TEMA 4. Modelos para Datos Censurados y de Selección

Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
TEMA 4. Modelos para Datos Censurados y de
Selección Muestral.
Profesor: Pedro Albarrán Pérez
Universidad de Alicante. Curso 2010/2011.
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Contenido
1
Introducción
2
Modelo Tobit
Introducción
Estimación por Máxima Verosimilitud
Diferencias con una simple Regresión Lineal
Predicciones. Efectos Marginales
Limitaciones del Modelo Tobit
3
Modelos en Dos Partes
4
Modelos de Selección Muestral
El Problema de Selección Muestral para la Inferencia Causal
Modelo de Truncamiento Incidental
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Variables Censuradas y Truncadas
En ocasiones sólo se observan los verdaderos valores de una variable
de interés para una parte de la muestra disponible
Los modelos de selección muestral constituyen una especialmente
importante generalización de estos modelos.
Variables Censuradas:
para algunas observaciones, sólo se sabe que
la variable es mayor (o menor) que un valor
censura por la derecha (o superior)
∗
Y = YU , ,
Y∗ < U
si Y ∗ > U
si
censura por la izquierda (o inferior)
∗
Y = YL, ,
Y∗ > L
si Y ∗ 6 L
si
La censura puede producirse por diversos motivos:
resulta del proceso de recogida de datos
se puede interpretar como solución de esquina en una decisión
económica
Introducción
Modelo Tobit
Variables Truncadas:
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
la muestra excluye observaciones censuradas.
en el caso de censura por la derecha (o superior)
Y
= Y∗
si Y
∗
<U
en el caso de censura por la izquierda (o inferior)
Y
= Y∗
si Y
∗
>L
La censura/truncamiento puede considerarse como una situación en
que falta información (completa) sobre la variable dependiente
comparada con observar plenamente Y
∗
En algunos casos el valor de censura es desconocido o diferente para
cada individuo.
Formalmente, la variable observada Y resulta de una mixtura de
un proceso latente continuo Y
∗
un mecanismo de selección (censura o truncamiento), modelizado en
forma binaria
Y
=
D
=
Y ∗ D + L (1 − D )
1,
Y∗ > U
0,
Y∗ < U
si
si
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Introducción
Modelo Tobit: especicación
Variable latente Y
∗
∗
=
Ui |X1i , . . . , Xki
∼
Yi
β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki + Ui
2
N 0, σ
(1)
(2)
Variable observada Y (censurada inferiomente en cero)
Yi
= max {0, Yi∗ } = max {0, β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki + Ui }
la generalización a censura superior y/o a que el punto de censura
sea distinto de cero son triviales
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Introducción
Alternativamente, se puede representar como
Yi
=
∗
i = β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki + Ui > 0
Yi∗ ,
si Y
0,
en caso contrario
Otra formulación
Yi
i
=
Yi∗ ,
0,
i =1
si Di = 0
si D
(3)
∗
i > 0 y cero en caso contrario
donde D toma valor 1 si Y
Di
=
β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki + Ui > 0
1,
si
0,
en caso contrario
(4)
Introducción
Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Estimación por Máxima Verosimilitud
Existen dos tipos de observaciones:
las no censuradas (que coinciden con la variable latente)
las censuradas (con un único valor).
