a)Ampliación de la clasificación de errores

Trabajo
realizado por:
Asunción Gallego Ortega
Aidé Gaona Cordero
Sonia Granero Abenza
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a)Ampliación de la clasificación de errores.
Introducción
Una magnitud física es un atributo de un cuerpo, un fenómeno o una sustancia, que
puede determinarse cuantitativamente, es decir, es un atributo susceptible de ser
medido.
Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la potencia, la velocidad, etc.
Para establecer el valor de la magnitud a medir, tenemos que usar instrumentos de
medición y un método de medición. Es aquí donde podemos cometer una serie de
errores.
En el ámbito de la ingeniería asociamos el concepto de error con incertidumbre o
incerteza. Nunca sabremos la medición exacta de la magnitud pero aplicando la teoría
de errores podremos conocer las cotas o límites probabilísticos de las incertezas. Así
pues lo que obtendremos será un intervalo que tendría la siguiente forma:
x   x  x 
Clasificación de errores
se pueden clasificar los errores de diferentes maneras, en primer lugar vamos ha hacer
una clasificación de los mismos centrándonos en el origen de los mismos.
fuentes de error
Desde un punto de vista numérico podemos distinguir tres fuentes de error: errores en
los datos de entrada, errores de redondeo durante el cálculo y errores de truncamiento
del método empleado.
1. errores en los datos de entrada
los errores en los datos de entrado pueden ser debidos a dos casos: mediciones
incorrectas o finitud de la representación digital de un dato.
 mediciones incorrectas
Los aparatos de medición suministrados por la tecnología no presentan una precisión
indefinidamente fina. Esto hace que los valores medidos estén afectados por errores que
vienen dados básicamente por la precisión del aparato.
Es decir,
 finitud de la representación digital de un dato
Elegida una base natural b≥2, cualquier nombre real x no negativo puede ser
representado en la forma:
x  an b n  an1b n1  ...  a1b  a0  a1b 1  a2b 2  ..., con a j  Z, 0  a j  b( j  n) ,
que habitualmente se escribe:
x  an an1...a1a0. a1a2 ...b ,
y se llama representación digital de x en la base de b. Los coeficientes a j ( j  n)
reciben el nombre de dígitos o cifras. Esta representación es única, excepto para los
nombres racionales x de la forma
k
x  n (k , n  Z)
b
que tienen dos. Así, por ejemplo,
2
132
 1.319999 ....10  1.32 10 ,
100
donde 1.3210es la representación finita de 132/100, formada nada mas por tres cifras
significativas: a0  1, a1  3, a2  2 .
Otros ejemplos:
 Convierte:
a)26,3210 a base 2
b)1314.9610 a base 16
c)AF.3C16 a base 10
soluciones:
Estudiamos primero como cambian las cifras de un número r cambiándolo de la
base b a la base B.
Si rb  an ...a0 .a1 ...b y rb  AN ...A0 .A1...B , tenemos
Igualando en ambos lados,
n
N
i 0
j 0
n
a b
i  
i
i

N
A B
j  
j
j
.
 ai b i   A j B j y dividiéndolos por B, tenemos que
A0 es el resto de la división de la parte entera de r para B. Cogiendo ahora el
cociente de esta división y repitiendo la divino para B, obtenemos A0 como nuevo
resto; la repetición de este proceso permite conocer todas las cifras de la parte entera
de r en la base B:A0, A1,…,AN.
Análogamente, igualamos con las dos partes fraccionarias:
1
 ai b i 
i  
1
A B
j  
j
j
,
y si ahora los multiplicamos por B, obtenemos como parte entera A-1. Repitiéndolo
de nuevo, con la parte fraccionaria del producto, tenemos como nueva parte entera
A-2 y, así sucesivamente, encontraríamos todas las cifras de la parte fraccionaria de r
en la base B:A-1, A-2,…
Para los casos propuestos:
a)
26  13 2  0
13  6  2  1
Así, 2610=110102.
0.32*2=0.64
0.64*2=1.28
0.12*2=0.24
0.24*2=0.48
0.92*2=1.84
0.84*2=1.68
0.72*2=1.44
0.44*2=0.86
0.52*2=1.04
0.04*2=0.06
…
Por lo tanto, la expresión pedida es
6  3 2  0
3  1 2  1
0.28*2=0.56
0.48*2=0.96
0.68*2=1.36
0.88*2=1.76
0.08*2=0.16
0.56*2=1.12
0.96*2=1.92
0.36*2=0.72
0.76*2=1.36
0.16*2=0.32
26.3210  11010.0101000111
1010111000
2
donde las líneas de encima indican el periodo del número.
3
b)
1314=82*16+2 82=5*16+2 .
Tenemos pues, 131410=52216.
