Sobre la regla del paralelogramo

Sobre la regla del paralelogramo
Sea (V, k · k) un espacio normado que cumple la regla del paralelogramo. Queremos demostrar
que la función de dos variabes definida por:
hu, vi :=
1
ku + vk2 − ku − vk2 ,
4
es una forma bilineal.
Es trivial ver que hu, vi = hv, ui, que h0, vi = hu, 0i = 0 y también:
−hu, vi = h−u, vi = hu, −vi .
(1)
La siguiente identidad:
hu, wi + hv, wi = 2
u+v
,w
2
(2)
nos va a permitir demostrar que h·, ·i es biaditiva. Primero ponemos el par de vectores u, v como
una suma y una diferencia:
u = v1 + v2
,
v = v1 − v2
,
con
v1 =
u+v
2
y
v2 =
u−v
,
2
y usamos esto para reescribir el término izquierdo de (2) de la siguiente manera:
=
1
ku + wk2 − ku − wk2 + kv + wk2 − kv − wk2 =
4
1 kv1 + v2 + wk2 − kv1 + v2 − wk2 + kv1 − v2 + wk2 − kv1 − v2 − wk2 .
4
En esta suma de cuatro términos, el primero y el tercero (los minuendos) suman
1 2 kv1 + wk2 + 2 kv2 k2 ,
4
por la regla del paralelogramo. Análogamente los términos segundo y cuarto (los sustraendos)
suman
1 2 kv1 − wk2 + 2 kv2 k2 .
4
Al juntarlos, los términos con kv2 k2 se cancelan mutuamente y queda:
1
1
hu, wi + hv, wi =
kv1 + wk2 − kv1 − wk2 =
2
2
2 2 !
u + v
u + v
,
2 + w − 2 − w
que es la identidad (2). Para obtener la biaditividad aplicamos (2) al siguiente caso particular:
u
hu, wi = hu, wi + h0, wi = 2 h , wi ,
2
que proporciona la identidad:
u
1
h , wi = hu, wi ,
2
2
0
0
y también permite, haciendo u = u/2 y v = v/2, expresar (2) de la siguiente manera:
(3)
2 hu0 , wi + 2 hv 0 , wi = 2 hu0 + v 0 , wi ,
que nos dice que h·, ·i es biaditiva, porque u0 , v 0 pueden ser dos vectores cualesquiera. Esta
biaditividad, junto con (1) y (3), permite probar que para cualesquiera n ∈ Z y m ∈ N es:
D n
E
D n E
n
u,
v
=
hu,
vi
=
u, m v .
(4)
2m
2m
2
1
Como el conjunto de los números de la forma n/2m es denso en los reales, tendremos la
identidad
hau, vi = a hu, vi = hu, avi
para todo a ∈ R si conseguimos demostrar que, fijados u0 , v0 , la función
f
R −→
R
,
a 7−→ hau0 , v0 i
es continua. Afirmamos que f (a) − f (b) ≤ (factor acotado) · |a − b|.
La función f es claramente
aditiva, con lo cual f (a) − f (b) = f (a − b) y lo que tenemos que
probar es f (a − b) ≤ (factor acotado) · |a − b|, con el factor acotado dependiendo de a, b.
Escribimos la diferencia de cuadrados como suma por diferencia:
4 f (a − b) = k(a − b) u0 + v0 k2 − k(a − b) u0 − v0 k2 =
=
k(a − b) u0 + v0 k + k(a − b) u0 − v0 k k(a − b) u0 + v0 k − k(a − b) u0 − v0 k .
Definiendo v1 = v0 + (a − b) u0 y v2 = v0 − (a − b) u0 , tenemos:
k(a − b) u0 + v0 k − k(a − b) u0 − v0 k = kv1 k − kv2 k ≤ kv1 − v2 k = k2 (a − b) u0 k ,
de donde se deduce:
4 f (a) − f (b) ≤ 2 |a − b| ku0 k + kv0 k · 2 · |a − b| · ku0 k ,
es decir:
f (a) − f (b) ≤
|a − b| ku0 k + kv0 k · ku0 k · |a − b| ,
y efectivamente |a − b| ku0 k + kv0 k · ku0 k es un factor acotado en términos de a, b. Esto
prueba la continuidad de f y completa la demostración.
2