practica 1 - Unican.es

PRÁCTICA SERIES DE POTENCIAS
CURSO 2013-2014
Prácticas Matlab
Práctica 6 (15- XI-2013)
Objetivos o Estudiar la convergencia puntual de una serie de potencias. o Estimar gráficamente el intervalo de convergencia de una serie de potencias. o Aproximar el valor de una función mediante un número finito de términos de su serie de potencias y acotar el error. Comandos de Matlab En esta práctica no se incluye ningún comando nuevo, se utilizan los vistos en prácticas anteriores. Ejercicios
Aproximación de la suma de series alternadas que verifican el criterio de Leibniz 
a) Comprueba a mano que  5
n
 n  32n verifica las condiciones n 1
suficientes del criterio de Leibniz. b) Comprueba con Matlab para los valores n = 10,30,50 que el error en valor absoluto que se comete al aproximar la suma de la serie por la suma parcial enésima S n  a1  a2  a3    an es menor que el valor absoluto del primer término despreciado 1 S  S n  an 1 Esto significa que la suma de la serie está en el intervalo 
S 
n 1
 5
n
n  32 n
  S n  an 1 , Sn  an 1  y este intervalo tiene longitud menor a medida que n tiende a infinito. Indicaciones (b) Paso 1: Define simbólicamente el término general de la serie y calcula la suma exacta de la serie S 

 5
n
 n  32n  n 1
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MATLAB: SERIES POTENCIAS
Puedes expresarla en forma decimal con 15 cifras significativas, utilizando el comando vpa o bien el comando double con format long. Paso 2: Define el vector valorn con los tres valores de n: 10, 30 y 50. Crea un bucle dentro del cual se calcula, para cada valor de n, la suma de los n primeros términos de la serie, S n , el error exacto en valor absoluto, Error  S  S n , y la cota del error en valor absoluto, an 1 . Todos estos datos exprésalos en forma decimal con 15 cifras significativas. Paso 3: Escribe en una fila los datos siguientes, para cada valor de n: n
Error
Cota del error
Paso 4: Escribe en una fila los datos siguientes, para cada valor de n: n

S n  an 1 , S n  an 1

Serie de potencias Dada la serie de potencias (1) n 1 x n
 n n 1

2
a) Comprueba la convergencia y calcula el valor de la suma para los siguientes valores de x : 1
1
x   , x  , x  1 , x  1 2
2
b) Calcula el campo de convergencia . c) Derivando término a término la serie anterior se obtiene una serie de potencias geométrica. Calcular la razón r, el primer término, el intervalo de convergencia   R, R  y el valor exacto de la suma. d) Representar en   R, R  , la función suma obtenida en el apartado c) y la aproximación obtenida considerando los 5 primeros términos de su serie de potencias. MATLAB: PRÁCTICA 3
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e) Acotar el error obtenido en los puntos x  0.25 y x  0.75 , al aproximar con el polinomio del apartado anterior. f)
Integrar la función suma del apartado c) para obtener la función suma de la serie inicial. g) Representar en   R, R  , la función obtenida en el apartado f) y la aproximación obtenida considerando los 10 primeros términos de su serie de potencias (serie inicial). Indicaciones (a) Recuerda que: Una expresión de la forma

 a  x  a
n0
n
n
recibe el nombre
de serie de potencias centrada en el punto a .
Una serie de potencias puede ser interpretada como una función de x

f  x    an  x  a 
n
n 0
Puedes estudiar la convergencia absoluta con el criterio del cociente o, cuando sea necesario, aplicar el criterio de series alternadas. A modo de ejemplo se estudia la serie numérica obtenida para x  
1
: 2

1
n
n 1 n  2
S  
1
(n  1)  2n 1 1
n  2n
Criterio del cociente: l  lim
 lim
  1 n 
n 
1
n  2n
2
(n  1)  2n 1
Código Matlab: syms n
an=-1/(n*2^n);
an1=subs(an,n,n-1);
bn=an/an1;
l=abs(limit(bn,n,inf))
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MATLAB: SERIES POTENCIAS
Indicaciones (b) Recuerda que:
El dominio de la función f  x  

 a  x  a
n
n
n0
será el conjunto de valores de x
donde la serie converge y el valor de f  x  será precisamente la suma de la
serie.
Nota: Es evidente que toda serie de potencias converge en el punto a

f  a    an  a  a   ao
n
n 0
TEOREMA DE ABEL.

Se considera la serie
 a  x  a
n 0
n
n
. Entonces se cumple una y solo una de
las afirmaciones siguientes:
a)
La serie converge solo en el punto a .
b)
Existe un número R  0 de forma que la serie converge en x  a  R y
no converge en x  a  R .
c)
La serie converge para todo x   .
IMPORTANTE: El teorema anterior afirma que la serie converge siempre en
un intervalo de la forma
 a  R, a  R  ,
considerando que en el caso a) el
valor de R es cero y en el caso c) el valor de R es infinito. Al número R se
le llama radio de convergencia y al intervalo
 a  R, a  R 
intervalo de
convergencia.
Escribe el código Matlab necesario para calcular el radio de convergencia por el criterio del cociente. La convergencia puntual en los extremos del intervalo se comprobó en el apartado anterior, sumando las series numéricas en x  1 y en x  1 MATLAB: PRÁCTICA 3
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Indicaciones (c) TEOREMA. Si la función

 a  x  a
n0
n
n
f
viene definida por una serie de potencias
con radio de convergencia R  0 entonces
-
f es continua en todo punto interior al intervalo de convergencia.
-
f es derivable en el intervalo de convergencia y su derivada f '  x 
puede obtenerse mediante la derivación término a término:

f '  x    nan  x  a 
n 1
n 1
siendo el radio de convergencia de la serie derivada también R .
-
f es integrable en el intervalo de convergencia y, además, se puede
integrar término a término:


f  x  dx  
n 0



an
n 1
 x  a  C
n 0 n  1
 an  x  a  dx  
n
Escribe el código Matlab necesario para derivar la serie anterior y para comprobar que es una serie geométrica. ¿Cuál es la función suma de la serie obtenida? Indicaciones (d) Escribe aquí el código Matlab necesario para hacer las representaciones de la función suma del apartado anterior y de los 5 primeros términos de la serie de potencias (polinomio de grado 4). PÁGINA 6
MATLAB: SERIES POTENCIAS
Indicaciones (e) Escribe aquí el código Matlab necesario para aproximar la suma de la serie con los 5 primeros términos y acotar el error cometido por el primer término despreciado. Indicar si la suma aproximada es por defecto o por exceso. Indicaciones (f) Escribe aquí el código Matlab necesario para integrar la función suma de la serie de las derivadas y obtener la función suma de la serie inicial. Indicaciones (g) Escribe aquí el código Matlab necesario para representar gráficamente la función obtenida en el apartado anterior y los 10 primeros términos de su serie de potencias. Repetir el apartado d) para aproximar el valor de la función suma de la serie inicial en x  0.25 y x  0.75 con los 10 primeros términos de la serie y acotar el error cometido en la aproximación. Resumen de comandos
Todos los comandos que se utilizan en esta práctica se han visto en prácticas anteriores.