1 Generalidades de Transferencia de Calor. Conducción en

1
1.1
1.1.1
Generalidades de Transferencia de Calor.
Conducción en régimen estacionario
Introducción
Interés y modos de transferencia.
La transferencia de calor en ingenierı́a se ocupa de los problemas asociados a la
propagación del calor en distintos medios materiales. Estos problemas se presentan
en el estudio de la naturaleza ası́ como también en las aplicaciones de la ingenierı́a.
Distinguimos tres formas principales de transmisión del calor: la conducción, la
convección y la radiación. Son incógnitas tı́picas de los problemas de ingenierı́a la
determinación del campo de temperaturas y la velocidad de flujo de calor ya sea en
medios fluidos, sólidos o bien una combinación de ellos. De acuerdo al mecanismo
y a los medios donde se desarrolla la transferencia de calor, aparecerán modelos
fı́sicos que serán descriptos por distintas ecuaciones. La figura 1.1 resume los modos
de transmisión de calor.
Agreguemos también que el transporte de masa, en sistemas de dos o más componentes modifica fuertemente el proceso de transmisión de calor (por convección).
1.1.2
Diseño térmico
En ingenierı́a interesa controlar los procesos de transferencia de calor. Modificar
las temperaturas asociadas a un problema ası́ como aumentar o disminuir la velocidad del flujo de calor. Para ello, aparece el diseño sobre la geometrı́a, materiales,
la mecánica de fluidos, modelos para el control, etc. Numerosos ejemplos se nos
presentan: en el dimensionamiento de la aislaciones edilicias, de aletas disipadoras
en componentes electrónicos, de la superficie de intercambio de un calefactor (o
de un evaporador de una unidad de aire acondicionado); en la utilización de materiales refractarios en hornos; en el control de la temperatura de una instalación
frigorı́fica.
1
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
(a) La transferencia de calor
por conducción ocurre cuando las partı́culas individuales
del medio considerado interactúan por contacto directo.
La interacción es causada por
la diferente temperatura que
poseen las partı́culas, y es de
escala molecular.
(b) La convección es caracterı́stica de los medios fluidos.
Los flujos de calor por convección se asocian al transporte
de masas de fluido, a distinta
temperatura, de una región a
otra
(c) La radiación térmica es la
transmisión a través de ondas electromagnéticas. A partir de la emisión de energı́a
de un cuerpo (sólido, gas), la
energı́a se transmite mediante
ondas electromagnéticas y es
recibida por otro cuerpo (sólido, gas). Las ondas pueden viajar por el vacı́o como bien se
aprecia desde este planeta.
Figura 1.1: Modos de Transferencia de Calor
1.1.3
Relaciones termodinámicas.
La Termodinámica clásica considera sistemas en equilibrio y predice la cantidad
de calor a intercambiar para que un sistema pase de un estado inicial de equilibrio
a otro final de equilibrio. En transferencia de calor hacemos uso de conceptos y
leyes de la termodinámica clásica. Una ley muy utilizada es el primer principio
de la termodinámica o principio de conservación de la energı́a. Para el caso de
un sistema cerrado de masa sólida incompresible, no hay trabajo de deformación
posible. Entonces, la variación de la energı́a interna del sistema después de un
tiempo ∆t equivale al calor transferido al sistema más el calor generado en el
sistema: ∆U = Q∆t + QV ∆t. En intervalos infinitesimales, dU/dt = Q̇ + Q̇V . 1
Si consideramos la energı́a interna especı́fica para este caso, du = dU/ρV = Cv dT ,
donde Cv [J/kg K] es el calor especı́fico a volumen constante. En el caso de un
sólido, por definición incompresible, Cp = Cv , por lo que:
ρV Cp
1
dT
= Q̇ + Q̇V
dt
(1.1)
˙
La derivada d/dt ≡ [].
2
Introducción
es la ecuación de balance de energı́a cuando no se realiza trabajo (W ).
