7S;<2;,c+,#n$,$ 6 ") 1 ;U% +2 );2& p
$+2)eeFD<2^5$ 6 )N&LK2)7;T()&% ;Uw,;2)! p T% N!#$;27 <2;.;5<2% 7Zw,;,) !e
$);H& !##& ; ;H<2&Q!#-#x!;2$7-D
<,;L;s<2% 7$#G);wT;2) ! pH? GFD<2
$:s2)7;T()&% ;
%
);w,;2)! 12r 7:)7S);,:<,;,- <H!#$;,()&% ;W;2+HH) 6 -#);,!#<2 p x% +2 G);2$
6 $;,#cFD<2D);H$ !$ B|#7S;i<2;,M+T#2u& 6 ")
$;i$u($;D!#)^
FD<2s!#2 ) 6 <,$c&## ( p "7-$; % +,G);2& p ;MGB|#7S
) 3
$ 1
) 1
1 _ z,1 z`
;,EO";H;T")W2EK#)W+XL$;D!#;T (E;e<,;,dB|#7Sd 6 6 )2 1 $7-D
FD<2N_ z,1 /g` IQ<TQ!) wT$ 6 ;,X' % M$d7DQ!K$; _ z,1 z`"1 :&Q!<,)ZE
;H$#;,)88($#)$A:jB|7G_ z,1 z` &k+IQ"!5*n!#$' % { !<27,K @R)<,D) 1 n;,
\C&Q! +2$),SE 6 )\-G#&")7)$;!E-s"H"wT)$;D!#$ # 6 "& p "7-L;
$R#x($#)$8xy2<2)$ p -$#)wT*-9)$\x:#<,);2$*B|7S$:+2!#;,)2
6 En7 % !#[2K( 6 )$% ;.d9)+2$ 1 j;TZ < 6 #))$% ;.7U% L!2[d$(!#D
$#<2!2:$(!T% ;M$)+22 O$);H+X 3g m1
P <2&2-"7-QIQ$))$#$
B|#7S7;D! pH? !# 9! c7 6 +,*-)$\2s
#<,")&% ;W 6 #+27S-);,2)$;WSyA) 12z,1 T1
y
u=f3(x)
u=fy(y)
∇2 u = 0
u=f1(x)
<>= >= >= e G-L J VaR F X G OHQ L I@Z Z LNM
u=f2(y)
x
{ ) #c#&"<2$, FD<2C$;d #)+,C7 6 QI(LB|<2;,);2$s7Y% ;2)j#; 6 (!c#&q
B|<2;T");2&S;,=' % !#) p & M
$ 6 $# 6 O<2;,N 6 $#;D!")&% ;[!#) 6 b <, J ? ;
U/
!2$% #7);2*s<2;,c);D!#$ lF<,n);D<,"n#<,:9$u$; cB|;D!#$ 1 b <2#$7
J2 $(!C < 6 $#)$% ; <,;,W_ z,1 /23&` p FD<2X$")+,)C<,;,G-w,;2)")&% ;E2s#<,:"H"wT)$;D!#$
$
3
> _ 1 ` 3
$
/
+
/
3 $
_G/ ` ! /+
3
3 $
3
)
$ 1
u
_ ?
6F/ ` ) _0/ ` ! /
u
_ ?
6F/ ` ) _0/ ` ! /2:
$ 1
r 3
/
+
$ 1
"D u
_ ?
6_/ ` 3
3
4nc2;,
3 $
/ >q_ 1 ` 3
3
/
3
+
/
$ 1
6 /
_
6 /
/ 6 "DR_ ?6F/ ` +
` ) _0/ ` ! /
R_ ?F
6 / ` +
6
_ z21 z23`
:
:
@ke_ z21 z23` $CMB% #7G<2d r )#; 1 *
c)7 6 #!;D!#L+,#cFD<2L$
K2$ J2K2
_ z,1 z,3&` $(!T
% w,;2) 6 # )$7 6 # xFD<2
) $
_G/ ` ! /
:
5n$7Y% xWB% 7C<2N_ z,1 z,3&` "wT;2S<2;,WB|<2;T")&% ;e7Y% ;2)i_ >O3 `s6 p :2%< ;
() ) ;2e!#);2d#)d2Ky2<2#) 1 6 D()+2 6 +,FD<2O"<,;, ) $ #7;D!d";LK
!#);H<, p _ z21 z23`n6 #9-<2;,^#<,")&% ;N"&% #)$M 6 +27SM 45)) J2!c;N*($;!)2dF<,
m' % 7 > _ 1 ` 3 ) _ `"1
<>= >= <>= V L T X`Q SR G 9O Q Q F9RSG M9M
b ;,#)7sJ, u$#E;,;i B|;D!#$E;2M( 6 &##)+X;Ks9$s
B|<2;,)$% ; p #);2q9$ j#<-2)9,5;,7 1 7 6 \&7v;,#) ;,2n 6 #+27S
6 G<2;^' % <2 1
>
3
_ >
_
1 ` 3
1
) _ ` 1 ) _ `
3
) _ /k` 1 0
>
3
+
3
`
1
Y/ :
Y/ 1
_ z21 z/`
Y , H Uz
r #"&7D*7 6 C$ 6 +27Sx45)) J,!n$#;T >d7
>q_ 1 ` 3
;,
1
_ ` "D
$R()(!#7S
3
+
_ ` ();
$ 1
_
`
6
3
_
`
6
3
_
3
1
3
1
)
_ ` 3
3
3
{ );M7G+, p6 X
1 "
_ ` 3[
3 1
1
_ ` 3[
;T";D!7-D
3
[ 3
_ ` 3
$
/
:
" @: p c;,$"<T")&% ;
3
)
[
_ ` 3
_
` 3
#x#!#)QB"x,% #)
1
:
" 3 #<,")&% ;MR#)Q!7S$
) 1 " 3 1
_
` 3
`
#;M#<,");2&!2*;
3
r _ ` +
[
_0/ ` ! /
3
_ z,1 zz`
:
*5&") 6 +27SL2bPn<27S;,;O;2E!#);,-#<,")&% ;dB|7 6 <2;i29!W#+,) !#) p
#);,CFD<2n$T2!#G2+X59!#)(B"$uC";,)")&% ; s"7 6 9!#)+2))2 n _ z21 zz`"1D{ )Xl2!#
9!)(Bs) J,-$<,)$% ; p ;D!;,$8<2;,#<,")&% ;EB|7S&Q!X% ,2 6 > _ 1 ` 3
)
$ 1
#);c_
[
` +
R_
` _ z,1 z#D`
;,-M;H$#;,) 2-W($#)-2 6 ;,SSFD<8G
% !;OX% 6 )M&$;K"HwT");D!#&
) 1[ 1 @kL(<,)$% ;d2,S;^d_ z,1 z#D` ;, $N2%< ;2) ? SFD<2cn;,(!;D!#$j!7C+2)"% ;^#;
#<,");,$ 6 #+27S 1 P <2&2W"7MQIQ$))M$u$#)wTxF<,#) ) 1 / u? &
6 )$D% ) p $;!;,$> 6 ? > 1 6 1
45nx7)#7SB|7ScFD<2j$; 6 +27Sxs4n)#) J2"! p6 7*(<,7
c#)C_ z21 zH` ()<2);D!s7S;2 > _ 1 ` 3
3
$
)
$ 1
_0/ `
3 $
)
_G/ ` "D u
_ ?
6_/ ` ! /
3
$ 1
! /
U
3
)
)
$
3
$
_0/ `
_G/ ` ;
;
3 6
3 6
! /
_ z21 zg`
! /
FD<25&
CB% 7C<2c r )##; 6 c 6 +27SGPn<27S;2; 1 *);D!$;D!#5;2! 8F<,
_ z,1 zDg` "wT;2x<2;,GB|<2;,)$% ;^";D!);H<,-J,Q! 3 6 29! ) _ ` ";D!);H<2D 1
<>= >= H= C X V I M D I I L OHQYX R JG HIBR L -G VaG X G Q D FHGADIKL J M5O9Q eG X G[D Q
_ d ` _ d ` $ 6 +27S
{ < 6 ;2D7:<2;TS(<,)$% ;E$% ()?>
_d `1
>3 1
U 1 )
>3
d :
y8' % #)7$;!5&"-FD<2GB|7b>^x-7-$7C+2 ;TG#<9IQ"! GGB|<2\$ p T% 6 <2$2
($jR% ;,9GJ,))+, ?L6 -!;D!b>O;,\$-(<W7Y% <)7;MGB|#;! 1
PjD 6 6 ;,7 6 #+,kB|7S7-$;D!#u&Q!*J2& J2 1 b 7>-$q";D!#);D<Tj;D!;,$k$;2\&
(<E7Y% <)7-;
1,{ < 6 ;2D7:FD<25;,\$c$; 1 ;L$ 6 <2;D!#b4s!#$;27D 6 R% <2SFD<2Y
3 > x;,?>d$;2\&G#<M7U% <)7;W-B|;D! 1
b ;,#)78J2 C$ 6 +27S
d
d
>3
d1
d1
)
>3
6 +,#$7-D*FD<2c#)N>^$j<2;,(<T")&% ;M"&% #)$C$;!;,$>d9!)(B
7U% < ) 1
%
> r 6 +T8$(!#-!#7S7
3
? 6 j$#&(<2!S;D!#$#)
;T
3
@
7Y% < >b+
% $8$R )-2x<2;^' % <2GFD<2c";D!#);2x
> @
7U% < >b+
d:
@ _G + `
>b+
;D!#;,"&
%
@
@
d
1 5n27Y% :
_ z21 z#UD`
b 7^_ z,1 z@U` $88% )2 6 c
!2
Y !;,2#$7-D8R$#<2!-2$#$2 1
u 6 );,") 6 )ej7Y% <H)7 6 2
< $2^<!#))\$# 6 6 +,-i<2;2)")2Y^<,;,Z(<T")&% ;
Y , H d
Ug
d
$% ()_> _ ` _ ` 2^N&"<,")&% ;Y^@k 6 " 1 ;Y"B|$"!# p (< 6 ;,7D<2;,
#<,")&% ;W"&% #)$ 6 +,$7c45)#) J2"!
>3
d1
>3
d:
d
r n 6 );,") 6 )E$q7Y% <H)7L!;2$7 > f ;
1r n!# 6 (! 6 > >3 21 (!# 6 <2+,SFD<2x 2%< ;2)#<,")&% ;M"&% #)x^_ z213&g` p <,;T )
& 6 $#)&% ) p $(!T
% 22 6 #)S_ z,1 /23&`"1
2p ;,
1 / A?
<>= >= >= V L T X`Q R AG Z ^Q X J W\ IBD L Z
b 7- 6 #)7sQIQ$7 6 M";,()$#$7-Dj$ 6 #+2$7S 4n)#) J2"!;d$v($7-) 6 ;2Z f,p
;e2!#KLB|#;D!# 9> _0H1 ` 3 ) _G ` ; 6 7K# 7C<2&Q!d;ZKyq) 1
z,1 g21 @kd)& 6 d#&(x 6 +27S^&G2L;H<2K&##xa> $;Z!2$% #7);2C
z
∇2 u = 0
u
0 si z
−
8
u=f(x)
yA) 1Tz21hg
B|<2;T");2&c7Y% G($;,") 1 ;Z$(!#L$#d^J2 7)$;D!M;,!#<2 *$cM!;,QB|#7S2M
y,<2)$
)_ ` 3 $
3
) _0 ` 3
/
/
) _0 ` /
/
$
) _ `
% ! ;1
% !
_ z,1 z c`
:
r #"&7DvJ2"7c;S$T(c2j#$);2&qw,;2)! ? $")+,)7> _0;1 Z ` ;LsB|#7S
>q_GH1 Z ` 3
> _ 3
$
/
/
> _ 1 Z `
% !
? $;,";D!# 7 6 >q_ 1 Z ` -&"<,")&% ;W );T)
1 Z ` D^ ^
>A_ 1 Z `
>q_GH1 `
6
3
>A _ ) G_ ` 3
1Z ` 3
#)FZ
$
/
1
6
Z 1
1
> _ 1 ` % !
:
U#U
$#H)$;,-&"<,")&% ;L!#;,7
>A
_ 1Z ` 3
>q_GH1 Z `
^ ) _ ` 1
3 $
/
3
^ )
_ `
% !
_ z21 z>D`
:
/
)
_ ` $S# 6 #!#-"7 6 ! p >q_GH1 Z ` $s);2w,;2)! K
u;U_ z21 z>D` #G-FD<2"<T;,
7;D!# $#)9+2 6 9Z ,1 5n27Y% c7MZ_ z21 z c` B|$"!#)7;D!# &x8% ),E$;Z$
()!#<T")&% ; p !;,7Dcd <)Q!;,)OW<2;,K#<,)$% ;e"&% #)$K$ 6 +,$7 6 K2!#D
) _ ` ";M# 6 #!#"7 6 "!# 1
$#<2!x);D!#$#&#;!j$")+2)5_ z21 z>D` ; B|7C;j% xxB% 7C<,c2 r )##;+!#$;2) K
2 6 N$5' % "<2 1ur O$(!#[+,(!N$ 2n!#$7SNde";D<,")&% ; 6 i
!# ;,(B|7S2Gcy2<2)$ ? +!;,2#$7-D8;D!#;,"& 3
[_G-J1 Z `
3
/
3 $
/
c;,
> _0;1 Z ` 3
/
$
> _0H1 Z `
3 $
/
_0 6F/21 Z ` ) _G/ ` ! /21
^ Z
_0 6F/ `
+&Z
!
3
3
-
Z
+BZ
1
) _0/ ` ! 2/ :
P 2
< $,c"7-x<,; QIQ$))x$ 6 ;D!$ ? $#$u 6 #+27Sx Pn<27S;2; 6 $T#7) K
6 ;2 1
b ;,#)78J2 -<2; 6 #+27Sx ;W)7 6 #!;,");^ 6 )");2&:FD<2c,);
-<2; 6 #+27S-m' % 6 !#)"x<2;,-)&% ;W);w,;2)! p #+T$ p $ 6 #+27Sc)B|")&% ; 1
<>= >=>= V L T X`Q RSG O9Q O I VWGADDIKLNJ M
j;,G()!#<T")&% ;En;S);D!#$2$% v$;L 6 ));2$
; :FD<25 6 $;$<,);2$
m' % 6 !#)
$x$; 6 #+27Sx 2) B| $")&% ;NS;,, 6 x+,Q!X% <2D 1 ;N$(!# (M&"<,");2&
m' % 6 !#)
6 $"$;L"7C<2;,G()7 6 ) wT$)$% ;EsC$<,)$% ;Ls7-9H)7)$;!C#));, 1 ;
$(!A;,! ";T() 7DkT% 5<2;-QIQ$7 6 x#)7 6 <2;2DA(IQ7 6 7Y% 7 6 )$D
%
? <2;,L2)"<,#)&% ;d7Y% 5"! 2L2CL#<,")&% ;d#X% ;^+IQ"!EG!#5 6 ' % !#<2n;d&Q!
"<2 # 1 b ;T()7DGZ)B|)$% ;U^<,;,N;,, 6 ;,ZFD<2^);T")d(+2W<,;Y));,
);2w,;2)!#d"< ? WQIQS$ 6 Ev(IQ Z 1r E()7 6 )wT$x 6 #+2$7SW#< 6 ;,2#$7-DF<,
q& !#
e 6 6 )$% ;W2GS;T2 6 ;,L$(!TS
% $;d 6 ;2i_0;1 `? ;K$(!#G$# 6 +27S-$8+2))7;,#);, 1
@k-$<,)$% ; 6 $#$*&8&"<,")&% ;Wx;,,
>
%V%
+B> 3
3
>JM M
_ z21 zD`
Y , H U c
? $ ; 6 );T") 6 )W+X;N2#G;,)");,$5);2)")$ pl? 29!sGB|#;! L 6 # 6 )DnFD<2
6 $#;D!;M!;D!#LA+,Q!X% <2E"7W B|<2;D!-FD<2G;, SL;,, 6 ;, );,)2;D!# 1
@A";,)");2&B|;D!#$-FD<2x# 6 $#;D!;Lk+,(!T% "<2S(;LB|$<2;D!#$7;D!#?>3 +2); > 3 ; 6 $&
$T+,(!T% <2 ? ;2 6 $#;D!;S7S ? *) wX"<2!Sl$)2)
$;c,# 1 @RnFD<2u$#<2!87Y% A)B(' % )$k#&(l 6 +27S";x9$l);2))& p$6 &Q!s7!#)S(x+,<,#$-<2;,S#)7 6 ) wX)$% ;E$;M"<n% k##&<2\$$-R;s<,% 7-$#Sx9#)+2$ 1
r Rs;D!#$#) p $;C<2A:";T() kjB|<2;D!#:;G"! p #*;,#)2 <2;,n;,2 6 ;,
M / / FD<2LD)9I(MJT")M*+IQ!# pR? <,;2d( 6 #$<2;D! ^"<j% ;!^9S*$7 6 d
)B| )$% ;S, J2$
) J,;,2 6 ;Tx";D!$,+2IQ"!# 1 b 7cx#) !<,)$% ;S$ 6 )$D% )
M
$;cD!#)7 6 p (:$ 6 jFD<2
j;,2n2) B| "!,!#$;2!7G+2)"% ;c<,;,n 6 $;,$;,") 1 45
L;D!)#7;D!c < 6 <2&Q! p $s"LFD<2G$+T$75+2<,5<2;,E(<,)$% ;d-S&"<,")&% ;
_ z21 z ` ;MGB|7
M
M
>3
_ z,1 D`
/ + ;, &G;,2S)B| ! 2 1 4n$+T$7$;,";!J2-<2;,-&"<,")&% ; ? ";,)");2&
GB|;D!#$E 6 6 ), 6 X1 @AL&"<,")&% ; 6 #C+2!#);2S#<,Q!) !< ? $;,Ei_ z,1 D`
6 :W_ z,1 z `
? #&"2;,CFD<2 3 3 pH? GFD<2C;,2 6 ;,C$:<2;,-#<,")&% ;
$<,)$% ; 1 @k- < 6 $#)$% ; 6 &
=
+
3
B|<2 R+,(!T% <2 1
1
_ z,1 T3&`
@A-;,2))$% ;WsB|;D!#$-#+2R+,Q!X% <2-$
3Y6
6 ,^;MGB|;D!#$-$R+,(!T% "<2 1
1
@kFD<2x$#<2!<2; 6 "S7Y% j7 6 )$&< 6 #&()&% ;M$RJ2$ J, F<, #c"7 6 #!
