θ ω θ ω

FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. MODELO 1. MARZO 2010
TEORÍA (3 p). (a) Calcular el momento de inercia de una esfera homogénea de masa M y radio R respecto a un diámetro.
(b) Calcular el momento de inercia con respecto a un diámetro de un cascarón esférico hueco de igual masa M e igual radio
R (en el cascarón esférico toda la masa está distribuida homogéneamente en la superficie).
PROBLEMA 1 (3 p)
Una barra delgada PA de longitud 3L está articulada en el punto fijo O mediante un pasador alrededor del cual gira en sentido
antihorario con velocidad angular ω (véase figura 1). En el punto A está unida a otra barra delgada de longitud 2L cuyo extremo B
se desliza a lo largo de un plano horizontal a medida que gira la barra PA. En el instante en que la barra PA está horizontal, el
ángulo formado por la barra AB y la vertical es θ. Utilizando los datos numéricos indicados y el sistema de coordenadas mostrado
en la figura 1, calcúlese:
L = 20 cm; ω = 0.16 rad/s; θ = 60º
1. La velocidad de los puntos P y A.
Datos numéricos:
2. La velocidad angular de la barra AB y la velocidad del punto B.
PROBLEMA 2 (4 p)
Un disco macizo y un aro, ambos de iguales masa y radio (R = 10 cm), se mantienen en reposo sobre un plano inclinado θ = 15º
cuya longitud L = 2 m. En el instante t = 0 se libera el aro, que empieza a rodar sin deslizar desde el principio, y en t = 0.25 s se
libera el disco macizo, que también rueda sin deslizar a lo largo de la pendiente (véase figura 2). Se pide:
(a) Calcular la aceleración del centro de masas de cada uno de los sólidos..
(b) Determinar la velocidad angular de cada uno de los sólido cuando llega al final del plano inclinado.
(c) Determinar el tiempo de caída de cada uno hasta que llega al final del plano inclinado. ¿Cuál llega antes?
(d) Explicar cómo variarían los resultados de los apartados anteriores si ambos sólidos tuviesen distintas masas y distintos radios.
Y
L
2L
X
Disco
macizo
Aro
O
P
ω
A
θ
2L
Z
Figura 2
B
Figura 1
L
θ
1
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. MODELO 2. MARZO 2010
TEORÍA (3 p). (a) Calcular el momento de inercia de una esfera homogénea de masa M y radio R respecto a un diámetro.
(b) Calcular el momento de inercia con respecto a un diámetro de un cascarón esférico hueco de igual masa M e igual radio
R (en el cascarón esférico toda la masa está distribuida homogéneamente en la superficie).
PROBLEMA 1 (3 p)
Una barra delgada PA de longitud 3L está articulada en el punto fijo O mediante un pasador alrededor del cual gira en sentido
antihorario con velocidad angular ω (véase figura 1). En el punto A está unida a otra barra delgada de longitud 2L cuyo extremo B
se desliza a lo largo de un plano horizontal a medida que gira la barra PA. En el instante en que la barra PA está horizontal, el
ángulo formado por la barra AB y la vertical es θ. Utilizando los datos numéricos indicados y el sistema de coordenadas mostrado
en la figura 1, calcúlese:
L = 20 cm; ω = 0.32 rad/s; θ = 45º
1. La velocidad de los puntos P y A.
Datos numéricos:
2. La velocidad angular de la barra AB y la velocidad del punto B.
PROBLEMA 2 (4 p)
Un disco macizo y un aro, ambos de iguales masa y radio (R = 10 cm), se mantienen en reposo sobre un plano inclinado θ = 25º
cuya longitud L = 2 m. En el instante t = 0 se libera el aro, que empieza a rodar sin deslizar desde el principio, y en t = 0.10 s se
libera el disco macizo, que también rueda sin deslizar a lo largo de la pendiente (véase figura 2). Se pide:
(a) Calcular la aceleración del centro de masas de cada uno de los sólidos..
(b) Determinar la velocidad angular de cada uno de los sólido cuando llega al final del plano inclinado.
(c) Determinar el tiempo de caída de cada uno hasta que llega al final del plano inclinado. ¿Cuál llega antes?