0.96*16=15.36
0.36*16=5.76
0.76*16=12.16
0.16*16=2.56
0.56*16=8.96
…
Resulta,
1314.9610=522. F 5C 2816
Tomamos como dígitos en base 16:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F. Esta notación es
muy común y la utilizaré de ahora en adelante.
c) Simplemente si tiene que hacer
AF.3C16=10*16+15+3*16-1+12*16-2
Finalmente,
AF.3C16=175.23437510
_______________________________
Suponemos ahora que hacemos nuestros cálculos con una calculadora que puede
mostrar números con t dígitos en base b. Entonces la representación de un número x
con más de t dígitos no nulos será exactamente igual a x, y le llamaremos fl(x),
representación en punto flotante de x. En general,
fl(x)=m*bq ,
donde q  Z y m  0.a1a2 ...at b, con a j  Z, 0  a j  b( j  1  t ) y a1  0 ; que se
llama exponente y m, mantisa.
El paso de x a fl(x) se puede hacer por tallo, simplemente suprimiendo los dígitos
de x a partir de at, o por redondeo, escogiendo fl(x) de manera que el error fl(x) –x
sea el mínimo. Cuando esta condición da dos posibles redondeos, se escoge el que
tiene el valor absoluto más grande (si estos casos aparecen dentro de una cadena
larga de cálculos, con tal de evitar cualquier tipo de desviación del error de
redondeo hacia ninguna dirección fija, seria preferible redondear de manera que la
última cifra de la mantisa sea, por ejemplo, siempre par).
Las cifras del error relativo producido en cada caso son:
1
 T  b1t ,  A  b1t .
2
2. error de redondeo durante el cálculo
El error en un resultado no solamente puede provenir de los errores de los datos de
entrada, si no también de los errores de redondeo en los resultados de los cálculos
intermedios.
 Consideramos una máquina que trabaja con 4 cifras decimales y corta o
redondea. Tenemos dos datos:
a=0.3425*105, b=0.2517*10-2.
Entonces,
ab=0.8620725*102,
2
flT(ab)=0.8620*10 (se ha cometido un error de 0.725*102),
flA(ab)=0.8621*102 (se ha cometido un error de 0.275*102)
si no se dice lo contrario, suponemos que, en cada operación aritmética (+,-,.,/),
las cifras del error relativo serán las mismas que en la representación de los datos
de partida;  T o εA.
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3. error de truncamiento del método usado
Cuando resolvemos un problema matemático por métodos numéricos, incluso
haciendo las operaciones exactamente, obtenemos una aproximación numérica del
resultado exacto (por ejemplo, cuando aproximamos una integral por una suma
finita o una derivada por un cociente incremental, etc).
El error producido depende del método numérico utilizado y recibe el nombre de
error de truncamiento. Para algunos métodos, disponemos de expresiones de este
error.
Cuando decidamos sobre la conveniencia de la utilización de un método
determinado, se ha de tener en cuenta no solamente su error de truncamiento, si no
también los errores de redondeo producidos por las operaciones que el método
conlleva.
Por ejemplo, se ha de huir de métodos o algoritmos que conlleven cancelaciones
de cifras restando dos cantidades próximas. Atiende que en estas cancelaciones se
producen errores relativos considerablemente grandes, conviene usar fórmulas
matemáticamente equivalentes que las evites.
su carácter
Según su carácter los errores pueden clasificarse en sistemáticos, estadísticos e
ilegítimos o espurios:
a) Errores sistemáticos
Se originan por las imperfecciones de los métodos de medición. Por ejemplo, pensemos
en un reloj que atrasa o adelanta, o en una regla dilatada, el error de paralaje, etc. Los
errores introducidos por estos instrumentos o métodos imperfectos afectarán nuestros
resultados siempre en un mismo sentido. El valor de sexac sería un ejemplo de Física de
error sistemático pero no son lo mismo, ni los errores de exactitud son los únicos
responsables de los errores sistemáticos. Imaginemos por ejemplo el caso de una
balanza bien calibrada que se usa para conocer el peso de las personas en los centros
comerciales u otros negocios, como es usual que las personas (en público) se pesen
vestidas, los valores registrados con estas balanzas tendrán un error sistemático por el
peso de la vestimenta. La única manera de detectarlos y corregirlos es comparar
nuestras mediciones con otros métodos alternativos y realizar un análisis crítico y
cuidadoso del procedimiento empleado. También es aconsejable intercalar en el proceso
de medición patrones confiables que permitan calibrar el instrumento durante la
medición.
b) Errores estadísticos
Son los que se producen al azar. En general, son debidos a causas múltiples y fortuitas.
Ocurren cuando, por ejemplo, nos equivocamos en contar el número de divisiones de
una regla, o si estamos mal ubicados frente al fiel de una balanza. Estos errores pueden
cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Por tanto, midiendo
varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Es a
este tipo de errores a los que comúnmente hace referencia la teoría estadística de errores
de medición que formularemos sucintamente en lo que sigue. A estos errores lo
designaremos con sest.