7K<2;Td;T2KB|$"!#)7;D!#W#t,QI(2 1 @R 6 )7$#KFD<2M#W$+T 6 $)$FD<2EQIQD
$ +,(!T% "<2 p # 6 #&($;D!#c<2;TL;,2LFD<2#-(IQ 1 (!#W( 6 <2$2-< 6 #&# p () &5
M
D2;,2 ) p 2))$;,F<, ) _ 6 " `k6 ;T$ 1 557Y% 6 qHJ2& J2
&Q! ;M<2;T-#)!#<,")&% ;W$(!);,) p $;2T' % c 2)2G-(IQj$R+TQ!X% "<, 6 ;,,S#t,QI(2 2+XG#j<2;T ";,Q! ;D!# 1 b 7- $j<,;,S7$)2 2cL;,#)2
M M
$;2T' % p $+T$7:!#$;2jFD<2 / 6 p? -FD<2c2s&Q! -7;2 ?
$
/
;2T' % x ), !@" 3
/ $
$
!
";,Q! ;D!# p6 3
b ;E&Q! 8+T($#9);2$ p -$<,)$% ; ? ";,)");2&:2B|#;! 6 +
M
3
3
1
6
) _
:
#;
B|<, -2+TQ!X% "<, p
/ 1 ;MCB|;D! G$R+TQ!X% "<, p
6 "`
:
6 _ z,1 H/`
6 #+2$7S _ z,1 H/` $^";2") 7 6 #+2$7S i ))$% ; 6 e $ "<T")&% ; 7-J,!#\ 1 @kN";,)")&% ;Y(+2#M$n"7 6 #!7)$;!i2 Tp <,;T n
p #M7S
U>
";,)")&% ;Mx)")&% ; ? B|<2x<!))\$, 6 { 77#B|E 6 );,") 6 )x&Q!#) 1
7
r -#&(c_ z,1 H/` &n;H$;2)$;D!#c7C+2)5 "H $;,2 6 #& p $")$;, QIQ 6 8k$"!# 3
_
`
3
+
+
:<,#$7:<2;TS(<,)$% ;E
M
3
3
%
"
/ 6
$
Y/ 1
3
1
6 _ ` #);C_
` +
_ ` "Dk_
1
) _ 6 "`
1
_ z21 zD` $;E-B|7S _ 1 ` 3
0
1
U/ 1
_ z21 zD`
:
` ;:
_ z21 #H`
b 7xc";,)")&% ;SB|;D!#$& 6 p ,% x;2&"&()!7-DvuDwT");D!$ _ `"p &
&") p
_ ` 3 ,p " 31 5nA#<,Q!) !<2)C_ z,1 @D` ;e_ z21 z`"p ;,;D!# 7D8j()<,)$;!$8&"<,");2&
);,) 6 GH"wT)$;!$ 3
_
` 6
@k";,)")&% ;W;M+,(!T% <2-;,2
/
$
_
` 3
+
"DR_
3
`! ,
3
_ z21 Dg`
:
/ _ Q `
_
_ z21 @UD`
` :
@kO_ z21 Dg` &n<,;,L&"<,")&% ;d7G< ? $(!#<T)2 #G7S L&"<,")&% ;K :$($ 1 8);2
%
(<T");2&n);,$7;D!#-);, 6 ;T)$;D!#$s"<T$(-"7 6 #!;O7O_ ` d? _ ` /
;2 1 n ? D*#<,");,$u&Q! ;,,)\&2us<2;,c7S;2 c#)(!#$7U% !#)GF<,5#
6 6 $FD<2
7S;E:B|<2;T");2&j :$($ p <,$#x;2!; 6 _
_
`
_
`
` 1
_ ` / 1
1
:
r c!#7);T:*;,(!;!$:+2)!# )
$+T$7-D:<,#
G;,2))$% ;L; 3 ? 1r n&Q!x;2$$#) ! 7q!;2$v);B|#7S")&% ;(+2#8$T"7 6 (! 7)$;D!# B|<2;,);2$
? 12r C+!#$;2&Q! G);B|#7S)$% ;L!7S7D _ ` 3 / ) _ `? +2!#;,7
+ )
;,257:FD<2s<,;T
+!;2$
_
`
_
`
+
3
_
6
`)
3
_ z21 c`
6 $78$ 6 $)*$T! "$
!2% 7);2-_ z21 c`v?
)
3
R_
`
#);c_
+
"DR_
`
+
#);c_
`
_ z21 >D`
`
1
:
Y , H U
45 _ z,1 D>` 7DF<,s& 6 #)+2$"8<2;TG;H<2$9S"7G+2);,)$% ;L);2&
+
FD<2x9!#)(BG-;,2))$% ;
/
/
M
/
1
1
_ z,1 `
1
_ z,1 g`
:
@A^(<,)$% ;eK_ z21 Dg` ";Z$:7 6 #!7);D!#^7DQ!M; _ z21hg` ";H;2);D!#$7;D!#
;2#7S)\$2 #2;2! 6 ? ( 7S B|<2;T")&% ;N5; vS#<,;,2W"# 1 u;
&Q! G;H<2$9G;,!")&% ;W#<,")&% ; 6 _ ` $
_ _ _ ` 3Y6
`
`
_
` :
@A-#<,)$% ; B|7SR 6 #+27S-$8;D!;,$
_ _ >q_ 1 ` 3Y6
`
`
_
` + /
_ 6 Q `
$ 1
_ _
`
`
_
` "Dk_
` :
_ z,1 g23&`
b <,;, 6 H2<, !
3p $M&") p [;2) !<, 2O;,2e&M"7 6 2e; $
! 7S ;2 d2
+IQ"! p ;D!#;,"&ce_ z,1 g23&` ";H7G< ? X% 6 )27;D!# ?i6 x!2% 7);,
#;M(<2wT");D!#& 6 -+2!#;,j<2;T+2<2;T)&SxS(<,)$% ; 1 b <,;, 3 ^_ z,1 g23&`
2 6 H$W);B|#7S")&% ; ?^6 xE!;D!M#+X#&"<2#)L!2$% ;2)57Y% & 6 $' % wX 6 +!#$;2);B|7S)$% ;f%< !) 1
@AG)"<,#)$% ;W2s-9)$\xS_ z21hg3` $8($7QI(;D!-!# 8($#)$8xy,<2)$ 1 @A 6 #<2$+,
5<2;2)")2L5C#<,)$% ; G_ z21 z` $(!TG
% "! 2 ? )#<!#)2c$;L$T)+,#- b <2;D! K
n)+T$(! z =1
/ c9
! 1 " ! 1 1 & # # % & ;Z$(!^#$)$% ;e;,)\$#$7x<,;2 6 #+2$7S ? M#&(<2$ !x$;ZC#$$");2&c;D!#K
)#& p <,;,2WL!2&% ";2)W # 6 ")&% ;K9)+2$FD<2 ? E7!#)97 ? )"<2!#)7-D
6 d$"<T");,$c$m' % 6 !)$ 1 @Ad)$i:7["% !K&C$<T")G$ 6 +,$7Od$#$c<2;
#)(!#$7SG);w,;,) ! x$<,);2$: );,):);T 6 ;,2)$;!$ 1 45)"<!)7D8G!2$% ";,)$-;
9):QIQ$7 6 D ? "7 6 7*-#<,)$% ;E+!#$;2), 6 j$ "!#' % Q!)$ 1
( ' .94! , "/#3. % '( , "1e7(0$ 4! , *01 !"H#&. % '( 2&(%!'(# # , '(%
7 6 $7 6 $#$*$ 6 +27S
> MM
3
> _0H1 `
> M _GH1 `
> _ 1"`
3
1 1 " " 1
%(%
) _0 ` 1 1
1 1
>q_ 1 " ` 3 1 "(" :
3
>
3
@As#<,)$% ;-$ 6 +27S;D!) ? (j);^_ 31 @D`"1 5jJ2s$#$#$7-Dk$ 6 +27S
# 6 ;,G#)+,& 1
{ +T$7xFD<2S"<,FD<2)B|<,;,")&% ;i)7 6 [l_G ` _0(<2wT");D!#$7;D!#<, ` ( 6 <2$S&#K
#:;M$);D!#$#9 vp $;M#)2y,<2)jc#;2D8xGB|#7S
[l_G ` 3
/
$ 1
$
#);c_ N
`
cH3
#);c_ N
/ ` [_0/ ` ! / :
_ ,13&`
c/
N ;
N7
u; 6 #!#)"<, p (<,)$% ;E+,<,#$2G-#< 6 ;2$78)7 6 ? 6 $7&##)+2)87
> _0;1 " ` 3
?
$ 1
_ " ` #);c_ N
` 1
/ $
_"` 3
#);c_ N
/ ` > _0/21 " ` ! /21
_ T1 /`
;TD
_ " ` (;N2$<2$^&#;2")D ? D97x^!#$#7);,<,;,2W
";,)");2&*$ 6 #+27S 6 ;D!$2C;W$(!G(&)$% ; p 57S;2 x! FD<2-_ ,1h/` (&cB|$IK
!#)97;D!#x<,;,(<,)$% ;i_0"<,;,7;2D:B|7S ` 1
_ " ` (<TQ!) !<2)7D-_ ,1h/` ;O 6 +27SL;D!#$57;,);,2 pX6 r !#7);TsD
+!;2$
_
$ 1
_ " `
$ 1
+
1
1
> M _0;1 `
3
1
1
> _0;1 D`
3
) _0 ` 3
"("
3
_ " `(` #);G_ N
`
1
_ D` ();c_ N
` 3
_ T1 zD`
$ 1
_ D` ();x_ N
` 3
;T
)
)
/ $
3
)
#);c_ N
` 1
1
$ 1
_0/ ` #);c_ N
/ ` ! /2:
4n _ ,1 z` #!#);2A()Q!7S-);2w,;2)!# x&"<,");2&*);, 6 $;,);D!#&
_ " `
+
_"`
_ `
p "#"
3
3
1
1
_ ` 3
X3
) :
_ T1 H`
3 1 / 1V:::
@k#<,")&% ;MS_ T1 H` $xGB|7
_ " ` 3 ) "k_ " ` 1
Pd% !#$#EFD<2 6 $")7;D!#LGDG;,2));2$C);2)")$-#+2 > ? > M (;eCFD<2E;2
2;N<2;Td(<T")&% ; 2%< ;2) 6 Mx&"<,");2& );,)_ ,1 D`"1 @k^#<,)$% ;OB|#7S
% ));,7$;!5&
6 +27SFD<2x( 6 ;D!#A
>q_GH1 " ` 3
)
$ 1
"DR_ " ` ();c_ N ` 3
3
/
)
$ 1
? u_0b+ " ` +
#);
3
/
)
$ 1
? u_0
#);
6 "` :
_ T1 g`
4n&#25<2GFD<2s()lC";H$;,")xs$(!G($#)n&
-#<wT)$;D!#7$;!nB|<,#!# p C< 6 #K
()&% ;N_ T1 g` ;2S$T% G<,;,S(<T")&% ;EB|7 p #);2SF<,s&8S#<,)$% ;E$ 6 +27S 1
P <2$,^"7^(IQ ")") 6 Mu$"!#C)wTcF<, () ) &x);2w,;2)!7$;!L)B|;,)+2
vp ;D!#;,"&L_ T1 g` &CB|$ !)97-$;D!#Wd#<,)$% ;[
? ) 3 d6 6 +27S 1
5jJ2s&Q!<,)7 x(<T")&% ;F<,+!<2H)7 6 nJT"$u$uFD<2c_ T1 g` ;2$v7Y% F<,
!K# 6 #&($;D!)$% ;[Wi#<,")&% ;U 6 +,$7 31 ,131 Pj!#7D-FD<2^) J,i(<T")&% ;
N7 ] H
N 7
f (ξ)
c9z
w (ξ)
ξ
π
ξ
−2π
−π
π
2π
yA) 14,13
!)$;25xB|#7SGs2*;,2*FD<2sH)I(; $;E)$);2$* 6 <2$(! 1H{ +X787Y% :FD<2
) #); N/3 W _0/ ` $*C <H!#$;,#)$% ;S)7 6 6 )$D% )c 6 $' % / ) 1 (!#G(5
1
$
$;ESyq) 12,13 ;L!2% 7);,8xCB|<,;,")&% ; W p _ ,1hg` #$")+Xx"7
>q_GH1 " ` 3
/
3 W _0\+ " ` + W _06 " ` :
_ ,1 U`
;^ 6 ;2K_0;1 " ` 7DnFD<2> _0;1 " ` &j$ 6 7$2)L2cDj9$n W FD<2G 6 #&";
$;ESyq) 12,1 z2p $2$") p
$j&") p
3
3
3
3
>q_GH1 " ` 3
_ ` +
_ ` 3
_0/ ` 3S6 ) _G- `
W
W
W
/
/
/
/
;,- $:$ 6 <2;D!#S"$-()7["% !#)7-$;D!#5;E#& 6 $"!# /- v1 (!#s$:7)(7
$#<2!2NFD<2^+!#<,D)7 6 O$ 6 +27S 31 ,13 ";Y$ "!#' % Q!)$ 1 $7 FD<2^$
6 +,$7x2j#t, <)&% ; ; D 6 #&$v&u&F<,)9;D!n 6 #+27Sx";S#&v);2))&
6 i<2;TZ";T))$% ;Y);2)")sFD<2d$ 6 $#)&% ) p MB|#7Si!5FD<2^ 6 $& ()7 6 #$;L;2D*;,287) !), 6 $-";T))$% ;E);2)") 1 (!#-$8SF<,s$;LB#' % #)$G#
;2"G"7 $A7 % !# Gn)7Y% ;2& p2? < 6 #&()&% ;^"<T;D!#)!!#)EC 6 #))$% ;d
);D!#;T()2Wx8)7Y% $;2$8 ) _G ` &Q!X% ,2 6 S($#)S_ ,1hg`"1
P <2&2-J2-"7-(IQ ")")-$#$ 6 j# 6 ")&% ;Wx9)+2$:D 6 +27S
> MM
3
> _0;1 D
`
> M _0;1 D`
3
> _ 1"`
3
3
>
%V%
1
6
6
[ _0 ` 1
> _ 1"` 3
&
1 "(" 1
O
1
6 1
1
" "
:
cd
N ;
N7
t
(x,t)
u=0
u=0
ξ
w (ξ)
C−
ξ
A
f(x)
x
B
p
w
yA) 1X/@c
> M M +e#); 5(); "
3
>q_GH1 D
3 > M _0H1 `
` >q_ 1 " ` 3 >q_ 1 " `
3
1
3
1
>
%(%
1
1
"(" :
P <8
% (<T"$2c";W-#<,)$% ;W$R($<2;T 6 #+27S"<,;, "
$#<8$% 9(5!7C+2)"% ;E&"<,")&% ;Wx;,,-7#!#)<,2
> M M +B> M
3
>q_GH1 D
`
> M _0;1 D`
3
> _ 1"`
3
1 1 "(" 1
%V%
) _G ` 1 0
1
1 0 1
> _ 1 " ` 3 1 "#" :
>
3
"("
1
V P <:% 6 ";W#<,");2&8"<,;, "
[]
1
1
N7 ] H
N 7
cg
*Q!<,)75J2L 6 +27S 6 <2;,M<2 2 );w,;,) ! 1 @kW#<,")&% ; ? L#G+!#<,
<,;TjB% 7C<2:4
5j7G+T$(! 1 +!;,2#$7-DkJ2 8$(!8B% #7G<2<,;,5( 6 )$% ;
9)+2$ 1 u 6 +,$7 6 j$#$*& >JM M
3
>
> 0_ ;1 D` 3 ) _G `
> M _GH1 `
1
%(%
6
3
1
3
[l_G ` 1
6
&
1 "(" 1
O
1
6
:
_ ,1 c`
;e8(Kw,;2)!#K< 6 #&#7>U;[!2$% #7);2GE#< #)LMy2<,#) 1qr M$ 6 #+2 K
7 U_ ,1 c` J,"7DCN7-)#7- 6 6 -!# 9! (EM<2; );D!#$#9K);w,;,) !i<T##$7-DC
S
!;,QB|#7S2Ccy,<2) 1 8$) p < 6 #&##$7-D
> _0H1 " ` 3
3 $
/
/
C_ " 1 ` /
C_ " 1 ` 3 $ > _0/21 " ` /
$#$7-D8F<, G
_ " 1 ` 9!#)(B"
% !
r #"&7D*J2 G7-;Z_ T1 H`
?
1
! /2:
_ " 1 ` + C_ " 1 ` 3 1 6 1 "(" 1
C_ 1 ` 3 1 _ 1 ` 3 [l _ ` :
_ ,1 >`
@As#<,)$% ;2C_ T1 >D` $(!Tx
% 22 6 C
_ " 1 ` 3 [X _ ` M p? w,;T7-$;D!#jx(<T")&% ;GB|7
&
3 $
>q_GH1 " ` 3
_ ,1 `
[X _ ` / % (); " ! :
/
/
{ )[_0 ` $);w,;2)!7-$;D!# )B|;,)+2 ? 2) B|$#$;!SS"M,% W;i<2;i);D!#$#9Ew,;2)!# p
$;!;,$ # 6 <,$8$#)wT$ F<,_ ,1 ` $ B|$ !)97-$;D!#8s#<,")&% ;-x_ ,1 c`"1 (!#(:J,"
6 +T;,NFD<2d# 6 <2$$;.);D! 7G+2)S)2-^);D!#&-; _ T1 D` 1 @AO<,;2)),
;2DE2) 6 <,$MFD<2U_ ,1 ` ;2U$W7Y% WF<,i!# [ !;,9!)9 6 e < 6 $EeB% 7C<2
O4
5j7G+T$(! p #);.7C+TZ$W";H;,)$;!^9<,# 6 Z+!#$;2W&' % NB% 7C<2
&(&2 1r xS;!) p $"27:FD<2G!# ;TQB|#7S,c);D #G 6 #<T !#-$8
;H<,)$% ;Lx:!;,QB|#7S2*);H #s_$75 6 $% ;,)" ` 1 u;W^_ ,1 ` !;2$7-DFD<2
$
>q_GH1 " ` 3
/
S_G 6F/21 " ` [l_G/ ` ! /
;,CB|<,;,")&% ;S_0-`1 " ` (7SCB|<,;,")&% ;^s$;W$ 6 +27S pD? $(!T
% 22 6 S_G-J1 " ` 3
3
$
/
/
/
M
6
/
M
!