Para un sistema monofásico, cerrado y en equilibrio, la ecuación de la energı́a se
escribe
du = −p dv + T ds
(1.2)
Recordemos también la definición de la función la entalpı́a como función de estado
h = u + pv y su forma diferencial
dh = v dp + T dS
(1.3)
Para un sistema que no cambia su volumen, dV = 0 y dW = 0, podemos definir
más rigurosamente desde (1.2) el calor especı́fico a volumen constante:
∂s
(1.4)
Cv = T
∂T v
Por otro lado, para un proceso a presión constante isobárico reversible, el cambio
de entalpı́a es equivalente al calor que entra/sale del sistema: dh = dQp Luego, el
calor especı́fico a presión constante:
∂s
Cp = T
(1.5)
∂T p
La diferencia entre los calores especı́ficos nos permite caracterizar al medio aunque
esto no se desprende fácilmente a partir de restar (1.4) y (1.5). Es necesario trabajar
las expresiones con cambios de variable que provienen de las relaciones de Maxwell
para termodinámica2
∂v
∂s
Cp − Cv = T
∂v T ∂T p
2
Para definir a las relaciones de Maxwell, se precisan agregar 2 funciones potenciales
termódinámicas a las dos que ya definimos anteriormente (u y h). Sean f = u − T s la función de
Helmoltz y g = u − T s + pv la función de Gibbs. Sus formas diferenciales son df = −sdT − pdv
y dg = −sdT + vdp.
Consideremos la ecuación para la energı́a interna (1.2). Si derivamos con respecto a s a volumen
constante
∂u
=T
(1.6)
∂s v
De acuerdo a la ecuación para la entalpı́a (1.3), si derivamos con respecto a v en forma isoentrópica, resulta
∂u
−p =
(1.7)
∂v s
Podemos derivar (1.6) con respecto a v y (1.7) con respecto a s, resulta
2 2 ∂ u
∂T
∂ u
∂p
=
=−
∂v∂s
∂v s
∂s∂v
∂s v
(1.8)
3
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Cp − Cv = T
∂p
∂T
v
∂v
∂T
(1.10)
p
Si definimos coeficientes de expansividad isobárica
1 ∂v
βp =
v ∂T p
y de compresibilidad isoterma:
1
κT = −
v
∂v
∂p
T
Sustituyendo en (1.10) y usando la relación:
∂p
∂p
∂v
=
∂T v
∂v T ∂T p
Obtenemos:
Cp − Cv = vT βp2 /κT
(1.11)
Si se aplica a un gas se llega a Cp −Cv = R mientras que en el caso de sólidos/lı́quidos βp2 /κT → 0.
1.1.4
Campos de Temperatura y Flujos de calor
En Transferencia de calor se extienden las bases de la termodinámica clásica hacia
problemas en donde se estudian propiedades fı́sicas en el espacio y en el tiempo.
Los procesos de transmisión del calor aparecen en sistemas que poseen regiones a
distintas temperaturas, de forma que el campo T = T (x, y, x, t) es una variable
fundamental en los distintos modelos que estudiaremos.
Si consideramos todos los puntos de un cuerpo que se encuentran a la misma temperatura, obtenemos una superficie isoterma 3 . La figura 1.2 representa un corte
que pone de manifiesto tres curvas isotermas. La temperatura varı́a en las direcciones que cortan a las isotermas y es máxima en la dirección del gradiente de las
curvas. Observemos que el gradiente ∇T = n̄0 ∂T /∂n varı́a también en el espacio y
Las derivadas segundas existen y son continuas, luego:
∂T
∂p
=−
∂v s
∂s v
(1.9)
y conseguimos ası́ mostrar una de las relaciones de Maxwell. Operando con el resto de las funciones, podemos obtener el resto.
3
O una curva isoterma para problemas 2D.
4
Introducción
Figura 1.2: Izq.: Lı́neas Isotermas. Der.: Isotermas e isoflujos dividen al dominio.
Figura 1.3: Vector densidad de flujo de calor.
su módulo depende de la rapidez del cambio de T en la dirección n̄. Gráficamente,
si las curvas se acercan, el módulo aumenta.