La función de densidad debe denirse por partes:
∗
si
i =1
i|i ,
( i| i) =
Pr ( i = 0| i ) , si i = 0
f y x
Y
f y x
o también
D
D
x
f (yi |xi ) = [f (yi∗ |xi )]Di [Pr (Yi = 0|xi )]1−Di
∗
0
i = Xi β + Ui
Por simplicidad Y
Por el supuesto de normalidad del termino de error
0 2 1
1 ∗
iβ
( i∗ | i ) = √
exp − 2 i − i0 β
=φ
2
2σ
σ
2πσ
f y x
y
X
X
i = 0, la variable latente debe ser menor o igual que cero:
−Xi0 β
Pr (Y = 0|x ) = Pr (Y ∗ 6 0) = Pr (U 6 −X 0 β) = Φ
Si D
i
i
i
i
=
1−Φ
Xi0 β σ
i
σ
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Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Estimación por Máxima Verosimilitud
La contribución a la verosimilitud de una observación cualquiera
(censurada o no)
f (yi |xi ) =
φ
Xi0 β Di 1 − Φ Xi0 β 1−Di
σ
σ
La función de log-verosimilitud será
log L y1 , . . . , yn ; β0 , β1 , σ2 = log
log L β, σ2 =
n X
i =1
n
Y
i =1
f (yi ) =
n
X
i =1
log f (yi )
0 0 Di log φ Xσi β + (1 − Di ) log 1 − Φ Xσi β
Los valores que maximicen esta función serán nuestra estimación de
los parámetros
la optimización no tiene fórmula analítica cerrada
Nota: en el modelo Tobit, a diferencia del modelo probit, sí se puede
identicar la varianza del error
σ2
con datos binarios, no existe suciente variabilidad en la variable
dependiente
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Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Diferencias con una simple Regresión Lineal
Un modelo de regresión lineal ignorando que hay observaciones
censuradas ofrece una estimación sesgada
porque considera los valores censurados como observaciones iguales
al resto
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Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Diferencias con una simple Regresión Lineal
¾Se pueden ignorar los valores censurados para estimar?
E [Yi |X ] = E [Yi |X , Yi > 0] Pr (Yi > 0)
donde
φ Xi0 β/σ
E [Yi |X , Yi > 0] = Xi0 β + σλ Xi0 β/σ = Xi0 β + σ Φ
0
X β/σ
Pr (Yi > 0) = Φ
Xi0 β/σ
i
Utilizar sólo observaciones no censuradas también ofrece, en general,
estimaciones sesgadas
se omite
λ (Xi0 β/σ)
que estará correlacionado con las X
i
Además,
1
se pierden observaciones con información relevante
a menor tamaño muestral, mayores errores estándar de las
estimaciones
2
en ocasiones no se observa el punto de censura
El problema con variables censuradas NO está en la falta de
observabilidad, sino en una incorrecta especicación
i
Suponer que E [Y |X ] es lineal resulta inadecuado cuando la variable
∗
i
latente Y
es lineal
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Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Predicciones
Predecir una variable censurada supone
predecir si la variable dependiente está censurada o no
predecir su valor, si no está censurada
Para un modelo Tobit se necesita simplemente predecir el índice
lineal
b=β
b0 + β
b 1 X1i + · · · + β
b k Xki
b i = Xi0 β
ω
El valor de la variable dependiente observada en la parte no
censurada es:
bi
Y
b∗ = ω
b0 + β
b 1 X1i + · · · + β
b k Xki ,
bi = β
=Y
i
si
bi > 0
ω
La probabilidad de la censura:
c (Y
Pr
∗
b0 + β
b 1 X1i + · · · + β
b k Xki = Φ (ω
bi)
6 0) = Φ β
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Modelo Tobit
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Modelos de Selección Muestral
Efectos Marginales
Para los modelos censurados, existen varios efectos marginales de interés
El efecto marginal sobre la variable latente:
E Yi∗ |X1i , . . . , Xki
δXki
δ
no muy relevante porque se observa Y
= βk
i
El efecto marginal sobre la probabilidad de censura:
Yi = 0|X1i , . . . , Xki ) = δ Pr (Di = 0|X1i , . . . , Xki ) = −β φ (ω )
i
k
δXki
δXki
donde ωi = β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki es el índice lineal.
δ Pr (
El efecto marginal sobre la variable truncada (sólo sobre
observaciones no censuradas)
E Yi |X1i , . . . , Xki , Yi > 0) = h1 − ω λ (ω ) − λ (ω )2 i β
i
i
i
k
δXki
δ (
donde λ (ωi ) = φ (ωi ) /Φ (ωi ) es la inversa del ratio de Mills.