:
_ T13&`
r <2n ) ;D!#$ _ ,13$` 7DnFD<2C$A);D!#$ ;,L$j<,;,SB|<2;T")&% ;K;,m' % !#) p,? FD<2
3 $C<2; 6 <2;D!#K#$<2 1 n
4 $+2)K^&Q!d( 6 <2$L#$7 6 \$xd);D!#$ u^
c U
N ;
N7
Im(k)
S
C
Re(k)
yq) 12T1 z
#L$A(IQG$ 6 sE(<,7E-);D!#$ $5 LL$v";D!;2
);T)$-;Myq) 1LT1 z,1
+2!#;,78$;!;,$8FD<2
S_0-`1 " ` 3
3
$
/
M
!
3
6
$
:
/
M
/
p ! ? "7E#
!
_ ,133`
r c<2_ ,133` +,($#7*FD<2 6 - + " 2p $;!;,$-6 " G? ;L&Q!s$#
Dx);!;,&;N < 6 ;2$;,")7;D!#S^"$# 6 C E
M? u<,#d$u$7S
2;N(+2-$
";D!#;2
;2x2S_G-`1 " ` 3 ,p - 6 " 1A{ < 6 ;2D7xJ2 WF<,
-N+ " U,1 *k&Q!*(nJ, ? 2 6 D()+2))22$ 6 )7-$7-;6 " ? n#<2;,27-;6 "
21
%
b <,;T-+ "
s? - 6 " ,p "$# 7A2;D!##;,s8 6 #)7v);D!#$;
C E ? $kxS($<2;,,G$;
C E Y21 +!#$;27 S_G-`1 " ` 3 1 p 6 " O- " 1 yq);,7$;!c()
-+ " Yx? -6 " Y "$# 7Dv;
C E C? +!#$;27D*FD<2S_G-`1 " ` 3 x6 " &- 1
$#<27);,-!;2$7-DjFD<2
! (8
( . S_0-`1 " ` 3
- 6 " 1
6 " &
- "1
" O-J:
1
1 1
1
_ ,13&/`
n;,2M_ ,13&/` +!#$;27DF<,
>q_GH1 " ` 3
$
/
S_0-`1 " ` [l_G 6F- ` ! - 3
M
/
3 $
/
M
[l_G\6_- ` ! - 3
/
3 $ %
% /
M
M
[_ ` !
N7 ] H
N 7
S c#c
FD<2$ 6 #&")#7-$;D!#GB% #7G<2c4
5j7C+X#! 1
*x )7 6 #!;,")M;2!cFD<2Lx);D! $xFD<2 2"w,;2$;eS_0-`1 " ` 7C+2);N;iB|#7S
)";D!);H<, ? c";D!#);D<,)2$C(L,;eT% ^;ZC$ "!#' % Q!)$ 1 *Q! ^()!#<T")&% ;e#
6 $#;D! L#)$7 6 #FD<2-#-#&(<2$;d 6 +,$75;i "!#$&' % (!#)87&);D!#-!# ;, K
B|#7S, 1
P <2&2-"7QIQ$))$#$ p <,;,-!# ;,(B|7S2Gcy2<2)$ p 6 #+27S
2^<,$(!#5! 7G+2)"% ;
> MM
3
> _0;1 `
> M _0H1 `
3
1 6
%(%
) _0 ` 1 6
O 3
1
>
6
1 "("
1
1
:
p <,;,2--!# ;TQB|#7S,Ccy,<2)$ p FD<2x$;W$ 6 +27S
>JM M
3
>q_GH1 D
`
> M _GH1 D`
3
>
3
6F>1 6
& %(%
) _G ` 1 ) _G ` 3 1 1
"#"
1
1
1
6 #)7 M(
;, uFD<2$M 6 <2;D!#9 &xFD<8$% WF<, #S
? ! 2W<2;i!#)7 6 " 3 6 1 ;,"<,;D!#7)#7S#&(<, ! -<,;,$ !' % Q!)$ 1
.94! , "/#3. % '( , "$e7(01 4! , (% "1K* 98 '( !
"$#3%!
;LR$#Gx#)(!#$7S p C!2&% ";2)G$:G7)(7S-FD<2 6 c<2;T-#c&"<,")&% ; pH? T% CJT ?
FD<2G!#$;2x"<,)2M";is& !##& 1 &(7i2%< ;2)7$;!G<,;O(IQ7 6 W$;i2"!
FD<2 ? #xQI2% 7G(IQ ")") 6 -#&(:7-&);D!#x !' % (!#) 1 u 6 #+2$7SC& +
M
/21
/'1
&(7G_ T13&z`
%
) _G `
3
M $
3
6
1
[l_G ` "("
1
1
_ T13&z`
:
);D!#<,");TE5!;,QB|#7S25-y,<2) ? X
pl6 L+!;2$
;W^_FD<2&2;TS"7QIQ$))$)wT:2"!$ ` p
3
M $
3
M
) _
[X _ /'1
`
:
` /'1
1
6
1
"("
1
_ T13VD`
c9>
N ;
N7
@k^_ ,13D` &j<2;d#)Q!7S c&"<,");2& );,)_ ? ;2 <2;T (&"<,")&% ;^"7S;^
(x$<,)$% ;2;,2 ` 1 *Q! $vx)B|;,)x;-X#x<2;,x#$<,)$% ; 1 u
()(!#7SE(G#&(<2$C-L7S;2$SJT+2)!#<, p );,)\$;,S 7S9!#)\G2v()(!#7SEF<,
$5W7)#7EFD<2(-J,"G 6 #"& 6 x !#$' % (!#) $' % !#$;27FD<2GW(<T")&% ;
%
_ T13VD` $
+
(! +
!
) +0/21
)
#)*2)
4
5 ,")&% 5
6 )% {
p
%& +
(!0.
% !#)
5=X
)
[
W
%
M
/
"
)
Z
&g`
*) (') # !#)5_
*g`
_
[
W
"
M
_
%& + /21
3
Z
VUD`
2 ")&% )
1
.)%
[
)
W _G 6 "
+
3
ZX_0,+ "
3 3 0
! 9 0
!#) :
_ VUD`
`
` Z93 " + (!
_! *;"`
3 1
6 62 /, )7s)8 3 2) 2)0W()[3
6 6
K
)
*-, ?%! # , 8 '( '(*e4(01 4<
6$
@ 0
#
[
.3 )
+ /'1
_! "D`#Dr $ !$ 1 ")*-) !0 ,) ' ) %
3
/
M
+ /'1
3
$/Y
% Z
%
M
!)\n -, .
W
1
+
3
' ) % p
' 6 )% # )(!
u{ ?e) w
)!
') > ")&% ?
*) @ A
B ) )
)
)6), !00 K
") 3 HK ) I #)?6$C@D 6 E
:!#) ?6 F ')G
) , ") 1 2 ) (' ) #! G!00 J@ )% ! )"% $' % *,)$)% I% ,# 5=K ' L6 )% M6 ;
6 :
5 0? ! 9!) ' G!$ F@ 0 ' ) % !#) ?6 ON v)*2) 3 ?C ) ) ) #)P6$L!$ F@ 00 Q K
") 92 % $)$R 1 )% ! 9 )$)% ?
)S@ ") ) )P6$:-@D ")&% !00 K
@ 0 r (! #) 0 ! '7 (!0 ")&% p 1 ) (' ) (! x!$ J@ :6$
% ! Ti *,)$)
% O% , ##)6X)$)% G
!0 p &' % UJVJ ?6 I Q!$
) (%& 02 !2 % ) S ! $ WW X) % Y
% P ' 8 g Z !$9!$) ! Y
0 0 * M
) % b $ ! K j) %& #! z 1 [
r 1 \ ? V ]
P ! M
) -)0! M
?,0 MG!2 % ) ()!") 1 ) ") +9?6 =
6 )# !#) X6 % ? 5 , 3 !00 6 P ! $ +*Q! 3 ;
%
6 % ?
) 1
@D !
! W
!
3 )
Q!
R
3 3
"
1R "
3
"
1
3
[ 0N " R 1
"("
C
)$)% "("
1
"
)) ) x) ) K
1
"
1
"
"
6 N' 5=68% C
I ) (' # )$)% 6 ,
)
:
"
*
c
%
(!0
N
R
N
E
"
N;
1 R3*[ c R !
*
3 60
)
"
R
3
[
"
1
R
0
! *
N RI:
N R
/ % 1
1
"
N
*
c
R
*
"
*
@)*)
R
+
)
,
N
*
N
;1 "
R
R
@ 6 1 @ "!#) ' ! x!00 J
T
1 0/G ( ! ) C E
3 5 (!0 n6 ) 3 !#) !$ F@ K
Z *T()&% E
R
/ K
1
"
R
1 ,")&% [
N
!#) !00 F@ 0?
!$ ! 5
%&7 ?6 7 !$!2 % ' N * c R ) / I6T
% !) W *,)$)% B
WN dc R )% ! ) , Y@ %
N * R 6 6 \ #)Q!
3
c C ,)$)
% Y
N
R
L (') #!#) HN
3 .
6 H
6X% =
E) 6 1
)
' % 1"
NH
1 RH+ N H
1
% N " 1
!00 F
@ 0? 53 +
R c 3 N "
) ) M + %
N H1 " R
!00 F
@ 0? 09!)F@
N 0- )
3 ).60: $
3
[
N R
M / !
% 02 0/
:
N
" R
! N " R ! 3 6$. 6 ! VJ N 4 1 " R3 " #) " %(' 1 3 Q! Y v) ! 2$ T <(6 )* ! 6$ C E
" 1 [ N R U M !$ [3 m' % !#) & ? 3 " +*Q! [ ' ! 5 P S) @ Q!$)$)
% T
3 M 6 )% j!) $"! &' % (!#) 1 )2 3 MT , -
:0
! 0 J @ ) JV % ) % 0,# ' ) ! 2$ 6 ) X() 2 .
<(6 ! =3 6 \? P ! * ! 73 6 )")&% ! $ F @ 0 6 N " R* :') N ;1 " R 3 [ NG" 6 % R 3 : 0! T)% ! ) 6 K[ % ! $"! &' % (!#) ! ;
C 5JVJ ")") 5 ! $\@ % T " 57 %& #!MT G!$ F@ 0 6 ,(
! $ M
, $ X, 0 J @ 6 .W A 6 )% m' % 0
! 0 -)#)$)% +
") #) $ X6 )% 5
B
M +
N
;1
" R
3
M +
N
;1
N "
3
"
1
"
"
1
"("
"
1
3
"
1
"
"
1
"("
"
1
3
"
1
"
"
1
3
[ 0N " R 1
%
%
" R
1"
R
"("
"
:
N
R
"
G!$ F
@ 0 N
+
+
1
!0 1
6 %& C
3 ? 1
!
E
0) / 1 /
1
$W! *T") 3 *T")&
%
1 3 6
!
N R
!#) :3
:
R 3
"
1
"
"
1
3
[
N
N
E"
0) N
R- )R
1
,
N R
6
) )R
3 i )
)R
1 !00 K
$
! * ,
0
%
"
N
!
:
"
/
') ( )!0 3
! T 3
/
#)
/
1
)
N
Y
% c 5
1
N R
/
: ) )
3
3]6
1
%
)")&% A
!
$
3
"
N
@D R
R
"7[ Q!$
1
/
1
3"!
(' ) #!#) WN
"
3
6
!
%&W
0- .)%
6
"
")&% ! #) ' ) 0
()
C E
1
" +
#)(! ?
"
A()Q! % , ,") 1
%
3
%
! 6
R
2 H
6 Y
6T
%
@ 0 !
N "
!
%
R
3 Y
: ! $
*,
N R
/
% :
3 [ " 6
3$#
[
3
1
3[ GN " 6
&R
)F !0 % ! ) , 0 ! ' % (!#) &% U% !)*T6) K
")&% T
q!$ F@ 0 6 <-) 4
6 )% *T")&% % ,
!) ) ) !) 2) V 6 ! @D ")&% 5
D!) 56 N 5JVJ ,K
N RFR +9 6 % 56 ' , $ 6 ?
. (! ) 1 3 7
m' % =% '
C >
C > %
N
N
@
> NH
1
1"
R 6F>
@ 1 " 6_>
R
%
N
6
N
6
@
> MM
3
>
> M#N ;1
%(%
" R
3
1"R E
3
"
E
3
[ 0N " R 1
@1"
R
1
1
1
" R
"#"
3
"#"
"#"
1
1
"
"
"
1
"
1
N
')R
!
3 =N ')R ) %& ' ) ) K
#)$)% [ NG" R a3 " T 1 #)-) =T ()F 2T' % 56$ (! ) ) ") H A! BN3 6 !$ 6 )# !#) 2) 0R 1 ' l!#)6 -
:$' % -) 3 - \6 (
, -!$ J@ 6 PQN ')Ru! )
[ 0N "
Y
R C >
m% =% '
N
5
%
'
C > %
M
@1
N
N
L@D R !
U u
N
,)$)
% I
)
")&% M@D k! >
@1
6
N
%
8
) !
>
N R
R
> NH
1"
R
3
> R
E
3
"
R
E
3
[
>
3
>
3
1
")
$
3
H1 "
N
R
3
6
> N;
1"
R
3
6
R
/ %
M
$
1
"
& "
1
U
N
1
"
1
"
I
R ?6 (!$) (' ) #!#) [
N R
[
N R
!
?
>
1
% !
" P
3 1
E"
1
"
3
G!$ F
@ 0 C! M/ % !
M
R
:
"
c
N
6 4N =
5 68% )
R
R
! K
)%
T@ 0
M
$
& 6$-!$ F
@ 0 > N;
1"
6
)(' ,)$)
%
K6$,>
$
3
6
6
/ % 1
% 1
N R
N R
N RI:
! 0) 3Y6- N R
!
1
%V%
N R: .
N R3
> NH
1"
06 0
! ")&% -
*) @ R
()&% < 6 @1
> N 6
R6
6 P R6
U
") 3 @1
") )
?6 ') [
%
[
N R ! 1
N R ! 1
"("
1
"
"("
1
"
1
"
"
:
N
R
! -N R > ,")&% ?
6 )% 5 6 ;
' #) 6 u % (!#)!T")&
%
!$ ! ! C WFVJ ")") H L ') (! 6 )% [,0 W L % ! *$"! ' % Q!) 1 56$C ,)$)
% BN R % )"% ') N R
,0 0
! 0 F@ 0? 6 % % !#) QFVJ ")") B3 ') /6 -!00 J@ 1 6 $"! ' % Q!) $
) 6 % ?
m' % m% '
C >
C > %
N
N
@
@ 1 " 6_>
R
6
%
N
N
6
@
3
>
%(%
6
1
" R
3
> M#N ;1 " R3
1"R E
3
[ GN " IR 1
E
3
"
> NH
1
1"
R 6F>
> MM
@1"
R
1
"("
1
"
"#"
"
:
"
1
"
1
"
O
1
"("
"
1
1 # (!0L $ ")&% H Q!0 ) P2 6 % ?= ) ) j ) 6 62)")&% [
T 6) :
! ) #) ) 3 ) / 1 ' #) 6 )% 3 -
#) 2 ")&% Y
P
6 V (!$/! ")&% 6 % 6 62 )$)
% 5
P
) ) 3 !$:@))\! ! v!2 % )
3 56 u c % ) )$)
% 5
!$ F@ 0 6 1 ) P /
) K
!#) 9
!2 % ) 0 ! ' % (!#) >
* * ) #)&% Y
6) 1 3 !#) ? 1 M!*) ) [ S ) (
! 0,)$)% ,) ) 6 <) 0/ % )() . (! 6 ! M
) !*) \
! = % $ ! K j) % (! Z
W
+
)
('
+56 8; 0 , #+4! 2 "/#3. % '(*#3%!'( #&%!# , >
6 Q!
! $
) )
3 3 7 ) = 9
) 0
! 2)
.6 62)")&% ?
1
3 u $u ' ") Y
&2 bK
) 7
() 1 6 ()&% 1 6 * :? $ 7
##) % ) ) , )
;
) ! ") P7 ' ) K ! +*Q!$ ") u % Q!$ ! 96 ") L. 3 1 )2!#) l T
6 6 K
2 ")&
% H
/
2 T % I3 TH Q! , 1 3 ! !$ 3 / 4)* * ?6 #) % 1 3 #) .6 ! T' /G % ): ") ' *) ) ! 0
%
)
$
! \
6 ") :
/
#) T
T6 #)$)% 1
>[
!
3 '
N >
+
=
M
+
M
>
N
>=, >
3
R
"
1
R6_>
=
N
>
%
% M 1
3Y6 T,+ R
' ")&% K
P
1
Q8!
'
) N
* R
Y
%
(! H
2) x0 %& )$)
% = (!0 T3 T N R +
= 6 0 3 6$ *) @ ! K
") Q!$ ! X % )*@ ) [6 62 )$)% B
)
") N ' * R % 6 !0 : ) )") *) )") 1 @D ! 0 (!#)! 1 6 % .@ ) % 1 * % T Q!XC
% ?6 !0 ! F ! (! M
6 <) K
@ 56 62) /60 ##) % ) ) ) + 6)* 7*2 M ) T % 6 T 6 3 ' ) ") #) K
1 6 #)&
% [
:3 2)) % ) % 2) *) 2) * ! 7 6 3 2) 5 U
1 T
% ) ! ') ) 6 3 M ! ) % ,
: ,) ) T@ 0
ON
+
6$
R , 1 ! ) ) M60S) ) R % 2 )!0 P #) !$
6 C $
. N * R ) , [ ")&% C <6 )* !$ <(
6 0
'
"
=
)$)% 1 TH 1 0! R ! 3 T
!
' R
N
R
1 [N
E"
1
N
+*T
3.T
3 1 ' ) RL6
F
6 $
1
?
) ' - 2) '
MN+
) ) ) * 2 [, 1
6 )
P
3
!
#) )
=
N
(!0
)SF,
6 T
3
M
3
'
1
N
! "P )2
)R
0
5
RH+aT
<)
M 3
() + N R N
R
!0
)"% %
%
T
3BT
N
R
' 0
! //6 N
R
#)$)% Q!) K
,
3 "
6=T
N
"
%
(!
_3
' ' R
"
3 N
R
+ %M
' N
R
R
M 3BT
M M=3
N
+
R
6
= % M
N
' )' R
5 ) N =1 FRI:
)") ) )") /6$ N ' ')R 6 FVJ ?6 Q!$ H
1 6 ") ) N =1 FR 3 C IG@D ! C3 6 , C T N
Rn!#) ?