Por otra parte, consideremos una superficie isoterma diferencial como la de la
figura 1.3. La superficie se define a partir de una normal n̄ y supongamos que es
atravesada por una cantidad de calor dQ. El flujo de calor ocurre a lo largo del
tiempo y es en general más práctico distinguir la cantidad de calor por unidad
de tiempo dQ/dt. Para independizar esta cantidad del tamaño de la superficie
considerada, se define la densidad de flujo de calor según:
q̇ =
dQ
dtdS
Dado que el calor atraviesa la superficie según su normal n̄ podemos definir un
vector que contenga la dirección, el vector densidad de flujo 4 :
q̄ =
4
dQ
· n̄
dtdS
q̄ = qx īx + qy īy + qz īz
(1.12)
Por comodidad de notación, q̄ ≡ q̇¯
5
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
El vector resulta normal a la superficie isoterma. Pueden ası́ asociarse lineas de
flujo de calor, tangentes a los vectores de flujo, lı́neas de isoflujo, que definidas
son perpendiculares respecto de las isotermas. Gráficamente, puede dividirse un
dominio material según lı́neas de isoflujo e isotermas a fin de una rápida caracterización del fenómeno.
Para evaluar el flujo total de calor a través de la superficie S:
Z
Q̇ = q̄ · n̄dS
(1.13)
Para q̄ · n̄ > 0 el calor “sale“ y en caso contrario entra al sistema.
1.1.5
Ley de Fourier
La ley de Fourier establece que el vector densidad de flujo de calor que pasa a
través de una superficie isoterma dS es proporcional al gradiente de temperatura
∂T /∂n:
∂T
(1.14)
q̄ = −λ n̄ = −λ∇T [J]
∂n
El calor va desde regiones de mayor a menor temperatura, por ello el signo (-).
El factor de proporcionalidad λ es una propiedad fı́sica del material. Define la
capacidad para conducir el calor y se denomina conductividad térmica. Este valor
se puede suponer, en una gran cantidad de casos prácticos, de comportamiento
lineal respecto de la temperatura.
La validez de la ley de Fourier se ha demostrado en numerosos experimentos. La
cantidad de calor que pasa a través de una superficie isoterma S es el flujo de calor
que hemos definido (1.13). Una objeción puede surgir en cuanto al comportamiento
de los materiales: ante un desequilibrio térmico, se necesita un tiempo pequeño
pero finito para que comience el flujo térmico. En la práctica, este tiempo es muy
pequeño comparado con tiempos caracterı́sticos de los cuerpos que tienen interés
para nuestro estudio.
La expresión (1.14) es cierta para materiales isótropos. Si el material presenta un
comportamiento distinto según la dirección, es necesario una magnitud tensorial
que relacione q̄ con ∇T :
¯ · ∇T
q̄ = −λ̄
(1.15)
1.1.6
Mecanismos de conducción.
Gases.
Para temperaturas moderadamente bajas, la teorı́a cinética de gases predice con
buena exactitud la conductividad térmica. En esta teorı́a asociamos la energı́a
6
Introducción
material
Cobre
Aluminio
Hierro
Acero inoxidable
Vidrio
Lana de vidrio
Aire
λ [W/m K]
400
250
50
15
0.8
0.04
0.026
Cuadro 1.1: Valores tı́picos de conductividad de algunos materiales a 25◦ C.
cinética media de las moléculas con la temperatura a partir de
m w1 2
3
= KT
2
2
(1.16)
siendo m la masa de una molécula y K la constante de Boltzmann5 . La agitación
térmica se da en todas las direcciones, pero cuando una molécula que se encuentra
en una región de mayor T alcanza a una molécula que se encuentra en una región
de menor T , intercambia momento con ésta y los choques repetidos hacen que la
velocidad media de la zona más frı́a crezca y en consecuencia aumente T .