(d) Explicar cómo variarían los resultados de los apartados anteriores si ambos sólidos tuviesen distintas masas y distintos radios.
Y
L
2L
X
Disco
macizo
Aro
O
P
ω
A
θ
2L
Z
Figura 2
B
Figura 1
L
θ
2
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 1 (3 p)
Una barra delgada PA de longitud 3L está articulada en el punto fijo O mediante un pasador
alrededor del cual gira en sentido antihorario con velocidad angular ω (véase el esquema
adjunto). En el punto A está unida a otra barra delgada de longitud 2L cuyo extremo B se desliza a
lo largo de un plano horizontal a medida que gira la barra PA. En el instante en que la barra PA
está horizontal, el ángulo formado por la barra AB y la vertical es θ. Utilizando los datos
numéricos indicados y el sistema de coordenadas mostrado en el esquema, calcúlese:
1. La velocidad de los puntos P y A.
2. La velocidad angular de la barra AB y la velocidad del punto B.
L
Y
2L
X
O
P
ω
A
θ
2L
Z
B
3
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 1 CONTINUACIÓN
Apartado 1.
L
Y
2L
X
O
ω
P
A
θ
2L
Z
B
r
r
r r
r r
vP = vO + vP / O = ω × rP / O = ω ⋅ L ⋅ (− j )
r r
r
r
vO = 0
vP / O = ω × rP / O
r
r
r
r
ω =ω×k
rP / O = L ⋅ (− i )
r
r
Apartado 2. v A = 2ω ⋅ L ⋅ j
r
r
r r
r r
v A = vO + v A / O = ω × rA / O = 2ω ⋅ L ⋅ j
r r
r
r
vO = 0
v A / O = ω × rA / O
r
r
r
r
ω =ω×k
rP / O = 2 L ⋅ i
r
r
r
rB / A = 2 L (sin θ ⋅ i − cos θ ⋅ j )
r
r
r
r
r r
vB = v A + vB / A = v A + ω AB × rB / A
La velocidad de A sólo tiene componente Y, por lo que el punto B debe moverse hacia
la izquierda (sentido –X) y por tanto la barra AB debe estar girando en sentido horario.
r
r
vB = vB ⋅ (− i )
r
( )
r
ω AB = ω AB ⋅ − k
A determinar vB y ωAB.
4
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 1 CONTINUACIÓN
r
r
vB = vB ⋅ (− i )
( )
r
r
ω AB = ω AB ⋅ − k
r
rB / A
A determinar vB y ωAB.
r
i
r
r
vB ⋅ (− i ) = 2ω ⋅ L ⋅ j + ω AB ⋅ 2 L 0
r
r
r
r
r r
vB = v A + vB / A = v A + ω AB × rB / A
sinθ
r
r
v A = 2ω ⋅ L ⋅ j
r
r
= 2 L (sin θ ⋅ i − cos θ ⋅ j )
r
j
r
k
0
−1
- cosθ
0
r
r
r
r
vB ⋅ (− i ) = 2ω ⋅ L ⋅ j + ω AB ⋅ 2 L ⋅ (− cos θ ⋅ i ) − ω AB ⋅ 2 L ⋅ (sin θ ⋅ j )
2ω ⋅ L ⋅ −ω AB ⋅ 2 L ⋅ sin θ = 0
ω AB =
ω
r
( )
r
ω AB = ω AB ⋅ − k
sin θ
vB = ω AB ⋅ 2 L ⋅ cos θ
vB = 2 L ⋅ ω ⋅
cos θ
sin θ
r
r
vB = vB ⋅ (− i )
L (m) =
ω (rad/s) =
θ (º) =
θ (rad) =
MODELO 1
0,2
0,16
60
1,0472
MODELO 2
0,2
0,32
45
0,7854
v P (m/s) =
0,032
0,064
v A (m/s) =
0,064
0,128
ωAB (rad/s) =
0,185
0,453
vB (m/s) =
0,037
0,128
5
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 2 (4 p)
Un disco macizo y un aro, ambos de iguales masa m y radio R, se mantienen en reposo sobre un plano inclinado θ
cuya longitud es L. En el instante t = 0 se libera el aro, que empieza a rodar sin deslizar desde el principio, y en t0
s se libera el disco macizo, que también rueda sin deslizar a lo largo de la pendiente (véase figura 2). Se pide:
(a) Calcular la aceleración del centro de masas de cada uno de los sólidos..