) #) ) ?') ) 1 ' #)&
%
A
$ ?
' ) [
6 62))$)% I
3 Y
C )
EN
=
M M 3S6
!
T
"7 )%
>3
F
6 $
! L
R
R B
3 T
' ) ?%
+
N
+*T; 1
Ru : .6 ?")&% -6$ ) ) +*Q! () K
4) >6$ 1 !0s (') ) ! 60 (! 46 6j % ()! ! % ) 3 sF ' 8 >6 6 ") ) T +
(! \)% !#) ! 2
6 ! T6)* 0 ) ) N ' R &' % ) ' 02 ")
% ! -)!#) :!#) 3 3 N
M ") < 6 0 6 T3 T
")&% [
.
N
1
!
+
3 '
,0 WN
T3 T
3
5 )
+
6 0
T
N
3
R
*!0
)
)
3 X
6 6 ') 3 '
N
!= N
0
)
3 :
Y@D R !
U N
*T")&
% [
1
5=1
N
6 N
'
' ' )' R: N
' " R
)
U
!00
Q!X %
N
5
-`1
N
,
0
5
$
N
'
*;" Rk b-E N
5JVJ
-`1
1 )% !
N
R
N
$
R
$
$
N
= X3
/
N
R
R
+
N
R
> R +
N R
+
() "
.
H )
) 1
/
R
) % U
R
6 (
,") 5
M
!
) N
'
N
' :
#) !
1
c
R
N
!
1
R
=:
R
5 1 5 ' R
R
N
+
s
() - 3
Q!X %
B
6 % '
=:
R
N
( 6 :
N
N
N
*;" R
2) $ / ( ) - 3
- + $
%
- + - /
N N
)
R
'
1
S ) ') ,")&% /
;= $
3
R
")&% C
-
) -
\' #)
%
N R
3
3
$
3
) () N
)Q!0 % ) 1
"
5@ 0
+
/
!= @D -J1 R3
, ) 3
R
N
)
Y
R
) N =
1
5X6 5 1
N
c
!= ! ?
N =1 R3
R K3 R
!
') #!#)9!$ F
@ 0 $
j) "
1
R
N
)
'
N
$
6 +
") ' 6 9
) ;= N
6)*
N =1 R3
R6 N
/
) !
)('
3
$
5 06 0
! j -) (' ) #!#) R
!
"
F
@ 0? )$)% ) !
=T
5 1
"
3
FR
) N =1 FRI1
3
5=1
6 ' 3
M#N 5=1 " R
R
N
R 3 ) 3
R
MM 6
3
") FR
N
:
+
5=1
N
)"% [3
%
X6 )% /6 '
R
R
$
/
$
-
() N
-
N -
+
R
R
#) +
- N
'
*) R
#U
N
< 6 '
R
#)$)% [
N -J1 R
60
*
!
T@ N
+
' ) RT6
N
))$)% '
* R
5=1 3
,0 [N
1
FR
6 @D
!
/
- /
) (' (!)*?K!00 F @
! ! ! 3 0
N
5=1
%
%&
)
N
") E
R
N
5
$
P
, 0
K6 (!
!
N
' '
R
B)%
1
!#) N
/ 6 5 :
N
, Q
) !0
)
N
, T@ % 0/ .
%
)
' !
R
3 )R
3 5 16 56 5 5 95 6 5 '
R
' ) "1%+* H, 46, >* "H#&. %
d
!2 % 0-) 5 (!$5) 5 % 6 62 ")&% H
) 2 ' )
TU 2)$)
% O 6 H6 5
)$)
% 1 56(!))$)% B 5
@ #)
.%
")") E"
5 1
M
596 5 /
<
GFVJ R: . ! $
0? $
3
FR
C
1
)
$
B
FV ' ")&% QN
j% x
N # . , 8 (0$ '( #3"$ #3%0 06 $
! ) ! )
*,)$)
% I% ,# -J1 R3
N
$
3 :
)
#) R
5
H
∆ xi’
d
observador
x0’
xi’
x
x−xi’
o
)2
'
*
R
4 ! 6 $! : N ' R
<)\-) ! 2)0&6 0S) 6 5=1
N
x
('
SF? 3
FR
) !
6 )
N
$ 1
c
!
I@D d
) #! )8
5 16 596 5 5 :
5 6 5 R
1
' * ' R
N
5
5 5
5
5 5 5 .5
5 5 5
5
5
,5 35
5 5 ' )' R
-)! ) ! $ H 2)$)% ! ) N 1 FR + 6 ! R ) ?3 : , , Tl!#) ?6 6 ") ! \ )!#) :
1 3 M ) ) 5N 1 ') ") !) ?6 @6
6
6,#) R!$ U' ) V G !) 56 6
(! CN ' * 'R ) 3 : R ) 5 T , T
M
!) ?6 ) ) !) 6 62) 6$ 3 * 2) ? Q!$) ! 6 !0)$)% #),!#) ?6 =3 "
"7 , 1 3 2) ! ! ) 7
&
)
6) )
3 2) : 3 8 % * )!#) Y6 6 ! 5@D ! Y
% T \ !0 ! #) 6
! 3 3 "
, $ 3 Q0! 0M) ! 6 $! )$)% B C ) #)(! ! ) ")&% N ' * R K
! ) : #*) 2) () #
#) % ) N ' * )R T@ 5
M
)*8;
, $.6 (
)
N
T@D -#)*2)2) 5
"P.N ' VU k
R !
5
d
()2
N
FR
$
60
2)0 /
M
R
N
!#) 3
$
\3 < 6 )
5
) 5 1 /
596 5 /
6 5 6 5 # 6 5 6 5 5 d #
")
T) !
C E
5=1 3
60
/ :
/
)
N
5 1 M /
R
/ 3
N
!
)
#)*2)
-3 3
"
*(U R
5 6 5 ! "
6$
"
T F
6 X % % ! 5 , 0G 5JVJ )) ! j ) ') -3 N ' RL ' )* "!0 ! )F F !$ 5
JV L0! % )% YJVJ ")") ' 7 N ' U Rj B (! % ! 6$ v () 1 G) ! 6 !$)$)
% I
*,)$)% I[ 6 WN 1 FR :
)
'
#) #6
* " +
$
!0
60
4(0 "$ "$#3%! '( 0$ e# . , 8 (0$ '(
#&"1 #&%
! !2 % ) BN ' R ) O % 2 ") ) F6 ' % = F!0E 56) 1 3 %&/
! ) =?6(! 3 ) 0
! #) % 1 ? N ' R\6$T !#) ?6 !00 ' % / )$)% ) H6
6
S +
(! 6 % - 6 !0- !00!0
-I@ 0 &' % ) ) !) :6 : Y@ ! 0 3 =j!$ ' % @D ")&% ) N =1 FR Q! !) ')7
%& 0#) =6 <H)) ) ) ! 2)0")&% / % #) N ' R 5 , $ )
!*) 2 6 <)*") 3 )%
!
3 CN
'
<
)
)K
VU R
(!TH
% F $
! < 6m' %
")!0
s) @ 0?")&% H
0
! * Y6$?@D d
5 5 5 X % JVJ 6)*
+
!
*) ) 2 j )
$: 5
)(!) % ,
")&% I
) !
"
1
N
R
)
1 3 %
+
(!0I@D F
@ $
5 @ 1
5 @ :
1 1
"
1
:
G '
/UN
R
! TT@ 0
' M
R
)
Y
N
*
R
@
)
$ dc R
N @D 6 )YN
R *
"
"
@D 8;
'
FR
96 ! -)% !#) 3
N
5=1
FR
3
"
'
*
$
@
Y
:'.
1 $
$
3 R
/ 5
, W@
) 3
" R KN
5=1 3
!
I@D /'1
3 @D $
%
0
6 /
N
K
' R
' N
6 0
! R
N / 1
6 - % 2 ' 3 W s )
?@ FR ) 0?[ +*
! $ n "
/ $
1 [ N 1
/21
#)*2)2) !
N
96 " 1
) Z3
2X' % )
6 " R
$
! Y
0
596 5 56 5 R
Z 3
% = &6 16
'
596 5 56 5 16
[ N 1
9!$ 3 R
) ) !$ W @D ") # )F
v! 1 ^ ,")&% *) 2 ' !
FVJ ?6 3 5CN
N
6 7 FVJ ?6 FR
0! #)*?6 ?
dc R
N
6 N
6 "
) %
R
N FR ;
N
'
R
) N
)$)% @
@
N
F@ FR
) ! 06 0! M &' % ) 5 2)&% [ N ;6
6
H
)I
K6 ' #)&% $ 3 T' ?6 H
5 2
* ?, 1 )T
$
0
%
!
' * N
5@ 0
N
3
N XR
.@D $
FR
R
5=1 3
N
FR
Y
00 N
0 ? N
5@ % T
3 5
)
%
N FR
% 7
0
! T
N XR
5) FR
56 5 5 :
@
5 5 5 l!
) !
@ 5 3 ,
[ 6 56 5 $
[ 6 5 m' %
=1 3 m' %
5
5
5 3
5 :
56 5 ' L) ! #)
)
5 )!#)
!
!
5O3 &' % [ P !
G!
Z()! ")&%
&% )
! #) % ! )
)"%
") )
5 T!#) [ `6 5 9!
-)
1
) )(! #)$%
) 5=1 Q!X5
! n#) ! )$%
) ! ,% s ,)$%
' % )$%
) 5=1 3 1 [ 1 `1 1 21 1 Z 1 1
1
21 1 Z 1 :
%
() N XR
5 ) N =1
3 FR
")
5 ) 5
N XR3
M)*)!0) )
5 3 5 [ ) N =1
I )*2 Ru! K, 1
k T
N XR*T % / \
6 !$
!
5
")&% .@D #) R
Z :
"
1
:
!
'
N
R
/ m' % )
N
'
!
)R
4 z
z
ε/2
ε/2
y
x
)2
c#)*?6) 7
T, ,
'
N
)Rx#):6 5 5 1 3 6 <) 96
*) () 3
0
3 ' )R
N
:
2)5 5
)
") +*
(')
3
/ ) !
W
!
5=1
5
\6 H[@D H
+
(!
##) % !
5 + $= 5 ' ) R
N
R
6 5 3
!
)R: :
[ N 1
/'1
6 '
N
1 ;6
1
$
!
5 5 5 Q
<)*")&% $
5 FR
!
5 6 ;5 =15 + 5 3 5 6 =15 ,
3
R
% !#)6 5=1 3
N
N
R
)Q!$
@D N
3 596 5 3 95 6 5 = 596 5 '
)* \3
T!#) ?6 "
!$ ' % * % 2 P
% ' )$)
% 3 N 1 " 1 " R [B3 ) + O
) , ' )Q!$-6 ) #) !0)$)
% )*,(!$ ) 2 ' "PCN ' R ' 3 N =1 FR T6 ")0 ! Y M% *!#) ?6 U 2)&% O
"!T % 2 3 [ 3 " "7% - 6 ) !$ Q!$- 2) %
@D ")&% W
!#) ?6 T6#!#) ")&% QN ' " R "P. ') 3 [ 3 " #)
%
3 =@ 0
x
)O
$
! N
FR 6 ' N
5 67 R + "
!
N
' M R "!0
67
3 1 $
)
3 3
1
U $! 6 7
[ 3
1
"
L1
6
6
6 6$- 3
3 BH
? 2)$)
% I
)
1
! 6 [ 3
, "
'
1
64:
0
! !#) 3
3
M
- "!T %
N
% 1 2) )
2 =
, 05
(!
[B3
*) 2
"
' R
Q !X % ! ) 7
6
3 " # )
1
' "
y=1
(x’,y’)
x
x=2
' )2
x’=− τ
x’=1− τ
x
L1
)2
3
)
"7
Y
3 6
3 (!T
% +
[
(!
%
2)0U 3
* 2 H
N
)
67
% !
7+ R +*Q!$()!")&% 6
0j!#) ?6 5 1 *) 2 ' ' ' ' 3 6
:, (!0
3 ! ) =3
3 60 6 G 3
$W!#) ?6
) 2 ' U N \
3 3
6 )RM6$ "
! #) x
!
3 Y
L2
3
%
+
(! 3
2)?
- 2)$)
% T3 F,
4 W
% I, (!0
3 3
"
") ) 0
! #) % 1 3 1
) 0
! #) % 1 1 3 4 L1
L2
x’=− τ
x’=1− τ
' '
)2
L1
x
L2
x’=− τ
x
x’=1− τ
)2
% "!T %
2 T2)T %
F
-) ?' 5 5=1 3
5?6)! N
FR
N
N
'
U
3 7
6 21
67 6 1
6 21
41
L:
" 1
7+ RI1
21
6 )R 1
" 1
)
) / (!$
)*2
'
(
c −2
−1
1
)2
*) 2
!X %
'
\ c
' 3 /6)
0G 5
τ= t− x
3
c
3 -' ) -
/ 2)$)
% Y
, ' ")&% +*Q!$G /* 2 6$ " 1 3 * 2 ! 3 @D Q )!#) 3 Z 1 !#) ?6 2) H
, 2) 3 " 5 !#) ?6 5
6 (! ) c !) % 1 2) \U
% M JV , (!0 3 % !)* * 2 T@D0 V ()! 3S67
3 : 56#! Y
% FV 5@D ! ! [ JVJ ")") N =1 FRW 3 N " 1 1 " R 1 3 N 1 1 1 1 " R 5 Y% M )
3 * 2 T5 6 ! JV /@D ! : *) +*
" " 1 [\3 " @D 0 )*j! ?ON ' R[ N 1
1 FR3 () +
0\ 2) % ?6 M
F 0! %& +
'
2
2) H3 Y /
UY% C W\6 M
3 8 % *
!
5
B
Y)%
(5
() 0 46, # 7(0$8 3# % ?01# , >"1%("1"$?01c4! , 0$ !"/#&. %
'(*#&%!'( % [* , ' (" 8 %! "1#&%!
$x! 0-) )
5 5
0
Q!00
% ')-
),#)$)% % *) ) ") )$)% I
:)
K6 % )I' > N 1
> $M N 1
! ) #) ) >;1
> MM
3
" R
3
"
" R
3
[ N IR :
1
N
' )' R
[ N
)
R
")&% W
T@D %
$
MM
3
" R
3
" R
3
[ N IR 1
" 1
1
N
M N 1
!) 6 *,)$)
% 3
% (!#)! 1 > M9QN '
>JM
U R
1
> M $M N 1
3
" R
N
MN 1
!
)%
MM 6
> /O
) ' )' R () N
1
*T")&% '
N
' )' R
BN
>
3 . 6 )% 1 3
> MMM 6
M 3
" R
3
" R
3
> M$N 1 " R3[ N R 1
> N 1 " R 3 N
>
> MM 6
3
"
+*Q! M 3
R
6 ;
"
U
R
' #)
1
:
"
F
!$C!$ % )"% ) ! ! ?6 % Q! :, ,? ")&% .
/ ) )* K
#) ) 6$L ) *,) ) <6m' % ")!0 N ' ')R 1 N ' U R (!0
$8A
% T % ') N ' &'R =
! $ F @ 0 ) GN ' &'R > N =1 FR73
> N =1 FR 1 /)% K
!) 6$ W
> )$)% I ) #) != > 3
> MM + !#) 3 > N=
1
1
"
6 j *,)$)
%
> N=
1
"P
N
'
R !
c u
*T")&
%
5 > N =1
+*n)?6 (!$ ! 5% ! [ NX
R !2 % ) [
M
2T' % !#) #)N[ N XR 3 "
5 0G
5 > N =1
FR
3
N
R
' R*
R
5 R
$
[ N
/ R
$
N
5
$
+&-R N
'
N
' != /
!= XR
XR
Y
% Z% !#)
c
R
/@ ' [N
) (' ( !)*
R N
XR
XR
N
N
XR
XR
=:
0
B
!= /
!= / 3>5 +B() != != () N .' ) % P, ") [
[ NX
RI1
3
XR
N
5
XR
#) /N N
" R
5 != :
(= #) N [ NX
R
68 %
> M#N =1
1
' &'R
0
! )$)% R
% ) N
$
N
!
6$
=' % m' % N
%
1
$
"
[ NX
R
@ 0? N
3
FR
3
" R
3
FR
: I 6 5
> N =1 FR3
Q!
) !
I < 6 R
2$")&% ON!3 N
' N
' /2:
$
-`:
R
3 " R
N ' " R: \) !
-I6$ )% ! =&' %
+
JVJ
2$ 6 != != #) N $
XR
!
N
N
@D XR
- 8
2$ )$)% )
N
N
R
N
!#) :3
(! U% !#) G)
/
0
M6 ?
!$
J
@ 5 > N =1
0
R
' % ) )
u N
3
FR
N
5
(
< 6 ()&% B% , Y60>
)"% %& ) ' R,!) 8) ! 6 $! )$)% T
*) 2 ' 3 ? 5= !) ' 2)&
%
3
)
0
"
5@ % 0/
0 56 ' 7 ;
[
+
6 (!0 % 8
2) 5
N
' R
FR
! ' N
0
1
%& )
R
6$n 3 ,) 3 ' N
)
" R +** ('
)R %
N
) !
) !
,")* ( K
3
' ) )R
:
N FR
5 + - - 1I1
N
R
[
)R
[
$ 1
N
!
3 :
T@D )$)% N
$
! N
s) )") k
R
60T-
R
' - :
CR
5 + !2 % ) )) N
5 + - N
$
$ 1
1
R
' R
+
(!0Y@ % 0/
) !
(')
@ #) ) ( !$Y 2)$)% B3 T (!$ )2 > N 1 FR % (!0-!008 F@ $ M
' 3 8T
% ' ! [M % /
) , F@ $ ) ! 2)0 )2 ' ' 3 5 2 $ , % I6#! 5
M ) ! !$ "7 [)I@ 0?[% !#)
6 ?[ * >&3
" 60
1 M ) ! !0?5T 2)$)% [ 3 "
%& ' N
# ) N - - 3
N
[
$ 1
R
5 %
R
3 > N =1
!0
, H
1() u
#) ; 1# ' - 3 - )
CR
$
-
N
- 1 I1
$
N
( L6 CR
2)0 1 ' ) )R9 N ' ))R [N
!#) " R: N
" )*)
N
N
m' % 3
FR
' N
,()
$
$
- 3 - #)
- 3
1
T") m' % !)*)*8;
3
FR
R 4
R
i) !0
$ - - 1 I 1 I:
$
3
- () - 2#) 3
' 5 ) j) !
n) !