El efecto marginal sobre la variable censurada (sobre observaciones
censuradas y no censuradas):
E Yi |X1i , . . . , Xki ) = Φ (ω ) β
i k
δXki
δ (
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Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Efectos Marginales
Según las cuestiones relevantes, estaremos interesado en todos o
sólo en algunos de esos efectos marginales
Los efectos marginales pueden calcularse de varias formas
evaluado en algún valor relevante de las variables explicativas
evaluado en la media de las variables explicativas
obteniendo la distribución de efectos marginales evaluados en sus
valores observados de cada individuo
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Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Limitaciones del Modelo Tobit
Generalizaciones triviales del modelo Tobit
Se pueden considerar más de un punto de censura (censura superior
e inferior simultáneas)
Se puede modelizar el índice lineal con variables explicativas
transformamadas no linealmente
i β1 X1i + β2 X12i , β1 X1 + β2 X1i X2i ,
log X2 ,
etc.
La variable dependiente puede haber sido transformada
Y
∗
no será normal y se necesita conocer su distribución (para escribir
la verosimilitud, calcular la probabilidad de censura, etc. )
el modelo Tobit para datos log-normales:
∗
i
=
U |X
i i
∼
i
=
Y
Y
donde
γ
exp (β0
+ β1 X1i + · · · + βk Xki + Ui )
2
N 0, σ
Y
∗
i,
0,
si ln Y
∗
i >γ
en caso contrario
es el punto de censura.
∗
Nota: se dice que Y sigue una distribución log-normal, si su
∗
logaritmo ln Y sigue una distribución normal.
i
i
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Limitaciones del Modelo Tobit
Problemas del modelo Tobit
El modelo Tobit depende crucialmente de los supuestos de
normalidad y homocedasticidad del término de error
en el modelo de regresión lineal, independientemente de esos
supuestos el estimador de MCO es consistente y se pueden calcular
errores estándar robustos
en el modelo Tobit, la estimación e inferencia es inválida si alguno de
los dos supuestos es incorrecto
Además impone el mismo mecanismo para determinar la
probabilidad de censura y el valor de las observaciones no censuradas
Los determinantes de la decisión de comprar pueden ser distintos de
los que explican su valor (ej., tener un contrato indenido en la
compra de una casa)
La misma variable puede tener diferentes impactos sobre cada una de
ellas (ej. la edad en la adquisición de seguro de vida)
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Especicación de un Modelo en Dos Partes
Modelo en dos partes
Se dene un indicador de censura:
Di =
1
1,
si
0,
si
Yi > 0
Yi = 0
La primera parte es un modelo probit o logit:
D
donde
2
i
i=
γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi + i > 0
1,
si
0,
en caso contrario
(5)
sigue una distribución normal (probit) o logística (logit)
La segunda parte especica la esperanza condicional de la variable
NO censurada
Y
i
=
exp (β0
+ β1 X1,i + · · · + βk Xk ,i + Ui )
i
si D
i =1
i , . . . , Xki ) = 0
E (U |X1
Notad que la expresión
ln
(6)
Las ecuaciones
(6) − (7)
(7)
equivale a
Yi = β0 + β1 X1,i + · · · + βk Xk ,i + Ui
(6)
si
Di = 1
implican
E (Yi |Di = 1, Xi ) = exp
X
β0 + β1 1,i + · · · + βk
2
Xk ,i + σ2
(8)
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Diferencias con el modelo Tobit
El modelo en dos partes
1
No está denido en función de ninguna variable latente
todas las ecuaciones del modelo se reeren directamente a variables
observables.