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c) Errores ilegítimos o espurios
Supongamos que deseamos calcular el volumen de un objeto esférico y para ello
determinamos su diámetro.
Si al introducir el valor del diámetro en la fórmula, nos equivocamos en el número
introducido, o lo hacemos usando unidades incorrectas, o bien usamos una expresión
equivocada del volumen, claramente habremos cometido un error. Esta vez este error
está más asociado al concepto convencional de equivocación. A este tipo de errores los
designamos como ilegítimos o espurios. A este tipo de errores no se aplica la teoría
estadística de errores y el modo de evitarlo consiste en una evaluación cuidadosa de los
procedimientos realizados en la medición Un ejemplo de este tipo de error es el que se
cometió en el Mars Climate Explorer a fines de 1999, al pasar de pulgadas a cm se
cometió un error que costo el fracaso de dicha misión a Marte.
Cuando se desea combinar los errores sistemáticos con los estadísticos, la prescripción
usual es sumar los cuadrados de los errores absolutos y luego tomar la raíz cuadrada de
este resultado.
b) usos de error relativo y error absoluto.
En primer lugar aclararemos que son dichos errores, es decir, error absoluto, error
relativo, y otro que deriva de estos dos anteriores, el error relativo porcentual.
Error absoluto
Es el valor de la incertidumbre combinada .Tiene las mismas dimensiones que la
magnitud medida y es conveniente expresarla con las mismas unidades de ésta. Si Z es
la magnitud en estudio, Z es el mejor valor obtenido y Z su incertidumbre absoluta. El
resultado se expresa adecuadamente como:
Z = Z 
El significado de esta notación es equivalente a decir que, según nuestra medición, con
una cierta probabilidad razonable p0 (usualmente p0 = 0.68, 68%) el valor de Z está
contenido en el intervalo (
Z -Z, Z +Z), o sea:
Z  Z  Z  Z  Z
lo que es equivalente a:
p( Z  Z  Z  Z  Z )=p0
que significa que la probabilidad que el mejor estimador de Z esté comprendido entre Z
-Z y Z +Z es igual a p0. El valor de p0 se conoce con el nombre de coeficiente de
confianza y los valores) Z, Z  Z , Z  Z determinan un intervalo de confianza para
Z.
Error relativo
 z  Z / Z , el cociente entre el error absoluto y el mejor valor de la magnitud.
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
Error relativo porcentual
 Z ,%  100  z , es la incertidumbre relativa multiplicada por 100.
Las medidas llevadas a cabo en una experiencia pueden ser de dos tipos: directa o
indirecta.
a) magnitudes medida directamente
1. si la medida se realiza mediante un instrumento de medida de poca
sensibilidad, al repetir la medida distintas veces encontraremos siempre
el mismo resultado. En este caso no merece la pena hacer varias
determinaciones sino que realizaremos una única medida.
2. si la sensibilidad del aparato de medida es grande, al repetir una
determinación podemos encontrar valores ligeramente diferentes. En este
caso se deberán realizar n medidas, a partir de las cuales se calcula el
valor medio.
3. numero de medidas que hay que tomar; para saber el numero de medidas
que es preciso realizar en la determinación experimental de una magnitud
física se utiliza el siguiente procedimiento:
a) efectuaremos inicialmente 3 medidas, x1 x2 x3, y se calcula el valor
medio a partir de ellas.
b) Se calcula el porcentaje de dispersión
D=( xmax –x min
/ media) *100
Y a partir del resultado se deduce el número de las medidas que hay que
realizar.
D<2 bastan las tres medidas realizadas
2<= D<= 8 hay que hacer tres medidas mas.
D>8 hay que realizar hasta 15 medidas.
4. el error asignado al valor medio deducido a partir de las medidas
realizadas establece del siguiente modo:
a) se calcula el error absoluto medio, que es la media de los errores de cada
uno de los objetos utilizados en la medición.
b) Por otro lado se calcula el error de dispersión.
el mayor de los dos errores calculados se escoge como error absoluto.
‫( =ع‬x max-x min)/4
c) Magnitudes medidas indirectamente
Es muy usual que una magnitud física no se determine directamente con una
medida, sino a través de una fórmula, grafica, es decir, a partir de otras
magnitudes (que a su vez habrán sido medidas directamente o no), se habla
entonces de una medida indirecta.
Para calcular el error absoluto de una medida indirecta utilizaremos la teoría
de diferenciales.
1. Cuando la magnitud es una suma o una resta de otras z = x + y – h ;
Diferencial = error
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dz = dx + dy – dh
El error es:
‫(ع‬z) =: ‫(ع‬x) + ‫(ع‬y) + ‫(ع‬h)
El error absoluto es la suma de los errores
2. la magnitud es multiplicación o división de otras
z = xa * yb * hc / g k
‫(ع‬z)/z= a ‫(ع‬x)/x + b ‫(ع‬y)/y + g ‫(ع‬g)/g
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