R
5
3 )
[ 3
T3 T %
"
! $
8
()(!
3 : K6 % ?T60T 6 )% 2 Y
6$
% ! ) /3 )
') \
-Y
8
")&% I
.
- -, -!$ F @ ) ! $8 @D )$)% X!#) ?6 K
'
x
r=t 1
St
x1
1
g=0
St
St
2
x2
)2
' 8
i) M ) Q 2)&% )
[ 3 " +*Q! Q 2 0 6 % ! $")&% % ! ) % Q!$ ! 56 FVJ53 :
%& ') 7 G + T 1 ' % () )?6 () % P' * N ' R @ 0?G $ ) Y % 2 T, , 1 3 )* () Y 2)$)
% H
[ 3 " 6 )PI 6 <) ")&% + ? (! 6 6 <)? `M 6 6 /3 !) 6 0
W') "! = 02 m' % 3 Z W A ! ?@D ! +*Q! 6 j F
68 I, ) 5T@D ! [' ) 2 5 8
5
0:)*,(!$ (!0=6 < )")&% ! H > M N 1 " R 3 [ N R 3
> N 1 FR S -#)!")&% / ( !$ )*2
3 +6 6 1 c
% 6 *
3 )2
1
FR
5 6$
' 3
M
C
1 G) ! 2$ N
!0 % )"% [3 6$ " )
G ))$)
% ) )) / 8
/ !*) 6) 6 N Q!X % ?6 C 6
6
' $
> N
T ')7, ")C)8 3 2) % M9 ) ! " !0/ F@ 6 + -% L )2 ' C
% S 3 ') !
%
%
6
N
"
1
6
FR
E 1
R* ' 6
+
;6 " :
FR
% ,
1
' 1
E
<)?
6 6
>93
"
0s!) ?6 )
>
%
*
N
!
' 'R
#U
a
x=x0−t
x0
Pt
)2
N ' 'R 3 [ ;
) 3 FV @D ! [2)T % >[ ') 8-U% M 2 (!0 1 Y% \ !$ +
(!0-#) !0)$)% Y 2 ) 6 ) ! JVJ )) Q #
) !0")&% E
1 3 N() !' % F@& % ) ! ;
N ') -
. (! .
!0* % !#) JVJ ")") ? ) !00M!#))8 WN ' RL- ,)$)% K6 % 0
! P
' '
)
' >1
>JM M3
> N 1
" R
3
[ N R 3
C ()
5
(!T %
[ )*6T ) +
6 +
Z
3
E
N
' U
R
! /
P% ' ")&% 5 (!T/
% JV )*6T ) 1 (!Tc
% % JVJ 1 J1 Z
" !#) ' ! W Q!$ )T()&% ) Q!0 1 ' )j ,") M6$? )$)
% [
! ) #) ) P 6 % % H )") 6 d) /H)F 3 B,0 H6$
- )$)% T60 % !0 P Q! , , 8 - !00 \) % 5
) (%& 02 % ' 8 6 T
% !0 P !0 ' Z !00!0) ! Y
8 &' % W ) % % $ ! K n)* % (! Z P 1 60 % 6 ") 60?
) ) H<2Q * 0! ) ) , c ]
$x ) 2) Q$! C $")&% 0! 3 -, 1 [ % ! L! !#) ' 6$ ' 9
)$)% H
) @D ") ) =6 ;
) J@ % ) 1 F
6 +
2
6 %
!
) ) !08 +
(! ! K j) %& #! ),
0 5
"
)#!#) 1 % 6, )
3 k' %
]
1
c
-)!#)
L
& !
L. L
) % S 1 (! 6A' % !0 / !00 2 JVJ ?6 6 62))$)% W
1 T ! )*@D,#)$)% X -6 )*@D,#)$)% / 1 )S@ ! . , )6 % % ) 3 ) () 0 ) 6#) )*62) H
Q!$ !0 + )*@D,#)$)
% c *T") x K
V
3
%
@ ?
6
C
2
)
)
)
0
!
0
C
6
(! ") 1
)*@D,#)$)
% $! % )"% 0! T6 62 ")&% I
) (!0 % )*) .
)S@ ! :!)*6 + Q! 6A' % 0! . < ) 2 JVJ 56 =
6 ! !&' % 62) H
+
6 ('
)8!
b 1
% N
, #+4! 2 "/#3. % '(* ?01# ,
! )
%
06 % #) ) E j) ! ' " ! 2!#) ?6 6 u
+&) (!T % 56 l!$ 5 6 I
!#) ) )
FR4! ?6 $9!0
%
3
6 3 03
)
N
R
M
() $ %('
.
%V'
! $Y6(! T % [
S !#) N
R
&' %
`b 1 N
R
?
0
! N
% '
$
N
1
+
3 - 3
!) I
F
6 ' )$)
% B
? 02T' % )R
)3
0!$ R N
1
L! ?6
0
.
%('
FR
' % !0 56 1
% =
0
! ' % 1
+B)
3 . ! $96f )
3 ? v
3 %
0 + )
")"
F) )Q!00 2 ! !0 3 5n&' % !
$ %('
)*
$
! $
! .
% '
") < 6 )*
+=
N
R
7
N
N
R
!
N
.
<H!
R
!
T
6 .
%
.
$ %('
"7 # ) '
%V'
F
6 "!
$ %
N / R
N
R
N / R
!
FR
FR
N
/,3Y6
3Y6
N
Q!
N
")&% N
R
FR
K
N
%('
N
FR
6 9 /2:
FR
! ?6 $9!05!#)J@ b 1
1
+
N
:
FR
N U * R
))$)% c! ?6 0!$
1 %
")&% N "
!
FR
[ 1
1 %
N
VJ 3 FR )
! -
(6 % "1-4 H, "/#3. % '(* #&%+* e8 " %!?%+* 6 % )$)% A
)(!$
/21 %
$
+
b >b b b
5 < 6 + (!0 9 )$)
% ) ' ")&% ")&% [N U* R %& '
) )) N 1 " R=3 ) N R 1 )") @D ) ! $ 3 " 1 3 F )
VJ? (!T % W
T@D ) ! $- N " 1 FR 1
N 1 FR % ) 0! 0 6(! <D!0 6 ;
E! ?6 0!$ 1 Q
) () 0TT 1 - @D)-) ! 5
P Q8! )
)")&% [
@D ) ! $
% ) )$)% % N 1 FR ")&% IN U R /
@D )$)
1
%
b
FR
b 1
R
3 )(!$
!#) :
7%
0
! 0:6(! M , u) !) 3
RH+[ 8) b 1
R
#) A! b R `M N 1
N
b /21
6
1
6$52 T@D N
N
0!$
N
7
+&)&R6
R 3Y6
1
FR
+O)[6
=' % )
3 N
N
1 N
' #) % VJ
!#) ' ) !2 % )
) % ) % '
% ) * x! ?6
! ) % 3
VJT
$
! FR
7
@D R
`b 1 37 N
<H!
6 ) !00")&
%
?6 ) ! 0
!
3 A6#)
W
*) @D,#)$)
% E
$
! ) ! -6 !
<H))$)% 6 ;
6) $ (! F
6 ) 3 N 1 FR + ! ) L
?6 $E6 0
! -) ! n!#) $ )")&% [
S VJ
+
I
0
! ) ) !
7
N
FR
1 FR
:
! 0-) <6 )*
") + 1 N
6)* !2 % 0) - \
")&% 6$
(0! ! 6 3
FR
N
! )") G
VJ
1
-! ?6
N
R
N
" R
N %
!
VJ
+X T
6 ;
6 1 H+!+ 1 ) ! 2
% <)* 6 N
FR
@D FR
3 1
$9!00
0
1
1
N
3
d:
N 3
(!
)* !
' ) "
N
FR
%
N
FR 1
$
7
6 7
N 1 FR3
6 [
)F6
N FR
)% FR
M 3
6 '
) !
v
1
6 /
) )!
H <H0
! H6 "
!
6 1
9
Y' ) VJ
L +9
+
!#)6
;
E
1
W ) ")&% Q ! 6k' % ! ! <H! P
U% %
0
! H
60
#)$)% ?
!$) ! 6 9 x , )* x [ N FR .[6 ,$")&% !0-) ! ) K
) 56,) )* N 1 " R 3
)$)% I3 :
%&
" : ") 5, 1
' ) % $ .6 +
H
:
"
3 b
6 )% !#) N U R
S) @DT()&% R
FR
!
%(% + + % :
?6 $ 0
R
b b
0
0
! ##) % ) 7 1 / @D)-) ! Y
P Q8! H @D ) ! $ T
+ N 6 4R?3 " .L! ?6 $9!0 % ) ! ) (%& 02 ,% ") 7
( ! !#)6 [
6 % (!T % U ) % T
# #) %& 6 % ?5 1 E *T")&% #) % ) U !0 5
JV ' 8 ! :
FR
b 3 b + 1 1 b 1 3cb 3 ! 9! s) ))
!
b 1 b d1 I: *Q! b 1 b d1 #) ! ) ! Q!X%
N
R
N
C Y
%
? 2)&
%
$
! ) 6 ,$")&% [
X2 1 FR;+
2 $ A ( ") !
) !$ #)*2)2) ! @ 0 ' #)$)
%
1
T 2 - @ ! 2!$ 6 (! !$ 6 #! :
$! ) ! Q !X %
1
M3
VJ
56 T")&% [
X2 N
*) @D,#)$)
%
+
$
! ? *) @D,#) ')
)
!
3
N
FR
)I') N
! / 37 1 6 7
/ 1
N2
% '
7 1 +
;"
)*
$ %
'
!) %V% +!+ % 1 N 1 " R3
"
1 N "
1
FR
"
1
3[
N FR
E" 1
:
"
!
3
6 % : "
,")&% )F6
()&% N 1
3 0 6 )
0
! -) 5? 7
" R
3
!#) =<
!
T@D !
1
! 0! 7
H3 )
1
@ 1
@ 1
21
"
!
!0
F !0Z) )")
)")&% ) ) ") 0
! ) !
!
U
-[ #)2 0 * # '( 01 !%+* - !0
:% T#5 , $
<
/ 1 )*?6 #!0 ! -
6 )% 1 ")&% !#) T@ 0
7
8
!#) !
/@D b M 3 b %(% + 7\1
37 7 b
%
)
7
6 )") :) )") 1 @D ! 0T6 6,) + T, , :#) !0) ) N PR :+
(!0 6 ) 2 $ )2 Y3
)
1
/, , ' % #) L
@ % ' ) ! 0 ! 3 55@ , Q!X % ?6 !$ ! ! ) JVJ ?6 T ) ) < !2 % 0) + Q! N PR=3
:
0 ") W \2 % 2) ) L6 x! N PR,3 7:4+* " I@D ! ) ! $ 3 " 0 F6 Y ) + B >6)* x )$)% W ) ) 3 0! k! 3 " ) T3 ]3 " n) (!0 % -) !00
3 6$ ! % 5n&' % ")&% ) A" 1
3 " ) % G) ! $$")&% " Q$
*) @D,()&
% ) ) (0! % *) ) + 6 62)")&% W 6") K=! ?6 $ 6 % ") [ 62) ) ")&% Q
) % ' *T")&% " v!2 % 0-) [
") -) ! 1 6) K0! ?6 $ ) @ $")&% 6,) ) )
)
:
C! ?6 0!$
7 b
+9v 5
%
!) )
%
;
v) !
6 0
! ') !0 VJ
")&% )) ) !) ) 5 ') M
6 ) %&
X
!
8 3 .
"
)) \
2 6 )% .
@D )
(!0
!
$
) )") (! M
6
" R
N
6
' b
IR 16
G!00 J
@ 0
! ) ! 1
N
1
3
" R
E"
:
) N
6 62) ' % ?6))$)
% Y F 6 ?6 $9!00
$
! % )) ) :) ) ") 6() ' 6 ) \ #)(!#) ' % 5M6: % 6 W
)(!) % ,")&% ) )") !
! 6 % 56 : ! $TT ) b
/
*) @D,#)$)
% H
b M 3 b %V% 1
b 1 3 )
,")&% B') !0 VJ5
")&% [
R j N
b
02 ?
k % .
%
7 b Yb
) N
R
1
#) W' ) !
6 62) ;
1
b b
R
3 b 1
N
bM 1 #N
) '
")&% N
!
0
! >% !$T6#! N
b 1 , $T6)
5
3
b 1 3
N
3 I:
)
)
@ )
/@D ")&% ) N N R3
"
$
! !) )6
56 )
3 N
FR
60 +
u) "
!
c !
/ '
!
3 ! $(!0
)!
% )
1
N
2$X! N
!
#!#)2 T
% 62) R
/%
2 ,#) 1
O
3 A' % 3 :
##) % )
M
@
/%
<)
/21
N U )R
*,)$)
%
") M
:
' 8WY
% ?2$ )
1 #)
N U ? ! $W() ?6 ?
) )") ) N R 3
"
W, ') :
)8 TT!) ?6 (!0G
)
FR
6$
+9>Y %
1
) N
/ R / % /
FR
) ) ) N 1 FR3
$
Q2)
G) :
/ M % R
<2")!0)$)% 6$
3
/
N
N
RI1
N
1
FR
)
(' *T")&% JR
/
@ ! b 1 3
b 1 #)&%
T##)
R\ 6 )
$
N
3
" R
FR\60
FR
R! $ J@ N
X
% 62) N
2$ Rl !$M 5, Y% 6) N!
/ M 3 ) 1 O
% b 1 1 ?
/
$
3
' )") L
1
' #)) )
' 3 !#) ) 8 O P !0
576:% ) 5 ') 3
N
FTQ!) !0
1
FR
/
b
b
60
b 1
+*) b? 1
3Y6
FR
$
3
FR
;"
G *T")&% )!0
3
@ 0
)$)% +* c I
S) @D R
"
[ )
6 ( )&% 3 +9KY % <) ) )") / ' (
&' % T6 6)* 0
N 1 FR 3 )Q!$ 3 x 6 62 B' ") ) )!0 1 3 "
! 60L! - ' % 1 " +*Q! I[ ) 2 M !$ ))$)
% (
!$T6#! ! $ , )*6j % ! () F6 (!0-) Q!$ !T % VJ 3 6
%
M < 6 ) ") ! 6 3 W#) % B
?
)S@D,#)&% + [6 <)*")&
T % ! U !0 V ")&% U
9! #) 1 L) ")
'
b "
3 P
T % ") ' )!0
6 62)")&% ! ) !
+9& 0
6 X
% ' 6 % >
!
?
Km' % )
!
" 1 () k 8 *) @D 6 ;3 M M +B> M
3
> N 1
3
" R
(')
!)*
\>
-W
0
! 3 ) ') 5
1
%(%
) N IR 1
)!0
) ")
6 62)")&% )% ! ) ,")&% 6 A 0 %& W#)d % Q!$ % ) $ ( ! ) )") T, 1 *) @ ! ) 5 3 A' % <6 $ % ! :
!0 6k' % H
) ! ,") )
T
3
)$%
2 s ! *) @ ")
N 1 FR 3
N 1 FR=6
N 1 FR:!) )2 3 :
1
%
+ ! ) f0
9!)F @ )$)% b cb b b
0
! 6k' % k()(! b`M3 b %V% 1
b
(!T %
()
b
3 !
"
: "
%
6 2 *2! ?
/
$
/
"7
6 3 k' % 3 !$
b
+
PR
+
(!0
1
%
3
"
! 6k' % #) /
b
$ !)*6)
b #)
/
A"
1 /b
!
b
PR
:
"
b
/ b b
M
b
PR
#)
"
/
"
: 3
-) !
-! ?6 $9!00
Xc
% !00!0
"
#)
"
!
/ b b
b b
%
) !
1
:
-) )(!#) !0
W)FK) H6 b M 3 b %(%
) )) K
8
:
E"
2)0R &' % "
-R
+
+
N 3 .
?
68 %
$
$
6
+
3
+
")&% [? 2)!#) '
b
3 b
+
: N ' % ()
"
3
XN -#) 2)60
")&% 6 3
" R
$R +9R $
M
T@D $
"7
3 XN 3
0
! 6k' % ! 6 ;
N 1
N
56 $
b
, Y
I 0
! 0[@ b
!
!
2$ T)%
b /
b
$
.
)
()2
,")&% $
3
: +
(! " 3
.3 S) @DT()&
% W
+ 6 )% !) 1
N
)") %
/
"
*,)$)
% ! 1
%
N
/
3
FR
b $
3S6
%V%
60 % 5? +!+
%(%
bHb %(% :
3
Hb b
/
0
! -) M 3
'
;"
1
3
" R
)
M
% /
IR 1
N
M
:
' #) (! ) N U )R ,0 Q n % ) B@ % T
6 + 760L!$ J@ : ")&% N U )R ")&% AN U R +
(!0
,")&% E <6)CC@ ")&% Q6* 3 S !0-) ! ?6 , ) K
6 ? \*) W8 ) ^ ) !0) W8 )
<(6 )u!#) <(6 ! 3 "7 3 A' % 3 !
+
6 X %
' ) % 3
M
T@D >@D
!
!
0
)*2 U *)
)*2 U*
+ : 5
/ ) .
0
(!058
Q!00OR % B
S) @DT()&
%
Y
% 7
FR
3+
.6*G )
6+
N
H 3
&6 YN
+
) ! !00 J@ < 6 '
1
$
! ) $62) 8.
(!0.8
FR
!
C T ') (!$
") )*2 56*? !
;
C - , *) %
)
() IFVJ ")") 6$
"!
-, L/6*56 ,") T6 6 )% 0
6 $9!00 %
M
, 0
#) $
6 % \
6 M
6 ")&% ")
b M 3 b %V% + Kb71 6
b 1 3 11
N
" R
1
"
!
@D 1
"
E"
:
T3 /
6 /
"
-! bK
"@U
x=Ut+ 2 (Dt) 1/2
U
t
x=Ut− 2 (Dt) 1/2
pluma
x
)2 L U*
+9k "
)*8; Y6 (!0 % ")&% W
62)! 1
.' ) % b 3 G) (!0
%
M
)*) ,")&% (!T %
!
56 % ) 5' ) % %(%
' M=3
N
%
3 "
%
/
" +
1
/?3
b
) ' ()&% ??8 3 " ) (!0 % )*) (! )*@D,#)$)% )7 ) ) !#) ,) 6 ' / 7
?6) 6 Y8 " :&+*Q! 6 8 0 ! $\ ' ") Y
' % ) X6 )% =8 ) 1
T@ % 0/
+B> !
b 1
N
$
Q!0
) A ?6 #!0-) !
