examen nº 1 - Curso de Matemática

Facultad de Contabilidad y Finanzas
2007 - I
SOLUCIONARIO DE EXAMEN Nº 1 - A
Curso
Profesor
Ciclo
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
Ing. Oscar Reyes Almora
II
2
1. Función cuadrática: f(x)= x – 6x + 11 a la forma vértice o estándar:
y = x2 – 6x + 11 → y = x2 – 6x + 9 – 9 + 11 → y = (x2 – 6x + 9) + 2 → y = (x – 3) 2 + 2
→ y – 2 = (x – 3) 2
•
La parábola se abre hacia arriba.
•
Las coordenadas del vértice de la parábola son: (3, 2)
•
La ecuación del eje de simetría de la parábola es: x = 3
•
El valor mínimo que adopta la función es 2.
•
El dominio de la función es R y la imagen es [ 2, +∞ [.
Coordenadas de los puntos de intersección de funciones f y g, si:
En el punto de intersección se cumple que:
g(x)= 0,8 x + 2
f(x)= g(x)
x2 – 6x + 11 = 0,8 x + 2 → x2 – 6,8x + 9 = 0 → ∆ = (-6,8)2 – 4(1)(9) = 10,24
x1 = -(-6,8) + √10,24 = 6,8 + 3,2 = 10 = 5 y x2 = 6,8 – 3,2 = 3,6 = 1,8
2(1)
2
2
2
2
En g(x):
g(5)= 0,8 (5) + 2 = 4 + 2 = 6 y g(1,8)= 0,8 (1,8) + 2 = 1,44 + 2 = 3,44
∴ los puntos de intersección son (5, 6) y (1.8, 3.44)
2. Conjuntos A = { -1, 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3 }, C = { -1, 0, 1, 2 } y D = { 1, 2, 3, 4 }, y funciones f
2
de A en B y g de C en D, donde: f(x)= 2 – x y g(x)= x + 1
a. Determine ambas funciones por extensión.
f = { (-1, 3), (0, 2), (1, 1), (2, 0) }
g = { (-1, 2), (0, 1), (1, 2) }
b. Determine el dominio e imagen de cada función.
Dom (f) = { -1, 0, 1, 2 } Img (f) = { 3, 2, 1, 0 }
Dom (g) = { -1, 0, 1 }
Img (g) = { 2, 1 }
c. Represente gráficamente la función g o f.
A
f
-1
B
C
3
-1
g
D
4
0
2
2
1
1
3
2
0
1
gof
d. Determine la función g o f por extensión.
g o f = { (1, 2), (2, 1) }
e. Determine el dominio e imagen de g o f.
Dom (g o f) = { 1, 2 }
Img (g o f) = { 2, 1 }
3. Sean h y t dos funciones definidas por tramos, cuyas reglas de correspondencia son:
2,
h(x) =
si x ∈ [-3, 1[
x + 1, si x ∈ [1, 5]
si x ∈ [-5, -1[
x + 2,
y
t(x) =
- ½ x + ½ , si x ∈ [-1, 3]
Se pide:
a. Represente gráficamente las funciones h y t.
h
t
b. Determine el dominio e imagen de h y t.
Dom (h) = [ -3, 5 ]
Img (h) = [ 2, 6 ]
Dom (t) = [ -5, 3 ]
Img (t) = [ -3, 1 ]
c. Represente gráficamente la función h + t.
(h + t)(x) = h(x) + t(x)
(h + t)(-3) = h(-3) + t(-3) = 2 + (-1) = 1 → (-3, 1)
(h + t)(-1) = h(-1) + t(-1) = 2 + 1 = 3 → (-1, 3)
(h + t)(1) = h(1) + t(1) = 2 + 0 = 2 → (1, 2)
(h + t)(3) = h(3) + t(3) = 4 + (-1) = 3 → (3, 3)
h+t
d. Determine el dominio e imagen de h + t.