La teorı́a cinética demuestra que la conductividad λ vale:
1
λ = |w̄| `c Cv ρ
3
(1.17)
donde w̄ es la velocidad media de las moléculas, `c es el libre camino medio6 , Cv es
el calor especı́fico a volumen constante y ρ la densidad de gas. λ es dependiente de
la temperatura, pues la velocidad media de las moléculas se relaciona con ella de
acuerdo a (1.16). La presión hace aumentar a la densidad ρ pero esto se compensa
con disminuciones de temperatura. Salvo en casos extremos, la conductividad no
depende de la presión.
Las expresiones (1.16) y (1.17) sirven para gases ideales y nos da una guı́a cualitativa de la propiedad. Gases imperfectos y mezclas de gases precisan experimentos
para determinar correctamente el comportamiento.
5
Se relaciona con la constante universal de los gases R y el número de Avogadro NA según:
K = R/NA
6
La distancia promedio entre 2 colisiones.
7
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Lı́quidos
El mecanismo de propagación del en lı́quidos puede asimilarse a la propagación de
ondas elásticas. El concepto7 se usó para explicar con éxito los resultados experimentales de varios lı́quidos. Se propuso una expresión del tipo:
λ=
cCp ρ4/3
m1/3
(1.18)
donde Cp es el calor especı́fico del lı́quido a presión constante y c es proporcional a
la velocidad de la propagación de la onda elástica en el medio8 . cCp es aproximadamente constante. Dado que ρ disminuye con el aumento de T , la conductividad
se reduce. En general el comportamiento es lineal pero encuentra importantes
excepciones en el agua y la glicerina, que aumentan su conductividad con la temperatura. En lı́quidos fuertemente asociados (agua, alcoholes, etc) un factor debe
introducirse en (1.18) para incluir variaciones de m.
Sólidos
Puede dividirse en 2 grandes subconjuntos: sólidos metálicos y no metálicos. En el
primer caso, es la migración de los electrones libres la responsable la la transferencia de calor 9 (λe ).
Por otra parte, los sólidos no metálicos o dieléctricos, transmiten el calor principalmente a partir de vibraciones de su red cristalina. La cuantificación de ese
movimiento se da por los fonones (λph ) (cuasi-partı́culas).
Se cumple que λe λph y que en general, buenos conductores de la electricidad
son buenos conductores térmicos.
1.2
Ecuación general de la Conducción
A partir de la ecuación del primer principio de la termodinámica, (1.1) reescribimos
la ecuación para sistemas extensos, donde T = T (x, y, z, t)
ρV Cp
∂T
= Q̇ + Q̇V
∂t
7
Introducido por A.S.Predvoditelev[1948].
Recordar el tema en Mecánica de Fluidos.
9
Al tiempo que transportan carga eléctrica.
8
8
Introducción
Considerando la extensión del sólido, la temperatura varı́a punto a punto ası́ como
también el calor que se genera y el que fluye por sus fronteras, es decir:
Z
Z
Z
∂T
dV = − q̄ · n̄dS +
qv dV
ρV Cp
∂t
S
V
V
|
{z
} |
{z
} | {z }
Almacenamiento
Flujo
Producción
Recordando el teorema de Gauss:
Z
Z
Z
∂T
ρV Cp
∇ · q̄dV +
qv dV
dV = −
∂t
V
V
V
=⇒ ρCp
∂T
= −∇q̄ + qv
∂t
1
∂T
=
(−∇ · q̄ + qv )
∂t
ρCp
(1.19)
Para un medio isótropo, q̄ = −λ∇T , luego:
∂T
1
(λ∇2 T + qv )
=
∂t
ρCp
(1.20)
es la ecuación general de la conducción. La misma puede simplificarse para el caso
estacionario:
qv
Ecuación de Poisson
(1.21)
λ∇2 T = −
λ
para el caso sin fuentes y estacionario:
∇2 T = 0
Ecuación de Laplace
(1.22)
Para el caso sin fuentes:
∂T
1
=
(λ∇2 T )
∂t
ρCp
Ecuación de Fourier
(1.23)
Estos casos serán estudiados en detalle de acuerdo a las condiciones iniciales, las
condiciones de borde y consideraciones dimensionales que serán abordadas en la
práctica.
9