M
3
FR
5
.
"7
!
O@ % TE " 2)0 !
! ) Y6 (
3 M
) 2)
/
:
A"
/
/ %
$
1
"
Q!
I
/
Q!$T@D
FR
1
/ % / $
1
"
R +
!
M
M
/ %
3 M
b%
M
")&% b % 1 3]6 N
N U 1 FR3
1 " R3
N
/21
>:
:
< 6 )
")
!
6 ;3 U()
b 1
N
1
*,)*
b 1
3 N
FR
FR
! $Y6(! +
2) )2
6 1
U #) x!
$
! - $
3S6
%
")
< 6 !
b
!
Q !$ % ) ) ) 7
, ) 560
PW *,)$)
%
@D %
!
6 +
?3 ) ('
3
5
6$
(!0
:. 2)$)
% 5
73 2) ! 3 2 D t
t
inestabilidad
quietud
)2
)
)
(!0
)$)% *) U Kb !2 % ) :
09!0$")&% 6
, 1
)%
3 !
4
")&% b`M=3 b %(% + Kb 6 b
N G
) Q!$ % ) ) )
' ) VJ $x!0k b
!$ 3
/ Q
!00
%
1
c
" I:
;"
!
)*2 L U \
PR
@D !
6 62 C "
T=1
v
v= 2 D
)2 L U +
(! ! @D %
%
%
% !)*
6 62) JVJ ?6 6#) ' +
6() ' ' %
(!
U
(!
)$)% 1
N "
3
FR
)
' ) 1 )
: 6 0
6 *) @D,#)$)
% [ M
2$ +*Q! T
) 6 7
I (!0
6 3
N
(!
3 A"
1
1 5
0! 0
) ! $
N 1
%(% R
6
\
N +
R
%
N "
1
N
1 "!0
FR
1
R
R
M
1
"
N
1
1
"
3
)
"
1
N R
1
#) 1
"
1
) ! /
)* ,) ! '
:
N U )R
6 ?N 7
5 68% )
MR 1 R
a1
1
:
R
A"
3
1 R
1
"
T
N
6$
1 R3
"
5() 2#) N
1
/
, ")&% )
N
N
$
Y
% 1
M 3
! ,(!#)!
"
$
3
FR
!
1
E) 1 $")&% H
6 s!$9!$ 5
(!0
L
2$ K6 % C!$ F
@ 0 :45n&' %
N
#)
6
%(%
0#) R 3
1" 6 )% c! +9q "
M=3
N FR
3
/08k% 6 62)")&% H
' 5@(' %
E"
1
A"
:
1
@D ")&% U
,)$)
% Y
N
)*) +
)
,
N R3S6
!
N
6$
+
R
1 R3
,
N R
% +
)56) 3
!0 !
N R
;"
1 R3S6
N
, $ 5
6 !) /3
)!0) ) (' ( !)*
)
3
N R
@
%
:
"
0
/'1 1
%&:3 % /
0#) !
6 #)(!#) ' %
!
+ Y %
U ) 3 N FR
<)*
5' 3
!
N
FR
C
$
N R
M
N U R
(!T %
56 M
)*?6)
M
(!T %
/
3
!
T6 M
/%
M
E?6) 0
! N
%(% 0#) / %
/% M
M
#
)
'
,")&% [
+
1 M / % / 1
!$ J
@
% M
)*?6)
"
@1
1
))$)% U 3
%L:
6 @
/
W ,
%
/
, % :
1
! #) . /
$
M
M
"
N R
"
1
% /
02 ?
k % :
5 3
3
"
1
"
)
1 FR3Y6
N
1 1
/
6
1 FR3
3
3
R
!
N
6 +
N R3
!$ J
@ ) N
6 = /
N R
P
(!T %
1 3
N FR
FR
"
/
M
I 6 %
!
) )
AY68 % ) N FR8!#)J@ :
" ) ) % 02 ?6)! 1 , P
! ) $ (!0.$8A% m' % !00 -)#)$)% 6#) ' %& ?6 K
! G ! ? !) ') N 56) $ R 3 ?6 G ! #) B
M6 $
9!0$ 8 F ') (! 6 % 7< N3 )
, 0#) ! /H +6 T
) !
' ) V x )' ;"
- ) (!0 ! #) ?3 6 ' !0 VJ-
D) 2 1 =2< 1 6 Q!0 ) H
)
,$")&% !) ' , ) 6 ") ! -
6 ') !0 VJ -)% ! ' ) *LK
") P Q!$ ")&% I ) R @ 0 :
3 -' ) V #) 6 ?6) !0 ') 8 % ! ) Q!$ ,") 56 ) E ! = )F Q
% 0 F6 % =
C )
,$")&% !#) ' +
(! 7
% ) -) ! @D @D !$ 1 H) 2
% ) W Q0! 0E 56 ()&% B
1 =2< 1 )% ! ' ) H 6 ) P )% 1 3 6 / ))$)
% Y 0! ?6 ) ! A()Q! ' ) Z
()(!
'
) R
, ") 53 "
W $[6 62) P
,
,
2
! % 1
) (!05 ")&% / <6) 2 6 62) n!$ F@ 0 , ,
W ! <H! <6 ()")&% W
/ ( ! = F!0 n 6 ) !$
3 2) \) % T
% )#) =
P Q !00/6 !0")&% # )*2) T 1 / ) % 5
) (% 2 +
3 L
6 +56 8; 6
L
F ") !
G!$ F
@ 0 3 !
)
%
)
") )
N
R8 N
F
$! ) N
R +
(! Lc!$
) '
' 3 -N
5
R K
/ N
/
$
5
WN
$
3 )
N
N
)
%
1
% )
R
T@D ")&% ) N N!3 R
%
N
!
R
R
)R
C!$ F
@ 0 :
R X
j!$ F @ 0 :) (' 0 5
N
N
5
) N
R R
") ! ) N R JV FVJ ")") 7 ) !00K!$ J@ K % () ) ' ) !2 % 0) ) N R T@ % 0/ N 5 R ) .3 3 2) M@D )$)
% ) N R\6 . ##) % ) )
)
N R 1 /?6) !0 N R 1 C P
96 % 5
7)
%
5 % 2 ! 6 .
) G!00 J@ ) M6$T@D ) ) !0 ' K
) % +*Q! , 6) N 5 * R>x ' #) % 6$ ! s
! $ F @ 0 Q! N
5
R*! G!00 J
@ 3 )
* R
) (' # )$)% !2 % 0-) ) ) N
:
R
5
N
T@ % T
% ) N R :
F
@ 0 R 3
(!$
#) 2$ % R: :
/
) N 8
R 3
R
) !
/
$
R3
!#)) )
%
6 0
6 ;
) N
2)
N
R
M
6 )
#) @D ")&% C
! 0
M
5
N
!
- % )
, 0\) N XR 6)*
5
- !$
3 $
N
%
2 '
) %
"7IN 5 c
R
N
' 5
U
*
!) 3 3
!
N
5
3 )
R
-!00 F
@ 0? = 3
N XR
)
) 6
7
, $
5
) [R
< 6 0 =S!00 J @ R 8
\
G!00 J @ $
) [R N X
R3
% ) ?
.' ) % N
5a3
/
/ +B- !
$
) [R N X
R3
3
3
$
/
/
) NX
R [ N X
RI:
=:
R
N
N XR %
?6j
%
5
R
5
)R
5
$
[ N / R / $
5
Q!$5@ %
' ) :
S 0 [ % R .
)
1
[
N
R
(! $
5
5
N
3 R
0/
) c
5
R
R
) N - R [ N / R / U
,0 1
) N 6F/R [ N / R / =:
N
!2 % 0-) $
'
) N
5
$
/
) [
5
) NX
R ) [
N
R
) N 6F/R [ N / R /2:
:
5
$
N XR3
5
N
P
6 - 2X' % S EN
$
)R ;= 6 !
'
5
3Y6 ;= ) $
' #) % 6 !
N
)NX
R =:
5
6$ :!00 J
@ R
E()22) T
?
=:
W
$
! N
1
$
=
/
/
6 N
N XR
' ) % XR
5 /
)
!
'
) ! 6$5 2) #) ' @D ) ) ! P
)!)* T! C (' *,)$)% 6$!$ F@
3 S ) ') ,")&% I
\@D ") $
! T6 )
N
%
/
) 3
N
!
)%
3
=
$
,0
) 3
N
= 3
) 3
1
3
"!
3 R
0 6 )
)
)
N!
$
$
R
6$
') 1
$
N
F
@ 0 )R*! 5
5
N XR3
[JVJ )) /
/
/
R\-!$ J
@ c) ') )
9
' ) % $
) NX
R3
)X6)
+
/
) N - R N
5
" R
)
5
3 ?N
46 ,"! !00
%
*;" R
J
@ *) (') )
x!00 J
@ :3 n!$ @ 0? !)*)8
@D M
, 0T G!00 J @ ")&% ) N
)8
/
$
, $c! 5
- ) ') ,")&% :
9@D ") ) , 7@D " ) +*Q! !0 % !#) v
5[' #) () (! ! <H! ?
) 3
3-
!
/
3
$
Q! ) /
3 / - /21 3
/ % :
)$)% Y% ,
:@D C
!00 F
@
#) 0? /
$
%
56 0
! ) N
R
) N 8
R /
>
$
/
+
) N R /
3
JVJ
!)*x) !
0
R
1
Y
%
!
!
?
+
/
8) % % :
/
(!
2 @ . X /
<H)
2$, $
') 8:Y
%
/ % /
L
6 3
3 2) $
!
1
)
:
$ / / /
/ $ / % /
/ $ / % 3
3
+*Q!$e
%
3 6$
:
3
,/
+
N
% !
/
$
% 3
k $ 5[ < 6 )
/'1
/'1
")&% Y # 2) / % ) N R3
(+9 3
) " ! - 1 [Y % <)* ? 3 " :+x% C! $! ) #! ) ) 2K5 2),##) :
Q!$.@D
")&% T@D E"
$R
$
3
) "):6
/ % 1
3
R
N 6 8 ) ')
2
% !#) 3 :
!
!
6 $
! ) )
3
N
$
*!
:6 / ^Z
!
3 6 %
, , 1 R
P
Ym' % 6$ 2$,5
JVJ
!) 3 6#! )*2) )
*
1
(!$
T kG
2
x
)2
X0 X 7
"7
c
3 k' % 3 ' $
Km' % )! 1
' .. 2)&% u
2)
/ ^Z
/
3 I@D <H!
)
5' ") : )
, 1
)% / ^Z
) / 1
) N
R
0?)8
3 =
P
@D ) ' ) ) )
/21
)$)% N
/%
3
6 62)
3
1
1 :#55$' %
!)*6)
1
)
N
3
/
3 1
76$
2$ 3
"
) 0
! 0#): V % j
!
:
:
' #) % F@ 0? 1
3
/ J
@ 3 / ^Z :
Q
!00
$
$")&% R3
) 3 ;
1
!
!00
56 R
*) !
/ ^Z
$
3 +
(!T %
/ %
j) 3 " Rj!#) /
N
R46 C/
1
2)0 % ,# S!00 J
@ N
/ ^Z
$
3
LR
$
+
'
-) !
3 3 ) N R 3
%
0! 0 #)R! / 1
%
2),##) i )
")&% /
1 N 6 71
/ %
'
-!$ J
@ 3 +
C)
&%
$
1
*
1!
6
! 3
$
3 !
5
3 -2 ,() :L+*Q!
) 3
2:&+
) )
:/ 1
W
Q!
) x
6 B' :6 62) '. 6 ,"! 4
@D ")&% 6 6,)
K
)
!00
#) u
?' 3 :, 1 .
'
J
@ !
' #)
!) ) )!0=@D ") 76 62)
=% !#) 7
) ' ) F6 "!
,0
5@D )$)% 2 $9!)8 ) ! x FVJ ")") ) ! ! 60
6 62) 3 ) 16 1 16 : % ' 6 6,) n @D ) ) )! +
(! F !$ % )"% 1 ! ) G Tk% M6 ) ) )! 96 62) 1
'
(U
! % ! " O $")&% ! ) ' ) 3 6$K5K!00 F@ 0? ) ")&% C #) !X % % 3 % (!0Y@D $W) ! 2$ % ) C % 02 T, , () G (' ) ! 6 !$ H@D ")&% AU #) ! !0 !2 % ) <(6 ) +
(! : 6 #) % ,0 G!$ F@ 0 6 0
! 00! ) ! / 1 % :
H! 1 2)0 !#) 5
6)) ) 6 T ) K
!00 [ K) % H
1 L ? Z P ! M)*)!0 = )#!#)
) (%& 02 M
6 6,) ;
\
U% () ?6 () 2,) / 1 K) % ' Z
+56 8; /
H3 d! $ F @ 0 6 W@D ")&% ) N FR N F K
" " 1 $! 5@ 0?
) ! ! 2)#R ) ?60
+
@D ) N FR
.
EN
)$)% ) 2 R
1
N
W ?
m' %
*)
1
"
"
1
"
1
N
* R
N
)R
"
)
+
M
/ !)
N R3
$
/
M
)
I:
N FR
! 2$ 3 ) N R <)Q! 6$
2)$)
% ) , S) ! 2)0R (') 02 )*@ 0 ! !$
6$
% W
) N R8 C E
5 2)&% .
))$)
)R
' 3 W) c
C E
)"% / (!$
%
1
?@D K
Re{s}=K
Im{s}
,
^
f(s) analitica
Re{s}
)2
C E C E Y
% n 5
C
!
E
YN
R
N
1
) N R
3 R
) N 5n&' % )F 6$
d) ! 2$ N R JV Y <)(!#) 6 U 2 $
R
!#) M !) ")&% m' % !#)I6$
) 6 1 6 ! :0? " ) , C E ) !) ") m' % !) %&A
! ) K 6(!) ! ;
K M
JVJ )) ? A
:!$ F@ 0 1 )8,j#) 2) K6 +9l()2,) 3
+
!
6 < 6 0 \
)$)% UN
T@D 0
")&% CN
[
N
R
) R
N
)
R3
\
/ 3 / M ) W!#)6) N
N
' R
M
5 6 !
)
M
0
! ")&% [
!
/
/
/ M ) 1 I1 N
$
/
6$[ % 0
! #)
N FR
R
M [ ) N +
()&% AN 5
)
$
3
R
3
R
' N FR
"
) ()
3 N
R
1
"
A" :
6 M ) N
+
< 6 0 :
/
$
3
\
c!00 F @ 0? R
/ M I :
M)
3 0 Q! /)% ) % )j N R 6 .
N FR
3
R3
N
') %
)
"
$
N FR
N FR3
!2 % 0-) N R: ) N +
[
3 RL6 )
N FR
N R3
3
N FR
(!$
1 @ % T
T@ 0
?
N FR
)
) R
[
2
1
[
R M )
N +
[
N FR
!2 % 0-) :
N
N
)' R
N
R
:
R
$
M )
N R
U
R
)
/
Hm' % N 6$ H FVJ ) 2) #) ) 6 ) ! .
G ' ( ) ?6 :3 8
) !)) ) N R (! 6 ) % )*
)
N
U
R
)
)
8 3 2) 8 ' 6$ ) N R ! S M
C
E 3
R 6 ;
Q!$C ! :
!0 ?
U R 5@ N R
)% %
(')
-!$ F
@ 0 )
$
3
N R
) !
)
(!
M
N FR
M
=3
)
6 +
N FR
3 % 53 ) / / ) T 2)&% I
Q!XT
% /G)8 3 2) ! N U R\60?M@D ") P
FVJ < 6 0 X!00 F @ 0? N FR ' )
F
$! !0
%
)?2) ) /3 ")") ?6
JVJ
#) 2) I1M I 1
N
M ) $
3
N FR
$
/
M
)
N FR !2 % 0) N FR
( )2 .3 ) N R3 ) N R=6 ) N " R .
FV "! j ) !2 % 0) ) % % !)*=6 62) ;
:
8!00 F@ 0? 6 %& X " ) ! ) ') ,")&% % 2 R!$ F@ 0 ) $MX@D "
) ) I R) ! ' "
) ') ,")&% 6 6,) Q!X % ) M
$
) N 6_- R [ N -R -`1
N )
" " :
N c R
[ R N FR3
.
)
%
N
[R
)
$
N R3
$
3
")&% CN
!2 % 0) [
R
N R
$
3
G!00 J
@ /
+*Q!$C) ()2
!) .3 ,T?
% [
R !
c *
M
%
M
6F-R
N
M
#)&% I
M
$
< 6 3 .% Q!$
N ) N ;6F-R [ N - R - $
$
.
)
N
/ ) / / ) T
1 M
M $
$
6 :
N FR
3 J[ N - R -
[ N
- R - 3
G!$ J
@ )
[ N
- R - 3
N
R
N
R
N RI:
[ N
- R -
' [ N R
3 N [R
N FR
[ R N R3 [ N R 3 - ! <H! ) 2!#)= *T") \5
)$)% I
.)
"
! % 1 :) 2T' % 5) ! L P @ 0? B3 ) (! / Q!' % T T @ 0?/Y% \2 $ ! G
S ) / (!&' % / <2")!0") =k#)Q! ?@ / ! (! !)*6 6 )% X ) () 0 x ,")&% 6 % ?x cF? ,") % ) >- <) !$)$)
% "7M (0! P@ s() ?6) > 6 % s s
' #) >6 % ?v ") +*Q$
! s x 6 <H! L: x ) ) !$ .% ) -) ! 2)0\ V ! *,) ) ? $- !) /, , =
6 )% +
#)(!
6 )
!
' % ()
+*Q!$Y $
6 0
s!) 6))$)% U M *,)$)% B
:6 % ? 3 K
!0 L6 )$)% I
6 -?
, !8 )# 5 ) !#) ")&% (!$ 5k % 6 : ') (! !)*6 H
) ) !0 ! )
)") @D ) ! $ " )*) , ! P ? !)*)*8; L ,")&% U
)$)
% H
q!)*6 )?6 ]K 6 Q!$ 5 % $ L@D ")&% [
- 6 C X V L T X`Q SR G 9O Q X G Q DF9G[DIYLNJ M OHQ eG X GAD Q QYM F M G O @I R YQ M Z IKL J M
O
(! )
")
0
8
6 2) 5 !
)
O
)%
!
5@D +
' T@D !
)) ) 0,>
M
@% )* ) ") . @D ! $
T) 5 !$ k
2 0 3
N " R
') +
:
:E ,")&% C
C
(!
!
