P2Sep10

Calcular el campo eléctrico producido por las siguientes configuraciones de carga en los
lugares que se indican:
a) Un plano infinito cargado con una densidad superficial de carga σ, mediante la
ley de Gauss (fig. 1.a). (Se pide el campo en todos los puntos del espacio)
b) Un disco plano, de radio R, cargado con densidad superficial de carga σ, por
integración directa. (fig. 1.b) (Se pide el campo en el eje x, perpendicular al
disco).
c) Un plano infinito, cargado con densidad σ, con un orificio de radio R, fig. 1.c.
(se pide el campo producido en el eje x del orificio).
d) Un sistema de tres planos paralelos, de densidad superficial σ, con distancia
inter-placa d, teniendo el plano central un orificio de radio R. (se pide el campo
producido por el sistema en el eje x, fig. 1.d)
σ
σ
x
R
b)
a)
σ
σ
σ
σ
x
x
R
R
c)
d
d
d)
Solución:
Para los apartados a) y b), nos remitimos a los resultados obtenidos en clase:
a) El campo producido por un plano de carga infinito, con una densidad sup. σ, situado
en el plano x=0, es:
⎧ σ
⎪ 2ε u x
⎪ 0
⎨
⎪− σ u
⎪⎩ 2ε 0 x
Ea) = EPlano =
x≥0
x≤0
donde ux es el unitario en la dirección x. El campo para x<0, por simetría, tiene el
mismo módulo y dirección opuesta, - ux que para x>0.
b) Y el campo producido por un disco de carga de radio R y densidad sup. σ, sobre su
propio eje también sabemos que es:
Eb) = EEje del Disco
⎧ σ ⎛
⎞
x
ux
⎪
⎜1− 2
⎟
x + R2 ⎠
⎪ 2ε 0 ⎝
=⎨
⎞
x
⎪ σ ⎛
−
1
−
⎜
⎟ ux
⎪ 2ε
x2 + R2 ⎠
0 ⎝
⎩
x > 0
x<0
Sólo nos quedaría por calcular el campo en las configuraciones c) y d).
c) La configuración c) es un plano de carga infinito con un orificio, y tal como vimos
en clase, este tipo de problemas se puede resolver por superposición, considerando el
sistema como la suma de otros dos, en este caso, un plano de carga infinito, (apartado
a), más un disco de las mismas dimensiones que el orificio, cargado con una densidad
superficial negativa -σ. Así, el campo de la configuración c) será la suma de los campos
de estos dos sistemas, o sea:
Ec) = Ea) − Eb)
La suma de campos se transforma en una diferencia, debido al cambio de signo de la
densidad de carga del orificio. Restando, pues, ambos, por ejemplo para las x ≥ 0 ,
observamos que desaparece la constante aditiva σ / 2ε 0 , y simplemente nos queda:
Ec) = Ea) − Eb) =
σ
2ε 0
x
x + R2
2
ux
Resultado que válido para todo x, si tenemos en cuenta su signo.
∀x
d) Para la configuración d), sólo hay que darse cuenta de que se trata de una
superposición de campos, a su vez, de dos sistemas: un par de planos paralelos (resuelto
en clase), más el campo producido por la configuración c) sobre su eje. Así, el campo de
la configuración d) sobre su eje será:
Ed) = Ec) +EPlanos paralelos
Gráficamente podemos distinguir cuatro regiones entre los planos:
1) Par de planos infinitos paralelos
2) Plano
con orificio
σ
ε0
Campo 1)
(módulo)
Campo 2) σ
(módulo) 2ε 0
0
σ
2ε 0
x
x +R
2
2
σ
ε0
0
σ
2ε 0
x
x +R
2
x=-d
2
σ
2ε 0
x
x +R
2
2
x
x + R2
2
x=d
x=0
Sumando los campos de 1) y 2), región a región:
Campo
total 1)+2)
(módulo):
σ
σ
+
2ε
ε0
x
0
x 2 + R2
σ
2ε 0
x
x +R
2
2
σ
2ε 0
x
σ
+
ε0
x2 + R 2
σ
2ε 0
x
x2 + R 2
Con dirección de campo, ux para x>0, y - ux para x<0.
Hemos hecho uso del resultado que obtuvimos para los planos paralelos, cargados los
dos con la misma densidad superficial +σ:
EDos Planos Paralelos
⎧ σ
⎪ ε ux
0
⎪⎪
0
=⎨
⎪ σ
⎪ −
ux
⎪⎩ ε 0
x≥d
-d ≤ x ≤ d
x ≤ −d
Sumando los campos por regiones, el campo creado por la conf. d), (suponiendo que el
plano del orificio está situado en el plano x=0), resulta:
Ed)
⎧ ⎛σ
σ
x
⎪ ⎜
+
2
2ε 0 x + R 2
⎪ ⎝ ε0
⎪
x
⎪ σ
= ⎨
ux
2
2
⎪ 2ε 0 x + R
⎪ ⎛
x
⎪− ⎜ σ + σ
2
⎪⎩ ⎝ ε 0
2ε 0 x + R 2
⎞
⎟ ux
⎠
x≥d
−d ≤ x≤ d
⎞
⎟ ux
⎠
x ≤ −d
Como se puede ver, para x<0 el campo tiene el mismo módulo que para x>0, y
dirección opuesta, – ux, y las discontinuidades del campo eléctrico en los planos
x = ± d , valen ΔEx =± d = σ
ε0