2
No impone que las mismas variables y con el mismo coeciente
i
determinen tanto Y como la censura D
3
i
Tampoco impone el mismo término de error para ambas ecuaciones
i
U y
i
pueden ser distintos y con distribuciones diferentes
serán, en general independientes entre sí
4
i
Sólo se supone que U en
(7)
es independiente en media de las
variables explicativas
no se supone toda la distribución con el Tobit
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Diferencias con el modelo Tobit
El modelo en dos partes es más exible, tanto en sus supuestos
como en el número de parámetros
Si las restricciones del modelo Tobit son correctas, resulta más
eciente estimarlo
pero no siempre pueden compararse ambos modelos
Un modelo en dos partes con el supuesto adicional de normalidad sí
es una generalización del modelo Tobit para datos log-normales
este modelo en dos partes una formulación más general dentro de la
misma clase de modelos
como ambos modelos están anidados, se puede contrastar si el resto
de restricciones del modelo Tobit son correctas
Se tiene que realizar un contraste de ratio de verosimilitudes entre
ambos modelos
se comprueba si las mismas variables y con el mismo coeciente
están en la ecuación de censura y en la de valores no censurados
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Estimación, Predicciones y Efectos Marginales
La estimación pude hacerse por separado (cada parte con sus propias
variables y supuestos distribucionales) o conjuntamente (en general,
suponiendo elementos en común)
los modelos en dos partes pretenden evitar la complejidad de la
estimación conjunta,
pero ésta facilita algunos constrastes de hipótesis: relaciones entre
los coecientes de la primera y de la segunda parte del modelo
Existen tres magnitudes que se pueden querer predecir.
1
La probabilidad de censura, cuya predicción puede obtenerse
directamente de la estimación de la primera parte del modelo
2
El valor predicho de las observaciones no censuradas se obtiene
directamente de la estimación de la segunda parte del modelo
3
El valor predicho de las observaciones (censuradas o no),
i i , Wi ) ,
E (Y |X
incorpora ambas expresiones previas.
Asimismo, nos interesan los tres efectos marginales relacionados con
estas magnitudes
Notad que aquí no existe ninguna variable latente que predecir, ni
para la cual estimar efecto marginal.
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Limitaciones
Una de las principales ventajas del modelo en dos partes reside en
que puede estimarse cada parte por separado.
El supuesto clave para esto es la independencia entre los términos de
error de cada ecuación
i
i
y U .
Sin embargo, existen situaciones en que este supuesto no es realista
Relajar este supuesto nos lleva a una nueva clase de modelos, que
tiene gran importancia en Economía.
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Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
El Problema de Selección Muestral para la Inferencia Causal
Problemas de Selección Muestral
Los problemas de Selección de Muestral son habituales con datos
observacionales
Selección Muestral NO Aleatoria
Diseño inadecuado de la encuesta (recogida de datos)
Falta de respuesta selectiva de los individuos
Truncamiento incidental: no se observa una variable Y debido al
resultado de otra variable
Ej.: oferta salarial en función de educación, etc.... sólo para los que
trabajan
Atrition en datos de panel: individuos no observados en periodos
posteriores por razones relacionadas con el estudio
Ej.: programa de formación
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Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
El Problema de Selección Muestral para la Inferencia Causal
Selección Muestral Exógena vs. Endógena
Selección Muestral Exógena o basada en las variables independientes
(explicativas):
selección basada en factores independientes del término de error
=⇒MCO
yi
consistente
= β 0 + β 1 xi + ui ,
Di
=1
Di yi
E ( D i xi ui )
E (Di xi ui )
=0
E (ui |xi )
si se observa
= E ( ui xi ) = 0
( yi , xi )
= β0 + β1 Di xi + Di ui
i
sólo si D es una función de x
i
= E [E (Di xi ui |xi )] = E [Di xi E (ui |xi )]
Selección Muestral Endógena o basada en la variable dependiente:
Ej.: Tobit, MCO sesgado