@D >
3
$
>
1
>
1
N
!)*6
" ))
3>
") [
c#)*?6 ##) %.
. Q!$T@
> N R 3
>
)' )
0?
6_>
1 +.>
1
K
6 )% )
)
)8 6 % ?
!
, )
1
"
R
C6 6 ? )$)% U
*) @ "
- E' :
)
.^ *T")&% 6 (!
H3 )
5
, 0
/
U6 6 / W@ 0?B! !#) ' ' ) 0
! 0? C@D 6 (!0 % 56 [
)$)% 3 i ,)$)% E
#&% I
6 ! " ) 1 1/ 1/ 1
N
3
R
"
' (!
)") )
@D )
/
"
"7%
4
6
) ")&% ) '
' K :
) (
@ 0
3
R
R
/
O
/ 1
/ !
1
"
+
/
N
3
N
/
/
N
/
6_/ RH+ 1
N /
6_/
+
1
6_/ R 6
1
R
1
1
/
N
1
:
@D )
3 .6 !
$ *) @ " )
<)?")&% -()22) !
1
R6;/
1 6
/ 1
1
6F/ RH+ N / 6F/ =
1 R 6_/
1
N /
6F/ + R
6_/ RH+ N / 6_/ 1 R 6F/
1
N /
6_/ + R
/
N
"
1
93
+
N 6
3
!#) 2) (!0s ,")&% Y% q )) ) )) ) 3 ) 3 6 3 EA#)*2 ) 6 ! /
1 / 1 ' Q!$ 2) #) ' [ (! M6 ! () 2) ! 1 H6 ;
[ ) % )* 7 @D ")&% [
6T% ! P
;
) )
1/ 1/ 1
N
3
)
6 ;
) 3 N " 1 / 1 / R3
N 1 / 1 / R3 " +* T3 8 *T") 1
1
) ! ' " / 1 / ) ) !0 1 C u) ! ' / 1
6 )
5 56X % %& "P. ( !0T@ 056 6 ) LS#)*2)2) ! *T")&% 1
/
1
O
/ 1 1
/ 1
"
^
) 6 % ") > ! $ )$)% E
S) @ 1
6 H
/
1
:
R) ! 0j ) # ) 0 )m' % )! = ( ,=
$)% 6 ! )!) j *) x / 3S/ 3S/ 5=v ) #) 0 Q! m' % -)! ") ! 1 3 / 1
& 1 3
) ! * 3
"7P (!0@ 0?/.@D ")&% N 1 /RL 6 !0 9&' % &
&
P=
Q!0
6$I 6 6n %
') #) !
N
1 /R3
, $
96 )% L
/
&
& N 6
&
Q!008
&/R1
/ :
"
R
6 ' :
[I@D )$)% "7 ) x *T")&% ?
")&% >
" ) ) , ! 5@ 0G#)22) ! > N
/ R 3
>
N " R
N "
!
3
1 /R +&>
0
"
N
6 '
3 R
, v )
N
(!$
1 /R
(!0 ,")&% () 2
:
6#) )*62) W
)") 1
@D !
0n!#)6 ' IO@D ")&% > N R N 1 /R ' IAO@D ! 0 1 ") \
Y Q! ! ' /@D ) ! $ +9& F!0 > N /R 3
N >
6.> 1 R / +&> 1 E <"!0 ! ,")&% H3 , % ) P ) ' ) 6 % ?G) )) +*u) 56 #0
! ! P3 P & ! M6 ) .@ c#)Q! Y9% !) ') 6 % ? ")&% I
6 : ) #)&% ' @D ! 0 !)*6 " )) , ! I
4 % ) 6 #) % C% ! (! !#)6 E
,")&% ! [6 % ?E )") @D ) ! $i!#) 6 P L (! @D )$)% > N /R H ##) %B
Q$
! /@ )
"PJV
)
%
' 5
=
)
!
"
!)*
7 6 N " R
3 ?
N
>
1 /RH+
N "
Q!$
1
(!
>
> N
/ R 3Y6
,")&% 1 /R
N
R
)) ) 6 !)*) 60
N " R
, -FVJ Q!
1 /R;+.>
N "
N
R
")") ? k
#)*2)2) !
1 /RH+
N
!
6 $ &
3
" R
$ )$)% W
)
> 1 > N R
6 3>
) )*
1
N R
N >5
") ) N R 3
!
@D , 0560? >
3 ) N R
"
!
1 A )) ) @D ! $ )
!)*6 " )*) , ! > N
M)\@D ")&
% N 1 /R 3 !00 6$ )6 )% ,")&% [
() 22) ! @ 1
> N
/ R3>
1 /R !*) ) () 1
XN R F M DIYLNJ M IBR F X Z L V Q Z F Q Z \ G
% ) () ' % ) !$) ) !$)
6 )% 1
>
1
N )R
)! )") )
3
!
1 )RO1
N )$)% 6 I
@D 0
, !
)
"
)
1
" )*)
E
)
)% L)* @ )
%
N P* R
1
>
Y6(! 5
%
H
) )
N 1 )R3
, 1
)R
6 %
3
"
1
"
:
5 ) Q!$ ! !0 3
! (!T% !#) N
O
> 6 !0 ? 5 (!#)") 0
! v I,
)$)% 6 )% 6 &-
N W #) $
)
N ' 1 )R3
(!0
6
') !0 VJ R
% ") I
")&% N c R ' )(! 3 A 5 $% Q!) ? %
R)% ' , ")H % VJH
$^())*- Y
@ 0' % I
$")&% A
, B
)* O ' ) O
C % $ 6 ! 0 G! ?? ?@ 0
)
)R
H
S
% $ (!0
)
!
% VJ
I
!
(
")&% ) Q!$ ! ! n ) ' ) /
7 ,K
#) , $ 3 -@D ")&% ) N 1 )R4 6 !$
T$")&% Y
LV \/ % $ , % 6 ! & L Q!$T")&% )*?6 5@D ! YN 6 ) ! ! ) R j#)*?6)") 6 K
3 (! )?6 W @D ! Q * !0 W
' % ) !$) x#)* !0' % B@D ")&% > 1 , ) ' C
6 N U$ ) "P VJ W ' #) ' >[ % ^F 6 ) 00 ND ' S 00 56$ q 3 Q$! < ) R +9 VJ ! 0! N Rn )% !#) ) ! 2$ : VJ % ! .xF 6 ) 7 ' x 0$ + ? (! ) () ") @ ") $ ) P3 +
% $ % ) N 1
6 VJ
6 ;
7 7@D :6 +9
!
!
%
$
N R3]6
! $! %
) ) )
) ! 06 0! \ R % ) !
)
67
!
+
)
B') !
!
>
)
N R3
b
[
:
N R
#)2 .
5@D 0856 >
3Y67
b
;
3
N ) 1
"
)R
- 3
R :
>
N R
T@D >
j ) )!0 !0R
3 C
#)
(!0[
V $
.'):
,)$)
%
L
?
2)$
3
N R
W#) %
b
2)
XN
% $ -") N P*) R
%
1
R
N P )R
)*2 [6
x *,)$)
%
!
)
G6 )(!0
")
'
G j B3 [
+
#)2 %
%
N P*) % R !
' % (!#)
. 0
! $
)!0CU
E 0
! % $ ! Q
) Q!) ! (!$ 20
")&% N 1 L1GT;1 R 6 @ [ ' % e / 1 Q
% $ -:6 6 !0
>6 9
-@D :
@ 0K) U *,)$)
%
)
QN 1 )RT 6 !0HN (
;
)*
)
\ Q!)$ % Q!)*$ - % 0 *
+ Q!$=@D ")&% ?
T
C!$ C % $ *T")&% ?
")&% IN %P* R
?@D ")&% ) N 1 )R= 6 !0? ?@D ! 6 !0 5 (0! ?@D ")&% ? "!##$ /!)*) 3 !) : (!0/@D )$)% I' ) :
, ,?
.
56 N %P RS Q6#! H
, ")&% V ! ) !) O
@D ! L3 (
W6 5H@D )$)% ) N 1 )R &' % K ,")&% 0 F 6 K G! s *T") % ) -E @D ! 6 !0> ) 8 B >6 ! CN 1 R ) 3
) M6 T@D ")&% ) N 1 )R " 1::V: 1&%
>
# )&% V ,Q!) )$)
% T #)*)L6 % S )$)
% ! ) +*Q!$
< 6 3
$
1L
1
N X
Y% > ?3 /
% $ 3 .
)
R
! () / 6
)
1
N
1
% 2 6, % N P
R
6 (
60
%
l ' ) )*
3 \
() R
(!0
Q J \ L/O9LSO9Q)( R G+J * QYMHQ Z
'
% ) () ) ) ! R
6 )R
1
N %
)
)&6)
6 % ?
6 #) !
Y
1
6 ) 9
(!#)T)% % $ x) 28 % 6 !
) !$
T 6)
% $ 1
N
7
@ 0
/m' % . 1
R
1
!$
)
\
/@D =
3 !#) !
ND?
.m' % - ) ") c ?6 / Q!*) $
Q!)*X% $! FVJ
U
) ")&% ) !00#).6 T)-) ! #) 6 1 RI:>+ ! ) .6 (
' 6 G#)* ! ' % !$ 3
! k 6 )% ' " 1H$
N
%
:
M *,)$)% AN P )R *T")&
%
Q!
6 )% (!T %
)!
R
3
> N 1
H
%
FV % $ )% "!0 T I
@ 0?
N P )R 2)$
! S#)22) XN
:
6 !
I 6 3 R6
N
!
1
R
@ XN
6 N
1
1
R
1
!
:
1
R
3 NFN 6 R + N 6
R R 1 1
3 NN + R + N ,6
R R 1 :
+
(!0E *,)$)
% T, % ! ) ) 1 B Q!)*X% U' ) #! B 46 ! QN 6 1 IR 1
(! B (!#) T)
% !0 % ") % 6 Y*Y @D ! ) ?2 e *T" )&% > N 1 R
6 )
5T@D )$)% W
- [ R ) 6) " :
!
*) ?
! . (!#)T)% T M()22) ! C@D "
N
")&% X[ %
' % :
> N 1
R
3
!
) Y% 2 X ') K6 )% )!0) ")&% ?3 =
%& >
' $ ) N 6 1
)
6
RO1
#)2 1
)2 %
+
' () :
@D $
)*2 6 )% Q!$
! O
!0 Q
n' % ) !$) 6 JVJ ?6 6 ! N 1 " R
") (!#)T)% II K6 !
0- ) #) \ T@D ! *) 2 % @D $ ) ) )$)% R N (! 6 ! 5 Q!XT
6 ,
) N 1 R-!#) i
) ) ! OE ) ! IH
6 !$? H Q!)*X% ) ) (!#)T)% A 4
: 5
1 " R: ) @D K, ?JVJ ?6 P@D 1
c
Po
Ro
Ro
x
%P ?/
2$
" )
,")&% @ 3 Q!00?S )0! #) M
)
$ ")&% W
Q!
6 6
1
)(!0
")
6 % > N 1 R3
)
3
1
53 :
!
/
(!
6 !
)(!0
")
+*Q! 6 ;
:%
!
!$
@ 3
N
#
+*Q!$
#) 2
%
R6B XN
=
!
6 R
6 !
S)* ?M@D ! K
R
! 5
d 3 2) T6 !
! 0 ) ) 6
3
XN
0 ")
R
)(!
+
)R +
3
!
R
,3 , ,3 #
+
M
(
) (!$
+
3 #)
:
#)*2)2) ) UO !
6Q +
6
@ 0
1
R
1
3
%
+
1 +
6
%
3
#
:
()&% E L) 6 ) ! U
e ( L1 ") <6 ( )&% S") @ ") +*Q! 02 ! ? 8!$ % )"% I' 6 ! % ) @D ! M U !$ )% 3 2) I !$ 3 6 6 5n#)kFTQ!) !02*) 6 )(!0 ") 5@D ! #)2 BN R :
!)*
(
< 6 60 3 ,) 5@D 6N 7 ) 1
3 ' N
" ! ?6 ,
3
4N
R6C XN
) % ) @D . ! :
4N
=@D R
R
r=1
,")&% [
: (!
6 )% (!T %
N 1L
1 1
1
,
3
)
*
)% ! #) !
I
6 IT
6 % 5 1
6 >
+9 " %
"!
96 ;
J
@ 0
"!)
1
>
:
% 0 )
K6 3 T
N !#)
6 0 !
N ?6
< 6 )R
1
3
RH+
#
3
1 $ $
Q! =JVJ )) 60
)!0) + ( ! ") " % !0#) N R
P
R
)(!) % ,
")&% ) !#) (!T % (
P6 -
!2 % ) T@D
QN
XN
1
% )*2
)$)% [
-
T@D &R3
6 1L
1 1
T @D % R
&R
6Q
@D 8;
)
N
1
R
!0#) ) #) )
! 6 R;+
(!#)
)
N 1 R L
" )&% ")&% W
@D )
N ?6
:
3 ,)$)
%
"!
% Q!
:
. ) 9
6 * ) . 02)
+
F M D IKNL J MPO9Q V QKQ^M
?
(!0 $ ")&% PV ,Q!) >:
:
,# ! 0) )$)
%
N P
V !
Y
1 ! )* () K
) )
% !)* 76$
5
6#!#)
*
!
%
(!$5R %
() )
6 , 0
! 8.!#))*8; *
")&% @D < 6 7L ,")&% B
/ ") /
) ) 0
! d "! #) '
$
)
6) 6 !2 % 0) N RI:
d
!
$
d
% N P
$
5
!
$
$
3 % VJ7
+ ,
>
M
/@D (!0
!
P $
Q!$
-
$
$
% '
$
)
6
") 1
C [%
+
@D )%
" ) >
!#) +X !
,>=
$
N
>
R
%
!
6
')
1>
=
>
% )$)% ) =
+ ,
>
d
!
: + ") 1
R
T!#)
) %
)
A
FTQ!) !0
$
\%
>
P
I ")&% R
K
@ 0?
!#) 1 % '
:
N P )R
")&% $
:
R
2
N P
[@D >
) ' P6
9I^6 )
3 1
3 (!T %
3
$
3
>
"!
)
M
2)$
1>
$
3
$
>
#)*)4
> + > Z
Z
% ' N P R
%
6
>Q F 6
1
!0 ) E
") +
#) ) !)*)8 ! ) -) ) 0$ !0 #)-) ? 2) G) !#) ) )
1
+
U
d:
"!
L 2 >
'
(!0
U
N P
) !) R
1
!
0?
P6 !0 $
d :
:,#4P=@D
[N P
R :,
= 6 +B> ?+.> Z
Z
S() ,) !
> 1 >1 > :
Z
%
BN P R
$
R
$
Z
")&% [' ! )
>
N >
))$)% $
T
W6 6 F
$! 3
$
! $M
k!)*6 RI:+9X! 1 * )
3
R
576)
R#)*2)2) = >
N
, $
R*! 1
1
N
!
)
# >
d
N
3
% ]3
+*k =
=
[
' 1&:@D
6 62) $
U
") @D !
")&% W
-
T@D 6 !#)- nR% =6$
-
1
%
[
) )
X
-
!
I@D @ K
0M #) )
1
%
!
#)*2)2) !
M ' "
$
5
)#!#)
-) !#) , 0
2 $
<
>
N
6
6 (!
5
6
, 0-
N
(!$ 3 ?6
R :
(!$
Ak %
8
N
6 >
>
6
>
) !
1
!
S ' ! P!#))8
")&% )% 0
@D L K
6 ")&% Y
R\-#)22) 3
R
1
N
3
R ?6 *
! j %
$
3
N
R
2 ) !0 I
M? 1
[
@D ") 3 ,>
! % s )% T q#! )6
[
")") [JVJ < 6 0 4-@D 6 N
")&% > N R
R
3
#) 3 "
!2 % ) )$)% -@D B ε (x o )
Ω
%
d
d
@
N )
: R4 % $ ) )
1 6 ! !0 !$v T')T 2$ N %P ')R 576) 3 PW 2 L) !) B
N - I ) ) B6
RI12 %& $ 3 PI Q! ! L
@D ! 0
15@D ) ! $ H
3
.
N
< ! ) )
!
)
(
R
1
#) d
) d
d 6 ()2,)
$
@ >
-
$
>
-
R6
) ! :' $
6 3 L
!
)
N
"7. Q!$5?
$
6 R
N
' M) 1
3
!
N
$
6
>
N
/ %( ' N
$
$
R
$
>
% '
' N
>
R=6
$
R
3
2$#)*2)2) R
3
N
C@D @
! !
R=6
0
->
N
R-! $
)
!2 % 0) 1
!
$
>
>
6 H 4m' % )! 3 ;
> N
N
3
$
$
$
$
$
$
N
1
R
>
6 N
>
-
%& !$
3
3
! @ >-
=% 1
N
>
!) >
-
6
:;5n#)u!$
R
'
)
1
L 2) R
O>
N
/, T R
&>
1
@
6 N
@
!
$
! ) 5
>
%& @
()&% 3
@ 0?
6
3
) H
>
> R
)"% %
3]> N -
H
:
R
%
N P
c
R
:
' > N R G L6 ! ? $ <(6=' % ")!0K ! ")&% )*@ )6 ") > 7 Q!2 % ) ') ,$ . 6") >: +*Q!$d()!")&% d! ")&% O
6 UN!
K 2) ^) ! 2$
6 R ")&% H
) ) + W (! n 6 ?@D ")&% > N R
)?6m' % ) !$ ! : S 2 C) ! 2$ 1 6 ' 0 ! (
-) ) < 6 +L @
"!
()&% H
? ' )
56 ;
(
< 6 !
#)$)% $
(6 "
!
6
+*Q!$
$
R
R
$
!
/@D " @
' .6 ()2,) $
3 ) !$
3
>
@
1 <
d 6
O
1 3
$
+
1
R
$
8)2K
N
I K6)*
) ) #) ) M !#) : k()2,) ! F !0 > N
0
Q!
%
)
() $
R3
$
6 -
d1
> N
!
R
)
U@D K6 U v 3Y6
!0#) )
$
$
$
<
N
>
>
-
>
)$)% -
())*W
R( 3 1
@D R
6 v
) %
#) ) ) Y
1
1 K
R
G
)$)% > N n
R ?6 6
!
:
M XN d1
$
! G
:
N
-
6 6_>
3 #) )
!
?68k %
6 :
?6 0
! 6
")&% I
M6 ! 6 #! BH@D ) ! ! ) U
- T' ! $ 8!2 % ) 5
< 6 #)&% 3 E 2) S) +s G%
)%
()
N
1
R
>
-
,")&% A
:
")&% "7
!
