Septiembre 2002 B2

Matemáticas II
Septiembre 2002
EJERCICIO A
PROBLEMA 2. Dado el plano definido por la ecuación π : 8 x − 4 y + z = 3 , hallar
a) La ecuación de la recta perpendicular al plano π que pasa por el punto P(1,-3,7), expresada como la intersección de
dos planos. (1 punto)
b) La distancia del punto P al plano π . (0,8 puntos)
c) Las ecuaciones de los planos que distan 3 unidades del plano π . (1,5 puntos)
Solución:
a) Como la recta debe ser perpendicular al plano, el vector ortogonal del plano será director de la recta,
→
nπ (8,−4,1)
Las ecuaciones paramétricas de la recta r serán,
 x = 1 + 8λ

r :  y = −3 − 4λ
z = 7 + λ

λ ∈ℜ
La ecuación continua,
x −1 y + 3 z − 7
=
=
8
−4
1
A partir de esta ecuación obtenemos la de dos planos cuya intersección será la recta r,
 x −1 y + 3
 8 = − 4
− 4 x + 4 = 8 y + 24
− 4 x − 8 y = 20
→ 
→ 

 x − 1 = 8 z − 56
 x − 8 z = −55
 x −1 = z − 7
 8
−1
La ecuación de la recta expresada como la intersección de dos plano es: (simplificamos la 1ª ecuación)
 x + 2 y = −5
r:
 x − 8 z = −55
b)
d ( P, π ) =
8 . 1 − 4 (−3) + 7 − 3
=
8 2 + (−4) 2 + 12
8 + 12 + 7 − 3
64 + 16 + 1
=
24
=
81
24 8
= u.l.
9 3
c) Los planos que distan 3 unidades del plano π son paralelos a él, su ecuación general será de la forma:
8x–4y+z=D
Como los dos planos son paralelos
d (π , π 1 ) = d ( Pπ , π 1 )
Busquemos un punto del plano π , x = 0 , y = 0 luego z = 3
d (π , π 1 ) = d ( Pπ , π 1 ) = d ( (0,0,3) , π 1 ) =
Luego 3 =
27 = 3 − D
3− D
64 + 16 + 1
=
3− D
81
=
3− D
9
3− D
9
→
3 − D = 27 → D = −24
3 − D = −27 → D = 30
Por lo que hay dos planos que distan 3 unidades del plano π , son los planos
y 8 x – 4 y + z = 30
8 x – 4 y + z = – 24