(b) Determinar la velocidad angular de cada uno de los sólido cuando llega al final del plano inclinado.
(c) Determinar el tiempo de caída de cada uno hasta que llega al final del plano inclinado. ¿Cuál llega antes?
(d) Explicar cómo variarían los resultados de los apartados anteriores si ambos sólidos tuviesen distintas masas
y distintos radios.
(a)
∑F
X
Y
∑M
=mg sin θ − FR = m ⋅ aCM
α
ω
m
X
CM
FR
D.S.L.
FR = I CM ⋅
R
mg sin θ
aCM
mg cos θ
N
R
= I CM ⋅
mg sin θ − I CM ⋅
Disco
Aro
mg
α
CM
=FR ⋅ R = I CM ⋅ α
aCM
R2
aCM
= m ⋅ aCM
2
R
I CM / mR = 0.5
2
I CM / mR 2 = 1
aCM =
g sin θ
1 + I CM / mR 2
(
2
g sin θ
3
1
= g sin θ
2
aCM =
aCM
θ
6
)
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 2 CONTINUACIÓN
(b) Determinar la velocidad angular de cada uno de los sólido cuando llega al final del plano inclinado.
El movimiento de caída es uniformemente acelerado, por lo tanto la velocidad del CM al final es
aCM =
g sin θ
1 + I CM / mR 2
(
⇒ vCM = 2aL =
)
2 gL sin θ
1 + I CM / mR 2
(
4L
g sin θ
3
Disco aCM =
2
g sin θ
3
⇒ vCM =
aCM =
1
g sin θ
2
⇒ vCM = Lg sin θ
Aro
)
Velocidades angulares
ω=
vCM 1
=
R
R
ω=
4L
g sin θ
3
vCM 1
=
Lg sin θ
R
R
(c) Determinar el tiempo de caída de cada uno hasta que llega al final del plano inclinado. ¿Cuál llega antes?
Movimiento uniformemente acelerado que
parte del reposo
L=
1
aCM t 2 ⇒ t =
2
2L
aCM
Aro t aro =
Tiempo para llegar
al final del plano
inclinado
Disco
(d) Explicar cómo variarían los resultados de los
apartados anteriores si ambos sólidos tuviesen
distintas masas y distintos radios.
4L
g sin θ
t disco = t0 +
3L
g sin θ
Puesto que el cociente ICM / mR2 es constante para
cada sólido, las masas no influyen para nada; lo
único que cambiaría si cambiase el radio sería la
velocidad angular (si R disminuye, ω crece, y
viceversa).
7
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA. EXAMEN A2. SOLUCIONARIO. MARZO 2010
PROBLEMA 2 CONTINUACIÓN
RESULTADOS NUMÉRICOS
2
g (m/s ) =
θ (º) =
L (m) =
t 0 (s) =
R (m) =
θ (rad) =
a CM
DISCO
(m/s2) =
MODELO 1 MODELO 2
9,8
9,8
15
25
2
2
0,25
0,1
0,10
0,10
0,26179939 0,43633231
aCM =
Aro
aCM
Disco vCM =
ω=
1,69
2,76
v CM (m/s) =
ω (rad/s) =
t (s) =
ARO
a CM (m/s2) =
2,60
26,01
1,79
3,32
33,23
1,30
1,27
2,07
v CM (m/s) =
ω (rad/s) =
t (s) =
2,25
22,52
1,78
2,88
28,78
1,39
Llega antes el aro
debido a su
ventaja inicial
Llega antes
el disco
2
g sin θ
3
1
= g sin θ
2
Disco
vCM 1
=
R
R
Aro
ω=
Disco
4L
g sin θ
3
4L
g sin θ
3
vCM = Lg sin θ
vCM 1
=
Lg sin θ
R
R
t disco = t0 +
Aro t aro =
3L
g sin θ
4L
g sin θ
8