0
1
d:
>
x ,")&% ?
!
@D $
>
+
3 2
) !
6 1 ' % I2$ d
[#), ' s Y
)6 ) N )
)") ' > @D ) ! $ N )) ) !#)6 " )*) , !$R T ' !#)6 P ? R % % 6 6) ! (!0M@ % T M 6 Q!$
(!T % !0)8 @D )$)
N 1 % 2 Y% 92 $ 3 R Y (
! $ < 6 #)$)% 55()
6 2)0 3 ' Y Q!$[@D )$)
% U% ) O ' ) ' )% 5@D ! 0 f "P (!0?@ S #) $! 7> % T@D ! 0 :
>
Q!$-@
(! ! ) ) \> N ?6 ) Y
$
@D $
R
$
>
N
d
6 $
>
6 W
W
$
3
R
$
W
>
N
6 W
>
+ B (!0f
% !)* ")&% ! 3 W 3 " ! : N %P Rn L) !#) H
" T (!0 U% ! ) GN %P c R 7
- [3 G!00 J @ #)*2)2) ! : )$)% > N
$
3
R
$
6
$
6
$
$
>
!2 % ) >;1 % ) C @D )$)
% W 3
5n#)!
3
W
) "
60
d: M
R ,")&% [
")&% d:
3
1
>
R
6_>
+ W
)$%
Q!$
< 6 L) !#) :
1
% $
N
N P
W
N
R
6 W
R
R
#)&% H
$
" )#)
$
, !
N
1
!
j#) 2) L
@D $
d:
) %
d:
() )O
6 ;
) [@D "
(
< 6 >
R
/@D "
1
+ W
% %V'
> N
1
N
1
+ W 3
% % '
R
6 W
d
R
- d9 !0 c @D ")&% 6$[ 2$ )) / U
W /
G) ! 2)0 6 ") - (!0/@ 0G / ()!0 8 % ' I@D ! 0 5 , $ %& $") :I
' ) ' ?6 ()22) ! )
)") /
% 1
N
1
+ W % %(
'
N 1 IR : H08k% *) T
P
e 2 N) !#) 6) ! )*?6 #!0 ! [ 3 6 ) 3 B@D ")&% 6 -[ -) ) :45n#)! #)$)% < 6 :
W
1
)$)
%
N
R
d
d
%
)
) RI1
d
>
)
6
) $
$
")&% W
- @D ! $c!)*6 P
T@D )) ) $
N
1
R
>
6$
!
K
> N
$
3S6
R
Y R /% ) )
#) ) ( K !0
#) )
+
$
$
> N
+
%&
% 6 (
W A Y3 +
' %
!
3 ' !
?
2 JVJ ?6 6)*
1
!
=
6 ) !
R
$
6
R
>
$
1
N
1
N
R
3
:'
3
"
3
*) $
l T !0 )") P 0G )
<
1
N
>
R
K
8
)
$
<
1
")&% W
-@D R
>
R
S#)*2)2) N
1
N
) ) N
#) ) R
d
)$)% /
-
c) 2
d
d
J
@ 0
)
/3 d
@ 0
!
%&
d
!
6 % )F
1
, 3 (!
d: **
")&%
W 565
+
!
)*2
!0l -'7
) 6 ! *) 2 B
%&
?6 % 3 (!0
-
6 % ? K6 % 6 !
:
6 ')
)
0 FVJ 4
Q!0
.@D 1
Y
:
+ W
3 8
!
)) ) " )*) , ! @D " )&% W
! 0 $B 2)0 (! H, , 6
)&5
% )$)% ! ) ) 4=@D )$)% W
:
$
6
R Q!X %
I
0-) !0 ! > C@D R
0G())*
$
6
$
)2 /
%L (!0K@D 0 ) ) C60 3
6 PW
) , ? 2)&
% 0 S#)* !' % T$ ) %P (!0: % m' % . "!0 3 )2 .@D
2)$ %P U ) @D ! (!T % )(!0 ") 1 !
Q!$ 5 )Q$
! ) F6 "! #)2 +9 "! M6
2)$")&% T@D ")&% W
- ) S 3 L 6 !
.@D K6 % -()22) >
N
5
3 >
X
% %( ' )*Y% 2
?
1
!
")&% W
-
T@D 1
N
>
%
!
, $
3S6
R
" )#)
)") )
d
1
N
M
6 ;
!) . k# )*2)2) !
:%
> N R 3
1
6 53 >
1/ ρ
xo
ρ
xo
+
(!0T@D 1
/'1
:
% / % '
R
3
F
@ $ +
I
6 6
6 :
(!
")&% [
6 /@D d
1
")&% W
Q!
6 0 F
6 3 d
T5$")&% (!T5
% @D
0
M 0 F6 O ")) $ ) : #) !' % ! ,)*0 .% ) )* () 0 9:@D )$)% Y
-
) B O $"&) % G
) BM[ % ! Q
)*Y% 2 56$ j C
) ) )* 0 ) ) T@D )$)
% ! ) !
$
)$)% ?6 GFVJ ?6 G
9
6 0)
6 % !
@D -02)C)*2 N
() 6 )
6 !
N
6 !
1
R
3
6 6
)*2 !0R :'- 2$ %P c(
*) 2 ? K6 ! :
Q!
6 +
I
T@D d:
")&% W
&'
xo
ρ
1/ ρ
xo
"P. (!05@ ' 3 X[ % ! )Y% 2 M ?@ 0T6T
% !#) . ) !$
")&% Q
B3 >6 % ? )$)% U
6 / ) )
3 5 (!2T
% % T# I 1 <6))$)% % / , @D ")&% Q
- 1
B6) ")&% !$ ) ) , !8?Y6 !$ @ ") N
1 1 ) ! KZR 1 N 8) VJ) ' 1 1 R @D 2
% !#) $! ) )% @D ")&% Q
6)
)(!#) !$:I 6 5 ) v [
R : ) %&.
. (!0T@ 0 I
>b+ >3
)
d
:
! !)*6
W
? ") )$)% B
*
, 0
! 8
U
# %
6k' % ! # + JVJ 56 .
VJ
,
s 0 6 )
) !
M
)#,()&% 5 (!T %
!
! ! )!
.)
<
#))$%
!
&
!
$
! ' % Q!) j#)
)
% ,
! !&$ $ )
#)
) s)
)
%
") f% !) ) ! $!&$ $ ! H) )")
Q!X% !
) ! " !$# %
!% j)
(!
! #) $
N
% 2 * R 60 % 6k' % ! 0 # 6 % #$ ! # $ # $ &#
(! ! * ,
, N
,
* 1 R 4 % ? N
$
! ")&% (%& 02 N
()2
/ 1
(' $)
!
! + 2 *) #)
# ) ) , )H
6 0R 1
* % I - % ' 9 @ %
*2) ?
1
6
\
'
= % R ) ' #)!
0
! !$# ! " q =
/ 1
)T()&% ! N ! ") R 4 % )"% 6 ()")&% % ") H L * *2) L
!$ #) ) , % @ ")
% #)(! , )*6 % % ) 5 / ! $ HU >) % I
% $ ! n)* % (! 0?S! ' % Y% P (
0! 8 1 P @ ) 3 , ' % ) 0-/ 1 ' ) 6)") ()Q! , )*6 % % ) ) % % 0 ! ) ;
#) , N ! ") R 1 ! ! , )! , )
1 >) % N 7
$ 00 * 3 1 R L6 % ?
Y
2)
-,
%
5 #
$*
.0/
1 324 + 2
) 6k' % ! / 1 #! -6 !0")&% 5 ") ! ) #,#)$)% . !06 7
!0 6 )% !0 ) ' )* 1
,X6)") X7+
") " S) @ ") ") 6 ) F !$ 9 )) % ! !
! ! ! % , , *) N $ j)* R + :6#! 60")&
% 5
M' #) % >
) % 8) ,) ' 1 H)D!$ ),#)&% U% ' 8 1 F
') 6 )% ) ! 0 ! % :6$ M 2 "!$ $? L) ! ,$")&% Y 7
% ! ' % ! ") +
") +=' % 6!)
3 ? ! )!#) 6 F 0! 5 9) % W
% 6, ) ) * ! C) ! (
,)$)% /C! ' % .Y% +
") \
+9m' % 62!#) 6 ;
: ! $ $
! 8 0T ) ,#)$)% W
$! 1 / 1 % ) W # #)0! X6 % $ ) )$)
% @ *) ) % $! ! 6k' % ! %& 02 1
+*
0\ 6
87
9 $#:
%
6k' % ! ,
6(! (; =< ) /
>
,
?>
+ @ !
")&% Y
A@
>
2 / #)*2)
7 ) (%
2 1
#)Q!
$
0
! ) ) , %
0 J
@ 6 3 8
,:6)") 7
@ #) 5 % )% ., 0
! * 1 q!$9!$ ,
-,
! /j)
#!
%
! $ ! $#5 $! $ A
)
!
! ! $# , % ) (; < ) n/ ) ; T ) !$# )$%
-!
Q!X%
! " / %
)
) ! !#
)$)% ) % ") 9 U
1
1
56 62 )Y
.
,
, N
$ F@ 0 1
N
% $ 0
2 ? @ * R :
6
' 9 %& $ , ?6 0R )$)% 5
-@ % T )# 6$ 6 )% ., 2v% ! n)* % (! # !$9!$) ! ! #) ')I
? (! ! 3
'
:
/ 1 8;
Q!X % ) ;
N % % ) 2 ) ' 9 0R )T()&% /
6 )% n ' R) )") q#)*2) ) (% 2 1 % $ ! j) %& #! " ),#) ) ) ! ! s )% )$)% B
?
M C % ! W
6 ! ") ) !8 !#) % 6, % ! (
! 9!#) ' 6 ) F@& % ) 1 !00 F@ 0? Q!X % )#
!#) % ') ! % 0 ! n*) %& #! # , ' % 7
T, , @ )8 )% - (! ! ) * ! 5 @ ) // 1 2% !#) 3 Y% M
' 8; ) % ! $!&$
$ ),BN 6) 2 02 R !#) 2$ 6#! -
9! ) ,0! 0!0 T
(0
! $! 1 ) - 2 5 0! 0 %
6A' % 0
! #)*2)
+
5
%
%
!
$ ,
*
/
.0/
,
,
# + W (! 6A' % !0 ),Q!00 ) 2
")&% C ) (!0 % )*) @D ! )*@D,()&% 6 0
! !#) ' @ 0? 9!06 % M ?6 ) ! 2 % \/ 1 !0 '
6A' % 0
! 8, ;
%
.0/
1
[)Q!$
)F
6 % 6 62)")&% @D 6?m' % ) ! .
Y% % ) ! *) @D,#) ') 3 c "
c %
' )
=
%
%
%
' @
.>
<
) 7 '
+ 9
<
)*2
! ,
3 !#) W
!
T
,
9!#! T
6j
% 2 '
<
)(!0
+J)
+; !
1 2 %
;
;
;
H(
!
=
q) ,
%
)
"
@D 1
; *)
=@
L *
! '
,
/
.>
H) ;
;
9! , 9!) W
" ) &
(!)
%
!)X+
P X !#) :
<
#
5
(!)
+9 " ) &
!
,
) ') ( )! 1 + !
2 %
' )
;
3 !#) "!)) !
1
!)/+
, 1
=
4;
; %
.>
7
)
=@
2 !)
A@
)
N
'
()
F
1
,
, ) *6 , ) ,
%
.>
@ $*
)(! )") ) ' #) ! 1 "P
\
/ 7
"!) 02
' $)
! =
&' % 2 ' )
, 1
% #) 2 =
%
) )
?6 [
+9" %
.>
!#)F
6) % A@'
' $)
()
6)") 3 !#) ) )
#)
) ' #) ! 1 ;
,)$)
%
@
, 1
3>
; *
'
,
9
9 !0 1 ) 2
# 8 ,
") ?
) ' 46) 1 ) 6$ ") .
#) ' 6) % ) E% ) #) = ;" R % ) 2 , ?!#) W
) %& # ! ' $)
C ')
;
% #) 2 ,
1
9! , 9!)
&> %
;
@
,
;
!)
) =
) !)X+
" * %& #!
"! 2 5
) ' # ) !
'
" )
*
) ;
# ) , K
1
# ) ) , /n)
% ) , # ) )
, %;
1 0
#!#)
9
! 0 ! #) +
0 !
+) .> ; < ) n/ ) A@ 6, )
,
, ) * , A@
' '
1 ,
;
1
6 ) *
)
,
)!
#)$ ) !
'
!
&/ '
<
5
;
) >
H) ") 0 /
?
%
( !W
= /
'
"
% ) 2 /
" ) & !#).+
)
"
#!#)
/
2$ %& 02 , , 1
= (! ,
9 H
@ ) !) )
'
, '
9!)
+
>
8)
'
#!#)
1
3 !#) ) ') ( )! 1 )
=) ) %
C ')
!#)L+
&'&'
*,
' )
=
3 9!) )
9! , 9!)
" ) &
#!#)
;
@
9! ,
;
@
6 $9!#) " )
()
, 1
% [)
!
!
,
) m#)
L
)
!)-+
3 9!) )
.> .)
* 1
Q! , A@
6)") @
T@ % T
% .
6) 6#) ')
% ) )
")&% [
@ @@
@
)
")&% [
)")&% [
$ ))$)% ' ")&% I
50 '
% ) ' ")&% Y
(' 2 ) ) L
6 % 0 ! j) %& #! C
0! "
@
%& #!
")&% )
") ") k *,) )
6 ;"
A@
#
6)*
'
#) ) #"%$&(' '
)
' ' ! > \ 2 5 m' % 6!)
&
% (!#)
\ @ % 0 6)*
; *)
; * )
%!
A@
R % )
) '
+*") , )*6 % % ) )*2 (' )*2 (' ! " +6) *) 6,) =
Y % ) 6$M ")&% 6 +46 )% )H' 5) )") P60
")&% :
9)
!0 )
#) ) )
+6 % m' % ! $ F )()&% +*") ")&% .
#) I
02) #) I
. 2X' % #) I
#) I
,) '
)*@D,#)$)
% "
*) @D,#)$)
% !$) !
) #)&
% $"! &' % (!#)
)
6 #)$)% I
0! ) ) ) 6 ") +*") & '
)$)% I
' '
) +*") Q!X % VJ
)#
:
) +*")&% 3 2)) % ) ") ")&% I
+*")&% ?
* @ /
@
/
=@
)
(!0 ")&% [
) , "
")&% [
* , 0
! 8 ")&% [
.
")&% [
.
5 #!#)2 +*
")&% Y
P
! ) ?6 ? " % !0#) ' $ ! ' % Q!) $ ! ' % Q!) ' " ' ")&% !) 2) )
")&% [
.
"
")&% [
m' % 62!#) *
'
")"
;"
'
! "
02T' % C) %
02T' % ?
!) ,")&% 2X' % !
2X' % 6 !
)Q!
VJ
@D @D @D @D @D @D )
% (!
)# ""
, ! @ ' @ @ @
;"
<
>H)
2
/ *
1
1
=
9
'
VJ
") 1
1
1
1
1
1
56 .
9
' ")&% @D#)) ! 2
' $)
1 ,
1 )
' )
' $)
(!T9% !) '
!
2 7
! 50
!#)F "
;"
'
'
6 % '
6 % = $*
$*
@
6 @
@
$*
!2 % 0-) "
) ") (!0G) Q!$ !T % " $") 2)&% @
)
' = ' )$)
% \ 2X' % ")62) ^' % )? 02T' % .
*) @D0)$)
% &'
" *) ) , ! m' % 0
! 0 -)#)$)% % ?
'
@
=@
S02)
' )$)
1 % I
K 1 =
!)
1 7
! ) @
\ " @
*
"
)&% 6 % )&% [
:
6 % T6$5 ' % )
9 % ? " )#) , ! ' '
6 ?
)&% 6 , ! ? "
6 62)")&% Y
6 62)")&% Y
:)
9 62)")&% .)
2 9 62)")&% .)
: $ 60 % )) '
6 JV ;"
; *A)
@ @
' ")&% $ 1
,#
<
5 JV 1
% ?
6 %
'
) ) ")62) -
5
6 %
) " ) " ) ! 2$ " )#) , ! ) ! 2$ 56 ! ") &'
) ! 06 0! ")&% 2 [ % !) m' % 6) )
) !
' ) VJ 0
@
6$)$)
% Y
.' ) % " ! 2 % !#) 8&' % ) #! 2 ) /
$' % -)
"
8)*Y% 2 5
-) @
>
!
'
2X' % 5
6) ! "
)$)% [
' '
)$)% [
P )$)% 6 62) ) ) # 0) ! )
) ) /
!
[ %
"
'
2),##) /
"
VJ
'
@
@ % 0/
@D [ %
) - ,)$)% $% () #)$)% ) ?6 6 )$ % ) @ % 0/
;"
@ % 0/
^' % *) "
") &' '
") X2$ ' ) !0") !
! 6A' % *
*
'
&
% (!#)
2X' % 6 60")&% Y
.' #) % 6$)$)
% P
9' #) % - ") '' @ @'
6$L @@
) :
) '&' ' ) ) :
4 1 ) *) @ 0 ! (' 2
()Q!
@ @'
! '=@
) #) " #)(! , )*6 % % ) ??, 2v% )(! ) ) 0 ! ' % (!#)
,")&% &% #) ,")&% @ 0 ,")&% 6$ % ' ,") 8 &% #) '
,") 60 6 )% )&% ?
?
!
!
,
@
$*
T , 1 : ' '
)(' ,)$)
% "
)(!
: ' '
!
!
!
")
H) >
?
!
!0T % J
@ ")&% !00
J
@ 0 F
@ 0? ' !00
!00
!00
!00
;"
J
@ "
!00
J
@ J
@ ;"
J
@ ;"
"
!$
60
6$[
)
#) ') @' @ @
M2 ,() 6 , , 1
")&% ) ') ,")&% %
.
@ @
)
) @ @ @
6 " J
@ )") J
@ c) (' 0 )) )) )
' [
9 [
! 0 #)* % !) #) ) &' -0 !00
!00
)") :
5
1
>
H) ) )
" ) ' 2 ) ) ') 02 ") ' ' @
! > "
?
E (' *T")&
%
@ 0? ) '
< '
!
%
R ,) )
) ) (%
1
)!0
2 ,")&% ' \
6 6,) )) F@ 4 1 !
.
.
$*
)) @ ?
'
60\
)$)% &% #) @ '
Descargar