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Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Modelo de Truncamiento Incidental
Modelo de Truncamiento Incidental
i = Yi∗
Sólo se observa Y
∗
un umbral D > 0
i
∗
i
Una variable latente de interés (similar a Tobit) Y
si otra variable latente (diferente) supera
ECUACIÓN DE SELECCIÓN
Di
=
1,
0,
∗
i >0
∗
si Di 6 0
si D
ECUACIÓN DE RESULTADOS (variable de interés)
Yi
=
i =1
i =0
Yi∗ ,
si D
−,
si D
Yi es una variable truncada: no toma ningún valor (con sentido) si
Di
=1
(estrictamente, veremos que está seleccionada endógenamente)
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Modelo de Truncamiento Incidental
Truncamiento Incidental (2)
Supuestos
Modelo Lineal (con errores aditivos) para variables latentes
Di
∗
=
γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi + U1i
Yi
∗
=
β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki + U2i
errores posiblemente correlacionados
∗
∗
i = Yi
modelo Tobit: un caso especial cuando D
(sólo una ecuación)
Normalidad conjunta y Homocedasticidad de los errores
correlacionados
U1i
U2i
la varianza
|Wi , Xi ∼ N
σ21 = 1
0
0
,
1
σ12
σ12
σ22
está normalizada a 1, como en el probit: sólo se
observa el signo de D
∗
i
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Sesgo de MCO. Estimación en Dos Etapas
Estimación por MCO
La esperanza condicional de la variable de interés (observada,
truncada):
E (Yi |Xi , Wi , Di
= 1) = β0 +β1 X1i +· · ·+βk Xki +E (U2i |Xi , Wi , Di = 1)
i i , Wi ) = 0
Aunque E (U2 |X
i
i
i
porque U2 es independiente de X y W ,
i
el último término no es igual a cero porque U2 SÍ está relacionado
i
i
con D a través de su correlación con U1
Se puede comprobar que:
E (U2i |Xi , Wi , Di
= 1) = ρλ (ω1i )
donde
ω1i
=
γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi
λ (z )
=
φ( )/Φ( )
ρ
=
z
z
√
σ12/ σ2
2
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Sesgo de MCO. Estimación en Dos Etapas
Sesgo en MCO
Sabemos que la esperanza condicional es
E (Yi |Xi , Wi , Di
= 1)
=
β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki
+
ρλ γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi
¾Qué sucede si estimamos por mínimos cuadrados ordinarios la
i
i
ecuación Y en función de las variables X ?
Yi
= π0 + π1 X1i + · · · + πk Xki + i
??
bj → βj
π
Si
ρ 6= 0,
la selección muestral es importante y el estimador MCO
estará sesgado
por la omisión de una variable relevante
λ (ω1i )
correlacionada con las variables explicativas X
Tampoco se puede incluir directamente
parámetros
γ
en
ω1i
NO son conocidos
λ (ω1i )
i
porque los
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Sesgo de MCO. Estimación en Dos Etapas
Estimación en Dos Etapas
El procedimiento de Estimación en Dos Etapas para la corrección de
sesgo por Selección Muestral es:
1
Estimar inicialmente sólo la ecuación de selección (Probit) para toda
la muestra
i = 1|Wi ) = Pr (Di∗ > 0|Wi ) = Φ γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi
Pr (D
se puede predecir para cada individuo el valor del índice lineal
b 1i = γ
b0 + γ
b1 W1i + · · · + γ
bq Wqi
ω
y calcular una variable con el valor para cada individuo del ratio de
Mills predicho
bλi = λ (ω
b 1i )
2
i
Estimar por MCO la ecuación de resultados para la variable Y en la
muestra seleccionada incluyendo como variables explicativas Xi y
Yi
= δ0 + δ1 X1i + · · · + δk Xki + δk +1bλi + εi
bλi
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Sesgo de MCO. Estimación en Dos Etapas
Estimación en Dos Etapas (2)
La estimación por MCO sí es consistente
b
δj
→
βj ,
b
δk +1
→
ρ
j
= 1, . . . , k
Se puede contrastar fácilmente si existe selección muestral H0
:ρ=0
Sin embargo, la estimación en dos etapas NO es eciente:
estimando conjuntamente las dos ecuaciones la varianza de los
parámetros estimados es menor
Además, los errores estándar de MCO no están adecuadamente
calculados:
necesitan una corrección (distinta y más compleja que calcular
errores estándar robustos)
para controlar que se utiliza una variable predicha
realmente observada
bλi
en lugar de una
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Estimación Conjunta por Máxima Verosimilitud
Estimación Conjunta (Máxima Verosimilitud)
Para un individuo, debemos calcular la probabilidad de observar
