ππ α ππ λλ λ π π π

Matemáticas II
Septiembre 2008
Problema 2.1. Dados los planos π1: x + y + z = 3 y π2: x + y – α z = 0, se pide calcular razonadamente:
a) El valor de α para que los planos π1 y π2 sean perpendiculares y, para este valor de α, obtener las ecuaciones
paramétricas de la recta intersección de estos dos planos. (1,5 puntos).
b) El valor de α para que los planos π1 y π2 sean paralelos y, para este valor de α, obtener la distancia entre los dos
planos π1 y π2 . (1,8 puntos).
Solución:
a) Valor de α / π1 ┴ π2
Sea
→
nπ
un vector ortogonal al plano π, entonces
→
→
π 1 ⊥ π 2 si nπ ⊥ nπ
1
→
2
→
y nπ 2 = (1,1,−α )
nπ 1 = (1,1,1)
→
Para que
→
nπ 1 ⊥ nπ 2
→
debe ser
→
nπ 1 ⋅ nπ 2 = 0
(1, 1, 1) (1, 1, – α) = 0
1+1–α=0
2–α=0
α=2
π1 I π 2
Para α = 2, ecuaciones paramétricas de
x + y + z = 3
x + y − 2z = 0
La ecuación de la recta r será: r : 
Para obtener la ecuación paramétrica de la recta basta con resolver el sistema de ecuaciones que define a la recta.
En el sistema anterior podemos calcular el siguiente menor de orden 2 no nulo
1 1
= −2 − 1 = −3
1 −2
por lo que podemos tomar como incógnitas principales: y, z. El sistema a resolver será:
y + z = 3 − x

 y − 2z = −x
Resolviéndolo por Cramer,
3− x 1
− x − 2 − 6 + 2 x + x − 6 + 3x
x=
=
=
=2− x
−3
−3
−3
1 3− x
1 −x
− x−3+ x
y=
=
=1
−3
−3
Por lo que las ecuaciones paramétricas de r serán:
x = λ

y = 2 − λ
z = 1

λ ∈ℜ
b) Valor de α / π1 y π2 sean paralelos.
π1
y π2
→
son paralelos si
→
nπ 1 // nπ 2
Deberá ser:
1 1
1
= =
→ α = −1
1 1 −α
Para α = −1 calcular d (π 1 , π 2 )
Para este valor de α, π1: x + y + z = 3 y π2: x + y + z = 0
Como π1 // π2 , d (π1 , π2 ) = d ( P1, π2 ) siendo P1 un punto de π1, por ejemplo, para x = 0 e y = 0, sustituyendo en
la ecuación de π1, 0 + 0 + z = 3 → z = 3, por lo que P1( 0, 0, 3 )
d (P1 , π 2 ) =
0+0+3
12 + 12 + 12
=
3
3 3
=
= 3
3
3