Dom (h + t) = [ -3, 3 ]
Img (h + t) = [ 1, 2 ]
e. Determine la regla de correspondencia de h + t.
(1,2 puntos)
(h + t)(x) = h(x) + t(x)
En [-3, -1[:
(h + t)(x) = 2 + x + 2 = x + 4
En [-1, 1[:
(h + t)(x) = 2 + - ½ x + ½ = - ½ x + 5/2
En [1, 3]:
(h + t)(x) = x + 1 + - ½ x + ½ = ½ x + 3/2
x+4,
∴ (h + t)(x) =
si x ∈ [-3, -1[
- ½ x + 5/2, si x ∈ [-1, 1[
½ x + 3/2,
4. Considerando las reglas de correspondencia:
si x ∈ [1, 3]
f(x)= - ⎢ x – 2 ⎢ + 1 y g(x)= 2x .
x2 – 4
a. Represente la función f empleando la teoría de traslación y reflexión.
Función base: h(x) = ⎜x ⎜
Traslación a la derecha
h(x - 2) = ⎜x - 2 ⎜
Traslación hacia arriba:
- h(x - 2) + 1 = - ⎜x - 2 ⎜+1
Reflexión respecto eje x:
h(x - 2) = - ⎜x - 2 ⎜
b. Determine las asíntotas, dominio e imagen, y grafique la función g.
Asíntotas verticales:
x2 – 4 = 0 → (x - 2)(x + 2) = 0 → x = 2 y x = -2
Asíntotas horizontales:
como º numerador < º denominador → y = 0 (Eje x)
Dominio e imagen:
Dom (g) = R – {-2, 2}
Gráfica:
Img (g) = R – {0}
5. En una pequeña empresa se sabe que el costo fijo es $5000 y que producir 2000 unidades cuesta
$8000. Se pide:
a. Determine el costo variable por unidad.
CT = CF + CV → 8000 = 5000 + CVu(2000) → 3000 = 2000 CVu → CVu = 3/2 = $1,5
b. Determine la función lineal del costo total.
∴CT = $5000 + $1,5 q
c. Determine el costo promedio por unidad para producir 4500 unidades.
__
C(4500) = CT(4500) / 4500 = [$5000 + $1,5 (4500)] / 4500 = 11750/4500 ≈ $ 2,61
d. ¿Qué ocurre si se producen y venden 1800 unidades a $5 la unidad?
Ingreso:
$5 (1800) = $9000
Costo Total: $5000 + $1,5 (1800) = $7700
Luego existiría una ganancia de:
G = I – CT = $9000 - $7700 = $1300
e. Si el precio de venta se fija en $3,5, determine el punto de equilibrio.
Punto de equilibrio: I = CT
Cantidad de equilibrio: $3,5 q = $5000 + $1,5 q → $2q = $5000 → q = 2500
6. Considerando el precio en el eje vertical y la cantidad en el eje horizontal, encuentre la ecuación
de la demanda en la forma pendiente - ordenada en el origen, sabiendo que la recta que la
caracteriza pasa por los puntos (1, 4) y (5, 1).
m = (1 - 4)/(5 - 1) → m = -3/4
p – 4 = -¾ (q – 1) → p = -¾ q + ¾ + 4 → p = -¾ q + 19/4
Además, sabiendo que la ecuación de la oferta es: p = 3/2 q – ½
Determine:
a) Determine el punto de equilibrio del mercado.
-¾ q + 19/4 = 3/2 q – ½ → 3/2 q + ¾ q = 19/4 + ½ → 9/4 q = 21/4 → q = 21/9 = 7/3
En la ecuación de la oferta: p = 3/2 q – ½ = 3/2 (7/3) – ½ = 7/2 – ½ = 6/2 = 3
b) Represente gráficamente la oferta y demanda.
Oferta
P.E.
3
Demanda
Duración: 120 minutos
7/3
EL PROFESOR