conjuntamente tanto la variable de selección Di como la variable de
i
resultado Y
f (yi , di |Wi , Xi )
=
i = 0|Wi ) ,
Pr (Di = 1|Wi ) f (yi |Xi , Di = 1) ,
Pr (D
i =0
si Di = 1
si D
La función de verosimilitud para todos los parámetros es:
L
n
Y
i =1
β, γ, σ12 , σ22 =
[Pr (Di = 0|Wi ; γ)]1−Di
Pr (D
i = 1|Wi ; γ) f
i i , Di = 1; β, σ12 , σ22
y |X
La estimación conjunta del modelo de truncamiento incidental
explota el supuesto de normalidad conjunta de los errores
Esto permite escribir la forma concreta de la
(log-)verosimilitud
función de
Di
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Identicación del Modelo
Limitaciones del Modelo de Truncamiento Incidental
Supuestos cruciales para la estimación del modelo: normalidad
conjunta y homocedasticidad
Si estos supuestos no son ciertos, las estimaciones no son
consistentes
Incluso en la estimación en dos etapas:
Yi
= δ0 + δ1 X1i + · · · + δk Xki + δk +1bλi + εi
el término de corrección por selección muestral aditivo
λi = λ (γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi )
depende, en su expresión-forma funcional, del supuesto de normalidad
λ (z ) =
φ (z )
Φ (z )
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Identicación del Modelo
Limitaciones (2)
Sin normalidad, se tendrá (en muchas ocasiones) que
E (Yi |Xi , Wi , Di
la función g
(•)
= 1)
=
β0 + β1 X1i + · · · + βk Xki
+
g
γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi
no está restringida a ser la inversa del ratio de Mills
Pero esta formulación no es completamente general:
el término de corrección por selección muestral aparece aditivamente
g
(•)
está restringida a depender del índice lineal de la ecuación de
selección
Problema: no se conoce la forma concreta de g
(•),
a menos que
hagamos otro supuesto sobre la distribución conjunta de los errores
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Identicación del Modelo
Identicación
Cuando W
i = Xi , existen problemas de adecuada identicación
general del modelo
Aunque g
(•)
sea una función no lineal, se puede aproximar
linealmente y/o
g
(γ0 + γ1 W1i + · · · + γq Wqi )
i
estará correlacionado con las X (o
alguna de ellas)
Esto supone un problema porque
puede existir multicolinealidad entre la corrección g
variables explicativas X
no está claro si g
(ω1i )
i
(ω1i )
y las
realmente recoge el efecto de selección
muestral o un término polinomial (omitido) de las variables X
Una forma concreta de g
(•)
i = Wi
sólo es creíble cuando X
i
si
también aceptamos el supuesto distribucional que genera dicha
forma funcional concreta.
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Identicación del Modelo
Identicación (2)
i
La adecuada identicación del modelo requiere que las variables X
sean un subconjunto de las variables W
i
i
1
Todas las variables X se incluyen en la ecuación de selección (Probit)
2
Restricciones de exclusión: algunas variables W
i
i
(instrumentos ) no
se incluyen en la ecuación de resultados para Y (Lineal)
Las restricciones de exclusión permiten una variación adicional en
g
(ω1i ),
i
distinta de la variación de las X
evita confundir g
(ω1i )
i
con las variables X o funciones de ésta
el modelo de selección es más creíble incluso si no se acepta el
supuesto distribucional: g
(•)
será una buena aproximación a al
verdadera forma funcional de la corrección
PERO las restricciones de exclusión no son contrastables: se deciden
a priori y si no son ciertas el modelo estimado estará sesgado.
La teoría económica (o algún razonamiento) debería guiar qué
variables pueden afectar la selección, pero no el resultado
Introducción
Modelo Tobit
Modelos en Dos Partes
Modelos de Selección Muestral
Predicciones y Efectos Marginales
Predicciones y Efectos Marginales
En esencia, no existen diferencia con lo que ya sabemos para otros
modelos.
Según nuestro interés, se puede querer predecir:
la probabilidad de selección (ecuación probit)
el valor de la variable de interés truncada (ecuación con corrección)
el valor de la variable latente de interés
alguna combinación de las anteriores
También según el caso, puede interesarnos los efectos marginales
asociados a cada una de las expresiones anteriores
En todos los casos, se necesita una adecuada estimación
(consistente, no sesgada) de los parámetros relevantes.